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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN
I I1
CENTRO PREUNIVERSITARIO
1 0 2
GEOMETRÍA Y GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA TRIGONOMETRÍA
U P
Lic. GILBERTO PLATERO ARATIA Lic. JAVIER LOZANO MARREROS
C
E
TACNA - PERU
II
Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann - CENTRO PREUNIVERSITARIO
1 0 2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
I I1
DERECHOS RESERVADOS – COPYRIGHT Centro Pre Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann – Tacna
U P
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema de almacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedimiento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cualquier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Preuniversitario Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.
C
E
Geometría y Trigonometría
Índice
III
I I1
CONTENIDO TEMÁTICO
PÁG
.
GEOMETRÍA PLANA SEGMENTOS Y ÁNGULOS TRIÁNGULOS POLÍGONOS y CUADRILÁTEROS CIRCUNFERENCIA PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA RELACIONES MÉTRICAS ÁREA DE REGIONES PLANAS
GEOMETRÍA DEL ESPACIO POLIEDROS SÓLIDOS POLIÉDRICOS CUERPOS REDONDOS
TRIGONOMETRÍA
U P
1 0 2
1 13 37 53 68 85 103 126
130 132 137 152
R. T. DE UN ÁNGULO AGUDO TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
155 162 163
BIBLIOGRAFÍA
185
C
E
Geometría y Trigonometría
I I1
C
E
U P
1 0 2
L
PRESENTACIÓN
a elaboración del presente forma parte del Plan de Trabajo de la actual Directiva del Centro Preuniversitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, con el cual se pretende proporcionar a los estudiantes un texto que les sirva de referencia para el estudio y desarrollo del curso de Geometría y Trigonometría de acuerdo a la programación establecida en el CEPU.
I I1
Esperamos que con la elaboración de este texto guía los estudiantes tengan mayores facilidades para seguir los caminos de este importante curso, pero no pretendemos que sea lo mejor que se haya publicado, simplemente hemos querido que sirva como un amigo a quien se le pueda consultar cuando surgen dudas, aunque no necesariamente encontraran en él todas las respuestas a vuestras inquietudes.
1 0 2
Los que hemos colaborado en la elaboración de este texto guía lo hemos hecho con la única finalidad de apoyar a los estudiantes y, no con el afán de ganar notoriedad o reconocimiento por parte de la comunidad universitaria, por ello esperamos recibir algunas críticas, desacuerdos, recomendaciones y sugerencias; las cuales serán bienvenidas para mejorar este material, porque sabemos que toda obra humana esta sujeta al error.
C
E
U P
Los Autores.
2
Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann - CENTRO PREUNIVERSITARIO
01 SEGMENTOS Y ÁNGULOS
I I1
Introducción El punto, la recta y el plano son los elementos fundamentales de la geometría. No tiene definición, solo se pueden dar idea acerca de su existencia. Punto . A Recta
L
Plano
1 0 2 BOLYAI
Una figura geométrica es un conjunto de puntos que adoptan una forma determinada, representando una línea, una superficie o un sólido. La geometría estudia las figuras geométricas según su forma, tamaño y las relaciones que existen entre sus partes. Se divide en dos partes: Geometría Plana y Geometría del Espacio. La Geometría plana estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos están en un mismo plano. La Geometría del espacio trata de las figuras cuyos puntos no están en un mismo plano.
U P
SEGMENTO
Es una porción de la línea recta limitada por dos puntos.
E A
C
B
Segmento AB
Notación: Segmento AB : AB
Geometría y Trigonometría
ento de )
Índice
3
Punto medio de un segmento:
Es la abertura que forman dos rayos que tienen un mismo origen.
Es aquel punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos parciales de igual longitud.
I I1
A
A
M
B
O
B
Elementos: M
es
punto
medio
de
AB :
AM MB Se llama puntos colineales a aquellos que pertenecen a una misma recta. Si se indica en un orden determinado, se dirá que son consecutivos.
Lados: OA y OB Vértice: O
1 0 2
Notación: ∡AOB, ∡O, O Medida del ángulo AOB :
m∡AOB =
Bisectriz de un ángulo:
Si sobre una recta L marcamos un punto O, la recta es dividida en dos partes, a cada parte se le llama semirrecta de origen O. La semirrecta no incluye al origen.
U P
O
A
L
Semirrecta OA
Rayo: Se llama así cuando la semirrecta incluye al origen.
E O
ÁNGULO
C
A
Geometría y Trigonometría
L
Se llama bisectriz de un ángulo al rayo que partiendo de su vértice lo divide en dos partes iguales. A
P
O
Bisectriz
B
Clasificación de los ángulos: Según su medida Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y me-
4
Centro Preuniversitario de la UNJBG
nor que 90°.
A Según sus características
O
B
0° < < 90°
A
A
O
= 90°
C
Recto: Es aquel ángulo cuya medida es 90°
1 0 2 B
+ = 90°
O
B
Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°.
U P
A
O
B
90° < < 180°
Llano: Es aquel ángulo cuya medida es 180°
E
I I1
Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°
. = 90° - .C = (C: complemento de )
Suplementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°
C
A
O
B
+ = 180°
A
C
O
= 180°
B
Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el cual es Intermedio. Geometría y Trigonometría
Segmentos y Ángulos
5
Notas:
C
A
1.
O B Consecutivos: Son dos o más ángulos adyacentes.
A
I I1
180
B 2.
C
O
D
E Opuestos por el vértice: Son dos ángulos determinados al trazar dos rectas secantes, dichos Angulo son iguales
B
P
U P O
A
Q
m∡AOB = m∡POQ
C
E
Geometría y Trigonometría
1 0 2
360
RECTAS PARALELAS:
Dos rectas que no se cruzan en ningún punto del plano reciben el nombre de rectas paralelas. Si se cortan, serán rectas secantes. L 1
L 2
Notación: L1 // L2 Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante.
6
Centro Preuniversitario de la UNJBG
4
L1
1
2
L1
x
3
8
5 6 7
L2
I I1
L2
x
Ángulos alternos internos:
m∡4 = m∡6 y m∡3 = m∡5 Ángulos alternos externos:
m∡1 = m∡7 y m∡2 = m∡8 Ángulos correspondientes:
m∡1 = m∡5 , m∡4 = m∡8 , m∡2 =m∡ 6 y m∡3 = m∡7 Ángulos conjugados internos:
m∡4 + m∡5 = 180° m∡3 + m∡6 = 180° Ángulos conjugados externos:
U P
m∡1 + m∡8 = 180° m∡2 + m∡7 =180°
Notas: . Si L1 // L2
C
E
. Si L1 // L2
L1
1 0 2
L2
. Si L1 // L2
L1
L2
180
Geometría y Trigonometría
Problemas Resueltos 01. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB CD = 14; BD AC = 18. Hallar AD A) 18 B) 19 C) 16 D) 17 E) 15
06. (CEPU 98-I) L1, L2 y L3 son paralelas. X
80°
L2
02. En el segmento AD , la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD es 30. Si BD = 32. Entonces AC = A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
E)
04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E tal que:
AD BE 80m 2 ,calcule: AD BE si: AC + BC + CD + CE 18m.
U P
( AD BE )
A) 3m B) 2m C) 2.5m D) 3.5m E) 4m
05. La diferencia entre el suplemento y el doble del complemento de un ángulo es igual a la mitad del suplemento del ángulo. Hallar dicho ángulo.
E
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
C
120°
x
L3
A) 20° B) 22° C) 30° D) 24° E) 18°
03. Sobre una línea recta se toman los puntos colineales A, B, C y D de modo que BC 5 AD 2 AC 34 ,
BC 1 y BD 4 . Hallar AD . A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 12
I I1
L1
1 0 2
07. En la figura, calcular la razón aritmética entre x e y, cuando x toma su mínimo valor entero.
x-y
2x
x+2y
A) 5° B) 10° C) 8° D) 15° E) 7°
08. Sea L1// L2 // L3. Calcular x, si a + b = 200° L1
X
b L2
L3
a
8
Centro Preuniversitario de la UNJBG
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°
10. En la figura, calcule x si a + b = 270°
09. L1 es paralela a L2.. Hallar x L1
x
b
I I1
x
40°
A) 35° B) 30° C) 40° D) 45° E) 50°
L2
2x a
A) 65° B) 66° C) 67° D) 68° E) 69°
Resoluciones 01.
a b c A B C D Del problema: a + c = 14 También (b + c) + (a +b) = 18 O bien, a + c + 2b = 18 14 + 2b = 18 b =2 Luego AD =a + b + c = 14 + 2
U P
AD = 16 02.
30
a A
M a
E
b N b
c
B
1 0 2
C
D
Del problema: a + b + c = 30 b = 30 – a – c También 2b + c = 32 60 – 2a – 2c + c = 32 Luego 2a + c = 28
C
Geometría y Trigonometría
Segmentos y Ángulos
9
AC = 28 03.
a A
1 B
I I1
3 C
D
Del problema: 1 + 5(a + 4) – 2(a + 1) = 34 Resolviendo: a = 4
AD = 9 04.
a
b
A
B
c C
d D
E
1 0 2
Piden: AB BE a b Por condición: (a + b + c) (b + c + d) = 80 Entonces (2a + 2b + 2c) (2b + 2c + 2d) = 320 ... Además (a + b) + b + c + c + d + =18 Luego 2b + 2c = 18 – a – b ... Reemplazando en : (2a + 18 – a – d) (18 – a – d + 2d) = 320 o bien 18 a b 18 a b 320 2 2 18 – (a – b) = 320 Resolviendo: a – b = 2
U P
AD - BE = 2
05.
Sea x el ángulo pedido.
Del enunciado: ( 180° - x ) – 2( 90° - x ) =
E
Luego: x =
180 x 2
x = 60°
C
Geometría y Trigonometría
180 x 2
10
Centro Preuniversitario de la UNJBG
06. L1 80°
Como: L2 || L3: = 60° También: L1 || L3: x + = 80°
I I1
x = 20°
L2
60° 120°
X
L3
07. Se pide x – y Del gráfico: 2x + (x – y) + (x + 2y) = 180° Entonces 4x + y = 180° y = 180°- 4x Además x + y > 0 x > y x > 180° - 4x 5x > 180° Luego x > 36° Por tanto x =37° y a consecuencia Y = 180° - 4(37°) = 32°
x
- y = 5°
08.
U P
L1
x b L2
C
E
2
L3
a
1 0 2
Del gráfico: b + 2 = 180° También a + 2 = 180° Entonces a + b + 2 + 2 = 360° Pero a + b = 200° (por dato) Luego 200° + 2 + 2 = 360° O bien + = 80° Además L1 || L3 x = +
x = 80°
Geometría y Trigonometría
Segmentos y Ángulos
11
09. En la figura: x = + También: x + = 90° - + 40°
L1
x
90°-
x
40°
90°-
40 °
L2
Luego: x + + = 130° 2x = 130°
x
10.
L
1 0 2 = 65°
L
180°-b
x 90
U P
180° - a
2x
180
a
Se traza L || L. Luego - 90° + 180° - + 180° - b = x + 2x + 90° 450° - (a + b) = 3x + 90° Pero: a + b = 270° Entonces 450° - 270° = 3x + 90°
x
C
E
= 30°
Geometría y Trigonometría
I I1
x
b
12
Centro Preuniversitario de la UNJBG
Problemas Propuestos
I I1
01. Se tienen los puntos consecutivos A ,B, C y D de modo que AB, BC y CD están en pro-
AD 30 .
gresión aritmética. Si Hallar BC A) 8 B) 10
C) 12
D) 15
3x
L4 L3
x
4 AE 5BD , Hallar AE A) 18 B) 20 C) 22 D) 25
E) 30
B
19° 40°
U P D
A) 20° B) 25° C) 30° D) 35° E) 40°
04. ( UNJBG 2003 – I ) La suma de dos ángulos es 120°. El suplemento del mayor es igual al doble del complemento del menor. ¿Cuanto mide el ángulo menor? A) 40° B) 45° C) 50° D) 60° E) 70°
E
05. Calcule x, si L1 || L2 y L3 || L4
C
1 0 2 x y
x
3X
2X
L2
06. Según el gráfico, calcular
03. AB y CD son paralelas. Hallar x
C
A) 44° B) 43° C) 45° D) 46° E) 48°
AC 45 BD CE . Si
46°
L1
E) 20
02. ( UNJBG 2003 – I ) Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de modo que:
A
A)
y
1 2 1 7 B) C) D) 2 3 4 5
E)
3 7
07. (CEPU 99-II) L1 es paralela a L2.. Hallar x
5x
L1 x
L2
3x Geometría y Trigonometría
Segmentos y Ángulos
13
A) 15° B) 18° C) 12° D) 16° E) 20° 08. Si L1// L2. Hallar x 2 3
L1
I I1
x 100° L2
A) 52° B) 62°
C) 72°
D) 82° E) 28°
09. En la figura siguiente: m∡ABC = 60°, m∡HBC - m∡ABH = 18°, MN // AC , DN BC . Calcular x
B
M
N
x
A A) 28°
C
D
H B) 18°
C) 45° D) 39°
10. ( UNJBG 2003 – I )
U P
Si L1|| L2 , hallar x
44° -44°
L1
x
E
L2
121°
A) 50° B) 55°
C
C) 59° D) 60° E) 77°
Geometría y Trigonometría
1 0 2 E) 60°
02 TRIÁNGULOS
I I1
Un triángulo es aquella figura geométrica formada por tres puntos, llamados vértices, unidos por tres lados. En la geometría plana euclídea, los lados deben ser segmentos rectilíneos, sin embargo en la geometría esférica, los lados son arcos de circunferencias máximas. El término triángulo se puede utilizar también para describir una figura geométrica con tres vértices cuyos lados son curvas cualesquiera. Aquí estudiaremos a los triángulos de la geometría plana euclídea.
1 0 2 LOBACHEVSKI
Elementos: Vértices: A, B, C Lados: AB , BC y AC
B a
c A
b
Ángulos interiores: ∡A, ∡B, ∡C Ángulos exteriores: , , Perímetro( 2p ): 2p = a + b + c
U P
CLASIFICACIÓN
C
a) Según sus ángulos: Acutángulo:
E
B
Los tres ángulos interiores son agudos.
C
A
agu-
C
Triángulos
15
Rectángulo: Un ángulo interior es recto, los lados que forman al ángulo recto se llaman catetos, el tercer lado se llama hipotenusa.
B
A
+ = 90°
a
a
A
I I1
C
Escaleno: Los lados son desiguales.
B
B
C
Obtusángulo: Un ángulo interior es obtuso.
A
1 0 2 A
Nota:
B
C
b) Según sus lados:
Se llaman triángulos oblicuángulos a los triángulos acutángulos y a los triángulos obtusángulos. LINEAS NOTABLES:
Equilátero: Los tres lados son iguales, cada uno de los ángulos interiores mide 60°.
B 60°
A
U P
60°
60°
C
Isósceles: Dos lados son iguales, al lado desigual se le llama base, los ángulos adyacentes a la base son iguales.
C
E
Geometría y Trigonometría
C
Altura(h): Es el segmento de recta que parte de uno de los vértices de un triangulo y llega en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
B
h
A
H
C
El punto de intersección de las alturas se llama ortocentro.
h
Bisectriz: Es el segmento que biseca al ángulo en referencia.
16
Centro Preuniversitario de la UNJBG
El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro.
B
Bisectriz exterior Ceviana(BF): Es cualquier segmento que trazado por uno de los vértices corta al lado opuesto.
I I1
B A
D
C
E
Bisectriz interior
El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro. Mediana( BM): Es el segmento que une el punto medio de uno de los lados con el vértice opuesto.
F
A
C
Nota: En un triángulo isósceles, las
1 0 2
líneas notables coinciden.
B
B
A
M
C
El punto de intercesión de las medianas se llama baricentro. Mediatriz(MN): Es una recta perpendicular a un lado levantada por su punto medio.
U P
B N
A
M
E
C
A
a
H
Altura Mediana Mediatriz Bisectriz
a
C
C
Geometría y Trigonometría
Triángulos
17
PROPIEDADES BÁSICAS
1. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180°. B
I I1
+ + + + =180° =180°
A 2.
C
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo no adyacentes a él.
B
A
1 0 2 = +
C
3. Condición de existencia de un triángulo: Para que un triángulo exista se debe cumplir que un lado debe ser menor que la suma de los otros 2 lados, pero mayor que su diferencia.
B a
c
U P
Si a > b b - c < a < b + c
A
b
C
4. El mayor ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos interiores de un triángulo, es igual a 90° más la mitad del tercer ángulo interior.
B
E
C
A
D x
Geometría y Trigonometría
C
x = 90° +
ω 2
18
Centro Preuniversitario de la UNJBG
5. En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores tomados uno por vértice es igual a 360°
B
I I1
+ + =360°
A C
6. El menor ángulo formado por las bisectrices, una interior y la otra exterior de un triángulo es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.
B
D x
A
1 0 2
x=
C
2
7. En todo triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa. Teorema de la bisectriz de un ángulo:
U P
Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.
A
E
P
C
Q
AQ QB y AP BP
B
Geometría y Trigonometría
Triángulos
19
Teorema de los puntos medios: En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo se denomina base media; tiene por longitud la mitad del tercer lado. También es paralelo a dicho lado.
I I1
B M
N MN
AC
y
MN | | AC
2
A
C
Mediana en un triángulo rectángulo:
1 0 2
En todo triángulo rectángulo se cumple que la mediana relativa ala hipotenusa tiene por longitud la mitad de dicha hipotenusa.
B
BM
AC 2
A
M
C
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
a) Caso:
U P
ALA (Angulo-Lado-Angulo)
Dos triángulos son congruentes si poseen un lado congruente y los ángulos adyacentes a dichos lados respectivamente de igual medida.
B
E
C
A
F
C
Geometría y Trigonometría
E
G
20
Centro Preuniversitario de la UNJBG
b) Caso: LAL (Lado-Angulo-Lado) Dos triángulos son congruentes si poseen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos comprendidos entre dichos lados son respectivamente congruentes. B
I I1
F
A
C
E
G
c) Caso: LLL (Lado-Lado-Lado)
1 0 2
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados de una misma medida. B
F
A
C
d) Caso:
E
G
ALL(Angulo-Lado-Lado)
U P
Dos triángulos son congruentes cuando poseen dos lados de una misma medida, y al mayor de los lados se le opone un ángulo congruente. B
F
E
A
C
C
E
G
Geometría y Trigonometría
Triángulos
21
Triángulos notables: A
A 53°
45°
5a
3a
B
C
4a
a
C
C
A 60°
2a
a
a
1 0 2 37°2
30°
A
C
B
3a
B C
C 76°
a
a
53°2
A
14°
A
4a
B
a
120°
25a
a
U P
30°
30°
A
C
a 3
Notas: 1.
2a
16°
A
24a
2.
E A
4a
Geometría y Trigonometría
C
B
B X = 30°
a
a
15°
74°
7a
B
75°
B
C
B
C
I I1
2
45°
37°
B
a
a
75°
A
x
2a
C
22
Centro Preuniversitario de la UNJBG
Problemas Resueltos 01. Según el gráfico - = 46°. Calcule x.
B
C 43°
I I1
D
17°
x
x
A
E
A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60°
A) 146° B) 92° C) 123° D) 136° E) 160°
1 0 2
04. X = 02. Según el gráfico calcule .
AB PC ,
x
B
7
5
P
x
x
155°
A) 17° B) 19° C) 31° D) 29° E) 47°
A
C
U P
A) 12° B) 15° C) 10° D)8° E) 7°
05.
E
Si
AB BC ,
PQ 8
QC 3 . Calcular AP .
03. En el gráfico el triángulo ADE es equilátero y AD DC . Calcule x.
C
x
x
B
A
C Q P
A) 11 B) 6.5 C) 7 D) 4 E) 5 Geometría y Trigonometría
y
Triángulos
23
06. En la figura. Calcular “x”, si HM 3 , AH 8
09.
x=?, si BD AC
B x
B
I I1
D 77°
26°
H
A
x
A
M
C
A) 37º B) 45º C) 53º D) 60º E) 72º 07. En la figura. Si AB DC 8 y BN NC . Hallar MN .
B N
A A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
E) 10
U P 30°
D
C
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° Geometría y Trigonometría
A
x
E
D
11. En el grafico adjunto AC BD . Calcular x.
B
x 3x
45°
C
C
A) 84° B) 94° C) 68° D) 100° E) 104°
B
E
1 0 2 B
M
C
A
tro O. Calcular X si: MN 3NO
N
D
M
Hallar
10. ABCD es un cuadrado de cen-
O
60°
08.
C
A) 13° B) 41° C) 29° D) 36° E) 26°
7x
A
D
C
A) 10° B) 15° C) 20° D) 12° E) 18° 12. En un triangulo rectángulo ABC, se traza las cevianas AE y
24
Centro Preuniversitario de la UNJBG
AF que trisecan el ∡BAC; se traza FH AC tal que EC 2HC . Calcular la m∡ACB A) 26° B) 30° C) 36° D) 37° E) 60°
A) 100° B) 110° C) 120° D) 130° E) 140° 16. En la figura, hallar “x” si BD = AC
I I1
B
13. En la prolongación de cateto BC de u triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P tal que AB = CP . Las mediatrices de
2
BP y AC se intersecan en Q,
2x A
calcule m∡QPB.
x
D
C
A) 30° B) 60° C) 45° D) 53° E) 54°
A) 25° B) 30° C) 15° D) 37° E) 45°
1 0 2
17. En un triangulo ABC se traza la
14. En la figura, BM es mediana y
ceviana interior BD , las rectas
AM = BC calcular m∡BCA.
mediatrices de BD y AC se inter-
AB
sectan en Q. Si
B
DC
y
m∡DCQ = 25°, Hallar m∡APC, si P es la intersección de AB y CQ .
° 24
A) 75° B) 95° C) 80° D) 105° E) 120°
C
M
A
U P
A) 153° B) 83° C) 103° D) 106° E) 115°
18. En la figura, BD = 5 y m∡DBC = 6°. Hallar AC
B
15. En la figura, calcular m∡ABC
P 30°
E
40° 20°
AD
C
B
32°
A
D
A) 15 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
C
Geometría y Trigonometría
C
Triángulos
25
19. En la figura si AM MC y
20. En el gráfico hallar MN si los triángulos ABC y PBQ son equiláteros. AP QC 12 .
EM 4 . Calcular “ MF ”.
B
M
M A A)2
F B)3
C)5
D)4
E)2
A
N
1 0 2 A)3 B)3 3 C)4 D)6
Resoluciones 01.
U P
C
E
x
E
A
90
B
AED: x = 90 + - Pero - = 45°
C
Q
P
C
E
I I1
B
x = 135°
Geometría y Trigonometría
x = 90 + 46°
D
C
E)5
26
Centro Preuniversitario de la UNJBG
02.
B
En el cuadrilátero cóncavo ABPC: m∡BPC = + 5 + = 7 Luego BCP es isósceles BC = PC = a También ABC es isósceles
7
a
5
a P
7
4
a
A
I I1
Luego m∡BAC = m∡ACB = 5 ∆BCP: 7 + 7 + 4 = 180°
C
= 10°
03. B
C 43° x a D a
60°
x = 45°
a
17°
x a
A
E
04. x
U P
2x
x
3x
4x
x
E
1 0 2
En el cuadrilátero cóncavo ABCD: + 60° = 17° + 90° + 43° = 90° CDE: x + x + =180°
155°
x
x
De la figura: x + 4x = 155°
x = 31°
C
Geometría y Trigonometría
Triángulos
27
05.
B
R
a
ARB = BR = QC =
a
8
A Q
x
BQC (HA):
I I1
3 y BQ = AR = 8 Pero: BR + RQ = BQ 3 + X = 8
3
x=5
C
8
P
06.
1 0 2 AHM =
B
MPC: MP 3 y PC 8
HPC es notable
x = 53º
H
8
H
3 x
A
M
C
U P 8
E A
C
M
D
N 8
X
Geometría y Trigonometría
60°
P
MP
8
4
2
También PN
60°
4
C
8
Trazamos MP|| DC
B
60°
6
P
P 07.
x
4
C
8
4 2 MPN es equilátero
x=4
28
Centro Preuniversitario de la UNJBG
08.
Trazamos
B
BHC es notable:
I I1
45°
ABD: m∡A = 30º (propiedad)
2a
φ = 75º
a 30°
75º
H
2a
BH = a
BC = 2a = AD
A
BH AC
C
D
09.
B
x = 26°
77º 26°
77°
26° a
A
C
U P
10.
B
C
Trazamos OP ⊥ AD y OQ ⊥ AB NQO =
Q
3a
M
N
C
E A
O
a
P
DE tal que,
m∡DEA = 77º BED = ADC (LAL)
D
E
1 0 2 Trazamos
a
x
Entonces,
a
R
OPR (ALA)
OR = a
MOR es notable: α = 14º
x
D
⇒ X = 90º + 14º
x = 104º
Geometría y Trigonometría
Triángulos
29
11.
AE tal que, m∡BAE = 4X Luego AE = BE . CAE = DBE (LAL) B E 3X E = a Trazamos
B x 3x
E
a
b
4x
3x
A
b
D
a
A C
a
I I1
3X
C D
⇒ DE = EC = b y m∡ACE = m∡BDE = α ABD: 2 α = 8X ⇒ α = 4X
ABC: 7X + 4X + α = 180º
x = 12° 12.
1 0 2 P
B 90°-
E
° 90
-
a
H
F
α
a
α
α
U P
A
Se pide: x
Se sabe: EC = 2 HC . Si Trazamos
x
H
E
C
HC = a ⇒ EC = 2a
CP ⊥ a la prolongación de AF .
Luego APC es isósceles ⇒ También
a
PH = HC .
CEP es isósceles ⇒ PC = EC = 2a ⇒ PH = HC = a
Asi que, m∡HCF = x = 2α (T. De las bisectriz interior)
C
ABC: x + 3α = 90º ⇒ α = 18º
x = 36°
Geometría y Trigonometría
30
Centro Preuniversitario de la UNJBG
13. Q
b A
I I1
b
a N
x
x
B
P
a
M C
Sean MQ y NQ las mediatrices de BP y AC respectivamente Trazamos BQ , AQ y QC . Luego BQP es isósceles m∡QBP = x y BQ = QP También AQC es isósceles AQ = QC = b
1 0 2
BAQ = QCP (caso L.L.L).Por tanto m∡ABQ = m∡QPC = x Luego m∡ABQ + x = 90°
x = 45° 14.
B 24°
D
4a
4a
A
C
U P M
4a
3a
E
Según los datos: AM = MC = BC = a
Trazamos CD BM y EA a la prolongación de BM . AEM =
E
CDM (H.A): BD = DM = ME = 4a
AEB es notable (14°): Entonces, AE =
BE = 3a 4
AEM: = 53°
m∡BCA = 106°
C
Geometría y Trigonometría
Triángulos
31
15.
Q 70°
a
P
I I1
H
70°
a
B 30°
20
°
20
2a
a
°
20°
A
C
M
1 0 2
Se construye el ∆ isósceles ABQ.
Trazamos AH BQ y BM AC Luego QH = HB = BM = a
AHB =
BPQ : BP = BQ = 2 ; pero BP = BC BC = 2a
AMB (H.A):
BCM es notable (30° y 60°): m∡C = 30°
m∡ABC = 130°
U P
16.
B
BCD: Trazamos la bisectriz DE Luego DEC es isósceles ACE = BDE (L.A.L): AE = BE
2 a
E 3
A
C
E
x
a
D
Geometría y Trigonometría
x
x
C
y m∡CAE = m∡DBE = ABD: 2x = 6 x =3 ABC: x + 7 =180 10 = 180° = 18° x = 54°
32
Centro Preuniversitario de la UNJBG
17. De la figura: AQB = DQC ( LLL)
B
Entonces: m∡BAQ = m∡DCQ = 25° Luego, APC: x + 75° = 180°
m P
I I1
x = 105°
a x
Q
b
b 25 °
a
25°
25°
A
D
C
m
18.
B ° 32
1 0 2
6°
5
32°
A
64°
M
U P
Se pide: AC Trazamos la mediana BM Entonces: AM = MC = BM
64°
58°
D
C
AMB es isósceles m∡BAM = m∡ABN = 32° Además, m∡BMD = 32° + 32° = 64° y
E
m∡BDM = 6° + 58° = 64° ∆MBD es isósceles Luego: BM = BD = 5 Asi que, AC = AM + MC
C
AC = 10
Geometría y Trigonometría
Triángulos
33
19.
B
a α
b
P a
2θ a
α
b
a
α
2θ
b
b
A
I I1
Q
C
M 4
Se sabe:
x
E
Se pide : x
AM = MC
F
1 0 2
EP . Luego AP = PB = EP =a y m∡APE = 2θ: BFC: trazamos la mediana FQ , AEB: trazamos la mediana
BQ = QC = FQ = b y m∡CQF = 2θ
Luego
ABC: MP = b y MQ = a (T. Puntos medios) EPM = MQF (LAL)
x=4 20.
B
U P
Q
M
P
6
60
E
A
3
R
3 60
N
6
Se pide: MN Se sabe: AP QC 12
C
APB = BQC (LAL): AP QC 6 y m∡BAP = m∡QCB =
C
Trazamos PC , NR || AP y MR || QC
Geometría y Trigonometría
34
Centro Preuniversitario de la UNJBG
AP 3 ( T. de los puntos medios ) 2 QC 3 ( T. de los puntos medios ) PQC: MR 2
APC: NR
I I1
Además, m∡RNC = m∡PAC = 60°- y m∡PRM = ∡PCQ = + .
NRC: m∡NRP = 120° - -
Entonces m∡MRN = m∡NRP + m∡PRM = 120° NRM: NM 3 3
NM 3
M
3
3 120°
N
R
3
1 0 2
Problemas Propuestos
03. x = ?
01. Hallar x, si AC = BC
B
B x
8°
15
x+15°
x+30°
A
C
D
A) 30° B) 35° C) 25° D) 40° E) 45°
U P
ˆ = 40°. x = ? 02. Aˆ C
B
x
E
A
D
E) 1
04. BP AC , AP es bisectriz; x = ? B
4x 5x
P
C
A) 100° B) 110° C) 115° D) 120° E) 92°
C
37° X C A) 3 B) 4 C) 5 D) 3/2
A
A
13x C
A) 9° B) 5° C) 4.5° D) 10° E) 7° Geometría y Trigonometría
Triángulos
35 cortan a AC en P y Q. Calcular
05. En el triángulo ABC, la altura BH y la mediana AM se cortan en N, tal que, AN NM , si AH 5 y NH 3 , Calcular AB . A) 8
B) 10 C) 12 D) 13
m∡PBQ. 10. Según el gráfico, calcule x. B
I I1
E) 15
06. Se traza la mediana BM del triángulo ABC tal que: m∡MBC=2x y m∡ABM=3x. Si BC 2BM , Calcular “x”. A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 10 07. En la figura calcular : DE , si BD 5
B
3
x
A
A) 45° B) 60° C) 36° D) 53° E) 72° 11. Según el gráfico: AE = FB = BE = ED = DC . Hallar “x”.
1 0 2 B
D
D
A
F
2
E
C
U P
08. La medida del ángulo del triángulo ABC es 70, se traza la altura BH , sobre ella se toma el punto P, tal que, BC AC ; además M y N son puntos medios de AB y CP .
A) 55° B) 65° C) 60° D) 72° E) 90° 09. El ángulo exterior del vértice B en el triángulo ABC mide 80, las mediatrices de los lados AB y BC
C
C
A
A) 36° B) 30° C) 45° D) 38° E) 20° 12. Según el gráfico AD || L , AC = BC , calcule “x”. B
D
Calcular: m∡AMN.
E
E
x
A) 7.5 B) 5 3 C) 5 2 D) 10 E) 12
Geometría y Trigonometría
C
2
x C
A
56° L
A) 37° B) 38° C) 42° D) 44° E) 48°
36
Centro Preuniversitario de la UNJBG
13. En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ) AC > AB . Calcule el
16. Según el gráfico BC = CE y AB = DE . Calcule “x”. C
máximo valor entero de la m∡ACB.
I I1
A) 30° B) 59° C) 60° D) 75° E) 64°
B
14. Según el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. Calcule “x”
3x 2x
E
B F x
E
D
A
37 2
53 2
1 0 2
A) 20° B)
C) 22°30´ D)
E) 30°
A
17. Según el gráfico 5( AD ) = C
D
A) 60° B) 30° C) 15° D) 45° E) 75°
4 3 BC . Calcule “x”. B
x
15. Según el gráfico el triángulo ABC y CHD son congruentes DC =5. Calcule AD
A
D
U P
23°
D
B) 37° C) 18° D) 8°
53° H
E
B
T
A) 2 5 B) 3 5 C) 2 3
5 E) 3 3
C
37°
B
C
C
H A
C
A) E) 15°
18. Según la figura, BC// AD , AH =HC y CD = 15cm Calcular: TC.
A
D)
37°
30°
D Geometría y Trigonometría
Triángulos
37
A) 7.5cm B) 8cm C) 9cm D) 10cm E) 11.5cm
23. Exteriormente al triángulo
19. Se tiene un triángulo rectángulo ACD, recto en “C” , se ubica un punto exterior “B” relativo al lado AC , tal que m∡BAC = m∡CAD. Se traza CM // AB , (M esta en AD ) y CM BD ={Q} Si AB 4 , AD 6 Calcular CQ.
rectángulo ABC (m∡B=90), se traza el triángulo equilátero BMC, tal que AM 12 . Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de BM y AC . A) 8
B)4 C) 3
D) 6
E) 3
I I1
3
2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 1,5 E) 2,5 20. Se tiene un triángulo escaleno ABC, se traza la altura BH , se tiene “M” punto medio de AB tal que AB 16 . Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de MC y HC . A) 8 B) 42
C) 4
D) 12
E) 6
21. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, en AC se ubica un punto “P” tal que, PC 2AB , la bisectriz del m∡BAC y la mediatriz de PC se intersectan en “M” y luego se traza MH BC . Si AP 8 2 . Calcular “ MH ”
U P
A) 4 B) 8 C) 82 D) 6 E) 15
22. El perímetro de un triángulo ABC es 36, calcular la medida del segmento que une los pies de las perpendiculares trazadas desde el vértice B a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C.
E
A) 24
C
B) 18 C) 30 D) 12 E) 15
Geometría y Trigonometría
24. Según el gráfico AB CD 4 , calcule BC . A
1 0 2
20°
B
20°
C
D
A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5
03 POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS
I I1
POLÍGONOS Es la figura plana que se encuentra formada por la unión de un conjunto finito de segmentos de recta que se llaman lados, que se unen por sus extremos y que se llaman vértices. ELEMENTOS:
vértice
lado
diagonal
1 0 2
ARQUIMIDES
ángulo interior
ángulo exterior
CLASES DE POLÍGONOS
1.
Convexo: Cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.
2.
Cóncavo: Cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos
E
U P
3. Equilátero: Todos los lados son iguales.
C
Polígonos y cuadriláteros
39
4. Equiángulo: Todos los ángulos interiores son iguales. 5. Regular: Todos los lados y todos los ángulos interiores son iguales. 6.
Estrellado: Es la figura plana formada por las prolongaciones de los lados de un polígono convexo.
I I1
NOMBRES ESPECIALES DE ALGUNOS POLÍGONOS Según él numero de lados un polígono se llama: Triangulo : Cuadrilátero : Pentágono : Hexágono : Heptágono : Octágono : Nonágono : Decágono : Endecágono : Dodecágono : Pentadecágono: Icosagono :
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados
U P
cuadrilátero
pentágono
1 0 2 hexágono
octágono
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS En todo polígono de n lados se cumple:
E
1) N° de vértices = N° de lados = N° de ángulos = n 2) Suma de ángulos interiores.- En todo polígono convexo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es:
C
Si = 180° (n – 2)
Geometría y Trigonometría
40
Centro Preuniversitario de la UNJBG
3) Suma de ángulos externos ( Se ).- En todo polígono convexo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es:
Se = 360° 4) Suma de ángulos centrales:(
I I1
Sc )
Sc = 360° 5) Número total de diagonales:
D
n (n - 3) 2
1 0 2
6) N° de diagonales trazadas desde un vértice = n – 3
7) N° total de diagonales medias =
n (n 1) 2
8) N° de diagonales trazadas desde v vértices consecutivos
n.v
=
( v 1)( v 2) 2
9) N° de triángulos que se obtiene al trazar diagonales desde un vértice = n – 2
U P
Notas:
En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces el número total de diagonales aumenta.
En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores no varía.
E
En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces el ángulo exterior disminuye.
C
Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
41
En todo polígono convexo si el número de lados aumenta, entonces el ángulo interior aumenta.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS REGULARES
I I1
1) Medida de un ángulo interior:
∡i=
180(n 2) n
ángulo exterior ángulo interior
2) Medida de un ángulo exterior:
∡e=
360º n
3) Medida de un ángulo central:
∡c =
360º n
CUADRILÁTEROS
o ángulo central
1 0 2
Es un polígono que tiene cuatro lados, dos diagonales y la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360°.
U P
CLASIFICACION DE LOS CUADRILATEROS
Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus lados. Pueden ser: Paralelogramos, trapecios y trapezoides.
I. PARALELOGRAMOS
C
E
Son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos, sus principales propiedades son: - Los lados opuestos son iguales. - Los ángulos opuestos son iguales. - Las diagonales se bisecan.
Geometría y Trigonometría
42
Centro Preuniversitario de la UNJBG
B
b
C
M
a A
a
I I1
D
b
Se cumple: AB CD ; BC AD
AM MC ; BM MD m∡A = m∡C y m∡B = m∡D
Clasificación de los paralelogramos: c. logramo cuyos lados son iguales y sus ángulos son rectos. Es un polígono regular.
a
B
A d.
45°
D
a
U P
E
A
C
b
a
D
b
Rombo: Es aquel paralelogramo equilátero.
b. Rectángulo: Es aquel paralelogramo equiángulo. b B C a
C
a
A
b
a
C
a
1 0 2
gramo propiamente dicho.
a. Cuadrado: Es aquel parale-
B
Romboide: Es el paralelo-
B
a
A
a
C
a
a
D
a
II. TRAPECIO
D
Es el cuadrilátero que tiene dos lados paralelos que se llaman bases y dos lados no paralelos. A la distancia entre las bases se le llama Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
43
PROPIEDADES
altura. B
C
A
1) En todo trapecio la longitud de la mediana es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. D
H
B
Donde: BC es la base menor y AD la base mayor.
B
C
x
M
1 0 2 a C
M
D
b) Rectángulo: Es aquel trapecio en el que un lado no paralelo es su altura.
B
C
U P
A
D
c) Isósceles: Es aquel trapecio en el que sus lados no paralelos son iguales.
B
E
C
A
Geometría y Trigonometría
D
x
N
x
b
A
D
Nota: Si
A
a
AN ND
B
M
C III.
b-a 2
entonces,
x
C
D
a b 2
2) En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de sus bases.
B
A
I I1
x
N
b
A
Clasificación de los trapecios a) Escaleno: Se llama así al trapecio cuyos lados no paralelos son distintos.
a C
x
N
b
b-a 2
D
TRAPEZOIDE Son los cuadriláteros que no tie-
44
Centro Preuniversitario de la UNJBG
nen ningún par de lados paralelos.
3)
B
C B
x
A
D
Nota:
Un trapezoide es simétrico cuando una de las diagonales es parte de la mediatriz de la otra diagonal, caso contrario, será asimétrico.
B A
A
4) Si G es baricentro, entonces, B
a
PROPIEDADES
1)
x=++
x
c
C
abc 3
5) Si O es el baricentro del trapezoide ABCD, entonces,
U P
C 2) B x D
E
x = 120° -
C
b
x
B
A
1 0 2 G
C
D
C x = 120° - 2
A
A D x
I I1
2
D
C
B
O
A a
b
c
x
2
C
x
abcd 4
Geometría y Trigonometría
D d
Polígonos y cuadriláteros
a.
45
En el cuadrado ABCD:
B
03. ( UNJBG 2003-I ). Si - = 20°. Hallar x, si ABCD es rectángulo.
C
x
x = 2k
I I1
k A
C
B
xA
D
M
D
P
A) 10° B) 20° C) 15° D) 30° E) 12°
Problemas Resueltos 01. (CEPU 2003-I).Calcular el número de diagonales de un polígono regular, si la medida de un ángulo interior es igual a cinco veces la medida de un ángulo exterior. A) 54 B) 56 C) 60 D) 58 E) 62 02. Si el octágono mostrado es regular. Calcular x
U P x
E
°
30
A) 45° B) 53° C) 60° D) 75° E) 90°
C
Geometría y Trigonometría
04. ( CEPU 2002 – II ) Si ABCD es un trapecio. Hallar la mediana.
1 0 2 B 4 C
14
82°
A
A) 10 D) 8
16°
B) 11 C) 12 E) 13
05. ( CEPU 98 – I ) PH =
A
8
B
10
D
P
8
H
C
A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 3.5
D
46
Centro Preuniversitario de la UNJBG
06. En la figura mostrada. Calcular x 09. En la figura. Calcular x
P
B
x
B
C
16°
A
x
32°
I I1
C
42°
Q 20°
D
A
D A) 8° B) 10° C) 12° D) 21° E) 14°
50° B) 55° C) 60° D) 65° E) 70°
10. En la figura. ABCD es un romboide, si: NC 4 y MN = 12. Hallar AM .
07. En la figura. Calcular x
B
1 0 2 N
A
10° 20°
x
40° 30°
B
C
A
A) 90° B) 100° C) 120° D) 135° E) 60°
U P B
40° x
D
A) 8 B) 13 C) 12 D) 16
08. En la figura. Calcular x
10° 20°
C
D
A
2
M
C
E) 15
D
E
A) 30° B) 40° C) 20° D) 50° E) 60°
C
Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
47
Resoluciones 01. Sea ND el número de diagonales. Del enunciado: medida de un ángulo interior = 5 ( medida de un ángulo exterior )
⇒
I I1
180(n 2) 360 5. n n
Resolviendo: n = 12 Asi que, ND =
∴
n (n 3) 12(12 3) 54 2 2
ND = 54
02.
A a Q
1 0 2 R
° 30
a
x x P
a
° 30 30°
a
Trazamos
U P
RS ⇒ ΔPRS es equilátero Además, ΔQAR = ΔRBS (LAL): ⇒ QR = RS = a ⇒ m∡PQR = X Y como QR || PB ; m∡QRP = 30º ΔPQR es Isósceles
E
Así que: x + x + 30º = 180º
C
S
PS : ΔPRB = ΔPSB (LLL) ⇒ m∡BPS = 30º
También, trazamos
∴
B
x = 75°
Geometría y Trigonometría
48
Centro Preuniversitario de la UNJBG
03. C
B
En cuadrilátero cóncavo PQAR: 180º -α + x + β – 90º = 90º
Q
180º
-
x
-
90º
A
P
I I1
⇒x=α–β Pero: α – β = 20º
∴
D
x = 20º
P 04.
4
B
C
1 0 2
Trazamos
82°
⇒
14
CE || AB
AE = 4 y m∡CED = 82º
ΔCED es Isósceles
82° A
82°
4
Luego.
16°
Mediana
D
14
E
=
∴
U P
05.
A
5
M 5
8
E
C
D
H
Prolongamos
4 18 = 11 2
Mediana = 11
HP hasta M
APD es Isósceles ⇒ AM = MD = 5 Además
8
x P
B
5
⇒ ED = 14
AB || MH : m∡APM = φ
⇒ MP = 5. Luego:
∴
x+5=8
x=3
C
Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
49
06. P
En la figura, vemos que Q es punto de intersección de los diagonales del rectángulo ABCD.
x B
x 50º
C
I I1
QC = ·
∆PQC es isósceles ⇒ m∡PCQ = x así que, x + x +50 = 180º
70º
∴
40º
Q
Entonces
x = 65º
70º
20°
A
D
07. P 50º 50º
º 10° 20° a
30
A
a
M
40° 30°
D
U P
Q
E
C
B
x
50 º
a
50 º 50 º
Geometría y Trigonometría
1 0 2 C
Prolongamos
CB y Trazamos AP
tal que, m∡BAP = 30º Luego ΔAPD es Isósceles ⇒
AM = MC = a
AQC es notable (30º y 60º):
AQ
AC a 2
AMP = AQD: AD = AP = ∎ Por tanto, ΔAPB = ΔABD (LAL)
50
Centro Preuniversitario de la UNJBG
⇒ m∡ABD = m∡ABP = 50º Así que x + 10 + 50º = 180º ∴ x = 120º
I I1
08. B x 10° 10° 10 °
A
40° 40°
E
C 10°
M
º 30 30º
F
60º
40º
70º
Q
º
40 70º
D Se construye ΔAFC igual al ΔABC
1 0 2
FP a la prolongación de AC , tal que m∡EPF = 10º
y se traza Luego
P
°
10
AE = EP ⇒ΔADP es Isósceles
Así que: m∡DPE = m∡DAE = 20º
CQ ⊥ FP ⇒ CM = MQ .
Trazamos
En consecuencia ΔCFQ es equilátero:
CF = FQ = QC =
FQP: m∡FQD = 30º + 10º = 40º ⇒ m∡DFQ = m∡FDQ = 70º ⇒ DQ = FQ = Así que: CQD es Isósceles: m∡CDQ = m∡DCQ = 40º
U P
Finalmente ΔDCP: x = 40 + 20º
C 20º
X
E
40º
D
∴
C
X = 60º
P
Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
51
09. B
Se construye APC = ABC:
16º
A
C
x x 42º
16º
16
º
P
30º
30
º H
D
E
También, CPE es Isósceles ⇒ CP = En consecuencia: ΔCPE es equilátero ΔAPC: 30º = 16º + x X = 14º
10.
N 12
4
4
2 E
A
M
C
12
D
E
C
2 4
U P
B
Geometría y Trigonometría
I I1
74º 74º
∴
CP = BC = · Se traza CE a la prolongación de AD , tal que AE = AC Luego, CDE es Isósceles ⇒ CE = CD = ·
1 0 2
PE = ·
NE = 4 y MN = 12 Se pide: AM se traza BE || NC . Luego, Datos:
MBE =
MCN ⇒
EM = MN = 12 Y BE = NC = 4 Además, AEB es Isósceles ⇒
AE = BE = 4
∴
AM = 16
52
Centro Preuniversitario de la UNJBG
Problemas Propuestos 01. ( CEPU 2001- I ). Hallar el número de lados de un polígono de modo que al duplicar el número de vértices la suma de las medidas de sus ángulos internos se cuadruplica. A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
A
B
D
C
F 02. Si la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es igual a dos veces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores, el numero de lados que tiene el polígono es : A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 03. Al sumar el valor de un ángulo interno del hexágono regular con el valor del ángulo externo de un pentágono regular se obtiene: A) 162° B) 172° C) 182° D) 192° E) 204° 04. En un polígono convexo desde (n-6) vértices consecutivos se trazan 25 diagonales. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. A) 1800° B) 1440° C) 1080° D) 720° E) 540°
C
E
P R
A) 9° B) 10° E) 18°
Q
C) 20° D) 15°
1 0 2
06. En un polígono regular desde 4 vértice consecutivos se trazan 105 diagonales. Hallar la medida del ángulo central de dicho polígono. A) 8° B) 10° C) 12° D) 15° E)18°
07. Los segmentos AB, BC, CD, DE son 4 lados consecutivos de un icosagono regular ABCDEF... Hallar la medida del ángulo formado por las prolongaciones de los lados AB y ED. A) 119° B) 100° C) 120° D) 115° E) 126°
U P
05. ( CEPU 2000-II) ABCD es un cuadrado y CPQRFD es un hexágono regular. Hallar x
I I1
x
08. Del gráfico BCDE es un rombo.
Si AB = 6. calcule la base media del trapecio ABCD.
B
C
A
E
37°
A) 14 B) 15C) 16
D D) 18
E) 28
Geometría y Trigonometría
Polígonos y cuadriláteros
53
09. Según el gráfico; ABCD y FECD son trapecios isósceles, calcule “x”.
A) 24 B) 30 C) 34 D) 28 E) 36
C
B
12. Según el gráfico BCEF es un cuadrado y O es la intersección de la diagonales del rombo ABCD, si EF = 8. calcule OH .
30° F
B
A
D
E
D 60°
A) 70° B) 60° C) 80° D) 50° E) 45° 10. Según el gráfico, BCDE es un paralelogramo. Calcule la razón entre la altura y el segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD. B
C
60° A
E
2 5 3 3 3 E) 2 2
D
A)
B)
3 C) 2 3 D)
U P
11. Según el gráfico ABCD y CGFE son cuadrados cuyos lados son 3 y 5 respectivamente. Calcule el perímetro de la región AMNP. G
M
E
B
C A
C
D
I I1
C
O
x A
H
N
A
E
Geometría y Trigonometría
F
F
E
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
1 0 2
04 CIRCUNFERENCIA
I I1
Hay una gran cantidad de cuerpos y objetos que presentan esta figura, como el caso de una moneda, la base de recipientes en forma cilíndrica, la rueda de una bicicleta, etcétera. Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esa longitud constante se llama radio. No hay que confundir lo que es la circunferencia con el círculo; por ello se procede a identificar ambas partes en la siguiente figura.
circunferencia
1 0 2
circulo
centro
PONCELET
Como puede observarse en la figura anterior, el contorno es la circunferencia, en tanto que la circunferencia con su interior es el círculo.
U P
Elementos: O: Centro R: Radio AB : Cuerda AB: Arco PQ : Diámetro L: Secante L1: tangente
C
E
B
L Q
A
O
R
P
F
Circunferencia
55
PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA
Toda tangente de una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto. L
B x
I I1
x
x pa O
F A
Si PF y PG son tangentes a la circunferencia, entonces: PF = PG . Además: =
F O
P
a
1 0 2
Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca a dicha cuerda y al arco que la subtiende. Así, si OP AB AH = HB y además,
A
G
C
Donde: p es el semiperimetro del triangulo ABC
P
H
B
O
AB y CD son tangentes.
U P
A
E C
C
x
y
xy
Geometría y Trigonometría
B
D
A
B
Nota:
Si AP || BQ , entonces:
P
Q
56
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
En toda circunferencia se cumple que a cuerdas iguales le corresponden arcos iguales y viceversa.
Es aquel cuadrilátero que tiene sus vértices en una misma circunferencia.
TEOREMA DE PONCELET
PROPIEDADES:
En todo triangulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de la longitud de la hipotenusa y la longitud del diámetro de la circunferencia inscrita.
1. En todo cuadrilátero inscrito, las
A
B
1 0 2 A
b
r
B
C
a c b 2r
c
D
a
C
ABCD: inscrito
TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de sus lados opuestos son iguales.
B
x
U P C
E
A
C
y
b
D
CUADRILÁTERO INSCRITO
⇒
2. En todo cuadrilátero inscrito la suma de medidas de dos ángulos interiores opuestos es 180°.
C
B
abxy
a
I I1
diagonales determinan ángulos de igual medida con los ángulos opuestos.
A
D
= 180°
3. En todo cuadrilátero inscrito, un ángulo interior tiene igual medida que el ángulo exterior opuesGeometría y Trigonometría
Circunferencia
57
to.
A C
B
B
A
β θ
I I1
θ
P
D
Ángulo Interior:
C
ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA Angulo Central:
A
β
β
β = 2
θ
B
U P 2
Angulo semi-inscrito:
Q
β
E
C
Ángulo exterior:
P
A
P
1 0 2 A
A
Angulo Inscrito:
θ
D
B
B
P
θ
θ
β
O θ
β
B
Ángulo Ex – inscrito:
Geometría y Trigonometría
=
β 2
β
θ
αβ 2
αβ 2
D
α β θ 2
C
Todo ángulo inscrito opuesto a un diámetro es recto:
B
A
O
C = 90°
58
Geometría y Trigonometría
Nota:
Centro Pre-Universitario de la UNJBG pueden ser ubicados en una misma circunferencia.
Si P es punto de tangencia:
C B
P
B
I I1
P
A
D
β
A
Cuadrilátero Inscriptible una Circunferencia
de
En la figura, si: A, B, C y D pueden ser ubicados en una circunferencia, entonces:
Es aquel cuadrilátero convexo que puede inscribirse en una circunferencia; es decir, que sus vértices
1 0 2 ABCD: inscriptible
Condición para que un cuadrilátero sea inscriptible Caso I :
Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores opuestos son suplementarios, es inscriptible.
B
A
U P
C ω
D
E
En la figura, si: 180 Se cumple:
ABCD: inscriptible
También, si: Se cumple:
C
ABCD: inscriptible
Geometría y Trigonometría
Circunferencia
59
Caso II: Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos ángulos de igual medida, es inscriptible.
I I1
C B
En la figura, sí:
A
Se cumple:
ABCD: inscriptible
D
Problemas Resueltos 01. ( CEPU 98-I ). DB es tangente, AB BC ; x =
1 0 2
03. TF es tangente. ÁB || TF ; x =
T
D A
C
x B
O
O 100°
x
28°
A
C
U P
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° 02. DP || ÁC , m∡ PDB = P
D
E
A
C
F
20°
A) 31° B) 56° C) 17° D) 28° E) 32° 04. En la figura. Hallar AD =
A
A) 45° B) 55° C) 25° D) 35° E) 65° Geometría y Trigonometría
B
136°-
C
B
B
D
C
A) 68° B) 64° C) 100° D) 132° E) 136°
60
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
05. En el triangulo rectángulo ABC ( recto en B), calcular “R”, si : AM MC
B
3
08. Si: AB BC y DC 2 AH . Calcular “x”
D
N
I I1
B 5
R
H x x
C
M
A
A A) 2 B) 2 C) 1 D) 3 5 5 E) 2
5
P
Q
A x
O
U P
A) 30° B)60° C)37° D)45| E)41° 07. Calcular “x” (“O” centro)
o x
E P
1 0 2
09. En la figura, hallar PQ
B
M
E
A) 15° B) 30° C) 20° D) 10° E) 25°
06. Calcular “x”
A
C
B
O
A) 19° B) 30° C) 23° D) 45° E) 27° 10. En la figura, hallar x
B
x
30°
30°
A
M
A) 90° B) 60° C) 45° D 75° E) 30°
C
Geometría y Trigonometría
C
Circunferencia
61
11. En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia hallar α
C
F
Q B
B
S
E
70°
O
A
R
C
12. ( UNJBG 2003-I ). A, B, C, D son puntos de tangencia. Hallar x. A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
1 0 2
Resoluciones 01.
D
Como
A
O
Pero:
100°
100°
U P
02.
x
∴ x = 65º
C
AB = BC ⇒ el arco AB = al arco BC = α
Luego: α + α + 100º = 360º ⇒ α = 130º
x B
I I1
D
A
P
x
2
P
D
x
E
A
C
20°
C
40º
B
O
Geometría y Trigonometría
Como
DP || AC ⇒ AD = DC = α
Luego: α + α + 40º = 180º ⇒ α = 70º Así que:
∴
x
x = 55º
40º = 55º 2
62
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
03.
T x
F
Del gráfico: x + 28º + x = 90º
x
8º +2
∴
C
I I1
x = 31º
O x 28°
A
B
04.
A
136º - α =
B
136°-
x
y D
xy α= ⇒ x - y = 2α … 2 Luego de y se tiene que: 2x = 272º
∴
U P
05.
B 3 4 5
a
E
53º/2 2a
C
x = 136º
ΔAPD es Isósceles: AN = NC = 5
N
53º
xy 2
⇒ x + y = 272º - 2α … También,
C
A
1 0 2
Sea el arco BC = y
ABN es notable (37º y 53º): AB = 4
5
y m∡ANB = 53º
R
M
53º/2
2a
C
Geometría y Trigonometría
Circunferencia
63
NMC es notable (53º/2) ⇒ NM
MC
2a
2
a
2
Pero, a ( 2a ) 5 a 5 También: a + 2a = 5 + 2R (T. Poncelet) 2
R
2
2
I I1
3 5 5 2
06.
B 26.5º
22.5º
x Q
T
M
r
r
1 0 2 r
45º
º 67.5
O'
r
22.5º
A
P
O
2r
Se unen los centros O y O’ cuya prolongación llega al punto de tangencia P y trazamos O' T . PO’T es isósceles: O' T = O' P = r y m∡O’TP = m∡O’PT = 22.5º
U P
OTP: m∡ATO = 22.5º + 45º = 67.5º ⇒ m∡TAO = 22.5º Luego AOP es isósceles: AO=
OP = 2r = OB
MOB es notable (53º/2): m∡MBO = 53º/2 = 26.5º
C
53
E
M
º/2
B
r
Geometría y Trigonometría
2r
O
BQT: 67.5º = x +26.5º
∴
x = 41º
64
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
07. Trazamos los radios OS , OP y OT Luego los triángulos OSP y OPT son equiláteros. En la circunferencia menor:
∴
o x S
60º
60º
I I1
x = 60º
o x
T
60º 60º
P
1 0 2
120º
P
08.
D
Como ΔABC es Isósceles: ⇒ CF = AH = a
B
30
º
y m∡BAC = m∡ACB = α ABE: m∡DBE = α + x
+x
2a
P F
a
a
En el
H x
m∡ACP = m∡DBE = α + x
U P E
C
D º
30
x
E
B x
C
C
⇒ m∡BCP = x
x x
A
ABPC inscrito:
x
x
∴
Luego:
BCED es inscriptible
x = 30º
E
Geometría y Trigonometría
Circunferencia
65
09.
P r
x
C 30°
2r
r
I I1
30°
30°
53° 2
A
Q
O
2r
B
2r
ADC es notable ( 53° / 2): OCQ es notable ( 30° y 60°):
m ∡ CQO = 30° = m ∡QOP Luego,
53 x 30 x 23 2 2
10. Trazamos CH AB , Luego
CH
AHC es notable (30° y 60°):
AC
30°
30°
U P 30°
A
E
a
Trazamos HQ MC
m ∡CHQ = m ∡ QHC = m ∡ MHA = 30°
Geometría y Trigonometría
B
x
H
a , También HM a MHC es
2 equilátero.
C
1 0 2 30 °
m ∡ CAD = 53° / 2,
P
M
a
a
x
x
Q
a
C
° 30
66
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
B
H
30°
BCPH es inscriptible: m
30°
x
∡ PCH = x
También m∡ PMH = x
P
I I1
BHM: x + x = 30°
x
x 15
C 11.
Trazamos OP y OA Luego POSA es inscriptible
Q
S
O
60
R
P
1 0 2
m∡SOA = m∡ SPA = α Por otro lado BO y OA son bisectrices exteriores del ABC α = 90 – α / 2
B
A
C
12.
U P
C
En el ΔPCD: x + = m∡DPC +
Entonces: ∡DPC = x Luego, alrededor del punto P: x + 140° = 180°
x = 40°
C
E
140°
P
x
140°
B
70°
A
E x
D
Geometría y Trigonometría
F
Problemas Propuestos 01. Según el gráfico QBPC es un romboide. B y C son puntos de tangencia, calcule “x”.
P 40°
B A
A) 150° B) 200° C) 180° D) 240° E) 260°
I I1
04. En el gráfico, M es punto de tangencia. Si mMN = 40°. Calcule mNP.
M
80°
N
x C D
P
Q A) 140° B) 80° C) 120° D) 90° E) 100° 02. Del gráfico AC = AB y D es punto de tangencia. Calcule “x”.
B
1 0 2
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 70°
05. Según el gráfico L1|| L2. P es punto de tangencia, calcule “”.
P
A
C
D
2
A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°
U P
03. En el gráfico, mABC = 200° y C es punto de tangencia, calcule mCED. A
E
D
E
L2
A) 23° B) 25° C) 24° D) 22°30´ E) 20° 06. En la figura - = 40°, calcular el valor de x.
B
C
L1
O
x
C
40°
x
A) 100° B) 110° C) 120°
68
Geometría y Trigonometría
D) 130° E) 140°
Centro Pre-Universitario de la UNJBG 09. Si: A, B y C son puntos de tangencia. Calcular “x + y + z”
07. De la figura, calcular el inradio del triángulo rectángulo ABC, si: AM MC y BN NC
x
B M
A
B
C z
N 4
3
A
I I1
y
Q
P
A) 5 B) 7 C) 10 D) 14 E) 12 08. Calcular “a + b + c + d”
C
A) 90° B) 180° C) 270° D) 360° E) 540°
P
H
b a
c o d
A
U P
A) 360° B) 400° C) 540° D) 600° E) 480°
E
C
1 0 2
10. Según el gráfico: AH = 3( HP ). Calcule m AH.
B
A) 100° B) 120° C) 135° D) 127° E) 143°
Geometría y Trigonometría
05 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
I I1
PROPORCIONALIDAD Diremos que dos segmentos AB y BC son proporcionales a otros dos CD y DE si y
AB
solo si,
BC
CD DE
TEOREMA DE THALES
1 0 2
Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes a ellas, segmentos proporcionales.
Si L1 || L2 || L3. Entonces:
L1 a
L2
U P
b L3
También;
E
a m b n
C
m
n
a b mn a m
Thales de Mileto
a b m n
70
Geometría y Trigonometría
Notas: Si PQ ||
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
AC , entonces:
B P
Q
a
b
n
m
A
I I1
m
a
b n
C Si P es punto de tangencia, entonces: P
a
m
B
A b
a n
m
D
C
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
1 0 2
b
n
En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde parte la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.
c
A
B
U P a
m
P
n
c m a n
C
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
E
En todo triangulo se cumple que los lados que forman el vértice por donde parte la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto.
C
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
B
71
c
c m a n
a
A
n
C
I I1
P
m
TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triangulo se cumple que el incentro divide a la bisectriz interior en dos segmentos que son proporcionales; el que une el vértice con el incentro es a la suma de los lados que concurren con la bisectriz como el que une el incentro con el lado opuesto es a este.
B m
c
n
A
1 0 2 m ca n b
a
I
C
b
TEOREMA DE MENELAO
Una recta secante a un triangulo determina sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes.
x
U P
B
F a
E
A
C
b
E
y
z
C
TEOREMA DE CEVA
Geometría y Trigonometría
c
D
abc = xyz
72
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triangulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes.
I I1
B b
x
P
Q
abc = xyz
y
a
A
z
M
c
C
DIVISION ARMÓNICA Un segmento AB se dice que está dividido armónicamente por los puntos P y Q ( P en AB y Q en la prolongación de AB ) si y sólo si ,
A
P b B d
a
c
1 0 2 a d b c
Q
Notas : Los puntos A, P, B y Q constituyen una cuaterna armónica.
Al conjunto de cuatro rectas concurrentes en un punto exterior al segmento AB y que pasan por los puntos A, P, B Y Q se les llama: Haz Armónico.
U P
TEOREMA
En todo triangulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo vértice determinan un haz armónico.
C
A
a
E
P b B d
C
a d b c
c
Q
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
73
Dos triángulos se llaman semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y los lados homólogos proporcionales. Se dicen ángulos homólogos, los ángulos respectivamente iguales; lados homólogos son los opuestos a ángulos homólogos.
I I1
se lee “ es semejante a “. ∆ ABC ∆ DEF
Notación: Así,
B
E
a
b x
A
D
C
c
y
1 0 2
F
z
a b c x y z CRITERIOS DE SEMEJANTES
Dos triángulos son semejantes si tienen al menos dos ángulos respectivamente de igual medida.
U P B
A
E
~
C
Q
P
R
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados cuyas longitudes son proporcionales y el ángulo comprendido de igual medida. AB PQ Así, si m∡A = m∡P y ABC ~ PQR AC PR
C
Geometría y Trigonometría
74
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
B Q
~
C
A
I I1
R
P
Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus tres lados son proporcionales. Así, si
AB
PQ
BC
QR
AC PR
ABC ~
PQR
1 0 2
B
Q
~ C
A
R
P
Nota:
Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si, tienen un ángulo agudo común.
U P
A
D
B
E
C
E
F
PROPIEDADES ADICIONALES:
C
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
75
B x
x 2 ab
I I1
A a P
Si PQ ||
C
b
AC , entonces:
B P
A
a
b
m
D
a b m n
Q
n
C
Además, si a = b m = n
1 0 2
Problemas Resueltos 01. Del gráfico
AE || BF || CG y
EB || FC || GD ,
U P
Si AB = 9 y BC = 6. Calcule CD E
F
G
A
E
B
C
D
A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 4
02. En la figura, hallar BQ .
C
Si QP = 8 , PC = 5 y CF = 7.
Geometría y Trigonometría
B
A
C
P
F
Q
A) 8 B) 9,5 C) 10
D) 11,2 E) 15
03. ABCD es un romboide. Hallar
GH si AP 10
76
Geometría y Trigonometría
P
B
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
B
C
M
H G
A
H
Q R
N
I I1
A
D
C
A1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5
07. En la figura, hallar DE si FC 1
04. En la figura, hallar,
y AB 9
si AC = 3, AR = 10 y PR 4
B
A
B
P R Q
D
1 0 2 C
A
F
D
E
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
C A) 1,3 B) 2 C) 1,5 D) 1,2 E) 1
08. En la 3 AF 2FC
05. En la figura, T y P son puntos de tangencia. Hallar AC si TP 5 y PC 4 .
figura
hallar
x,
si
B
x
U P
30°
A
F
x
C
A) 53°/2 B) 45° C) 30° D) 37°/2 E) 37°
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
E
06. En la figura, se muestran dos semicircunferencias tangentes. M y N son puntos de tangencia. Hallar MN si BH = 2 y AC 18
C
09. ABCD y AEFG son cuadrados; P y Q son Centros. Hallar PQ , si DE = 8 Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
B
77
BC se toma un punto E, las cuerdas EA y ED cortan a BC en P y Q.
A E
Hallar QC , si BP = 4 y
Q
P
PQ = 2.
G
I I1
F C
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
D
A) 3 B) 4 C) 5 D) 1 E) 4 2 10. Sea ABCD un cuadrado inscrito en una circunferencia. Sobre el arco
Resoluciones 01. Se pide: x
F b
9
B
También, EB || FC || GD :
G
Luego:
6 C x D
9
6
02.
U P B
P
8
E
Q
C
C
Se pide: BQ
Geometría y Trigonometría
P
5
S
7
F
6 x
9
6
a
b
∴ x=4
A
a
b
a
A
1 0 2
Como, AE || BF || CG :
E
6 x
78
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
Como mPC = mQP m∡CFP = m∡ PAQ = α, Luego: CF || AQ m∡CFP = m
∡SCF = m ∡BAQ = θ
a 7 . Así que, a = 11,2 8 5
APQ ~ CPF:
I I1
Pero: BQ = a
BQ = 11,2
03
ABPR es un romboide
AG GP 5
a
B
x
H
a
P
Q b
a
R
a
2a
D
10
B
U P
P
x
3
Q
4
x=3
E
04.
A
1 0 2 5 x a 5 x 4a
b
G
A
BHP ~ AHE:
C
R
PQR ~ ACR:
x
4
X = 1,2
C
D
C
E
Geometría y Trigonometría
3 10
Proporcionalidad y Semejanza
79
05.
A P
T
4
x
9
I I1
C
a las circunferencias.
x 4
x=6
06.
B M
2 H
A
18
U P
Se pide: MN
C
Trazamos MP y NP m ∡MPN = 90° (propiedad). Luego, el cuadrilátero MBNP es un rectángulo. Asi que, BP MN . Además α + β = 90° m
E
MBN ~ ABC:
C
MN
MN 6
Geometría y Trigonometría
18
2
BP
9 x
1 0 2
N
MN
2
∡ BPC = 90°
= 18(2)
C
Por T trazamos la tangente común
PAC ~ TAC:
A
x
80
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
07.
B
I I1
9
A
1
C
F
D x
a E ADE ~
x
FCE:
a
También,
ABE ~
Luego de y :
1
x
b
FDE:
x
a b
…
1 0 2
9 x 9 a … a b x b
9 x
x 3 08
U P
ABC: m∡ ABP = 30°.
P 30° x
b
B
2b
5a
2b
E
A 2a F
C
Luego, APB es notable (30° y 60°) AB 2 AP 2b AFB ~ ABC:
30°
2a 2b
x
3a
a
b 10
APC:
;
5 AC 5a b 10 PC 3b
x = 37°/ 2
C
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
81
09.
B
A
a 2 45°
a
45° b 2 b
I I1
E
Q
a 2
P
a
G 8
F
D
C
De la figura: PAQ ~ DAE: A
A b
45α
45 α
Q
a
b 2
a 2
x
8
P
D
C
E
U P
Geometría y Trigonometría
1 0 2 x
E
8
a
a 2
x 4
2
82
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
10.
E 45 °
45°
B
P
4
2
45° 45°
I I1
C
Q x
90°
90°
A
D 90°
BEQ: EP es bisectriz interior
BE EQ
Además, EC es bisectriz exterior
Luego: 2
6x
BE
4
2
2
6x
EQ
x
U P
x
x =6
1 0 2
Problemas Propuestos
E
MN = a – b y NP = a + b.
01. Del gráfico AB = x - y; BC = x + y;
C
Calcule:
xa yb
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza A
83
M
30
º
B
C
B
30º
N
I I1
E
P
C
D
A
A) 24 B) 6 C) 12 D) 16 E) 15
05. Según el gráfico 2( PQ ) = 3( PT ), SN = 15 y Q es punto de tangencia. Calcule HM .
A) 1 B) 1 C) 7 D) 9 E) 2 7 9 5
02. AP // BQ // CR. A
x=
1 0 2 Q
T
P
P
15
x
B 9
H
Q 12
C
R
M
S
A) 25 B) 23 C) 26 D) 30 E) 29
N
A) 7,5 B) 5 C) 10 D)9 E) 12
03. En la figura mostrada; BM 1, NC 4 y MN 2CD. Calcule el perímetro del rectángulo ABCD.
U P
P B
M
E
A
N
C
C
P
8
B
A
4
5
C
D
D
A) 24 B) 18 C) 15 D) 22 E) 11 04. En la figura AB = 3, BC = 4. Calcule BE . BD . Geometría y Trigonometría
06. P es punto de tangencia.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16 07. Los lados de un triángulo ABC miden:
84
Geometría y Trigonometría
AB = 6, BC = 4, AC = 5, se traza la bisectriz interior BD. Calcular AD. A)1
B) 2
C) 3
D) 4
Centro Pre-Universitario de la UNJBG 11. Calcular BH .
B
E) 5
08. x =
I I1
3 1
9
B 5
A
H
A)1
B) 4
C C) 5
D) 2
E) 3
12. RC = B
A
x
C
7
P
09. En la figura, BD y CE son bisectrices interiores. AD Hallar , si: DC
1 0 2 5
20
R
10
N
F
A
AE BI 4 . EB ID 3 B
M
C
A) 50 B) 40 C) 25 D) 30 E) 45 13. En la figura , hallar x, si BE = EC
E
A
l
A)1
B) 2
D C) 3
U P
D) 4/5
E
8
E) 1/3
las rectas AC y BM se cortan en el punto F. Calcular la distancia del punto F al lado BC , si AB = 18. A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
B
F
C
10. En el rectángulo ABCD, se toma el punto medio M del lado CD ,
C
2
E
A
A)3
C
12 B) 4
C) 6
x
D) 2
D E) 7
14. x =
Geometría y Trigonometría
Proporcionalidad y Semejanza
85
B
P
20
4
x 9 D C A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
A
A) 8 B) 9 C) 10
15. x =
30
A
15
B
F C) 11
B
N
C x
B) 7
D) 9
E) 10
16. BD =
E) 7
1 0 2
U P
D
C
A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 15
17. ( UNJBG 2002-I ).P de tangencia;
E
F
B) 10
C) 9
D
D) 7
E) 8
19. Halla x =
16
F 9
C
A
A) 11
B
A
D) 6
18. ( CEPU 99-II ). BC = 2 CD , FD =21. AF =
M
A) 6
I I1 C
x
Q
6
A
6
B 80°
y Q puntos
B
x
4
A
D
C
6
E
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
m∡BQC = 160°. Hallar x
C
Geometría y Trigonometría
20. ( CEPU 99-II ). AB = 2PQ; QC =
86
Geometría y Trigonometría
Centro Pre-Universitario de la UNJBG
B 8
A 4 A) 5
P
B) 8
Q C) 4
D) 3
E) 10
21. En un triángulo ABC, la mediana BM y la bisectriz interior AF se cortan en el punto “O” , la prolongación de CO corta al lado AB en el punto N. Calcular BN , sabiendo que: AB = 6 y AC = 12 A)1
B) 2
C) 3 D) 4
C
E) 5
U P
E
I I1
C
1 0 2 Geometría y Trigonometría
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