CEPRE Tema 03 Operaciones Con Polinomios-Productos Notables

E

x  2 8

2x

L

a 2  b2  c2 L 2 b  c2  a2 M 



3



3 1 T 

3



9  3 3 1

x y x y 5

4

 

a 3  b3  c3 abc

x3  x x 2  mx  n

x9  y 9  x7  y 7 P 5 x  y 5  x3  y 3

8 x 4  6 x 3  23 x 2  mx  n 4 x 2  3x  1

 

 1 x6 y 7  1 5  1 x8 y 7  1

4

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2013 - III

OPERACIONES CON POLINOMIOS ADICIÓN – SUSTRACCIÓN ADICIÓN: Para sumar dos o más polinomios se escriben uno a continuación del otro y luego se reducen los términos semejantes Ejemplo: Es decir: Sumar: n n-1 4 3 4 2 A = aox + a1x + …. + an A = 3x – 2x + 6x – 8 ; B = 2x – 3x + 5 n n-1 B = box + b1x + …. + bn 4 3 2 n n-1 A = 3x – 2x + 0x + 6x – 8 A + B = (ao+bo)x + (a1+b1)x + …. + (an+bn) 4 3 2 B = 2x + 0x – 3x + 0x + 5 4 3 2 A + B = 5x – 2x – 3x + 6x – 3

SUSTRACCIÓN: Para restar dos polinomios se suman el polinomio MINUENDO con el opuesto del polinomio SUSTRAENDO Es decir: Ejemplo: n n-1 A = ao.x + a1x + …. + an Restar: n n-1 3 2 3 2 - B = - b.x – a1x - …. – bn A = 7x – 3x + 8x – 4 ; B = 5x – 6x + 3x – 1 n n-1 A – B = (ao-bo)x + (a1 – b1)x + …. + (an-bn) 3

2

A = 7x – 3x + 8x – 4 3 2 - B = -5x + 6x – 3x + 1 3 2 A - B = 2x + 3x + 5x – 3

SIGNOS DE AGRUPACION PARENTESIS CORCHETE LLAVES VINCULO O BARRA

( ) , * + ̅

LEY DE SUPRESION DE SIGNOS Si el signo de agrupación esta precedido del signo (+), los términos no cambian de signo. Si el signo de agrupación está precedido del signo (-), todos los términos cambian de signos.

Ejemplos:  A = - 4a - 3b - -2a + b + (-3a + b) A = -4a + 3b – 2a + b – 3a + b A = -9a + 5b 

Ejemplos:  + (3x – 4) = 3x – 4 

- (3x – 4) = -3x + 4

B = --3x + 2y - x + y + (2x -  3x  2y  B = 3x – 2y + x + y + 2x + 3x – 2y B = 9x – 3y

Método de los coeficientes separados MULTIPLICACIÓN Se consideran los siguientes casos: Producto de Monomios: n m n+m (ax ) (bx ) = abx Ejemplos: 5   3  3 5 3 5 3 2 3+2 5  (2x ) (4x ) = (2) (4)x = 8x   a 4b 2c  -   abc4  =- a b c 8 5 8     Producto de un monomio por un polinomio: n m p n+m n+p (ax ) (bx +cx ) = abx + acx Ejemplos: 2 2 2 3 2  (4x )(3x+5) = (4x ) (3x) + (4x ) (5) = 12x + 20x 3 2 3 2 2 3 6 2 5 3 4 4 3 5  (5x y )(2x - 3x y + 4xy – 6y ) = 10x y – 15x y + 20x y – 30x y Producto de polinomios: n m p q n+p n+q m+p m+q (ax +bx ) (cx +dx ) = acx + adx + bcx + bdx 2

Ejemplos: 

ÁLGEBRA

 P = (2x – 3x + 4) (3x + 5) 2 2x – 3x + 4 3x + 5x 3 2 6x – 9x + 12x 2 10x – 15x + 20 3 2 6x + x – 3x + 20

Consiste en multiplicar sólo los coeficientes de los polinomios, previamente ordenados, completando con ceros los términos que falten; luego se colocan las variables y los exponentes Ejemplos

P=(4x5 – 2x4 + 3x2 - 1) (2x2 + 3x – 5) +4 +2 +8

–2 +3 –4 +12

0 –5 0 –6 -20 +8 +8 –26

+3

0 –1

+6 0 –2 0 +9 0 –3 +10 0 –15 0 +16 +9 –17 –3

5 5

Luego: Grado (P) = 5+2 = 7 P = 8x7 + 8x6 – 26x5 + 16x4 + 9x3 – 17x2 – 3x + 5

Las ciencias y las letras son el alimento de la juventud y el recreo de la vejez. 2

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2013 - III

PRODUCTOS NOTABLES Son productos indicados que tienen una forma determinada, de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo, sin necesidad de efectuar la operación.

PRODUCTOS NOTABLES TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

IDENTIDADES TRINÓMICA DE ARGAND (x2m + xmyn + y2n)(x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n Formas particulares más usuales:

(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

IDENTIDADES DE LEGENDRE I1: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) I2: (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab Multiplicando miembro a miembro las identidades I1 e I2: (a + b)4 – (a - b)4 = 8ab (a2 + b2) DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a – b) = a2 – b2 DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 IDENTIDADES DE CAUCHY (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) (a –b)3 = a3 – b3 – 3ab(a –b) Relaciones Particulares (a + b)3 + (a – b)3 = 2a (a2 + 3b2) (a + b)3 – (a – b)3 = 2b (3a2 + b2) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a - b) (a2 – ab + b2) = a3 - b3 DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO Según Cauchy, se puede escribir así: (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc Otras formas más usuales del desarrollo:

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c)(c + a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) –3abc (a + b + c)3 = 3(a + b + c) (a2 + b2 + c2) – 2(a3 + b3 + c3) +6abc

ÁLGEBRA

Si: m = 1, n = 0:

(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

IDENTIDADES DE LAGRANGE: (a2 + b2) (x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay – bx)2 (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2 IDENTIDADES DE EULER

(a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + w2) = (ax + by + cz + dw)2 + (bx – ay + cw –dz)2 + (cx – az + bw –dy)2 + (dx – aw + bz – cy)2

IDENTIDADES DE GAUSS a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Debemos tener en cuenta que: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac = [(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac = [(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2] IDENTIDADES ADICIONALES (a + b + c) (ab + bc + ca) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc (a + b) (b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc (a – b) (b – c) (c – a) = ab(b – a) + bc(c – b) + ca(a –c) Identidades Condicionales: Si: a + b + c = 0, entonces se verifica que: a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) a3 + b3 + c3 = 3abc a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + bc + ac) OBSERVACIÓN:

3

(a - b)2 = (b - a)2

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7. Reducir: M = (x - y) (x + y) (x2 + y2)(x4 + y4) + 2y8 1. Si: a + b = 5; ab = 3. Hallar: M = a – b (M > 0) a) 1 d)

17

b)

3

e)

13

Si: x  8 1  3 ; y  8 3  1 a) 1 d) 2

c) 7

b)

Hallar: E 

d) 4 11

e) 4 6

c) 2 11

10

3. Si: x2 + y2 = 5; xy = 2. Hallar: x6 + y6 a) 125 d) 50

b) 60 e) 110

4. Sabiendo que: x+y =

4 3  2 ; xy = 2 3 - 3

Calcular: A =

x2  y2

a) 4 3

b)

2

d) 3 3

e)

3

c) 2 2

6.

b) 54 e) 60

e Calcular: E 

x

a) 1 d) e

c) 58



 e x  e x  e x

donde: e = 2,7182..... b) 2 e) e2

c)

4

c) 4



2

a

9. Si: x3 + y3 = 28; además: xy (x + y) = 12 Calcular: A = x + y b) 3 e) –3

c) 4

10. El equivalente de la expresión: 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) es: d) (x2 + 5x + 1)2 e) (x + 1)3

11. Evaluar:

S

sea un trinomio cuadrado perfecto.

x–1=a

x3  1

a) (x2 + 2x + 2)2 b) (x2 + 3x + 1)2 c) (x + 1)2

5. Calcular “m” entero positivo de tal forma que: 16x6 + (m –2) x3 y4 + 49y8

a) 56 d) 52

6

b) a-1 e) a2

a) a d) 1

a) 2 d) –2

c) 65

c) 2 3

x2 + x + 1 = a5 ;

8. Si:

2. Sabiendo que: a + b = 8 y ab = 5 Hallar: V = a – b a) 2 6

b) -2 e) -1

 2

a) –2 d) 1 12. Si

5 7

 2 

b) –1 e) 2



5  7  2 10 c) 0

Calcular:

√

( x 2  1)( x 4  x 2  1)( x 2  x  1)( x 2  1)( x 2  x  1)  m a) 2

b) 3

13. Si: x = 2 + Calcular: a) 1 d) 12

c) 0

d) -1

2 S  x2 

b) 3 e) N.A.

4 x2

c) 6

e) -2

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14. Calcular:

Operaciones Algebraicas – Productos Notables











1  3 . Determinar el valor de: x 1 x   1 x  1   1  x E  x    x x       x     x    

20. Si x 

E  32 1  3 2 2  1 2 4  1 2 8  1 216  1 a) 32 d) 4

b) 16 e) 2

15. Calcular:

x

M

2

Si: x = a) 1 d) 3 16. Si

x7



c) 8

 x  1x  2x  3 x  4 

2

3 2 b) 3  2 e) 5

c) 2 3

m2  n 2  m2  n 2  n 2 . Hallar:

a) 0 d) n2

17. Si a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 9. Determinar el valor de: E = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 a) 9 d) 18

b) 12 e) 21

c) 15

ab  ac  bc

a) 1 d) –2

b) –1 e) 0

c) 2

19. Si: a + b + c = 60 Reducir:

R a) 1 d) –1

ÁLGEBRA

a  103  b  203  c  303 a  10b  20c  30 b) 2 e) –2

a+b+c=5 a2 + b2 + c2 = 7 a3 + b3 + c3 = 8 Calcular: S = (a-1 + b-1 + c-1)

2 3 e) 5 b)

x9 22. Si:  a x9 a

–1

c) –3

 7

Hallar el valor de:

K

4

a) 5 b) - 5 d) a o b e) a y b

c)

3



2a  b  c 2  2b  c  a2  2c  a  b2

c)20

21. Si:

23. Efectuar:

18. Si: a + b + c = 0; reducir: A 

b) 18 e) 24

3 2 d) 2

c) m2

b) 1 e) 2

a) 15 d) 21

a)

m2  n 2  m2  n 2

2013 - III

S  x 3  3x



a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

2

a x9



4

x9 a

 x  1x  12 x  2x  2

c) 3

24. Si: x  1 3 3  3 9 Señalar el valor de: R = x 3 - 3x2 + 12x – 6 a) 10

b) 2

d)

e) 0

3

9

c)

3

3

c) 3

5

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7. Hallar el valor de: 2 2  a  a2 b 2  a b 2  b2    E         4  ab ab   ab ab    ab 2 ab 2     

1. Si: x2 + y2 = 5; xy = 2. Hallar: x6 + y6 a) 125 d) 50

b) 60 e) 110 3

2. Si: a + b = 3. Hallar: a + b a) –18 d) –27

Para: a  2  3 ;

c) 65

b) 27 e) 18

3

c) 9

a) 9 d) 21

x3

b) 15 e) 27

a 4. Si:   b

n

b  4  a

Calcular: A 

3

n

c) 18

 725; an > 0  bn > 0

n

x+y =



 n

 2n  2n  1 n  2n  2n  1 3

2

n 1

d)

b) n2 –1

n 2  1 e)

E

c) n +1

n4  1

2 3 d) 3 ÁLGEBRA

b) 1

b) –3 e) -11

c) 10

4 3  2 ; xy = 2 3 - 3

Calcular: A =

x2  y2

a) 4 3

b)

2

d) 3 3

e)

3

c) 2 2

11. Reducir:

3x  y   3y  z  3z  x  3x  y  . 3y  z . 3z  x 

a)

b) 1 c) –4 e) dos respuestas

2

6. Si x + y + z = 0, entonces el valor de la expresión: 3

16 3

10. Sabiendo que:

c) 3

2

a) n2+1

e) 2

a) 0 d) –9

n n

5. Simplificar:

M

3 16

c)

E = (x2 – 4x – 1)2 – (x2 – 4x – 2)2 – 2(x – 2)2

a n  2b n

2

4 3

9. Simplificar:

b) 2 e) 20

3

d)

a) 2 d) 4

a b

a) 1 d) 9

b)

E = a + b (E > 0)

1

x3 +

3 4

8. Si: a2 + b2 = 12; ab = 2. Hallar:

1 3. Si: x + = 3 x Calcular:

a)

b 2  3

3

3

c) 2

M = (x - y) (x + y) (x2 + y2)(x4 + y4) + 2y8 Si: x  8 1  3 ; y  8 3  1 a) 1 d) 2

b) -2 e) -1

c) 2 3

e) 4 6

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x2 + x + 1 = a5 ;

12. Si: Hallar: E 

6

x3  1

3

c)

a

3

13. Si: x + y = 28; además: xy (x + y) = 12 Calcular: A = x + y a) 2 d) –2 14. Efectuar:

b) 3 e) –3

c) 4

c) 3

B=

x

b) 60 e) 110

2

Si: x =

 2x  4



2

c) 65

 xx  2x  4 x  2

a) 1 d) 4

a) 1 d) –2

x  3 2 x 2  3 2x  3 4 x 3  2  4

23. Si: Calcular:

b) 2 2

c) 0

e) 4

18. Hallar el equivalente de: F  3 54  30 3 

c) 0

22. Efectuar:

x2  1  2 17. Sabiendo que: x Calcular: 1  1  E  1    x 2   x  x 

ÁLGEBRA

c) 3

b) 2 e) –1

a) x3 + 2 d) 2

2

1

b) 2 e) 5

c) 4

d)

4  3 2 1

(x + 1) (x2 + x + 1) (x - 1)(x2 – x + 1) - x6

6

b) 3  2 e) 5

a) 2

c) 4x2

20. Simplificar:

3 2

a) 1 d) 3

b) x2 e) 1/x

a) 1 d) 0

21. Efectuar:

15. Si: x2 + y2 = 5; xy = 2. Hallar: x6 + y6

16. Calcular:

c) 4

(x+y+2)2 + 2(x+y+2) (x-y-2)+(x-y-2)2 – 4x2

3

b) 2 e) 5

a) 125 d) 50

b) 3 e) 5

3 2  13

(x+3) (x – 3) + (x + 1)3 – x3 – x (4x+1)+9-2x a) 1 d) 4

a) 2 d) 6 19. Efectuar:

b) a-1 e) a2

a) a d) 1

x–1=a

2013 - III

a) 1 d) 4

b) x e) 0

c) x + 2

x4 + x - 4 = 47 P = x + x-1 b) 2 e) 5

c) 3

24. Dadas las igualdades: a2 + b2 – c = 25 a + b3 – c = 5 Calcule el valor de a + b -

3

54  30 3

a) 1 d) 5 7

b) 2 e) 3

3

c ; si a  c c) 0

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x y z    k . Determinar a b c

30. Si

a4 + b4 = 47 ab = 1

25. Si:

E

Calcular: R  a 6  b 6  2 a) 10 d) 20

b) 18 e) 3

26. Si: x + 2 = 23

E

a)

b) 5

d)

x  8

4

+x

–4

= 7, siendo x  1 . El valor de

a)1 d) 4

2x

c)  5

b) 2 e) 5 x

xx  1212 . Hallar

32. Si

13

a) 2 d) 5

a2  b2  c 2

b) 3 e) 6

c a a e) b b)

b c

a c

c)

 1  1  1 1 E  8 n   n2  2  n4  4   8 n  n  n  n 

b)n+1

E

34. Si x.y = b,

29. Si a  ac  b  bc , a  b , abc  0.

b)1/5 e) 4/3

c) 3/2

1 1  2  a . Calcular: 2 x y

E = ( x + y)2

c)n2

e) 1

3 . Calcular:

(a  b) 2  (b  c) 2  (a  c) 2 12

a) 0 d)3/5

28. Si n2 = n + 1, n  R  . Reducir:

a) n d)n2-1

c) 4

b2  c 2  a2

33. Si a-b = b-c =

d)

c) 3

E  x6 x9  x9

L

a) 1

c)0

2

27. Si: a + b + c = 0 Calcular:

b)2 e) k

E = x – x – 1 + 1 , es:

e)  3

3

ax  by  cz x2  y2  z2  ax  by  cz a2  b2  c2

a)1 d) 2x/a 31. Si x

2x

Calcular:

5

c) 14

2013 - III

a) a2+2b d) ab

b) (2a+b)2 e) a. b - 1

c) b(ab+2)

Calcular el valor de

E a) 0 d)-3 ÁLGEBRA

a b c   bc ac ab b) 1 e)3/2

c)3

8

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