Casos Especiales y Tipos de Soluciones en Programación Lineal

CASOS ESPECIALES Y TIPOS DE SOLUCIONES EN PROGRAMACIÓN LINEAL Optimización La Optimización radica en representar Cada Una de las Restricciones y Encontrar (mar CUANDO viable) el Polígono factible, denominado comunmente Como región factible, enCuyos vértices se obtiene La Solución Óptima del Problema. InEste Caso se denominador la Optimización de Como Solución Óptima sueltas. IGUALMENTE las Soluciones Optimas múltiplos, sinacotadas e infactibles, Ecuaciones estafadores redundantes. -La Solución de la ONU Problema esÓptima sueltas CUANDO Sólo Existe Un Punto Extremo del conjunto de soluciones factibles Que hace Posible Encontrar el valor de Máximo de la Función Objetivo. -La Solución Óptima es múltipleCUANDO EXISTEN Varios puntos (des Lado del poliedro de soluciones factibles) Que Hacen Posible Encontrar el Máximo valor de la Función Objetivo. Es Posible Encontrar Problemas en los Cuales laSolución Optima no toma ningún valor finito sino infinito. En Modelos reales elProblema Suele formularse incorrectamente, Que Lo géneros elevadas utilidades Muy. Un Tiene Problema Solución no factibleCuando No Es Posible Encontrar ONU espacio de soluciones factibles, por incompatibilidad de lasRestricciones o Porque el espacio de soluciones SE Encuentra en la ONUcuadrante diferente al Primero (No Se Cumplen las Condiciones de no negatividad). CLASES DE SOLUCIÓN Los Principales Tipos de Solución: Óptima Única: Este tipo de Solución esLa Más común Una Vez Que el modelo ha Sido formulado Como Problema ONU lineal reales de programación. Seda CUANDO Existe Sólo un punto Extremo del conjunto de soluciones factibles Que hace Posible Encontrar elÓptimo valor de Z. Optima Múltiple (Alterna): ESTO CUANDO Ocurre larecta de la Función Objetivo es Paralela a Alguna Restricciones de las; then todos los puntos que estan Sobre la rectahijo soluciones optimas del modelo. Como recta Una TieneONU Número infinito de puntos, HEMOS Encontrado ONU Número infinito de soluciones optimas equivalentes. De Otra Manera sídados Que El modelo Tiene soluciones optimas Alternativas. No Acotada (ilimitada o Indeterminada): Se presenta Cuando Una o mas variables de y laFunción Objetivo Toman valor ONU Ilimitado, Cumpliendo con lasRestricciones Estructurales. Cuando Se obtiene solution ilimitada es DEBIDO una uña delas Siguientes: causas:

a. Omission de Una o Más Restricciones b.Fallas en la formulation c.Errores en el valor de los Parámetros Mín indica Que ningún Que Problema de bienes deprogramación lineal Tiene this tipo de Solución y Cuando Se Presenta es Porque se ha cometido Alguno de losErrores descritos. Infactible (solution pecado): ESTO Ocurre Cuando No pueden Encontrarse soluciones Que, adeMás De Cumplir estafadores las RestriccionesEstructurales, cumplan con la Condición de no negatividad de las variables de (CUANDO en el tablero Óptimo Queda Una artificial variables enla base). geometricamente, implicaciones Esto que la región delos puntos Que Cumplen TODAS LAS Restricciones se halla Fuera del cebadorcuadrante. Cuando Se obtiene solution infactible se ha cometido Alguno de los Errores descritos ensoluciones no acotadas. degenerada (Degradada) : tablero de la ONU se da CUANDO endel Simplex Una

básica variable parama el cero en Lugar deONU positivo valor; Este Caso Se presenta normalmente Cuando Se Escoge arbitrariamente Una variable de párr Salir De La CUANDO base de heno Entre las variables ALGUNAS empate. Ecuaciones redundantes: Se presenta en Cuando Problema de la ONU, al graficarlo, esPosible Hacerlo Solo con Una parte de las ecuaciones, es Decir, el Resto de ecuaciones sobran. Cabe mencionar Que Cuando El empate Entre las variables dees cero, se conducen al Caso Llamado ciclaje, el cual sea consiste En que Despues De Varias iteraciones A partir de Una solution se regresa NuevaMente un La Misma solution

4.2 Casos especiales en la aplicación del método simplex Consideraremos casos especiales que pueden presentarse en la aplicación del método simplex, entre los que se encuentran: 1. Degeneración. 2. Opciones óptimas. 3. Soluciones no acotadas. 4. Soluciones inexistentes (o infactibles).

DEGENERACION En la aplicación de la condición de factibilidad, una coincidencia de la razón mínima se debe descomponer en forma arbitraria para los fines de determinar la variable que sale. Cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En este caso, decimos que la nueva solución esdegenerada. Ejemplo (Solución óptima degenerada) Maximizar z = 3x1 +9x2 Sujeto a x1 + 4x2 £ 8 x1 + 2x2 £ 4 x1,x2 ³ 0 Tabla 3-2

Tres rectas cruzan el optimo. Como éste es un problema bidimensional, se dice que el punto esta más que determinado (osobredeterminado), ya que solo necesitamos dos rectas para identificarlo. Por este motivo, concluimos que una de las restricciones es redundante. Desafortunadamente no existen técnicas confiables para identificar restricciones redundantes directamente a partir de la tabla.

Figura 3-4 Desde el punto de vista teórico, la degeneración tiene dos implicaciones. La primera tiene que ver con el fenómeno del ciclaje oreciclaje. Si se observan las iteraciones 1 y 2 de la tabla 3-2, se verá que el valor de la función objetivo no ha mejorado (z=18). Por lo tanto, es posible, en términos generales, que el procedimiento simplex repetiría la misma sucesión de iteraciones, sin mejorar nunca el valor de la función objetivo ni poner fin a los cálculos. El segundo punto teórico se presenta en el examen de las iteraciones 1 y 2. Ambas iteraciones, pese a diferir en la clasificación de las variables como básicas y no básicas, producen valores idénticos de todas las variables y el valor de la función objetivo, es decir,

x1 = 0, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 0, z = 18 Por lo tanto, se genera un argumento relacionado con la posibilidad de suspender los cálculos en la iteración 1 (cuando aparece la degeneración), aunque no es óptima. Este argumento no es válido porque, en general, una solución puede ser temporalmentedegenerada. OPCIONES OPTIMAS: Cuando la función objetivo es paralela a una restricción de enlace (o sea, una restricción que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima), la función objetivo tomara el mismo valor optimo en más de un punto de solución. Por esta razón reciben el nombre de opciones optimas. Ejemplo (Infinidad de soluciones) Maximizar z = 2x1 + 4x2 Sujeto a x1 + x2 £ 5 x1 + x2£ 4 x1, x2³ 0

En términos algebraicos sabemos que el método simplex es capaz de encontrar soluciones en puntos extremos exclusivamente.

Figura 3-5

Como es de esperarse, el método simplex sólo determina los puntos extremos B y C. Matemáticamente podemos determinar todos los puntos (x1, x2), del segmento de recta BC, como un promedio ponderado no negativo de los puntos B y C. Esto es, dada la relación 0£¥£1y B: x1 =0, x2=5/2 C: X1=3, x2=1

Tabla 3-3

SOLUCION NO ACOTADA En algunos modelos de programación lineal los valores de las variables se pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio de soluciones es no acotado cuando menos en una dirección. Como resultado, el valor de la función objetivo puede crecer (caso de maximización) o de crecer (caso de minimización) en forma indefinida. En este caso decimos que el espacio de soluciones y el valor "óptimo" de la función objetivo son no acotados. La falta de explicación en un modelo puede señalar solo una cosa: el modelo está mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia " infinita". Las irregularidades mas probables en estos modelos son: 1) N ose toman en cuenta una mas restricciones redundantes, y 2) No se determinan correctamente los parámetros ( constantes ) de algunas restricciones. La regla general para reconocer la falta de acotación es la siguiente. Sien cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de una variable no básica son no positivos, entonces el espacio de soluciones no esta acotado en esa dirección. Además, si el coeficiente de la función objetivo de esa variable en el caso de la maximización o positivo en el caso de la minimización, entonces el valor de la función objetivo tampoco esta acotado.

Ejemplo (Función objetivo no acotada) Maximizar z = 2x1 + x2 Sujeto a x1 - x2 £ 10 2x1 £ 40 x1, x2 ³ 0

Iteración inicial

En la tabla inicial x1 y x2 son los candidatos para entrar en la solución. Como x1 tiene el coeficiente más negativo. Normalmente se selecciona como la variable que entra. Sin embargo, nótese que todoslos coeficientes de las restricciones por debajo de x2 son negativos ocero, esto significa que x2 se puede hacer crecer en forma indefinida sin que se infrinja ninguna de las restricciones. Como cada incremento de una unidad en x 2, aumentará z en 1, un incremento infinito en x2también dará lugar a un incremento infinito en z. Por lo tanto, concluimos que el problema no tiene solución acotada. Este resultado se puede apreciar en la figura 3-6. El espacio de soluciones no está acotado en la dirección de x 2 y el valor de z puede crecer en forma indefinida.

Figura 3-6

La regla general para reconocer la falta de acotación es la siguiente. Si en cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de una variable no básica son no positivos, entonces el espacio de solucionesno está acotado en esa dirección. Además, si el coeficiente de la función objetivo de esa variable es negativo en el caso de la maximización o positivo en el caso de la minimización, entonces elvalor de la función objetivo está acotado. SOLUCION INFACTIBLE Si las restricciones no se pueden satisfacer en forma simultanea, se dice que el modelo no tiene solución factible. Esta situación nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo (suponiendo constantes no negativas en el segundo miembro) ya que la variable de holgura produce siempre alguna solución factible. Sin embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables artificiales que, por su mismo diseño, no ofrecen una solución factible al modelo original. Aunque se toman medidas (a través del uso de la penalización) para hacer que las variables artificiales sean cero en el nivel óptimo, esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene un espacio factible. Si no lo tiene, cuando menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima. Esta es nuestra indicación que el problema no tiene solución factible. Desde el punto de vista practico un espacio infactible apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya formulado correctamente en virtud de que las restricciones estén en conflicto. También es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en forma simultanea, en este caso, quina se necesite una estructura del modelo totalmente deferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo. Tabla 3-4

Ejemplo de espacio de solución infactible Maximizar z = 3x1 + 2x2 Sujeto a 2x1 + x2 £ 2 3x1 + 4x2 ³ 12 x1, x2 ³ 0

Las iteraciones simplex de la tabla 3-4 muestran que la variable artificial R es positiva (= 4) en la solución óptima. Esta es una indicación de que el espacio de soluciones es infactible. La figura 3-7 muestra el espacio de soluciones infactible. El método simplex, haciendo posible que la variable artificial sea positiva, ha invertido en esencia la dirección de la desigualdad de 3x1+ 4x2 ³ 12 a 3x1 + 4x2 £ 12. El resultado lo podemos llamar la solución pseudoóptima, como se muestra en la figura 3-7.

Figura 3-7