Chap1-Introduction à MEF

Université Saad Dahleb – Blida 1 Faculté de Technologie Département de Génie Civil

Chapitre 1

Introduction à la méthode de éléments finis Enseignant: Rafik TALEB, DSc, MSc, Ceng Maître de Conferences

La méthode des éléments finis est une approche numérique par la quelle des équations différentielles peuvent être résolues d’une manière approchée

Modèle mathématique

Phénomène physique

Approximation numérique

Equations différentielles

Méthode des EF

DISCRETISATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTELLES (EDP) Méthodes des éléments finis: La méthode consiste à approcher, dans un sous-espace de dimension finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l'énergie en général) dans un espace de dimension infinie. La solution approchée est dans ce cas une fonction déterminée par un nombre de paramètres comme, par exemple, les valeurs en certains points ou nœuds du maillage. Avantages : traitement possible de géométries complexes, nombreux résultats théoriques sur la convergence. Inconvénient : complexité de mise en œuvre et grand coût en temps de calcul et mémoire.

Logiciels et applications de la MEF ABAQUS

SAP2000

ANSYS

COMSOL

Logiciels et applications de la MEF

Logiciels et applications de la MEF

Classification des systèmes physiques

Classification des systèmes physiques

Classification des systèmes physiques – Problèmes d’équilibre

Méthode des éléments finis

Contrôler l'aspect des éléments il est fortement conseillé de contrôler l'aspect des éléments. Schématiquement, il s'agit de vérifier que les éléments ne sont pas trop distordus par rapport à leur géométrie de référence. Par exemple : •pour les triangles et les tétraèdres, éviter tout élément trop "allongé" ou "aplati" (Figure (a)) ; •pour les quadrilatères et les hexaèdres, utiliser des formes les plus rectangulaires possibles (Figure (b)) ; •pour les éléments d'ordre 2, n'employer les arêtes courbes que pour représenter des bords non plans, et pas à l'intérieur du volume (Figure (c)) ; •également pour les éléments d'ordre 2, toujours laisser les "nœuds milieu" à égale distance des deux sommets voisins (Figure (d))

Figure : Règles morphologiques : (a) pour les triangles (et les tétraèdres) de tout ordre, (b) pour les quadrilatères (et les hexaèdres) de tout ordre, (c,d) pour les éléments du second ordre de toute forme.

Contrôler l'aspect des éléments Il faut ensuite s'assurer que le maillage ne contient aucun élément dégénéré, c'est-à-dire complètement plat, croisé ou muni d'un angle rentrant comme les éléments de la Figure. Dans le cas contraire, la technique employée pour construire le système d'équations ne fonctionne pas et les résultats peuvent être faux. Cette vérification est généralement effectuée automatiquement, mais mieux vaut être prudent !

Figure : Des éléments dégénérés, susceptibles de conduire à un résultat faux : (a) un triangle aplati, (b) un quadrilatère aplati, (c) un quadrilatère avec un angle rentrant, (d) un quadrilatère croisé, (e) un triangle quadratique croisé.

Méthode des résidus pondérés

Méthode des résidus pondérés Exemple: problèmes continues a deus dimensions (équation de Poisson)

Intégration par parties

Forme intégrale faible

Méthode des éléments finis