ÇÖZÜMLÜ LİNEER CEBİR PROPLEMLERİ

Prof. Dr. Fethi GALLIALP

-

Marmara Universi tesi

Atatiirk Eii tim Fakiltesi

1 TEMEL BILGILER 1.1 Kiirneler . . . . . 1.2 Fonksiyonlar . . . 1.3. Cebirsel Yapllar .

z

1

...................... 1 ...................... 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

MATRISLER 27 2.1 Matris iSlernleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2. 2

Determinantlar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 LINEER DENKLEM S~STEMLER~[ 3.1 Lineer Denklem Sistemleri . . . . . . . 4 VEKTOR UZAYLAEU 4.1 Vektijr Uzaylar~ . . . 4.2 Iq qarplrn uzaylari . . 5

Linecr Donigiimler 5.2 .Matris Temsjlleri . 6

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 .

LINEER D ~ N U E ~ ~ M L E R 5.1

73

. . . . . . . . . . 73

141

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

O Z D E ~ E RVE O Z V E K T ~ R L E R 175 . Koqegenlegtir~ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 . 6.2 Kuadratik Formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.3 Diferansiyel Denklernler . . . . . . . . . . . . . . . . . .208 6.1

Kaynaklar

218

BOLLTM 1 TEMEL B ~ L G ~ L E R

liii111t. I)ir t , a l ; ~ ncle~lqa~ilal~ l o p l ~ ~ l u ~ u d uICiinleler, r. clemanlar~ bir para111ez i ~ i u d eyasllarak veya kiilt~eiiineleina~llar~nikarakterize ctien i;xr:llilc vr*ril(?rckifatlri cdilir. I-Iiqbir clcnla111 hululin~ayau k i i ~ n e yb~ o ~kiinle rlellir ve B ile gisLei.ilir. L3ax1 say I kiin~clel-ig ~ i n l a r d ~ r : Ilogal si~ylI w- kii mesi , N = (0, 1,2,:1, ... } , r 1 amsay~lai-Itiiulcsi. 2 = (0, T 1 , ~ ' 1 , .. .), R;lsyot~els a y ~ l n kii~nesi. ~. Q = { t : a , b E 2 ,l # 0 ) . Il.rlr~ls a y ~ l a rliiiincsi~~i IR, ko~nplekssay ~ l a rkiiln~siuide C ile gijstert~c:(!~iz, l

,

Tanim 1.1.1 A ve B kiimr.leri iqin, B'nin tier elema111 A nln da hir r l c ~ t i n u ~isr rj ye A nlli I)ir alt kiilnesi dcnir ve B c A ile gos~erilir. 1: .gc*lh11 C A vib ij # A isr H yr. A 11111 hi^' oz alt kiimesi rletlir.

-

Tanim 1 . 1 . 2 A V P B kii~nelt:l-iiqin, B 11in her cleinan~ A u ~ i rvc A i l i r ~tiel- clrnlail~ B clc isc, b11 iki k i i i ~ l c ~ e r~ i kt u n ~ e l e rdt:~~ir ve A = H ilr gGst,~?~.ilii~. Aqaj$rlalii iizc?lliklel-, y~ikaridakil a ~ l ~ r n l a r ibir o sonirc~tdur: i) A = [ ] A C 13veBCA. i i ) I-ler A kii~nr?siiqiu, A C .4 & B C A cllr.

BOLGM 1 .

2

TEMEL B ~ L G ~ L E K

Kiime iqlemleri:

Tanrm 1.1.8 Yansiyan, ters-simetrik v e geqigken bir balttltiya sl-

ralama bag~ntisi denir.

i) A U B = {x : x E A veya x E B), (birlqim) i i ) A n B = { x : x € A v e x E B),(kesigiin veya arakesil) i i i ) A\B = { x : x E A v e x # B ) , (fark) iv) AAS = (A\B) U (B\A), (siinetrik lark) ile l a n ~ m l a n i r .

Slralama bagintlanda her a, b f A iqin, a Rb veya bRa olmasr gerekmez. Eger her a, b E A isin, aRb veya bRa ise hu slralama b a g ~ n t ~ s ~ n a bir tam slralama baglntlsl denir.

( A i ) i G l bir kiinleler ailesi ise bu ailenin bil.Ie$rni ve kesigimi dc benzer gekilde; = {z : 3i E I , x E A ; ) ,

UA;

i6 1

Tearem 1.1.1 A kiimesi izerinde bir denklik bagtntlsl R olsun. a E A iqin, n = { x : x R a ) kiirnesine a nin denklik sinifi denir. Denklik s1niAar1 A rnn bir ayrlglmlnl beljrtjr. Tersine A nin bir ayrqiml verildiginde, bu a y r i g ~ ~kiirnelerini n deilklik s ~ n ~ f l akabul rr eden bjr denklik bail I I L I S I vard~r. Goz o n u n e aldi&m~z,iizerinde qal~gacag~rn~z biiliill elernanlar~ kapkiimeyc: evrensel kiime denir. E evrensel bir k i m e ve A C E olsun. A' = E\A ya A nin tamlayani denir. B i r l q i ~ n kesi~inl , ve tamlayanin gu Gzellikleri vardir:

sayall

Tan~m1.1.3 A bir kiirne ve A;)iE,, A kimesinin bog olrnayan alt kiimelerinden olu3a11bit aile olsun. ailesi iki3er iki~era y r ~ k(kesi~imlerib o kiime) ~ i) ii) A = UiElAi ise { A ; ) i E r ailesine A kiimesinin bir ayriglmi denir. T a n ~ m1.1.4 A ve Biki kiimeise A X E = { ( a , b ) : a r A ve b~ kiirnesine A ile 8 nin kartezyen veya dik ~ a r p i mdenir. ~

B)

Genellikle A x B ile B x A iarklh kiimelerdir.

Tanlm 1.1.5 A x B nin b o olmayan ~ bir all kiimesjne A d i n B y e bir bag~nti denir. Tanim 1.1.6 R, A da bir bagint~, yani R C A x A olsun. i) Her a f A i ~ i n n, Ra ise R ye yanslyan bir b a g ~ n t,~ i i ) a,b E A iqin, aRb olmas~ bRa olrnasln~ gerekliriyorsa R ye simetrik bir b a i ~ ~, l t ~ iii) a, 6 , c E A i ~ i n nRb , ve bRc o l i n a ~n l i c olrnasln~ gerektiriyorsa R ye ge~iqkenbir bazint~, iv) a , b E A i ~ i nnRb ve bRa o l m m a = b olmas~ni gerekliriyorsa R ye ters-simetrik t i r baE1nt.1 denir.

Tan~m1.1.7 Yansiya11, simetrik '

b a i ~ n l ~ sdenir. r

ve

geqigken bir b a i ~ n t ~ ydenklik a

i ) A U B = B U A ve A f l 8 = B 1-7A (degigme) ii) A U 0 = A (Bos kiime birlqime g6re etkisiz eleman), A n E = A (E, kesigiine gore etkisiz eleman) i i i ) A n ( BU C) = ( A f l 3) U ( A n C) (kesigimin birlesim iizerine dagdma iizelligi) A u ( B fi C ) = ( A U B)n ( A U C) (birlqimin kesigim iizerine d a i ~ l m aozelligi) iv) A U A' = E ve A 1'7 A'.= 0, v ) ( A u B)' = A ' n B' ve ( A f7 B)' = A'U B' (De Morgan Kurallar~) Bir kiirne iizerinde, yukaridaki ozellikleri saglayan birlegim, kesi~im Szellikler varsa bu kumeye bir, Boale Cebiri denir. ve kapsarnaya benzer

1-) A U A = A ve A n A = A (tek kuvvet ozelliki) oldugullu gdsteriniz.

Coziim: A c A U A oldugu aqikt~r.Tersine A U A dan herhangi bir- ele~nanalirsak, bu elelnail A kiimesiujn de bir eleman] olur, yanj A U A C A d ~ r Her . iki kapsamndan, A = A U A bulunur.