CH7 Dipole RC

Charge et décharge d’un condensateur. I ) Le condensateur : 1)

Définition : Un condensateur (symbole C) est constitué de deux armatures métalliques, séparés par un isolant. Cet isolant est appelé diélectrique ( air, mica, céramique, Téflon, polyester…).Fig. 7,8,9 p 130

Le symbole est : Un circuit série comportant un condensateur est un circuit ouvert, l'isolant ne laisse pas passer le courant. Un condensateur doit être utilisé en courant variable ou en régime transitoire. Des électrons peuvent s'accumuler sur une des armatures qui se charge négativement et à distance, ils repoussent ceux de l'autre armature qui se charge positivement. La charge globale du condensateur reste nulle. Les charges des armatures ont la même valeur et un signe opposé. 2) Fonctionnement du condensateur : Lorsqu'on réalise un circuit série avec un condensateur, une résistance et un générateur, on observe un courant transitoire d'intensité i. On choisit un sens positif du courant et on l'indique par une flèche sur le circuit. L'intensité est une grandeur algébrique. Si le courant circule dans le sens positif choisi, son intensité est comptée positivement sinon elle est comptée négativement. Lorsque l'interrupteur est en position 1, le courant circule dans le sens positif choisi, les électrons circulent de l'armature A à l'armature B, A se charge positivement, la charge qA positive augmente et B se charge négativement, qB augmente en valeur absolue. . qB = -qA Le condensateur se charge. Lorsque l'interrupteur est en position 2, le courant circule dans le sens négatif, le condensateur se décharge, qA etqB diminuent. La convention récepteur: i et uc sont représentées par des flèches de sens opposés, q est la charge de l'armature A. 3) Relations fondamentales pour un condensateur : a) Relation entre charge du condensateur et intensité : -L'intensité d'un courant constant peut être définir comme un débit de charge électriques, c’est la quantité de charge traversant une section de conducteur par unité de temps :

I

q t

q : charge en coulombs ( C) t : durée de passage du courant en secondes (s) I : intensité en ampères (A).

-Dans le cas d'un courant variable, l’intensité du courant qui arrive sur une armature du condensateur est égale à la dérivée par rapport au temps de la charge portée par cette armature (avec la convention récepteur) on a :

i

dq dt

q t I

: charge de l’armature en coulombs ( C) : temps en secondes (s) : intensité en ampères (A).

Remarque: Cette relation est valable quelque soit le sens de circulation du courant. b) Relation entre charge du condensateur et tension à ses bornes – Capacité d’un condensateur : L’expérience (voir livre fig. 12 et 13 p 131) montre : La charge q d’un condensateur est proportionnelle à la tension u c à ses bornes.

q  C.u c

q : charge de l’armature en coulombs ( C) C : capacité du condensateur en farads (F) uc : tension entre les armatures du condensateur en volts (V)

Remarque: 1 F représente une très grande capacité, on utilise souvent des sous multiples 1mF = 10-3F, 1µF = 10-6F, 1nF = 10-9F (nanofarad) et 1pF = 10-12F (picofarad).

c) Relation entre intensité et tension :

q  C.u c En dérivant on a :

du c dq C dt dt

avec i 

dq on en déduit : dt

iC

duc dt

d) Energie stockée dans un condensateur : Un condensateur emmagasine de l'énergie lorsqu'on le charge et peut la restituer en se déchargeant si on le branche à un circuit.

EC 

1 2 Cu c 2

Remarque : on peut aussi écrire :

E : énergie électrique en joule (J) C : capacité du condensateur en farads (F) uc : tension entre les armatures du condensateur en volts (V)

EC 

1 q2 1 q.u c ou EC  . 2 C 2

e) Continuité de la tension aux bornes du condensateur: L’énergie EC du condensateur ne peut pas varier de façon discontinue, Par conséquent, la charge q ne subit pas de discontinuité. De même la tension aux bornes ne subit pas de variations brutales : c’est une fonction continue du temps. Remarque : l’intensité i est une fonction discontinue du temps.

II ) Etude d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension : 1) Etude expérimentale de la charge d'un condensateur : Un dipôle est soumis à un échelon de tension si la tension électrique appliquée à ses bornes passe brusquement de 0 à une tension constante E, ou inversement si la tension électrique appliquée passe brusquement de la valeur E à la valeur 0. On associe en série un condensateur de capacité C et un conducteur ohmique de résistance R (dipôle RC) et on les soumet à un échelon de tension. L'évolution de la tension aux bornes du dipôle ohmique ou aux bornes du condensateur peut être visualisée à l'aide d'un oscilloscope à mémoire ou d'ordinateur muni d'une interface (T.P.) L'évolution de l'intensité du courant peut être visualisée à l'aide de l'ordinateur. On mesure la tension uR aux bornes du dipôle ohmique puis, en tenant compte de la loi d'Ohm (uR=R x i), l'ordinateur calcule et trace la courbe i = uR / R.

2) Etude de la tension lors de la charge. Le condensateur est initialement déchargé uc = 0 et Q = 0 L’interrupteur K est basculé en position 1 à l’instant t = 0. a) Etablissement de l’équation différentielle. Loi d'additivité des tensions du circuit : uR + uC = E Loi d'Ohm pour la résistance : uR = R . i Selon la convention récepteur : Equation différentielle :

du du dq dq  C c donc : u R  RC c , q = C.uC  dt dt dt qt du RC c  u c  E dt

i

b) Solution de l’équation différentielle. La solution de l’équation différentielle est de la forme : uc = A + B

e



t



(A,B et  étant des constantes)

t

t

du c B  B    e  0  e  Dérivée par rapport au temps de uc : dt   t t  du c B  En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient :  RC e   A  Be   E  dt t  1  (1  RC ) Be  A  E



L’équation différentielle doit être vérifiée à tout instant or la valeur il faut donc : A = E et  = RC. D’où uc = E + B

e

e



t



varie avec le temps,

t  RC

La condition initiale va permettre de déterminer la valeur de B. Au départ : uc = 0 et q = 0 soit 0 = E + B donc B = - E D’où : uc = E - E

e



t RC

soit :

uc = E(1 -

e



t RC

) = E(1 -

e



t



) tension pendant la charge.

c)Courbe théorique uc = f(t). uc = E(1 -

e



t RC

)

le condensateur se charge, sa tension croît plus ou moins rapidement (régime transitoire t  5) pour atteindre la valeur de la tension imposée par le générateur de tension constante E (régime permanent t  5), l'intensité du courant s'annule

d)Constante de temps  = RC. Signification :  = RC est appelé constante de temps du dipôle RC et s’exprime en seconde (si R est en ohm () et C en farad (F) (voir analyse dimensionnelle). La durée  = RC est caractéristique de l’évolution du système.  donne un ordre de grandeur du temps que met la tension uc pour atteindre la valeur E. ► Plus R est grande, plus uc met de temps pour tendre vers E. ► Plus C est grande, plus uc met de temps pour tendre vers E. voir annexe Détermination graphique : uc = E(1 -

e



t RC

t

du c E  RC  e dt RC

) 

La tangente à l’origine à pour équation y = a.t :

E

Pour y = E on a :

E t RC



a

du c (0) E  dt RC



y

E t RC

t = RC

-La tangente à l’origine coupe l’asymptote horizontale y = E au point t = RC =  -la tension aux bornes du condensateur atteint, au bout de la durée  = RC la valeur : uc() = E(1 -

e



 RC

) = E(1 – e-1) = E(1 -

1 )  0,63.E e

-La tension aux bornes du condensateur atteint, au bout de la durée 5 = 5RC, la valeur : uc(5) = E(1 -

e



5 RC

) = E(1 – e-5)  0,99.E le condensateur est considéré comme chargé.

Analyse dimentionnelle de  = RC : [RC] = [R].[C] avec R =

C=

q  uc

C   Q U 

U I 

 [R] = [U].[I]-1

C   I . T  U 



C   I . T U 1

Donc la constante  = RC à la dimension d’une durée.



RC   U . I 1 I T U 1



RC   T 

e)Réponse en courant lors de la charge. uc = E(1 -

e



t RC

)

dq , q =C.uc  i dt

t

t

du E  RC E  RC iC c C e  e dt RC R

t

i



E  RC e R

Le condensateur se charge. Le courant circule dans le sens positif. L’intensité, maximale à l’instant initial, décroit plus ou moins rapidement ( régime transitoire) pour atteindre la valeur nulle (régime permanent) quand le condensateur est complètement chargé. 3) Etude de la tension lors de la décharge. Le condensateur est chargé ; uc = E ; Q = CE L’interrupteur K est basculé en position 2 à l’instant t = 0 a) Etablissement de l’équation différentielle. Loi d'additivité des tensions du circuit : uR + uC = 0 Loi d'Ohm pour la résistance : uR = R . i Selon la convention récepteur : donc :

u R  RC

i

du dq dq , q = C.uC  C c dt dt qt

RC

du c  uc  0 dt

du c dt

Equation différentielle :

b) Solution de l’équation différentielle. On applique la méthode du paragraphe 2.b. En tenant compte des conditions initiales et des paramètres du circuit, la solution est :

u c  E.e



t RC

 E.e



t



tension pendant la décharge.

c)Courbe théorique uc = f(t).

u c  E.e



t RC

Le condensateur se décharge, sa tension décroît plus ou moins rapidement (régime transitoire) pour atteindre la valeur nulle (régime permanent) quand il est complètement déchargé.

d)Constante de temps  = RC.

u c  E.e



t

t RC

du c E  RC  e dt RC



La tangente à l’origine à pour équation y = a.t + b: At=0 , y=b 

E=b



y

a

du c (0) E  dt RC



y

E tE RC

La tangente à l’origine coupe l’axe des temps quand y = 0 au point t = RC =  La tension aux bornes du condensateur atteint, au bout de la durée  = RC , la valeur :

u c ( )  E.e



 RC

 E.e 1 

E  0,37.E e

La tension aux bornes du condensateur atteint, au bout de la durée 5 = 5RC, la valeur :

u c (5 )  E.e



5 RC

 E.e 5  0 le condensateur est considéré comme déchargé.

E t b RC

e)Réponse en courant lors de la décharge. uc = E e



t RC t

t

du c E  RC E  dq , q =C.uc  i  C  C e   e RC i dt RC R dt t



i

E  RC e R

Le condensateur se décharge. Le courant circule dans le sens inverse du sens positif. L’intensité, minimale à l’instant initial, croît plus ou moins rapidement (régime transitoire) pour atteindre la valeur nulle (régime permanent) quand le condensateur est complètement déchargé. ANNEXE.

R1 = 3 k ; R2 = 5,6 k ; R3 = 10 k .

C1 = 5 nF ; C2 = 10 nF ; C1 = 20 nF .