CEPREVAL MÓDULO 2 - Área III

TEMA: CIRCUNFERENCIA I Es la figura geométrica plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo del mismo plano. Al punto del cual equidistan los puntos de una circunferencia se denomina centro y a la distancia entre él y un punto de la circunferencia se denomina radio.

3. Ángulo Semi-inscrito Ejm: T



x

x

L1

P

H T M

T

Q

240º B

O

x=

A

L2

R

x = 

2

4. Ángulo Interior

C

Ejm:

D

ELEMENTOS: Centro

“O”

:

Radio

:

“R”

Cuerda

:

PQ

Arco

:

PQ

Diámetro

:

AB

Flecha o Sagita

:

MH

Recta Tangente

:

L1

Punto de Tangencia :

T

Recta Secante

:

x=

q

Ángulo Exterior:

A.

A b

B.





B

22 7

T 

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ejm:

x = 

2

5

L2

Ángulo Central

x

q

x

60º

La medida de una circunferencia en grados es 360°. A la unión de la circunferencia con la región interior se le denomina círculo. El perímetro de un círculo es igual a 2R. Donde:  =

80º



NOTA:

1



=

β ω 2

=

β ω 2

O



b

80º

O

A x O



x

C.

O

T x=

x = 

 + =180° 

b



O

2. Ángulo Inscrito

P

Ejm:

P

 100º

x

x

x=

NOTA:

q

 2

A

x = 

B

Si: P: es punto de la semicircunferencia.

1

AB : Diámetro, Entonces:

4. En una circunferencia de radio 13 m, se tiene una cuerda AB que mide 24 m, hallar la sagita de AB A) 5 M B)8 C) 7 D)6 E)4

q = 90°

PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1.

5. Del gráfico, determinar 2x": T A) 20° B) 25° C) 30° D) 40° x E) 50°

 = 90°

R O 

T Si: T: punto de tangencia

50°

2.

R

b

b=



T

N

Si: ON  AB (AB : cuerda) PRÁCTICA

B) VVF E) VVV

a) 33º b) 11º c) 22º d) 44º e) 66º

C) FVV

B

a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 90º

a) 3 b) 6

c)

A

D

B

2

3 O

d) 3 3

C

65º

B

c) 3 2

B

e) 3 5

50º

60º A

C

x

2 45º

q

9. Hallar : “AB” ; “O” es centro

3. Hallar “x” ; mBC = mCD = mAD

53º

33º 

50º x

A

b)

x

8. Hallar “r” ; “O” es centro. AB = 4 ; CD = 6 a) 1 b) 2 r c) 3 O d) 4 e) 5 C

2. Hallar “x” ; mAB = 160º

a)

O

7. Hallar : (q)

1. Indicar el valor de verdad de: I. Todo diámetro que biseca a una cuerda es perpendicular a dicha cuerda. II. Si dos circunferencias son secantes, entonces el segmento que une los centros intercepta a la cuerda común. III. La mediatriz de una cuerda contiene al centro de la circunferencia. A) FFV D) FFF

10º

a) 10º b) 5º c) 20º d) 70º e) 45º

B

O

A

6. Hallar “x” ; “O” es centro.

AT = TB

10. Hallar “x”

D A

a) 80º b) 70º c) 60º d) 50º e) 40º

2

d) 18º e) 20º

2

x 100º

60º

11. Del gráfico, calcular "x": A) 15° B) 18° C) 22°30' 3x D) 30° E) 45°

17. Desde un punto "P" exterior a una circunferencia se trazan las tangentes , luego se ubica el punto "C" en el arco mayor AB. Hallar la: mB

 A+B   A-B   Sen    2   2 

CosB-CosA = 2Sen 

II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.

sen3q  senq  2a

I 

sen3q  senq  2b cos 2q

II 

A)

2a  2b3  b

B)

a 3  2b  1

D)

a 3  b3  a

E)

2b  a  2b3

C)

2a  b  2a 3

05).De la siguiente identidad

cos 3q  cos q sen5q  sen3q   AsenBq 

Calcule A+B. A) 5 D) 15 / 12

Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales. Considerando:

o

sen6q  6sen2q cos 6q  cos 2q

A) sec 4q D) tan 4q

B.Suma o diferencia de cosenos a producto

o

B) 7 E) 17 / 12

C)11

06).Simplifique la siguiente expresión:

A B

A) tan 3q D) tan 5q

2SenACosB  Sen(A  B)  Sen(A  B) 2SenBCosA  Sen(A  B)  Sen(A  B) 2CosACosB  Cos(A  B)  Cos(A  B) 2SenASenB  Cos(A  B)  Cos(A  B) 2SenASenB  Cos(A  B)  Cos(A  B)

07).Si

senq  sen3q  sen5q cos q  cos 3q  cos 5q B) cot 3q E) tan 4q

C) cot 5q

7q   , calcule el valor de:

sen6q  sen4q sen3q  senq

A)  2 D) 2

63

B) 1 E)  1

C) 3

17).Si: A=Sen1°+Sen2°+Sen3°+ ...... + Sen180° B=Cos1°+Cos2°+Cos3°+......+Cos180° Calcular: A. B

08).Calcule el valor de a en la siguiente igualdad.

cos 80  2 cos 40  a cos 10 o

o

A) 3

B) 2 3

D) 2

E) 1

09).Si

o

C) 3 3

1 2

f  x   cos 3x  cos x  cos 4 x,

calcule f 20o  A) 0,225 D) 0,15

B) 0,25 E) 1,25

E)

D)

1 2

E)

15).Simplificar: E  A) Cos27° D) 4Cos27°

C) CscxSen (2 x   x/ 4) E) SecxSen (2 x   /x 4x)

A) 2

Cos 2 A) 3/4 D) 5/2

2 2

24).Calcular: A) 1 D) 4

Cos 42  Cos12 Sen75

C) –1

D) 1

O H2

H2O

23).Calcule el valor de:



O

O

7 H2O O2

-

2 32  Cos 2 7 7 Radio O

2 2  HCos

C) 3Cos27°

E) –2

64

atómic C) 1 o

B) 3/2 E) 5/4

O

Radio

H2   4Cos 20 3C tg 20

H2O O2

-

B) 2 E) 3

Radio dio 25).Transformar a producto: atómic A) CosxCos2x C) Cos3xCos4x mico E) Cos2x . Cos5x o

Sen 23x  Sen7 x Sen14 x  Sen 2 x

B) 1/2

O

2CscxSen (2 x   / 4)

O O

16).Si: 21x   calcular:

D)

O

C) 2 2

B) 2Cos27° E) 5Cos27°

B) Cos2xCos15xCos5x x D) Cos2xCos15xCsc5x x

O

3 Senx

3 Cosx

B) 2

7

oo xx oo x 21).Calcular el valorx de: Csc10° –oo 4Cos20° oo x x A) 1/2 B) 3 / 2 x C) 3 / 4 oo x oo x D) 3 oo E) 2 xoo x xoo xx 22).Factorizar: 2(xSenx  Cosx)  Secx x A) 2Sen(2 x   /x4x) B) 2SecxSen (2 x   / 4) xxx

 3    Sen  . Sen   8  8 E  5    Cos Cos   12   12  2

 2 

4Sen2xCos 4 xCos 6x  2SenxCos 3x

A)Sen2xSen15xSen5x x xx C) Sen2xCsc15xCos5x xx E) Sen2xSen15xCsc5x

14).Encontrar el valor de:

A)

q

   3  x Ctg   .Ctg    Tg    .Tg      2    .Tg    x Ctg   Ctg  2 3   Tg 2   2      E  x    3  x Ctg 2   .Ctg  x Tg    .Tg  2   

20).Factorizar:

13).Simplifique: K=Sen (30°+x) +Sen (30° – x) D) 1

Cos10° Cos80°+ 2Cos40° 5

19).En un triánguloqABC la   3  transformar  5   a7producto  Tg    Sec     Csc     Tg Ctg   7 54    .Tg     4   2  – 4 expresión: Sen2A+Sen2B Sen2C  Sen    Cos  Sec 2   6 E 3 A) 4SenASenBSenC  3  3  B) 4CosACosBSenC    5   7    .Ctg    Tg    Ctg Tg     Sec     Csc    2  3  C) 4SenASenBCosC    4   D)  44CosACosBCosC   4  Tg    .Tg     Ctg   Ctg    2    2  E) 4SenACosBSenC E 

12).Factorizar la expresión: E= 1+Sen2x A) 2Sen(45  x)Cos(45  x) B) 2Sen(45  x)Sen(45  x) C) 2Cos(45  x)Cos(45  x) D) Sen(45  x)Cos(45  x) E) 2Sen(45  x)Cos(45  x)

C)

E) –1

C) 2a

11).Sea la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 cuyas raíces son cosq y cos  calcule cosq     cosq    A) 2c / a B) a / c C) c / a D) ac E) 2a / c

B) Cosx

D) 1

1 2

C)  C tg  

Sen    Sec   Cos Cos80°+ Cos10° 6 3  3  80°+2Co Cos80°+  3   5   7  Tg   Sec   Csc        q+2Cos40   4   4   4  7 5  2  os40° Sen    Sec   Cos 6 3 0°  3 

10).Si

A) Senx

B) –1/2

18).De la figura, calcular "q " A) 30° B) 37° C) 75° D) 60° Cos10° 10° E) 45°

C) 3,25

3  2 cos 10o  a, calcule el valor de: sen70o sen100o en términos de a . A) a B) 3a D) a / 2 E) a / 4

A) Tg   

C) 3

Cos 2 2 x  Sen 2 3x B) Cos2x. Cos3x D) Cosx . Cos5x