Casos Herramientas de Modelación (1)

CASO 3.1. ENSAMBLE DE AUTOMOVILES  Automobile Alliance, una gran gra n compañía manufacturera de automóviles, organiza los vehículos que fabrica en tres familias: camiones, automóviles pequeños y una familia de autos medianos y de lujo. Una planta fuera de Detroit, MI, ensambla dos modelos de la familia de autos medianos y de lujo. El primer modelo, el Thrillseeker, es un sedán cuatro puertas con asientos en vinil, interiores de plástico, características estándar y un excelente rendimiento. Se comercializa como una buena compra para familias familias de clase media con presupuestos reducidos y cada Thrillseeker vendido genera una ganancia modesta de $3600 para la compañía. El segundo modelo el Classy Cruiser, es un sedán de lujo de dos puertas con asientos de piel, interiores de madera, características personalizadas y capacidades de navegación. Se vende como un privilegio de opulencia para familias de clase media alta y el que se vende genera una buena ganancia de $54 00. Rachel Rosencrantz, gerente de la planta de ensamble, debe decidir el programa de producción para el próximo mes. En especial debe determinar cuántos Thrillseekers y cuántos Classy Cruisers ensamblar en la planta para maximizar la ganancia de la compañía. Sabe que la planta tiene una capacidad de 48.000 horas de mano de obra al mes. También que ensamblar un Thrillseeker lleva 6 ho ras-trabajador y un Classy Cruise 10.5 horas-trabajador. Como la planta es sólo una planta de ensamble, las partes requeridas para los dos modelos no se producen en ella. En su lugar, se envían de otras plantas en el área de Michigan a la planta de ensamble. Por ejemplo, llantas, volantes, ventanas, asientos y puertas llegan de varias plantas proveedoras. Para el próximo mes, Rachel sabe que podrá obtener solo 20.000 puertas (10.000 izquierdas y 10.000 derechas) del proveedor de puertas. Una huelga de trabajadores reciente forzó el cierre de esa planta en especial durante varios días, y no podrá cumplir con su programa de producción para el siguiente mes. Tanto el Thrillseeker como el Classy Cruiser usan la misma puerta.  Además, un pronóstico reciente de la compañía sobre la demanda del mes para los diferentes modelos sugiere que la venta del Classy Cruiser está limitada a 3.500 autos. No existe un límite en la demanda del Thrillseeker dentro de los límites de capacidad de la plan ta de ensamble. a.

Formule y resuelva un problema de programación lineal para determinar determinar el número número de autos autos Thrillseeker y el de Classy Cruiser que deben ensamblarse  Antes de tomar las decisiones de producción finales, Rachel planea explorar los siguientes aspectos por separado excepto donde se indica otra cosa:

b.

El departamento departamento de mercadotecnia sabe que puede intentar una campaña de publicidad de $500.000 que elevará la demanda del Classy Cruiser 20% para el próximo mes. ¿Debe realizarse la campaña?.

c.

Rachel sabe que puede aumentar la capacidad de producción producción de la planta el próximo próximo mes si usa tiempo extra. El incremento en horas-trabajador puede ser 25%. Con la nueva capacidad, ¿cuántos modelos Thrillseeker y cuántos Classy Cruiser deben ensamblarse?.

d.

Rachel sabe que que el tiempo tiempo extra viene con un costo adicional. ¿Cuál es la máxima cantidad que debe estar dispuesta a pagar por todo el tiempo extra adicional al costo de tiempo normal?. Exprese su respuesta como una sola suma

e.

Rachel estudia la opción de usar tanto la la campaña de publicidad como las horas de tiempo extra. La campaña eleva la demanda del Classy Cruiser 20% y el tiempo extra aumenta la capacidad de la planta 25%. ¿Cuántos modelos Thrillseeker y cuántos Classy Cruiser deben ensamblarse con la campaña publicitaria y las horas extras si cada Classy Cruiser vendido sigue contribuyendo 50% más que la venta del Thrillseeker?

f.

Si se sabe que la campaña de publicidad cuesta $500.000 y el uso máximo de horas-trabajo de tiempo tiempo extra cuesta $1‟600.000 adicionales al tiempo normal, la solución encontrada en el inciso e, ¿es adecuada comparada con la solución del inciso a?

g.

Automobile Alliance Alliance ha determinado determinado que los distribuidores, distribuidores, de hecho, hacen grandes descuentos en el Thrillseeker para sacarlo del lote. Por un acuerdo de ganancias compartidas con los distribuidores, la compañía no obtiene la ganancia de $3.600 en el Thrillseeker sino que gana sólo $2.800. Determine el número de autos Thrillseeker y de Classy Cruiser que deben ensamblarse dado este nuevo precio con descuento.

h.

La compañía descubrió problemas de calidad en el Thrillseeker Thrillseeker mediante pruebas pruebas de vehículos vehículos aleatorios al al final de la línea de ensamble. Los inspectores detectaron que en más de 60% de los casos, dos de las cuatro puertas del automóvil no sellaban bien. Como el porcentaje de autos Thrillseeker defectuosos determinado por el muestreo aleatorio es tan alto, el supervisor de planta decidió realizar pruebas de control de calidad en todos los vehículos al final de la línea. Debido a las pruebas adicionales, el tiempo para ensamblar un auto aumentó de 6 a 7.5 horas. Determine el número de unidades de cada modelo que deben ensamblarse dado este nuevo tiempo de ensamble.

i.

El consejo directivo de Alliance desea captar captar un mayor mayor porcentaje de mercado para el sedán de lujo y quisiera cumplir con toda la demanda del Classy Cruiser. Pidieron a Rachel que determine cuánto disminuiría la ganancia de su planta de ensamble comparada con la ganancia del inciso “a”. Pueden pedirle que cumpla con toda la demanda de este modelo si la disminución en la ganancia no es mayor que $2‟000.000.

 j.

Rachel quiere tomar la decisión final combinado todas las consideraciones en los incisos “f ” ”,  “g ” ”  y “h”  ¿Cuáles son sus decisiones finales respecto a la campaña publicitaria, las horas extra, y el número de autos Thrillseeker y de autos Classy Cruiser a ensamblar?.

CASO 3.2 DISMINUCION DE COSTOS EN LA CAFETERÍA Una cafetería en All-State University tiene un platillo especial que sirve de mecanismo de tiempo los jueves al mediodía. Este supuesto sabroso platillo es una cacerola de cebollas sancochadas, papas, ejotes y crema de hongos. Por desgracia, los estudiantes no aprecian la calidad especial del platillo y con aversión lo llaman “cacerola criminal”. Sin embargo, aunque sin gusto, comen el platillo los jueves porque la cafetería ofrece pocas opciones (solo la cacerola). María González, gerente de la cafetería, está intentando bajar los costos para el próximo año, y piensa que una forma segura de reducirlos es comprar ingredientes menos costosos, quizá de menor calidad. Como la cacerola es el platillo principal semanal del menú de la cafetería, concluye que si se puede disminuir costos en los ingredientes comprados para hacerlo, podrá reducir de manera significativa los costos de operación de toda la cafetería.  Así, decide invertir tiempo en determinar cómo minimizar los costos de la cacerola al mismo tiempo que mantiene los requerimientos de nutrición y sabor. María centra su atención en la reducción de costos de los ingredientes principales de la cacerola, las papas y los ejotes. A estos ingredientes corresponden los mayores costos, el contenido nutritivo y el sabor del platillo. María compra las papas y los ejotes a un distribuidor de cada s emana. Las papas cuestan $0.40 por libra y los ejotes $1.00 por libra. La All-State University cuenta con requerimientos de nutrición establecidos que debe cumplir cada plato principal de la cafetería. En particular, la cantidad total del plato preparado para todos los estudiantes para una comida debe contener 180 gramos (g) de proteínas, 80 miligramos (mg) de hierro y 1.050 mg de vitamina C. (Hay 453.6 g de una libra y 1.000 mg en 1 g.) Para simplificar la planeación, María supone que sólo las papas y los ejotes contribuyen al contenido nutritivo de la cacerola. Como ella trabaja en una universidad con tecnología de punta, está expuesta a los amplios recursos de la Internet. Decide navegar en la red para encontrar el contenido nutritivo de las papas y los ejotes. Su investigación proporciona la siguiente información de nutrición sobre los ingredientes. Papas

Ejotes

Proteínas

1.5 g por 100 g

5.67 g por 10 onzas

Hierro

0.3 g por 100 g

3.402 mg por 10 onzas

Vitamina C (hay 28.5 g en 1 onza)

12 g por 100 g

28.35 mg por 10 onzas

Edson Branner, el cocinero de la cafetería quien se preocupa por el sabor de manera sorprendente, informa a María que una cacerola comestible debe contener una razón de al menos seis a cinco entre el peso de las papas y de los ejotes. Dado el número de estudiantes que comen en la cafetería, María sabe que debe compara suficientes papas y jotes para preparar un mínimo de 10 kilogramos (kg) de cacerola cada semana. (Hay 1.000 g en 1 kg). De nuevo, por simplificar la planeación, supone que sólo las papas y los jotes determinan la cantidad de cacerola a preparar, pues sabe que todos los sobrantes se pueden servir durante varios días posteriores o se pueden servir de modo creativo para preparar otros platillos. a.

Determine la cantidad de papas y ejotes que debe comprar María cada s emana para la cacerola de manera que se minimice el costo de los ingredientes al mismo tiempo que se cumple con los requerimientos nutritivos, de sabor de demanda.

b.

María no está muy preocupada por el sabor de la cacerola; sólo le preocupa cumplir con los requerimientos de nutrición y reducir los costos. Entonces obliga a Edson a c ambiar la receta a sólo una razón de al menos

uno a dos entre el peso de papas y ejotes. Dada la nueva receta, determine la cantidad de papas y ejotes que debe comprar cada semana. c.

María decide disminuir el requerimiento de hierro a 65 mg ya que determina que los otros ingredientes, como cebollas y crema de hongos, también proporcionan hierro. Determine la cantidad de papas y ejotes que debe comprar cada semana dado este nue vo requerimiento.

d.

María descubre que el distribuidor tiene un superávit en los ejotes y por lo tanto, los vende a un precio menor de $0.50 por libra. Use los mismos requerimientos de hierro del inciso c   y el nuevo precio de los ejotes para determinar la cantidad de papas y ejotes que debe comprar cada semana.

e.

María decide que quiere comprar alubias en lugar de ejotes ya que su costo es menor y proporcionan mayor cantidad de proteína y hierro que los ejotes. De nuevo ejerce su poder absoluto y exige a Edson que cambie la receta para que incluya alubias en lugar de ejotes. María sabe que puede comprar las alubias al distribuidor en $0.60 por libra. También sabe que las alubias contienen 22.68 g de proteínas por cada 10 onzas, 6.804 mg de hierro por cada 10 onzas y nada de vitamina C. Utilice este nuevo costo y el contenido nutritivo de las alubias para determinar la cantidad de papas y alubias que María debe comprar cada semana para minimizar los costos de los ingredientes al tiempo que cumple con los requerimientos de nutrición, sabor y demanda. Los requerimientos de nutrición incluyen el requerimiento reducido de hierro del inciso c . ¿Estará contento Edson con la solución en el inciso e? ¿Por qué?. Un grupo de trabajo de estudiantes de All- State se reúne durante la semana de “cuidado del cuerpo” y determina que los requerimientos de la universidad para el hierro son demasiado holgados y los de vitamina C demasiado estrictos. El grupo de trabajo pide a la universidad que adopte la política que requiere que cada porción de un plato fuerte contenga al menos 120 mg de hierro y al menos 500 mg de vitamina C. Use papas y alubias como ingredientes para el platillo y los nuevos requerimientos nutritivos para determinar la cantidad de papas y alubias que María debe comprar cada semana.

f. g.

CASO 3.3. ASIGNACION DE PERSONAL EN CENTRO DE LLAMADAS El California Children‟s   hospital ha recibido numerosas quejas de clientes debido a su confuso proceso

descentralizado de citas y registro. Cuando los clientes quieren hacer una cita o registrar sus pacientes infantiles, deben ponerse en contacto con la clínica o departamento que planean visitar. Existen varios problemas con esta estrategia. Los padres no siempre saben qué clínica o departamento es el más adecuado para llevar a los niños a consulta. Entonces, debe pasar una cantidad significativa de tiempo en el teléfono, con transferencias de una clínica a otra, hasta llegar a la más adecuada para sus necesidades. El hospital no publica los números telefónicos de todas las clínicas y departamentos, y los padres deben invertir mucho tiempo en trabajo de detectives para averiguar el número correcto. Por último, las distintas clínicas y departamentos no se comunican entre sí. Por ejemplo, cuando un doctor programa una referencia con un colega en otro departamento o clínica, ellos nunca reciben la referencia. El padre debe ponerse en contacto con el departamento correcto y proporcionar la información de referencia necesaria. En un esfuerzo por reorganizar y mejorar sus procesos de citas y registro, el hospital infantil ha decidido centralizar el proceso con el establecimiento de un centro de llamadas dedicado sólo a citas y registro. Por el momento, el hospital se encuentra en la etapa de planeación del centro de llamadas. Lenny Davis, su administrador, planea operar en el centro de llamadas de las 7 am a 9 pm en días hábiles. Hace varios meses el hospital contrató a una ambiciosa empresa de consultores en administración, Creative Chaos Consultants, para pronosticar el número de llamadas que recibiría el centro cada hora del día. Como todas las llamadas relacionadas con citas y registro se recibirán en el centro, los consultores decidieron que podían pronosticar las llamadas con el número total de llamadas para estos efectos recibidas en todas las clínicas y departamentos. Los miembros del equipo visitaron todas las clínicas y departamentos, donde anotaron con diligencia todas las llamadas relacionadas con citas y registro. Después las sumaron todas y alteraron los totales para tomar en cuenta las llamadas no anotadas durante la recolección de datos. También alteraron los totales para considerar las llamadas repetidas que ocurrieron cuando el mismo padre llamaba al hospital muchas veces debido al confuso entorno del proceso descentralizado. Creative Chaos Consultants determinó el número promedio de llamadas que debe esperar el centro durante c ada hora de un día hábil. La s iguiente tabla proporciona los pronósticos. Turno de trabajo 7 am-9 am 9 am-11 am 11 am-1 pm 1-3 pm 3-5 pm 5-7 pm 7-9 pm

Número promedio de llamadas 40 llamadas por hora 85 llamadas por hora 70 llamadas por hora 95 llamadas por hora 80 llamadas por hora 35 llamadas por hora 10 llamadas por hora

Después que los consultores entregaron estos pronósticos, Lenny se interesó en el porcentaje de llamadas de personas de habla hispana pues el hospital da servicio a muchos pacientes hispanos. Lenny sabe que debe colocar algunos (as) operadores (as) que hablen español para manejar estas llamadas. Los consultores recolectaron más datos y determinaron que, en promedio, 20% de las llamadas son en español. Dados estos pronósticos de llamadas, ahora Lenny debe decidir qué personal contratar para el centro de llamadas en cada turno de 2 horas de los días hábiles. Durante el proyecto de pronosticar, Creative Chaos Consultants observó de cerca a los operadores de cada clínica y departamento y determinaron el número de llamadas que procesan por hora. Los consultores informaron a lenny que un operador puede procesar un promedio de seis llamadas por hora. Lenny también sabe que dispone de empleados de tiempo completo y de parcial para el personal del centro de llamadas. Un empleado de tiempo completo trabaja 8 horas al día en el teléfono. Para balancear la programación, los empleados se alternan en turnos de 2 horas entre responder los teléfonos y procesar documentos. Los empleados de tiempo completo pueden comenzar su día ya sea en el teléfono o con la documentación para el primer turno. Estos empleados hablan español o inglés, pero ninguno es bilingüe. Tanto los empleados de habla hispana como los que hablan inglés ganan $10 por hora por el trabajo antes de las 5 pm y $12 por hora si es después de las 5 pm. Los empleados de tiempo completo pueden comenzar a trabajar al iniciar el turno de 7 a 9 am,

el turno de 9 a 11 am, el de 11 am a 1 pm o el turno de 1 a 3 pm. Los empleados de tiempo parcial trabajan 4 horas, sólo contestan las llamadas y sólo hablan inglés. Pueden comenzar a trabajar al iniciar el turno de 3 a 5 pm o el turno de 5 a 7 pm, e igual que los de tiempo completo, ganan $10 por hora por el trabajo antes de las 5 pm y $12 por hora si es después de las 5 pm. Para el siguiente análisis considere sólo el costo de mano de obra del tiempo que pasan los empleados contestando el teléfono. El costo de la documentación se carga a otros centros. a.

¿Cuántos operadores que hablan español y cuántos que hablan inglés necesita el hospital como personal del centro de llamadas durante cada turno de 2 horas en el día a fin de contestar todas las llamadas? Por favor proporcione un número entero ya que medio operador no tiene sentido.

b.

Lenny debe determinar cuántos empleados de tiempo completo que hablan español, cuántos de tiempo completo que hablan inglés y cuántos de tiempo parcial debe contratar para comenzar cada turno. Creative Chaos Consultants le aconsejan que use programación lineal para determinarlo de manera que se minimicen los costos de operación al mismo tiempo que se contesten todas las llamadas. Formule un modelo de programación lineal para el problema

c.

Obtenga una solución óptima para el modelo de programación lineal formulando en el inciso b para guiar la decisión de Lenny

d.

Debido a que muchos empleados de tiempo completo no quieren trabajar tarde, Lenny sólo encuentra un operador calificado que habla inglés dispuesto a comenzar a trabajar a la 1 pm. Dada esta nueva restricción, ¿cuántos operadores de tiempo completo que hablan inglés, cuántos que hablan español y cuántos de medio tiempo debe contratar Lenny en cada turno para minimizar los costos de operación y contestar todas las llamadas?.

e.  Ahora Lenny decidió investigar la opción de contratar operadores bilingües en lugar de monolingües. Si

todos los operadores son bilingües, ¿cuántos deben trabajar en cada turno de 2 horas para contestar todas las llamadas? Igual que en el inciso a, por favor proporcione una respuesta entera. f.

Si todos los empleados son bilingües, ¿cuántos operadores de tiempo completo y de medio tiempo debe contratar Lenny en cada turno para minimizar los costos de operación y contestar todas las llamadas? Igual que en el inciso b, formule un modelo de programación lineal para guiar la d ecisión de Lenny.

g.

¿Cuál es el porcentaje máximo de incremento en el salario por hora que Lenny puede pagar a los empleados bilingües respecto a los no bilingües sin aumentar los costos de operación totales?.

h.

¿Qué otras características del centro de llamadas debe investigar Lenny para mejorar el servicio o minimizar los costos de operación?

CASO 4.1 TELAS Y MODA DE OTOÑO En el décimo piso de su edificio de oficinas, Katherinne Rally observa las hordas de personas en Nueva HYork que batallan para caminar por calles llenas de taxis y banquetas sucias con puestos de hotdogs. En este caluroso día de  julio, dedica una atención especial a la moda que llevan algunas mujeres y se pregunta qué elegirán ponerse en otoño. Sus pensamientos no son cavilaciones aleatorias; son críticas para su trabajo pues posee y administra TrendLines, una compañía de ropa elegante para dama. Hoy es un día especial importante porque debe reunirse con Ted Lawson, el gerente de producción, para decidir el plan de producción del mes próximo para la línea de verano. En particular, tendrá que determinar la cantidad de cada artículo de ropa que debe producir dada la capacidad de producción de la planta, los recursos limitados y los pronósticos de demanda. La planeación precisa de l a producción del mes próximo es crítica para las ventas de otoño pues los artículos producidos ese mes aparecerán en las tiendas durante septiembre, y las mujeres tienden a comprar la mayor parte de su atuendo para el otoño en cuanto aparece en el mes de septiembre. Regresa a su amplio escritorio de vidrio y observa los numerosos papeles que lo cubren. Sus ojos vagan por los patrones de ropa diseñados hace casi seis meses, las listas de requerimientos de materiales para cada uno de las listas de pronósticos de demanda determinados por las encuestas a los clientes en los desfiles de modas. Recuerda los días ajetreados de Nueva York, Milán y París. Al final, pagó a su equipo de s eis diseñadores un total de $860.000 por su trabajo en esta línea. Con el costo de contratar modelos, estilistas y artistas del maquillaje, personal para coser y ajustar las prendas, la construcción de los escenarios, la coreografía, los ensayos para el desfile y la renta de los salones de conferencias, cada desfile de modas le costó $2‟700.000.

Se dedica a estudiar los patrones de ropa y los requerimientos de materiales. Su línea de verano consiste en ropa tanto profesional (para el trabajo) como informal. Ella determina los precios para cada prenda tomado en cuenta la calidad, el costo del material, el costo de la mano de obra y los maquilados, la demanda del artículo y el prestigio del nombre de la marca TrendLines. La moda profesional para el verano incluye: Artículo de Ropa Pantalones de lana Suéter de cashmere Blusa de seda Camisola de seda Falda ajustada Blazer de lana

Requerimiento de materiales 3 yardas de lana 2 yardas de acetato para forro 1.5 yardas de cashmere 1.5 yardas de seda 0.5 yardas de seda 2 yardas de rayón 1.5 yardas de acetato para forro 2.5 yardas de lana 1.5 yardas de acetato para forro

Precio $300

Costos de Mano de obra y maquinado $160

$450 $180 $120 $270

$150 $100 $60 $120

$320

$140

Precio $350

Costos de Mano de obra y maquinado $175

$130 $75 $200 $120

$60 $40 $160 $90

La moda informal de otoño incluye: Artículo de Ropa Pantalón de terciopelo Suéter de algodón Minifalda de Algodón Camisa de terciopelo Blusa de botones

Requerimiento de materiales 3 yardas de terciopelo 2 yardas de acetato para forro 1.5 yardas de algodón 0.5 yardas de algodón 1.5 yardas de terciopelo 1.5 yardas de rayón

Ella sabe que para el próximo mes, ha ordenado 45.000 yardas de lana, 28.000 yardas de acetato, 9.000 yardas de cashmere, 18.000 yardas de seda, 30.000 yardas de rayón, 20.000 yardas de terciopelo y 30.000 yardas de algodón para la producción. Los precios de los materiales se dan en la siguiente página. Material Lana  Acetato Cashmere Seda Rayón Terciopelo  Algodón

Precio por yarda $9.00 $1.50 $60.00 $13.00 $2.25 $12.oo $2.50

Cualquier material que no se use en la producción se puede mandar de regreso al distribuidor de telas por un reembolso, aunque el desperdicio no se puede regresar. Ella sabe que la producción tanto de la blusa de seda como el suéter de algodón deja material de desperdicio. En especial, para la producción de una blusa de seda o un suéter de algodón, se necesitan 2 yardas de seda y de algodón, respectivamente. De estas dos yardas, 1.5 se usan para la blusa o el suéter y 0.5 yarda queda como material de desperdicio. Ella no quiere desaprovechar ese material por lo que planea usar el desperdicio rectangular de seda o algodón para producir una camisola de seda o una minifalda de algodón, respectivamente. Por lo tanto, si se produce una blusa de seda, también se produce una camisola de este material. Del mismo modo, cuando se produce un suéter de algodón, también se fabrica una minifalda de algodón. Observe que es posible producir una camisola de seda sin producir una blusa de seda o una minifalda de algodón sin producir un suéter de algodón. Los pronósticos de demanda indican que algunos artículos tienen una demanda limitada. En particular, dado que los pantalones y camisas de terciopelo son novedades, TrendLines ha pronosticado que puede vender solo 5.500 pares de pantalones y 6.000 camisas. TrendLines no quiere producir más de la demanda pronosticada porque una vez que pasen de moda, la compañía no los puede vender. Puede producir menos que lo pronosticado, sin embargo, ya que no se requiere que la compañía cumpla con la demanda. El suéter de cashmere también tiene una demanda limitada porque es bastante costoso, y TrendLines sabe que puede vender a lo más 4.000 suéteres. Las blusas de seda y las camisolas tienen la demanda limitada por la idea de las mujeres que es difícil cuidar la seda, y las proyecciones de TrendLines son que puede vender a lo más 12.000 blusas y 15.000 camisolas. Los pronósticos de demanda también indican que los pantalones de lana, las faldas ajustadas y los blazers de lana tienen una gran demanda porque son artículos básicos necesarios en todo guardarropa profesional. En especial, la demanda de los pantalones de lana es 7.000 pares y la de los sacos o blazers es 5.000. Katherinne desea cumplir con al menos 60% de la demanda de estos artículos para mantener la lealtad de su base de clientes y no perderlos en el futuro. Aunque la demanda de las faldas no se puede estimar, Katherinne siente que debe producir al menos 2.800. a.

b.

c.

Ted intenta convencer a Katherinne de no producir camisas de terciopelo pues la demanda de esta moda novedosa es baja. Afirma que sólo es responsable de $500.000 de los costos de diseño y otros costos fijos. La contribución neta (precio del artículo-costos de materiales-costo de mano de obra) al vender la novedad debe cubrir estos costos fijos. Cada camisa de terciopelo genera una contribución neta de $22. Él afirma que dada la contribución neta, aún si se satisface la demanda máxima no dará ganancias. ¿Qué piensa del argumento de Ted?. Formule y resuelva un problema de programación lineal para maximizar la ganancia, dadas las restricciones de producción, recursos y demanda.  Antes de tomar una decisión final, Katherinne planea explorar las siguientes preguntas independientes excepto cuando se indique otra cosa. El distribuidor de textiles informa a Katherinne que no puede regresar el terciopelo porque los pronósticos de demanda muestran que la demanda de esta tela disminuirá en el futuro. Entonces Katherinne no obtendrá el reembolso por el terciopelo. ¿En qué cambia este hecho el plan de producción?.

¿Cuál es una explicación económica intuitiva para la diferencia entre las soluciones encontradas en los incisos b y c ?. e. El personal de costura encuentra dificultades a coser los forros de las mangas de los sacos de lana pues el patrón tiene una forma extraña y el pesado material de la lana es difícil de cortar y coser. El incremento en el tiempo para coser un saco d e lana aumenta los costos de mano de obra y maquinado para cada saco en $80. Dado este nuevo costo, cuántas prendas de cada tipo debe producir TrendLines para maximizar la ganancia?. f. El distribuidor de textiles informa a Katherinne que como otro cliente canceló su orden, ella puede obtener 10.000 yardas adicionales de acetato. ¿Cuántas prendas de cada tipo debe producir TrendLines para maximizar la ganancia? g. TrendLines supone que puede vender todas las prendas que no se vendan en septiembre y octubre en una gran barata en noviembre a 60% de su precio original. Por lo tanto, puede vender todos los artículos en cantidad limitada en la barata de noviembre. (los límites superiores mencionados antes se refieren sólo a las ventas durante septiembre y octubre.) ¿Cuál debe ser el nuevo plan de producción para maximizar la ganancia?. d.

CASO 4.2. NUEVAS FRONTERAS Rob Richman, presidente de AmeriBank, se quita las gafas, se talla los ojos por cansancio y ve de reojo el reloj de su estudio. Son las 3 am. Durante las últimas horas ha estado absorbido en los estados financieros de AmeriBank de los últimos tres trimestres de operación. Se trata de un banco mediano con sucursales en todo Estados Unidos que se dirige a un terrible problema económico. El banco, que proporciona servicios de transacciones, ahorros, inversión y préstamos, ha experimentado un declive constante en su ingreso neto durante el último año, y las tendencias muestran que continuará. Sencillamente el banco está perdiendo clientes que cambian a competidores extranjeros y no bancarios.  AmeriBank no está solo en esta batalla por mantenerse fuera de los números rojos. Por su lectura diaria sobre la industria, Rob sabe que munchos bancos norteamericanos han tenido pérdidas significativas debido al incremento en el número de estos competidores no bancarios y extranjeros. Dado que ellos se especializan en ciertos servicios pueden captar mejor esos mercados al ofrecer servicios menos costosos, más eficientes y más convenientes. Por ejemplo, las grandes corporaciones ahora buscan bancos extranjeros y ofertas de papel comercial para sus préstamos, y los norteamericanos acaudalados prefieren invertir en el mercado de dinero. Los bancos se enfrentan al reto desalentador de ser diferentes de sus competidores extranjeros y no bancarios. Rob ha llegado a la conclusión de que una estrategia para distinguir AmeriBank de sus competidores es mejorar los servicios que los extranjeros y no bancarios no proporcionan: el servicio de transacciones. Ha decidido que un método de transacción más conveniente debe ser sucesor lógico del cajero automático y piensa que la banca electrónica en Internet permite este método conveniente de transacción. En internet, los clientes pueden realizar transacciones desde sus computadoras en casa o el trabajo. La gran expansión de Internet significa que muchos clientes potenciales entienden y usan la World Wide Web o WWW. Por lo tanto, siente que si AmeriBank ofrece banca en Internet. El banco atraerá muchos clientes nuevos. Sin embargo, antes de emprender el proyecto de hacer posible la banca en Internet, Rob decide entender el mercado y los servicios que AmeriBank debe proporcionar en Internet. Por ejemplo, ¿debe el banco permitir a sus clientes el acceso a través de Internet solo a sus estados de cuenta y a la información sobre transacciones realizadas o debe desarrollar una estrategia para permitirles hacer depósitos y retiros desde su computadora?. ¿Debe el banco intentar capturar de nuevo una parte del mercado de inversiones proporcionado por los precios de las acciones en forma continua y permitir a los clientes que hagan este tipo de transacciones por una cuota mínima?. Sophisticated Surveys es una de las tres compañías que compiten por el proyecto. Rob les proporcionó una lista de requerimientos para asegurarse que AmeriBank recibe la información necesaria para la planeación de la banca en Internet. Como los diferentes grupos de edad requieren servicios distintos, AmeriBank está interesado en investigar cuatro grupos. El primero abarca a clientes de 18 a 25 años. El banco supone que este grupo de edad tiene un ingreso anual limitado y realiza pocas transacciones. El segundo grupo de edad comprende a clientes entre 26 y 40 años; tiene fuentes significativas de ingreso, realiza muchas transacciones, requiere numerosos préstamos para casas y autos nuevos e invierte en varios tipos de inversiones. El tercer grupo de edad engloba a personas entre 41 y 50 años. Estos clientes suelen tener el mismo nivel de ingresos y realizar el mismo número de transacciones que el segundo grupo, pero el banco supone que es menos probable que usen la banca en Internet ya que no se sienten tan cómodos con la explosión de las computadoras o de la Red. Por último, el cuarto grupo incluye clientes mayores de 50 años que por lo común desean seguridad y requieren información continua sobre los fondos de retiro. El banco piensa que es muy poco probable que usen Internet, pero desea saber las necesidades futuras de este grupo.  AmeriBank quiere entrevistar a 2000 clientes con al menos 20% pertenecientes al primer grupo, al menos 27.5% en el segundo grupo, al menos 15% en el tercero y al menos 15% en el cuarto. Rob entiende que Internet es un fenómeno reciente y que algunos clientes pueden no haber oído hablar de la World Wide Ben. Por todo esto desea asegurarse que la encuesta incluya una mezcla de clientes que conoce bien Internet y de quienes han estado menos expuestos a ella. Para asegurar que AmeriBank obtiene la mezcla correcta, desea entrevistar al menos a 15% de clientes en Silicon Valley donde el uso de Internet es alto, al menos 35% de clientes

en las grandes ciudades donde el uso de Internet es mediano y al menos 20% de clientes en ciudades pequeñas donde el uso es bajo. Sophisticated Surveys realizó un análisis inicial de estos requerimientos de encuestas para determinar el costo de investigar a las diferentes poblaciones. Los costos por persona entrevistada se proporcionan en la siguiente tabla: Región Silicen Valley Ciudades grandes Ciudades pequeñas

18 a 25 $4.75 $5.25 $6.50

Grupo de edad 26 a 40 41 a 50 $6.50 $5.75 $5.50

$6.50 $6.25 $7.50

51 o más $5.00 $6.25 $7.25

Sohhisticated Surveys explora las siguientes opciones de manera acumulada. a.

Formule un modelo de programación lineal para minimizar los costos al mismo tiempo que se cumple con las restricciones impuestas por AmeriBank

b.

Si el margen de ganancia para Sophisticated Surveys es 15% del costo, ¿cuál será la cotización que presenten?

c.

Después de entregar su propuesta, se informa a Sophisticated Surveys que tiene el menor costo, pero que  AmeriBank no le gustó la solución. En especial Rob piensa que la población seleccionada no es suficientemente representativa de la población de clientes de la banca. Él desea al menos 50 personas de cada grupo de edad entrevistadas en cada región. ¿Cuál es la nueva cotización que entrega Sophisticated Surveys?

d.

Rob siente que Sophisticated Surveys tiene una muestra mayor de la necesaria para la población de 18 a 25 años y la población de Silicon Valley. Entonces impone la nueva restricción de que no más de 600 individuos es la población de 18 a 25 años deben entrevistarse y no más de 650 personas de la población de Silicon Valley. ¿Cuál es la nueva cotización?

e.

Cuando Sophisticated Surveys calculó el costo de llegar hasta y entrevistar a los individuos específicos, la compañía pensó que llegar hasta los individuos de las poblaciones jóvenes sería lo más sencillo. Sin embargo, en una investigación reciente, determinó que esta suposición estaba equivocada. Los nuevos costos de la encuesta en la población de 18 a 25 años se proporciona en la tabla que sigue: Costo por persona de la encuesta regional Silicon Valley $6.50 Ciudades grandes $6.75 Ciudades $7.00 pequeñas Dados los nuevos costos, ¿cuál es la nueva propuesta?

f.

Para asegurar la muestra deseada de individuos, Rob impone requerimientos todavía más estrictos. Fija el porcentaje exacto de personas que deben entrevistarse de cada población. Los requerimientos se dan en la siguiente tabla: Porcentaje de la población de personas entrevistadas 18 a 25

25%

26 a 40 41 a 50 51 o más

35% 20% 20%

Silicon Valley Ciudades Grandes Ciudades Pequeñas

20% 50% 30%

¿Cuánto incrementan el costo estos nuevos requerimientos de la investigación para Sophisticated Surveys?.

CASO 4.3. ASIGNACION DE ESTUDIANTES A ESCUELAS El Consejo de la escuela Springield ha tomado la decisión de cerrar una de sus escuelas de nivel medio (sexto, séptimo y octavo grados) al final del año escolar y reasignar a todos los estudiantes del próximo año a las tres escuelas restantes. El distrito escolar proporciona transporte para todos aquellos que deban trasladarse más de una milla aproximadamente, por lo que el consejo directivo desea planear la reasignación de manera que se minimice el costo total de transporte. El costo anual de transporte por estudiante desde cada una de las seis áreas residenciales a cada escuela se muestra en la siguiente tabla (junto con otros datos básicos para el siguiente año), donde 0 indica que no es necesario el transporte y un guión indica que la asignación no es factible.

Área

Núm de estudiantes

Porcentaje en 6° grado

1 2 3 4 5 6

450 600 550 350 500 450

32 37 30 28 39 34

Porcentaje en 7° grado

Porcentaje en 8° grado

38 30 28 35 32 38 40 32 34 27 28 38 Capacidad de la escuela

Costo de transporte por estudiante Escuela Escuela Escuela 1 2 3 $300 0 $300 $300 $300 $300 $300 $300 $300 $300 0 $300 $300 $300 0 900 1100 1000

La escuela también impone la restricción de que cada grado debe construir entre 30% y 36% de cada población escolar. La tabla anterior muestra el porcentaje de población escolar de nivel medio en cada área para el siguiente año, que cursará cada grado. Las fronteras de asistencia a la escuela se pueden trazar de manera que se divida cualquier área entre más de una escuela, pero suponga que los porcentajes de la tabla se mantendrán para cualquier asignación parcial de un área o una escuela. a. b. c.

Formule un modelo de programación lineal para este problema. Resuelva el modelo ¿Cuál es su recomendación al consejo directivo de la escuela? Después de estudiar su recomendación, el consejo directivo expresa su preocupación sobre la división de las áreas residenciales entre las escuelas. Le indican que “les gustaría mantener cada colonia en una escuela”.

d.

Ajuste sus recomendaciones lo mejor que pueda para permitir que cada área se asigne sólo a una escuela. (Agregar esta restricción puede forzarlo a manipular algunas otras restricciones.)¿Cuánto aumenta esto el costo total de transporte? ( Se profundizará en está línea de análisis de manera más rigurosa en el caso 12.4) e. Revise el modelo del inciso a para que se ajuste a la opción 1 y resuélvalo. Compare estos resultados con los del inciso c, incluyendo la reducción en el costo total de transporte. f. Repita el inciso e para la opción 2. g. Utilice los resultados de los incisos c, e y f para resumir la información clave relacionada con estos dos factores que necesita el consejo directivo para tomar la decisión. h. ¿Qué decisión cree que se debería tomar? ¿Por qué?. Nota: este caso continuará en capítulos posteriores (caso 6.3 y 12.4), por lo que se sugiere que guarde su análisis junto con el modelo básico.

CASO 6.2. ADMINISTRACIÓN DE GRANJAS La familia Ploughman es dueña y opera una granja de 640 acres que ha pertenecido a la familia por varias generaciones. Los Ploughman siempre han tenido que trabajar duro para que la granja tenga ingresos decentes y han soportado algunos años difíciles. Las historias acerca de las generaciones anteriores se han superado por adversidades como sequías, inundaciones, etcétera, son parte importante de la historia familiar. Sin embargo, los Ploughman disfrutan su estilo de vida independiente y o btienen una gran satisfacción al c ontinuar la tradición familiar de vivir en la tierra de una era en que las granjas familiares son abandonadas o compradas por las grandes corporaciones agrícolas. John Ploughman es el administrador actual de la gran ja y su esposa Eunice maneja la casa y las finanzas de la granja. El padre de John, el abuelo Plughman, vive con ellos y todavía trabaja muchas horas en la granja. Los hijos mayores de John y Eunice, Frank, Phyllis y Carl, también realizan tareas en ella antes y después de la escuela. La familia entera puede producir un total de 4000 horas-persona de mano de obra durante los meses de invierno y primavera y 4500 personas hora durante el verano y el otoño. Si no se necesitan algunas de las horas persona, Frank, Phyllis y Carl las dedicarán a trabajar en una granja vecina por $5 por hora durante los meses de invierno y primavera y $5.5 por hora durante el verano y el otoño. La granja cuenta con dos tipos de ganado: vacas lecheras y gallinas ponedoras, y con tres tipos de cosechas: soya, maíz y trigo (las tres son cosechas de venta pero el maíz también se usa como alimento para vacas y el trigo como alimento para gallinas). Las cosechas se recogen a fines del verano y el otoño. Durante el invierno, John, Eunice y el abuelo toman una decisión sobre la me zcla de ganado y cosechas para el siguiente año. En la actualidad, la familia acaba de completar una cosecha muy exitosa que le ha proporcionado un fondo de inversión de $20.000 que pueden usar para comprar más ganado (cuentan con más dinero para gastos de operación, inclusive para plantar las siguientes cosechas). Tienen 30 vacas con un valor de $35.000 y 2.000 gallonas con valor de $5000 Desean conservar todos sus animales y quizá comprar más. Cada nueva vaca cuesta $1.500 y cada nueva gallina cuesta $3. En un período de un año, el valor de las vacas disminuirá alrededor de 10% y el valor de las gallinas disminuirá alrededor de 25% debido a la edad. Cada vaca requiere 2 acres de tierra para pastar y 10 horas persona de trabajo por mes, mientras produce un ingreso anual neto de $850 p ara la familia. Las cifras correspondientes de cada gallina son: una cantidad de tierra no significativa, 0.05 horas persona por mes y un ingreso neto anual de $4.25. El gallinero puede alojar un máximo de 5.000 gallinas y el tamaño del granero limita el ganado a un máximo de 42 vacas. Por cada acre plantada de cada una de las tres cosechas, la siguiente tabla contiene el número de horas persona de trabajo que se requerirán durante la primera y segunda mitad del año, lo mismo que una estimación global del valor neto de la cosecha (ya sea en ingresos o en valor de recuperación en la compra de alimento para animales). Datos por acre plantado Invierno y primavera, horas persona Verano y otoño, horas-persona Valor neto

Soya 1.0

Maíz 0.9

Trigo 0.6

1.4 $70

1.2 $60

0.7 $40

Para proporcionar gran parte del alimento para a nimales, John desea plantar al menos 1 acre de maíz por cada vaca que tenga el próximo año y al menos 0.05 acre de trigo por cada gallina. John, Eunice y el abuelo están estudiando cuántos acres deben plantar de cada cosecha y cuántas vacas y gallinas deben tener el próximo año. Su objeto es maximizar el valor monetario para la familia al final del año próximo (la

suma del ingreso neto obtenido por los animales más el valor neto de las cosechas del próximo año más lo que queda en el fondo de inversión más el valor de los animales al final del próximo año más cualquier ingreso obtenido con el trabajo en la granja vecina, menos los gastos por mantener a los animales de $40.000 anuales). Identifique verbalmente las componentes de un modelo de programación lineal para este problema. a.

Formule este modelo. (Es aceptable una formulación algebraica o en hoja de cálculo.)

b.

Obtenga una solución óptima y genere la salida adicional proporcionada para realizar el análisis posóptimo (por ejemplo, el informe de sensibilidad al usar Excel). ¿Qué predice el modelo respecto al valor monetario para la familia al final del año próximo?.

c.

Encuentre el intervalo permisible para seguir óptimo para el valor neto por acre plantado por cada una de las tres cosechas. Las estimaciones anteriores del valor neto por acre plantado con cada cosecha supone que habría buenas condiciones de clima. Las condiciones adversas dañarían las cosechas reducirían mucho el valor resultante. En particular los escenarios que la familia tiene son la sequía, una inundación, una helada temprana, dos cosas, sequía y helada temprana, y dos cosas inundación y helada temprana. Los valores netos estimados para un año con es tos escenarios se muestran en la siguiente tabla. Escenario Sequía Inundación Helada temprana Sequía y helada temprana Inundación y helada temprana

Valor neto por acre plantado Soya Maíz Trigo -$10 -$15 0 $15 $20 $10 $50 $40 $30 $-15 $-20 $-10 $10 $10 $5

d.

Encuentre una solución óptima para cada escenario después de hacer los ajustes necesarios al modelo de programación lineal formulado en el inciso b. en cada caso, ¿cuál es la predicción respecto al valor monetario para la familia al final del año?.

e.

Para cada solución óptima obtenida con cada uno de los seis escenarios (que incluyen el escenario de buen clima considerado en los incisos a a d ) calcule cuál sería el valor monetario para la familia al final del año si ocurre cada uno de los otros cinco escenarios en lugar del considerado. Seguí su opinión, qué solución proporciona el mejor equilibrio entre obtener un gran valor monetario en condiciones buenas del clima y evitar un valor monetario demasiado pequeño en condiciones adversas.

El abuelo investigó cuáles fueron las condiciones del clima en los años anteriores para los que existen registros y obtuvo los siguientes datos:

Escenario Buen clima Sequía Inundación Helada temprana Sequía y helada temprana Inundación y helada temprana

Frecuencia 40% 20% 10% 15% 10% 5%

Con estos datos, la familia decide usar el siguiente enfoque para tomar sus decisiones respecto a la siembra y los animales. En lugar del enfoque optimista de suponer que prevalecerán un clima con buenas condiciones (como se hace en los incisos a a d ), se usará el valor neto promedio en todas las condiciones de clima para cada cosecha (con ponderaciones para el valor neto en los diferentes escenarios de las frecuencias dadas en la tabla). f.

Modifique el modelo de programación lineal formulado en el inciso b  para que se ajuste a este nuevo enfoque.

g.

Repita el inciso e para este modelo modificado

h.

Use un precio sombra obtenido en el inciso h para analizar si valdría la pena para la familia obtener un préstamo bancario con una tasa de interés del 10% para comprar ahora animales adicionales a los que puede adquirir con los $20.000 del fondo de in versión.

i.

Para cada cosecha, use la información del análisis posóptimo obtenido en el inciso h para identificar cuál es el margen de error al estimar el valor neto por acre plantada para esta cosecha sin cambiar la solución óptima. ¿qué dos valores netos necesitan estimación con más cuidado?. Si ambas estimaciones son incorrectas al mismo tiempo ¿qué tan cercanas deben ser las estimaciones para garantizar que la solución óptima no cambia?. Este problema ilustra un tipo de situación que con frecuencia enfrentan varias clases de organizaciones. Para describir la situación en términos generales, una organización afronta un futuro incierto donde pueden ocurrir cualquier número de escenarios. El que suceda depende de condiciones que están fuera de control de la organización. La organización necesita elegir los niveles de las actividades, pero la contribución unitaria de cada actividad a la medida global de desempeño que da afectada por el escenario que ocurra. En estas circunstancias, ¿cuál es la mejor mezcla de actividades?.

 j.

Piense en situaciones específicas fuera del alcance de la administración de la granja que se ajuste a esta descripción. Describa una.

CASO 6.3. ASIGNACION DE ESTUDIANTES A ESCUELAS (DE NUEVO) Considere de nuevo el caso 4.3. El consejo directivo de Springfield School todavía tiene la política de proporcionar transporte para todos los estudiantes de nivel medio que deben desplazarse alrededor de 1 milla. Otra política actual es permitir la división entre las áreas residenciales entre varias escuelas si esto reduce el costo total de transporte. (Esta última política se invertirá en el caso 12.4.) Sin embargo, antes de adoptar un plan de transporte basado en los incisos a y b del caso 4.3., el consejo directivo ahora desea realizar un análisis posóptimo. a. b.

si no lo hizo en los incisos a y b del caso 4.3., formule y resuelva un modelo de programación lineal para este problema. (es aceptable una formulación algebraica o en hoja de cálculo.) Genere el informe de análisis de sensibilidad con el mismo software que usó en el inciso a. Una preocupación del consejo directivo es la construcción en marcha de un camino en el área 6. Estos proyectos de construcción retrasan mucho el tránsito y es posible que afecten el costo de transporte de los estudiantes del área 6, quizá hasta 10%.

c.

d. e.

Use el informe del inciso b para verificar cuánto puede aumentar el costo de transporte desde el área 6 a la escuela 1 (suponga que no hay cambio en los costos para otras escuelas) antes de que la solución óptima actual deje de ser óptima. Si el inc remento permisible es menor que 10%, resuelva de nuevo para encontrar una nueva solución óptima con un incremento de 10%. Repita el inciso c para la escuela 2 (suponga que no cambian los costos para otras escuelas). Ahora suponga que el costo de transporte desde el área 6 aumenta el mismo porcentaje para todas las escuelas. Use el informe del inciso b para determinar qué tan grande puede ser este porcentaje antes de que la solución óptima actual ya no lo sea. Si el incremento permisible es menor que 10%, resuelva otra vez y encuentre la nueva solución óptima con un incremento de 10%. El consejo directivo tiene la opción de agregar salones de clase prefabricados para aumentar la capacidad de una o más escuelas de nivel medio por unos años. Sin embargo, esta es una decisión costosa que debe considerarse sólo si disminuye significativamente el costo de transporte. Cada salón de clase tiene capacidad para 20 estudiantes y un c osto de renta de $2.500 anuales. Para analizar esta o pción, el consejo directivo decide suponer que la construcción de camino en el área 6 terminará sin incrementar de manera importante los costos de esta área.

f.

Para cada escuela, use el precio sombra correspondiente del informe obtenido en el inciso b  para determinar si valdría la pena agregar salones prefabricados.

g.

Para cada escuela donde vale la pena agregar salones prefabricados, use el informe del inciso b  para determinar cuántos podrían agregarse antes de que el precio sombra ya no sea válido (suponga que ésta es la única escuela que recibe salones prefabricados).

h.

Si valiera la pena agregar salones prefabricados a más de una escuela, use el informe del inciso b para determinar las combinaciones del número que se debe agregar donde los precios sombra todavía serán válidos. Después use los precios sombra para determinar cuál de estas combinaciones es mejor en términos de minimizar el costo total de transportar estudiantes y rentar salones prefabricados. Resuelva otra vez para encontrar la solución óptima correspondiente para la asignación de estudiantes a escuelas. Si el inciso h  es aplicable, modifique la mejor combinación de salones prefabricados encontrados en h agregando uno o más a la escuela con el precio sombra más favorable. Encuentre la solución óptima correspondiente para la asignación de estudiantes a escuelas y genere el informe de sensibilidad correspondiente. Use esta información para evaluar si el plan de desarrollo en el inciso h es el mejor para minimizar el costo total de transportar estudiantes y rentar salones prefabricados. Si no es así, encuentre el mejor plan.

i.

CASO 12.1 ASPECTOS DE CAPACIDAD Bentley Hamilton avienta la sección de negocios del New York Times sobre la mesa de conferencias y observa c ómo sus asociados se mueven incómodos en sus sillones. El Sr. Hamilton desea que entiendan algo. Pone la primera página de The Wall Street Journal encima del New York Times y observa a sus asociados abrir los ojos que ya no muestran aburrimiento El Sr. Hamilton desea que entiendan algo. Después les avienta la primera página del Financial Times encima de los otros y observa a sus asociados comenzar a sudar. El Sr. Hamilton quiere que lo que ocurre se grave en las mentes de sus asociados. “les acabo de presentar tres periódicos financieros líderes con la historia de negocios de hoy”, declara con una voz cerrada y enojada. “Queridos asociados, ¡nuestra compañía  se está yendo a pique! ¿Debo leerles los encabezados? Del New York Times, „CommuniCorp baja al mínimo en 52 semanas‟. Del Wall Street Journal, „ComunniCorp bajan debido a problemas de comunicación internos‟. ¿Cómo es que la compañía cayó en una situación tan terrible?”. El Sr. Hamilton muestra una diapositiva que muestra una recta con una pendiente ligera hacia arriba. “Esta es una

gráfica de nuestra productividad en los últimos 12 meses. Como pueden ver, la productividad en la planta de localizadores ha aumentado en el último año. Es obvio que la productividad no es la causa del problema.” El Sr. Hamilton muestra una segunda diapositiva de una recta con una pendiente pronunciada hacia arriba. “Esta es la gráfica de las órdenes que entregamos tarde o perdim os en los últimos 12 meses.” Se escuchan movimientos incómodos de los asociados. “Como pueden ver en la gráfica, las órdenes tardías o perdidas han aumentado de

manera firme y significativa en los últimos 12 meses. Creo que esta tendencia explica por qué ha bajado nuestro porcentaje de mercado a su nivel más bajo en 52 semanas. Hemos hecho enojar y perdido a los distribuidores, clientes que dependían de entregas a tiempo para cumplir con las demandas de sus clientes.” “¿No cumplimos con las fechas de entrega cuando nuestro nivel de productividad debió permitir cumplir con las órdenes?”, pregunta el Sr. Hamilton, “Hice esta pregunta a varios departamentos.” “! Resulta que hemos producido localizadores por producirlos!”, dice sin poderlo creer. “Los departamen tos de

comercialización y ventas no se comunican con el de manufactura, por lo que los ejecutivos de manufactura no saben qué tipos de localizadores producir para cumplir con las órdenes. Ellos quieren que la planta siga trabajando, y producen localizadores sin importar si los han ordenado. Los localizadores terminados se envían al almacén, pero los ejecutivos de ventas y mercadotecnia no saben qué cantidades y estilos se tienen. Tratan de comunicarse con los ejecutivos del almacén para determinar si los localizadores en el inventario pueden satisfacer las órdenes. Pero rara vez reciben una respuesta a sus preguntas.” El Sr. Hamilton hace una pausa y mira directo a sus asociados. “Señores y señoras, me parece que tenemos un

problema de comunicación interna serio. Intento corregir este problema de inmediato. Quiero iniciar la instalación de una red de cómputo en toda la compañía para asegurar que todos los departamentos tienen acceso a documentos críticos y pueden comunicarse con facilidad entre sí por el correo electrónico. Como esta red interna (o intranet) representará un cambio importante en la infraestructura actual de comunicación, espero algunas fallas en el sistema y cierta resistencia de los empleados. Por eso quiero que la instalación de la red sea por etapas.” El Sr. Hamilton pasa las siguientes tablas de programación y requerimientos a sus asociados (donde IN=Intranet).

Mes 1 Capacitación IN

Mes 2

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Instalar IN en ventas Instalar IN en Manufactura Instalar IN en  Almacén Instalar IN en Comercialización Departamento Ventas Manufactura  Almacén Comercialización

Número de empleados 60 200 30 75

El Sr. Hamilton procede a explicar la tabla de tiempos y requerimientos. “El primer mes, no quiero que se hagan

conexiones a la red; sólo deseo diseminar la información al respecto y tratar de que los empleados la acepten. El segundo mes, se conectará el departamento de ventas, ya que recibe toda la información crítica de nuestros clientes. El tercer mes, se c onectará el departamento de manufactura. Durante el cuarto mes se instalará la red en el almacén y en el quinto y último quiero incluir al departamento de comercialización en la red. La tabla de requerimientos que sigue a la programación contiene el número de empleados que requieren acceso a la red en cada departamento.”

Después se dirige a Emily Hones, jefa de administración de información corporativa “Necesito tu ayuda en la planeación de la instalación de red. En particular, la compañía necesita comparar servidores para la red interna. Los empleados se conectarán a los servidores y bajarán información a sus computadoras.”

El Sr. Hamilton pasa a Emily la siguiente tabla con detalles de los tipos de servidores disponibles, el número de empleados que acepta cada servidor y los costos. Tipo de servidor PC con Intel Pentium estándar PC con Intel Pentium mejorado Estación de trabajo SGI Estación de trabajo Sun

Número de empleados que puede atender el servidor Hasta 30 empleados Hasta 80 empleados Hasta 200 empleados Hasta 2000 empleados

Costo del servidor $2500 $5000 $10000 $25000

“Emily, necesito que decidas qué servidores comprar y cuándo comprarlos para minimizar el costo y asegurar que la compañía tiene suficiente capacidad de servidores para la implantación de la red interna a tiempo”, dice el Sr. Hamilton. “Por ejemplo, puedes decidir comprar un servidor grande el primer mes para que ac epte a todos los

empleados o comprar un servidor pequeño cada mes de manera que un nuevo grupo de empleados tenga acceso a la red. “Existen varios factores que complican tu decisión”, continúa el Sr. Hamilton, “dos fabricantes de servidores están

dispuestos a ofrecer descuentos a CommuniCorp. SGI nos dará un descuento de 10% en cada servidor que compremos, pero solo si se compra durante el primero o segundo mes. Sun está dispuesto a dar 25% de descuento en todos los servidores comprados los dos primeros meses. También tienes limitaciones en la cantidad de dinero que puedes gastar el primer mes. Communicorp ya ha asignado el presupuesto para los próximos dos meses, sólo cuentas con un total de $9.500 para las compras en los meses 1 y 2. Por último, el departamento de manufacturas

requiere al menos uno de los tres servidores más poderosos. Quiero tener tu decisión en mi escritorio para el fin de semana. a.

Emily decide primero evaluar el número y tipo de servidores que va a comprar cada mes. Para cada mes, formule un modelo de PE para determinar qué servidores debe comprar Emily en ese período para minimizar los costos del mes y dar el apoyo a los nuevos usuarios. ¿Cuántos servidores y de qué tipos debe comprar cada mes?, ¿Cuál es el costo total del plan?

b.

Emily se da cuenta de que tal vez logre algunos ahorros si compra un servidor más grande en los primeros meses para dar acceso a los usuarios en los últimos meses. Por lo tanto, decide evaluar el número y tipo de servidores que debe comprar para todo el horizonte de planeación. Formule un modelo de PE para determinar qué servidores debe comprar Emily y en qué meses, de manera que se minimice el costo total y se dé acceso a todos los nuevos usuarios. ¿Cuántos servidores y de qué tipos debe comprar cada mes? ¿Cuál es el costo total del plan? ¿Por qué es diferente la respuesta obtenida con el primer método que la obtenida con el segundo método?. ¿Existen otros costos que Emily no está tomando en cuenta en la formulación de su modelo? Si es así, ¿Cuáles son? Qué otros aspectos que pueden preocupar a los distintos departamentos de CommuniCorp respecto a la red interna?.

c. d. e.

CASO 12.2 ASIGNACION DE ARTE Fue como un sueño vuelto realidad para Ash Briggs, un empeñoso artista que vive en el área de bahía de San Francisco. El fue a comprar leche a la tienda de abarrotes de la esquina un viernes en la tarde y, por impulso, compro también un billete de lotería de California. Una semana después era millonario.  Ash no quería derrochar s us ganancias en objetos triviales o materiales. En lugar de eso quería usar su dinero para apoyar la verdadera pasión de su vida. El arte, Ash conocía bien las dificultades para obtener reconocimiento como artista en esta sociedad tecnológica, posindustrial, donde la apreciación artística es rara y el apoyo financiero aun más raro. Entonces decidió usar el dinero para financiar una exposición de artistas modernos incipientes en el Museo de Arte Moderno de San Francisco.  Ash se acercó a los directores del museo con esta idea y ellos se emocionaron de inmediato al saber que él se haría cargo de los fondos para toda la exposición además de donar $1 millón para el museo. Celeste McKenzie, uno de los directores, fue asignado para trabajar con Ash en la planeación de la exposición. Se decidió programar la inauguración de la exposición. Se decidió programar la inauguración de la exposición para un año después del tiempo en que Ash conoció a los directores, y que las obras permanecerían en las salas durante dos meses.  Ash inició el proyecto recorriendo la comunidad de arte moderno para buscar a los artistas y las obras potenciales. Después presentó a Celeste la siguiente lista de a rtistas, sus obras y el precio para exhibir cada pieza de arte.  Ash tiene ciertos requerimientos para la exhibición. Piensa que la mayoría de los norteamericanos no cuentan con un conocimiento adecuado del arte y los estilos artísticos y quiere que la exhibición eduque a los visitantes. Desea que se den cuenta de que el collage es una forma de arte, pero cree que requiere poco talento. Entonces decide incluir solo un collage, además Ash desea que los visitantes comparen las delicadas líneas de las esculturas de malla de alambre en tres dimensiones con las delicadas líneas de un dibujo en dos dimensiones generando en una computadora. Por esto quiere que se exhiba al menos una escultura de malla de alambre si se exhibe un dibujo generado en computadora. De manera alternativa, quiere al menos un dibujo g enerado en computadora si se exhibe una escultura de malla de alambre. Más aun, Ash desea que los visitantes vean todos los estilos de pintura y otras formas de arte. Así, decide incluir al menos una pintura foto realista, al menos una pintura cubista, al menos una pintura expresionista, al menos una acuarela y al menos un óleo. Al mismo tiempo, desea que el número de pinturas no sea mayor que el doble del número de otras formas de arte.

 Ash quiere que se incluyan todas sus pinturas en la exposición, ya que él la está financiando, además de que su obra es una celebración del áre a de la bahía de San Francisco, cuna de la exposición.  Ash tiene cierto sesgo en la opinión personal en pro y en contra de algunos artistas. Por el momento tiene un tórrido romance con Candy Tate y desea que se exhiban sus dos pinturas. Ash considera a David Lyman y a Rick Rawls como sus mejores amigos, y no quiere mostrar favoritismos entre ellos. Entonces, decide desplegar tantas piezas como sea posible de estos dos artistas e incluir al menos una pieza de cada uno. Aunque Siggy Late es muy popular en los círculos de arte, Ash piensa que en realidad se burla del arte. Entonces, solo aceptará exhibir una pieza de él si es que exhibe alguna.

Artista Collin Zweibell

Rita Losky

Norm Marson Candy Tate Robert Bayer David Lyman

 Angie Oldman Rick Rawls

Bill Reynolds

Bear Canton Helen Row Ziggy Lite  Ash Briggs

Obra

Descripción de la obra Escultura de malla del alambre de un cuerpo "Perfección" humano "Carga" Escultura de malla de alambre de una mula "El gran igualador" Escultura en malla de alambre de una pistola Una serie de dibujos generados en "El caos reina" computadora Dibujo generado por computadora "¿Quién tiene el control?" entremezclado con lineas de codigo de computadora "Domesticado" Dibujo a pluma de una casa "Inocencia" Dibujo a pluma de un niño "Tierra vieja" Escultura de basura cubriendo un gran globo "Recursos desperdiciados" Un collage de varos materiales de empaque "serenidad" Acuarela toda de color azul "Calma antes de la  Acuarela con el fondo pintado en azul y un tormenta" centro color negro "Vacio" Óleo pintado todo en negro "Sol" Óleo pintado todo en amarillo Pintura foto-realista del aparador de una "Aparador"  joyería Pintura foto-realista de una motocicleta "Harley" Harley- Davidson "Consumismo" Collage de anuncios de revistas "Reflejo" Espejo (considerado una escultura) "Victoria Troyana" Escultura de madera de un condón "Rick" Autorretrato foto-realista (pintura) "Rick II" Autorretrato cubista (pintura) "Rick III" Autorretrato impresionista (pintura) Pintura futurista al óleo, que muestra la "Más allá" colonización de marte Pintura al óleo de tes astronautas a bordo del "Pioneros" transbordador espacial "Sabiduria" Dibujo a pluma de un gran jefe Apache Dibujo a pluma de la danza para l a lluvia, "Poderes superiores" tradicional de los nativos de Norteamérica "Tierra viva" Pintura al óleo del Gran Cañón "Violin" Pintura estilo cubista de un violin "Frutero" Pintura estilo cubista de un frutero "Por mi nombre" Collage de caricaturas de Ziggy "Narcisismo" Collage de fotografias de Ziggy Lite "todos los brillos" Acuarela del puente Golden Gate "La roca" Acuarela de la isla de Alcatraz "Calle curva" Acuarela de la calle Lombard  Acuarela del Museo de Arte Moderno de San "Sueños hechos realidad" Francisco

Precio 300.000 250.000 125.000 400.000 500.000 400.000 550.000 700.000 575.000 200.000 225.000 150.000 150.000 850.000 750.000 400.000 175.000 450.000 500.000 500.000 500.000 650.000 650.000 250.000 350.000 450.000 400.000 400.000 300.000 300.000 50.000 50.000 50.000 50.000

Celeste también tiene su propia agenda para la exhibición. Como directora del museo, está interesada en representar una población diversa de artistas, paraqué llamen la atención de una audiencia amplia, y en crear una exposición políticamente correcta. Tomando en cuenta el feminismo, decide incluir al menos una pieza de una artista mujer por cada dos piezas incluidas de artistas hombres. Para los grupos ambientalistas, decide incluir una de las dos o ambas piezas “tierra viva” y “recursos desperdiciados”. Considerando los derechos de los nativos

norteamericanos decide incluir al menos una obra de Bear Clanton. Por el avance de la ciencia exhibirá al menos una de las siguientes piezas:”el caos reina”, “¿Quién tiene el control?”, “más allá” y “pioneros”.

Celeste entiende también que el espacio en el museo es limitado. El museo sólo cuenta con un área suficiente para cuatro esculturas y paredes para 20 pinturas, collages y dibujos. Por último, ella decide que si exhibe “narcisismo”, también debe exhibirse “reflejo” pues esta pieza también sugiere el narcisismo.

Se pide al lector que explore las siguientes preguntas de manera independiente excepto cuando se indique lo contrario. a.

Ash decide asignar $4 millones a los fondos de la exposición. Dadas las piezas disponibles y los requerimientos específicos de Ash y Celeste, formule y resuelva un modelo de PEB para maximizar el número de piezas de arte exhibidas sin exceder el presupuesto. ¿Cuántas piezas se exhibirán? ¿Qué piezas estarán en la exposición?

b.

Para asegurar que la exposición llame la atención del público, celeste decide que es necesario incluir al menos 20 piezas. Formule y resuelva un modelo de PEB que minimice el costo de la exhibición mientras que se exponen al menos 20 piezas y se cumplen los requerimientos establecidos por Ash y Celeste. ¿Cuánto cuesta la exposición? ¿Qué piezas se exhibirán?

c.

Un influyente protector del trabajo de Rita Losky que forma parte del consejo directivo del museo oye que Celeste requiere al menos 20 piezas en la exposición. Ofrece pagar la cantidad mínima requerida que exceda a los $4 millones de Ash para asegurar que se exhiban justo 20 piezas en la exposición y que todas las piezas de Rita se exponga. ¿Cuánto tendrá que pagar el protector de Rita? ¿Qué piezas incluye la exposición?

CASO 12.3. JUEGOS DE COCINA EN ALMACEN Daniel Holbrook, un despachador del almacén local de Furniture City, suspiró mientras movía cajas y cajas de inventario de un lugar a otro para poder alcanzar la repisa donde se encuentra el artículo que necesita. Se agachó en posición de cuatro patas y hurgó las etiquetas con los números de inventarios en la repisa inferior. No encontró el número que necesitaba. Siguió buscando en cada repisa hacia arriba hasta que encontró el número que coincidía con el de la orden en su mano. ¡Su mala suerte!. ¡El artículo estaba en la repisa más alta!. Daniel caminó por el almacén buscando la escalera para alcanzar la repisa, su cara llena de frustración. ¡No otra vez! ¡No tenían el artículo! Todo lo que veía en el lugar con ese número de inventario era un es pacio vacío cubierto de polvo. Daniel regreso con desánimo por el almacén para hacer la terrible llamada. Marcó el número de Brenda Sims, la agente de ventas en el área de cocina de Furniture city, y le informó que no tenían en inventario el accesorio que había pedido el cliente. Después le preguntó si quería que buscara el resto de los artículos del juego de cocina. Brenda le dijo que hablaría con el c liente y le llamaría. Brenda colgó el teléfono con disgusto. El Sr. Davidson, su cliente, no iba a estar contento. Ordenar y recibir los accesorios correctos desde el almacén regio nal tomaría por lo menos dos semanas. Después Brenda hizo una pausa para reflexionar sobre cómo iban los negocios durante el último mes y se dio cuenta de que más de 80% de las órdenes de conjuntos de cocina no se satisfacían porque no tenían en inventario en el almacén local los artículos necesarios para completar los conjuntos. También se dio cuenta de que Furniture City estaba perdiendo su buena imagen y muchas ventas debido a estos faltantes. La megatienda de muebles comenzaba a ganarse una reputación de servicio lento y retraso en las entregas, que causa que sus clientes vayan con los pequeños competidores que venden los muebles directamente de los salones de exposición. Brenda decidió investigar la situación del inventario en el almacén local. Caminó una corta distancia al siguiente edificio y se quedó atónita cuando entró. Lo que vio sólo podría describirse como un caos. Los espacios asignados para algunos artículos estaban llenos y ocupaban parte de los pasillos del almacén, mientras que otros espacios estaban completamente vacíos. Caminó a uno de los espacios llenos para averiguar de qué artículo había demasiado. ¡No podía creer lo que veía!. El almacén tenía por lo menos 30 rollos de papel tapiz verde chicharo. ¡Ningún cliente había ordenado ese papel tapiz desde 1973!. Brenda fue directo con Daniel para pedirle una explicación. Daniel le dijo que el almacén estaba en ese estado caótico desde su llegada un año antes. Comentó que los problemas de inventario ocurrían porque la administración tenía la política de tener en el almacén local un inventario de todos los artículos de mueblería que hubiera en las salas de exhibición. La administración solo reabastecía el inventario cada tres meses, y cuando lo hacía, ordenaba todos los artículos sin importar si se había vendido. Daniel también le explicó que había intentado que se dieran cuenta de los problemas con el exceso de los artículos no populares y los faltantes de los que sí vendían, pero la gerencia no lo escuchaba porque él era solo el despachador. Brenda entendió que Furniture City necesitaba una nueva política de inventarios. La megatienda no sólo estaba perdiendo dinero al crear descontento entre sus clientes con los retrasos en las estrategias, también perdía dinero al desperdiciar espacio de almacén. Si cambiaran la política de inventarios y almacenaban solo los artículos populares y reabastecían de inmediato cuando se vendieran, Furniture City aseguraría que la mayoría de los clientes recibiera sus muebles de inmediato y que el valioso espacio de almacén se utilizara con eficiencia. Brenda necesitaba convencer a la administración de que su política de inventarios era buena. Usó su extensa experiencia en ventas para decidir que la estrategia más efectiva sería usar como modelo su departamento de cocina para la nueva política. Identificó todos los conjuntos de cocina que comprendieran 85% de las órdenes de los clientes. Dada la cantidad fija de espacio asignada en el almacén para el departamento de cocina, identificó los artículos de Furniture City debía almacenar con el fin de satisfacer el mayor número de órdenes de los clientes. Después calculó el ingreso debido a las órdenes satisfechas con la nueva política de inventarios que usaría para persuadir a la administración de aceptar la nueva política.

Brenda analizó los registros de los últimos tres años y determinó que 20 juegos de cocina eran responsables del 85% de las órdenes de los clientes. Estos 20 juegos de cocina se componían hasta de ocho partes en varios estilos. Brenda hizo una lista de cada parte y de los estilos populares. Pisos (P1) Mosaico blanco con textura (P2) Mosaico marfil con textura (P3) Mosaico blanco con orilla azúl

Papel Tapiz (T1) Tapiz color marfil (T2) tapiz color marfil con rayas en café (T3) Tapiz color azúl con textura de mármol

Lámparas (L1) Lámpara rectangular grande (L2) Tres lámparas cuadradas chicas (L3) Una lámpara ovalada grande

(P4) Mosaico blanco con orilla amarilla

(T4) Tapiz amarillo claro con textura de mármol

(L4) tres lámparas esféricas chicas

Cubiertas (C1) Cubierta madera clara

Lavaplatos (D1) Lavaplatos blanco

Fregaderos (F1) Fregadero sencillo con mezclador de dos llaves (F2) Fregadero doble con mezclador de dos llaves y triturador (F3) Fregadero sencillo con mezclador de una llave (F4) Fregadero doble con mezclador de una llave y triturador

(C2) Cubierta madera veteada

color color

(C3) Cubierta laqueada color blanco (C4) Cubierta laqueada color marfil

(D2) Lavaplatos marfil

color color

Gabinetes (G1) Gabinetes madera clara (G2) Gabinetes madera oscura (G3) Gabinetes madera clara con de cristal (G4) Gabinetes madera oscura con de cristal

color color color puerta color puerta

Estufas (E1) Estufa eléctrica color blanco (E2) Estufa eléctrica color marfil (E3) Estufa de gas color blanco (E4) Estufa de gas color marfil

Brenda creo después una tabla con los 20 juegos de cocina y las características que componían cada juego. Para simplificar la tabla usó los códigos mostrados entre paréntesis para presentar la c aracterística y estilo. La tabla se da en la siguiente página. Por ejemplo el juego de cocina 1 consiste en piso P2, tapiz T2, lámpara L4, gabinetes G2, cubierta C4, lavaplatos D2, Fregadero F2 y estufa E2. Observe que los conjuntos 14 a 20 no contienen lavaplatos. Brenda sabe que tiene solo una cantidad limitada de espacio de almacén asignado al departamento de cocina. El almacén puede guardar hasta 50 pies cuadrados de mosaico y 12 rollos de papel tapiz en contenedores. Las repisas pueden guardar dos lámparas, dos gabinetes, tres cubiertas y dos fregaderos. Los lavaplatos y estufas son similares en tamaño por lo que se almacenan en lugares similares. El piso del almacén puede guardar un total de cuatro lavaplatos y estufas. Cada juego de cocina incluye siempre 20 pies cuadrados de mosaico y exactamente cinco rollos de papel tapiz. Por lo tanto, se requieren 20 pies cuadrados de un estilo específico de mosaico y cinco rollos de un estilo dado de tapiz para considerar que se tiene un estilo en almacén. a.

b.

c.

Formule y resuelva un modelo de PEB que maximice el número total de juegos de cocina (y por ende el número de órdenes de los clientes) que Furniture City debe tener en inventario en el almacén local. Suponga que cuando un cliente ordena un juego de cocina, se reabastecen de inmediato todos los artículos específicos que lo componen. ¿Cuántos artículos de cada característica y estilo debe tener en inventario Furniture City en el almacén local?. Furniture City decide descontinuar los juegos de bebés y dividir el espacio de almacén que estaba asignado al departamento de bebés entre el resto de departamentos. El departamento de cocina recibe suficiente espacio adicional para permitirle almacenar ambos estilos de lavaplatos y tres o cuatro estilos de estufas.

¿Cuál es el cambio en la política óptima de inventario para el departamento de cocina con este espacio adicional de almacén?.

Juego

P P P P T T T T L L L L G G G G C C C C D D F F F F E E E E 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4

Juego 1

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Juego 2

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Juego 3

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Juego 5

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Juego 8

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Juego 9

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Juego 10 X Juego 11

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Juego 14

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Juego 15

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Juego 16

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Juego 17 X

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Juego 19

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Juego 20

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Juego 13

Juego 18

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Juego 12

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Juego 6

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Juego 4

Juego 7

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d.

Brenda convence a la administración de que el departamento de cocina debe servir como prueba para las políticas de inventario futuras. Para proporcionar un espacio adecuado para realizar la prueba, la administración decide asignarle todo el espacio liberado por el departamento de bebés. El espacio adicional significa que el departamento de cocina puede guardar, además de lavaplatos y estufas del inciso c , todos los fregaderos y cubiertas, tres o cuatro lámparas y tres o cuatro gabinetes. ¿De qué manera ayuda el espacio adicional?.

e.

¿Cómo afectaría a la política de inventarios si los artículos que componen un juego de cocina no pudieran reabastecerse de inmediato? ¿En qué condiciones se justifica la suposición de reabastecimiento inmediato?

CASO 12.4. ASIGNACIÓN DE ESTUDIANTES A ESCUELAS (DE NUEVO) El consejo directivo de la escuela Springfield ahora a tomado la decisión de prohibir la división de las áreas residenciales entre varias escuelas. Así, cada una de las seis áreas debe asignarse a u na sola escuela. a. b. c. d.

e.

Formule un modelo de PEB para este problema según la política actual de proporcionar transporte para los estudiantes de nivel medio que deben recorrer más de alrededor de una milla. Con referencia al inciso a del caso 4.3, explique por qué el modelo de programación lineal y el modelo de PEB que acaba de formular son tan diferentes si se trata básicamente del mismo problema. Resuelva el modelo de PEB formulado en el inciso a. Con referencia al inciso c del caso 4.3, determine cuánto aumenta el costo total de transporte debido a la decisión de no permitir que se dividan las á reas residenciales entre varias escuelas. f,g,h) Repita los incisos e,f,g,h del caso 4.3 con la nueva decisión del consejo directivo de no permitir la división de las áreas residenciales entre varas escuelas.