CD Trabajo Colaborativo 1 507

CALCULO DIFERENCIAL TRABAJO COLABORATIVO MOMENTO 2

PRESENTADO POR: YOHAN SEBASTIAN COQUECO MEDINA CÓDIGO: 1075298560 LEONARDO FARIETA VERA CODIGO: 80084622 YECID ARTURO GUERRERO FIERRO CODIGO: 79793067

TUTOR: JUAN PABLO SOTO GRUPO: 100410_507

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA NEIVA - HUILA 30/SEP/2016

INTRODUCCION El presente trabajo permite adquirir y reforzar nuevos conocimientos de la unidad 1 sucesiones y progresiones dividido en 3 fases las cuales aplicara tema referentes haciendo uso del Geogebra, formulas y problemas propuestos permitiendo que el estudiante de ejemplos reales que pueda aplicar en su vida cotidiana sobre las incógnitas y las alternativas planteadas, buscando que el estudiante apropie fundamentos que permita generar conocimiento en el proceso de formación profesional.

DESARROLLO FASE 1 B) de las siguientes sucesiones, determinar si son monótonas y si convergen o divergen, justificar la respuesta.

6) 𝟒,,𝟔,𝟐𝟓,𝟑𝟔,𝟒𝟗,….. =>(𝑛 + 1)2 𝑛𝑖 < 𝑛𝑖 + 1

Monotona

Sea 𝑓(𝑥) = (𝑋 + 1)2 lim (𝑋 + 1)2 = ∞

𝑋→∞

Divergente

7) 𝟓,,𝟏𝟕,𝟐𝟔,𝟑𝟕,𝟓𝟎,….. 𝑛1 = 5 𝑛𝑖 + 1 = 𝑛𝑖 + 2𝑛 + 1 𝑛𝑖 < 𝑛𝑖 + 1

Monotona

Divergente

8) 𝟔,,𝟏𝟖,𝟐𝟕,𝟑𝟖,𝟓𝟏,….. 𝑛1 = 6 𝑛𝑖 + 1 = 𝑛𝑖 + 2𝑛 + 1 𝑛𝑖 < 𝑛𝑖 + 1 Divergente

Monotona

9) 𝟑,,𝟓,𝟐𝟒,𝟑𝟓,𝟒𝟖,….. 𝑛1 = 3 𝑛𝑖 + 1 = 𝑛𝑖 + 2𝑛 + 1 𝑛𝑖 < 𝑛𝑖 + 1

Monotona

Divergente

10. 𝟐,,,𝟏𝟔,𝟑𝟐,𝟔𝟒 =>(𝑛)2 𝑛𝑖 < 𝑛𝑖 + 1

Monotona

Divergente

C) Problemas progresiones aritméticas y geométricas.

PROBLEMA 1

Un pueblo que tenía 10.000 personas, no tiene hoy más que 6.561. La disminución anual ha sido la décima parte de los habitantes. ¿Cuántos años hace que tenía 10.000 personas en dicho pueblo?

SOLUCIÓN:

Sea 𝑎1 el primero termino 10.000 Sea 𝑎2 el ultimo termino 6561 Calculamos el 2 término 𝑎2 de la siguiente manera: Disminución anual:

1 𝑥10000 = 1000 10 En el 1 año se presenta una disminución de: 10000 − 1000 = 9000 Por lo tanto 𝑎2 𝑒𝑠 9000 Después calculamos la razón de la progresión: 𝑟=

𝑎2 9000 9 = = 𝑎1 10000 10

El último término es igual al primero por ser elevado al número menos 1, después: 6561 = 10000 (

9 𝑛−1 ) 10

6561 9 = ( )𝑛−1 10000 10 (

9 4 9 ) = ( )𝑛−1 10 10

Donde el número de término es: 𝑛−1=4 𝑛=5

Por tanto tarda 4 años. 𝑎1

𝑎2

𝑎3

𝑎4

𝑎5

10000

9000

8100

7290

6561

PROBLEMA 3

Descomponer 726 en un número de partes que estén en progresión creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos extremos, y su diferencia 483, menos la razón.

SOLUCIÓN: 𝑆𝑒𝑎 𝑎1 𝑦 𝑎𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑦 "r" 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛:

492 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 Luego: 𝑎𝑛 = 492 − 𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 Después: 𝑎𝑛 − 𝑎1 = 483 − 𝑟 𝑟 = 483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2

La suma de los términos de la progresión es 726, luego aplicamos la fórmula de la suma de una progresión geométrica limitada y sustituimos el valor de “r” de la ecuación 2 y el de la 𝑎𝑛 de la ecuación 1 en la siguiente formula: 𝑆=

𝑎𝑛. 𝑟 − 𝑎1 𝑟−1

726 =

𝑎𝑛. (483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 ) + 𝑎1 (483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 ) − 1

726 =

(492 − 𝑎1 ). [(483 − (492 − 𝑎1 ) + 𝑎1 ] − 𝑎1 482 − (492 − 𝑎1 )+𝑎1

726 =

(492 − 𝑎1 )(−9 + −𝑎1 + 𝑎1 ) − 𝑎1 (492 − 𝑎1 )(−2𝑎1 − 9) − 𝑎1 = −10 + 2𝑎1 2𝑎1 − 10

−2𝑎1 2 + 992𝑎1 − 4428 = 1452𝑎1 − 7260 2𝑎1 2 + 460𝑎1 − 2832 = 0 𝑎1 2 + 230𝑎1 − 1416 = 0 𝑎1 =

−230 ± √52900 + 5664 −230 ± √58564 −230 ± 242 = = 2 2 2 𝑎1 =

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎1 = 6 𝑎𝑛 = 492 − 𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎𝑛 = 492 − 6 = 486 𝑟 = 483 − 𝑎𝑛 + 𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑟 = 483 − 486 + 6 = 3 Los términos de la progresión son:

−230 + 242 12 = =6 2 2

𝑎1 = 𝑎1 = 6 𝑎2 = 𝑎1 . 𝑟 = 6𝑥3 = 18 𝑎3 = 𝑎2 . 𝑟 = 10𝑥3 = 54 𝑎4 = 𝑎3 . 𝑟 = 54𝑥3 = 162 𝑎5 = 𝑎4 . 𝑟 = 162𝑥3 = 486

El resultado de la progresión es: 6: 18: 54: 162: 486

PROBLEMA 4 Hallar la suma de los cinco términos de una progresión geométrica, cuya razón es igual al primer término, con signo contrario, y la diferencia de los dos primeros igual a 2. SOLUCION: Los datos para la solución de este problema son: 𝑟 = −𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑎1 − 𝑎2 = 2 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑛=5 Sabiendo que: 𝑎2 = 𝑎1 𝑟 De la ecuación 1 y la ecuación 2 obtenemos: 𝑎1 = 𝑎1 = 2 𝑎1 − (𝑎1 )(−𝑎1 ) = 2 𝑎1 − (−𝑎12 ) = 2 𝑎12 + 𝑎1 − 2 = 0 𝑎1 =

−1 ± √1 + 8 −1 ± √9 −1 ± 3 = = = 2 2 2

𝑎11 =

−1 + 3 2 = = 1 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 2 2

𝑎12 =

−1 − 3 −4 = = 2 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑉𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 2 2

Para 𝑎1 = −2 Aplicando la ecuación 1: 𝑟 = −𝑎1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑟=2 Luego aplicamos la fórmula de cálculo del término de progresiones geométricas limitadas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 𝑎𝑛 = (−2)55−1 𝑎𝑛 = (−2)24 = −32 Luego aplicación la fórmula de cálculo de la suma de progresiones geométricas limitadas: 𝑆𝑛 =

𝑎𝑛 − 𝑎1 𝑟−1

𝑆𝑛 =

(−32)2 − (−2) = −62 2−1

PROBLEMA 5 ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de 12 términos, siendo el primero 1 y el último 2048? ¿Cuál será la suma de los términos de esta progresión, y cuál el décimo término? SOLUCIÓN: Los datos que el problema nos proporciona son: 𝑛 = 12 𝑎1 = 1 𝑎𝑛 = 2048 Mediante la fórmula de cálculo hallaremos el último término: 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 𝑟 = 𝑛−1 √

𝑎𝑛 2048 11 11 =√ = √2048 = √211 = 2 𝑎1 1

Mediante la fórmula de la suma hallamos: 𝑆𝑛 =

𝑎𝑛 𝑟 − 𝑎1 𝑟−1

𝑆12 =

2048𝑥2 − 1 = 4095 2−1

Mediante la fórmula de cálculo del último término hallamos el décimo: 𝑎10 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1 = 1𝑥210−1 = 29 = 512

PROBLEMA 6

Pedro tiene una deuda cuyo valor asciende a 10.000, a través de un acuerdo de pago, se compromete a cancelar el 140% del valor total de la deuda en 24 pagos mensuales fijos. Cuando Pedro acaba de cancelar su veinteavo (20) mes de la deuda se gana un chance por valor de 3000, por lo tanto, él desea saber si el valor del premio le alcanza para pagar la deuda que le queda. Responda las siguientes preguntas. Plantee la solución desde las progresiones.

SOLUCION:

Deuda: 10.000

Cancelar: 14.000 Valor por mes: $583,33

583,33; 1166,66 ; 1749; 99 Dado los términos a1;a2;a3;;;; a20? 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎𝑛 = 583,33 + (20 − 1)583,33 𝑎𝑛 = 583,33 + 19 ∗ 583,33 𝑎𝑛 = 583,33 + 11083,27 𝑎𝑛 = 11.666,66 𝑝𝑎𝑔𝑜 20 + 𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 = ≠ 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑆𝑎𝑙𝑑𝑜 = 11.666,66 + 3.000 = 14.666,6 a) ¿Cuánto le queda por pagar a Pedro en el momento que se gana el chance? R: Al momento de ganar el chance debía 2.333,4 b) ¿Le alcanza a Pedro para pagar la totalidad de la deuda restante en el momento en que se gana el chance? R: Le alcanza y le sobra 666,6 c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? Justificar el porqué. R: La progresión es aritmética ya que guarda la secuencia del mismo valor. d) ¿La progresión es creciente o decreciente? justificar el porqué.

R: La progresión es creciente porque va sumando los valores hasta llegar al saldo de la deuda. PROBLEMA 7

Un rey le dijo a un caballero: "Puedes tomar hoy una moneda de oro, mañana 2 monedas, pasado mañana 4 monedas y así sucesivamente, cada día puedes tomar el doble de monedas de las que tomaste el día anterior hasta que llenes esta mochila con las monedas que día a día irás depositando" y le entregó dicha mochila. Suponiendo que cada moneda de oro pesa 2 gramos y que la mochila tiene una capacidad máxima de carga de 5kg. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? b) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? d) ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar

SOLUCION:

Cada moneda pesa 2 gramos, peso total de carga 5000 gramos. 5000 = 2500 2 a) ¿Cuántas monedas en total logrará recoger el caballero? R: logra recoger 2.500 monedas en la mochila. 𝑥=

𝑎1 = 1 ; 𝑎2 = 2 ; 𝑎3 = 4 ; 𝑎4 = 8 𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑟 (𝑛−1) = 2500 = 1 ∗ 2(𝑛−1) 𝑙𝑜𝑔2500 = log 2(𝑛−1) log( 25 ∗ 100) = (𝑛 − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔25 + 𝑙𝑜𝑔100 = (𝑛 − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 (2+2) (𝑛 log(5) = − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 2𝑙𝑜𝑔5 + 2 = (𝑛 − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 𝑙𝑜𝑔10 2( ) + 2 = (𝑛 − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 2(𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2) + 2 = (𝑛 − 1) ∗ 𝑙𝑜𝑔2 2 2 𝑛 − 1 = 2(𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2) + = 11,29 𝑛 = 11,29 + 1 𝑛 = 12,29 𝑙𝑜𝑔2 b) ¿Cuántos días aproximadamente se tardará en lograrlo? R: Se tardara 12,29 días c) ¿La progresión es aritmética o geométrica? R: Es Geométrica, cada termino es igual al anterior multiplicado por la razón que es constante.

d) ¿La progresión es creciente o decreciente?, Justificar R: La progresión es creciente ya que va en aumento. PROBLEMA 8

En un laboratorio, un científico después de aplicar un catalizador a4 una bacteria descubre que durante la primera hora obtuvo 3 bacterias y estas se reproducirán por tripartición cada hora, el científico requiere desarrollar en 8 horas un cultivo de bacterias superior a 50.000. Responda las siguientes preguntas. a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? SOLUCION:

3; 9; 27 𝑎4? 𝑟=

𝑎1 = 3; 𝑎2 = 32 ; 𝑎3 = 33 𝑎4?

𝑎2 32 9 = = =3 𝑎1 3 3

𝑎4 = 𝑎1. 𝑟 (𝑛−1) =

𝑎4 = 3 ∗ 3(4−1) =

𝑎4 = 3 ∗ 33 =

𝑎4 = 34 = 81

a) ¿Cuál es el tamaño del cultivo de bacterias obtenidas luego de las 4 horas? 𝑎1 3 = 𝑐4 = 81 ∗ 3 𝑟−1 3−1 𝑐4 = 3 ∗ 40 𝑐4 = 120 𝑐4 = 𝑎𝑛. 𝑟 −

𝑐4 =

3(81 − 1) 2

𝑐4 = 3 ∗

80 2

R: En las 4 Horas el tamaño del cultivo es de 120 bacterias. b) ¿Logra el científico cultivar la cantidad de bacterias que requiere? 3; 9; 27 𝑎8? 𝑎1 = 3; 𝑎2 = 32 ; 𝑎3 = 33 𝑎4 = 34 𝑎5 = 35 𝑎6 = 36 𝑎7 = 37 𝑎8 = 38 ? 3 𝑎8 = 37 𝑎8 = 38 𝑎8 = 38 = 6561 𝑐8 = 6561 ∗ 3 𝑐8 3−1 = 6561 ∗ (3 ∗ 1,5) 𝑐8 = 6561 ∗ 4.5 = 29524,5 R: No ya que requiere 50.000 y solo obtiene 29524,5.

c) Independientemente de si lo logra o no lo logra ¿en cuánto tiempo lograría el científico tener el cultivo de bacterias requerido? 𝑙𝑜𝑔50000 50000 = 3 ∗ 3(𝑛−1) 50000 = 3𝑛 𝑙𝑜𝑔 50000 = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔3 𝑛= 𝑙𝑜𝑔3 4,698970 𝑛 = 9,84 0,477121 R: se requiere 9,84 horas aproximadamente. 𝑛=

PROBLEMA 9

Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 170 Kg y su peso ideal debería ser de 85Kg. Un médico le receta un tratamiento el cual le va a permitir bajar de peso a razón de 2Kg mensualmente. ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar

SOLUCION: A) ¿En cuánto tiempo pedro alcanzaría su peso ideal? 85𝑘𝑔 𝑚𝑒𝑠 = 2 𝑘𝑔 𝑝𝑖 = 2𝑘𝑔 = 42,5 R: En 42,5 meses Pedro alcanzaría su peso ideal. B) ¿La progresión es una progresión geométrica o aritmética? Justificar R: Es aritmética, son sucesivos y es constante en 2 Kg. C) ¿Cuánto tiempo necesita pedro para adelgazar el 30% de su peso actual? R: Lleva 25,5 meses en adelgazar el 30% es decir 51 Kg. D) ¿La progresión es una progresión creciente o decreciente? Justificar R: Decreciente ya que el deseo de Pedro es adelgazar, así que el valor disminuye.

FASE 2 Fase No. 2 (Fase de Desarrollo individual) Haciendo uso de la Aplicación Geogebra y siguiendo las indicaciones del video “Fase 2 – Trabajo Colaborativo 1”, cada estudiante deberá escoger un (1) ejercicio y graficar los 5 primeros términos determinando si la progresión es geométrica o aritmética, su razón o diferencia común y si es creciente o decreciente. Se debe especificar en el foro de la actividad el ejercicio escogido por cada estudiante, este, no se podrá cambiar en el transcurso de la actividad y debe ser desarrollado única y exclusivamente por el estudiante que lo ha escogido. a) 𝑈𝑛 = 6𝑛 – 2 b) 𝑈𝑛 = 7 − 4𝑛 c) 𝑈𝑛 = 5

A) 𝑈𝑛=6𝑛−2 Yohan sebastian coqueco

Se trata de una progresión geométrica creciente dado que el último término se obtiene del producto anterior y su resultado va en ascenso.

B) Un = 7-4n Leonardo Farieta Vera

Para este ejercicio se puede notar que es una progresión geométrica ya que el último término va en función del producto al anterior. Es decreciente ya que el resultado va disminuyendo en el eje y con respecto al eje x. C: 𝒖𝒏 = 𝟓 Yecid Arturo Guerrero

FASE 3

Cada estudiante deberá analizar y redactar un escrito de no más de (1) párrafo de extensión en donde argumente como aplicaría el uso de las progresiones en su profesión, recuerde argumentar un contexto posible y real en el que usted en su profesión, pueda aplicar los conceptos de la unidad 1.

Yohan Sebastián Coqueco: Aplicaría el uso de las progresiones en mi profesional en la manera de identificar y hallar diversos problemas y valores específicos, determinando diferentes entornos de manejo en el programa de la Ingeniería electrónica debido a la innovación tecnológica en la que vivimos y a la utilización de elementos electrónicos y de automatización que están extendidas en nuestro ámbito de vida.

Yecid Arturo Guerrero El uso de las progresiones en la profesión de la ingeniería industrial, permitiría ver y resolver de forma sistemática los problemas que se presentan en los diferentes frentes de trabajo en la ingeniería, se debe entender cómo resolver problemas teniendo en cuenta las progresiones y sucesiones, determinar los valores de cada una de las incógnitas, que nos ayuden a entender las situaciones que se presentan y por qué no determinar probabilidades en la vida misma.

CONCLUSIONES

 Se profundizo en la plataforma del curso conociendo cada uno de las herramientas del curso.  La actividad permitió dar recorrido por la unidad 1 y reforzar los conocimientos adquiridos en el desarrollo de esta unidad y la manera en que podemos aplicarla en nuestra vida profesional.  Se interactuó con cada uno de los compañeros del curso el desarrollo de nuevos conceptos de conocimiento y su aplicación en aspectos de nuestra cotidianidad.

BIBLIOGRAFIA

   

https://www.youtube.com/watch?v=bwXK7N28r3A https://www.youtube.com/watch?v=cu_1-7Lo_qk https://www.youtube.com/watch?v=47bC3CjXjrs http://campus06.unad.edu.co/ecbti05/pluginfile.php/24487/mod_forum/intro/Gui%C C%81a_%20de_reconocimiento_%20del_curso_Ca%CC%81lculo_Diferencial_20 16_1601_2.pdf  https://www.youtube.com/watch?v=eDD8EAhbfgA