Chap 1 Systeme de Numeration Et Code

CHAPITRE I : SYSTEMES DE NUMERATION ET CODE

Contenu CHAPITRE I : SYSTEMES DE NUMERATION ET CODE ................................................................ 2 1.

DEFINITION ................................................................................................................................. 2

2.

DIFFERENTS SYSTEMES DE NUMERATION ...................................................................... 2

3.

2.1.

Système binaire ou système base 2 ....................................................................................... 2

2.2.

Système octal .......................................................................................................................... 2

2.3.

Système Décimal .................................................................................................................... 2

2.4.

Système hexadécimal ............................................................................................................. 2

CONVERSION ENTRE SYSTEME DE NUMERATION ....................................................... 3 3.1.

Conversion binaire – décimale ............................................................................................. 3

3.2.

Conversion décimale – binaire ............................................................................................. 3

3.2.1.

Conversion de la partie entière .................................................................................... 4

3.2.2.

Conversion de la partie fractionnaire .......................................................................... 4

3.3.

Conversion octal – décimal ................................................................................................... 5

3.4.

Conversion décimale-octal .................................................................................................... 5

3.5.

Conversion octal- binaire ...................................................................................................... 5

3.6.

Conversion binaire octal ....................................................................................................... 6

3.7.

Conversion hexadécimal – décimal ...................................................................................... 6

3.8.

Conversion décimal – hexadécimal ...................................................................................... 7

3.9.

Conversion hexadécimal – binaire ....................................................................................... 7

3.10. 4.

5.

Conversion binaire – hexadécimal ................................................................................... 7

CODES ........................................................................................................................................... 8 4.1.

Code BCD (Binary Coded Decimal) ..................................................................................... 8

4.2.

Code majoré de trois ............................................................................................................. 8

4.3.

Récapitulatif de différents codes .......................................................................................... 8

4.4.

Code ASCII ............................................................................................................................ 9

EXERCICES ................................................................................................................................ 11

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CHAPITRE I : SYSTEMES DE NUMERATION ET CODE

CHAPITRE I : SYSTEMES DE NUMERATION ET CODE 1.

DEFINITION

Un système de numération ou système de nombre est un ensemble de symboles différents, appelés chiffres utilisés pour représenter un nombre. (Numération=manière d’écrire ou d’énoncer les nombre en chiffres) 2.

DIFFERENTS SYSTEMES DE NUMERATION

2.1. Système binaire ou système base 2 Ce système possède deux symboles ou chiffres (0 ; 1). C’est aussi un système à poids positionnel, puisque chaque chiffre binaire est affecté d’un poids exprimé par une puissance entière de deux. On désigne aussi le chiffre binaire par bit (contraction de binary digit). Un ensemble ou paquet de 8 bits est appelé octet. Exemple : (21) = (10101) ; (15,5) = (1111,1) 2.2.Système octal Ce système a comme base huit, ce qui signifie qu’il comprend huit symboles possible, soit (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7). Ainsi chaque chiffre dans un nombre octal à une valeur comprise entre 0 et 7. (Le système de numération octal revêt une grande importance dans l’utilisation d’un ordinateur numérique) Exemple : 257 ; 345 ; 412 2.3.Système Décimal Ce système a comme base dix, ce qui signifie qu’il comprend dix symboles possible, soit (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9). Ainsi chaque chiffre dans un nombre décimal à une valeur comprise entre 0 et 9 : c’est le système utiliser par les humains Exemple : 985 ; 385 ; 412 2.4.Système hexadécimal Ce système a comme base 16. Ce qui implique 16 symboles de chiffres possibles, qui , dans ce cas, sont des dix chiffres 0 à 9 plus les lettres majuscules A, B ,C, D , E , F ; (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A ,B,C,D,F).

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

Rapports entre les systèmes : Décimal, hexadécimal et binaire

Hexadécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Tableau 1-1 : Rapport entre hexadécimal, décimal et binaire



3.

Remarque : - Chaque chiffre hexadécimal a comme équivalent binaire un groupe de quatre bits - Les chiffres hexadécimaux A à F correspondent aux valeurs décimales 10 à 15 CONVERSION ENTRE SYSTEME DE NUMERATION 3.1. Conversion binaire – décimale

Tout nombre binaire peut être transformé en son équivalent décimal simplement en additionnant les poids des diverses positions où se trouve une valeur 1 : Voici une illustration: 1 1·24

16

1

0

1

1

+ 1·23

+ 0·22

+ 1·21

+ 1·20

+

+

+

+

8

0

2

1

(binaire)

= 2710

(décimal)

Exercice d’application 1.1 : convertir en décimal les nombres binaire suivants : a) 10110101 ; b) 10110 ; c) 10001101 ; d) 100011011011. 3.2. Conversion décimale – binaire Il existe deux façons de convertir un nombre décimal en son équivalent binaire. Une méthode qui convient bien aux petits nombres est une démarche qui est basée sur la numération de position en binaire. Le nombre décimal est simplement exprimé comme une somme de puissances de 2, puis on inscrit des 1 et des 0 vis-à-vis des positions binaires appropriées. Voici un exemple: BY PaTRICK JUVeT gNeTCHeJO: P.L.e.T IN eLeCTRONICS

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(45)10 = 32 + 8 + 4 + 1 = 25 + 0 + 23 + 22 + 0 + 20 = (1 0 1 1 0 1)2 Notons qu'il y a un 0 vis-à-vis des positions 21 et 24, puisque ces positions ne sont pas utilisées pour trouver la somme en question. Il s’agit d’une méthode par essais successifs (tâtonnement). 3.2.1. Conversion de la partie entière L'autre méthode convient mieux aux grands nombres décimaux; il s'agit de répéter la division par 2. Cette méthode de conversion est illustrée ci-après pour le nombre (25)10. Nous utilisons des divisions répétitives par 2 du nombre décimal à convertir. A chaque division nous obtenons un quotient et un reste. Nous devons effectuer les divisions jusqu’à obtenir un quotient nul. Il est important de noter que le nombre binaire résultant s'obtient en écrivant le premier reste à la position du bit de poids le plus faible (LSB) et le dernier reste à la position du bit de poids le plus fort (MSB). 25/2 12/2 6/2 3/2 1/2

= = = = =

12 6 3 1 0

reste reste reste reste reste

1 0 0 1 1

Poids faible (LSB)

Poids fort (MSB)

(25)10 = (1 1 0 0 1)2

3.2.2. Conversion de la partie fractionnaire La conversion de la partie fractionnaire s’obtient par l’opérateur inverse, soit la multiplication. Cette méthode de conversion est illustrée ci-après pour le nombre (0,375)10. Nous utilisons des multiplications successives par 2 du nombre décimal à convertir. A chaque multiplication nous obtenons une partie entière et un reste. Il est important de noter que le nombre binaire résultant s'obtient en écrivant le premier chiffre à la position du bit de poids le plus fort (MSB). 0,375 x 2 = 0,75 partie entière = 0 Poids fort (MSB) reste =0,75 0,75 x 2 = 1,5 partie entière = 1 reste =0,5 0,5 x 2 = 1,0 partie entière = 1 reste =0 N10 = 0,375 correspond à N2 = 0,011

On peut remarquer qu'un nombre fini dans une base peut conduire à une suite infinie dans une autre Exercice d’application 1.2 : convertir en binaire les nombres décimaux suivants -

a) 83 ; b) 729 ; c) 37 ; d) 14 ; e) 3.25 ; f) 17.150

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3.3.Conversion octal – décimal On convertit un nombre octal en son équivalent décimal en multipliant chaque chiffre octal par son poids positionnel. Voici un exemple: (372)8 = 3·(82) + 7·(81) + 2·(80) = 3·64 + 7·8 + 2·1 = 192 + 56 + 2 =250

3.4.Conversion décimale-octal Il est possible de convertir un nombre décimal entier en son équivalent octal en employant la méthode de la répétition de divisions, la même qu'on a utilisée pour la conversion décimal-binaire, mais cette fois-ci en divisant par 8 plutôt que par 2. Voici un exemple: 266/8 = 33/8 = 4/8 = (266)10 =

33 reste 2 4 reste 1 0 reste 4 (412)8

Notez que le premier reste devient le chiffre de poids le plus faible du nombre octal et que le dernier reste devient le chiffre de poids le plus fort. Si on utilise une calculatrice pour faire les divisions, on aura comme résultat un nombre avec une partie fractionnaire plutôt qu'un reste. On calcule toutefois le reste en multipliant la fraction décimale par 8. Par exemple, avec la calculatrice, la réponse de la division 266/8, est 33,25. En multipliant la partie décimale par 8, on trouve un reste de 0,25 X 8 = 2. De même, 33 / 8 donne 4,125, d'où un reste de 0, 125 X 8 = 1. 3.5.Conversion octal- binaire Le principal avantage du système de numération octal réside dans la facilité avec laquelle il est possible de passer d'un nombre octal à un nombre binaire. Cette conversion s'effectue en transformant chaque chiffre du nombre octal en son équivalent binaire de trois chiffres. Voyez dans le tableau ci-dessous les huit symboles octaux exprimés en binaire. Chiffre octal

0

1

2

3

4

5

6

7

Équivalent binaire

000

001

010

011

100

101

110

111

Au moyen de ce tableau, tout nombre octal est converti en binaire par la transformation de chacun des chiffres. Par exemple, la conversion de (472)8 va comme suit: 4 100

7 111

2 010

Donc le nombre octal (472)8 est équivalent au nombre binaire 100111010. BY PaTRICK JUVeT gNeTCHeJO: P.L.e.T IN eLeCTRONICS

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3.6.Conversion binaire octal La conversion d'un nombre binaire en un nombre octal est tout simplement l'inverse de la marche à suivre précédente. Il suffit de faire avec le nombre binaire des groupes de trois bits en partant du chiffre de poids le plus faible, puis de convertir ces triplets en leur équivalent octal . Exemple : convertissons 1001110102 en octal. 100 4

111 7

010 2

Parfois, il arrivera que le nombre binaire ne forme pas un nombre juste de groupes de trois. Dans ce cas, on pourra ajouter un ou deux zéros à gauche du bit de poids le plus fort pour former le dernier triplet (si on lit de droite à gauche). Exemple : 11010110. 011 3

010 2

110 6

Exercice d’application 1.4 : a) b) c) d)

Convertissez(614) en son équivalent décimal Convertissez(146) en son équivalent octal, puis passez du système octal au binaire Convertissez(10011101) , en son équivalent octal Ecrivez les trois derniers nombres de la suite de nombres octaux suivante : 624, 625,626, _ _ _, _ _ _, _ _ _. e) Convertissez(975) , en binaire en passant par le système octal f) Convertissez(1010111011) , en décimal en passant par le système octal

3.7.Conversion hexadécimal – décimal Un nombre hexadécimal peut être converti en son équivalent décimal en exploitant le fait qu'à chaque position d'un chiffre hexadécimal est attribué un poids; dans ce cas-ci le nombre 16 élevé à une certaine puissance. Le chiffre de poids le plus faible a un poids de 160 = 1, le chiffre immédiatement à gauche a un poids de 161 = 16, l'autre chiffre immédiatement à gauche, un poids de 162 = 256, et ainsi de suite. Exemple : Convertir (356)

(356)16

= 3·162 = 768

(356)16

= (854)10

+ 5·161+ 6·160 + 80 + 6

et (2

;

)

en décimal (2AF)16 = 2·162 = 512

+ 10·161+ 15·160 + 160 + 15

(2AF)16 = (687)10

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3.8.Conversion décimal – hexadécimal Pour convertir un nombre décimal en un nombre hexadécimal, il faut procéder de la même façon que pour la conversion décimal-binaire, mais cette fois en divisant par 16 Exemple : Conversion de (423) en hexadécimal 423/16 26/16 1/16 (423)10

= 26 reste 7 = 1 reste 10 = 0 reste 1 = (1A7)16

3.9.Conversion hexadécimal – binaire La conversion d'un nombre hexadécimal en un nombre binaire ne pose vraiment pas de difficulté, puisque chaque chiffre hexadécimal est remplacé par son équivalent binaire de 4 bits (tableau 1.1 page3). Exemple : Convertir (9F2)16 en décimal (9F2)16

=

9

F

2

= 1001 1111 0010 (9F2)16

3.10.

= (100111110010)2

Conversion binaire – hexadécimal

Cette conversion est tout simplement l'inverse de la précédente. Le nombre binaire est divisé en groupes de quatre bits, puis on substitue à chaque groupe son chiffre hexadécimal équivalent. Au besoin, on ajoute des zéros à gauche pour obtenir un dernier groupe de 4 bits. Exemple : Convertir (1110100110)2 en hexadécimal (1110100110)2 = 0011 1010 0110 3 A (1110100110)2 = (3A6)16

6

Pour passer d'un nombre hexadécimal à son équivalent binaire, il faut connaître la suite des nombres binaires de quatre bits (0000 à 1111) ainsi que le nombre correspondant en hexadécimal. Dès que cette correspondance devient un réflexe automatique, les conversions se font rapidement sans calculs. C'est ce qui explique pourquoi le système hexadécimal est si pratique pour représenter de grands nombres binaires. Exercice d’application 1.5 : Convertissez (24 ) en décimal Convertissez (3117) en hexadécimal puis ce nombre hexadécimal en binaire Convertissez (100101110110101) en hexadécimal Ecrivez les quatre termes suivants de cette suite de nombres hexadécimaux : E9A, E9B, E9C, E9D, _ _ _, _ _ _, _ _ _, _ _ _. e) Convertissez (3527) , en hexadécimal a) b) c) d)

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4.

CODES 4.1. Code BCD (Binary Coded Decimal)

Le BCD s'appelle en français Décimal codé Binaire (DCB). Si on représente chaque chiffre d'un nombre décimal par son équivalent binaire, on obtient le code dit décimal codé binaire (abrégé dans le reste du texte par BCD). Comme le plus élevé des chiffres décimaux est 9, il faut donc 4 bits pour coder les chiffres. Illustrons le code BCD en prenant le nombre décimal 874 et en changeant chaque chiffre pour son équivalent binaire; cela donne: 8 1000

7 0111

4 0100

décimal BCD

De nouveau, on voit que chaque chiffre a été converti en son équivalent binaire pur. Notez qu'on fait toujours correspondre 4 bits à chaque chiffre. Le code BCD établit donc une correspondance entre chaque chiffre d'un nombre décimal et un nombre binaire de 4 bits. Évidemment, seuls les groupes binaires 0000 à 1001 sont utilisés. Le code BCD ne fait pas usage des groupes 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 et 1111. Autrement dit, seuls dix des 16 combinaisons des 4 bits sont utilisés. Si l'une des combinaisons "inadmissibles" apparaît dans une machine utilisant le code BCD, c'est généralement le signe qu'une erreur s'est produite. 4.2. Code majoré de trois Le code majoré de trois d’un nombre décimal se trouve de la même manière que le code BCD, sauf qu’on ajoute trois à chaque chiffre décimal avant d’opérer la conversion. Exemple : convertissons 48 en sa représentation dans le code majoré de trois 4 8 + 3 +3 7 11 0111 1011 Le code majoré de trois de 48 est (01111011) 4.3. Récapitulatif de différents codes Nous donnerons un tableau des principaux codes. Il faut toutefois mentionner le code GRAY ou binaire réfléchi. Ce code présente l'avantage qu'il n'y a qu'un seul bit qui change à la fois. Il offre dès lors de multiples utilisations.

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Décimal

binaire

octal

hexadécimal

Gray ou BR

Excédent 3

AIKEN

00

0000

00

0

0000

0011

0000

01

0001

01

1

0001

0100

0001

02

0010

02

2

0011

0101

0010

03

0011

03

3

0010

0110

0011

04

0100

04

4

0110

0111

0100

05

0101

05

5

0111

1000

1011

06

0110

06

6

0101

1001

1100

07

0111

07

7

0100

1010

1101

08

1000

10

8

1100

1011

1110

09

1001

11

9

1101

1100

1111

10

1010

12

A

1111

sur deux décades

11

1011

13

B

1110

sur deux décades

12

1100

14

C

1010

sur deux décades

13

1101

15

D

1011

sur deux décades

14

1110

16

E

1001

sur deux décades

15

1111

17

F

1000

sur deux décades

Tableau 2-2 : Table des codes

Les codes Excédent 3 et AIKEN ne sont pratiquement plus utilisés. 4.4.Code ASCII Le code alphanumérique le plus répandu est le code ASCII (American Standard Code for Information Interchange); on le retrouve dans la majorité des micro-ordinateurs et des mini-ordinateurs et dans beaucoup de gros ordinateurs. Le code ASCII (prononcé "aski") standard est un code sur 7 bits, on peut donc représenter grâce à lui 27 = 128 éléments codés. C'est amplement suffisant pour reproduire toutes les lettres courantes d'un clavier et les fonctions de contrôle comme (RETOUR) et (INTERLIGNE). Le tableau 2-3 contient le code ASCII standard. Dans ce dernier, en plus du groupe binaire de chaque caractère, on a donné l'équivalent hexadécimal.

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0..3

0

1

2

3

4

5

6

7

0

NUL

DLE

Space

0

Nat

P

‘

p

1

SOH

DC1

!

1

A

Q

a

q

2

STX

DC2

"

2

B

R

b

r

3

ETX

DC3

#

3

C

S

c

s

4

EOT

DC4

$

4

D

T

d

t

5

ENQ

NAK

%

5

E

U

e

u

6

ACK

SYN

&

6

F

V

f

v

7

BEL

ETB

’

7

G

W

g

w

8

BS

CAN

(

8

H

X

h

x

9

HT

EM

)

9

I

Y

i

y

A

LF

SUB

*

:

J

Z

j

z

B

VT

ESC

+

;

K

Nat

k

Nat

C

FF

FS

,

<

L

Nat

l

Nat

D

CR

GS

-

=

M

Nat

m

Nat

E

SO

RS

.

>

N

^

n

~

F

SI

US

/

?

O

_

o

DEL

Tableau 2-3 : Liste partielle du code ASCII

Exercice d’application 1.6 : a) Donnez l’équivalent binaire pur du nombre décimal 178. Dans un deuxième temps codez en DCB ce même nombre. b) Combien faut-il de bits pour représenter un nombre décimal de 8 chiffres dans le code DCB ? quel avantage et désavantage y a-t-il lorsqu’on code un nombre décimal en DCB ? c) Codez le message suivant en code ASCII en utilisant la représentation Hexadécimale : (COUT = 72 $) d) Le message suivant en code ASCII est mémorisé dans des emplacements consécutifs dans l’ordinateur : 1010011 1010100 1001111 1010000 Dites quelle est la signification de ce message

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5. EXERCICES Exercice 1 : 1.1. Convertissez en décimal les nombres binaires suivants a) 100100001001 ; b) 1111010111 ; c) 10111111 ; d) 1111,01 ; e)10,1101 1.2. Convertissez en binaire les nombres décimaux suivants : a) 37 ; b) 2313 ; c) 205 ; d) 17,150 e) 3,375 1.3. Indiquez le plus grand nombre décimal que l’on peut représenter avec un nombre binaire de 8 bits. Avec un nombre binaire de 16 bits. Exercice 2 : 2.1. Trouvez l’équivalent décimal de chacun des nombres octaux suivants a) 743 ; b) 36 ; c) 3777 ; d) 257 ; e) 1204 2.2. Trouvez l’équivalent octal de chacun des nombres décimaux suivants a) 59 ; b) 372 ; c) 919 ; d) 65536 ; e) 255 2.3. Donnez la suite des nombres octaux de 165 à 200 Exercice 3 : 3.1. Convertissez en décimal ces nombres hexadécimaux a) 92 ; b) 1A6 ; c) 37FD ; d) 2C0 ; e) 7FF 3.2. Convertissez en hexadécimal ces nombres décimaux a) 75 ; b) 314 ; c) 2048 ; d) 25619 ; e) 4095 3.3. Convertissez en hexadécimal les nombres binaire de l’exercice 1.1 3.4 Trouvez l’équivalent binaire des nombres hexadécimaux de l’exercice 3.1 Exercice 4 : Dans la plupart des micro-ordinateurs, les adresses des emplacements mémoires sont exprimées en hexadécimal. Ces adresses sont des nombres séquentiels qui identifient chacune des cases mémoires. 4.1. Un certain micro-ordinateur peut stocker des nombres de 8 bits dans chacune de ses cases mémoires. Si l’intervalle des adresses mémoires va de (0000) à ( ) , dites combien cet ordinateur a de cases mémoires. 4.2. Un autre micro-ordinateur possède 4096 emplacements en mémoire. Donnez l’intervalle de ces adresses exprimées en hexadécimal. Exercice 5 : 5.1 Codez en DCB les nombres décimaux suivants a) 47 ; b) 962 ; c) 187 ; d) 42, 689,627 ; e) 1204 5.2. Donnez le nombre de bits nécessaire pour représenter les nombres décimaux de l’intervalle 0 à 999 selon le code binaire pur. Selon de code DCB. 5.3. Les nombres suivants sont des nombres DCB. Trouvez leur équivalent décimal. a) 1001011101010010 ; b) 0111011101110101 ; c) 000110000100 ; d) 010010010010 Exercice 6 : 6.1. Exprimez en ASCII l’instruction « X=25/Y » (sans guillemets) 6.2. Les groupes codés suivants doivent être transmis. Associez à chacun un bit de parité paire a) 10110110 ; b) 00101000 ; c) 11110111

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