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LA CATAPULTA

DISEÑO, CONSTRUCCION Y LANZAMIENTO

I.- INTRODUCCION

1. CONCEPTO GENERAL: La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se muevecomo respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones en un punto en un instante dado dependen sólo de las deformaciones en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma:

Donde denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden del espacio euclídeo. Si el sólido es homogéneo el valor de la función anterior no penderá del segundo argumento. La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles e independencia de la velocidad de deformación (los sólidos viscoelásticos y los fluidos, por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la velocidad de deformación). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El

sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico. Elasticidad lineal Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente ecuación constitutiva:

Cuando eso sucede si dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a: 

Sólidos elásticos lineales, en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material).



Deformaciones pequeñas, es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de GreenLagrange para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica).

Elasticidad y Diseño mecánico En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los métodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de manera aproximada. Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de: 

resistencia adecuada,



rigidez adecuada,



estabilidad global y elástica.

La elasticidad mide la sensibilidad de una variable a otra. Concretamente es una cifra que nos indica la variación porcentual que experimentará una variable en respuesta a una variación de otra de uno por ciento. Elasticidad

La elasticidad de la demanda mide la reacción de la demanda cuando uno de los factores que la afecta varia. Tipos de elasticidad de demanda: La elasticidad – Precio de la demanda. Mide la sensibilidad de la cantidad demanda a las variaciones del precio. Nos indica la variación porcentual que experimentará la cantidad demanda de un bien si sube su precio en 1 por ciento. ¿Qué es la elasticidad? La elasticidad es una medida de la sensibilidad de la cantidad demandada o de la cantidad ofrecida ante el cambio en alguno de sus factores determinates. Los compradores normalmente compran una cantidad mayor de un bien cuando su precio se reduce, cuando su renta es mayor, cuando los precios de los bienes sustitutivos son más altos o cuando los precios de los bienes complementarios son más bajos. En función de la variable en la que basemos nuestro análisis tendremos distintos tipos de elasticidad. 

Elasticidad-precio de la demanda. Mide el grado en que la cantidad demandada responde a una variación del precio del bien.



Elasticidad renta de la demanda. Mide el grado en que la cantidad demandada de un bien responde a una variación de la renta de los consumidores: variación porcentual de la cantidad demandada entre la variación porcentual de la renta.



Elasticidad cruzada de la demada. Variación porcentual de la cantidad demandada del bien i entre la variación porcentual del precio del bien j.



Elasticidad de la oferta. Variación porcentual experimentada por la cantidad ofrecida de un bien cuando varía su precio en 1 por 100, manteniéndose constantes los demás factores que afectan a la cantidad ofrecida.

Cuál es el material mas representativo de la epecialidad desde el punto de vista elástico? Los materiales elásticos son aquellos que tienen la capacidad de recobrar su forma y dimensiones primitivas cuando cesa el esfuerzo que había determinado su deformación, son todos los sólidos y siguen la Ley de Hooke, ésta dice que la deformación es directamente proporcional al esfuerzo, la relación esfuerzo-deformación se conoce como Módulo de Elasticidad. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina Límite de Elasticidad II.- ANTECEDENTES La facilidad con que puede sustituirse un bien por otro: La posibilidad de sustitución de un bien depende de la naturaleza del propio bien. Por ejemplo el petróleo, un bien de demanda inelástica, tiene ciertamente sustitutos pero ninguno es muy cercano, por otro lado los metales, un grupo de bienes de demanda elástica, tienen muy buenos sustitutos en los plásticas.

El grado en que dos bienes pueden sustituirse entre si dependen de lo restringido (o amplio) de su definición. Por ejemplo a pesar de que el petróleo no tiene un sustituto cercano, los diferentes tipos de petróleo se sustituyen entre si sin gran dificultades. El petróleo de diferentes partes del mundo difiere en peso y composición química. Consideremos una clase particular de petróleo, el llamado ligero de Arabia Saudita. Habrá que tener en cuenta su elasticidad si usted es el asesor económico de Arabia Saudita supongamos que Arabia Saudita esta contemplando un aumento unilateral del precio, lo que significa que los precios de otros tipos de petróleo permanecerá constantes. Aunque el ligera de Arabia Saudita tiene características propias, otros tipos de petróleo pueden sustituirlos con facilidad y la mayoría de los compradores serán muy sensible a su precio con relación a los precios de otros tipos de petróleo. Este ejemplo que distingue el petróleo en general de los diferentes tipos de petróleo, puede aplicarse extensamente. Por ejemplo, la elasticidad carne de res, cordero o puerco es alta. La elasticidad de demanda de la computadores es baja, en cambio la elasticidad de demanda de una IBM Zumito Apple es alta. Proporción del Ingreso gastada en un bien. Con todo lo demás constantes, cuando más alta sea la proporción del ingreso gastado en un bien, más alta será la elasticidad. Si solo se gasta una pequeña parte del ingreso en un bien, entonces un cambio del precio tendrá poco efecto sobre el presupuesto global del consumidor. Por el contrario un aumento del precio de un bien que absorbe gran parte del presupuesto de un consumidor, por pequeño que sea, inducirá al consumidor a realizar una nueva y radical evaluación de sus gastos. Para apreciar la importancia de la proporción del ingreso gastado en un bien considere su propia elasticidad de demanda de libros de texto y de goma de mascar. Si se duplica el precio de los libros de texto, habrá una gran disminución de la cantidad comprada de libros de texto. Se compartieron mas los libros y habrá mas fotocopiado ilegal. Si se duplica el precio de la goma de mascar, casi no cambiara la cantidad demandada de goma de mascar. La diferencia radica en que los libros de texto representan una gran proporción de su presupuesto, en tanto que la goma de mascar, absorbe solo una pequeña parte. En principio a usted no le gusta ninguno de los aumentos. Pero apenas advertirá los efectos del aumento de precio de la goma de mascar, mientras que el aumento de precio de los libros de texto lo dejara sin aliento! El tiempo transcurrido desde que cambio el precio: La elasticidad también depende del tiempo transcurrido desde el cambio deprecio. En general, cuanto mayor sea el lapso, mayor será la elasticidad de la demanda. La razón de esto esta relacionada con el grado en que es posible sustituir un bien. Cuando mas tiempo a pasado, hay más posibilidades de desarrollar sustitutos para el bien cuyo precio a menudo el consumidor tiene pocas opciones que no sean continuar consumiendo cantidades similares de un bien. Sin embargo, transcurrido el tiempo suficiente, el consumidor en cuenta alternativas o sustitutos más baratos y gradualmente reduce el numero de compras de artículos que se han encarecido. La elasticidad a corto plazo y a largo plazo. Cuando se analiza la demanda y la oferta, es importante distinguir entre el corto plazo y el largo plazo. En otras palabras si nos preguntamos cuanto varia la demanda en repuesta a una variación del precio, dejemos dejar claro cuanto tiempo dejamos que transcurra antes de medir las variaciones

de la cantidad demandado. Si solo dejamos un breve periodo, por ejemplo un año a menor, nos referimos al corto plazo. Cuando nos referimos al largo plazo, queremos decir que dejamos que transcurra suficiente tiempo para que los consumidores o los productores se adapten totalmente a la variación del precio. En general las curvas de demanda a corto plazo son muy diferentes de las curvas a largo plazo. La demanda de muchos bienes es más elástica con respecto al precio a largo plazo que a corto plazo. En primer lugar, los consumidores tardan tiempo en cambiar sus hábitos de consumo. Por ejemplo aunque el precio del café subiera mucho, la cantidad demandada solo descendería gradualmente a medida que los consumidores comenzaran lentamente a deber menos café. En cambio, en el caso de algunos bienes ocurre justamente lo contrario, la demanda es más elástica a corto plazo que a largo plazo. Como estos bienes (los automóviles, los televisores, los frigoríficos, etc.). Son duraderos, la cantidad total producción anual. Por consiguiente es grande en relación con la producción anual. Por consiguiente una pequeña variación del stock total que desean tener los consumidores puede dar como resultado una gran variación porcentual del nivel de cambios. Por ejemplo la demanda de automóviles. Si sube su precio, los consumidores posponen inicialmente la compra de un nuevo automóvil, por lo que la cantidad anual demandada desciende significativamente. Sin embargo a más largo plazo los automóviles viejos se desgastan y deben reponerse, por lo que cantidad anual demandada se recupera. Por lo tanto la demanda es menos elástica a largo plazo que a corto plazo. III.-DELIMITACION DEL PROBLEMA

Una varilla elástica vibrando, es un ejemplo de sistema donde la energía potencial elástica se transforma en energía cinética y viceversa. En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas fuerzas exteriores se eliminan. como se construye un lanzador de objetos aplicando los conocimientos de elasticidad Elasticidad y Diseño mecánico: En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los métodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de manera aproximada. Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de: 

resistencia adecuada,



rigidez adecuada,



estabilidad global y elástica.

IV.- HIPOTESIS:

En la naturaleza todos los cuerpos son deformables, o sea es posible cambia la forma o tamaño de un cuerpo o las dos características al aplicar fuerzas externas sobre ellos, pero conforme se ejecutan estos cambian las fuerzas internas en el cuerpo resisten la deformación. Normalmente la deformación de los cuerpos se analiza en función de los conceptos de esfuerzo y deformación.

Esfuerzo es una cantidad proporcional a la fuerza que produce una deformación, es decir, el esfuerzo de la fuerza externa F por unidad de area A de seccion transversal que actúa sobre el cuerpo, o sea:

Esfuerzo=

[ ]

F F A L2

La unidad del esfuerzo dentro del sistema de unidades internacional (SI) es pascal

, denominado

Pa .

Un sistema normal normal

[ ] N m2

FN

σN

, puede ser de tracción tensión y compresión y se define como la fuerza

por unidad de área

A , en este caso la fuerza distribuida es perpendicular a la

superficie y tiende a aumentar o reducir el volumen de un cuerpo. σ1

, llamada también de cizalladura se define como la fuerza

por unidad de area

A , en este caso la fuerza distribuida es tangente a la

Un esfuerzo tangencial o de corte tangencial

F1

superficie y no modifica el volumen de un cuerpo, solo cambia su forma geométrica.

σ N=

FN F A L2

[ ]

F1 F σ = 1 y A L2

[ ]

F

F F

Tracción

Compresión

Corte

Deformación, es una medida del cambio fraccionario de la extensión. La deformación se refiere a la variación relativa de la forma o dimensiones de un cuerpo sometido a esfuerzo, correspondiendo a cada clase de esfuerzo un tipo de deformación. La deformación producida en un sólido por un esfuerzo normal ε se define como la razon del aumento de longitud ∆ l a la longitud inicial l0

, es decir

ε=

∆l l 0 . (fig. 1)

La deformación por corte o cizalladora se define como la tangente del Angulo angulo es siempe pequeño, tan θ es muy aproximadamente igual a

θ , dado que este

θ (en rad) (fig. 2) F

F

Fig. 1

Fig. 2

La deformación por unidad de volumen, se define como la razón de la variación de volumen al volumen inicial

V0

, es decir

∆V

∆V V0 .

V.- OBJETIVO:

   

Calcular la distancia máxima de acuerdo al lanzamiento de un proyectil Calcular la elasticidad Calcular experimentalmente el espesor de sección transversal de una viga de madera en voladizo deformada por flexión. Demostrar el modulo de YOUNG

VI.- MARCO TEORICO

Módulos de elasticidad. La proporcionalidad entre esfuerzo y deformación es de gran importancia en física y en ingeniería. Para esfuerzos suficientemente pequeños, la deformación es proporcional al esfuerzo, la constante de la proporcionalidad depende del material que se está deformando y de la naturaleza de la deformación. Esta constante se conoce como modulo elástico y se define como la proporción entre el esfuerzo y la deformación resultante. Se consideran tres tipos de deformaciones y se define un modulo de elasticidad para cada uno:

Modulo de Young: Elasticidad en la longitud. El modulo de Young ( E ) mide la resistencia de un solido a un cambio de su longitud y es igual a:

E=

F l0 F A ∆ l L2

[ ]

Modulo de corte: elasticidad de la forma. El modulo de corte ( S ) mide la resistencia de los planos de un solido al moverse deslizandose uno sobre otro y es igual a:

S=

Donde ∆ x

[ ]

Fh F A ∆ x L2

es la distancia horizontal que la cara bajo esfuerzo se mueve, y

h es la altura del

solido.

Modulo volumétrico: el modulo volumétrico ( B ) mide la resistencia que solios o líquidos presentan a los cambios en su volumen y es igual a: B=

−∆ F V 0 −∆ P V 0 F = A ∆V ∆V L2

[ ]

La unidad de cualquier modulo de elasticidad dentro el sistema internacional de unidades SI es el

[ ] N 2 m

denominado pascal ( Pa ).

VII.- MARCO METODOLOGICO Como en todas las cosas de esta vida, en ingeniería requiere el calculo de la elasticidad de los diferentes materiales de la ingeniería mecánica Bien merece el esfuerzo de reunir el "Dónde, Cuándo y Cómo". Dónde.

Las zonas más adecuadas son los laboratorios de física , mecánica, electromecánica ,laboratorios de maquinas térmicas , hidráulicas y otros laboratorios mas de la ingeniería mecánica Algo que la juventud no olvidará nunca, es la alegría y pequeña aventura de perseguir el estudiante en estas experiencias realizadas acerca de la elasticidad Cuándo. En principio cualquier época del año. Tendríamos que recurrir a personas entendidas en la materia como a los ingenieros de la FNI

Cómo. Siempre necesitaremos algunos accesorios para elevar nuestros ingenios, el más importante son los conocimientos de la teoría para realizar la practica VIII.- MARCO PRACTICO Que necesitamos para construir nuestra catapulta?       

Una tabla de madera de medidas 30x16 cms. Dos soportes de 17.5x7 cms. Un brazo para lanzar de 30x4 cms. Soporte para el brazo de 16x9 cms. Una liga de 45 cms de largo.2 cms De grosor Una bandeja de plastico para soporte de la pelota para el lanzamiento Una pelotita

Para unir el proyecto      

Cola de madera 4 tornillos 1 Pernos Barniz Regla recta escuadras de 45 y 30 grados Destornillador

.

IX.- RESULTADOS

Liberalización de los datos experimentales

Utilizando el método de los mínimos cuadrados mediante la regresión lineal, lineal izar los datos experimentales del cuadro de cálculos, considerando que el modelo matemático representa una recta en el plano, estableciendo además la ecuación ajustada y el grado de correlación entre las variables estudiadas, utilizando unidades del SI. Método de los mínimos cuadrados para la tabla 1

N° 1 2 3 4 5 6 ∑

x=P [ N ] 0 4,895 9,776 14,631 19,503 24,336 73,141

y=Y max [ m ]

2

x =P

0 0,008 0,016 0,024 0,033 0,042 0,123

y 2=Y max 2

2

0 23,961 95,570 214,066 380,367 592,241 1306,205

0 0,064 x 10-3 0,256 x 10-3 0,576 x 10-3 1,089 x 10-3 1,764 x 10-3 3,749 x 10-3

Solución de las constantes A y B La constante B es: B=

B=

n ∑ xy−∑ x ∑ y 2

n ∑ x2 −( ∑ x )

6∗2,212−73,141∗0,123 6∗1306,205−( 73,141 )2

B=0.002

[ ] s2 Kg

En la grafica la constante B es igual k del problema. B=k

Por lo tanto:

La constante A es:

[ ]

s2 k =0.002 Kg

x∗y=P∗Y max 0 0.039 0.156 0.351 0.644 1.022 2,212

A=

A=

∑ y −B ∑ x n

0,123−0.002∗73,141 6

≅0 A=0.0002 [ m 2 ]

El coeficiente de correlación es:

r=

r=

n ∑ xy−∑ x ∑ y

√ [n ∑ x −(∑ x ) ][n ∑ y −(∑ y ) ] 2

2

2

2

6∗2.212−73,141∗0,123

√ [ 6∗1306,205−(73,141) ] [ 6∗3,749 2

X

10−3−(0,123)2 ]

r=0.999

Entonces se deduce que el coeficiente de correlación es a dimensional. Entonces, la ecuación de ajuste es: y=0.0002+0.0017 x Cambiando a sus variables primitivas: Y max =0.0002+0.0017 P X.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUCIONES: En conclusiones podemos decir cuando a mayor es la tracción mayor es la deformación cuándo no tracción el material esta en su estado normal

RECOMENDACIONES: En este proyecto podemos recomendar que la elasticidad de los materiales es muy importante y muy útil en nuestra sociedad se utiliza en los diferentes rubros e industrias, construcciones. También es importante conocer como determinar el modulo de elasticidad de los diferentes materiales ya que muchos de ellos no vienen de acuerdo al requerimiento para las diferentes construcciones.

XI.- ANEXOS Thomas Young (13 de junio de 1773 – 10 de mayo, 1829) fue un científico inglés. Young es célebre por su experimento de la doble rendija que mostraba la naturaleza ondulatoria de la luz y por haber ayudado a descifrar los jeroglíficos egipcios a partir de la piedra Rosetta. XII.- BIBLIOGRAFIA

http://www.benipepe.somee.com: Cursos---Fis 1102---- *La catapulta_seis_sigma http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Young

UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE FISICA

PROYECTO # 1 TEMA:

ELASTICIDAD

MATERIA:

FIS 1102

NOMBRES:

Ismael Chinche Aguilar Alex Fernando Magne Ramos Freddy Mauricio Valda Aranda

PARALELO:

“B"