Cenni A Tecniche Di Progettazione Robusta

 

La metodologia Taguchi e il Robust Design

BIBLIOGRAFIA • P. Erto, “Prob “Probabilit abilitàà e statistica per le scienze e l’ingegne l’ingegneria”, ria”, McGra McGrawHill, wHill, 199 1999, 9, Cap. 8 e9 • Tagu Taguchi chi,, Cl Clau ausi sing: ng: Robust quality, HBR HBR,ja ,jan-f n-feb eb 199 19900 • J. S. Hunter, “Statistical design applied to product design”, Journal of Quality Technology, Vol 17, n°4, oct 1985 • N. Rya Ryan, n, ““II met metodi odi Tag Taguch uchii e il Q QFD” FD”,, Fra Franco nco AAngel ngeli,i, 11989 989

1

 

Significato qualità per Taguchi La qualità di un prodotto è la (minima) perdita impartita alla società dal momento che il prodotto stesso lascia la fabbrica dr. Genichi Taguchi 

Zero Defects

The effort to reduce process failure in the factory will simultaneously reduce instances of product failure in the field

Taguchi

The effort to reduce failure in the field will simultaneously reduce the number of defectives in the factory Taguchi, Tagu chi, Clau Clausing sing:: Robu Robust st quality quality,, HBR,jan HBR,jan-feb -feb 1990 

Genichi Taguchi associa una perdita ad ogni prodotto che raggiunge il consumatore; tale costo include, tra le altre voci, l’insoddisfazione del consumatore, costi di garanzia per il produttore, perdite di reputazione e di quote di mercato per la società produttrice. La qualità di un prodotto è inversamente proporzionale alla perdita che esso impartisce alla società. Secondo l’ottica “zero difetti”, un prodotto è difettoso quando il valore di una sua caratteristica esce dalle tolleranze prefissate. Sebbene questo approccio alla qualità sia molto diffuso, esso non concepisce la qualità dal punto di vista del cliente. Al cliente, infatti, interessa in particolar modo che il prodotto abbia prestazioni stabili anche ad alte temperature, in ambienti polverosi, in seguito a cadute accidentali, ecc. Il ribaltamento ribaltamento della logica “z “zero ero difetti difetti”” operato da Taguchi parte dalla cons considera iderazione zione che i fattori non controllabili nell’utilizzo del prodotto suono maggiori dei fattori controllabili durante il processo produttivo. Un prodotto è tanto più robusto quanto più riesce a mantenere la prestazione nominale al variare di fattori non controllabili (fattori di disturbo). Le tecniche Taguchi consent consentono, ono, tramit tramitee l’individ l’individuazione uazione di un oppor opportuno tuno piano di esperimenti, di progettare un prodotto robusto .

2

 

La progettazione robusta Distribuzione delle caratteristiche di un prodotto di 4 fabbriche diverse LIS

LIS

LSS

1.

LSS

2. x

 VN LIS

LIS = limite inferiore specifica

LIS

LSS

3.

x

 VN

LSS = limite superiore specifica

LSS

4.

 VN = valore nominale  VN

x

 VN

x

Quattro fabbriche producono prodotti dello stesso tipo e li vendono allo stesso prezzo. Tutte e 4 le fabbriche effettuano controlli in uscita (che assumiamo perfetti) al 100% dei pezzi prodotti, e commercializzano solo i prodotti che che soddisfano le specifiche. Se voi foste il cliente, quale fabbrica scegliereste? Anche se tutte le fabbriche commercializzano prodotti che rientrano nelle specifiche, la 4 produce i prodotti più omogenei. HBR,jan-feb -feb 1990 1990.. Il seguente brano brano è tratto da: Taguchi Taguchi,, Clausin Clausing: g: Robust quality, HBR,jan  Alcune indagini di mercato avevano indicato che i consumatori gradiscono maggiormente immagini aventi una particolare densità di colore: poniamo che il valore nominale (ottimale) della densità di colore sia 10 Quando la densità di colore si discosta da 10, la visione diviene via via più insoddisfacente, cosicché nelle specifiche funzionali era stato fissato fissat o dalla Sony un intervallo intervallo di tolleranza tolleranza compre compreso so fra 7 e 13. 13. I televisori venivano fabbricati sia a Tokio sia a San Diego. A San Diego vigeva la prassi di non consegnare a Cliente nessun apparecchio con densità di colore al di fuori dell’intervallo di tolleranza ammesso (‘zero difetti’): la densità di colore risultava distribuita uniformemente all’interno dell’intervallo di tolleranza stesso; i televisori di  Tokio si concentravano concentravano invece invece attorno al valore valore nominale, nominale, anche se - su 1000 apparecchi apparecchi - circa 3 finivano finivano al di fuori dell’interval dell’intervallo: lo: Tokio peraltro peraltro conse consegnava gnava tutti tutti gli apparecc apparecchi hi che produceva. Qual è la ‘politica’ più conveniente?  Supponiamo di comperare un apparecchio con densità di colore 12.9, mentre il nostro vicino ne ha comperato uno con densità 13.1. Ovviamente non siamo in grado di distinguere la differenza, guardando le immagini dei due apparecchi. Ma Supponiamo che entrambi i clienti vedano le immagini di un apparecchio con densità 10: l’indomani tutt i e due chiameranno il servizio assistenza o chiederanno la sostituzione dell’apparecchio.

3

 

Significato di Robust Design Progettazione robusta Tecnica finalizzata all’individuazione della combinazione dei parametri di progetto che renda le prestazioni di un sistema le più insensibili possibile ai fattori di disturbo

Le tre fasi di progetto 1. Pr Prog oget etta tazi zione one di si sist stem emaa 2. Pr Prog oget etta tazio zione ne para parame metr tric icaa 3. Pr Prog ogett ettaz azion ionee de delle lle toll toller eran anze ze

Per progettazione robusta s’intende una tecnica finalizzata all’individuazione della combinazione dei parametri di progetto (detti anche “fattori di controllo”) che renda la prestazione di un sistema (prodotto o processo) le più insensibili possibile all’effetto dei  “fattori di disturbo” (che tendono ad ampliare la varianza delle prestazioni suddette oltre a farne deviare la media dal valore obiettivo). Questa tecnica richiede una notevole conoscenza del sistema e delle sue condizioni condizioni ambientali in cui verrà utilizzato. P. Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill, 1999 La slide riassume la sequenza logica della metodologia Taguchi. E’ importante come l’approccio tradizionale alla progettazione non considera il secondo punto, mentre le tecniche Taguchi tendono a sfr sfruttarlo uttarlo al m massim assimo. o. Progettazione di sistema coinvolge innovazioni e richiede conoscenze tecnicoLa scientifiche di Prodotto (selezione materiali, componenti, …) e di Processo (selezione macchine, attrezzature, …) La Progettazione parametrica (passaggio chiave per raggiungere alta qualità contenendo i costi ) consiste in test per tentativi per individuare la migliore combinazione dei differenti parametri di prodotto e di processo, e per individuare quelli che minimizzano la sensibilità ai fattori di disturbo La Progettazione delle tolleranze è impiegata nel caso che non fossero sufficienti i risultati ottenuti con la progettazione parametrica: • Vengono ridotte le tolleranze dei parametri di prodotto/processo con maggiore impatto sulle variazioni di prestazioni • Comporta maggiori costi per acquisire migliori materiali, ccomponenti, omponenti, macchine, attrezzature , ...

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Funzione di perdita Tipo Normal is Better  L( L(x) x) = K(x K(x - x0)2

L(x)

Funzione di Taguchi Losss Fu Los Funct nction ion

Costo della riparazione / sostituzione

Funzione di costo tradizionale

x

x0 L(x)

Tipo Lower is Better 

x

L(x)

Tipo Higher is Better 

x

La metodologia Taguchi prevede di valutare la qualità di un prodotto tramite la funzione di perdita (Quality Loss Function). La forma funzionale dipende dal tipo di caratteristica da misurare La funzione di perdita del tipo lower is better  (LB) è adatta per grandezze tipo rumorosità, consumi, perdite, emissioni inquinanti, impurità. La funzione di perdita del tipo higher is better (HB) è adatta per grandezze quali la velocità, la durata, la ripresa. Sull’andamento della Loss Function è possibile agire sia on-line (controllo statistico del processo) che off-line la (progettazione), è solo off-line chealla è possibile l’ampiezza, riducendo variabilità dellema prestazioni intorno media. restringerne Nei casi LB e HB lo studio delle interazioni tra fattori ha minore importanza rispetto al caso NB. Per massimizzare una certa prestazione, quindi, può essere conveniente progettare gli esperimenti in modo da considerare esclusivamente gli effetti principali.

5

 

Prestazioni di prodotto Fattori controllabili e casuali Per minimizzare le perdite in un prodotto esso deve essere realizzato: • con buone prestazioni prestazioni funz funzionali ionali • con la minima var variazion iazionee nelle caratt caratteristi eristiche che Le caratteristiche funzionali sono influenzate da: • fattori controllabili controllabili (attraverso la scelta dei materiali, parametri di produzione, …) • fattori casuali: difficili, impossibili o troppo costoso controllare La strada giusta consiste nel selezionare i fattori controllabili che rendono il prodotto/processo meno sensibile ai cambiamenti dei fattori casuali (anziché cercare ed eliminare le cause, ridurre o rimuoverne l’impatto) 

Nel progetto di un prodotto lo spazio dei disturbi è costituito da tutte le variabili non controllabili (o troppo costose da controllare) che influenzano il prodotto durante il suo ciclo di vita: • condizioni di impiego (temperatura, vibrazioni, umidità, abilità dell’operatore,…) • logorio interno del prodotto (usura dei componenti, disallineamenti,…) • difetti del processo di fabbricazione (gli esemplari prodotti prodotti non sono completamente uniformi).

6

 

Piano degli esperimenti Gli obiettivi • Evitar Evitaree l’influe l’influenza nza indes indeside iderat rataa di un fattore fattore di ddistu isturbo rbo (o una combinazione di fattori ) che provochi un effetto rilevante rispetto all’errore sperimentale (variabilità fisiologica ) • Evitare Evitare di pperde erdere re l’i l’indipend ndipendenza enza delle prove a cau causa sa di effet effettiti distorsivi dovuti ad interazioni sistematiche • Tendere Tendere alle alle condizioni condizioni sper sperimenta imentalili che consen consentano tano di isolare isolare i fattori influenzanti (ripetendo diverse prove variando fattori non rilevanti si devono ottenere risultati differenti soltanto di una quantità aleatoria )

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Progettazione degli esperimenti: differenti approcci Classico

Statistico

• Veng Vengon onoo co consi nside dera ratiti solo solo gli

• So Sono no impo import rtan antiti non so solo lo gli gli

dei singoli • effetti Pe Perr ana anali lizz zzar aree gglili fattori eff effet ettiti è necessario modificare un fattore per volta

effetti singoli fattori, anche dei le interazioni fra glima stessi • È nece necess ssar ario io dis dispo porr rree di da datiti ottenuti in presenza delle varie combinazioni di livelli dei fattori • È utile utile st stim imar aree l’ef l’effe fetto tto di un un fattore impiegando dati registrati in corrispondenza di tutte le possibili combinazioni degli altri fattori: si evita così di confondere l’effetto di un fattore con quello dovuto alle interazioni tra fattori 

L’esame comparativo di modifiche o innovazioni su prodotti, servizi e processi produttivi richiede ampie sperimentazioni per: •individuare la migliore soluzione progettuale •quantificare l’efficacia dell’intervento Occorre stabilire in anticipo un Piano di prove compatibile con la successiva analisi dei risultati, affinché la Progettazione statistica degli esperimenti garantisca una analisi dei dati: •efficiente •statisticamente valida Tra gli approcci alla progettazione degli esperimenti, quelli più comuni nel mondo occidentale sono l’approccio classico e l’approccio statistico. Con l’approccio classico classico si considerano gli effetti semplici dei singoli fattori variando un fattore alla volta. L’approccio statistico permette di considerare sia gli effetti semplici che le sinergie (effetti composti) tra fattori. L’approccio statistico si basa sull’esposizione di un fattore a tutte le combinazioni possibili degli altri fattori.

8

 

 Approccio classico Prestazione x misurata dipendente da n fattori (2) Sperimentazione basata sulla media di k osservazioni (4) per ogni livello tra gli m livelli assumibili da ogni fattore (2) B 1

A

2 

1   x11k

-

x 21k 2    x2

x22k

 

k=1..4

Sono necessarie 12 osservazioni per individuare gli effetti delle due grandezze A e B Pasquale Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill 

Il modo tradizionale di utilizzare gli esperimenti per scegliere i valori delle specifiche tecniche è quello di procedere ‘una specifica alla volta’. Poniamo di aver identificato 13 variabili (caratteristiche tecniche) che influenzano le prestazioni di uno sterzo per auto. Si registra la prestazione (ad esempio la velocità a cui lo sterzo sbanda in curva) ottenuta nel primo esperimento, in cui a ognuna delle 13 variabili era stato assegnato un determinato valore. Nel secondo esperimento si modifica il valore di una sola delle 13 variabili, ad esempio la rigidità della molla, facendole assumere sia un valore superiore sia un valore inferiore a quello del primo esperimento, registrando la prestazione e scegliendo quello dei 3 valori provati che dà la prestazione migliore: tale valore viene poi tenuto fisso fisso in tut tuttiti i succe successivi ssivi eesperim sperimenti, enti, in cui - uno alla volta - si sceg sceglili il valo valore re migliore da dare a ognuna del delle le 13 variabili; con questo modo di procedere occorrono ovviamente 39 esperimenti, ma non si riesce a tenere conto di interazioni potenzialmente critiche fra variabili (mentre ad esempio una certa rigidità della molla può dare la prestazione migliore quando la pressione dei pneumatici è corretta, avverrà lo stesso quando la pressione è troppo alta o troppo bassa?). Tratto da: da: Brandolese, Brandolese, 1998  1998 

9

 

 Approccio statistico Prestazione x misurata dipendente da n fattori (2) Sperimentazione basata sulla media di k osservazioni (2) per ogni livello tra i m livelli assumibili da ogni fattore (2) B 1

A

2 

1   x11k   x12k   k=1..2  2    x21 x21k

x22 x22k

Sono necessarie 8 osservazioni per individuare gli effetti delle due grandezze A e B P. Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, l’ingegneria”, McGrawHill, 1999 

L’approccio statistico, stimando l’effetto di un fattore utilizzando dati in corrispondenza di tutte le possibili combinazioni degli altri fattori, evita di confondere l’effetto del fattore in esame con quello dovuto all’interazione con uno specifico livello di un altro fattore.

10

 

 Analisi dei risultati  Analisi della varianza (ANOVA )  ✔

Serve per ottenere informazioni sugli effetti esercitati su di una variabile di interesse da determinati fattori ( ciascuno a più livelli )

✔

Consente di individu Consente individuare are le varianze sperim sperimentali entali imputa imputabili bili ai singoli fattori

✔

La differenza tra varianza totale e la somma delle singole varianze costituisce la varianza residua

✔

Un fattore determina un effetto significativo se produce una varianza maggiore di quella residua

Una volta progettato il piano di esperimenti e condotte le prove si passa all’analisi dei risultati. Le tecniche ANOVA ANOVA (Analysis Of Varian Variance) ce) risultano parti particolarm colarmente ente idonee per misu misurare rare gli effetti dei singoli fattori e gli effetti incrociati tra fattori. Taguchi propone una metodologia alternativa che limita l’analisi ai soli effetti principali dei fattori e richiede di norma un numero molto limitato di trattamenti. Inoltre, le tecniche Taguchi considerano non solo i fattori controllabili di progetto, ma anche i fattori di disturbo: riproducendo in laboratorio gli effetti dei fattori di disturbo è possibile ottenere informazioni sulla robustezza del prodotto durante le reali condizioni d’uso. Se dall’applicazi dall’applicazione one della metod metodologi ologiaa Taguchi risulta che la miglior miglioree combinazione combinazione dei parametri di controllo non è tra quelle effettivamente sperimentate, allora è necessario procedere ad una sperimentazione successiva con i parametri di progetto trovati. Tale sperimentazione, nel caso in cui non confermi le previsioni, dovrebbe fornire indicazioni sulla causa del fallimento del metodo. Non è vero, infatti, che dalla combinazione dei mig migliori liori livelli dei fattori di controllo si ottenga sempre il migliore risultato; la ragione di questo risiede nell’avere assunto come base di analisi il modello lineare, e nell’avere quindi trascurato gli effetti incrociati tra fattori.

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Modello lineare e modello non lineare Modello lineare  xij a

x = prestazione µ αi β j ε

= µ b+ α  i + β j + ε i

  β ∑ α =∑

 j

 E   εε } =  0 

Var {ε ij } = σ

i

i =1

=0

 j =1

ij

 

2

Modello non lineare  xij

= µ + α i +  β   j + (αβ )ij + ε ij

= = = =

valore medio effetto di A al globale livello i effetto di A al livello j errore sperimentale

i = 1,…,a  j = 1,…,b

(αβ)ij = effetto composto dei fattori A e B

La metodologia Taguchi assume come riferimento il modello lineare. La slide presenta il modello lineare per la stima degli effetti dei fattori A e B in un progetto. Gli effetti di A e di B sono additivi. I livelli dei fattori A e B sono a e b  rispettivamente. La prestazione x del sistema in corrispondenza dei livelli i e j dei parametri A e B si esprime come la somma tra la media globale delle prestazioni, l’effetto di A a livello i , l’effetto di B al valore j e l’errore sperimentale. In alcuni casi risulta utile studiare gli effetti incrociati tra fattori di progetto e stimarne l’entità. Ad esempio l’interazione tra principi attivi di un farmaco può aumentarne l’efficacia globale, oppure l’interazione tra due fattori tecnologici può rendere il prodotto qualitativamente migliore o più stabile rispetto ad azioni esterne di disturbo. L’interazione fa sì che, dal punto di vista analitico, cada l’ipotesi di additività. La slide mostra come il modello lineare a due fattori possa essere corretto aggiungendo l’addendo relativo all’effetto composto di A e B. Dato che la metodologia Taguchi trascura gli effetti composti dei fattori, il suo impiego: 1. Deve essere attentamente valutato 2. Non è sostitutivo delle tecniche ANOVA

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Piano sperimentale fattoriale completo Tipo 23 3 fattori: A,B,C 2 livelli: -1, +1  A B C T1 -1 -1 -1 T2 -1 -1 +1 T3 -1 +1 -1 T4 -1 +1 +1 T5 +1 -1 -1 T6 +1 -1 +1 T7 +1 +1 -1 T8 +1 +1 +1

2 2 2 2   1   αˆ1 − αˆ 2 =  ∑    ∑ x1 jk  −∑  ∑ x2 jk    j =1 k =1 4   j =1 k =1   2 2 2 2   1   βˆ1 − βˆ 2 =  ∑  x   x −   ∑ i1k  ∑ ∑ i 2 k   4   i =1 k =1 i =1 k =1   2 2 2 2   1   γˆ1 − γˆ2 =  ∑  xij1 −∑   ∑ xij 2    ∑ 4   i =1 j =1 i =1 j =1   P. Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill, 1999 

La scelta del livello di ciascun fattore non è correlata al valore di nessuno degli altri fattori. In altra parole, la stima dell’effetto medio di ciascun fattore è indipendente dal livello degli altri fattori (condizione di ortogonalità). Se il prodotto dei vettori dei simboli (-1 e +1) che rappresentano due colonne in un piano sperimentale in cui tutti i parametri hanno due livelli è nullo, allora le due colonne sono tra loro ortogonali. Ad esempio, per le colonne A e C: (-1,-1,-1,-1,+1,+1,+1,+1) (-1,-1,-1,-1,+1 ,+1,+1,+1) X (-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1) = +1-1+1-1+1-1+1-1+1 = 0. La stima dell’effetto complessivo complessivo del fattore A (vedi (vedi formula in slide) non dipende dal fattore B (risp. da C) perché sia che derivano dalla media di 4 valori, di cui 2 calcolati con B (risp. C) a livello -1αeˆ1due  calcolati αˆ 2 con B (risp. C) a livello +1. La stima di ciascun effetto semplice non è influenzata dall’interazione sistematica con un livello degli altri fattori.

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Piano sperimentale fattoriale ridotto a metà 4 fattori: A,B,C,D 2 livelli: -1, +1 Piano sperimentale ridotto ottenuto da un piano fattoriale completo 23

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

 A -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

B -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

C -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

D -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

D +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1

Colonna D alternativa

Per aggiungere un fattore (a due livelli) al piano fattoriale 23 è possibile creare una colonna i cui valori sono il prodotto (o l’opposto del prodotto) prodotto) dei livelli delle altre tre colonne.  Ad esempio, il primo valore della colonna colonna D è dato da: • -1 x -1 x -1 = -1, opp oppure ure • -(-1 -(-1 x -1 x -1 -1)) = +1 +1.. Il piano di esperimenti riportato nella slide corrisponde ad un piano fattoriale completo di tipo 24 dimezzato; l’altra metà del piano si ottiene dal piano 2 3 di origine aggiungendo la colonna D alternativa. k 

In pratica, ogni ridotto volta che non èottenuto possibiledafare esperimenti, possibile piano fattoriale a metà un 2piano fattoriale è2k-1 a cui siutilizzare aggiungeununa colonna con la “regola dei prodotti”.

14

 

Il piano 23 ridotto a metà

TT12 T3 T4

 A

B

C

-1 -1 +1 +1

-1 +1 -1 +1

-1 +1 +1 -1

Piani ortogonali: 1. Numero colonne = numero fattori di progetto 2. Ogni riga rappresenta un differente di fferente esperimento 3. Il livello di ogni fattore compare lo stesso numero di volte 4. Ogni livello di ogni fattore è esposto a tutti i livelli di ognuno degli altri fattori (e quindi alla media di ognuno dei fattori)

   ”   a    i   r   e   n   g   e   g   n    i    ’    l   e   e   z   n   e    i   c   s   e    l   r   e   p   a   c    i    t   s    i    t   a    t   s   e    à    t    i    l    i    b   a    b   o   r    P    “  ,   o    t   r    E  .    P

La slide rappresenta uno dei due piani ortogonali 23 ridotti a metà ottenibili dal piano fattoriale completo 22. Proprietà dei piani fattoriali ridotti a metà: al piano 2 n corrisponde un insieme di 2n-1 vertici che hanno proiezioni sugli n piani geometrici tali da rappresentare tutte le 2 n-1 combinazioni dei livelli degli n-1 fattori appartenenti a quel piano. Nel caso del piano 23 presentato in slide si hanno 4 vertici. La loro proiezione sul piano  AB, ad esempio, è formata da 4 punti che rappresentano tutte e 4 le combinazione dei livelli dei fattori A e B. Se gli esperimenti dimostreranno che solo 2 fattori hanno un effetto significativo, allora si avrà comunque a disposizione il piano fattoriale completo relativo a quei due fattori. Questa proprietà è comune a tutti i piani ortogonali; la sua utilità pratica consiste nel fatto che, di molti fattori da esaminare, solitamente solo pochi risultano davvero efficaci. Caratteristiche dei piani ortogonali: 1. Il numero colonne è pari al numero di fattori di progetto 2. Ogni riga rappresenta un differente esperimento, cioè un differente progetto del prodotto 3. Il livello di ogni fattore compare lo stesso numero di volte 4. Ogni livello di ogni fattore è esposto a tutti i livelli di ognuno degli altri fattori (e quindi alla media di ognuno dei fattori), anche se non è esposto a tutte le possibili combinazioni di valori di progetto.

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Rappresentazione geometrica dei piani ortogonali J. S. Hun Hunter, ter, “Sta “Statisti tistical cal design design appl applied ied to product product desi design”, gn”, Jou Journal rnal of Qua Quality lity Techn Tec hnol ology ogy,, Vol Vol 17, n°4 n°4,, oct oct 198 1985  5 

Piani ortogonali

16

 

Estensione del piano 23 fino a 7 fattori Piano 23 esteso a 7 fattori T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8

 A -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

B -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

C -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1

D -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1

E -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1

F -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1

G +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1

Pasquale Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill 

Il piano fattoriale completo 23 può essere esteso al massimo a 7 fattori mantenendo la condizione di ortogonalità. Se si è interessati solo agli effetti principali dei fattori, e quindi se si trascurano gli effetti incrociati, il piano ortogonale a 7 fattori derivato dal piano 23 completo permette di poter eseguire solo 8 trattamenti invece dei 128 (2 7) del piano fattoriale completo.

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La confusione degli effetti nei piani ridotti Piano 23 ridotto a metà

T1

 A B C -1 -1 -1

T2 T3 T4

-1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 -1

∧

(αβ ) = ( x22 − x12 ) − ( x21 − x11 ) = ( x11  +  x22 ) − ( x12 + x21 ) = 2(γˆ1 − γˆ2 )

L’effetto di C “si confonde” con l’effetto congiunto di A e B Pasquale Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, McGrawHill 

 Vogliamo ora stimare l’interazione tra il fattore A e il fattore B, ovvero vogliamo verificare se nel passaggio di un fattore dal livello 1 al livello 2 si abbia un effetto diverso a seconda che l’altro fattore sia al livello 1 oppure al livello 2:

^

(αβ ) = ( x22 − x12 ) − ( x21 − x11)   =  ( x22 − x21) − ( x12 − x11) Dal piano fattoriale fattoriale ridotto a metà mostrato nella slide notiamo che: • alle combinazioni (+1,+1) e (-1,-1) di A e B corrisponde sempre il livello -1 di C • alle combinazioni (+1,-1) e (-1,+1) di A e B corrisponde sempre il livello +1 di C Questo comporta che la stima dell’interazione tra A e B si confonda con la stima dell’effetto complessivo di C nel passaggio da -1 a +1.  Analogamente: • la stima dell’interazione tra B e C si confonde con la stima dell’effetto complessivo di di A • la stima dell’interazione tra A e C si confonde con la stima dell’effetto complessivo di di B In conclusione, quando si ritiene che l’interazione tra i fattori A e B non sia trascurabile, allora è opportuno non allargare il piano completo 22 aggiungendo una terza colonna.

18

 

Piano ortogonali n3 e n4 ridotti Piano 43 ridotto a 42

Piano 44 ridotto a 42

 j 1 i k 

2

3

4

 j 1 i l k 

2

3

4

1

1

2

3

4

1

11

22

33

44

2

2

3

4

1

2

42

31

24

13

3

3

4

1

2

3

34

43

12

21

4

4

1

2

3

4

23

14

41

32

P. Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, l’ingegneria”, McGrawHill, 1999 

Per ridurre un piano a 3 fattori con n livelli ciascuno in un piano n2 occorre che ogni coppia (Ai, B j), (B j, Ck ), (Ai, Ck ) compaia una e una sola volta. Questa condizione di ortogonalità garantisce che la stima dell’effetto semplice di ciascun fattore non sia influenzata dall’interazione sistematica con un livello di uno degli altri fattori. Il primo piano sperimentale nella slide slide si riferisce a 3 fattori con 4 livelli ciascuno. Il livello del primo fattore si legge dal numero di riga, il livello del secondo fattore dal numero di colonna, e il valore del terzo fattore si legge dal numero della cella della matrice. Il secondo piano sperimentale risulta dalla riduzione di un piano 44 con un piano 42 mediante la sovrapposizione di due piani 4 2 ortogonali tra loro. In questo caso, 44 = 256 prove sono sostituite da 4 2 = 16 prove.

19

 

I piani incrociati  A,B fattori controllabili C,D fattori di disturbo

Piano incrociato

T1 T2 T3 T4

 A -1 -1 +1 +1

B -1 +1 -1 +1

C1 -1 +1 TC11 TC21 TC31 TC41

C2 +1 C -1 D TC12 TC22 TC32 TC42

 Adattato da: P. Erto, Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria l’ingegneria”, ”, McGrawHill, 1999 

Piano equivalente  A B C D T1 -1 -1 -1 +1 T2 -1 -1 +1 -1 T3 -1 +1 -1 +1 T4 -1 +1 +1 -1 T5 +1 -1 -1 +1 T6 +1 -1 +1 -1 T7 +1 +1 -1 +1 T8 +1 +1 +1 -1

Esempio: progettazione di un utensile. La prestazione principale x  vita utile. I fattori di progetto: • trattam trattamento ento ttermico ermico (A) • tipo ddii meta metallo llo (B (B). ). Fattori di disturbo: • durezz durezzaa del material materialee da lavorare (C) • veloc velocità ità di ta taglio glio ((D). D). Questi ultimi non sono controllabili sul campo ma lo sono in laboratorio. Consideriamo dueambientali livelli per ciascuno dei fattori (codificati con -1 e +1) e una lista di condizioni che comprende solocontrollabili due condizioni: (C=-1,D=+1), corrispondente a materiale di bassa durezza e alta velocità di taglio, e (C=+1,D=-1), corrispondente a materiale ad elevata durezza e bassa velocità di taglio. Il risultato è un insieme di 8 combinazioni di prova (TCij) che permettono di studiare l’effetto di ogni combinazione dei fattori di progetto in tutte le situazioni ipotizzate. Il piano sperimentale 4X2 incrociato è identico al piano di destra, ma è più comodo da utilizzare e più compatto. Nella fase di elaborazione dei dati, infatti, i fattori di disturbo sono completamente ignorati e l’analisi si concentra sui fattori controllabili.

20

 

Rapporto segnale / rumore Tipo di loss function 

Rapporto S/N

$  

S / N  = 10 log10 [(

NB $

∑  

 x / n) /

i   i

2

∑

  ( x

i   i

− x ) /(n − 1) ]

x

LB

S / N  = −10 log    10

∑

2  x  / n i   i

x

HB

$   S / N  = −10 log  [ 10

x

∑ (1 / x ) / n] 2

i

 

i

P. Erto, “Probabilità e statistica per le scienze e l’ingegneria”, l’ingegneria”, McGrawHill, 1999 

Il progetto dei parametri è la fase cruciale della metodologia Taguchi. L’obiettivo della progettazione per parametri è trovare i valori nominali per i fattori di controllo tali da raggiungere la massima prestazione del prodotto con la minima sensibilità al disturbo, e fare questo al minimo costo. Durante l’analisi dei dati si fa uso del rapporto segnale disturbo ( signal to noise ratio, S/N ratio ) per misurare le prestazioni. Il rapporto S/N è inversamente proporzionale al costo valutato con la funzione di perdita. Massimizzare il rapporto S/N equivale a minimizzare la perdita, cioè a migliorare la qualità. La slide mostra le formule proposte da Taguchi per calcolare il rapporto segnale / rumore nei tre casi in cui si declina la funzione di perdita: - NB (nominal is better): il vvalore alore obiettivo della prestazione è finito e diverso da zero zero - LB (lower is bett better): er): il valore id ideale eale è nullo - HB (higher is bette better): r): il valore ide ideale ale non ha alcun limite

21

 

Gli scaling factors e i leveling factors        e       n       o         i       z       a        t       s       e       r       p

      e       n       o         i       z       a        t       s       e       r       p

Prestazione = S/N

Scaling factor negativo

      e       n       o         i

Scaling factor positivo

      z       a        t       s       e       r       p

leva

leva

Leveling factor

leva

Scaling factor nullo

      e       n       o         i       z       a        t       s       e       r       p

Leva inefficace

leva

I fattori di progetto si possono dividere in: 1. Scaling factors , utilizzati per minimizzare la dispersione della risposta attorno alla media (progetto robusto). Gli scaling factors nulli permettono di minimizzare la dispersione senza influire sulla media della prestazione; l’utilizzo di scaling factors positivi (la varianza della prestazione cresce al crescere della media) o negativi (la varianza della prestazione decresce al crescere della media) comporta invece una prestazione media non coincidente con quella nominale: il questo caso occorre agire anche sui levering factors . 2. Levering factors , utilizzati per fare coincidere la prestazione media con il valore nominale. 3. Leve inefficaci, per cui al variare del valore assegnato, le prestazioni non cambiano significativamente. Le tolleranze delle leve inefficaci possono essere rilassate (risparmio di costi) senza compromettere la qualità del progetto. L’utilizzo combinato degli scaling factors e dei leveling factors è l’essenza della progettazione parametrica. La metodologia Taguchi in sede di progettazione di un prodotto permette: a) l’ottimizzazione delle process capability attraverso la modulazione degli scaling factors  b) il rispetto delle specifiche funzionali con la minore dispersione possibile (realizzazione di un prodotto con il minimo impatto sulla società c) risparmi di costo dovuti al rilassamento delle tolleranze delle leve inefficaci.

22

 

Interazione tra fattori di controllo e fattori di disturbo 1

S/N

 A1

 A2

 A3

 A Fattore controllabile

2

 A2

X

3

S/N

D1 X

D2

D2

D1

 A3

D3

G Fattore

H

4

D3

 A1 L

D Fattore controllabile

di disturbo

F Fattore

L

H

di disturbo

L’analisi del rapporto segnale-rumore spesso elimina la necessità di esaminare l’interazione tra fattori controllabili e fattori di disturbo. Tale analisi, tuttavia, può fornire utili elementi di valutazione. Consideriamo, l’interazione tra il fattore di controllo A ed il fattori di disturbo G mostrata in slide (grafico 2).  Ai livelli 1 e 3 la variabilità delle prestazioni del sistema al variare del fattore di disturbo G è molto elevata (pendenze di A 1 e A3 elevate), questo indica una elevata sensibilità dei livelli 1 e 3 del parametro A al disturbo. Il livello 2 di A è invece più “robusto” nei confronti del fattori di disturbo G, dato che la variazione della prestazione x quando A=A 2 è relativamente modesta al variare del disturbo. Questa analisi conferma la scelta del livello 2 per il fattore A dall’analisi del rapporto segnale/rumore. Il livello 2 è quello che massimizza il rapporto (grafico 1). In questo caso l’analisi del rapporto S/N e l’analisi dell’interazione con il fattore di ddisturbo isturbo si rafforzano a vicenda. Nel caso del fattore di controllo D e del fattore di disturbo F siamo in presenza di indicazioni contrastanti. L’analisi del rapporto S/N (grafico 3) suggerisce l’adozione del livello 1 per il fattore D, mentre l’analisi dell’interazione tra D e il disturbo F (grafico 4) mostra come i livelli 1 e 3 siano più sensibili del livello 2 alla variazione di F. Nel caso specifico può essere conveniente adottare il livelli 2 per il parametro D. Tale scelta permette infatti di stabilizzare la prestazione rispetto al disturbo F, diminuendo di una quantità trascurabile il rapporto S/N.

23

 

Taguchi Hanno detto ... "Our "Our go goal al is to to retr retrai ain n all all of our our engi engine neer erss by the the ye year ar 2000 2000 in in the  the  applic app licati ation on of Ro Robus bustt Design Design." ." - Kenzo Kenzo Ue Ueno, no, Nissan Nissan Motors Motors (1993) (1993) "... the the major major drivin driving g forc forces es behin behind d robust robust engin enginee eerin ring g are-an are-and d each each is equal-designing equal-design ing to satisfy customers in all ...conditions; manufacturing  manufacturing  proces pro cesses ses and capabi capabilit lities ies,, cos cost, t, qualit quality, y, and rel reliab iabili ility. ty. We're We're pushi pushing ng for engineer engineering ing solut solutions ions that optimize optimize each one of of those.” those.” - John J. (Jay) (Ja y) Wetze Wetzell II, Vice Vice Presid President ent for for GM's North North Americ American an Operat Operation ionss Engineer Engi neering ing Center Center (in (in WARD'S WARD'S Auto World World - March 1994) "Robustt Desig "Robus Design n is not not easy easy to unde underst rstand and,, so Ford Ford be began gan doin doing g case  case  st stud udie iess in 1993 1993.. In one one in inst stan ance ce,, an FD FDII te team am fo foun und d a so solu luti tion on in th thre ree e months that would would have taken 13 months using traditional methods.  Another major advantage [of robust design] is that robust methods methods reduce redu ce the historic historical al tende tendency ncy to over-eng over-enginee ineer-th r-the e practice practice of  concentr conc entrating ating on quality quality targets targets in isolation isolation without without taking taking into co consi nsider derati ation on the whole whole pictur picture.” e.” - Minoo Minoo P. Bil Billam lamori oria, a, Ford Ford Design  Design  Institute

24

 

Esempio aeroplano di carta

Corso di Gestione Aziendale - Ing. Romeo Castagna

FACOLTÀ DI I NGEGNERIA Sede distaccata di Cremona  

25

25

 

Esempio: progettazione robusta di aeroplani di carta Fattori di disturbo

• carat caratteristi teristiche che de della lla carta carta • esecu esecuzione zione delle pieghe • spinte cond condizi izioni onimomento amb ambient ientali ali al mom ento de dell lancio

Segnale di ingresso

Scelta del modello di aereo

Sistema:  Aereo di carta

Risposta del sistema

Massimizzare la distanza Minimizzare la variabilità

(leve di progetto) • A dis distribuz tribuzione ione de deii pes pesii • B inci incidenza denza degli aletton alettonii • C supe superfi rficie cie al alare are • D su superfic perficie ie dei dei fla flapp Fattori controllabili controllabili

26

 

Fattori di controllo e fattori di disturbo Fattori di controllo Distribuzione dei pesi

Incidenza alettoni

Superficie alare

Superficie flaps

a1: verso prua

b1: verso il basso

c1: grande

d1: piccola

a2: al centro

b2: orizzontale

c2: intermedia

d2: intermedia

a3: verso poppa

b3: verso l’alto

c3: piccola

d3: grande

Fattori di disturbo  Angolo di stacco

0° 45°

 Altezza di lancio

Posizione  “seduto”  Posiazione  “in piedi” 

Forza impressa

Persona 1 Persona 2 Persona 3 Persona 4

27

 

Il Progetto 3

2 1

4

C1 C2 C3

A1

5 A2

6

A3

D1 D3 D2 Sede di Cremona

Sede di Cremona

B1-Up B2-Flat B3-Down

7

28

 

Tabella delle prove Fattori controllabili • • • •

C1

A1

A contrappeso B flap C larghezza aala la D in incl clin inaz azio ione ne al alaa Fattori Fatto ri controllab controllabili ili

D1

    p      U         1      B

Sede di Cremona

Sede di Cremona

    p      U         1      B

    e     v     o     r       P

Peso

Flap

Ala

Angolo

A

B

C

D

1

 

1

1

1

1

2

 

1

2

2

2

3

 

1

3

3

3

4

 

2

1

2

3

5

 

2

2

3

1

6

 

2

3

1

2

7

 

3

1

3

2

8

 

3

2

1

3

9

 

3

3

2

1

29

 

Tabella delle prove Fattori di disturbo • Un la lanc ncio io pe perr oogn gnii livello di fattore di disturbo  – altezza di lancio  – angolo di lancio

C1

A1

Prove

D1

    p      U         1      B

Sede di Cremona

Sede di Cremona

    p      U         1      B

1

2

3

4

seduto 0°

seduto 45°

piedi 0°

piedi   45°

d

a

b

c

b

c

d

a

c

b

a

d

a

d

c

b

d

a

b

c

b

c

d

a

c

b

a

d

a

d

c

b

d

a

b

c

 

 

 

 

 

30

 

Tabella delle prove Risultati  ANOVA

Metodo Taguchi

• 34 = 81 aerei • 4 prove • 81 x 4 = 244 pr prove

• 9 aerei • 4 prove • 9 x 4 = 36 prove

Prove

Fattori controllabili

    e     v     o     r       P

Peso

Flap

Ala

Angol o

   

1

2

3

4

seduto 0°

seduto 45°

pi edi 0°

piedi   45°

d

a

b

c

b

c

d

a

c

b

a

d

a

d

c

b

d

a

b

c

b

c

d

a

c

b

a

d

a

d

c

b

d

a

b

 

 

 

 

c

 

A

B

C

D

1

 

1

1

1

1

 

3.09

3.33

3.84

4.07

2

 

1

2

2

2

 

2.91

3.14

3.92

2.86

3

 

1

3

3

3

 

2.64

2.72

2.92

2.99

4

 

2

1

2

3

 

3.49

2.41

3.25

3.66

5

 

2

2

3

1

 

3.31

3.41

3.93

3.76

6

 

2

3

1

2

 

3.92

6.08

5.24

4.83

7

 

3

1

3

2

 

2.50

3.41

3.64

3.21

8

 

3

2

1

3

 

2.45

3.94

3.31

4.15

9

 

3

3

2

1

 

3.09

4.97

4.32

4.98

31

 

Risultati  Analisi dei fattori di controllo Para Parametr metr o A

Parametro B

14.00

14.00

12.00

12.00

10.00

10.00

8.00

8.00

6.00

6.00

4.00

4.00

2.00

2.00

0.00

0.00 1 Media

2

3 Std.dev .

1 S/N

Parametro C

  Media

14.00

2

3

Std.dev .

S/N

Parametro Parametro D

14.00

12.00

12.00

10.00

10.00

8.00

8.00

6.00

6.00

4.00

4.00

2.00

2.00 0.00

0.00 1 Media

2 Std.dev .

1

3 S/N

Media

2

3 Std.dev .

S/N

32

32  

Risultati  Analisi dei fattori di disturbo Sensibilità delle prestazioni al livello dell’altezza di lancio

B-Altezza

A-Altezza

C-Altezza

4.00

4.50

4.00

3.50

3.50

3.00

3.00

D-Altezza

4.50

4.50

4.00

4.00

3.50

3.50

3.00

3.00

2.50

2.50

2.00

2.00

1.50

1.50

1.00

1.00

0.50

0.50

2.50 2.50 2.00 2.00 1.50 1.50 1.00 1.00 0.50

0.50

0.00

0.00 Se dut o

1

2

0.00 Se dut o

P ie di

3

1

P i e di

2

0.00 Se duto

3

1

P ie di

2

Se duto

3

1

P ie di

2

3

33  

Risultati Curva di perdita £

    1    perdita = C  scarto ⋅ x scarto ⋅    x 2  

250

2

Costo scarto

200

200 £  150

100

50

0 2.000

2.500  Aereo 1

3.000 Aereo 2

3.500 Aereo 3

4.000 Aereo 4

4.500 Aereo 5

Scarto 3 m

5.000 Aereo 6

5.500 Aereo 7

6.000 Aereo 8

6.500 Distanza Aereo 9