Centroides y Momentos de Inercia de Areas

 

FACULTAD DE INGENIERIA Escuela de Ingeniería Ambiental

  en entr troid oides es y Mom Momen ento toss de Inercia de Áreas MSc. Ing. Hebert Vizconde Poémape

 

Conce Concepto pto de Centro Centroide ide Perfil erfiles es Simples Simples El centroide de un area area es el punto punto con rrespect especto o al cua cuall el area area podria ser equilibrada si estuviera soportada en dicho punto. La palabra se deriva de la palabra centro y puede ser considerado como el centro geometrico de un ar area. ea. P Para ara cuerpos tridimensionales, el termino centro de gravedad o centro de masa, se usa para definir un punto

similar.

 

Centr Centroides oides de formas formas complej complejas as Si el ár área ea tien tienee un ej ejee de si sim met etrí ríaa, el cent centrroi oide de qued quedar aráá en di diccho eje. eje. Si el área área tien tienee do doss ej ejes es de si sime metr tría ía,, el cent centro roid idee se en encu cuen entr traa en la in inte ters rsec ecci ción ón de es esto toss do doss ejes ejes..

El pr prod oduc ucto to de dell ár área ea to tottal po porr la dis distan anci ciaa a su cent centrroi oide de es igua iguall a la su sum ma de lo loss pr prod oduc ucto toss del del área de cada ada compo ompone nent ntee po porr la dis distan anci ciaa a su centr entro oide, ide, con la di disstanc ncia ia medi medida da con resp respec ecto to al mism mismo o eje de refere referenci ncia. a.

 

Este principio utiliza el concepto del momento de un área, es decir, el producto del área por la distancia del eje de re reffer eren enci ciaa al cent centro roid idee del del ár área ea.. El princ principi ipio o es esta tabl blec ecee que que::

El momento del área total con respecto a un eje particular es igual a la suma de los momentos de todos los comp compon onen ente tess con con re respe spect cto o al mism mismo o eje. eje. Esto se expresa matemáticamente como Ec. 1

 

El subíndice i indica que puede haber varios componentes, y que se debe formar el producto AiYi, por cada uno y luego sumarlos, como lo requiere la ecuación (1). Como nuestro objetivo es calcular ത entonces se resuelve la ecuación (1):

 

Problema 1: Loca Localice lice el centroid centroidee del area mostrada mostrada en la figura figura

Objetivo: Localizar el centroide. Datos: El area mostrada mostrada en la figura figura

Análisis: Co Como mo el ár área ea ti tien enee un eje eje ve vert rtic ical al de si sime metr tría ía,, el ce cent ntro roid idee resid idee en dic icha ha líne neaa. La di disstanci ncia vert rtiical de la ba base se del área al centroide se calcula con la ecuación (2). El área tot otal al se di divi vide de en un rec ecttán ángu gulo lo (p (par artte 1) y en un tr triá iáng ngul ulo o (part partee 2), como se mue uesstr traa en la figura 2. Cada una de las pa part rtes es es un unaa forma rma si sim mpl plee cuy uyo o cen entr tro oid idee se de dettermi ermina na con lo loss da dato toss de la fi figu gurra 1. La Lass di disstan anci cias as a lo loss ce cent ntrroi oide dess con resp speecto a la base del área se mues uestr traan en la figur uraa 2 como como y1 y y2

 

Resultados La tabla siguiente facilita los cálculos de los datos requeridos en la ecuación

 

Problema 2: Localice el centroide del área mostrada mostrada en la figura Objetivo Localizar el centroide. Datos El área mostrada en la figura Análisis Como el área tiene un eje vertical de simetría, el cent centrroi oide de qu qued edaa en di diccha lí líne neaa. La di disstanc ncia ia ve vert rtic ical al de la base base de dell ár área ea al ce cent ntro roid idee se ca calc lcul ular aráá co con n la ec ecua uaci ción ón (2 (2). ). El área total se divide en tres rectángulos, como se muestra en la figura. La parte 1 es el rectángulo, de 50 mm de altura por 40 mm de ancho. La parte 2 es el rectángulo de 20 mm X 30 mm removido del área 2 co comp área cons erar neg ativ part es mpue el uest resta; ca; tánelguár loea,s, uApese rioco r nsid deider 10aráámne mgat X iva. 6a.0 La mpa m.rteeLaXs distancias a los centroides desde la base del área se mues mu estr tran an en la fi figu gura ra co como mo y1y 2 y y3.

 

Concepto de Momento de Inercia de un Área La propiedad del momento de inercia de un área indica la rigidez de una viga, es decir d ecir,, su resistencia a reflexionarse cuando se somete a cargas que tienden a reflexionarla.

 

Así pues, se deduce que si se coloca una gran parte del área alejada del eje centroidal, el momento de inercia tenderá a ser grande. La fórmula matemática del momento de inercia, I, se deriva de la definición. Un método aproximado implica el proceso de suma, indicado por Σ. Ec. 3 Un refi refina nami mien ento to de dell méto método do de suma suma in indi dica cado do por por la ecua ecuaci ción ón (3 (3)) es el pr proc oces eso o de in inte tegr grac ació ión, n, la té técn cnic icaa mate matemá máti tica ca de rcia su sum arquier caere ntid nteidad ades es infi in fini nit esim es ima ale les sn aco tr tra avé vés s de toda da un área. ea. La ve verd rdaade derra de defi fini nici ción ón matemá emáti ticca de mome moment nto o de ine inerc iamre requi el uso de inte inttegr grac ació ión como mo sig sigue: ue:to Ec. 4

Momento de Inercia de Perfiles compuestos cuyas partes tienen el mismo eje centroidal Si todas das las parte rtes de un área compue puesta tiene el mis ism mo eje cent entroidal, el moment nto o total de iner nercia se encu ncuentr entraa su suma mand ndo o o rest restan ando do los los mome moment ntos os de in iner erci ciaa de la lass pa part rtes es comp compon onen ente tess co con n re resp spec ecto to al eje eje ce cent ntro roid idal al.. El va valo lorr de I se su sum ma si la pa part rtee es un ár área ea só sóli lida da po posi siti tivva y se rest esta si la pa part rtee es hu huec eca. a.

 

Problema 3: Calcule el momento de inercia del perfil en forma de cruz mostrado en la figura con respecto a su eje centroidal.

Objetivo Objetivo:: Calcular el momento de inercia centroidal. Datos: El perfil mostrado en la figura. Análisis

El centroide del del perfi rfil en forma rma de cruz se encu ncuentr traa en la intersección de los eje jess horizontal y verti ticcal de simetría. Si la cruz de divide en las tres partes mostr traadas en la figura, resu sullta que cada una una de ell llaas tiene el mismo eje centroidal, x-x, que la sección compuesta completa. Por consiguiente, podemos calcular el valor de I de cada una de las partes y su suma marl rlos os par para ob obte tene nerr el va valo lorr to tota tal, l, IT Es decir decir,

 

Problema 4: Calcule el momento de inercia del perfil mostrado en la figura con respecto a su eje centroidal. Objetivo: Calcular el momento de inercia centroidal. Datos: El perfil mostrado en la figura Análisis El centroide de un perfil compuesto se encuentra en la inter erssec eccció ión n de los ejes de simetr tríía horizontal y verti ticcal. Coincide con el centroide del cuadrado y el círculo. Se pued puedee consid ideerar que que el perfi rfil compue puesto es el cuadr uadraado con el círculo removido. Por consiguiente, podemos cal alccul ulaar el val alor or de I1 ca calc lcul ulan ando do el va valo lorr de I, de dell cu cuad adra rado do yEsres est tan ando lorr de I2 del cír círcul culo. o. decir dec ir,,do el valo

 

Momento de inercia de perfiles compuestos caso general: Uso del teorema del eje paralelo Problema 5: Calcule el momento de inercia de perfil T mostrado en la figura con respecto a su eje centroidal. Objetivo: Calcular el momento de inercia. Como mo pa paso so 1, divi divida da el pe perf rfil il T en do doss pa part rtes es,, como Análisis: Co se muestra en la figura. La parte 1 es el vástago y la 2 el patín horizonta horizontal.l.

 

La Lass prim primer eras as tres tres co colu lumn mnas as de la ta tabl blaa con onti tien enen en dato datoss pa parra ca calc lcul ular ar la ub ubic icac ació ión n de dell ce cent ntro roid idee medi median ante te la técnic téc nicaa mostra mostrada. da. Las distan distancia cias, s, yp se mide miden n ha haci ciaa arrib rribaa de la ba base se de dell pe perf rfil il T. El resul esulttad ado o es ത = 2.75 in.

Pasos 2, 3.

 

Tabla resumen

 

Determinar minar los centroides centroides y momentos de inercia inercia Deter