Cartografia Aplicada Versão 2014_2

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

SUMÁRIO 1. Introdução ............................................ ................................................................... .............................................. .............................................. ...................................... ............... 5 1.1 Definições ........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ............................... ........ 5 1.2 Generalidades sobre Cartas. .......................................................... ................................................................................. .................................. ........... 5 1.3 Características das Cartas ...................................... .............................................................. ............................................... .................................. ........... 8 1.4 Classificação ........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ........................... .... 8 1.4.1 Quanto à finalidade (ABNT*) ........................................... .................................................................. .......................................... ................... 8 1.4.2 Classificação segundo s egundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG)........... 9 2. Processo Cartográfico ............................................ ................................................................... .............................................. ........................................ ................. 10 2.1 Aquisição de Mapas .............................................. ...................................................................... ............................................... ................................ ......... 10 3. Superfícies de referência ref erência usadas em cartografia. carto grafia. ......................................... ................................................................ ........................... 14 3.1 Superfície de referência geoidal .................................... ........................................................... .............................................. ........................... 14 3.2 Superfície de referência esférica .......................................................... ................................................................................. ........................... 15 3.3 Superfície de referência elipsoidal ................................................... .......................................................................... ............................. ...... 15 3.4 O relacionamento entre as superfícies física, fís ica, geoidal e elipsoidal. ............................... ............................... 16 4. Sistemas de Referência ........................... .................................................. ............................................... ............................................... ................................ ......... 17 4.1 Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas .............................................. .................................................... ...... 17 4.2 Latitudes Geocêntrica e Reduzida. ............................................ ................................................................... .................................... ............. 18 4.3 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. Tridimensionais .............................................. ................................................. 19 4.4 Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. ..................................... ..................................... 20 4.5 Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas ...................................... ...................................... 21 5. Datum. ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ........................................ ................. 21 5.1 Datum Horizontal ........................................... .................................................................. .............................................. ........................................ ................. 21 5.2 Mudança de Datum. .............................................. ..................................................................... ............................................... ................................. ......... 24 5.2.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais ...... 24 5.2.2 Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas ...... 25 5.3 Datum vertical. ........................................... .................................................................. .............................................. ............................................ ..................... 26 6. Projeções Cartográficas ................................................................. ........................................................................................ ........................................ ................. 26 6.1 Introdução ........................................... .................................................................. .............................................. .............................................. ............................. ...... 26 6.2 Superfícies de projeção ............................................. .................................................................... .............................................. ............................. ...... 27 6.3 Introdução ao conceito de distorção .............................................. ..................................................................... ................................ ......... 28 6.3.1 Escala principal. ............................................. .................................................................... .............................................. .................................... ............. 30 6.3.2 Escalas particulares ........................................... ................................................................... ............................................... ................................ ......... 30 6.3.3 Fator de deformação ao longo lo ngo dos meridianos (h). ............................................. ................................................... ...... 32 6.3.4 Fator de deformação ao longo dos paralelos pa ralelos (k). (k ). ............................. .................................................... ........................... 33

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6.3.5 Elipse das distorções ou Indicatriz Indi catriz de Tissot ...................................................... ............................................................ ...... 34 6.3.6 Fator de deformação máximo m áximo (a) e mínimo mí nimo (b) ...................................................... .......................................................... 36 6.3.7 Fator de deformação de área (p). ............................................... ...................................................................... ................................ ......... 37 6.3.8 Fator de deformação angular máximo (ω). .............................................. ............................................................... ................. 37 6.3.9 Propriedades especiais das projeções .................................... ........................................................... .................................... ............. 39 6.4 Projeções Azimutais .............................................................. ..................................................................................... ........................................ ................. 41 6.5 Projeções cônicas ........................................... .................................................................. .............................................. ........................................ ................. 41 6.6 Projeções Cilindricas ............................................................. .................................................................................... ........................................ ................. 42 7. Análise de uma projeção proj eção sob a ótica da teoria teori a das distorções. ............................................ ................................................ 46 8. Sistemas de Coordenadas Planas (quadriculado (quad riculado e reticulado) reticul ado) ..................................... .............................................. ......... 57 9. A Projeção Universal Transversa de Mercator (UTM) ............................................ ......................................................... ............. 58 9.1 As projeções TM ........................................................... .................................................................................. .............................................. ........................... 58 9.2 Transformação de coordenadas Geográficas para TM............................................ .................................................. ...... 59 9.3 Transformação de coordenadas TM para Geográficas ............................................ .................................................. ...... 61 9.4 Modificação das coordenadas TM em UTM, RTM e LTM .......................................... .......................................... 63 9.5 O Sistema UTM ( Universal Univ ersal Transversa Transvers a de Mercator) ........................................... ................................................. ...... 64 10. Utilização de Cartas Topográficas ............................................ ................................................................... ........................................ ................. 65 10.1 Articulação das folhas ............................................................... ...................................................................................... .................................... ............. 65 10.2 Extração de informações quantitativas das cartas topográficas. ................................... ................................... 68

Índice de Figuras Figura 1 – Representação Represent ação esquemática esq uemática da finalidade das cartas. ......................... ................................................ ........................... .... 5 Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny Kolacn y . ...................................... ...................................... 6 FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1 ............................................ ..................................................... ......... 11 Figura 4 - Adquirindo mapas map as digitais pela Internet Inte rnet – Passo Pas so 2 ...................................................... ...................................................... 12 Figura 5 - Adquirindo mapas map as digitais pela Internet Inte rnet – Passo Pas so 3 ...................................................... ...................................................... 13 Figura 6 - Adquirindo mapas map as digitais pela Internet Inte rnet – Passo Pas so 4 ...................................................... ...................................................... 13 Figura 7 - Adquirindo mapas map as digitais pela Internet Inte rnet – Passo Pas so 5 ...................................................... ...................................................... 14 Figura 8 – Superfície de referência esférica. ............................................. .................................................................... .................................... ............. 15 Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal. .............................................. ..................................................................... ................................ ......... 15 Figura 10 – Relacionamento Rela cionamento entre as superfícies física (topográfica), (topo gráfica), elipsoidal e geoidal. ........ ........ 16 Figura 11 – Sistema de coordenadas geográficas. ............................................ ................................................................... ............................. ...... 17 Figura 12 – Sistema de coordenadas geodésicas. ............................................. .................................................................... ............................. ...... 18

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Figura 13 – Latitude geocêntrica. .............................................. ..................................................................... .............................................. ............................. ...... 19 Figura 14 – Latitude reduzida. .................................................................. ......................................................................................... .................................... ............. 19 Figura 15 – Sistema Sist ema cartesiano carte siano tridimensional. t ridimensional. ............................................ ................................................................... ................................ ......... 20 Figura 16 – Estudo Estud o de sinal para a longitude. ............................................... ...................................................................... ................................ ......... 20 Figura 17 – Representação gráfica da definição de d e projeção cartográfica. ................................... ................................... 26 Figura 18 – Superfícies Super fícies de projeção proj eção em função da forma, aspecto e classe. ................................ 27 Figura 19 1 9 – Representação cartográfica descontínua. descontínu a. .............................................. ................................................................... ..................... 28 Figura 20 – Representação Rep resentação cartográfica contínua. ............................................... ...................................................................... ........................... 29 Figura 21 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de referência (esfera) e na superfície de projeção. .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. ............................................ ..................... 31 Figura 22 – Significados das deformações na transformação da superfície referência de projeção para a de projeção. ............................... ...................................................... .............................................. .............................................. ............................................ ..................... 31 Figura 23 – Raio do paralelo em função da latitude. ........................................................... .................................................................... ......... 33 Figura 24 – Indicatriz Indi catriz de Tissot (elipse (eli pse das distorções) ............................ ................................................... .................................... ............. 34 Figura 25 – Quadrilátero Quadril átero infinitesimal infi nitesimal na n a superfície superfíci e de projeção. .............................................. .................................................. 34 Figura 26 – Pontos Pont os e Linhas de d e distorção disto rção Zero. ........................ ............................................... .............................................. ............................. ...... 38 Figura 27 – Propriedades Propri edades especiais esp eciais das projeções cartográficas. ............................................ .................................................. ...... 39 Figura 28 – Deformações sofridas pela Projeção Sinusoidal ou Projeção de Sansom-Flamsteed. .............................................. ..................................................................... .............................................. .............................................. .............................................. .................................... ............. 40 Figura 29 – Projeção Proje ção Azimutal Azimu tal no aspecto normal. ......................................... ................................................................ ............................. ...... 43 Figura 30 3 0 – Projeção Cônica no aspecto normal. ............................................. .................................................................... ............................. ...... 44 Figura 31 – Projeção Proje ção Cilíndrica Cilí ndrica no aspecto normal. ................................. ........................................................ .................................... ............. 45 Figura 32 – Projeção Cilíndrica de Plate Carrée. Atribuída a Anaximander (550 a.C.) ............... 51 Figura 33 – Projeção Azimutal Estereográfica. Atribuída a Hiparcus (160 - 125 a.C.) ............... 52 Figura 34 – Projeção Azimutal Azimu tal Gnomônica. Atribuída a Thales (636 - 546 a.C.)........................ ........................ 52 Figura 35 – Projeção Azimutal Azimu tal Ortográfica. Atribuída a Apolônio (240 (24 0 a.C.) ............................. ............................. 53 Figura 36 – Projeção Azimutal de d e Postel. Conhecida desde de sde 1426. ............................................. ................................................. 53 Figura 37 – Projeção Azimutal de d e Lambert. Descrita D escrita em 1772. ............................................. ................................................... ...... 54 Figura 38 – Projeção Cônica Cô nica Conforme de d e Lambert. Descrita Descri ta em 1772. 17 72. ..................................... ..................................... 54 Figura 39 – Projeção Proje ção Cônica Equivalente Equiv alente de Lambert. Descrita em 1772. .................................. 55 Figura 40 – Projeção Cilíndrica Cilí ndrica de Mercator. M ercator. Utilizada Utiliz ada por Mercator Merc ator (1569). ............................. ............................. 55 Figura 41 – Projeção Proje ção Pseudo Pse udo Cilíndrica. Cil índrica. Descrita Descri ta em 1890. ............................................ ......................................................... ............. 56 Figura 42 – Diferenças entre reticulado reticulad o e quadriculado. qu adriculado. ............................................................ ................................................................ 57 Figura 43 - Reticulado de um hemisfério na projeção Transversa de Mercator. Observa-se que somente a zona central do mapa esta relativamente livre de exageros em termos de distorção. .. 58 Figura 44 – Latitude aproximada φ 1. ............................................. .................................................................... .............................................. ........................... 61

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Figura 45 – Articulação das folhas do mapeamento sistemático brasileiro. ................................. 67 Figura 46 – Mapa do Brasil com a articulação na escala 1 : 1 000 000. ....................................... 68 Figura 47 – Exemplo de escala gráfica. ........................................................................................ 69

Índice de Tabelas

Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003) ............................................. 10 Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000 .......................................................................................... 23 Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. ................................................... 25 Tabela 4 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Mercator (aspecto normal) ............ 48 Tabela 5 – Tabela de deformação da Projeção Conforme Azimutal Estereográfica (aspecto normal) .......................................................................................................................................... 49 Tabela 6 – Tabela de deformação da Projeção Afilática Azimutal Gnomônica (aspecto normal) 49 Tabela 7 – Tabela de deformação da Projeção Equidistante nos Meridianos Azimutal de Poste (aspecto normal) ............................................................................................................................ 50 Tabela 8 – Tabela de deformação da Projeção Equivalente Azimutal de Lambert (aspecto normal) .......................................................................................................................................... 50 Tabela 9 – Tabela de deformação da Projeção Cilíndrica de Plate Carrée - Eqüidistante ao longo dos meridianos............................................................................................................................... 51 Tabela 10 – Variações mais usuais da projeção TM ................................................................... 63

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CARTOGRAFIA 1.

Introdução 1.1 Definições Cartografia : “Arte de levantamento, construção e edição de cartas de qualquer natureza, e a ciência na qual repousa.” ou “Produto do conhecimento obtido no estudo de mapas geográficos, dos métodos para sua produção e reprodução, e de seu uso.” Nestas definições aparecem duas palavras que tem o mesmo significado: Carta e Mapa. A palavra carta vem do latim charta que significa papel e a palavra mapa vem de mappa que significa pano. Observa-se então que a diferença vem da origem do material com que eram produzidos. No Brasil costuma-se diferenciar mapa de carta em função ou da escala ou da fidedignidade das informações. No tocante a escala costuma-se chamar de carta quando o documento é confeccionado em escalas grandes ou médias e de mapa quando a escala é pequena. O problema desse enfoque é estabelecer qual o limiar entre escala média e pequena. Com respeito à confiabilidade das informações, costuma-se chamar de carta os produtos elaborados com rigor geométrico de modo a se poder tomar medidas confiáveis sobre eles e de mapa, aqueles que funcionam apenas como ilustração. 1.2 Generalidades sobre Cartas. Carta (mapa): “Representação visual, codificada, geralmente bidimensional, total ou parcial, da superfície da Terra ou de outro objeto.” A finalidade básica de uma carta é transmitir informações específicas a respeito de uma área cartografada para o usuário (Figura 1).

INFORMAÇÃO

MAPA

USUÁRIO

Figura 1 – Representação esquemática da finalidade das cartas.

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Um mapa ou carta é um produto de comunicação e, portanto, os conceitos de semiologia gráfica estão presentes na sua construção. Define-se semiologia gráfica ao estudo dos símbolos gráficos, suas propriedades e suas relações com os elementos da informação que eles revelam (Oliveira, 1980). Vários autores têm apresentado suas idéias e teorias sobre a comunicação cartográfica. Um desses autores é o cartógrafo Tcheco Salachtchev Kolácny, que destaca: •

a confecção e utilização de mapas deve ser encarada como um todo.

•

cartógrafos devem se preocupar com o uso tanto quanto com a sua construção.

Esse cartógrafo apresenta em 1969 um modelo de comunicação cartográfico (Figura 2) onde os elementos envolvidos na construção de mapas estão descritos. Figura 2 – Modelo de comunicação cartográfica proposto por Kolacny .  R  E

 A L

 Ó GRAF O 

I D  A D  

R

   T    R    A     C      O

       D

E   R E AL  I    D    A    D    

E      

R1

R2

D

 O

  U   S   U

       E

    C     I .    A     D     O      Ã     Ç      I   A     R     C

   A     D    A     N     O     I     C     E     L     E     S     O      Ã     Ç     A     V     R     S    E     B     O

    O     D     N    A     I    S     V

   A     D

     D       A      D     I   L      R     A     E

   Á     R   I      O

   A     D    A     N     O     I     C     E     L     E     S

   A

    O      Ã     Ç     A     M     R     F    O     N     I

    O     I    T     E     F     E

5

CONTEÚDO DA MENTE DO CARTÓGRAFO

4

4

LINGUAGEM CARTOGRÁFICA

T R A N S F O R M A Ç Õ E S I N T E L E C T UA I S

1

 .

2

1 - Tarefa objeto; 2 - Conhecimento e experiência;

A     Ç     à     O     B    A     S    E     A     D     A     N     A     I    N     F    O     R     M     A      Ç     à     O     C     A     R    T     O     G     R     Á      F     I     C    A    

5

CONTEÚDO DA MENTE DO USUÁRIO

LINGUAGEM

MAPA

CARTOGRÁFICA

CONCRETIZAÇÃO DA I. C.

E F E I TO D A I. C . C O M P R E E N D I D A

3

3

1’ -

2

1’

Necessidades, interesses e objetivos.

3 - Habilidades e propriedades; 4 - Processos psicológicos; 5 - Condições externas.

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Com respeito às informações cartografadas, essas podem ser qualitativas ou quantitativas. Qualitativas:

natureza forma distribuição

Quantitativas:

posições geográficas altitudes distâncias direções áreas, volumes

feições

As feições representadas podem ser : visíveis : da superfície terrestre

naturais

artificiais

invisíveis :

mares, rios, lagos, montanhas, desertos, florestas climas, correntes, campos (magnético, gravitacional, etc.)

cidades, estradas, ferrovias, canais, plantações, aeroportos, barragens, portos

esfera celeste : estrelas e planetas Lua : crateras, “mares”... de outros objetos

corpos celestes Sol : manchas solares ... Planetas : montanhas, formação de nuvens órgãos do corpo humano prédios históricos ...

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1.3

Características das Cartas

•

Permitem a coleta das informações em gabinete;

•

Apresentam informações não visíveis no terreno: toponímia, fronteiras fisicamente indefinidas;

•

Codificam informações através de símbolos;

•

Exigem uma atualização permanente – certas feições variam em função do tempo;

•

Representam um modo de armazenamento de informações conveniente ao manuseio;

•

São necessárias à visualização e compreensão de fenômenos espaciais e de sua distribuição e relacionamento;

•

Constituem um dos elementos básicos do planejamento das atividades sócio-econômicas das comunidades humanas.

1.4 Classificação 1.4.1 Quanto à finalidade (ABNT*) Geográficas:

Topográficas Planimétricas

Cadastrais, plantas Aeronáuticas Navegação Náuticas Especiais :

geológicas, geomorfológicas, meteorológicas, de solos, de vegetação, de uso da terra, geofísicas, globos.

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1.4.2 Classificação segundo a Diretoria do Serviço Geográfico do Exército (DSG) quanto a precisão

topográficas preliminares

quanto ao caráter informativo

- satisfazem as normas técnicas em vigor; - obtidas por métodos de levantamentos regulares. - obtidas por métodos de levantamento menos precisos que os regulares

gerais :

- com informações genéricas, de uso particularizado.

especiais:

- com informações específicas, destinadas em particular a uma única classe de usuários.

temáticas:

- com uma ou mais assuntos específicos, servindo apenas para situar o tema.

Cartas de compilação

- obtidas pela redução de folhas em escalas maiores; - obtidas pela reunião e consolidação de diversos documentos cartográficos. não-controlados :

fotos montadas sem apoio em pontos de coordenadas conhecidas

montadas com apoio em pontos de Semi-controlados : fotos coordenadas conhecidas

Outros documentos cartográficos

mosaicos

folha-modelo:

Controlados :

fotos retificadas montadas com apoio em pontos de coordenadas conhecidas

Fotocartas :

mosaico (controlado ou não) quadriculado, moldura, nomenclatura

Ortofoto

imagem formada por várias fotografias aéreas  justapostas de uma região onde a perspectiva central é trocada por uma ortogonal

foto-índice :

mapa índice realizado através da montagem das fotografias aéreas individuais reduzidas em escala, numeras e colocadas nas suas posições relativas de modo a permitir saber quais as fotografias que abrangem determinada região fotografada.

com

Representam o aspecto de uma folha (nomenclatura, Quadriculado, legendas, etc)

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2.

Processo Cartográfico Entende-se por mapeamento a aplicação do processo cartográfico sobre uma coleção de dados ou informações, com vistas à obtenção de uma representação gráfica da realidade perceptível, comunicada a partir da associação de símbolos e outros recursos gráficos que caracterizam a linguagem cartográfica. O planejamento de qualquer atividade que de alguma forma se relaciona com o espaço físico que habitamos requer, inicialmente, o conhecimento deste espaço. Neste contexto, passa a ser necessária alguma forma de visualização da região da superfície física do planeta, onde desejamos desenvolver nossa atividade. Para alcançar este objetivo, lançamos mão do processo cartográfico. Pode-se dividir, no processo cartográfico em três fases distintas: a concepção, a produção e a interpretação ou utilização. As três fases admitem uma só origem, os levantamentos dos dados necessários à descrição de uma realidade a ser comunicada através da representação cartográfica. No caso do mapa compilado a documentação coletada terá vital importância na atualização da base cartográfica compilada. 2.1

Aquisição de Mapas O Brasil, país de dimensões continentais, tem o seu território recoberto pelo mapeamento sistemático brasileiro que adota a mesma articulação da Carta do Mundo ao Milionésimo, a qual divide a Terra em fusos de 6º de amplitude em longitude e em faixas 4º de amplitude em latitude Por outro lado, sabe-se que 90% da cartografia nacional foi produzida entre as décadas de 60 e 80. A partir de então, o governo brasileiro não investiu recursos nessa área, provocando uma defasagem nas informações contidas nos mapas. A Tabela 1 mostra o número de folhas do mapeamento sistemático existente, em função da escala. Esta tabela foi adaptada incluindo-se a área de abrangência das folhas em relação à amplitude em latitude e longitude. Observa-se que grande parte do território nacional é coberto por cartas na escala 1:100.000 e menores. Tabela 1 - Situação do mapeamento do território brasileiro (2003)

Escalas

Área Coberta

(Latitude x longitude)

Total de Folhas

Porcentagem do Mapeamento (%)

1:1.000.000

4º x 6º

46

100,00

1:500.000

2º x 3º

68

36,90

1:250.000

1º x 1º30’

444

80,72

1:100.000

30’ x 30’

2.289

75,39

1:50.000

15’ x 15’

1.647

13,90

1:25.000

7’30” x 7’30”

492

1,01

fonte: http://www.moderna.com.br/geografia/projensinogeo/geobrasil/0028 (adaptado)

Atualmente com o uso de imagens orbitais com resolução média (2,5 m) o problema da atualização cartográfica está gradativamente sendo resolvido. No entanto, para muitos trabalhos, o acesso as cartas é a solução.

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Para se adquirir mapas em papel (formato analógico), basta visitar alguma loja do IBGE e adquirir uma cópia do mapa. Se a utilização do documento for diretamente sobre o papel, o problema do usuário está resolvido. Porém, se o usuário desejar utilizar o mapa em ambiente computacional, será necessário digitalizá-lo. Isto pode ser feito utilizando-se scanners ou mesas digitalizadoras, que é um processo geralmente lento e oneroso devido as etapas de vetorização e edição. Para resolver este problema, atualmente o IBGE vem disponibilizando mapas em formato digital gratuitamente na Internet. Para adquirir gratuitamente os mapas digitais disponibilizados pelo IBGE, o usuário deve acessar o site do IBGE através do seguinte endereço http://www.ibge.gov.br/home/ , em seguida é necessário clicar em Geociências/Cartografia (FIGURA 3) FIGURA 3 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 1

Após isso, o usuário deve acessar o link Produtos  sob a opção Mapeamento Topográfico, conforme se pode observar na Figura 4:

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Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada Figura 4 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 2

O passo seguinte é acessar o ícone de  download , na forma de um disquete, localizado logo a frente de “Cartas Topográficas Vetoriais do Mapeamento Sistemático” (Figura 5). Ao clicar sobre o disquete, é aberta outra tela para que o usuário forneça seu e-mail (Figura 6), caso o usuário não esteja cadastrado no site do IBGE, este deverá fazer seu cadastro, para então conseguir acessar os mapas (Figura 7). Para preencher o cadastro o usuário deverá possuir um endereço de e-mail e então preencher pelo menos todos os campos assinalados com um asterisco vermelho. Depois de cumprida esta etapa, o usuário pode realizar a aquisição gratuita de qualquer mapa, nas escalas 1:25.000, até 1:250.000. Cada carta é acessada pelo nome da região mapeada e então um arquivo compactado (ZIP) é acessado para aquisição. Após isso, o usuário deve descompactar o arquivo e então utilizar os arquivos da carta em um programa de computação gráfica, tal como ArcView, Spring, Microstation, Geomedia, Bentley View, etc.

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Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada Figura 5 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 3

Figura 6 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 4

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Figura 7 - Adquirindo mapas digitais pela Internet – Passo 5

3.

Superfícies de referência usadas em cartografia. Para se mapear a superfície da Terra, antes é necessário conhecer a sua forma e dimensões. Sabe-se que a Terra é um corpo esférico irregular e que não possui uma descrição geométrica. Então é necessária a utilização de modelos adequados para sua descrição de acordo com os objetivos pretendidos nos levantamentos e mapeamentos. 3.1 Superfície de referência geoidal O geóide é definido como uma superfície equipotencial (potencial gravitacional constante) materializada pelo nível médio dos mares. A força da gravidade que gera essa superfície equipotencial é resultante de uma interação entre massas. Sabe-se que existe uma relação direta entre a massa e a densidade de um corpo, e que existe uma grande variação na constituição densimétrica dos materiais que constituem a parte interna do globo terrestre. Deste modo, essa superfície equipotencial não apresenta uma forma regular. Há ainda que se considerar, a questão dos corpos celestes que interagem com o campo gravitacional, provocando variações constantes nesta superfície. Alguns autores definem como sendo a forma do geóide a que corresponde a forma da Terra real. Contudo, como essa superfície não tem uma definição geométrica, este postulado não tem muito sentido, quando o objetivo, esta na busca de um modelo para o mapeamento. Não obstante, esta superfície é extremamente importante no estabelecimento das altitudes.

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3.2

Superfície de referência esférica Se a área a ser mapeada for extensa mostrando continentes ou a superfície total da Terra, adota-se o modelo esférico para a superfície da Terra (Figura 8). Figura 8 – Superfície de referência esférica. Monte Evereste ≈ 9 Km   k  m   7  8   3 .   6

Fossa das Marianas ≈ 11 Km

 m  0, 2 m

 6 c m

nível médio dos mares

Terra esférica

Modelo reduzido

Esta modelo implica em: Levantamento : Geodésia Cálculos:

Trigonometria esférica

Uso:

mapas de formato pequeno mostrando grandes porções da superfície terrestre

Escala :

escalas pequenas não maiores que 1:5.000.000

Mapas:

Utilização de projeções cartográficas

3.3

Superfície de referência elipsoidal Se a área a ser levantada e mapeada não for pequena e nem muito extensa, o modelo que melhor representa a superfície da Terra é o elipsóide de revolução, que possui uma formulação matemática razoavelmente simples (Figura 9). Neste modelamento leva-se em conta o achatamento dos pólos. O elipsóide de revolução é definido pelos seus semi-eixos maior  (a) e menor ( b) ou pelo semi-eixo maior e o achatamento ( f ). Figura 9 – Superfície de referência elipsoidal.

b a

Por exemplo : a

= 6.378 km

b

= 6.356 km

 f

= 1/298,25

a

onde :  f  =

a−b a

15

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Este modelo implica em: Levantamento :

Geodésia

Cálculos:

Geodésicos

Medidas:

Reduzidas ao elipsóide de revolução

Uso:

cartas topográficas (mapeamento sistemático), náuticas, aeronáuticas.

Escala :

médias (1:1.000.000 a 1:5.000)

Mapas:

Utilização de projeções cartográficas

Independentemente do modelo adotado, tanto o esférico como o elipsóidico possuem várias propostas para os seus parâmetros definidores (raio e semi-eixos maior e menor).

3.4

O relacionamento entre as superfícies física, geoidal e elipsoidal.

Embora se utilizem modelos geométricos para descrever a superfície física da Terra na tarefa de mapeamento, as medições são executadas na superfície topográfica, ou simplesmente física. É importante então, definir-se alguns elementos deste relacionamento (Figura 10). Figura 10 – Relacionamento entre as superfícies física (topográfica), elipsoidal e geoidal.

n v i

P

H P’

N

S.F.

h S.G.

P”

S.E.

Na figura aparecem as superfícies física (SF ), elipsoidal (SE ) e geoidal (SG). A separação entre as superfícies elipsoidal e geoidal recebe o nome de ondulação do geóide e é representado pela letra N. Um ponto P, na superfície física, sendo projetado segundo a direção da vertical (linha de prumo) e da direção da normal (reta ortogonal a superfície do elipsóide) geram os pontos P’ e P’’. Ao segmento PP '  corresponde a altitude ortométrica (H), e ao segmento PP"  corresponde a altitude geométrica ou elipsoidal (h). O ângulo formado entre a vertical e a normal é definido como desvio da vertical (i). Este ângulo é da ordem do segundo de arco e deste modo é possível se fazer uma relação entre as superfícies sem incorrer em erro significativo.

h =  H + N 

16

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

4.

Sistemas de Referência

A posição de um ponto na superfície da Terra é determinada a partir de um sistema de coordenadas ou de referência. Estes sistemas estão associados a uma superfície de referência que se aproxima do formato da Terra. É o caso, por exemplo, do elipsóide de revolução. Existem dois tipos de sistemas de referenciamento. O sistema de coordenadas esféricas e o sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais. No primeiro tipo se enquadram às coordenadas geográficas e geodésicas.

4.1

Sistemas de Coordenadas Geográficas e Geodésicas

O sistema de coordenadas geográficas divide o mundo nos hemisférios norte e sul, que utiliza o equador como plano de divisão, e em oriente e ocidente que adota o meridiano de Greenwich como fronteira (Figura 11). Neste sistema um ponto na superfície terrestre fica determinado pela sua latitude e longitude. Figura 11 – Sistema de coordenadas geográficas. Meridiano de P

PN

Vertical P

Paralelo de P Meridiano de Greenwich

Equador ϕ  L

PS

Latitude

(ϕ)

define-se latitude de um lugar como sendo o ângulo formado entre a vertical do lugar e o plano do equador, ou a distância angular contada sobre o meridiano deste, desde o equador até ele. A latitude varia de 0º a ± 90º sendo considerada negativa no hemisfério sul.

Longitude (L)

define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a ±180º sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério ocidental).

17

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Pode-se estabelecer um sistema de coordenadas similar utilizando-se como modelo para a Terra o elipsóide de revolução (Figura 12). Este sistema de coordenadas é conhecido como Sistema de Coordenadas Geodésicas Figura 12 – Sistema de coordenadas geodésicas.

Latitude

(φ)

Longitude (λ)

– define-se latitude geodésica de um lugar como sendo o ângulo formado entre a normal do lugar e o plano do equador. A latitude varia de 0º a ±  90º sendo considerada negativa no hemisfério sul. – define-se longitude de um lugar como sendo o ângulo diedro formado pelo plano meridiano de Greenwich e o plano meridiano do lugar, ou a distância angular contada sobre o equador desde o meridiano origem (Greenwich) até o meridiano deste. A longitude varia de 0º a ±180º sendo considerada negativa a oeste de Greenwich (hemisfério ocidental).

Neste sistema pode-se associar a altitude geométrica ou elipsoidal (distância sobre a normal desde o elipsóide até o ponto na superfície topográfica). Nesta situação o ponto fica assim referenciado (φ, λ , h).

4.2

Latitudes Geocêntrica e Reduzida.

Nos problemas práticos de Geodésia somente o conhecimento da latitude geodésica não é suficiente, é comum se necessitar determinar as latitudes geocêntricas (Figura 13) e a reduzida (Figura 14).

18

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Define-se latitude geocêntrica ψ  de um ponto P na superfície do elipsóide ao ângulo que o raio vetor CP  deste ponto, forma com a sua projeção no plano do equador. Figura 13 – Latitude geocêntrica. Normal PN

A relação entre a latitude geodésica e a geocêntrica é estabelecida pela seguinte fórmula:

P

tgψ  = (1 − e2 ) ⋅ tgφ 

φ

ψ  c

Eq ua d or  o PS

No caso da latitude reduzida, é necessário observar a ilustração antes de se poder definir. Na Figura 13, aparece um dos círculos principais da elipse que contém P, o circulo cujo raio é igual ao semi-eixo maior (a). Então, a partir de P  se constrói uma reta paralela ao eixo de rotação. Esta reta cruza a circunferência em P’. Define-se como latitude reduzida, ao ângulo formado pelo raio vetor CP'  e sua projeção no plano do equador. Figura 14 – Latitude reduzida. P’

PN

P

c

u

E qu ad o  r  o

A relação entre a latitude geodésica e a reduzida é estabelecida pela seguinte fórmula:

φ

tgu =

(1 − e2 ) ⋅ tgφ 

PS

4.3

Sistemas de Coordenadas Cartesianas Tridimensionais. Este sistema de coordenadas é caracterizado por um conjunto de três eixos (X, Y e Z), ortogonais entre si (Figura 15). A origem do sistema pode coincidir com o centro de massa da Terra, e neste caso, é denominado de geocêntrico. As características deste sistema são as seguintes: •

o eixo  X   é definido pela intersecção do plano meridiano de Greenwich com o plano do equador, sendo orientado positivamente no sentido do centro para o exterior.

•

o eixo Y  é definido pela intersecção do plano meridiano de longitude 90º Leste com o plano equatorial.

•

o eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da Terra e orientado positivamente na direção do Pólo Norte.

19

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Figura 15 – Sistema cartesiano tridimensional.

Meridiano de Greenwich

PN Z

λ = 90º E

Equador

Y

X PS Obs: Este é um sistema dextrógiro.

4.4 Transformação de Coordenadas Cartesianas em Geográficas. No sistema de coordenadas geográficas o modelo que é utilizado para representar a Terra é o modelo esférico. Assim, a transformação de coordenadas é dada pelas seguintes equações: 2 2 2  R =  x +  y + z

ϕ  = arctg

 z 2

 x +  y

 L = arctg

2

;  ;

 y  x

onde: R - Raio da esfera que representa a Terra real; ϕ

- Latitude geográfica;

L

- Longitude geográfica.

A latitude é um ângulo que varia de 0º a ± 90º e o sinal da equação indica se o ponto está no hemisfério norte ou sul. Entretanto, a longitude é um ângulo que tem uma variabilidade maior (0º a ± 180º) e neste caso, deve-se proceder a um estudo de sinal indicado no quadro da Figura 16. Figura 16 – Estudo de sinal para a longitude.

x

y

longitude

+ + -

+ + -

L L + 180° L L - 180°

hemisfério Leste Oeste

20

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

4.5 Transformação de Coordenadas Geográficas em Cartesianas A transformação das coordenadas geográficas em cartesianas é conseguida pela aplicação das seguintes equações:  x = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos L;  y = R ⋅ cos ϕ ⋅ sen L;  z = R ⋅ sen ϕ 

5.

Datum.

 Datum é o conjunto de parâmetros que definem o sistema geodésico/cartográfico de um País.

(Nazareno). Por parâmetros, se subentende a figura geométrica adotada para representar a Terra, as especificações relativas ao ponto origem, a orientação do sistema de coordenadas, e a posição da superfície elipsoidal em relação à física e a geoidal, entre outros parâmetros.

5.1

Datum Horizontal De 1950 até meados da década de 70, o Brasil adotava o Datum de Córrego Alegre. Este

Datum utiliza como superfície de referência, o Elipsóide de Hayford (1924) que teve a sua origem (centro) deslocada do centro de massa da Terra, de modo a melhor ajustá-lo à superfície topográfica. Este procedimento tornou o sistema topocêntrico. Por questões de simplificação adotou-se ondulação nula (N=0 – distância medida sobre a vertical do local entre o elipsóide e o geóide). A seguir são listados os parâmetros definidores deste sistema. Ponto origem: Coordenadas:

Vértice Córrego Alegre φ =

-19º 50’ 14,91’’

λ =

-48º 57’ 41,98’’

h=

683,81m

Superfície de referência: Parâmetros: a=

6.378.388,000 m

b=

6.356.911,946 m

 f =

1/297

Ondulação Geoidal:  N  =

Elipsóide internacional de Hayford 1924.

0

Valor adotado

21

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Posteriormente, por um breve período o Brasil conviveu com o Datum Astro-geodésico de Chuá, que mudou o ponto origem do vértice de Córrego Alegre para o vértice de Chuá. Este Datum foi um ensaio para a adoção do Datum SAD-69. O Datum SAD-69 (South American Data) é um sistema regional, que teve a sua recomendação indicada em 1969 na XI Reunião pan-americana de Consulta sobre Cartografia. Nem todos os países do continente seguiram a recomendação e oficialmente somente em 1979, o Brasil o adotou. Os dados que caracterizam este Datum estão discriminados a seguir. Ponto origem: Coordenadas: φ= λ=

Vértice Chuá -19º 45’ 41,6527’’ -48º 06’ 04,0639’’

H= Superfície de referência:

763,28 m altitude ortométrica Elipsóide internacional de Referência 1967. Parâmetros: a = 6.378.160,000 m b = 6.356.774,719 m 1/298,25  f = Ondulação Geoidal:  N = 0 determinada Azimute geodésico: Az = 271º30’04,05” (Chuá-Uberaba)

Esta concepção de  Datum, referenciando o sistema a um ponto origem, é considerada uma solução clássica. Modernamente, principalmente pela tecnologia GNSS, a idéia passou a ser a adoção de uma rede de pontos de coordenadas conhecidas que dão suporte ao mapeamento. Sob esse novo enfoque desde 25/02/2005, através da resolução IBGE nº 1/2005 o presidente daquela instituição, resolveu alterar a caracterização do referencial geodésico brasileiro, que passou a ser o SIRGAS 2000 (Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas) época 2000,4. O projeto SIRGAS foi criado na Conferência Internacional para Definição de um Sistema Referencial Geocêntrico para a América do Sul, realizada em Assunção-Paraguai em 1993. Os primeiros resultados foram apresentados na reunião científica da International Association of  Geodesy

(IAG) no Rio de Janeiro em 1997, que se traduziram em uma das redes de referência

22

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

continentais mais precisas do mundo. O SIRGAS proposto é composto por 58 estações distribuídas pelo continente, com coordenadas determinadas por GPS e referidas a rede de referência internacional mais precisa daquela época (ITRF94 época 1995.4). Destas 58 estações, 11 estão no território brasileiro e 9 coincidem com estações da Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo do Sistema GPS (RBMC). Atualmente a figura geométrica adotada é o elipsóide de revolução geocêntrico usado pelo Geodetic Reference System 1980 (GRS 80) cujos parâmetros são os seguintes: a=

6.378.137,0000000000 m

b=

6.356.752,3141403558 m

 f =

1/298,257222101

Este sistema está materializado por 21 estações geodésicas distribuídas no território nacional, cujos valores estão na Tabela 2. Tabela 2 – Estações do SIRGAS 2000

Coordenadas Geodésicas

Estação BRAZ BOMJ CAC1 CANA CORU CRAT CUIB FOR1 FORT IMBI IMPZ MANA MCAE PARA POAL PSAN RECF RIOD SALV UEPP VICO SMAR

φ

λ

Coordenadas Cartesianas

Altitude elipsoidal (m)

15º 56’ 50,9112” S 47º 52’ 40,3283” W 1.106,020 13º 15’ 20,0103” S 43º 25’ 18,2468” W 419,401 22º 41’ 14,5337” S 44º 59’ 08,8606” W 615,983 25º 01’ 12,8597” S 47º 55’ 29,8847” W 3,688 19º 00’ 01,0131” S 57º 37’ 46,6130” W 156,591 07º 14’ 16,8673” S 39º 24’ 56,1798” W 436,051 15º 33’ 18,9468” S 56º 04’ 11,5196” W 237,444 03º 43’ 34,3800” S 38º 28’ 28,6040” W 48,419 03º 52’ 38,8046” S 38º 25’ 32,2051” W 19,451 28º 14’ 11,8080” S 48º 39’ 21,8825” W 11,850 05º 29’ 30,3584” S 47º 29’ 50,0445” W 105,008 03º 06’ 58,1415” S 60º 03’ 21,7105” W 40,160 22º 22’ 10,3989” S 41º 47’ 04,2080” W 0,056 25º 26’ 54,1269” S 49º 13’ 51,4373” W 925,765 30º 04’ 26,5528” S 51º 07’ 11,1532” W 76,745 00º 03’ 26,4338” S 51º 10’ 50,3285” W -15,506 08º 03’ 03,4697” S 34º 57’ 05,4591” W 20,180 22º 49’ 04,2399” S 43º 18’ 22,5958” W 8,630 13º 00’ 31,2116” S 38º 30’ 44,4928” W 35,756 22º 07’ 11,6571” S 51º 24’ 30,7223” W 430,950 20º 45’ 41,4020” S 42º 52’ 11,9622” W 665,955 29º 43’ 08,1260” S 53º 42’ 59,7353” W 113,107 Fonte: Resolução n° 1 de fevereiro de 2005 (IBGE) adaptada.

X (m) 4.115.014,085 4.510.195,835 4.164.559,941 3.875.253,589 3.229.969,943 4.888.826,036 3.430.711,406 4.982.893,151 4.985.386,605 3.714.672,427 4.289.656,441 3.179.009,359 4.400.142,600 3.763.751,652 3.467.519,402 3.998.232,011 5.176588,653 4.280.294,879 4.863.495,731 3.687.624,315 4.373.283,313 3.280.748,410

Y (m) -4.550.641,549 -4.268.322,325 -4.162.495,407 -4.292.587,088 -5.095.437,766 -4.017.957,454 -5.099.641,565 -3.959.968,539 -3.954.998,594 -4.221.791,488 -4.680.884,944 -5.518.662,100 -3.932.040,418 -4.365.113,803 -4.300.378,535 -4.969.359,526 -3.618.162,163 -4.034.431,225 -3.870.312,351 -4.620.818,606 -4.059.639,049 -4.468.909,741

Z(m) -1.741.444,019 -1.453.035,300 -2.445.051,218 -2.681.107,718 -2.063.429,898 -798.309,017 -1.699.432,931 -411.742,293 -428.426,440 -2.999.637,883 -606.347,331 -344.401,823 -2.412.305,322 -2.724.404,694 -3.177.517,730 -6.340,615 -887.363,920 -2.458.141,380 -1.426.347,813 -2.386.880,343 -2.246.959,728 -3.143.408,684

23

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

Está incluída nesta Tabela 2 a estação SMAR, pertencente a Rede Brasileira de Monitoramento Continuo do Sistema GPS (RBMC) e cujas coordenadas foram determinadas pelo IBGE posteriormente à campanha GPS/SIRGAS 2000.

5.2

Mudança de Datum. Considerando que todo o sistema de mapeamento tem uma ligação íntima com o Datum adotado, a utilização de um parâmetro diverso ao estabelecido, implica numa inconsistência de dados. Deve-se então, tomar o cuidado de verificar em qual Datum está referenciado o mapeamento e fazer as adequações necessárias à compatibilização. Com a difusão da utilização da tecnologia GPS (Global Positioning System), este cuidado deve ser redobrado, uma vez que o sistema utiliza os parâmetros do sistema WGS-84. O IBGE através da Resolução nº 23, de 21 de fevereiro de 1989, estabeleceu os critérios oficiais para transformações de sistemas geodésicos (mudança de Datum). A Resolução nº 1/2005 complementa no que concerne à mudança para o SIRGAS 2000. A resolução recomenda que se utilize a transformação das coordenadas geodésicas em tridimensionais, aplique-se nestas os fatores de transformação e posteriormente se retorne ao sistema geodésico. Até essa Resolução aplicavam-se as fórmulas simplificadas de Molodeski. 5.2.1 Transformação de Coordenadas Geodésicas para Cartesianas Tridimensionais  X 1 = ( N 1 + h1 ) cos φ 1 cos λ 1 ; Y 1 = ( N 1 + h1 ) cos φ 1 sen λ 1; 2  Z 1 = ( N 1 (1 − e1 ) + h1 ) sen φ 1 ; onde :

φ1 =

Latitude geodésica do ponto

λ1 =

Longitude geodésica do ponto

N1 =

raio de curvatura da seção 1º vertical (grande normal)

h1 =

altitude geométrica ou elipsoidal

Transformação de sistema Considerando que o Datum de Córrego Alegre, SAD 69, SIRGAS 2000 e WGS 84 são paralelos entre si, à transformação neste caso, envolve apenas translação de eixos. X2 = X1 + ∆X12 Y2 = Y1 + ∆Y12 Z2 = Z1 + ∆Z12 onde: ∆X, ∆Y e ∆Z são parâmetros de transformação, definidos na resolução e estão listados na Tabela 3.

24

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

5.2.2 Transformação de Cartesianas Tridimensionais para Coordenadas Geodésicas    Z  + e'2 ⋅b ⋅ sen 3 u   2 2 2   φ 2 = arctg 2 2 2 3   X  + Y  − e ⋅ a ⋅ cos u  2 2 2   2     Y    λ 2 = arctg 2    X 2   h2 =

2 2  X 2 + Y 2

cosφ 2

− N 2

onde: tgu

sen u =

1 + tg 2u

;

cos u =

1 1 + tg 2u

; tgu =

 Z 2  X 22 + Y 22

⋅

a2 b2

Os parâmetros de transformação encontram-se na Tabela 3 . Tabela 3 – Parâmetro de transformação dos Datum brasileiros. Parâmetros de Transformação

Córr. Alegre SAD 69 SAD 69 Córr. Alegre

SAD 69 SIRGAS 2000

SIRGAS 2000 – SAD 69

SAD 69 – WGS 84

WGS 84 – SAD 69

∆X

-138,70 m

138,70 m

- 67,35 m

67,35 m

- 66,87 m ±  0,43m

66,87 m ±  0,43m

∆Y

164,40 m

- 164,40 m

3,88 m

- 3,88 m

4,37 m ±  0,44m

- 4,37 m ±  0,44m

∆Z

34,40 m

-34,40 m

-38,22 m

38,22 m

-38,52 m ±  0,40m

38,52 m ±  0,40m

obs: Dados obtidos do Boletim de Serviço Nº 1602 (suplemento) e nas resolução Nº 23/89 e Nº 1/2005 – IBGE.

Os parâmetros que definem o elipsóide utilizado pelo sistema WGS 84 são os seguintes:

WGS 84

a=

6.378.137,000 m

b=

6.356.752,314 m

 f =

1/298,257223563

Em decorrência da evolução tecnológica, o WGS84 já passou por três atualizações: WGS84(G730); WGS84(G873) e WGS84(G1150). Desta forma, os parâmetros de transformação da Tabela 3 entre SAD 69 e WGS84, devem ser usados para levantamentos GPS antes de 1994. Após esta data os parâmetros indicados são os da transformação entre SAD 69 e SIRGAS 2000 uma vez que os dois sistemas (WGS84 e SIRGAS 2000) são compatíveis ao nível do centímetro. No site do IBGE é possível ter acesso a dois programas de transformação de Datum, O TCGeo e o PROGRID. O TCGeo utiliza a formulação apresentada na resolução nº 23 de 21 de fevereiro1989 e os parâmetros de transformação da resolução nº 1 de 25 de fevereiro de 2005.

25

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Este programa faz a transformação e não leva em consideração a distorção da rede geodésica, originada pelo transporte de coordenadas feitas através da triangulação geodésica. O PROGRID é um programa mais abrangente que utiliza um “grid” de referência que procura modelar as distorções da rede ao mesmo tempo em que proporciona a mudança de Datum. Nenhum desses programas melhora a qualidade do dado original quanto a precisão.

5.3

Datum vertical.

O referencial altimétrico brasileiro coincide com a superfície equipotencial do campo da gravidade da terrestre que contém o nível médio do mar (Geóide) definido pelas observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do estado de Santa Catarina de 1949 a 1957.

6.

Projeções Cartográficas 6.1 Introdução Define-se projeção cartográfica como sendo qualquer arranjo sistemático de meridianos e paralelos descrevendo a superfície curva da esfera ou elipsóide em um plano. Em outras palavras é a representação da superfície física da Terra no plano do papel (Figura 17). Essa relação entre a superfície física e a do papel se dá através de funções matemáticas de tal modo que cada projeção possui equações únicas. x = f 1(φ,λ)

ρ = f 3(φ,λ)

ou y = f 2(φ,λ)

θ = f 4(φ,λ)

Estas equações tanto servem para definir a projeção como para construí-la. Figura 17 – Representação gráfica da definição de projeção cartográfica.

TERRA

 

MAPA

26

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

6.2

Superfícies de projeção A Terra é um corpo plástico que sofre deformações percebidas pela maré terrestre. Sua forma é aproximadamente esférica, mas não tem uma forma geométrica definida. Por essa razão, são utilizados modelos para representá-la (esférico e elipsóidico). A partir desse modelamento é que se estabelecem as relações matemáticas, contudo, a correspondência entre os pontos da superfície e do mapa não é exata. Em primeiro lugar existe um fator de escala que deve ser considerado e em segundo lugar é impossível transformar uma superfície curva em uma plana sem provocar deformações (estiramentos, descontinuidades). O que se procura fazer é eleger alguma área da superfície e então minimizar os efeitos da distorção nesta região. É dentro dessa lógica que foram imaginadas três superfícies de projeção para tentar contornar o problema: a superfície plana, a cônica e a cilíndrica. Estas três superfícies também servem como um dos parâmetros classificatórios das projeções, ou seja: Projeções azimutais Projeções cônicas

plana superfície

Projeções Cilíndricas

cônica cilíndrica

Qualquer uma destas superfícies pode estar na posição normal, transversa ou oblíqua, dependendo da necessidade (Figura 18). Figura 18 – Superfícies de projeção em função da forma, aspecto e classe. A S P E CT O D A S P R O JE ÇÕ E S N OR M AL

   A    N    A    L    P    O     Ã    Ç    E    J    O    R    P

   A    E    C    D    I    N    S     Ô    E    C    I    C     Í    F    R    E    P    U    S    A    C    I    R    D    N     Í    L    I    C

TR AN SVERSO

OBLÍQUO

   L    A    T    U    M    I    Z    A    S    E     Õ    Ç    E    J    O    R    A    P    C    I    N    S    A     Ô    C    D    S    E    S    S    A    L    C    A    C    I    R    D    N     Í    L    I    C

27

Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

6.3

Introdução ao conceito de distorção A representação de um trecho ou totalidade da superfície física da Terra remete a idéia de escala. O conceito de escala indica quantas vezes um objeto foi reduzido ou ampliado para poder ser representado no papel. Contudo, este valor deve ser entendido como sendo um valor médio porque diferentes pontos do mapa sofrem diferentes deformações. Este fato é causado pela transformação da superfície curva da Terra para a superfície plana do mapa e varia seu valor em função da projeção cartográfica que se está utilizando. Em cartografia pode-se pensar em representar a superfície da Terra de duas maneiras: a) Cortando a superfície do globo ao longo de certos paralelos e meridianos. Este procedimento minimiza as distorções, contudo apresenta o inconveniente de se representar o mesmo paralelo e meridiano duas vezes, além de haver descontinuidade no mapa (Figura 19). Figura 19 – Representação cartográfica descontínua.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.

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b) Estirando a superfície em alguma direção. Na Figura 20, por exemplo, a Projeção Policônica – Hassler 1820 (Eqüidistante segundo os paralelos) existe um estiramento na direção dos meridianos. Observa-se que a deformação vai aumentando na medida em que se aproxima do limite do mapa; a distância entre dois paralelos cresce a partir do centro; a separação entre dois meridianos quaisquer permanece praticamente constante; não há descontinuidade. Figura 20 – Representação cartográfica contínua.

Fonte : MALING, D.H. Coordinate Systems and Map Projections. Pergamon Press Inc. New York. 1992.

Em qualquer um dos casos têm-se vantagens e desvantagens e, dependendo da finalidade, aplica-se uma solução ou outra. Em termos práticos pode-se, para o segundo caso, restringir-se a amplitude da área a ser mapeado, caso da projeção UTM que está contida em fusos de 6° de amplitude. Este valor foi adotado porque além desse limite a deformação passa a ter um valor significativo. Entende-se por significativo aquele valor que pode ser mensurado com um escalímetro num mapa, ou seja, qualquer deformação maior que o erro gráfico (0,2 mm).

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6.3.1 Escala principal. Escala é definida como a razão entre um comprimento no mapa e o seu valor real no terreno. Normalmente utiliza-se a relação:

1 d = E D

onde :

d

- distância no mapa;

D - distância real.

Todavia pode-se usar outra formulação mais adequada para cartografia. Essa nova equação tem relação direta com o conceito de esfera modelo ou globo gerador. Define-se esfera modelo  como o modelo reduzido da Terra Real. Essa entidade matemática tem raio unitário. Então a partir dessa conceituação pode-se definir escala principal de um mapa como a relação entre o raio da esfera modelo com o da Terra real.

1

=

 R

 E   RT 

onde :

R - raio da esfera modelo; D - raio da Terra real.

Normalmente as escalas em cartografia são representadas na forma de fração onde o numerador é unitário, assim:

1=1   6.3.2 Escalas particulares Observando-se ainda o mapa da Figura 20, pode-se intuir que dependendo da direção tomada têm-se valores diferentes para a deformação. Este fato real implica no conceito de escalas particulares que é definido como sendo uma taxa de variação da escala principal ao longo de uma direção infinitamente curta. Esta taxa de variação varia conforme a direção escolhida. Supondo um quadrilátero infinitesimal ABCD sobre a superfície de referencia esférica (esfera modelo) construído a partir do ponto A de coordenadas φ e λ (Figura 21). Esse quadrilátero ao ser transportado para a superfície de projeção sofre distorções fazendo com que os pontos B, C, e D sejam deslocados, gerando o quadrilátero A’B’C’D’. Esta situação pode ser visualizada na Figura 21.

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Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada Figura 21 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de referência (esfera) e na superfície de projeção. Quadrilátero infinitesimal

rp

Superfície de Referência

dφ

B

C

A φ

ds R

λ

φ + dφ

φ A

dλ

D λ + dλ

λ

Y

Q’ P’

C’

B’

θ’

γ ’

Superfície de Projeção

α’

ds’

dy α’

γ ’ θ’

D’

A’

S’

R’ X

dx

Estes deslocamentos têm significado geométrico e podem ser representados simbolicamente por uma notação de derivadas parciais, que estão explicitados No quadro da Figura 22. Figura 22 – Significados das deformações na transformação da superfície referência de projeção para a de projeção.

Deslocamento

Significado

Símbolo

A’P’

Incremento na direção de Y  ocasionado por uma variação infinitesimal da latitude (d φ)

∂ y d ϕ  ∂ϕ 

P’B’

Incremento na direção de X  ocasionado por uma variação infinitesimal da latitude (d φ)

∂ x d ϕ  ∂ϕ 

A’S’

Incremento na direção de X  ocasionado por uma variação infinitesimal da longitude (d λ)

∂ x d λ  ∂λ 

S’D’

Incremento na direção de Y  ocasionado por uma variação infinitesimal da longitude (d λ)

∂ y d λ  ∂λ 

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Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

O incremento é calculado por uma derivada parcial da função que representa a transformação da superfície de referência (esférica ou elipsóidica) para a superfície de projeção (plana, cônica ou cilíndrica) em relação a latitude e longitude. Escala é uma relação entre o comprimento real e o representado, assim as escalas particulares podem ser calculadas como sendo as relações entre os comprimentos dos segmentos na esfera e os seus correspondentes no plano de projeção. Esta variação pode ser entendida como um fator de deformação que varia ao longo de toda superfície de projeção. Então se pode determinar o fator de deformação ao longo dos paralelos, ao longo dos meridianos, em uma direção qualquer, segundo um azimute e assim por diante.

6.3.3 Fator de deformação ao longo dos meridianos (h). O fator de deformação ao longo dos meridianos é representado pela letra h. É definido pela relação:  A' B' h = ;  AB

Analisando o quadrilátero infinitesimal da Figura 21 tem-se que A’B’ é a hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja:  A' B ' =  A' P ' 2 + P ' B ' 2

substituído os segmentos pelos seus significados (Tabela 3)

2

2

  ∂ y     ∂ x    d ϕ 2 +   d ϕ 2  A' B ' =   ∂ϕ    ∂ϕ  

 

Chamando a quantidade 

    +  =  

   ∂ y   2   ∂ x   2  2 =>  A' B ' =    +   d ϕ    ∂ϕ    ∂ϕ       

vem

 ’’ = √ 

AB é o comprimento de um arco de meridiano de raio R e amplitude d φ, ou seja: AB = R.d φ ⇒ considerando uma esfera de raio unitário ⇒ AB = d φ  Finalmente

h =

 E d φ  d φ 

⇒

h =  E ;

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Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cartografia Geral Aplicada

6.3.4

Fator de deformação ao longo dos paralelos (k). O fator de deformação ao longo dos paralelos é representado pela letra k. É definido pela relação:  A' D' k = ;  AD

Analisando novamente o quadrilátero infinitesimal da Figura 21 tem-se que A’D’ é a hipotenusa de um triângulo retângulo, ou seja:  A' D' =  A' S ' 2 +S ' D' 2

substituído os segmentos pelos seus significados (Tabela 3) 2

2

  ∂ x     ∂ y   2 2  A' D ' =   d λ  +   d λ   ∂λ    ∂λ  

   ∂ x   2   ∂ y   2  2 =>  A' B' =    +   d λ    ∂λ    ∂λ    

 +  =   

Chamando a quantidade

vem

 ’’ = √ 

AD é o comprimento de um arco de paralelo de raio rp e amplitude d λ (Figura 23): Figura 23 – Raio do paralelo em função da latitude.

A

D

dλ

φ

rp

A

rp = cos φ.R

R

φ

R

AD = R.cos φ.d λ ⇒ considerando uma esfera de raio unitário ⇒ AD = cosφ .d λ  Finalmente

k =

G d λ 

cosφ ⋅ d λ 

⇒

k =

G sec φ  ;

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6.3.5 Elipse das distorções ou Indicatriz de Tissot Uma circunferência na superfície da esfera, infinitamente pequena, quando é transformada para o plano da projeção, ao sofrer deformação assume a forma elíptica. Esta elipse recebe o nome de elipse das distorções ou Indicatriz da Tissot e está representada na Figura 24. Figura 24 – Indicatriz de Tissot (elipse das distorções)    o    n    a      i     d     i    r I ’    e     M

I

β

φ a 

α

β’

φ  a  

C

x

a

y

  d  s

α’

   ’

d  s

C’ y’

θ’

II

A

x’

A’

k

h λ a 

I I’

b P  a  r  a l   e l  o  

λ a 

na projeção

na esfera

Teorema de Tissot: Sobre qualquer ponto de uma projeção existem duas direções perpendiculares entre si, que ao serem transformadas, embora existindo deformação angular, permanecem perpendiculares entre si. As direções I e II são conhecidas como direções principais e é sobre elas que ocorrem as deformações máxima e mínima ( a e b). Na esfera os paralelos se cruzam segundo um ângulo de 90º, porém esse valor é alterado pela distorção sendo representado por θ’ (Figura 25). Figura 25 – Quadrilátero infinitesimal na superfície de projeção. Y

Q’ P’

C’

B’

θ’

γ ’

α’

ds’

dy α’

γ ’ θ’

D’

A’ dx

S’

R’ X

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Do quadrilátero infinitesimal transformado representado na Figura 25, vem:

 +  +  −   = 1!" #  = 1!" − $ Extraindo o cosseno das duas igualdades:

%&'  = %&'1!" −  

mas

%&'1!" −   = %&'1!" ( %&' − )* 1!" ( )*  = −%&'  Aplicando a lei dos cossenos no triângulo plano A’B’C’(Figura 25):

)$ = $$ + $,$ − - ( $$ ( $,$ ( ./) $ Isolando a função cosseno:

67 896 :6 78:6;6 7 45  −023  = 7(96:6(:6;6

(Equação 1)

)$ = 