Certezas Max Min 15

 

Capítulo

15

CERTEZAS - M XIM OS Y M NIM OS CERTEZAS

INTRODUCCIÓN  E n u na co m p eten enci cia de d e hab h ab ilid ad m ent en tal, se pr p resent esentar aro o n 3 concu co ncu rsant santes es : Juan Ju an C arl arlo s, M artha y G ari. L a co com m pet pe tenci en cia co consi nsistía en ind icar cuán cuá n tas veces com o m ín im o h ab ría qu q u e extr extraer un una a bo b o la para p ara tener en er la segurid ad d e con tar por lo m en eno o s co co n un a b o la ro ro ja sab sabi iend o qu e en la b o lsa h abí ab ían 10 bo las ro jas, 7 negr neg ras y 8 verd verd es. *

 J uan C arlos arlo s :

*

 Martha  Mar tha :

N iñ o h áb il e in teligen ge n te, con co n testó ráp id am ent en te sin p ensar en sar 1 . P u es d di ijo q u e co con n suer sue rte la p rim era bo la extr extraíd aíd a p u ed e ser ro ja. N iñ a ser seri ia y m etó d ica, con co n testó 3 ; p u es di dij jo q u e la pr p rim era y segu segun n d a pu p u ed en ser d e co col lo res d di istin to s y la

tercera ya y a p u ed e ser ro ja. *

Gari :

E l m ás go rd ito d e lo s tres, p ícaro, p ero n o m eno en o s in teligen ge n te, con co n testó 1 6 ; a lo q u e lo s ot o tro s con curs cursan an tes se

rieron eron ; p ero G ariles di d ijo q u e sisup o n ía q u e pr p rim ero sa sal lieran las bo las de col co lo res d di iferen erent tes al ro jo estas ser serí ían 1 5 y qu q ue d espu és con co n to d a segu segur rid ad la sigu ient en te sería ro ja.

¿Quién cree Ud, que tenía la razón y ganó el concurso? 

Ejemplo 1 a) .... u n n aip e d e co col lo r ro jo ? E n un a u rna d epo sitam o s 8 esferas eras blan cas, cas, 7 rojas ojas y 9 azules. C u an tas esferas eras hab ha b rá qu q u e ext extr raer al azar y co com mo

b ) .... d o s nai na ipes pe s d e d iam an ant tes?

m ín im o p ara tener en er la certeza d e hab h ab er ext ex traíd o ... c) .... tres na nai ipes pe s de d e espa espad d as? a) U n par del m ism o color.

d ) .... d o s d iam an tes y tres cor corazo azone nes? s? e) .... u na espad a y cuat cua tro trébo éb o les?

b) Por lo m enos uno de cada color.

Ejemplo 3 c) Tr Tres es azules.

E n u na caja d epo sitam o s 50 esferas, eras,nu m erad erad as del 1 al a l50 . ¿C uánt uá ntas as es esf feras eras hab rá q ue e ext xtraer al azar y com o m ínim o p ara t ten ener er la ce cer rteza d e h ab er sacad o ...

d) U n color por com com pleto. a) ... un a esfera era con nu m eraci eració n p ar? ar? e) U na azul y tres ro jas.

b ) ... u n a esfera q qu u e ut u tilice la cifra 5 en su n nu u m eració n ? c) .... d o s esf esferas eras c cuy uya a num n um eraci eració n estén com prend ida s

Ejemplo 2 S e tiene en e un a baraj b araja d e na ipes pe s (52 n aipes, pe s,13 d e cada cad a pal p alo ). ¿C uá uánt ntas as car cart tas s se e debe d eber rán extraer al azar y com o m ínim nim o p ara t ten en er la certeza d e h ab er ext extr raíd o ...

ent en tre 30 y 40? 4 0?

d ) .... tres esferas m ú ltip lo s de de 6 ? e) .... un a es esf fera era cuya num nu m eraci eración no sea m ayo r qu e 10?

1

 

 MÁ XI MO S Y MÍ N I MO S INTRODUCCIÓN  L uis le di d ice a M athí hías as : "E n el e l bo lsillo d e m i pa pant ntal aló n h ay 2 0 m o ned as de un so l y 10 1 0 m o ned ne d as de 5 so les". V e y extrae m o n ed as de d e él é l, ha sta q ue salga un a m o n ed a d iferen erent te a la q u e ext extr raíste ant a nter eri io rm ent en te y el d iner ne ro qu e salga será p ara ti.

* *

¿C uál es la m ínim a cantida d de d e dinero nero que q ue pu ede t tener ener M athías? as? ¿C uál es la m áxim a cantidad de d iner nero o que pued e tener M athías? as?

M u chas ch as veces vece s u n ej e jerci ercicio p u ed e ten er, segú según n lo s d ato ato s p lan tead ea d o s, var va rias respu esp u estas en u n ran rango go d e va val lo res, lo cua l p u ed e llevar a p edir un a solución m áxim a o un a m ínim a.

Problemas de pesos y costos 1 . S i un kilo d e nar n aran anj ja cont co nti iene d esd esd e 4 has ha sta 8 nar na ranj an jas, ¿C uál es e el l m ayo r peso qu e pu ede tener 4 d ocena ocenas s de n aran aranj jas?

3 . S e com pran libros qu e cuestan d esde S /. 10 has ha sta S /. 20 c/u, y se ven d en a p recio s qu que e varí v arían d esde S /. 2 5 ha sta S /. 3 5 . S i se ven ve n d en 1 0 lib ro s, ¿C u ál es la ga gan n an cia m áxim a? ¿C uál es la ganan cia m ínim a?

Resolución:

Resolución:

Problemas de operaciones aritméticas 2. S i un a bo lsa d e caram elos conti contiene d esde esde 50 hasta 6 0 car caram am elo s, ¿C u ál es la m eno en o r cant can tid ad d e bo lsas qu que e d eb ebo o ad qu irir, si d es eseo eo com prar 60 0 caram caram elo s?

Resolución:

1. E l núm ero ero 1 43 se divide en 2 núm eros de do s dígitos cad a un u n o. S iu no d e ello s es elm eno en o r po sib le, ¿C uál uá les éste?

Resolución:

Nota importante: anan anci cia = P recio de venta  P recio de cost costo G an E n la relaci ació n an terio r: *

Lo s valor ores es m áxim o y m ínim os de gananc gananci ia se se obt obti ienen: G an an anci cia = P recio de vent venta a  P recio de costo m áx áxi im a m áx áxi im o m ínim o G an an anci cia = P recio de vent venta a  P recio de costo m ínim a m ínim o m áx áxi im o

2

2. U n ba nco t ti iene 7 sucur sucurs sales en u na ciud ad y h ay 70 em plead ea d o s en e el llas. S inin nin guna gu na o ficina tiene en e m eno en o s d e 8 em plead os,ni m ás de 14 , ¿C uál es elm eno r núm nú m ero ero de de em plead os qu e pu ede hab er en 6 ofi oficinas?

Resolución:

 

3 . S i "A " tiene en e un u n val v alo r ent en tre 4 y 5; y "B "B " tiene en e un u n val v alo r ent en tero en e n tre 20 2 0 y 4 0 , ¿ent ¿en tre q u é val v alo res estará

B ? A

Ejemplo de coloración de mapas: P ili d esea p pi intar ntar elsigui gu ient en te m ap a d e m o d o qu e no n o existan 2 zon as c co o nti ntigua s (con un lad o com ún ) del m ism o colo r, ¿C u ál es el m eno en o r nú m ero ero d e co col lo res qu que e ella d eber eb erá á u tilizar?

Resolución:

Problemas diversos Resolución: Ejemplo de caminos: L a fi figura m uestra una u na red d e cam ino s m edi ed iant an te la cua cual l se d esea ir d e a " "A A " a "B "B " con no m ás de 3 par pa rad as inter nterm m edi ed ias en o tras ciu d ad es. S i lo s n ú m eros repr ep resen esent tan lo s d ías qu que e dem or ora a ir de u na ciud ad a ot o tra, ¿C uál es el m eno r nú m ero ero d e d ías que to m ar ará á ir d e "A "A " a "B "B ? 9

C 2 A

6

3

   

F 1

5

B 1

4 D

5 

E

2

5

G

Resolución:

3

 

EJERCICIOS PROPUESTOS E nunci nunci ado I  D e un jueg uego o d e nai n aipes (52 nai na ipes pe s, 13 d e cad cada a pal p alo ), ¿cuán tas hay qu e extr extraer com o m ínim nim o par pa ra ten tener er la cert certeza d de e

1 0 . ... tres es esf feras eras com p rend en d id as ent entr re 80 y 110 1 10 , q ue sean im pa res?

h ab er o b teni en id o ... 01 . ... un nai naipe pe de color negr negro? o? a) 1

b) 2

d ) 27

e) 2 5

b) 40 e) 4 3

b) 41 e) 4 4

c) 4 1

c) 4 2

04 . ... do s cor coraz azo o nes y 1 diam ante? ante? a) 4 0 d ) 43

b) 41 e) 4 4

c) 4 2

0 5 . ... tres esp esp ad as y 2 trébo éb o les? a) 4 0 d ) 45

b) 42 e) 4 1

c) 4 3

E nu nuncia nciado do I I 

p ara tener en er la cert certeza d e h ab er o ob b ten id o ...

06 . ... un a esfer era a con co n nu m eraci eración qu e term erm ine en cero? b) 1 00 e) 1 1 0

c) 1 0 8

0 7 . ... u n a esfera d e cifras igual gu ales? a) 1 0 9 d ) 111

b) 1 00 e) 1 0 8

c) 1 1 0

b) 61 e) 1 0 3

4

a) 2 d) 5

b) 4 e) 8

c) 6

1 2 . ... cin co esferas ro jas? a) 1 6 d ) 34

b) 30 e) 3 3

c) 3 2

1 3 . ... d o s n egr eg ras y tres am arillas? a) 2 9 d ) 35

b) 30 e) 3 3

c) 3 2

b) 1 01 e) 1 0 2

a) 3 3 d ) 39

b) 35 e) 3 6

c) 3 7

15 . ... po r lo m eno s un a de d e cada color? or? a) 3 2 d ) 38

b) 34 e) 3 7

c) 3 6

16 . D entr entro de un a u rna dep o sitam os 12 esf esferas eras rojas ojas, , 15 b lan cas, 2 0 n egr eg ras, 36 azul azu les y 52 verd verdes, es, ¿cuá n ta s esf esferas eras hay q ue sacar com o m ínim o par pa ra estar segur egu ro

a) 5 0

b) 55

d ) 1 02

e) 5 8

c) 5 6

c) 7 0

09 . ... d os es esf fer eras as c cuya uya n um eraci eración est estén co com m prend prend id as ent entr re 50 y 70 ? a) 9 9 d ) 105

1 1 . ... un par pa r d e un o d e lo s colo res?

d e hab h aber er extraíd o 12 d e u no d e lo s co co lo res? es?

08 . ... un a esf esfer era a con nu num m eraci eración par? par? a) 6 0 d ) 80

extr extraer ae r alazar y com o m ín im o p ara tener en er la cer cert teza de h hab ab er o b ten id o ...

1 4 . ... d o s blancas an cas y cua cuat tro ro jas?

D entr entro de u na u rna d epo sitam o s 12 0 esferas eras num erad erad as d el 1 al a l12 0, ¿cuánt ¿cuán tas es esf fer eras as hay qu e ext extr raer com o m ínim nim o

a) 1 2 d ) 109

c) 9 6

E nu nuncia I IaI  ur D ent en tnciado ro ddo e un u rna d epo ep o sitam o s 6 es e sferas eras blan cas, cas, 8 n egras, gras, 1 2 roj rojas as y 1 15 5 a m arillas. ¿C u án tas esferas se d deb eb en

0 3 . ... tres nai na ip es pa par res d de e co lo r n egro? a) 4 0 d ) 43

b) 94 e) 1 0 8

c) 2 6 6

0 2 . ... d o s naipes d e tr trébo l? a) 3 9 d ) 42

a) 9 1 d ) 1 00

17 . C esi esitar tiene en u na urna urna 12 fichas num erad erad as del 1 al 12 , ¿cuá ¿cuál l es el m ínim nim o nú m ero ero de fichas que h a d e extr extraer ae r p ara tener en er la certeza d e h ab er ob obt teni en id o 3 fichas ch as nu m erad erad as con secut secuti ivas?

c) 1 0 3 a) 2 d) 7

b) 4 e) 9

c) 6

 

18 . E n u na bo lsa hay 9 bo las blancas, 8 bo las rojas, ojas, 12

a) 2

b) 3

bo las azul azules es, , ¿cuánt ¿cuántas as bo las com o m ínim o se d eben ext ex traer ae r al azar par pa ra tener en er la ce cer rteza d e h ab er ob teni en id o 3

d) 5

e) 6

bo las del m ism o colo r? a) 7

b) 6

d ) 22

e) 2 1

c) 1 2

24 . L a figura gura m uestra un una a red red d e cam ino s m ediante ante la cual se va d e A a B pasand o a lo m ás una vez po por r las otras ciud ad es. S i lo s n ú m ero ero s rep resent esentan an lo s d ías qu que e d em o ra ir d e una u na ciud ad a o tra. ¿C u ál es la d iferen erenci cia entr entre el m áxim o y el m ínim o n úm ero ero d e dí días as que qu e se se

19 . S e tiene un m az azo o d e 52 car cart tas (13 de cad a pal palo) o), ,

tom ará ará ir de A a B ?

¿cuán tas c ¿cuánt car art tas ha hay y que q ue sacar com o m ínim o par pa ra estar segur eguro o de hab er ob tenido enido una un a cart carta co con n n um eraci eración p ar y d de e co col lo r ro jo ? a) 3 8 d ) 41

b ) 27 e) 4 2

c) 4

9 1

c) 4 0

 

 

4

A

4  

2

12

 

5

3

3 B

10

20 . U na ur urna na con tiene 1 8 bo las negr negras as, , 14 roj ojas as y 17 bl blan an cas, la m en o r cant can tid ad qu e deb d eb e saca saca rse pa ra o bt bten ener er al m eno s un a de d e cada colo r es : a) 3 5 d ) 38

b ) 31 e) 3 6

c) 2 9

2 1 . E n u n ju ego d e tiro al blan co, ¿cuá ¿cuánt nta a es la d iferen erenci cia entre lo m áxim o y m ínim o que se pu ede o btener con 3 tiro s si cad a zo zon n a p erm ite u n m áxi áx im o d e 2 tiro s, silo s d isparos deb d eben en d ar en el tab lero ero ?

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

25 . D os kilos de m anzanas cont conti ienen d esde esde 20 hasta 35 m anz an zanas, an as, ¿cuál será erá el m ínim o p eso qu e tend rá 140 1 40 m anz anzanas anas? ? a) 8 kg d ) 1 2 kg

b ) 8 ,5 kg e) 1 6 kg

c) 9 kg

2 6 . Pep e di d ispo ne d e pe pes sas de 1 , 2, 4, 8,16 8,16 , etc. kg cada cad a u n a. S iéld esea e eq q u ilib rar un p eso d e 34 3 4 1 kg k g ut u tilizand zan d o el m ín im o n úm ero ero d e pesas posibles, es, ¿cuá ¿cuál l o cu áles d e las sigui gu ien tes af afi irm acio n es son verd verdad ad eras?

10 9 8 7 5 1

I. Pepe Pe pe d ebe eb e u tilizar 4 pesas pe sas en to tal. II. L a p esa d de e 4 kg es pa rte d e la solució n. III. L a p esa d e 8 kg e es s parte d e la so sol lu ció n.

a) 2 5

b ) 22

d ) 24

e) 3 6

c) 2 0

b ) S /. 1 2 e) S/. 16

b ) S ó lo II

c) Iy II e) Tod as

d ) IIy III

2 7 . S iun kilo d e na nar ranj an jas c co o nti ntiene d esde 6 has ha sta 8 nar na ranj an jas,

22 . S e com pr pran an cam isas cuyo cuyo preci precio u nitari ario varí varía d es esde de S /.12 ha has sta S /.21 y se se ven vend d e cad cada a una u na a u n pr p recio q ue varía d esde S /. 18 has ha sta S /. 25 . ¿C u ál es la m áxim áxim a gan an cia q ue se pu ed e ob tene r po r la ven ta d e 3 cam isas? a) S /. 1 8 d) S/. 45

a) S ó lo I

c) S /. 3 9

2 3 . D ad o s 9 rec rect tán ángu gul lo s com o m ues ue stra la figura,¿cuáles el m ínim o nú m ero de color ores es a em plear de m od o que no se ten enga gan n d o s rectán gul gu lo s p in tad o s d el m ism o colo colo r ju n to s?

¿cuál ¿cuál es elm ayo r peso q que ue p ued en t tener ener 4 d ocena ocenas s de n aran aranj jas? a) 6 kg d ) 1 0 kg

b ) 7 kg e) 1 6 kg

c) 8 kg

28 . Tres Tres naranj naranjas as pes pesan an d esde esde 3 hasta 4 ,8 K g. ¿C uál es el m áxim o n úm ero d e nar naranj anjas que pu ede haber en 12 K g? a) M enos de 40 c) Ent Entr re 50 50 y 60

b) Entre 40 40 y 50 d) Ent Entr re 60 y 70

e) M ás de 70

5

 

2 9 . U n tab tab ler ero o d e ajed rez con sta d e 64 casillero ero s, com o m u estra la f fi igu ra. S i el cab allo pu ed e m o vers verse e 3 casi casilleros eros po p o r vez (2 e en n lín ea recta ecta y el e l tercero h aci acia u n costad o p er ero o no en d iago na l), ¿cuá ¿cuál l es el m ín im o nú m er ero o d e m o vim ien ent to s qu e r req equi uiere ere el caba cabal llo p ara ara p asar del d el casillero G

1

3

2

 al G

3

4

4

?

5

6

7

8

A B C D E F G H

lo n gitu d d e un u n es e stan te en el cual cua l q uep ue p an to d o s su s libros, si p o r lo s m eno en o s ha y uno u no d e cad a espe espes so r? a) T c) Ty  y + x e) Tx1 543 .

b ) Ty  x d ) T x  x + y

35 . U n gr grup up o d e 45 456 6 per p ers son as va a elegir un pres presi iden te. S i se p pr resen esent tan 5 can d id ato ato s pa par ra el p u esto, ¿cuá les el m eno r núm er ero o d e votos que pu ede ob tener uno de ello s y ob tener en er así m ás q qu u e cu cual alq u iera d de e lo s otro s 4? a) 9 0

b) 2 29

d ) 24

e) 1 6

3 6 . ¿C uál uá l es elm áxim o valo r d e la siguient guiente e exp expr resió n?

R a) 1 d) 4

c) 9 2

b) 2 e) 5

2

2

1  (x  1) (x  3)

c) 3

30 . U na caja de m anzanas cont conti iene des desde de 30 h ast asta 40 fru tas. S i el p recio d e co com m p ra va ría d esde esd e 8 y 12 1 2 so sol les po r caja y se pued p ued en vend ven d er d esde 1 5 h asta 2 5 so les la caja, ¿cuá ¿cuál l será erá la m áxim áxim a gan g an an cia a o b tener en er po por r la

2



a) 1

d)

1 2

b) 2

c)

2 3

e) 0

venta de 120 m anzanas? anzanas? 37 . U na caja de naranjas c con on tiene d es esde de 2 0 h ast asta 25 a) 6 0

b) 7 2

d ) 62

e) 6 8

c) 5 1

31 . U n vaso d e yogu rt conti contiene, según la m arca, arca, d esde esde 2 0 h a sta 3 5 ca cal lo rías. as.S S i la d ieta eta d e M a ría le le p erm ite d esayu esayun n ar só lo yo gur gu rt,en un a ca can n tid ad d e 14 1 4 0 calo rías, ¿cuálserá lo m áxi áx im o qu e e el lla gastará ará sicada cad a v vaso aso cues cue sta d esde esd e 1, 1 ,7 h asta 3 ,5 so sol les? a) 2 0 ,5 d ) 28

b ) 2 4 ,5 e) 2 5

c) 2 2

un id ad es. S i el precio d e co com m pra varía en tre 10 y 15 soles p po o r caja y el p recio d e ven v ent ta var va ría en e n tre 2 0 y 2 5 soles p o r caja, caja, ¿cuá l será erá la m áx im a ga gan n an cia a o bten btener erse se po por r la ve ven n ta d e 100 1 00 n aranjas? a) S /. 5 0 d) S/. 80

b ) S /. 6 0 e) S/. 10

38. ¿C uál es el m áxim o va lor qu e pu ede a lcanz canzar ar la exp resió n ?

M

32 . Si do s núm eros s sum um an 1 , ¿cuál ¿cuál será el m áxim o valor qu e pu ed ede e tene ener r su p ro d ucto ?

a) 1

d)

1 2

7 b) 8 e)

1 c) 4

1 8

b) 1 5

d) 8

e) 1 4

c) 1 0

3 4 . K ar ari ina tiene un a co lecció n d e libros de " "T T " to m o s. S iel m ás ancho anch o tiene "x" cm , d e espesor y el m ás delgad o tien ene e "y" cm cm d e es e spe sor, sor, ¿cuá l d ebe eb e ser la m ínim nim a

6



50 2

5  (x  5 ) a) 2 0

b) 10

5 3

e) 1 6

d)

c) 5

39 . ¿C uánt uá ntas as vec veces es hay qu e tirar un d ad o par pa ra t tener ener la segur egu rid ad d e ha habe ber r o bteni btenid d o 1 0 veces v eces la m ism a car cara? a?

3 3 . A lad qu irir cierto veh ículo,un com p rad o r recibe 5 llaves, ave s, a sab sa b er: d e la p u erta , el en cen d id o , la gu g u a n tera, la m aletera, etera, el tan q u e de d e ga gasol solin a, ¿cuá ¿cuán n tas vece veces s tend en d rá qu e pro pro ba r las llaves com o m ínim nim o p ara saber con cert certeza la cor co rrespo n d enci en cia ent en tre llaves av es y chap ch ap as? a) 5

c) S /. 7 5

a) 5 4 d ) 55

b) 53 e) 5 0

c) 5 2

4 0 .S e tien e 4 can d ad o s y 2 llaves; av es; si sé qu que e cad a llave av e ab re sólo un cand ado, ad o, ¿cuán ¿cuán tos in tentos entos com o m ínim o se d eb e realizar, p ara d eterm eterm in ar co con n segu segur rid ad la lla ve cor co rrespo n d ient en te? a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

 

41 . D entro d e una ur urna na d epo sitam os c car aram am elos de lim ón ,

4 7 . E n u na urna ha y fi fichas cha s ro jas, b lan cas y azul azules, es, si las

caram elo s d de e n aranj aran ja y caram elo s d de e licor co r,y la suficien te can cant tid ad d e cad cada a tip o, ¿cuá ¿cuánt nto o s caram caram elo s se d eben eb en

ro jas son 4 8 y éstas son 1 6 veces ve ces las b bl lan cas, siend en d o las azules a las blan cas com o 5 es e s a 1, 1 , ¿cuá n tas fichas ch as

ext extr raer com o m ínim nim o p ara tener en er la cer cert teza de h ab er sacado un p ar de caram caram elos del m ism o sabo sabor r?

hab rá q ue extraer al azar y com o m ínim o para para o btener btener un colo r po r com pleto ?

a) 2 d) 5

a) 6 3 d ) 64

b) 3 e) 6

c) 4

42 . E n u na caja h ay 10 1 0 p ares ares d e gua ntes ntes uti utilizables d e col co lo r n egr eg ro y 10 1 0 p ares de guan gu an tes ut uti ilizabl zab les d de e co lo r ro jo, ¿cuá n to s guan gu an tes ha hay y qu q u e saca sacar r,p ara estar segu eg u ro d e o bt bten ener er u n p ar de guan gu an tes ut uti ilizables de del l m ism o col co lo r? a) 3 d ) 20

b) 65 e) 6 7

c) 6 2

48 . Se f for orm m a un cubo s sol oldand o 12 p edaz edazos os de alam bre bre de 3 cm d e lon gitud cada u no. S i un a horm h orm iga pa par rte de un o d e lo s vértices y sigue gu e cam ina nd o a lo largo d e las aristas, ¿cu ¿cuál ál es la m áxi áx im a di d istan cia q u e p pu u ed e reco reco rrer an tes qu e vu v u elva a to car un vértice p o r segun d a vez, si no p ued ue d e recor recorr rer un a a rista d o s veces?

b ) 16 e) 2 1

c) 3 8 a) 2 4 cm

b ) 2 1 cm

d ) 1 5 cm

e) 1 2 cm

c) 1 8 cm

4 3 . S e tien ene e 3 cajas,en un a h ay 6 esferas eras blan cas,6 es e sferas eras ro jas y 6 e esf sferas n egr eg ras. E n o tra, h ay 6 co n o s b lan cos, co s, 6 co cono no s ro jo s y 6 con o s neg negr ro s,y en e n la tercer ercera a ca caj ja h ay 6 cub cubo o s blan ancos, cos,6 cubo cub o s ro jo s y 6 cubo cub o s negr negro o s, ¿cuál

49 . D entro de una ca caj ja d epos eposi itam os 120 bolas num eradas d el 1 al a l 12 0, ¿cuán ¿cuánt tas hay ha y qu e extraer com o m ínim nim o, par pa ra o btene btener r 1 bo la co con n n um eraci eració n im par pa r y m últiplo

es el m eno r nú m ero ero de ob jetos qu e se deb deben en extraer d e las t tr res caj ca jas pa par ra ten er la certeza d e h ab er extraíd aíd o

de 3 , com prend prend ida entr entre 30 y 50 50? ?

n ecesariam ent en te en tre ellas u un n p ar d de e esferas,u n p ar de cono s y un par de cubos, cub os, tod os d del el m ism o color? or?

a) 1 1 7 d ) 1 01

a) 1 0 d ) 13

b ) 11 e) 1 4

c) 3 2

44 . S e tiene 1 20 fichas num erad erad as del 1 al a l 12 0, ¿cuán ¿cuán tas

b) 1 18 e) 1 1 9

50 . U na b olsa con tiene car caram am elos: 20 de l li im ón , 15 de naranj nar anja, a, 18 de m anzana y 1 2 d e pi piña. ña. ¿C uán to s caram elo s ha hay yq qu ue e ext xtraer ae ralazar pa par ra ten er la segu eg u rid ad de o btener btener po r lo m eno s 4 d e cada sabo sabor r?

ficha s se se d eben eb en ext ex traer ae r p ara tener en er la cert certeza d e co n tar con co n 2 fichas ch as q qu u e tenga en gan n 2 d ígito s y qu que e est e sto s do s dígito s

a) 4 8

b) 57

sean igu a les?

d ) 37

e) 2 8

a) 1 1 2 d ) 11 3

b) 1 11 e) 1 0 9

c) 1 1 4

4 5 . U n d ad o tiene 2 caras caras pintad ntad as de co col lo r azul; 3 car caras as pint ntad ad as de ro jo y u na cara cara d e negr n egro. o. ¿C uál es elm ínim o nú m ero ero de veces que qu e d ebe lanzar anzars se este d ad o p ara ob tener en er 2 car caras as r ro o jas? a) M en o os s de 5.

b ) M ás d e 8 .

c) Entr Entre 10 y 15. e) 2 ó m ás ás. .

d) 2.

51 . E n un a ur urna na h ay 16 0 b olas, as, po r cada 3 bo las blancas ha y 2 0 negras y 1 7 rojas. ¿C uá ntas ntas bo las s se e d eben ebe n extr extraer al azar y co m o m ínim nim o pa ra ten tener er la certeza d de e ha ber be r o b teni en id o d o s n egras y 3 r ro o jas? a) 8 d ) 17

b) 95 e) 9 2

c) 2 2

52 . U n kilogr ogram am o d e du razno azno s contiene d esde esde 8 hasta 12

ent en tre 1 y 1 ,5 so sol les elkilo. S i L ucía co m p ra 4 d o cenas cen as pagan pa gan d o lo m áxim o p o sible e Irene la m ism a cant canti id ad con co n el m ín im o p o sib le d e d in ero, ¿cuá ¿cuál l es la d iferen eren cia

h ijo s, d esde 4 0 h asta 80 8 0 so sol les de p ro pina pina sem an ales. ¿C u ál es la m áxi áx im a d iferencia qu q u e pu p u ed e ex exi istir ent en tre

de lo p agado por a am m bas bas? ?

lo qu e reci recibe u n h ijo d e E m ilia y u n o d e C att atty?

a) 2 8 d ) 14

b) 6 e) 1 5

c) 1 7

d urazno uraznos. s. E l p recio d e lo s m ás gran gran d es var varí ía d esde 2 h asta 3 ,5 so sol les c cad ad a ki kil lo y el d e lo s m ás pe pequ qu eño eñ o s

4 6 . E m ilia rep repart arte en ent tre sus 5 h ijo s desde 5 0 h asta 75 7 5 so sol les d e prop in a s sem em an ales. S i C att atty rep rep arte en ent tre su su s 4

a) 5 d ) 10

c) 1 1 0

b) 17 e) 1 6

c) 2 1

c) 8

7

 

53. Si en una ur urna na hay 48 bo las num er eradas adas con secuti ecutivam en ent te de l 4 al 5 1, ¿ ¿cuán cuán tas b bo o las com o m ín im o d eb ebem em o s de ex ext traer ae r alazar para tener en er la certeza de h aber extraído 7 bo las nu m erad eradas as con u n n úm ero ero im par? par? a) 2 9 d ) 30

b) 3 1 e) 1 9

c) 2 7

57 . E n u na bo lsa o scura h ay car caram am elos de " "n" n" s sabo abo res d iferen erent tes y lo su suf ficien te: ¿cuán ¿cu án to s car caram elo s se de deb b en extr extraer ae r al a azar zar y com o m ínim nim o p ara tener en er la cer cert teza de habe ha ber r o bteni btenid d o 1 0 d e un o d e lo s sabo ab o res? a) 1 0 n

b ) 9n

d ) 10

e) 1 0 n + 1



1

 1) d e

58 . E n un a ur urna na s se e tiene (2p   q) q ) fichas ver verd d es y (3p + 2q )

n aran ja, (n   2 2) ) d e pi p iñ a y (n   3) de m ango. ¿ ¿C C uánt uántos os caram elos com o m ínim o hay q ue extraer al azar para tener en er la segur segu rid ad d e hab h ab er extr extraíd o p o r lo m eno en o s 3 d e cada sabor sabo r? (n > 6) 6). .

fichas ch as r ro o jas, ¿cuá ¿cu án tas fichas ch as se d deb eb en saca sacar r p ara ten ten er la ce cer rteza d e hab h ab er ext ex traíd aíd o "3 p " fichas ch as d de e un u n o d e lo s col co lo res?

54 . U na bo lsa cont co nti iene caram caram elos: n de lim ón , (n

a) 2 n d) 4n



b) 3 n e) 3 n + 1

1

c) 3 n



 1



a) 3 p + q

b ) 4p + q

d) p

e) 5 p + q

 q



59 . E n un a ur urna na s se e tiene ( (P P 55 . S e tiene u n d ad o d on d e tres d e sus sus c car aras as tienen el m ism o col co lo r y el e l resto d e car ca ras d e co lo res d di iferent erentes, es, ¿cuá ntas ntas veces vece s hay q u e lan za r el d ad o p ara tener en er la segu egur rid ad d e hab h aber er o bteni btenid d o el m ism o colo r 4 veces veces? ? a) 1 2 d ) 15

b) 1 8 e) 2 0

a) 2P

c) 1 3

c) m e) m

2 2 2



m



1





2m

1



 q



Q ) fichas r ro o jas y ( (P P + Q)

Q

b) 2P + Q

 P

e) P + Q

 

c) P

 Q



60 . D e un juego d e naipes (52 cartas, as, 13 d e cada p alo), o),

5 6 . S e tiene en e fichas ch as d e "m " cl clases d di iferen eren tes y la cant can tid ad suf ufi icient ente e d e ca cada da clase, ¿cuá ¿cuá ntas ntas com o m ínim nim o se d eb en ext ex traer ae r p ara ten er la ce cer rteza d de e hab h ab er sacad o "m " d e u n a d e las clases?

a) m

c) 5 p

fichas ch as azu azul les, ¿cuá ¿cu án tas ficha ch as se deb d eb en saca sacar r p ara ten er la ce cer rteza d e hab h ab er extraíd o "P " d e u n o d e lo s colo res?

d) 2Q

8

c) 9 n + 1

b) m d) m

2 2



2m



m



1

¿cuá ¿cuánt nto o s nai na ipes ha hay y qu e extr extraer al azar y com o m ínim nim o par pa ra tener en er la segu segur rid ad d e hab h ab er con segu id o d o s na ip es que sum sum en 10? a) 3 5 d ) 32

b) 30 e) 3 4

c) 3 1

 

Claves aves 0 1.

d 

 31.  3 1.

b

0 2.

c 

 32.  3 2.

c 

0 3.

d 

 33.  3 3.

c 

0 4.

b

 34.  3 4.

c 

0 5.

b

 35.  3 5.

b

0 6.

d 

 36.  3 6.

b

0 7.

d 

 37.  3 7.

c 

0 8.

b

 38.  3 8.

b

0 9.

c 

 39.  3 9.

d 

1 0.

e

4 0.

b

1 1.

d 

4 1.

c 

1 2.

d 

4 2.

e

1 3.

d 

4 3.

c 

1 4.

c 

4 4.

d 

1 5.

c 

4 5.

e

1 6.

c 

4 6.

d 

1 7.

e

4 7.

d 

1 8.

a

4 8.

a

1 9.

d 

4 9.

b

 2 0.  20.  21.  2 1.

e b

 5 0.  50.  51.  5 1.

b b

 22.  2 2.

c 

 52.  5 2.

b

 23.  2 3.

b

 53.  5 3.

c 

 24.  2 4.

e

 54.  5 4.

b

 25.  2 5.

a

 55.  5 5.

c 

 26.  2 6.

b

 56.  5 6.

d 

 27.  2 7.

c 

 57.  5 7.

c 

 28.  2 8.

a

 58.  5 8.

c 

 29.  2 9.

c 

 59.  5 9.

a

 30.  3 0.

e

6 0.

e

9