CG

Teoría de la información y métodos de codificación. Detección y correc corrección ción de error errores. es. M.C Said Zamora.

Códigos de Reed Solomon. •

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Codifica grupos de bits, símb símbol olos os o coefi oefici cien enttes. es.

llamados

dígitos,

Un digito se declara libre de errores solamente si todos sus bits lo son, de lo contrario se les decl declar ara a como omo corru orrup ptos. tos. 10110111 11001111 01001011 01011101 1011 101101 0101 01 1100 110011 1111 11 0111 011100 0001 01 0101 010111 1101 01

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Si se desea enviar una cadena de texto de longitud k, Reed Solomon enviará n dígitos de acu acuerdo a

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 =  + 2

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donde s es el numero de dígitos corruptos.

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Si existen j dígitos distintos, se debe realizar el mapeo de entre esos dígitos y los elementos de un campo F con j elementos. Para un mensaje con k dígitos, los cuales son m0 a mk-1, se obtiene un polinomio de la forma   = 0 +   +    + … + −  −

Los coeficientes de este polinomio son elemen mentos de F.

Construcción del campo F

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Grupos: Tupla del tipo (G,x,1) donde G es un conjunto de elementos, x, un operador binario y 1 ∈ G es la identidad.

Propiedades del conjunto G. •

x es cerrado.

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Para toda a,b ∈ G, a x b ∈ G.

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x es asociativo.

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Para toda a, b, c ∈ G, (a x b) x c = a x (b x c)

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Para toda a ∈ G, a x 1 = 1 x a = a

Propiedades del conjunto G. •

Para cada a ∈ G existe un elemento − ∈ G tal que    − =   1   = 1.

Campo. •

Tupla (F,+,x,0,1) donde F es el conjunto de elementos, + es el operador aditivo, x es el oper operad ador or mult multip ipli liccativ tivo, 0 ∈ F es la identidad aditiva y 1 ∈ F es la identidad dad mul multipli plicativ tiva.

Propiedades de F. •

(F, +, 0) forma un grupo.

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X es asociativa y se distribuye en +.

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(F/0, (F/0, x, 1) forma un grupo.

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Un campo puede incluir números reales, complejos y racionales.

Campo de Galois •

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Para cada p prima y numero natural r existe un campo finito con p^r números. Cualquier campo de esa magnitud es isomórfico con un campo de Galois. El campo de Galois se construye mediante Zp(x), el conjunto de polinomios con coefi oefici cien enttes en Zp. Zp.

F = Z2 •

0+0=0

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0+1=1

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1+0=1

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1+1=0

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Considerando a y b como elementos de Z2(x), entonces A(x) = x^2 +x , b(x) = x por lo que la adición queda como: A(x) = 1x^2 + 1x B(x) = 0x^2+ 1x A(x) + b(x) = 1x^2+0x =x^2