Cesar Vallejo-Proporcionalidad, Semejanza, Relaciones Metricas

 

 

2 Preguntas propuestas

Semestral UNI

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• Aptitud Académica • Cultura General • Matemática • Ciencias Naturales

Geometría

 

Proporcionalidad de segmentos

4.

 DM 

NIVEL BÁSICO 1.

 AC 

 ET  TM .

.

 A) 1/3 D) 1/8

En el gráfico,  A  y T   son puntos de tangencia. Calcule

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior  BD y la mediana  BM . Si AB=3 y BC =5, =5, calcule

5.

B) 1/5

C) 2/7 E) 2/5

Si AB=6; BC =7 =7 y AC =8, =8, calcule

 AD  AE 

.

 B

 E  T 

 E   D  A

 

 M  α α

 A) 1/5 D) 2/7 2.

B) 1/4

C) 1/3 E) 1/6

 A

 

C 

 A) 1/2 B) 2/3 C) 2/5 D) 3/5 E) 4/7

En el gráfico, AB=5 y BC =20. =20. Calcule BP.  B  P

α

θ θ

α α

6.

 A

 

C 

 BC =17, =17, calcule

 A) 3 D) 6 3.

En el gráfico, IE ∩ BC ={G}. Si AB=26; AC =25 =25 y

B) 4

C) 5 E) 8

En el gráfico, BC=a, CD=b y DE=c. Calcule

 AF   FE 

 IG GE 

.

.

 B  E 

 B C  G

 D  I 

 

 A

 A)

D)

 F 

a+ b c−a

 

2a + b c−a

B)

 

2a + b a+ c

 

 E 

C)

E)

2 (  a + b) c−a a+ b

2c − a

 

 A

C 

 A) 2/3 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/4 E) 4/7

2

Geometría

 

 A) 1/7 D) 3/5

NIVEL INTERMEDIO 7.

En un triángulo  ABC , la circunferencia inscrita es tangente a BC  en  en M . Luego, se traza MN  // AB. Si AB=9; BC =5 =5 y AC =6, =6, halle AN ( N  ∈ AC   AC ). ).  A) 5/2 D) 25/3

8.

B) 5/3

12.

C) 10/3 E) 25/6

 A

 E  C   D

 B

 

9.

B) 2/3

C) 4/3 E) 4

 A) 17 D) 27

 M  θ

 A

θ

C

 A) 6 D) 14

B) 9

 A) 2 D) 5/2

C) 12 E) 16

En el gráfico, BC =4( =4( AB), calcule

 AC   DE 

14.

.

 MN   NQ

.

B) 3/2

C) 3 E) 4

En un triángulo  ABC , se ubican los puntos  M    y  N   en  AB  y  BC , respectivamente, tal que  MN    

α

Q; luego, interseca a la prolongación de  AC  en  en se traza  MR  // BC  , además,  AR=RQ . Si  AM  =10; =10;  MB=6 y MN =9, =9, calcule NQ.

α  D

En un triángulo  ABC , se ubican los puntos  M  y  y  N  en  en  AB y  BC , de modo que  MN  interseca a la prolongación de AC  en  en Q; además, AM =3( =3( MB)  y BN =3( =3( NC ). ). Calcule

D

 B

 A

C 

β

 A) 3 D) 6

β

B) 4

C) 5 E) 9

 E 

 

15.

 A) 3/4 D) 4/3 11.

C) 24 E) 35

 

 B

10.

B) 21

En el gráfico, BM=MC =2 =2 y AC =6. =6. Calcule CD. 13.

 

C) 2/5 E) 8/3

En el gráfico mostrado, A, B y C  son  son puntos de tangencia. Si 2( AE )=5( )=5( AD) y BD=14, halle BE .

En un triángulo  ABC , se traza la mediana  BM    y las cevianas interiores  AD  y CE , concurrentes con dicha mediana, tal que, AE =4; =4; CD=6 y  BE =2. =2. Halle BM .  A) 2 D) 3

B) 2/9

B) 1

C) 3/2 E) 5/4

En un triángulo  ABC , cuyo circuncentro es O, su circunradio mide 6. La bisectriz interior  BM   interseca a OH   en  F   ( BH : altura). Si  BH =8 =8 y OF =2, =2, calcule HF . 3

En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior  BD tal que AB=8; BC =12; =12; AD=4 y CD=9. En los triángulos  ABD y  BCD se trazan las bisectrices interiores AM  y  y CN , halle  A) 1/3 D) 3/5

B) 2/3

 MN 

.

 DM 

C) 2/5 E) 2/7

Geometría

 

16.

En la prolongación  AD de un rombo  ABCD, se ubica E , tal que, BE  interseca  interseca a CD y AC  en M  y N , respectivamente; además,  B,  N ,  M  y  y  E  forman   forman 2 una cuaterna armónica. Si ( AC ) +(CE )2=36, halle BC+DE .  A) 18

B) 12

D) 6

18.

 

 A) 90º D) 60º

C) 9 E) 3 3

19.

NIVEL AVANZADO 17.

Tiene un triángulo rectángulo, el segmento que une al incentro y al baricentro de dicho triángulo es paralelo a uno de los catetos. Calcule una de las medidas angulares interiores.

En un triángulo  ABC , sobre  AB y  BC  BC se ubican  D y  E , respectivamente tal que,  DE  interseca a  AC  en  en F . Si EF =8, =8, CE =5 =5 y ( BD)( AF )=( )=( AD)( BE ), ), calcule m ACB   . B) 74º

C) 76º E) 53º

En un triángulo escaleno  ABC , se trazan las cevianas concurrentes  AD,  BE  y CF , tal que, m BEF    =m BED =m   . Calcule m BEC    .  A) 30º D) 75º

B) 45º

C) 60º E) 90º

 A) 30º B) 37º

En un trapezoide ABCD, se traza una recta que contiene a los puntos medios de las diagonales, que interseca a  AB y CD en  M  y  N , respectivamente. Si AM =6; =6; BM =8 =8 y DN =12, =12, calcule CN .

C) D) 45º 37º/2 E) 53º/2

 A) 4 D) 12

20.

B) 7

4

C) 9 E) 16

Geometría

 

Semejanza de triángulos

 A) 4/3 D) 8/5

B) 5/4

C) 6/5 E) 5/3

NIVEL BÁSICO 1.

 

4.

Según el gráfico,  ABCD  y  BEFG son paralelogramos. Si AB=8 y AD=12, calcule BE – EC .

     

A) 1,2 B) 2,1 C) 4,2 D) 2,4 E) 4,8

En el gráfico, A es punto de tangencia. Calcule

 B

 AB  BC 

 E 

C 

G

 F 

α α

 A  A

   A) 1

B

B)

C 

2   2

C) 1/2

D) 2/3 2.

5.

 BC   BD

.

E) 1/3

En el gráfico, 2( AR)=3( AE ). ). Calcule

 AS  SR

 A) 2 D) 6/5

. 6.

α α

 E  θ

 A

 I 

 A) 2/3 D) 4/5

 

B) 3/4

R

D)

C) 2/5 E) 4/9

Se muestra un cuadrado ABCD, en el que T  es  es punto de tangencia. Calcule

CS  ST 

 B

B) 3/2

C) 4/3 E) 5/3

Se tienen 2 circunferencias tangentes exteriores, tangentes en M , cuyos radios miden a y  b. Halle la distancia de  M  hacia  hacia una de las rectas tangentes comunes exteriores.  A)

θ

3.

En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior  BD, al que, m ABD   =m ACB   ,  AB=6 y CD=5. Calcule

 S

 

 D

ab

 

ab a+ b

C) 2   ab

B) 2ab    

E)

2ab a+ b

NIVEL INTERMEDIO 7.

En el gráfico, AC =4( =4(CO)=8. Calcule R.

. C 

 R

C 

O

 S T 

 

 

 A

 D

5

 A

 A) 3 2   D) 10  

B) 2

5

 

C) 2 E) 4

3

Geometría

 

8.

Según el gráfico,  AB=12;  AC =16; =16;  HP=4 y  BM=MC . Calcule HQ.

12.

En un triángulo  ABC , se traza la ceviana interior  BD, tal que, m ACB   =2(m ABD   ),  AB=6 y  AD=4. Halle el semiperímetro de la región ABC .

 B

 A) 6,5 B) 7 C) 7,5 D) 8 E) 8,5

 M 

 P  H 

Q

 A

   A) 2 D) 5 9.

C 

B) 3

13.

C) 6 E) 16/3

En un triángulo ABC , AB=6; BC =7 =7 y AC =8. =8. Calcule la distancia entre el incentro y el baricentro de ABC .

En un triángulo ABC , recto en B, se traza la altura BH ; en los triángulos ABH  y   y  BHC  BHC se trazan las alturas HM  y  y HN , respectivamente; en los triángulos AMH  y  y HNC  se  se trazan las alturas MF y NG, respectivamente; luego, en el triángulo HNG se traza la altura GI  y  y en el triángulo t riángulo HIG se traza la altura IE . Si MF=a y GN=b, calcule IE . ab

 A)  A) 1 D) 1/3 10.

B) 2

C) 1/2 E) 2/3

D)

En el gráfico, ( AB)(CE )=32, )=32, ES=8(CD). Halle ES.

14.

ab

 

2ab a+ b

B) 2   ab  

C)

 

E)

a+ b a+ b

3

En el gráfico mostrado, el  ABC  es  es equilátero; además, AE =18 =18 y AD=8. Halle AB.

 A  B C  θ

 S

 B

 D

E   D

θ

 A

 

C 

 E 

   A) 4 D) 12 11.

B) 6

C) 8 E) 16

En un triángulo, las longitudes de sus lados son números enteros consecutivos; además, la medida del mayor ángulo interior es el doble del menor ángulo interior. Halle el perímetro de la región triangular inicial.  A) 17 D) 15

B) 18

C) 19 E) 12

 A) 12 D) 13 15.

B) 16

C) 10 E) 9

En un triángulo ABC , la mediatriz de AC  interse interseca a la circunferencia circunscrita en P, y AP  AP  interseca a BC en D, tal que, AD=6 y AB=4( BD). Halle PD.  A) 1/2 D) 3/2

B) 1

6

C) 2 E) 3

Geometría

 

16.

En la figura,  AB  y  AC   son diámetros, además CT es tangente al arco  AB, AB=BC =2 =2 r y ET =4. =4. Calcule r .

 A) 2/3 D) 4/5

  

19.

 E 

 D

B) 3/2

C) 2 E) 6/5

En un triángulo isósceles,  R es radio de la circunferencia inscrita, y r , el radio de la circunferencia tangente a la primera circunferencia, y tangente a los lados laterales. Halle la longitud

T 

de la altura relativa a la base.  A)  A

 

B

C 

D)  A) 2   D) 6  

B) 3  

C) 2 E) 2

3

20.

 Rr   R − r 

2 R 2  R + r 

 

B)

 Rr 

 

 R

2

 R + r 

2 E) 2 R

 

 R − r 

En el gráfico, M , N y T son puntos de tangencia. Si TO'=2 y O L  'L=1, calcule

NIVEL AVANZADO

C)

TP  PQ

.

T  17.

En un triángulo  ABC , se trazan las cevianas  BD  y  AE , tal que  I   y G  son incentro y baricentro de  ABD  y  BDC , respectivamente. Si m ABD   =2(m ACB   ),  IG // AC ;  AB=6 y  BD=8; calcule  A) 1 D) 4

18.

 EC   EB

O  M   L

'

 

 P

O

.

 N 

B) 2

C) 3 E) 5

En un trapecio rectángulo  ABCD, recto en  A  y  B, se traza una semicircunferencia de diámetro  AB, la cual es tangente a CD  en T . Si  AD=3 y  BC =2, =2, calcule ET  (  ( E : punto de intersección de  AC  y  y BD).

7

Q

   A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 4/5 E) 3/4

Geometría

 

Relaciones métricas I

4.

En el gráfico, calcule BC , si AH =2; =2; AB // HG  y G  es baricentro de la región triangular ABC .

NIVEL BÁSICO  B 1.

En el gráfico, Calcule AB.

   =  2 α   m AB

y ( MB)( BN )=8. )=8. G

 A

 A

 A) 3 D) 3

O

α

 M 

 N 

 B

5.

C 

 H 

B) 2 2   2

C) 2 3 E) 3 3

 

En el gráfico, DE=EB y ( AB)( BC )=8. )=8. Calcule BC .  D

 E 

   A) 4 D) 2 2.

B) 4

 A

C) 2 2 E) 8

 

2

C   B

En el gráfico,  P  y T   son puntos de tangencia. Si un punto del arco  PT  dista   dista de las tangentes 9 u y 8 u. Calcule el radio de d e la circunferencia.

 F 

   A) 1 D) 5

 P

B) 2

C) 4 E) 4,5

6.

Según el gráfico, T   es punto de tangencia y  ABCD es un cuadrado. Si  MD=3 y  MB=2, calcule BP.

T 

 P

 A) 5 u

B)

145 34

D) 17 u 3.

u

 

C) 29 u  A

E) 19 u

En un triángulo  ABC ,  AB=8;  BC =6 =6 y  AC =7. =7. Si la tangente trazada a la circunferencia circunscrita, trazada por B , interseca a  AC  en T , calcule TB.

B

 M  T 

 

 A) 8,5 D) 10,5

B) 9,8

C) 10 E) 12

 D

   A) 2 D) 6

C 

B) 4

8

C) 5 E) 3

Geometría

 

 E 

NIVEL INTERMEDIO

 

 B 7.

C 

Del gráfico, calcule ( AT   punto de  AT ))((TB) siendo T  punto tangencia.  A

 

 B

 A) 10 D) 25 10. 4   2

 D

O

B) 15

C) 20 E) 40

Según el gráfico mostrado, A, B, C  y  y D son puntos de tangencia. Si GE =3; =3;  FE =4 =4 y  EB=5, calcule la longitud del segmento AG.

T 

 A  B G

 A

 

 E   F 

 A) 60 D) 71 8.

B) 106

 D

C) 96 E) 84

C 

   A) 3 D) 6

Según el gráfico, r =20, =20, calcule AB.  A

11.

B) 4

C) 5 E) 9

En el gráfico mostrado, se muestran dos d os semicircunferencias. Si AM=MB, halle

 BC  CD

.

 A

 M 

 B

37º  r 

 A) 1 D) 1/3

   A)

2 14  

D) 5

9.

 B

 

B) 3

14  

C) 4

7 

E)

7

6 7

Si O  es el centro de la circunferencia, mostrada, además, ( AB)( AC )+( )+( BD)( DE )=400, )=400, halle AD.

9

12.

B) 2/3

C 

 D

C) 1/2 E) 1/4

En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo  ABC , se ubica el punto  N . En  AB  se ubica el punto medio M . Si la m MNC    =m BCA =m   ; AN =3 =3  y NC =7, =7, calcule la m BMC    .  A) 37º D) 45º

B) 53º

C) 60º E) 54º

 

Geometría

 

13.

En el triángulo  ABC , BM=MH=b y  AH=HC=a. Calcule NQ si Q es punto medio de BC .

16.

Según el gráfico,  AB=CD,  AQ=QP  y  DP=12. Calcule BC .

 B

Q

 M  Q  N 

 A)

2 a

+

2 2

D)

14.

2b2

4 b

−

 H 

  B)

C 

2 b2 − a2   C) 2

 

2

 D

 A) 15 D) 9 2   2

a

+

2 a

E)

+

B) 18

C) 12 E) 9 3

2

4b

2

2

a

 A

 

 A

 

C 

 P

 B

NIVEL AVANZADO 2 b 17.

En el gráfico, M , N , P y Q son puntos de tangencia, de modo que MN=a. Calcule PQ.

La circunferencia exinscrita relativa al lado BC de un triángulo equilátero  ABC , interseca a la prolongación del  AC   en  D, tal que,  BD = 7 . Calcule la distancia del centro de dicha circunferencia hacia BD.

 N   M   P Q

 A) D)

7 3

 

2 7

B)

21 7

 

 

14

C)

2 21

E)

 A)  a  D) a 3  

3

3 15.

 

3

En el gráfico, OBCD es un cuadrado, además

18.

Q,  T   y  F  son   son puntos de tangencia. Calcule CQ  en función de los radios R y r .

C) a 2 E) a 5

B) 2a 

En la figura,  ABCD es un cuadrado. Si  PB=a y CT=b, calcule  BC , siendo  A,  P  y T   puntos de tangencia.  B

 B

C   P

Q

T 

 r   F  T 

   A) D)

 R

2

−

( R + r ) 2

2

r 

 

 

O

B) 2   Rr   

C 

 A

 R  D

C)

 R + r 

E)

 R

2

 D

 

 Rr 

+

a2

+

b2

  B)

2 a a

+

2 b

 

 A)  b 2

r 

D)

10

 b2

−

a2

  C) a E)

b2

−

 b ab

a2

 

Geometría

 

19.

Según el gráfico, T  es  es punto de tangencia BN =1 =1

 A)

 y TC =9. =9. Calcule MC .

D)

4 3 4 3 7

 

B)

4 3 3

 

 

C) E)

4 3 5 3 11

 M  20.

 B

En una semicircunferencia de diámetro  AB  y centro O, se trazan 2 circunferencias, ambas

 N 

 AB

 M   N 

tangentes al arco  en al ydiámetro , respectivamente, y también tangentes en  P  y Q, de modo que NP y MQ se intersecan en S. Calcule MS si PS=SN =2( =2( SQ)=4.

T 

α α

 A

C 

 

11

 A) 4 D) 12

B) 6

C) 8 E) 16

Geometría

 

Relaciones métricas II

T 

 P

NIVEL BÁSICO

 E   A

1.

 B

5.

 M 

C 

 A

 A) 4

10

D) 4

5

5 2

B) 3

C) 2

5

 

10

E) 10

 D

C) 65 E) 55

Del gráfico, calcule ( PQ)2 – ( PM )2 si se sabe que ( AB)2 – ( BC )2=4; AQ=  AQ=QH  QH  y  y HM=MC .

B) 6  

 

10

D)

B) 50

 

En un cuadrado  ABCD con centro en  A y radio  AB, se traza un cuadrante BAD, tal que en  BD se ubica P, además, PD=1, y  BP   = 2 2 . Halle PC .  A)

6.

3.

 

C 

  

 P

 A) 25 D) 45

α

 M 

 

En el gráfico, ABCD es un rombo, además BM=MC , AM =13 =13 y MD=9. 2 Calcule PC  +( MP)( PD).

 

Q

α

 A) a2+ b2 B)  b2 – a2 C) a( b2 – a2) D) a2+ b2 – 2ab E) a2 – b2+2ab 2.

 B

Se tiene un rectángulo  ABCD. En  BC  se   se ubica 2  P, tal que AP=PC=a y AD=b. Calcule ( DP) .

2

 

E)

10

Dado un cuadrado  ABCD, sobre  AB  se ubica el punto  E   y con diámetro  BC   y  AE   se trazan semicircunferencias tangentes en T   de centros O y O', respectivamente. Si EB=2 y H  es  es la proyección ortogonal de O sobre O'C , calcule 2 2 O H   'H   – HC  .  A) 1

 P

C) 2 2

B) 4

D) 16

C) 9 E) 25

NIVEL INTERMEDIO  B 7.

 A

   A) 2   D) 1 4.

Q

 H

B) 2

M 

En un triángulo ABC , la bisectriz interior BD y las cevianas interiores  AE  y CF   son concurrentes en P. Si AF =3; =3; BF =5; =5; BE =4 =4 y AE =6, =6, calcule BP  BP..

C 

C) 2 2 E) 4

En el gráfico, B, T  y  y E  son  son puntos de tangencia, además  AM   =  6 5  y (QP)( PC )=20. )=20. Calcule AP.

 A) 3   B)

2 3

 

3 2

C) D) 6   E)

2 6

12

   

Geometría

 

8.

En un triángulo ABC , recto en B, BD es bisectriz interior. Si sabemos que BC =6 =6 y AB=4, calcule la longitud BD.  A) D)

6 2 5

 

12 2

B) 3

2

 

C) 2

 

E)

B)  t 2 12.

24 2

5 9.

3

 A)  t2 

5

C)  t 2 2

B) 2 t2 

2

C)  t 2

 

3

En el gráfico, calcule OM   si si  M  es  es punto medio de  ED  y  ABCD  es un cuadrado de centro O; considere que  AB=. Considere a la circunferencia inscrita en el cuadrado.

En el gráfico, BD es diámetro de la circunferenc ircunferencia de centro O,  MN  tangente,   tangente,  BM  secante.   secante. Si  AB=5, MN =12, =12, calcule BM .

 B

C   E 

 A  M 

O  B

D O

C 

 N 

 A

 A)  M 

   A) 17 D) 8 10.

D)

B) 15

C) 13 E) 7

13.

Un triángulo  ABC , si  AB=26;  BC =25 =25 y  AC =17, =17, calcule el radio de la circunferencia inscrita.  A)

4

 2 4

 2 5

 D

 

B)



2   2

 

C) E)

 2 3

 2 6

En el gráfico, el triángulo  ABC   es equilátero, T   es punto de tangencia y  NL=12. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BL y CN .  B

11  

B)

15

 

C) 4

3

D) 6 11.

E)

3

17

4

 N 

En el gráfico, si C , M  y  y N  son  son puntos de tangen2 cia y AC · BC=t , calcule ( MN )2 – ( MC )2.

 

T 

 N   A  B

 A

 M 

   A) 4 B) 6

C 

C) 8 D) 2 E) 3

  13

 L

C 

Geometría

 

14.

Según el gráfico, T  y Q son puntos de tangencia, CE =3, =3, BP=5 y AL=4, calcule x.  B

2 

 A)

B)

3

 

2

C)

D) 1

C 18.

 E 

2 3 3

E) 2

En el gráfico, AC  y  y AB son diámetros. Calcule x  si AC =18 =18 y AB=8.

 P T 

 R  L  x

 x  A

 

Q  A

   A) 37º D) 30º

15.

B) 53º

C) 53º/2 E) 45º

 A) D)

Se tiene un heptágono regular  ABCDEFG. Si 1

 AC=b, AD=c y a

1 +

16.

b

5,

B) 5

calcule la longitud de

19.

C) 10 E) 1/10

En un trapecio isósceles  ABCD,  AB=BC=C  AB=BC=CD D  y  AD=BD, calcule

 A) D)

1 2

  5

 AD

+1

2

2

 

C) E)

5

288 169

 

 

C) E)

432 169

657 169

Se tiene un triángulo  ABC , de circuncentro O e incentro  I . Si  AB=5,  BC =7 =7 y m BIO   =90, calcule AC . B) 6,5

C) 8 E) 9

Según el gráfico AB=1, BC =2, =2, CD=3 y  AD=4, AMNP es un rectángulo. Calcule ( MC )2+(CP)2 – (CN )2.  M

N 

4 5

 

 B

−1

C 

2

 A

 D

 P

 

En un cuadrado ABCD, tomando como centros  A  y  D  se trazan los cuadrantes  BAD  y  ADC ; luego, en  AC  y BD se ubican  M   y   N , tal que,  AM   = 3 y MN =2. =2. Si m AMN    =90º, halle ND. =90º,  

169

+1

NIVEL AVANZADO 17.

20.

.

5

 

576

B)

 A) 5,5 D) 6

 BC 

B)

169

 

C 

1 =

lado del heptágono.  A) 6 D) 1/5

720

B

 A)

 

D)

22 7

55 7

 

B)

 

33 7

 

C) E)

14

44 7 66 7

   

Geometría

 

 Áreas de regiones triangulares

 A) 1/2 D) 3/4

NIVEL BÁSICO 1.

4.

En el gráfico,  ABCD  es un cuadrado. Si TD=2( NT )=6, )=6, calcule el área de la región

B) 2/3

C) 1 E) 1/3

Según el gráfico, T   es punto de tangencia. Calcule la razón de áreas de las regiones TBC    y ABC . T 

sombreada.  B

C   B

 N  T 

 

 A

C 

 A) 1/3 D) 2/3

B) 1/2

C) 1 E) 3/4

23º

 A

   A) 16 D) 14,4

 D

B) 13,6

5.

C) 16,2 E) 16,8

En el gráfico  A , B  y C son las áreas de las regiones sombreadas. Si  AN=NM =2( =2( MO), encuentre la relación entre A, B y C .  A

2.

Del gráfico,  ABCD  es un paralelogramo; si 3( AE )=4( )=4( BE ) y CM=MD, calcule la razón de área de las regiones EFG y GMF .  B

 A 

 N 

C   M 

G

B

C

 E 

 M 

C 

O

 

 F   A

   A) 3/4 D) 6/7 3.

 A) A =B+C  B) B= A +C  C) 2 A =B+C D) b+2c= A   E)  A +2 +2c=b

 D

B) 4/3

C) 5/6 E) 5/7

6.

En el gráfico, T   y Q son puntos de tangencia. Calcule el área de la región sombreada. T 

En el gráfico, si m BAH    =m AQH  =m   , calcule la razón de la área de las regiones sombreadas.

2

 B

Q

6

  Q

 

 A

 H 

C 

15

 A) 6 D) 8

B) 7

C) 9 E) 10

 

Geometría

 

10.

NIVEL INTERMEDIO 7.

En el gráfico, calcule el área de la región cuadrada  ABCD si el área de la región sombreada es 18 u2.  B

 B Q

C 

 A

   A) 34 u2  D) 40 u2 

 M 

T 

 A

 A) 12 D) 20

 D

B) 36 u2 

 N 

 P

 

8.

En el gráfico, P, Q y T  son  son puntos de tangencia. Si ( AM )( )( MB)+( BN )( )( NC )=19, )=19, calcule el área de la región triangular ABC .

C) 45 u2 E) 42 u2

11.

C 

B) 16

C) 18 E) 24

Según el gráfico, P, Q y R son puntos medios de  BC ,  AP  y QC , respectivamente, ¿qué parte del área de la región ABC es la región sombreada?

Según el gráfico, m BA  BAC    C =37º =37º y ( R)( AM )=25 )=25 u2. Calcule el área de la región sombreada.

 B

 P C 

Q  R  R

 A

 

B

2

2

 A) 12 u2  D) 18 u   9.

 M 

2

B) 10 u  

 A

C 

   

A) 1/2 D) 5/8

12.

Del gráfico, T   es punto de tangencia; 2( PT )=3( )=3( AP). Si el área de la región triangular 2 TAP es 8 u , calcule el área de la región sombreada.

C) 15 u E) 20 u2

B) 2/3

Según la figura, AB // FD,  FC   =   5 m ( A, D, M  y  y F   son puntos de tangencia). Calcule el área de la región sombreada.

T 

   A)

 

5 m

B) 2

2  

10 m 2

2

 P

 A

 B

 

C) 3/5 E) 7/10

 

C) 10 m

D) 20 m2  E) 40

 F   B

m2

 M   A

C   D

   A) 6 D) 9

B) 10

16

C) 8 E) 5

   

Geometría

 

13.

Según el gráfico, T   es punto de tangencia. Si  AD=2( DC )=8 )=8 m, calcule el área de la región triangular ABO.  B

 A)

 Rr 

2

 

B) Rr

C) 2 Rr 

D) 2Rr 16.

T 

E) 2 2 Rr 

En un triángulo de área S se unen los puntos medios de sus lados; sobre el nuevo triángulo se unen sus tres puntos medios de sus lados, de este modo se prosigue sucesivamente con los siguientes. Calcule el límite de la suma de las áreas de los triángulos así formados.

 A

 

O

C 

 A) 2

 A) 11 m   D) 14.

 D

B)

 

6 3 m

2

 

12 3 m

2

  C)

 

E)

 

2

 

2

3 3 m 4 3 m

D)

Si A, B, C  y  y D son puntos de tangencia y AB=BM , calcule

4 4S 3

 

B)

S

4

 

C)

 

E)

S

3 S

2

NIVEL AVANZADO

 a  B

3S

.  M 

17.

 B  A

Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si  AD=3 u y  BD=1 u ( D  y C   son puntos de tangencia).

B

 A

 A 

 D C

 

D

 A) 1/2

B) 1/4

C) 2/3

D) 1/3 15.

 B

   A) 6 u2   2 B) 2 3 u C) ( 7 − 1) u  2 D) 4 3 u  2 E) ( 7 + 1) u  2

E) 3/4

En el gráfico, A, C  y  y T  son  son puntos de tangencia. Si m AM = m MT , calcule el área de la región  

C 

 

 AMB si m AT  = 106º .   

18.

 B

 M  T 

 R

 r 

 

 A

C 

17

Calcule la razón de las áreas de dos regiones triangulares, sabiendo que las longitudes de los lados de uno de ellos son iguales a las longitudes de las medianas del otro.  A) 2/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 3/2 E) 4/3

Geometría

 

19.

Según el gráfico, el producto de las áreas de las regiones sombreadas AGM y NIC  es  es 64. Calcule GI .

20.

En el gráfico, si m PQT  = 120º;  AB=a  y  BT=b, calcule la razón de áreas de las regiones sombreadas. Considere que  P  y T   son puntos de tangencia.   

 B

 P  N 

Q

 A

 M 

 B

 

 A

G

 E 

I 

C 

T 

 A) 4 B) 4 2   C) 8 D) 8 2   E) 16

   A) D)

a  b

 

a+ b  b − a

B)  

2 a 2  b

 

C) E)

18

a  b

3

 a  b

     

Geometría

 

 Áreas de regiones cuadrangulares

4.

NIVEL BÁSICO 1.

En el gráfico, ABCE  es  es un cuadrado. Calcule el área de la región sombreada si  AH   =  4 3 .  A) 4 (1 +

En el gráfico, BC =2( =2( AB)=8 y CD = 2 2 . Calcule el área de la región sombreada.  B

) 

3  u

2

B) 12 (1 +

3  u

C) 16 (1 +

3  u

D) 8 (1 +

)

E)

(

32 1 +

 

) 

2

) 

2

 

3  u

 B

C 

 H 

2

) 

3  u

2

 E 

 A

 D  A 5.

45º  D

   A) 12 D) 20

C 

B) 16

Si  ABCD  es un cuadrado, calcule la razón de áreas entre la región sombreada y la no sombreada.

C) 18 E) 24

 B

C 

 A

 D

S

2.

 BHD esisósceles Si área región igual a , ABCD calcule el el área dede la la región trapecial .  B

C 

   A

   A)

3S 2

 H 

 

B) 2S 

 D

 A) 6/5 D) 13/7

C) 3S

B) 5/4

C) 9/8 E) 11/9

5S

D) 4S  3.

E)

6.

2

En el gráfico, calcule el área de la región rectangular ABCD.

En el gráfico, calcule la razón de áreas de la región trapecial ABCD ( BC  // AD) y la región paralelográmica AMNP si CN=ND.  B

 A

45º

C 

 M

B

N 

6

θ θ

 

 A

 A) 1 D) 4

 P

B) 2

C) 3 E) 5

19

 D

 D

   A) 24 D) 9

C 

B) 18

C) 12 E) 36

 

Geometría

 

NIVEL INTERMEDIO 7.

 A)

Del gráfico se sabe que  A  y C son puntos de tangencia. Si 3( AD)=4( AB), calcule la razón de áreas de las regiones cuadrangulares  ABCD  y  AGCB.

5 2 2

D) 10 10.

 

2

B) 4

2

 

C) 5

 

E)

2

25 2 2

En el gráfico, ABCD es un cuadrado y LA=4( LM ). ). ¿Qué parte de la región cuadrada es el área de la región sombreada?

 A  M 

 B

G

C 

 B  L

 D C 

   A) 3/4 D) 2/3 8.

B) 9/16

C) 7/9 E) 1/2

En el gráfico, O  es el centro del cuadrado  ABCD. Si OM   =  5 2 , calcule el área de la región sombreada.

11.

C 

O

 A

   A) 25 D) 45

 D

 A) 13/40 B) 17/20 C) 17/40 D) 19/20 E) 19/40

 M 

 B

 A

 

En el gráfico, F y G son baricentros de las regiones triangulares  ABE   y  DBC , respectivamente,  y el área de la región triangular  ABC es 54 m2. Calcule el área de la región AFGE .  B

 D

B) 30

C) 35 E) 50  F

9.

Halle el área de la región rectangular  ABCD si =3 y EN =2. =2.  AE =3

 A

   B

 N 

 D

C 

 A) 14 m2  B) 12 m2   E 

 

 A

 D

C) 16 m2 D) 15 m2  E) 27 m2 20

G

E 

C 

 

Geometría

 

12.

 A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 25

Según el gráfico, la distancia de B a  AC  es  es 4. Si el área de la región sombreada es 8 y  AC =8, =8, calcule GI .  B 15.

 ABCD y  BM = MN = NC . Calcule el área de la re-

gión sombreada.

 E 

 N 

Se sabe que  x  es el área del paralelogramo

 B  A

 

G

 A) 4 D) 9/2 13.

 I 

B) 5

 

 A

 A)

 B

C 

B)  M 

C) D) E)

T 

14.

 A

Q

 P  x

3

 D

 

2 x 5

 

3 x 5 5 x 12

 

 x

4

D 16.

B) 14

Según la figura,  ABCD  es un cuadrado, T  y C son puntos de tangencia y la distancia de P hacia  BC  es 2. Calcule la diferencia de áreas de las regiones sombreadas.

C) 6 E) 10

 

Según el gráfico, T es punto de tangencia. Si QD=4(CQ)=4 y TB=3(TC ), ), calcule el área de la región sombreada.  B

C 

O

C) 6 E) 11/2

área de la región sombreada.

 A) 8 D) 12

 N

M 

C 

Del gráfico,  ABCD  es un cuadrado donde  BT =4. =4. Siendo T  punto  punto de tangencia, calcule el

 

 

T 

 B C 

C  Q T 

 P

 A

 A

 D

 D

   A) 8 D) 11

  21

B) 9

C) 10 E) 12

Geometría

 

19.

NIVEL AVANZADO 17.

En el gráfico,  P  y T  son   son puntos de tangencia y  BQ=a. Calcule el área de la región sombreada.

En el gráfico mostrado, los radios de las circunferencias miden  m  y  n ( m > n). Halle el área de la región  MNPL ( M ,  N ,  P  y  L son puntos de tangencia).  M   N 

 B

60º

T   P  L

  O

 A

P

C 

 A)

B)

  a2 4

 

B)

a2 3 2

 

C)

2

D)

a

2

2

− n

2 3 ( m

− n2 )

2

Q

 A)

2

 m

a2 2

 

E)

a

3 3 ( m

2

C)

2 2

2

2

2 3 3 ( m

2

4

D)

− n2 ) − n2 )

4 18.

Según el gráfico, BC  // AD, además, CN =2( =2( ND). Si las áreas de las regiones BCG y AGND son 4 y 46, calcule el área de la región  ABCD.  B G  N 

 A

   A) 60 D) 75

 D

B) 66

C) 72 E) 76

  − 2)

4 20.

C 

3 ( m

2

E)

En un triángulo  ABC , se trazan las alturas  AM    y CN , las cuales se intersecan en  H . Si m ABC    =60º, ( AN )( =60º, )( MC )=24 )=24 y  AC =10, =10, calcule el área de la región cuadrangular ANMC .

 A) D)

27 3 2

57 3 2

 

B)

 

37 3 2

 

C) E)

22

47 3 2 67 3 2

 

Semestral UNI

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

RELACIONES MÉTRICAS I

RELACIONES MÉTRICAS II

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES