CD Trabajo Colaborativo 3 274

MOMENTO 6: TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 3 ANÁLISIS DE DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.

DEWIS DUAR MORENO COTTA (10474252765) ELIECER VELASQUEZ JUAN JESUS JARAMILLO JHON ALEXANDER MOLINA (79778934)

Grupo: 274

Presentado a: ZURISADDAI DE LA CRUZ SEVERICHE MAURY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 100410A_288 CALCULO DIFERENCIAL 07-MAYO-2016

Introduccion

En el presente trabajo encontraremos una serie de ejercicios dividido en tres fases para la comprensión y adecuada aplicación de los conocimientos sobre la derivada. El objeto de esta actividad es conocer el concepto de derivada y profundizar sobre sus diferentes aplicaciones, aprender a los métodos o reglas para la solución de una derivada. Conocer y comprender la manera de representar la derivada de forma gráfica, haciendo uso del software Geogebra.

Ejercicios fase 1 Ejercicio 1. Fórmula utilizada 𝒇´(𝒙) = 𝒖´(𝒙) + 𝒗´(𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 𝟏 𝒇´(𝒙) = 𝟏 + 𝒏 𝒙 𝒇´(𝒙) =

𝒙+𝟏 𝒙

Ejercicio 2 𝒇(𝒙) = 𝒙 ∗ 𝒆𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝒙 ∗ 𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 = 𝒆𝒙 (𝒙 + 𝟏)

Ejercicio 3 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ∗ 𝟐𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝟐𝒙 ∗ 𝟐𝒙 + 𝒙𝟐 ∗ 𝟐𝒙 ∗ 𝒍𝒏 (𝟐) 𝒇´(𝒙) = 𝒙 𝟐𝒙 (𝟐 + 𝒙 ∗ 𝒍𝒏 (𝟐))

Ejercicio 4 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝒙𝟓 +

𝟐 √𝒙

𝒅 𝟐 = 𝟒√𝒙𝟓 + 𝒅𝒙 √𝒙 Aplicar la regla de la suma /diferencia 𝒅 𝒅 𝟐 𝟒√𝒙𝟓 + 𝒅𝒙 𝒅𝒙 √𝒙

Tenemos que: 𝒅 𝒙𝟐 𝟒√𝒙𝟓 = 𝟏𝟎 ∗ 𝒅𝒙 √𝒙 Y también tenemos que: 𝒅 𝟐 −𝟏 = 𝒅𝒙 √𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙 Agrupando las derivadas: 𝒅 𝒅 𝟐 𝒙𝟐 −𝟏 𝟒√𝒙𝟓 + = 𝟏𝟎 ∗ + 𝒅𝒙 𝒅𝒙 √𝒙 √𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙 Entonces, multiplicamos por (x) el numerador y el denominador de 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎 ∗

𝒙𝟐 √𝒙

y tenemos:

𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟑 ∗ = 𝟏𝟎 ∗ √𝒙 𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙

Ahora sumamos las derivadas. 𝒅 𝒅 𝟐 𝒙𝟑 −𝟏 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟏 𝟒√𝒙𝟓 + = 𝟏𝟎 ∗ + = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 √𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙 √𝒙 ∗ 𝒙 Respuesta: 𝒇´(𝒙) =

𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟏 √𝒙 ∗ 𝒙

Ejercicio 5 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐 + 𝒙) 𝟔 𝟓

𝒇´(𝒙) = 𝟔(𝒙𝟐 + 𝒙) (𝟐𝒙 + 𝟏)

Ejercicio 6 𝒇(𝒙) =

𝒙𝟐 − 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟐

𝒇´(𝒙) =

(𝟐𝒙)(𝟐𝒙 + 𝟐) − (𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟏) 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐) = = (𝟐𝒙 + 𝟐) 𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟐)𝟐 (𝟐𝒙 + 𝟐) 𝟐

𝒇´(𝒙) =

𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐) (𝟐𝒙 + 𝟐) 𝟐

Ejercicio 7. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) Solución. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) Como 𝒔𝒆𝒏𝟐 significa que todo el sistema va elevada a la potencia en este caso a la 2, tenemos. 𝒇(𝒙) = (𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐))𝟐 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐−𝟏 ∗ (𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐))′ Realizamos la derivación de la función seno. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ∗ (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)′ Realizamos la derivación de (𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)′. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) ∗ 𝟔𝒙 Operamos. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) Respuesta. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙𝟐 + 𝟐)

Ejercicio 8. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 √𝒙𝟐 − 𝟏 Solución. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 √𝒙𝟐 − 𝟏 Aplicamos la ley de la cadena.

𝒇´(𝒙) =

𝒅𝒚 𝒅 𝒅 𝒅 𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟏 ∗ = 𝒔𝒆𝒏 √𝒙𝟐 − 𝟏 ∗ 𝒙 −𝟏 𝒅𝒙 𝒅𝒖 𝒅𝒗 𝒅𝒙

𝒇´(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔√𝒙𝟐 − 𝟏 ∗

𝟏 𝟐√𝒙𝟐 − 𝟏

∗ 𝟐𝒙

Simplificamos y reorganizamos. 𝒇´(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔√𝒙𝟐 − 𝟏 ∗

𝒇´(𝒙) = 𝒙

𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏

∗ 𝒙

𝒄𝒐𝒔√𝒙𝟐 − 𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏

Respuesta. 𝒇´(𝒙) = 𝒙

𝒄𝒐𝒔√𝒙𝟐 − 𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏

Ejercicio 9. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 ∗ 𝒚´ = 𝟎 −𝟐𝒚 ∗ 𝒚´ = −𝟐𝒙 𝒚´ =

−𝟐𝒙 −𝟐𝒚

𝒚´ =

𝒙 𝒚

Ejercicio 10 Aplicando las reglas de la derivación, calcular la siguiente derivada. √ 𝒙 + √𝒚 = 𝟗 Solución: Vamos a derivar respecto a x.

√ 𝒙 + √𝒚 = 𝟗 Llevamos las variables 𝒙 y 𝒚, a variables con exponentes para facilitar la forma de resolver el ejercicio. 𝒙𝟏⁄𝟐 + 𝒚𝟏⁄𝟐 = 𝟗 Derivamos implícitamente tomando en cuenta la regla de la cadena 𝟏 −𝟏⁄𝟐 𝟏 𝒙 + 𝒚−𝟏⁄𝟐 𝒚´ = 𝟎 𝟐 𝟐 Despejando 𝒚´ 𝟏 −𝟏⁄𝟐 𝟏 𝒚 𝒚´ = − 𝒙 −𝟏⁄𝟐 𝟐 𝟐 Se cancelan los

𝟏 𝟐

en ambos lados de la ecuación.

𝒚−𝟏⁄𝟐 𝒚´ = −𝒙−𝟏⁄𝟐 𝒙−𝟏⁄𝟐 𝒚´ = − −𝟏⁄𝟐 𝒚 𝒚´ = −

√𝒚 √𝒙

𝒚´ = − √

𝒚 𝒙

Respuesta: 𝒅𝒚 𝒚 =−√ 𝒅𝒙 𝒙

Ejercicio 11. 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 (𝒙) Solución. 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈 (𝒙) Primero hallamos la primera derivada.

𝒇´(𝒙) =

𝒅𝒚 𝟏 = 𝒅𝒙 𝒙

Ahora hallamos la segunda derivada. 𝒅𝟐 𝒚 𝟏´ ∗ 𝒙 − 𝟏 ∗ 𝒙´ 𝟎 ∗ 𝒙 − 𝟏 ∗ 𝟏 𝟏 𝒇´´(𝒙) = = = = − 𝒅𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 Respuesta. 𝒇´´(𝒙) = −

𝟏 𝒙𝟐

Ejercicio 12. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 𝒇´(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟏 𝒇´´ (𝒙) = 𝟔 𝒇´´´ (𝒙) = 𝟎 𝒇´´´´ (𝒙) = 𝟎

Ejercicios fase 2

Ejercicio 1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 Solución: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 𝒇´(𝒙) = 𝟑 ∗ 𝒙𝟑−𝟏 ∗ 𝟏 → 𝒇´ (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 Entonces: 𝒙=𝟖 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 = (𝟖) 𝟑 = 𝟓𝟏𝟐 𝒇´(𝒙) = 𝟑(𝟖) 𝟐 = 𝟑(𝟔𝟒) = 𝟏𝟗𝟐

Comprobación en Geogebra

Ejercicio 2 𝑓(𝑥) = √x 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 1

1

1

1

2

1 𝑥2

𝑓´ (𝑥 ) = 𝑥 −2 = ∗ 2

1

1

2

√x

= ∗

Entonces X= 4

𝑓(𝑥 ) = √4 𝑓´ (𝑥 ) =

=2

1 2√x

=

1

=

1

2√4 2∗2

1

= = 0,25 4

=

1 2√x

Ejercicio 3. 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 Solución: 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 𝒇´(𝒙) = 𝒆𝒙

Comprobación en Geogebra

Ejercicio 4. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) Solución: 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒇´(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) Entonces: 𝒙=𝟓 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝟓) = −𝟎. 𝟗𝟔 𝒇´(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝟓) = 𝟎. 𝟐𝟖

Comprobación en Geogebra

Fase 3 Cada estudiante deberá analizar y redactar un escrito de no más de (1) párrafo de extensión, donde argumente las aplicaciones de las derivadas en su profesión, recuerde argumentar un contexto posible y real en el que usted en su profesión pueda aplicar estos conceptos. Haga uso de una buena redacción y ortografía, sea breve y vaya al punto. Por favor, realizar el escrito con sus propias palabras, abstenerse de copiar y pegar información de la Web o de otras fuentes qu e no sean de su autoría. Argumento (Dewis Moreno) En mi profesión, la derivada es usada para el diseño de circuitos de alto voltaje, calculando la razón de cambio de las resistencias en paralelo de los circuitos electrónicos; también para la lectura de variables y creación de graficas de ondas provenientes de los transmisores para mantener el control de un proceso productivo.

Argumento (Eliecer Velásquez) La derivada en el campo de la electrónica. La derivada en el campo electrifico y electrónico es muy empleada de manera muy práctica cuando nos referimos a la corriente alterna nos referimos a valores de amperios que están variando en un intervalo de tiempo y hasta lo podemos representar de forma gráfica el incremento que ha tenido variable corriente eléctrica en determinado lazo de tiempo.

Conclusión Gracias a esta actividad hemos comprendido el concepto de derivada y también conocido las diferentes maneras de aplicarlas en la solución de problemas que lo requieran, hemos conocido una buena herramienta para utilizar en nuestro campo de trabajo.

Bibliografía Rojas, F. (2013). Derivada de una función implícita Ejemplo 4. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=40C9WKEOwMM Tabara, J. (2012)15 Geogebra y Matemáticas. Derivadas. Recuperado: https://www.youtube.com/watch?v=ly1uFJwaLXQ Rondón Jorge Eliecer, Ortegón Francisco. 100410-Modulo calculo diferencial. Primera edición. Bogotá D.C. 2011.