Caso de Estudio 3 - Taller Grupal - G2 - P3

 

UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICAS FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS APLICADAS  –  ALGREBRA  ALGREBRA LINEAL

CASO DE ESTUDIO ALGEBRA LINEAL P1 -MATZ0221 PROGRESO 3

Tema: Gráficas y transformaciones lineales.

Autores G2: María Luisa Samaniego Arcos Joel Didier Loachamin Punina Luis Ismael Cadena Villacrés Armas Torres Mateo Nicolás

Carrera: Ingeniería en electrónica y automatización

Docente: Marcelo Alejandro Almeida

Fecha: 17-07-2022

Semestre: 202220

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Índice Introducci Intro ducción: ón: ............................................ ................................................................... ............................................ ............................................ ........................................ ................. 4 Objetivo y marco teórico: teórico: ............................................ ................................................................... ............................................ .......................................... ..................... 5 Desarrollo: Desarr ollo: ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ........................................... ..................... 8 Discusión: Discus ión:.......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ............................................. ...................... 25 Conclusiones Conclu siones:: ........................................... .................................................................. ............................................ ............................................ ...................................... ............... 27 Referencias: Refere ncias: .......................................... ............................................................... ............................................ ............................................. ......................................... ................... 28

2

 

Índice de Figuras Figura 1 Dos expans expansiones iones .................................. ........................................................ ............................................ ............................................. ................................ ......... 6 Figura 2 Dos compresiones compresiones .......................................... ................................................................. ............................................ .......................................... ..................... 7 Figura 3 Reflexión Reflexión respecto respecto al eje x ............................................. ................................................................... ............................................ ............................ ...... 8 Figura 4 Reflexión Reflexión respecto al eje y....................................................... y.............................................................................. ........................................ ................. 8 Figura 5 Reflexión Reflexión respecto al eje y=x ................................................ ....................................................................... ........................................... .................... 8 Figura 6 Dos cortes cortes respecto respecto al eje x ......................... ............................................... ............................................. ............................................. ........................ .. 9 Figura 7 Dos cortes a lo largo del eje y ..................................... ........................................................... ............................................. ................................ ......... 9 Figura 8 Imagen original original ............................... ...................................................... .............................................. ............................................. ................................... ............. 9 Figura 9 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto ........................................ 19 Figura 10 Imagen con la expansión en forma vertical al doble y en forma horizontal triple. .......... 19 Figura 11 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto ...................................... 20 Figura 12 Imagen con la compresión realizada en base a su imagen principal con las constantes asignadas asignad as .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ............................................. ...................... 21 Figura 13 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto ...................................... 22 Figura 14 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje y ............. 22 Figura 15 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto ...................................... 23 Figura 16 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje x ............. 23 Figura 17 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto ...................................... 24 Figura 18 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje x ............. 24 Figura 19 Imagen con las transformaciones que permiten un corte de manera vertical ................. 25 Figura 20 Imagen con las transformaciones que permiten un corte de manera vertical ................. 26 Figura 21 Imagen Imagen de la gráfica gráfica original.................. original......................................... ............................................ ............................................ ........................... .... 26

3

 

4

 

Introducción

El Álgebra Lineal es una de las más importantes disciplinas matemáticas enseñadas a nivel universitario, sin embargo, es común que se le considere difícil de aprender o enseñar. En la enseñanza de esta materia podemos identificar un tipo de enfoque como el más difundido, aquel que privilegia el formalismo y la estructura axiomática axiomática de la disciplina. Las transformaciones lineales tienen aplicaciones importantes en el mundo de los gráficos por computadora. Aunque los matemáticos observan una transformación lineal como una manipulación de vectores en un plano, los diseñadores gráficos lo miran como una manipulación de píxeles en una pantalla de una computadora. En el caso de las transformaciones lineales, uno de los principales temas de un curso de Álgebra Lineal, los estudiantes tienen dificultades para reconocerlas en distintos registros de representación, para distinguir entre transformaciones lineales y no lineales o incluso para concebir la existencia de transformaciones no lineales. También sucede que, al establecer la conexión con la geometría de los conceptos vistos previamente de manera abstracta, se usan ejemplos triviales, lo cual conduce a la identificación de las transformaciones lineales con movimientos geométricos simples. Es por eso que se va a realizar una investigación a cerca de los usos y enfoques que se les pueden dar a los mismos, a través de un problema aplicado impartido por el Ingeniero a cargo de la materia. Objetivo General

Desarrollar los problemas planteados en el proyecto integrador, que tienen como base encontrar la solución a la problemática planteada a través del análisis de las transformaciones lineales, con la ayuda de algunos métodos y procesos impartidos por el Ingeniero durante este progreso. Marco teórico Creación de una figura 

Una figura que se quiere graficar se describe utilizando una matriz que contiene los puntos importantes en la figura y una matriz que contiene información sobre los puntos que deben conectarse con segmentos de recta. La matriz de puntos 

La matriz de puntos es una matriz de 2xn, donde n es el número de puntos; el primer renglón c oordenadas y  de los puntos. contiene las coordenadas x  y el segundo las coordenadas 5

 

La matriz de líneas 

La matriz de líneas es una matriz de 2xm, donde m es el número de líneas. Cada elemento es el número de una columna de la matriz de puntos. La información indica que los dos puntos a los que se hace referencia en una columna de la matriz ma triz de líneas deben conectarse por un segmento de recta. Por ejemplo, para describir el rectángulo de la siguiente figura

La matriz lns dice que el punto 1, (0, 0), (columna 1 de pts) está conectado con el punto 2, (2, 0), (columna 2 de pts); el punto 2 está conectado con el punto 3, (2, 3), (columna 3 de pts); el punto 3 está conectado al punto 4, (0, 3), (columna 4 de pts), el punto 4 está conectado con el punto 1 y finalmente el punto 2 está conectado con el punto 4.

: :  →  

 

Ahora, Sea una transformación lineal y si el producto matricial una es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una un a o más transformaciones lineales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones, cortes.   Expansiones a lo largo de los ejes  x o y  

Una expansión a lo largo del eje x  es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x  de 2 

un vector en R por una constante c >1.

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y  de todo vector en R2 por una constante c onstante c >1. Como antes

Figura 1 Dos expansiones  expansiones  

Compresión a lo largo de los ejes  x o y  

6

 

Una compresión a lo largo de los ejes  x  o y  es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x  o y  de un vector en R2 por una constante positiva c < 1. La representación matricial de una compresión es la misma que para una expansión, excepto para la compresión 0 < c < 1 . En la figura 2 se ilustran dos compresiones

compresiones   Figura 2 Dos compresiones 

Reflexiones

Existen tres tipos de reflexiones que serán de interés. La transformación

refleja al vector en La transformación

refleja al vector en



 respecto al eje x.



  respecto al eje y.

Y por último la transformación

que intercambia x y y tiene el efecto de reflejar un vector en



 respecto a la recta x = y 

7

 

Figura 3 Reflexión respecto al eje x

Figura 4 Reflexión respecto respecto al eje y

Figura 5 Reflexión respecto respecto al eje y=x

Cortes

Un corte a lo largo del eje x es donde una transformación que toma al vector nuevo vector

 +        +

 , donde c es una constante diferente de cero.

Un corte a lo largo del eje y es donde una transformación que toma el vector nuevo vector

 , donde c es una constante diferente de cero.

 

 y lo convierte en un

 y lo convierte en un

8

 

Figura 6 Dos cortes respecto al eje x

Figura 7 Dos cortes a lo largo del eje y

Desarrollo y Análisis de Resultados

Dado el siguiente gráfico, se pide

Figura 8 Imagen original  

9

 

a) a)   Escriba las correspondientes transformaciones lineales y que permiten realizar expansiones del anterior gráfico a lo largo del eje x y del eje y.   Una expansión a lo largo del eje x  es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x  de un vector en R2 por una constante c >1. Por lo tanto: •

  =  

 

  Teniendo en cuenta que las coordenadas de la figura son las siguientes:        

•

  = 4,3,1,321  = 2,6

  Para iniciar con la expansión, se va a aplicar la formula y se le va a asignar a la variable c tres valores distintos. Se realizarán transformaciones lineales para cada coordenada. En este caso se tendrán los siguientes sig uientes valores para c. Cuando c=2, c=3, c=4. Entonces nos queda de la siguiente sigui ente manera:

•

EXPANSIONES A LO LARGO DEL EJE X

=2

 

 2 2   ⇒   = (2 ) = 261  ⇒   = (2 ) = 83  ⇒   = (2 ) = 46 =3   ⇒   = (3 ) = 32  ⇒   = (3 ) = 91  3 12  ⇒   = (3 ) =  63  =4   ⇒   = (4 ) = 42  ⇒   = (4 ) = 121   ⇒   = (4 ) = 163   ⇒   = (4 ) = 86  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

EXPANSIONES A LO LARGO DEL EJE Y

10

 

  Una expansión a lo largo del eje y  es una transformación lineal que multiplica a la coordenada y  de un vector en R2 por una constante c >1. Por lo tanto:

•

  =      == 3,1,21

 

  Teniendo en cuenta que las coordenadas de la figura son las siguientes:        

•

 = 4,2,36

  Para iniciar con la expansión, se va a aplicar la formula y se le va a asignar a la variable c tres valores distintos. Se realizarán transformaciones lineales para cada coordenada. En este caso se tendrán los siguientes sig uientes valores para c. Cuando; c=2, c=3, c=6. Entonces nos queda de la siguiente sigui ente manera:

•

 =   ⇒    = 2   = 14  ⇒   = 2   = 32  ⇒   = 2 2   = 46 2  ⇒   = 2 = 12  =   ⇒    = 3   = 16  ⇒   = 3   = 33  ⇒   = 3   = 49     2  =⇒  = 3 3 = 18 18   ⇒    = 6   = 12 1   ⇒   = 6   = 36  ⇒   = 6   = 16 4   ⇒   = 6   = 36 2   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

b) b)   Escriba las correspondientes transformaciones lineales y que permiten realizar compresiones del anterior gráfico a lo largo del eje x y del eje y.  11

 

  Una compresión a lo largo de los ejes  x  o y  es una transformación lineal que multiplica a la coordenada  x  o y  de un vector en R2 por una constante positiva c < 1. La representación matricial de una compresión es la misma que para p ara una expansión, excepto para la compresión 0 < c < 1. Por lo tanto, se tiene que:

•

  =  

 

  Teniendo en cuenta que las coordenadas de la figura son las siguientes:

•

  = 3,1,21  == 4,2,36

          Para realizar las compresiones en el eje x se van a tomar valores distintos para c, en donde, c=1/5, c=1/6, c=1/7. De esta manera se cumple que: 0 < c < 1.

•

COMPRESIONES A LO LARGO DEL EJE X

 =       ⇒    =    =    ⇒   =   = 21     ⇒   =   = 3     ⇒   =   = 6  =       ⇒   =   = 2     ⇒    =    =    ⇒   =   = 31     ⇒   =   = 6  =       ⇒   =   = 2     ⇒   =   = 1     

   

   

 

   

   

 

   





 

 ⇒   =    = 3 12

 

    ⇒   =   = 6

 

COMPRESIONES A LO LARGO DEL EJE Y

 = 

 

   1   ⇒⇒   == (( )) == 3    4  ⇒   = ( ) =   ⇒   = ( ) = 2  =         ⇒   = ( ) = 1   3  ⇒⇒   == (( )) == 4          ⇒   = ( ) = 2

   

   

 

   

   

c) c)   Escriba las correspondientes transformaciones lineales y que permiten realizar reflexiones del anterior gráfico respecto al eje y, respecto al eje x y respecto a la recta     Para realizar las reflexiones respecto a eje y se s e debe tener en cuenta la siguient siguientee formula:

= 

•

  = −  

 

qu e se procede a hacer es realizar r ealizar las transformaciones lineales   Por lo tanto, lo que correspondientes:

•

REFLEXIONES RESPECTO AL EJE Y:

  ⇒   = −   = −12    ⇒   = −   = −31  

 

 ⇒   = −   = −43  

 

  13

 

 ⇒   = −   = −26  

 

REFLEXIONES RESPECTO AL EJE X:

  Para realizar las reflexiones respecto a eje y se s e debe tener en cuenta la siguiente formula:

•

     = − −

 

  Por lo tanto, lo que se procede a hacer es realizar las transformaciones lineales correspondientes:

•

  ⇒   = −    = −2  1   ⇒   = −    = −1 3   ⇒   = −    = −3  4   ⇒   = −    = −6 2 

   

   

REFLEXIONES RESPECTO AL EJE X=Y:

  Para realizar las reflexiones respecto a eje y se debe tener en cuenta la siguiente formula:

•

  = 

 

  Por lo tanto, lo que qu e se procede a hacer es realizar r ealizar las transformaciones lineales correspondientes:

•

  ⇒   =  = 21  ⇒   =  = 13

   

 ⇒   =  = 346  ⇒   =  = 2

   

d) d)   Escriba las correspondientes transformaciones lineales y que permiten realizar cortes del anterior gráfico respecto al eje x y respecto al eje y.    Para realizar las reflexiones respecto a eje x se debe tener en cuenta la ssiguiente iguiente formula: •

     =  

 

  Se debe tomar en cuenta que para desarrollar d esarrollar esta fórmula lo que se debe hacer es asignar valores a la variable c, que se va a multiplicar dentro de la fórmula para

•

determinar las diferentes transformaciones lineales 14

 

  Por lo tanto, lo que qu e se procede a hacer es realizar r ealizar las transformaciones lineales correspondientes:

•

TOMANDO VALORES NEGATIVOS PARA C

 = −2   ⇒   =     = −3   ⇒   =      = 112  ⇒   =    = −23     ⇒   =      = −106     = −1   ⇒   =    = −12    ⇒   =      = 2  ⇒   =    = 31  ⇒   =      = −46    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TOMANDO VALORES POSITIVOS PARA C

 =2   ⇒   =    = 52  ⇒   =      = 51  ⇒   =    = 10143   ⇒   =      =  6   =3   ⇒   =    = 72  ⇒   =      = 61  ⇒   =    = 133   ⇒   =      = 206   

 

 

   

 

 

 

 

  15

 

  Para realizar las reflexiones respecto a eje y se debe tener en cuenta la siguiente formula:

•

  =   

 

  Se debe tomar en cuenta que para desarrollar d esarrollar esta fórmula lo que se debe hacer es asignar valores a la variable c, que se va a multiplicar dentro de la fórmula para determinar las diferentes transformaciones lineales   Por lo tanto, lo que se s e procede a hacer es realizar reali zar las transformaciones lineales correspondientes:

•

•

CORTES RESPECTO AL EJE Y:

Se toma a c con valores negativos:

 = −2   ⇒   =     = 10  ⇒   =    = −5  9   ⇒   =     = −5 4   ⇒   =    = 2  = −1   ⇒   =     = 11  ⇒   =    = −2  3   ⇒   =     = −1 4   ⇒   =    = 24  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se toma a c con valores positivos:

 =2   ⇒   =     = 14  ⇒   =    = 37  ⇒   =     = 11 4   ⇒   =    = 10 2   =3   ⇒   =     = 15  

 

 

   

 

 

16

 

 ⇒   =    = 10 3   ⇒   =     = 15 4   ⇒   =    = 12 2 

 

   

e) e)   Determine las representaciones matriciales de las anteriores transformaciones lineales.   Para desarrollar esta parte de la problemática lo que se debe hacer es verificar llos os literales anteriores en relación a las transformaciones lineales que se hicieron, con la finalidad de crear matrices según lo que queramos representar.   Al momento de crear matrices, se va a contar con matrices de puntos y de líneas. En este momento se va a presentar las matrices para cada transformación lineal que se hizo.

•

•

MATRICES QUE REPRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE ENSANCHA

 = 32  = 22 61 83 46 ;   = 12  = 16  = 14 23 64 122 ;   = 12

91 23

132 66 ;   = 42 121 163 86 34 41 31

 

 

MATRICES QUE REPRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE ALARGA

33 23

49 128 ;   = 12 1 36 164 362  34 41 31

 

 

MATRICES QUE SE PRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE COMPRIME A LO ANCHO

1/6 3/6 4/6 2/6 3/5 4/5 2/5    ;    =   = 1/5 2 1 1/73 3/76 4/7 2/72 1 3 6  ; =  2 1 3 6   = 1 2 3 4 3 23411  

 

MATRICES QUE SE PRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE COMPRIME A LO LARGO

  1 1/53 3/54 6/52 )   1 1/43 3/44 3/22 ) ;   = (2/5  = (1/2  = 12 23 34 41 31

 

 

MATRICES QUE SE PRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE REFLEJA: RESPECTO AL EJE X

 = 1-21 -13 -34 -6 -62 

  17

 

RESPECTO AL EJE Y

 = 12 31 43  = 21 13 34

RESPECTO A LA RECTA X=Y

26 62

 

 

 = 12 23 34 41 31  = -12 12 13 -46   = -32 11 -23 -106  ;  ;   = 12 23 34 41 31  = 72 61 133 206   = 32 51 103 146  ;  12343  = 2 3 4 1 11  

MATRICES QUE SE PRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE CORTA EN EL EJE X

 

 

 

 

MATRICES QUE SE PRESENTAN CUANDO LA IMAGEN SE CORTA EN EL EJE Y

 = 11 -23 -14  = 10 -53 -54 22 ;   = 12 23 34 41 31  = 15 103 154  = 14 73 114 102  ;   = 12 23 34 41 31

24

 

 

212

 

 

f)  f)  Represente la expansión del gráfico de la figura 8, en forma vertical al doble y en forma horizontal triple.   Para realizar este inciso lo que se hace es considerar dos variables que van a ser; c1=2 y c2=3, luego, se reemplaza en las transformaciones para encontrar las matrices m atrices de puntos: •

c2) = 34   ⇒   = (c1 c2) = 92  ⇒   = (c1  c2 12  ⇒   = (c1 c1)) =  6   

 

 

18

 

c2) = 12 6   ⇒   = (c1

 

Matrices de puntos y líneas:

 = 34 92 12162 1 62 12343  = 2 3 4 1 11  

 

Figura 9 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto

Figura 10 Imagen con la expansión en forma vertical al doble y en forma horizontal triple.

g)  g)  Represente la compresión del de la figura 8, en forma vertical a la mi mitad tad y en forma horizontal a la quinta parte.   Para este literal se deben tomar en cuenta varios datos, como que, las transformaciones dadas van a ser para formar una compresión.   Ahora se debe tomar en cuenta que, se debe tener una compresión vertical a la mitad y una compresión horizontal a la quinta parte, por lo tanto, se tiene que:

•

•

19

 

1 = 1/2 2 = 1/5

   

  Eso quiere decir que se van a utilizar dos constantes que van a ser c1 y c2, las mismas serán reemplazadas en cada una de las transformaciones:

•

  ⇒    = (c2) = 1/5   c2) = (3/5  ⇒   = (c1 c1 1/21 ) 4/5 ) = (  ⇒   = (c2 c1 3/2) c2) = 2/5    ⇒   = (c1 3

   

   

Matrices de puntos y líneas:

3/5 4/5 2/5  = (1/5 1 1/2 3/3/2 3   ) 12343  = 2 3 4 1 11

 

 

Figura 11 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto

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Figura 12 Imagen con la compresión realizada en base a su imagen principal con las constantes asignadas

h) h)   Represente la reflexión de la figura 8, respecto al eje y, respecto al eje x y respecto a la recta  

 =

  Para este literal se deben tomar en cuenta varios datos, como que, las transformaciones dadas van a ser para formar unas reflexiones.

•

Ahora se debe tomar en cuenta que, se deben tener reflexiones respecto al eje y,   respecto al eje x y respecto a la recta x=y

•

REFLEXION RESPECTO AL EJE Y

  ⇒    = - = -12  ⇒   = - = -31  ⇒   = - = -43  ⇒   = - = -26

   

   

Matrices de puntos y líneas:

 = -12 -31 -43 -26   = 12 23 34 41 31  

 

21

 

Figura 13 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto

Figura 14 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje y REFLEXION RESPECTO AL EJE X  

  ⇒    = -  = -21   ⇒   = -  = -13   ⇒   = -  = -34   ⇒   = -  = -62 

   

   

Matrices de puntos y líneas:

 = -21 -13 -34 -62   = 121 23 34 41 31

    22

 

Figura 15 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto

Figura 16 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje x

REFLEXION RESPECTO A LA RECTA X=Y

  ⇒    = yx = 21  ⇒   = yx = 13  ⇒   = yx = 34  ⇒   = yx = 62

   

   

Matrices de puntos y líneas:

 = 221 13 34 62

  23

 

 = 12 23 34 41 31

 

Figura 17 Imagen original con las coordenadas del problema propuesto

Figura 18 Imagen con las transformaciones que permiten una reflexión respecto al eje x

Represente los cortes de la figura 8, en forma vertical en 4 unidades y en forma vertical en -2 unidades.   Para resolver este literal se deben tener en cuenta los datos que se nos dan en el ejercicio, por lo que se sabe que se va a trabajar con variables definidas para c.   Se debe tener en cuenta que los dos cortes que se van a realizar son en forma vertical:

•

•

Cuando c toma el valor de 4

  ⇒    = c x y y = 1  ⇒   = c x y y = 6131 33  

  24

 

 ⇒   = c x y y = 19 4   ⇒   = cx  y y = 14 2 

   

Matrices de puntos y líneas:

 = 1 3 4 2   = 612 1323 341941 1431

 

 

Figura 19 Imagen con las transformaciones que permiten un corte de manera vertical

Cuando c toma el valor de -2

  y   ⇒⇒    == cx  y y == 103  cx  y -5  ⇒   = c x y y = -54   ⇒   = cx  y y = 22  

 

 

 

Matrices de puntos y líneas:

 = 10 -53 -54 22  = 1 2 3 4 3 23411  

 

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Figura 20 Imagen con las transformaciones que permiten un corte de manera vertical

Discusión y Explicación

Para este proyecto integrador se nos planteó una gráfica, la misma que fue construida a partir de dos matrices asociadas a la misma. Se conocen matrices m atrices de puntos y matrices de líneas, las mismas que darán forma a la gráfica. Entonces, cabe recalcar que cada una de las transformaciones lineales va a estar dada a partir de la grafica original que se adjunta.

Figura 21 Imagen de la gráfica original

La misma contará con los siguientes puntos para sus vértices:

  == 3,1,21  = 4,2,36

       

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Para el desarrollo del caso de estudio se utilizaron varios conceptos asociados al Algebra Lineal, específicamente se trato a cerca de las Transformaciones Lineales, las mismas que durante toda la resolución del proyecto integrador nos sirvieron para organizar la información y tener una mejor perspectiva de como funcionan las gráficas asociadas a cada una de las transformaciones, es por eso que, también se usaron las matrices que fueron creadas a partir de las ya mencionadas transformaciones. Durante el desarrollo se presentaron términos como compresiones, ampliaciones, cortes, y reflexiones que se hallaron mediante el uso de formulas presentadas en el documento guía. guía . Como resultados y análisis de datos contamos con las imágenes presentadas en los literales de desarrollo. Se presentan las formas para conseguir cada una de las formas para realizar las transformaciones lineales y realizar graficas sobre compresiones, ampliaciones, cortes, y reflexiones: Para realizar expansiones a lo largo de los ejes x e y se tuvo que aplicar la siguiente formula:

Para realizar compresiones a lo largo de los ejes x o y se aplicaron las siguientes formulas, con la diferencia de que las constantes deben ser menores a 1 y mayores mayo res a 0:

Para realizar reflexiones se debe tener en cuenta que existen tres tipos de las mismas, pues se pueden realizar respecto al eje x, respecto al eje y, y respecto a la recta x=y Existen tres tipos de reflexiones que serán de interés. La transformación

refleja al vector en La transformación



 respecto al eje x.



refleja al vector en   respecto al eje y. Y por último la transformación

que intercambia x y y tiene el efecto de reflejar un vector en



 respecto a la recta x = y 

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Conclusiones

  De acuerdo a los resultados obtenidos, a través de las transformaciones lineales, se puede obtener imágenes semejantes a la original, ya sea cuando ésta se expanda, comprima o corte, siendo prescindible escoger el o los valores apropiados cuando se trate de ejecutar el proceso matemático.   Al momento de comprimir la imagen ya sea en “x” o en “y”, es necesario tomar en cuenta el valor fraccionario por el cual se realizará la multiplicación, multipl icación, puesto que se deberá considerar

•

•

que dicho valor tendrá que estar entre el 0 y el uno, más no podrá ser mayor a aquellos, con el fin de que aquella se reduzca r eduzca n veces. Puesto que, si es mayor, la imagen se expandirá y no se conseguirá el resultado requerido.   Al momento de realizar los cortes, se tendrá que tener en cuenta la dirección en la cual se efectuarán debido a que si se considera el ejecutar las operaciones en el lado que no es, los resultados a obtenerse no serán los requeridos, ni los l os establecidos por el docente.   Cuando se expande la imagen, se puede observar según los resultados, que ésta se ensancha o se alarga, dependiendo de los ejes en los cuales se halla efectuado las operaciones.   Respecto a las reflexiones realizadas se puede apreciar que cuando la coordenada en “y” toma un valor negativo, la imagen i magen se mueve en sentido vertical, cambiando de posición, tal y como se muestra en el literal h, en donde también se muestran las reflexiones en relación a “x” y cuando éste toma el valor de “y”.     Referente a los cortes, la imagen cambia drásticamente drás ticamente su forma inicial, pues dependiendo de los valores a tomarse para el cálculo de las coordenadas se obtendrá distintos resultados, tal y como se indica en el literal i.

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Referencias

Beezer, R. (2013). Un primer curso en álgebra lineal. Recuperado el 4 de Mayo de 2022, de https://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/egonjor/files/2013/04/matrices.pdf Hefferon, J. (2013). Álgebra lineal. Recuperado el 4 de Mayo de 2022, de https://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/ecoblog/egonjor/files/2013/04/matrices.pdf Matrices. (2019, 14 junio). Academic. https://academic.uprm.edu/eacuna/lec3comp.pdf Castaño-Chica, G. J. (2014). Lección de Álgebra Lineal# 30 Utilidad de la factorización QR. Gimenez Palomares, F. (2020). Factorización QR de una matriz. Kolman, B., & Hill, D. R. (2006). Álgebra lineal. Pearson Educación. Miranda, S. A. C., & Laverde, J. G. T. (2021). El problema de los mínimos cuadrados con restricciones de igualdad mediante la factorización QR generalizada. Selecciones Matemáticas, 8(02), 437443. Ajuste por mínimos cuadrados (2022). Recuperado en junio 15, 2022, de https://ocw.unican.es/pluginfile.php/1593/course/section/2045/Ajuste%20por%20mini mos%20cuadrados.pdf

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