Centro de Massa

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Centro de massa A. E. A. Amorim, Member, IEEE 

  O centro de massa de um corpo é determinado pela  Resumo —  O distribuição de massa em um corpo ou um sistema de corpos. Para objetos simétricos, o centro de massa está localizado no meio do objeto. Quando não há forças externas agindo sobre o sistema, a velocidade do centro de massa é constante. Centro  Index Terms — Centro

conhecido como centro de massa. Considere um sistema de referência qualquer. Se a posição de cada partícula i  é denotada por r i  , a massa total do sistema formado pela N partículas é  M 

de massa, Sistema isolado

I. I NTRODUÇÃO ENTRO de massa é um conceito bastante importante na Física e Engenharias pois está associado ao conceito de estabilidade e permite a análise do sistema em termos do centro de massa do sistema além de outras vantagens. Na navegação é um dos ingredientes para verificar a estabilidade da embarcação ou comportamento de manobra da embarcação. O centro de massa é determinado em função da distribuição de massa no corpo ou em um sistema de corpos distribuídos espacialmente. espacialmente. Considere um corpo suspenso por uma corda como mostra a Fig. 1.  1.  O centro de massa está localizado na reta vertical tracejada. Suspendendo o corpo em outra posição o centro de massa continua localizado na reta tracejada. Desta forma, a intersecção destas duas retas determina a posição do centro de massa do objeto.

C

 N 

m  

(1)

i

i 1

A posição do centro de massa de um objeto é definida como sendo  MR 

 N 

 m r    i i

i 1

(2)

Fig. 2. Quando um bastão é lançado, as partes do bastão giram em torno de um eixo.

O resultado pode ser generalizado para cada eixo do sistema de referência. Desta forma  N 

 xcm 

m x

i i

i 1

 M   N 

Fig. 1. O centro de massa está localizado na reta vertical [1].

II. CENTRO DE MASSA Quando um bastão é lançado no espaço, em geral, os pontos situados no bastão giram em torno de um eixo assinalado pelo  ponto preto, como mostra a  Fig. 2. Todos 2. Todos os pontos do bastão giram em torno deste eixo. Se o interesse no estudo é apenas verificar o movimento de translação do bastão, basta considerar que toda a massa do bastão está sobre o ponto preto, considerando ele como um objeto pontual. Este ponto é 08/14/2015.

 ycm 

m y i

i 1

 M 

i

 

(3)

 N 

 z cm 

 m  z

i i

i 1

 M 

 Na forma vetorial, vetorial,  Rcm  xcm x  ycm y  z cm z   Observe que a velocidade do centro de massa é

(4)

A. E. A. Amorim is with the Naval Shipbuilding, College of Technology of Jahu, SP 17209200 BR, (e-mail: . re

 Notas de aula –  Física 2  –  Centro de Massa d

 Rcm 

d

d

xcm x 

y cm y 

2 d

  z cmz   dt  

(5) dt dt dt vcm  ucm x  vcm y  wcmz onde u, v, e w são os componentes da velocidade do centro de massa,  N 

u cm 

mu

i i

i 1

 M  Fig. 4. Movimento do foguete e dos destroços. A trajetória do centro de massa não se altera [3].

 N 

vc m 



vi y i

i 1

 

 M 

(6)

 N 

wcm 

m w i

i

i 1

 M  Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas é nula, então a velocidade do centro de massa é constante. Neste caso, temos um sistema isolado.

III. OBJETOS LINEARES EM UMA DIMENSÃO Quando os objetos são extensos na dimensão do comprimento, ou seja, as demais dimensões são pequenas comparadas com o comprimento, podemos definir a densidade dm linear do fio de comprimento como sendo    , na qual d  d   é o elemento de comprimento do fio. Assim

 xCM    yCM    zCM 

 dmx   xd   ,   L

  yd   L

L

,

 

(7)

 zd   

,  L de forma que a integral deve ser feita sobre o fio. Se o fio é constante e está situado sobre o eixo x (origem numa das extremidades) então  L

 xCM  

Fig. 3. Colisão de duas esferas. A linha tracejada mostra o movimento do centro de massa em cada frame que está representado  por x [2].

A Fig. 3 mostra frames de uma colisão de duas esferas. Assinalado por x, está a posição do centro de massa. Como não há forças externas na direção do movimento das esferas, o centro de massa se move com velocidade constante, o que se  percebe pela linearidade da linha tracejada. Da mesma forma, quando um foguete é lançado e explode no ar, os destroços se movimentam de tal forma que o centro de massa dos destroços mantém a mesma trajetória inicial, como pode ser visto na  Fig. 4.

  xdx   L   0

(8)  L 2 Portanto o centro de massa em um fio uniforme está situado na sua metade. Quando houver vários fios, de comprimentos e massa diferentes formando figuras geométricas diferentes, há um método bem simples: Estabeleça um sistema de referência, em qualquer lugar. Em geral escolha aquele que facilite o cálculo; Calcule as coordenadas do centro de massa de cada fio; Considere que cada fio é uma partícula de massa . Calcule o centro de massa. 





IV. OBJETOS CURVOS EM UMA DIMENSÃO Considere o fio formando o arco de uma curva, delimitado  pelo ângulo   , como mostra a Fig. 5.

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3

Fig. 7. O centro de massa pode estar localizado fora do objeto [3].

Fig. 5. Arco de curva.

De fato, como a curva está sobre o arco de circunferência de raio r , então  x  r cos  .   (9) Uma pequena variação do arco, implica em uma variação de ângulo d     e de comprimento do arco d  . Portanto d  rd   . Assim  xCM  



 

 

2

r cos  d  



 

 



VI. TRIÂNGULO Considere um triângulo retângulo, como mostrado na  Fig. 8. O triângulo pode ser dividido em pequenas tiras de comprimento dx e altura y. A área do triângulo é ab   (12) S   2 Para o cálculo do centro de massa as expressões ficam

Sycm

r sin    

rd  

 

      ydS   y dx

Sxcm  xdS  xydx 2

(13)

(10)

 yCM   0

V. PLACA RETANGULAR  Considere um retângulo de lados a e b. Portanto b 1 1 a a  xcm  xdxdy  xdx d y  0 ab ab 0 2   (11) b 1 1 a b  ycm  ydxdy  dx ydy  0 ab ab 0 2 Portanto o centro de massa de um retângulo está situado no meio da sua placa. Uma placa pode ser decomposta em placas menores com figuras geométricas conhecidas. Desta forma o cálculo do centro de massa segue o padrão das partículas: a área faz o papel da massa. Isto é válido quando a distribuição da massa na placa é uniforme. Esta regra pode ser estendida a todos os objetos simétricos, como pode ser visto na  Fig. 6.













Fig. 8. Cálculo do centro de massa do triângulo retângulo. Por semelhança de triângulos,  x y

   a b Portanto isolando y e substituindo nas equações, Sxcm 

b a



a

0

b Sycm    a

(14)

x 2dx 2



a

0

x 2dx

Portanto, Fig. 6. Centro de massa para alguns objetos simétricos [3].

O centro de massa pode não estar localizado necessariamente sobre o corpo.

 xcm   ycm

2

a 3   2  b 3

(15)

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4

VII. CENTRO DE MASSA DE POLÍGONO Todo polígono pode ser entendido como composto pela soma de vários triângulos. Seja um polígono composto por n triângulos, cada um deles com área S i . Logo S1 x1  S 2 x2  S n x n

 xCM  

S1  S 2  S n S1 y1  S 2 y2  S n y n

 yCM  

S1  S 2  S n

 

(16)

,

equação é  y  px 2 , limitado no ponto ( , h ) . O paraboloide pode ser imaginado como sendo formado por várias tiras de largura dx e altura y. A área do paraboloide é  p 3 2   (22) S  ydx  px dx  0 0 3 h 2 Porém como h  p , então S   . 3 Portanto, como



2

  x   y  h      

onde ( xi , yi )  é o centro de gravidade de cada triângulo. VIII. CENTRO DE MASSA DO TRAPÉZIO Considere um trapézio ABCD, na qual o lado AB é uma das  bases. Trace o segmento de reta  BD  de forma que ficam dois triângulos  ABD e  DCB . Sobre cada um deles é determinado o centro de massa, pela intersecção das medianas. Sejam G1  e G2  os centros de massa destes triângulos. Ache em cada base o ponto médio e trace um segmento de reta unindo estes pontos médios. Logo a intersecção deste segmento de reta com o segmento de reta G1G2  localiza o centro de massa do trapézio. IX. CENTRO DE MASSA DO SETOR CIRCULAR  Considere o segmento circular simétrico em relação ao eixo x, de forma que o ângulo que é compreendido é 2  . Faça a divisão da área em áreas infinitesimais. A área de cada retângulo é dS  rdrd      (17) Portanto  xCM    yCM  

   yrdrd  

 

(18)

S 

Porém  x  r cos   y  r sin  

 

(19)

de forma que  xCM 

 

 

 

cos d 



 R

0

S 

2

r dr   2 sin  



3

 

R 

(20)

 yCM   0

 pois S



 

 

d



 R

0

rdr  R     2

(21)

X. CENTRO DE MASSA DA ÁREA DO SEGMENTO PARABOLOIDE Considere um paraboloide delimitado pelo eixo x, cuja

(23)

então

 xCM 

 xydx 3    0

S 

 y CM  

1 2

4

  y dx  3h

 

(24)

2

0

S 

10

XI. CONSIDERAÇÕES FINAIS  Neste texto foi estudado o conceito de centro de massa e calculado o centro de massa para alguns objetos regulares. Para objetos simétricos, o centro de massa situa-se no meio do objeto. Se as forças externas que agem sobre o sistema têm resultante nula, o centro de massa se move com velocidade constante. BIBLIOGRAFIA [1]

A. L. Kimball,  A COLLEGE TEXT-BOOK OF PHYSICS , 2nd ed. New York, USA: HENRY HOLT AND COMPANY, 1917.

[2]

B. Crowell, Simple nature, 2006th ed. Fullerton, California, USA: Benjamim Crowell, 2006.

[3]

H. D. Young, College physics, 9th. ed. San Francisco, CA, USA: Addison- Wesley, 2012.

  xrdrd   S 



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C Centro de massa, 1

Sistema isolado, 2

M Massa total, 1

S

V Velocidade do centro de massa, 1