Casos Especiales de Programación Lineal

Casos Especiales de Programación Lineal

1.

Problemas Degenerados: Degenerados: Dado el siguiente Problema Lineal Max(z)= 10x1 + 6x2 s.a: 8x1 + 4x2 ≤ 24 8x1 + 2x2 ≤ 20 2x1 + 2x2 ≤ 8 x1 , x2 ≥ 0

Si analizamos su solución grafica:

A

Funcion objetivo

Podemos observar que el vértice optimo esta formado por la intersección de 3 restricciones (esta sobredefinido). Esto hace que en dicho punto punto se anulan mas de n-m variables y por lo tanto que la solución sea degenerada  Numero de variables de este problema: n= 5  Numero de restricciones: m: 3

En el punto A: x1= 2 x2 = 2

n-m=2 Existen mas de 2 variables nulas.

S1 = 0 S2 = 0 S2 = 0

2.

Infinitas Soluciones: Para el siguiente Problema Lineal Max(z)= 8x1 + 4x2 s.a: 7x1 + 7x2 ≤ 49 10x1 + 5x2 ≤ 50 x1 , x2 ≥ 0

Si analizamos su solución grafica

A

B

Z optimo

En este problema podemos observar que la función objetivo (curva de isoutilidad), es paralela a una de las restricciones limitantes del problema, por lo que esto hace que existan dos vértices de la región factible que son óptimos, el A y el B, al tener estas dos soluciones factibles, podemos realizar combinaciones lineales convexas y obtener los restantes puntos que forman el segmento. Obteniendo infinitas soluciones que le dan a la función objetivo el valor optimo.

3.

Problemas no acotados: Para el siguiente Problema Lineal

Max(z)= 8x1 + 2x2 s.a: 4x1 + x2 ≥ 60 2x1 ≤ 40 x1 , x2 ≥ 0

Z crece indefinidamente

En este caso el polígono de solución es abierto, y Z crece indefinidamente dirigiéndose hacia la zona no acotada sin llegar nunca al óptimo

4.

Problemas Inconsistentes: Dado el siguiente Problema Lineal

Max(z)= 20x1 + 30x2 s.a:

10x1 + 5x2 ≤ 150 5x1 + 6x2 ≤ 100 x2 ≥ 100

x1 , x2 ≥ 0

Gráficamente:

Podemos observar que no se ha podido formar la región factible, por lo que el sistema de restricciones es incompatible.

EN TABLAS DE SIMPLEX PROBLEMAS DEGENERADOS La degeneración puede ocurrir en el Método Simplex durante el proceso de pivoteo cuando se tiene un empate al determinar la variable que debe salir de la base, es decir cuando se produce un empate en el valor de θ (theta).

Esto significa que al pasar a la tabla siguiente se anularán más de una variable por lo que en la  base existirá una variable con valor nulo y por lo tanto la solución tendrá más de (n-m) valores de las variables nulos y la solución será posible básica degenerada. Cabe aclarar que la solución que corresponde a la tabla en la que se verifica el empate, no es degenerada, sino que lo será la siguiente. Esta situación no impide que se llegue a la s olución óptima.

c j Base x1

Solución 30

5 x1 1

8 x2 1,5

0 x3 2

0 x4 0

0 x5 0

30/1,5=20*

0

x4

200

0

10

1

1

0

200/10=20*

0

x5 Z j

50 Z0 130 c j - z j

0 5 0

2 7,5 0,5

0 10 - 10

0 0 0

1 0 0 * empate

50/2=25

cb 5

Al existir el empate, arbitrariamente se elige la variable que sale de la base.

La tabla siguiente será c j Base x1

Solución 0

5 x1 1

8 x2 0

0 x3 1,85

0 x4 -0,15

0 x5 0

8

x2

20

0

1

0,1

0,1

0

0

x5 Z j

10 z0 160 c j - z j

0 5 0

0 8 0

-0,2 10,05 -10,05

-0,2 0,05 -0,05

1 0 0

Cb 5

Esta solución es básica degenerada porque tiene más de (n-m) valores de las variables nulos.

x1

0

x2

20

x3

=

0

x4

0

x5

10

INFINITAS SOLUCIONES Se produce cuando las contribuciones marginales netas de una solución posible básica son iguales a cero para las variables básicas y de las no básicas, sólo queda como alternativa posible una que es igual a cero.

x1

Solución 8

10 x1 1

20 x2 0

0 s1 40

0 s2 -20

0 S3 0

20

x2

14

0

1

-20

20

0

0

s3 Z j

5 z0 360 c j - z j

0 10 0

0 20 0

-3 0 0

1 200 -200

1 0 0

Cb 10

c j Base

La contribución marginal neta de s 1 es igual a cero, lo que significa que por producir una unidad de esta variable (en realidad generar una unidad excedente de recurso, porque es una variable de holgura), el beneficio no varía pero sí cambia la solución. Esto significa que podemos incorporarla a la base, obtenemos una solución distinta a la anterior  que le da a Z el mismo valor y sabemos por el Teorema II, que la combinación lineal convexa de las mismas dará a Z el mismo valor, por lo tanto el problema tiene infinitas soluciones. Gráficamente se visualiza cuando la recta de la función objetivo es paralela a una arista del  polígono de solución.

PROBLEMAS NO ACOTADOS Se presenta cuando los λij del vector columna de la variable que entra a la base son negativos y/o nulos, por lo que al hacer el cociente para determinar la variable que sale de la base (procedimiento para calcular  θ (theta)), éste es infinito. Como vimos en el teorema fundamental del Simplex, en casos como estos la función objetivo puede aumentar sin cota y esta situación no es realista en la práctica, en este caso se debe parar el proceso y el problema no tiene solución.

cb

c j Base

Solución

3 x1

1 x2

3 1

0 x3

0 x4

x1

1

1

0

-1

0

x2

2

0

1

0

-1

Z j

z0 5 c j - z j

3 0

1 0

-3 3

-1 1

 No se plantea el cociente

2/0 = ∞

Debemos recordar que para calcular  θ (theta) los valores negativos de λij no son tenidos en cuenta porque las variables no pueden ser negativas ya que θ (theta) en definitiva es el valor al cual ingresa la variable no básica a la base.

PROBLEMAS INCONSISTENTES En la tabla del simples un problema inconsistente se identifica cuando, en el cuadro optimo ha quedado en la base una variable artificial con un valor distinto de cero.

Por ejemplo para el siguiente problema de mínimo:

Cb 10

c j Base X3

Solución 5,5

4 x1 -1,5

6 x2 0

0 s1 1

0 s2 0

M A1 0

M

A1

42

-4

0

0

-1

1

0

X2 Z j

5 30+42M c j - z j

0 6-4M -2+4M

1 6 0

0 0 0

0 -M M

0 M 0

Estamos en el cuadro optimo ya que todos los cj-zj son mayores o iguales a cero y en la bese nos queda una A1 con un valor de 42