Cartilla 1 - S6

 

Cap Cap´ ´ıtulo 9: Aplicaciones de la primera ley: sistemas abiertos.

En el cap cap´´ıtulo 4 cuando se estableci´o la primera ley de la termodin´amica amica se destac´o que q ue u una na forma de energ´ıa ıa que pod´´ıa cruzar pod cruzar la frontera frontera de un sistema es la masa. De forma natural natural e intuitiv intuitivaa es claro que la cantidad cantidad de masa que ingrese y/o salga de un sistema ser´a igual al cambi´o de masa que sufre el sistema, en ecuaci´on: on: mentra − msale  = ∆msistema , on de la masa . La rapidez con que cambia la masa de un enunciado que se conoce como  principio de conservaci´  sistema es llamada flujo m´asico asico y se nota nota con con m ˙ , que es igual a:

m ˙  =

  ∆m  , ∆t

 

kg  . s

Bajo la condici´on on que el intervalo de tiempo sea tan peque˜no no que tienda a cero, el flujo m´aasico sico queda como: m ˙   = l´ım ım

∆m   dm  =  , 0 ∆t dt

 

kg  . s

∆t→

Si se conoce el flujo m´asico, asico, resolviendo resolviendo la ecuaci´ ecuaci´oon n anterior se puede calcular la masa del sistema en un intervalo de tiemp tie mpo, o, as´ı: ı: m  =

˙   mdt,

 

kg. kg.

∆t

Considere que el sistema abierto es un elemento infinitesimal de volumen  volumen   dV  dV    para un l´ıquido ıquido que fluye fl uye dentro de una tuber´ tuber´ıa, como el que se muestra muestra en la figura  figura   9.1, 9.1, la masa del fluido dentro del elemento en un instante del tiempo es dm es  dm..

Figura 9.1: Elemento de fluido de volumen dV  volumen  dV  y  y la masa dm masa  dm  que en un instante del tiempo lleva una velocidad  v.  v . Demasa acuerdo dibujo dibujque o el en elemento elemen to tiene de un tiempo volumen dado por dV  por  dV     =volumen  dxdA.. Ahora  dxdA utilizando relaci´ relac i´on on de la del al fluido un instante est´ a dentro del infinitesimal es,  la dm dm =  =   ρdV  ρdV     =densidad,  ρdxdA   y  ρdxdA por lo tanto:   dm dx   =  ρ dA, dt dt donde dx/dt donde  dx/dt es  es la rapidez del flujo en este punto, que reescribiendo lleva a: m ˙  =

m ˙  =  = ρvdA,  ρvdA, Ahora extendiendo a un fluido que viaja via ja por una tuber´ tuber´ıa es claro cla ro que por po r el elemento volumen pasa un diferencial de flujo m´asico, asico, de tal forma que: dm  ˙  =  = ρvdA,  ρvdA, que integrando por todo el ´area area de la secci´on on transversal lleva a: m ˙  =

 

S 

76

ρvdA.

 

Aplicaciones de la primera ley: sistemas abiertos.

Figura 9.2: El flujo m´asico asico que atravieza la secci´on on transversal de ´area  area   A  tiene en cuenta la velocidad promedio del perf´ıl ıl de velocidades. velocid ades. la expresi´on on anterior corresponde a la cantidad de masa de fluido que pasa por el ´area de la secci´on on transversal por unidad de tiempo tiemp o en la tuber tub er´´ıa, tal como muestra la figura 9.2. figura  9.2. Es muy razonable pensar que la densidad del fluido no cambie en todo el ´area de la secci´on on transversal del tubo, pero no se puede decir lo mismo de la velocidad, de hecho de forma emp emp´´ırica se ha podido comprobar que el fluido tiendee a “amarrarse” tiend “amarrarse” a las paredes de la tuber´ tuber´ıa por lo que la velocidad velocidad en los puntos de contacto contacto con esta es tan peque˜ na na que usualmente usualmente se toma como cero. En el centro centro de la tuber´ tuber´ıa el fluido alcanza la velocidad velocidad m´axima axima lo que lleva a un perfil de velocidades curvil´ curvil´ıneo como se aprecia en la figura 9.2 figura  9.2.. Bajo ciertas ciertas circunstan circunstancias cias se pued puedee demostrar que este perfil tiene froma de par´aabola, bola, sin embargo la experiencia muestra que en el caso general no es f´ aacil cil obtener una funci´ funcion ´on anal´ıtica ıtica de este perfil y lo que mejor se puede hacer es tomar un valor promedio para la velocidad del fluido en los puntos que conforman la superficie se la secci´on transversal, por lo tanto en la ´ultima ultima ecuaci´ on on se tiene que: m ˙  =  = ρv  ρv prom

 

dA,

S 

que finalmente lleva a, m ˙  =  = ρv  ρv prom A, donde   A   es area donde  ´area de la secci´oon n transversal por donde viaja el fluido. El flujo m´asico asico se conserva en un proceso, de igual forma que lo hace la masa y esto lleva a plantear que cuando el fluido pasa de un punto 1 a otro 2 en su viaje por la tuber´ tuber´ıa, el flujo m´asico asico en el punto 1 debe ser igual al del punto 2.

Figura 9.3: El flujo m´aasico sico en el punto 1 es igual en el punto 2. La relaci´on on que establece la igualdad del flujo m´asico asico en los puntos 1 y 2 en la figura  9.3  se conoce como  ecuaci´  on  de continuidad  y se escribe como: ρ1 v1 A1  =  = ρ  ρ 2 v2 A2 ,

77

 

kg  . s

 

(9.1)

 

Aplicaciones de la primera ley: sistemas abiertos.

Si se puede considerar que el fluido es incompresible, es decir que la densidad del punto 1 es igual a la del punto 2, entonces la ecuaci´oon  n   9.1 se 9.1  se reduce a, m3  , s

 

 

(9.2)

  m3 ˙   V  V   V   = t   =  v  vA, A, s .   Nuevamente se aprecia la relaci´on on entre el flujo m´aasico sico y el volum´ etrico etrico con la ecuaci´ on: on:

(9.3)

v1 A1  =  v 2 A2 ,

ecuaci´ on on que tiene unidades de flujo volum´ etrico etrico y por lo tanto, t anto,

 

 ˙ , m ˙  =  = ρ  ρ V

kg  . s

 

(9.4)

En la mayor mayor´´ıa de aplicaciones aplicaciones se consideran consideran sistemas que operan en condiciones condiciones de flujo estable durante durante mucho mucho tiempo y en este caso la cantidad de masa que entra y sale se mantiene en el tiempo y por lo tanto la masa dentro del sistema o volumen de control tambi´en en permanece p ermanece constante. En ecuaci´oon, n, la conservaci´on on de la masa para los sistemas de flujo estable se expresa como: 0

    ∆m   VC m ˙ entra −  m ˙ sale  =      .   ∆t

La expresi´on on general del balance de masa para este tipo de sistemas se obtiene cuando en el volumen de control (VC) tiene  tiene   i  entradas y  y   j  salidas y por lo tanto,

 m˙

entra

−

 m˙

sale  =

0.

 

(9.5)

 j

i

En el caso part´ part´ıcular que el fluido sea incompresib incompresible le y en r´ egimen egimen de flujo estacionario, estacionario, el balance balance de masa se reduce a, ˙ sale ˙ entra V    (9.6) V  entra − sale  = 0.





 j

i

Ejemplo 31.  Una manguera de 1.00 cm de radio se utiliza para regar con agua las flores de un invernadero. En

experimentos se descubri´o que tarda 1.50 minutos en llenar un balde de 10 litros litros.. ¿A qu´ e vel velocidad ocidad promedio se mueve el agua en la manguera? Soluci´  on:

  Se puede considerar considerar el agua como un fluido incompresi incompresible ble y para calcular la velocidad se puede aplica aplicarr directamente la ecuaci´oon 9.3, n  9.3, pero  pero antes se expresan todas las magnitudes en unidades internacionales.

  1 m3 V   V   = 10    L × 3   = 10 2 m3 , L 10      60 s   × min t  = 1.5    s,    = 90 s, min 1      10 2 m   × r  = 1    cm   = 10 1 0 2 m.    1    cm Del enunciado se puede inferir que la manguera tiene secci´on on transver transversal sal circular de radio r radio r  y por lo tanto su ´area area es: A =  = π  πrr2 , −

−

−

Despejando v Despejando  v  en la ecuaci´oon  n   9.3 y 9.3  y reemplazando reempla zando valores num´ericos: ericos:  m   V    10 2 m3 ≈ 0 . 354 v  =  .   = s πr 2 t π × (10 2 m)2 × 90 s −

−

78

 

Apli caci cion ones es de la pri rime mera ra le ley: y: si sist stem emas as ab abie iert rtos os.. Aplica

Ener En erg g´ıa en fo form rma a de ma masa sa qu que e cr cruz uza a la fr fron onte tera ra

Aunque no se pide en el ejercicio, el flujo volum´etrico etrico se calcula directamente con: 2 3 ˙   =   V   =   10 m   ≈ 1.11 × 10 V   V  90 s t −

3 4 m

−

s

 . ♦

Ejemplo 32.  Para mejorar el desempe˜ n noo de la manguera del ejemplo anterior se le agrega una boquilla que reduce

el radio de salida cmyy(c) ahora le toma s´ olo olo 50.0 segundos llenar el mismo Calcular (a) el flujo volum´ etrico, etrico , (b) elhasta flujo0.500 m´aasico sico la velocidad promedio con que en sale el agua por la balde. boquilla. Soluci´  on:   Nuevamente Nuevamente

se considera que el agua es incompresible y que la secci´ on on transversal tanto de la manguera como de la boquilla son circulares. (a) Aplicando Aplicando directament directamentee la definici´ on on de flujo fl ujo volum´etrico etrico se obtiene o btiene:: 2 3 ˙   =   V   =   10 m   = 2.00 × 10 V   V  50 s t −

−

3 4 m

s

 .

(b) A presi´ presi´ on on de una atm´ostera ostera la densidad del agua es 1000 m3 /kg y con la ecuaci´oon 9.4 n  9.4  se calcula directamente el flujo m´asico, asico, 3   kg   kg 4 m  ˙   = 0.200   . m ˙  =  = ρ  ρ V  = V  = 1000 3   × 2.00 × 10 s s m (c) La velocidad promedio se calcula igual i gual que en el ejercicio anterior, as´ıı:: −

˙   =  Av V   V 

 

  v  =

∴

˙ V  πr 2 ,

reemplazando reempla zando valores num´ericos: ericos: 4   m3 s  ≈ 10−3 m)2

  2.00 × 10

−

v  =

π × (5 ×

2.55

 m  . s

En donde se convirti´o a metros la medida del radio. ♦

Secci´ on 9.1: Energ´ on Energ´ıa en forma de masa que cruza la frontera

Cuando la masa entra o sale de la frontera del volumen de control hay que contabilizar la energ´ energ´ıa de las part´ part´ıculas del fluido que como se discuti´o en un cap´ cap´ıtulo anterior se divide en: cin´etica, etica, potencial gravitacional y energ´ energ´ıa interna, pero adem´as as se debe adicionar el trabajo que hay que hacer para que esta masa de fluido entre o salga. Pero ¿qui´ een n hace el trabajo traba jo para que la masa entre o salga? La respuesta aunque parezca simple (o la alternativa m´as as simplista) y en raz´on on que no cabe otra opci´on, on, es el fluir del fluido y por esto en algunos textos llaman a esto trabajo de flujo  y se calcula con: W flujo flujo  =  P V,

 

kJ, kJ,

 

(9.7)

o por unidad de masa, wflujo  =  P v,

79

 

kJ/ kJ/kg. kg.

 

(9.8)

 

Aplica Apli caci cion ones es de la pri rime mera ra le ley: y: si sist stem emas as ab abie iert rtos os..

Ener En erg g´ıa en fo form rma a de ma masa sa qu que e cr cruz uza a la fr fron onte tera ra

Al contabiliza contabilizarr toda la energ energ´ıa de flujo incluyendo incluyendo la ganada o perdida por el trabajo de flujo, la energ´ energ´ıa por unidad de masa de la masa de fluido que entra o sale del sistema es: θ  =  = u  u + P v + ec + ep,

 

kJ/kg, kJ/kg,

pero como la entalp´ııaa espec´ıfica ıfica se define como  h =  h  = u  u + P v, la energ´ energ´ıa total de flujo queda: θ  =  = h  h + ec + ep,

 

kJ/kg, . kJ/kg,

 

(9.9)

Teniendo en cuenta lo anterior la primera ley de la termodin´amica amica es: Qentra − Qsale + W entra entra − W sale masa entra − E masa sistema sale  + E masa masa sale  = ∆E sistema Qentra − Qsale + W entra entra − W sale sistema sale  + mθentra − mθsale  = ∆E sistema Ejempl Eje mplo o 33.   Se compra una olla express comercial de 4 L que seg´ u un n las espec´ıficaciones ıficaci ones t´eecnicas cnica s trabaja traba ja a

aproximadamente 1.5 atmosferas (150 kPa). Una vez alcanza la presi´on on de trabajo la v´aalvula lvula se abre y sale vapor de agua y se espera hasta que trabaje en condiciones condiciones de flujo estable para medir la cantidad cantidad de l´ıquido ıquido que se evapor´o en cierto tiempo. Los resultados de la medici´on on arrojan que la cantidad cantidad de l´ıquido en la olla disminuy´ disminuy´ o 2 0.6 L en 40 min. El ´area area transversal de la apertura de salida de la v´alvula alvula es 8 mm . Determine (a) el flujo m´asico asico de vapor y la velocidad de salida, salida, (b) la energ´ energ´ıa total del flujo de vapor por unidad de masa y (c) la tasa a la cual sale energ´ energ´ıa de la olla con el vapor. Soluci´  on:

  Se considera considera condiciones condiciones de saturaci´ saturaci´on on y operaci´oon n de flujo estacionario. Se desprecia cambios en la

ener g´ıa po energ poten tencia cial. l. Revisando en las tablas de propiedades del agua saturada se conocen los siguientes datos a presi´on de 150 kPa: kPa: v  v f  3 3 y  h g  = 2693.1 kJ/kg. /kg,   ug  = 2519.2 kJ/kg y h = 0.001053 m /kg, /kg, v  v g  = 1.1594 m /kg, (a) La cantidad cantidad de flujo flujo m´ asico asico de vapor es la l a masa de l´ıquido que se evapor´o dividido entre el tiempo que ocurri´o es esto to,, as´ıı::   ∆V ll´´ıqui   0.6 L ıq uido do m ˙  =   =  × vf ∆t 0.001053 m2 /kg × 40 min

3

   1 m   1 min  1000 L

×

60 s

≈ 2.37 × 10−4

  kg  . s

Para la velocidad promedio de salida del vapor se utiliza la definici´on de flujo m´asico, asico, m ˙  =  = ρAv  ρAv prom, al despejar, despejar,

 m ˙ v prom  = ρA , como el rec´ rec´ıproco ıproco de la densidad es el volumen espec esp ec´´ıfico, que en este caso se aplica para el vapor de agua, la anterior ecuaci´on on queda:  mv ˙ g v prom  =  , A reemplazando reempla zando valores num´ericos: ericos: 3

2.37 × 10 4   kg   × 1.1594 m  mv ˙ g  m s kg v prom  =  =   ≈ 34. 34 . 3  . A 8 × 10 6 m2 s −

−

(b) Reemplazan Reemplazando do directamente directamente en la ecuaci´ ecuaci´ oon n de energ ener g´ıa espec´ esp ec´ıfica ıfica de flujo, flujo ,   kJ  1  m 0     = 2693. θ  = h  =  h + ec +   ep ep = 2693.1  + 34 34..3

2

= 2693. 2693.1

  kJ

  + 00..588

  kJ

  ≈ 2692 2692..5

  kJ

.

kg kg kg kg Se puede apreciar que la l a energ´ energ´ıa cin´etica etica aporta tan poco a la energ´ energ´ıa total que se pudo haber despreciado y el resultad re sultadoo no habr´ habr´ıa sufrido mayor cambio. cambio .

 2

80

 s

 

Apli caci cion ones es de la pri rime mera ra le ley: y: si sist stem emas as ab abie iert rtos os.. Aplica

Ener En erg g´ıa en fo form rma a de ma masa sa qu que e cr cruz uza a la fr fron onte tera ra

(c) La rapidez con que sale energ´ energ´ıa del sistema sistema por el flujo de vapor es: ˙ masa E  mθ = ˙  = 2.37 × 10 masa  = mθ

4   kg

−

s

  × 2692 2692..5

  kJ   kJ   ≈ 0.638   = 0.638 kW. kW. kg s ♦

Ejemplo Ejempl o 34.  Un secador de cabello comercial se puede modelar como un ducto o tubo de secci´ on on transversal

circular donde hay varias resistencias el´ectricas ectricas y un ventilador ventilador peque˜no no a la entrada. El ventilador impulsa el aire del ambiente y lo hace circular dentro del ducto donde es calentado por las resistencias y expulsado por el otro extremo. Considere un secador de 1200 W en el cual entra aire a una atmosfera (100 kPa) y temperatura ambiente de 22 C y sale a 47 C. El area ´area transversal del ducto es 60 cm2 . Despreciando la potencia consumida por el ventilador y las p´ erdidas erdidas de calor a trav´ es es de las paredes del ducto, determine: (a) el flujo volum´ etrico etrico del aire en el secador y (b) la velocidad de salida del aire. ◦

◦

  Se considera considera el aire en el ducto como un flujo estacionario. estacionario. Todas Todas la unidades unidades se trabajan en el sistema internacional. De acuerdo al enunciado s´olo olo hay trabajo el´ectrico ectrico de entrada, se desprecia el traba trabajo jo del aspa.

Soluci´  on:

(a) Se plantea el balance bal ance de energ´ energ´ıa (primera ley de la termodin´amica) amica ) en e n forma fo rma se tasa, as´ as´ı: 0

0

0

   0             ˙sale + W    ˙ entra ˙sale +  E  ˙ masa  E  ˙ masa ˙entra − Q − W  −  = Q ∆ E        e ntra m asa entra sistema . sistema m asa sale      

En condiciones condicione s deseflujo estable energ enerno g´ıa ıa hay interna interna del sistem a nodecambia cam bia luego y por los lo tanto tant el lado derec hoosdeson la ecuaci´ on on anterior anterior toma comolacero, entrada entra da sistema ni salida calor dos oprimeros prime ros derecho t´eerminos rmin cero. Si el flujo m´aasico sico de aire que entra es igual al que sale ( m ˙ entra   = m ˙ sale   = m ˙ ) y considerando que la velocidad del aire a la entrada es cero, los t´erminos erminos restantes son:

  + m ˙ h

˙ entra W  entra

entra +

0  = 0

     1 20 1 2   v entra − hsale −    vsale     2 2   

 

∴

  W  ˙ entra ˙ ∆h. entra = m

Aunque la l a velocidad velo cidad de salida sal ida no n o es cero, la energ en erg´´ıa cin´ c in´etica etica es muy peque˜ p eque˜na na comparada co mparada con la eentalp ntalp´´ıa, revisar ejemplo ejemp lo anterior, anterior, y por esto se desprecia. desprecia. Organizand Organizandoo y despejando despejando m ˙, m ˙  =

˙ entra W  entra  . ∆h ◦

A por condiciones y temperaturas de por encima de 10 C el aire se puede considerar un gas ideal T , reemplazando valores, y lo tanto de ∆huna ∆h  = c  =  catmosfera P   · ∆T , m ˙  =

˙ entra W    entra  = cP ∆T  1.005

  kg 1.2 kW ≈ 0.04776   . s (47 C − 22 C)

  kJ kg C   ×   ◦

 ◦

 ◦

˙   = m/ρ (b) Para Para encontrar encontrar el flujo volum´ etrico etrico se debe puede puede utilizar utilizar la ecuaci´ ecuaci´ oon n  V   V  m/ρ, ˙ , donde  donde   ρ  es la densidad del 3 aire que es 1.2 kg/m , as´ı:   0.04776   kg  m ˙   m3 s ˙ V   V   =   =  . ≈ 0 . 0398 ρ s 1.2   kg m3

Sin embargo embargo puede ocurr o currir ir que la densidad cambie cambie p por or el efecto efecto del calentamien calentamiento to del aire y por lo tanto tanto no sea   ˙ confiable el c´aalculo lculo anterior. Para corregir esta situaci´on on se recurre a la ecuaci´oon n V   V   = mv mv, ˙ , donde el volumen espec´´ıfico se puede calcular con la relaci´on espec on de gas ideal, ideal , as as´´ı: 0 . 287 kPa · m3 /kg × 295 K   RT entrada   m3 entrada ventrada =  , =   ≈ 0.8467 kg P entrada 100 kPa entrada



81



 

Aplicaciones de la primera ley: sistemas abiertos.

Ejercicios

y por lo tanto el flujo volum´ etricos etricos es: 3

3

  kg  m  m ˙   = mv V   V  ˙ entrada = 0.04776   × 0.8467  .   ≈ 0.0404 s kg s (c) La velocida velocidad d de salida se calcul calculaa a partir partir de la ecuaci ecuaci´on ´on m ˙   =   ρsalidaAsalidavsalida. Aqu´ Aqu´ı se tiene la misma dificultad de la parte (b), por lo tanto lo primero que se debe hacer es calcular la densidad del aire a la salida del secador y como ´esta esta es el rec´ rec´ıproco ıpro co del volumen espec´ıfico, ıfico,  ρ  = 1/v /v,, entonces: 0.287 kPa · m3 /kg × 320 K   RT salida   m3 salida vsalida = =   ≈ 0.9184 kg P salida 100 kPa salida



por lo tanto: ρsalida  =



 

1

3 0.9184   m kg

≈ 1.089

  kg m3

por lo tanto la velocidad de salida es:   0.04776   kg m ˙ s vsalida  = =   kg ρsalidaAsalida 1.089 m   × 60 × 10  

−

3

4

m2

≈ 7.31

 m  . s

El autorcar´ esacter consciente que posible confundir velocidad con volumen espec´ espec´ıfico ya que sesta utiliza el mismo acter por esto se es invita a estar muy concentrado y no ir a cometer errores p por or ´eesta raz´on. on.exactamente Por otro lado el estudiante es tudiante puede verificar que la l a energ ene rg´´ıa ıa cin´etica etica es de verdad tan ta n peque˜ p eque˜na na que se puede despreciar en el c´alculo alculo del numeral (a) sin mayor error en el resultado final.   ♦

on 9.2: Ejercici on Ejercicios os Secci´

Ejercicio 67.  A la entrada del ducto de aire de un secador comercial de cabello, la densidad del aire es de 1.29

m3 /kg y 1.02 m3 /kg a la salida. Calcule en cuanto aumenta la velocidad del aire al pasar por el secador. Ejercicio 68.  Por una tuber´ tuber´ıa para vapor se debe transportar 120 lbm en cada segundo de vapor de agua que

est´ a a 10 atmosferas y 500 F. Si se desea que la velocidad del vapor sea de 45 ft/s, ¿cu´al al debe ser el radio del ducto? ◦

Ejercicio 69.   Un tanque r´ıgido de 1 m3 contiene aire cuya densidad es 1.29 kg/m3 y est´ a conectado por medio

de una v´alvula alvula a un tubo de suministro de alta presi´on. on. Al abrir la v´alvula alvula el aire a presi´oon n entra al tanque hasta que su densidad aumenta 10 veces. ¿Cu´anta anta masa de aire entr´o en el tanque? Ejercicio Ejerci cio 70.  Una zona de fumadores en un edificio se acondiciona con un ventilador para suministrar aire fresco.

Los ingenieros estiman que por fumador se debe proporcionar 30 Litros de aire fresco cada segundo. Si se planea una sala con capacidad m´axima axima de 20 fumadores al tiempo, calcule: (a) El flujo volum´ etrico etrico m´ınimo de aire fresco que se debe entregar y (b) el di´ametro ametro m´ınimo ınimo del ducto para que la velocidad del aire tenga un valor m´aximo aximo de 6 m/s y no incomode a las personas que usan dicho recinto. Ejercicio 71.   Una manguera de jard´ jard´ın, con una boquilla bo quilla (tobera), se usa para llenar un recipien recipiente te de 5 galone galones. s.

El di´ametro ametro interior de la maguera es de una pulgada que la boquilla reduce a la mitad. Si la velocidad promedio del agua en la manguera es de 10 ft/s determine (a) el flujo m´asico asico y volum´ etrico etrico del agua a gua en la manguera, (b) cu´ aanto nto tiempo tarda en llenar el recipiente y (c) la velocidad promedio del agua a la salida de la boquilla.

82

 

Cap Cap´ ´ıtu ıtulo lo 10: Disp Disposi ositivo tivoss de ing ingeni enier er´ ´ıa

En particular llos os balances de masa y energ´ııaa vistos en el cap´ cap´ıtulo anterior tienen amplia aplicaci´on on en dispositivos de ingenier ingeni er´´ıa que son usados en la mayor´ mayor´ıa de m´aaquinas quinas y artefactos de la industria y con los cuales ingenieros de todas las ramas tienen contacto directo. Tales dispositivos van desde la tobera de la manguera con que se riega de agua las flores de un jard´ jard´ın hasta los intercambiadores de calor presentes en autom´oviles oviles y sistemas de refrigeraci´oon n de procesos industriales de las plantas de producci´on. on. En lo que sigue se presentar´a una exposici´on on detallada de algunos de estos dispositivos con sus correspondientes balances balanc es de masa y energ´ııa. a.

Secci´ on 10.1: Toberas on Toberas y difu difusor sores es

Estos dispositivos tienen como misi´on on principal aumentar o disminuir la velocidad de un fluido y tiene como una de sus prinicipales aplicaciones la de inyectar combustibles en motores mot ores de veh´ veh´ııculos culos o la expulsi´ on on de gases en los mismos. Se considera considera que tanto tanto el difusor difusor como la tobera operan permanentemen permanentemente te en r´ eegimen gimen de flujo estacionario estacionario por lo tanto no habr´a variaciones de las propiedades del sistema (volumen de control) y como no hay resistencias el´ectricas ectricas ni agitadores de paletas ni otros mecanismos dentro del dispositivo y adem´ as as no hay movimiento de la frontera del volumen de control entonces no hay trabajo que entre o salga del difusor (o la tobera). Normalmente el fluido pasa tan r´apido apido por estos aparatos que no hay tiempo de intercambio de calor con el exterior y por lo tanto y a menos que se diga lo contrario no se tendr´a een n cuenta cu enta los l os t´erminos erminos de calor c alor en el balance de energ e nerg´´ıa. 10.1.1: Tobera

La tobera es un tubo o ducto cuya secci´on on transversal va dismuniyendo en la direcci´on on que avanza el fluido y por lo tanto el ´area area de la secci´on on transversal de la salida es de menor valor que la de entrada. Las figuras 10.1 figuras  10.1   y  10.2 son ejemplos de toberas.

Figura 10.1: Imagen de una tobera y difusor que hacen parte de un motor de reacci´on. on.

Figura 10.2: Imagen de toberas t´ıpicas para usar en mangueras de jard´ jard´ın. Estos dispositivos est´an an dise˜ nados nados para funcionar por mucho tiempo en condiciones de flujo estacionario como puede ser el caso de una central hidroel´ ectrica ectrica donde se utilizan utilizan toberas para acelerar acelerar el fluido cuando este llega 83

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Tob eras y difusores

a las turbinas, pero una vez arrancan no se detienen de no ser por mantenimiento o da˜no. La figura  10.3 es  10.3  es un diagrama de una tobera,

Figura 10.3: En este Figura este dia diagra grama ma de una tobera el ´ındice ındice 1 se refiere refiere a las propie propiedad dades es en la secci´ secci´ on on de entrada, mientras mien tras el 2 a lo mismo pero en la salida. salida. La l´ınea ınea roja indica el volumen volumen de control. control. Ejemplo Ejempl o 35.  Para alimentar el sistema de combusti´ on on de un equipo un ventilador provee aire a una tobera en

forma continua a 300 kPa, 200 C y 30 m/s, logrando inyectarlo a la salida de la misma a 100 kPa y 180 m/s. El ´area de entrada de la tobera es 80 cm2 . Determine (a) el flujo de masa por la tobera, (b) la temperatura del aire area a la salida y (c) el ´area area de salida de la tobera. ◦

Soluci´  on:  

Se considera un sistema de flujo estacionario, adiab´ atico. atico. A las temperaturas y presiones del enunciado el aire tiene comportamiento de gas ideal. (a) Es posible aplicar aplicar directamen directamente te la ecuaci´ on on de flujo m´asico asico advirtiendo que primero se debe calcular el volumen espec´ıfico ıfico y con su rec´ rec´ıproco ıpro co se tiene el valor de la densidad, densida d, as´ as´ı: 0.287 kPa · m3 /kg × 473 K   RT 1   m3 v1  =   =  ,   ≈ 0.4525 P  kg 300 kPa





 

∴

  ρ1   ≈ 2.21

  kg . m3

Ahora el c´alculo alculo del flujo m´asico: asico: m ˙  =  = ρ  ρ 1 A1 v1  = 2.21

  kg   × 80 × 10 m3

4

−

m2 × 30

 m   kg   ≈ 0.528   . s s

Como el sistema se encuentra trabajando en r´egimen egimen de flujo estacionario, el flujo m´asico asico en la entrada debe ser igual al de la salida. Dicho lo mismo pero desde el balance de masa,    0 ˙ 1 −  m ∆   ˙ 2  =   m m sistema ,

 

∴

  m ˙ 1  = m ˙ 2.

(b) Haciendo el balance de energ´ energ´ııa, a, 0

0

0

0

   0                ˙2  +    ˙1 −   ˙1 − Q ˙2  + mθ W  Q W  ˙ −   mθ ˙  = ∆ E     sistema 1 2 sistema .      

En raz´on on que la tobera es adiab´atica atica no hay calor que entre o salga del volumen de control, tampoco hay trabajo que cruce la frontera. El hecho que el sistema se encuentre trabajando traba jando en r´egimen egimen de flujo estacionario lo que entra y sale en energ´ energ´ıa siempre es lo mismo por lo tanto t anto el sistema no sufre cambios de energ´ energ´ıa interna. Reemplazando los ceros y expandiendo la energ´ energ´ıa de flujo, se tiene: 0 0    1 − h2 − ec2 −      2  = 0. m ˙ h1  + ec1  +   ep ep



84



 

Dispositivos de ingenier´ıa

Tob eras y difusores

En una tobera como la del diagrama   10.3  el sistema sistema no sufre sufre cambios cambios apreciables apreciables de energ´ energ´ıa potencial, potencial, de hecho hec ho el centro centro de masa no cambia cambia de altura y por lo tanto tanto estos t´eerminos rminos se desprecian desprecian.. La variaci´ ariacion o´ n de la ental ent alp p´ıa est est´´a relacionada con el calor espec´ espec´ıfico a presi´ on on constante  constante   cP , as´ı: 1 2  1 2 v − v   =  c P  (  (T  T 2 − T 1 ) , 2 1 2 2 despejando   T 2 , despejando T 2  =

1 2 2 v1

 1 2

− 2 v2 + T 1 ,

cP 

reemplazando reempla zando valores num´ericos, ericos, T 2  =

1 2

 m 2 s

30 

−   21 180   m s

1.005



  kJ kg C   ◦

2



+ 473 473 K ≈ 457 457..3 K.

Que convertido a grados Celsius es 184.3 C. ◦

(c) Pa Para ra calcula calcularr el ´aarea rea de la boquilla de salida se utiliza la ecuaci´on on de continuidad, ρ1 A1 v1   = ρ 2 A2 v2 . Las densidades se calculan por aparte para evitar la confusi´on on con la notaci´on on de volumen espec´ıfico ıfico y velocidad, velo cidad, as´ı:

0.287 kPa · m3 /kg K × 473 K   RT 1   m3 v1  =  ,   =   ≈ 0.4525 kg P 1 300 kPa 0.287 kPa · m3 /kg K × 457 457..3 K   RT 2   m3 v2  =  , =   ≈ 1.3124 kg P 2 100 kPa

 

 

∴

 

  kg . m3   kg   ρ2   ≈ 0.762 3 . m

  ρ1   ≈ 2.21 ∴

Despejando y reemplazando valores en la ecuaci´on on de continuidad, kg 2.21   m   × 80 × 10 4 m2 × 30   m   ρ1 A1 v1 s A2  = = ≈ 3.87 × 10   kg   m ρ2 v2 0.762   × 180 −

3

−

m3

3

m2 .

s

♦

10.1.2: Difusores ores 10.1.2: Difus

B´asicament asicamentee un difusor es una tobera operando operando en sentido contrario, contrario, lo que permite reducir la velocidad velocidad del fluido pero a cambio aumenta la presi´on on en el punto de salida. Ejemplo 36.   A un difusor adiab´ atico atico entra aire a 13 psia y 20◦ F, con una velocidad constante de 600 pies/s y

sale a 145 psia. Se dise˜ na na de tal forma que ´area area de salida del difusor es cinco veces mayor de la de entrada. Calcule la velocidad a la que sale el aire.   No hay entrad entradas as ni salidas salidas de calor ya que es un difusor difusor adiab´ adiab´ atico. atico. Se considera un r´ egimen egimen de operaci´on on de flujo estacionario estacionario por lo que no hay cambios en la energ energ´´ıa del sistema sistema y el flujo m´ asico asico de entrada es igual que el de salida. A las presiones y temperaturas de operaci´on on el aire se puede tratar como un gas ideal. Balance de masa:    0 m ˙ 1 −  m ˙ 2  =   ∆   m   m ˙ 1  = m ˙ 2. sistema ,   ∴

Soluci´  on:

Balanc Bal ancee de d e energ ener g´ıa,

85

0 0 0 0    0                    ˙ ˙ ˙ ˙ − − − Q Q  + W  W   + mθ ˙   mθ ˙  = ∆ E           1 2 1 2 1 sistema . sistema 2      

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Tob eras y difusores

Figura 10.4: En este Figura este dia diagra grama ma de un difuso difusorr el ´ındice ındice 1 se refiere refiere a las pro propie piedad dades es en la secci´ secci´ on on de entrada, mientras mien tras el 2 a lo mismo pero en la salida. salida. La l´ınea ınea roja indica el volumen volumen de control. control. Reemplazando los ceros y expandiendo la energ´ energ´ıa de flujo, se tiene:





0 0    1 − h2 − ec2 −      2  = 0. m ˙ h1  + ec1  +   ep ep En un difusor como el del diagrama 10.4 diagrama  10.4 el  el centro centro de masa no cambia cambia de altura y por lo tanto los t´ erminos erminos de energ´´ıa potencial energ p otencial se hacen cero. Con lo anterior se llega a: 1 2  1 2 v − v   =  h 2 − h1 , 2 1 2 2 despejando   h2 , despejando

  1 2  1 2 v − v  + h1 , 2 1 2 2 En la correspondiente tabla de propiedades del aire, por ejemplo en la referencia [1] [ 1] la  la tabla A-17, se encuentra el valor de  de   h1  ya que se conoce la presi´on on y temperatura, no as´ as´ı con con   h2 . Pero la ecuaci´on on tiene otra inc´ognita, ognita, la velocidad de salida v salida  v 2 , por p or lo l o que se propone prop one lo l o siguiente: considerar que la energ´ energ´ıa cin´ etica etica que se aporta por esta velocidad es tan peque˜ na na comparada con la entalp´ entalp´ıa que se puede despreciar (lo que es muy razonable como se ha visto antes) y primero calcular la entalp´ entalp´ııaa de salida sali da para identificar la temperatura en ese punto y despu´ es es con la ecuaci´ on on de continu continuidad idad y de gas ideal se calcula la velocidad. velocidad. Convirtiendo Convirtiendo todas las unida unidades des a las ingl´esas, esas, se tiene: h2  =

h2  =

  1 2

600

2

    1Btu/lbm    ft s

×

25 25..037ft2 /s2

0

 1      Btu   Btu   ≈ 121 −    v22 + 114. 114.69 121..88 , 2 lbm lbm   

en la correspondiente tabla ([1 ([1] - tabla A-17) se encuentra que: T @h=121 =121..88

  Btu lbm

= 510. 510.0R =  T 2 .

Continuando con el plan, en la ecuaci´on on de continuidad: ρ1 A1 v1  =  = ρ  ρ 2 A2 v2 , seg´ un un el enunciado  enunciado   A2  = 5A1 , entonces: v2  = 86

 

∴

 

v2  =

  ρ1 A1 v1   ρ1 v1 = . ρ2 5A1 5ρ2

  ρ1 A1 v1 , ρ2 A2

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Turbinas y compresores

Con la ecuaci´on on de gas ideal y recordando que la densidad es el rec´ rec´ıproco ıproco del volumen espec´ıfico, ıfico, 1   RT    =  v  v =  =  , ρ P 

 

∴

 

ρ  =

  P   , RT 

que reemplazando en 1 y 2 de la ecuaci´on on donde se despej´o  v 2 , se tiene: v2  =

P 1 RT 1 v1

=

2 2

  P  5 RT 

  P 1 T 2 v1 5P 2 T 1

=

 13 psia × 510 R × 600 ft/ ft/s

  ≈ 114 114..3

5 × 14 14..5 psia × 480 R

  ft  . s ♦

Secci´ on 10.2 on 10.2:: Turbi urbinas nas y comp compreso resores res

A diferencia de las toberas y difusores en las turbinas y compresores hay dispositivos dentro del volumen de control que permiten la entrada o salida de trabajo. Usualmente este dispositivo es una rueda de paletas solidaria a un eje que puede girar. Si se aplica trabajo externo para mover el eje se considera trabajo que entra y en caso que sea el mismo fluido dentro del volumen de control el que haga girar el eje ser´a trabajo de salida. A continuaci´oon n se muestran im´agenes agenes y diagramas de turbinas,

Im´aagen gen y diagrama de un compresor:

Note que un ventilador se puede considerar un compresor la diferencia es el nivel de presi´on on que se logra. 10.2.1: Turbina

En las l as grandes hidroel´ hidro el´ectricas ectric as y ttermoe ermoel´ l´ectricas ectrica s el eje de una turbina es movido m ovido por la energ energ´´ıa de flujo del l´ıquido o el vapor respectivamente y su principal misi´on on es obtener potencia. Un diagrama que ejemplifica el funcionamiento de un turbina se presenta en la figura  10.5, 87

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Turbinas y compresores

Figura 10.5: El fluido entra por el punto 1 y sale por el 2 y en su paso mueve Figura mueve la h´ elice elice produciendo produciendo trabajo de salida. El fluido cruza la frontera en el punto 1 y a continuaci´on on produce potencia de salida en el movimiento del eje para finalmente salir por el punto 2 del diagrama. Como es de esperar los valores de las propiedades tienen valores distintos tanto en la entrada como en la salida lo que produce un estado 1 y otro distinto 2. Estos dispositivos est´an dise˜ nados nados para funcionar en r´ egimen egimen estacionario por largos periodos p eriodos de tiempo tiemp o y por lo tanto la energ´ energ´ıa interna del fluido dentro del volumen de control no cambia en el tiempo y si no se dice lo contrario se despreciar´a cualquier intercambio de calor con el exterior considerando que el fluido pasa tan r´apido apido por la c´amara amara de la turbina que no alcanza a entrar ni salir calor. Ejemplo 37.  Por una turbina adiab´ atica atica pasa un fluido estacionario de vapor de agua. En la entrada se registran

los siguientes valores: Presi´on on de 10 MPa, temperatura de 450 C y velocidad de 80 m/s, mientras en la salida se lee: Presi´on on de 10 kPa, calidad calidad del 92 % y velocidad velocidad de 50 m/s. m/s. El flujo de masa del vapor en la en entra trada da es de 12 kg/s. Calcular (a) el cambio en la energ´ energ´ıa cin´etica, etica, (b) la potencia desarrollada por la turbina y (c) el ´aarea rea de entrada de la turbina. ◦

Soluci´  on:

  La diferencia difere ncia deenalturas entre en´ıa trepotencial. la entrada entrada y la salida en este tipo de dispositivos dispositivos es tan peque˜ na na que se desprecia cualquier cambio la energ´ energ (a) Como se conoce la rapidez del fluido tanto en la entrada como en la salida, el c´alculo alculo de este cambio es inmedia inm ediato, to, as´ı: ı:  1  1  1  m ∆ec ec =  = v22 − v12   = 50 2 2 2 s

 

2

 1  m − 80 2 s

 

2

≈ −1950

 J   kJ   = −1.95 . kg kg

(b) Teniendo eniendo en cuenta cuenta que el sistema sistema es estacionario estacionario,, el balance balance de masa queda:    0 m ˙ 1 −  m ˙ 2  =   ∆   m sistema ,

 

∴

  m ˙ 1  = m ˙ 2.

Balanc Bal ancee de energ ener g´ıa 0

0

0

   0             ˙1 − Q ˙2 +    ˙1 −  W  ˙ 2  + mθ Q W  ˙ −   mθ ˙  = ∆ E     1 2 sistema . sistema      

88

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Turbinas y compresores

Despejando la potencia de salida:





 1  1 ˙ 2  = mθ W  ˙ 1 −  mθ ˙ 2  = m ˙ h1  + v12 − h2 − v22 , 2 2 expresi´ on on en la cual falta identificar identificar el valor de las entalp´ entalp´ıas, pero como se conocen las fases: fases: en la entrada entrada es vapor (aunque (aunque no se sabe si es sobrecalen sobrecalentado tado o saturado) saturado) mientras en la salida es mezcla mezcla saturada saturada l´ıquid ıquidoovapor. Revisando en las tablas del agua: a ) Entrada: Entrada: La temperatura temperatura de saturaci´ saturaci´ on on a una presi´on o n de 10 MPa es 311◦ C que es menor que la dada,

luego la fase es vapor sobrecalentado. Los valores de las propiedades en la entrada son: P 1  = 10 MPa ◦

T 1  = 450 C   kJ kg   m3  ,   volumen volum en espec esp ec´´ıfico ıfic o v1  = 0.029782 kg  m v1  = 80  ,   velocidad s

h1  = 3242. 3242.4

b ) Salida: La fase del sistema es mezcla saturada l´ıquido-vapor ıquido-vapor a presi´ on on de 10 kPa, de las tablas se obtiene:

P 1  = 10 kPa 45..810 C T 1  = 45   kJ hf  = 191. 191.81 kg   kJ hg  = 2583. 2583.9 kg x  = 0.92 ◦

y por lo tanto la entalp´ entalp´ıa promedio es: h  =  h   + x(h − h ) = 191. 191.81 2

f 

g

f 

  kJ

  + 0. 0.92 2583 2583..9

kg

  kJ

De nuevo en la potencia de salida,

  − 191 191..81

kg





  kJ

≈ 2392 2392..5

 kg 

  kg   kJ   kJ   kJ ˙ 2  = m W  ˙ (h1 − h2 − ∆ec ec)) = 12 3242.4 3242.   − 2392 2392..5   − −1.95 s kg kg kg



  kJ

.

kg

≈ 10. 10.22 MW. MW.

(c) El area ´area de la secci´on on de entrada en la turbina se calcula despejandola de la definici´on on de flujo m´asic as ico, o, as´ıı:: m ˙  = reemplazando:

 1 A1 v prom  prom1 1, v1

 

∴

  A1  =

  v1 m  ˙ , v prom 1  prom1

3

  kg 0.029782   m kg   × 12 s

A =

80   ms

2

≈ 0.00447 m . ♦

89

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Turbinas y compresores

Figuraa 10.6: El fluido entra por el punto 1 y sale por el 2 y en su paso la h´ Figur eelice lice lo “empuja”. 10.2.2:: Compres Compresores ores 10.2.2

El principal objetivo de un compresor es producir un aumento notable en la presi´on on del fluido. Al contrario de la turbina un agente externo mueve al eje “empujando” el fluido con lo que se logra el aumento de presi´on. En el diagrama 10.6 diagrama  10.6 se  se puede observar que el fluido entra por el punto 1 y el eje hace trabajo que entra. El an´alisis alisis es id´entico entico al de la turbina s´ olo olo que con trabajo que entra. Ejemplo 38.  Un compresor adiab´ atico atico impulsa aire que est´a a 120 kPa y 20 ◦ C a raz´on on de 10 L/s y lo comprime a

1 Mpa elevando su temperatura a 300 C. Determine la potencia necesaria para que el compresor realice su trabajo. ◦

  La diferencia diferencia de alturas entre entre la entrada entrada y la salida en este tipo de dispositivos dispositivos es tan peque˜ na na que se desprecia cualquier cambio en la energ´ energ´ıa potencial. Balance de masa queda de un sistema en r´egimen egimen estacionario: Soluci´  on:

   0 m ˙ 1 −  m ˙ 2  =   ∆   m sistema ,

 

∴

  m ˙ 1  = m ˙ 2.

Balanc Bal ancee de energ ener g´ıa 0    0 0    0          ˙1 − Q ˙2  +  W  ˙ 1 −   ˙2  + mθ Q W  ˙ −   mθ ˙   = ∆ E     1 2 sistema . sistema       Despejando la potencia de entrada:





 1  1 ˙ 1  = mθ W  ˙ 2 −  mθ ˙ 1  = m ˙ h2  + v22 − h1 − v12 , 2 2 conside rando que las considerando l as energ en erg´´ıas cin´eticas etica s no aportan apor tan mucho se desprecian despreci an estos es tos t´erminos ermino s y se rec recuerda uerda que el cambio en la entalp´ enta lp´ııaa est est´a´ relacionado con el  el   cP , entonces: ˙ 1  = mc W  ˙ P ∆T . Pero todav´ todav´ıa no se puede reemplazar valores pues falta el flujo m´asico asico pero a cambio se conoce el flujo volum´etrico. etrico. Recordando la relaci´on on de gas ideal y la ecuaci´on on que relaciona flujo m´asico asi co con volum´ volu m´etrico: etri co:  L   120 kPa  ˙   =   P  V   ˙ = × 10   × m ˙  = ρ  =  ρ V   V  V  m s RT  0.287   kPa kg K   × 293 K 3

90

3

 1 m  1000 L

≈ 0.01427

  kg  . s

 

Dispositivos de ingenier´ıa

V´ alvulas de estrangulamiento

Ahora si se puede calcular la potencia requerida, reemplazando:   kg   kJ ˙ 1  = mc W  ˙ P ∆T   = 0.01427   × 1.005   × (300 C − 20 C) ≈ 4.02 kW. kW. s kg C ◦

◦

 ◦

♦

on 10.3: V´ on alvulas de estrangulam alvulas e strangulamiento iento Secci´ Las v´alvulas alvulas de estrangulamiento son dispositivos construidos con el prop´osito osito de producir ca´ ca´ıdas apreciables en la presi´on on de un fluido que fluye por una tuber´ıa ıa o ducto. La llave l lave del agua del lavamanos lavamanos o la cocina co cina son ejemplos de este tipo de artefactos, artefactos, tambi´ tambi´ en en la llave llave del registro del acueducto acueducto o la perilla que controla controla la salida del gas natural en la estufa u otro gasodom´estico estico en la casa o empresa.

En el an´alisis alisis se debe consideran que no hay dispositivos (resistencias el´ectricas, ectricas, agitadores de paletas o fronteras m´oviles) oviles) dentro de estas v´alvulas alvulas que ejecuten trabajo, igualmente no hay tiempo ni ´area area suficientes para que se intercambie intercamb ie calor con el exterior y los cambios de energ´ energ´ıa potencial y cin´ etica etica son tan peque˜nos nos que se desprecian. desprecian. Y en todos los casos se supone r´egimen egimen de flujo estable. Con todo to do lo anterior el balance de energ´ energ´ıa se reduce a: 0

0

0

0

   0                ˙1 − Q ˙2 +    ˙1 −    ˙2  + mθ Q W  W  ˙ −   mθ ˙  = ∆ E     1 2 sistema . sistema       0

   +      ≈ h  y por lo tanto: con θ con  =  h +    θ  = h ep ec 0

h1  =  h2 . En la figura 10.7 figura  10.7 se  se presenta un diagrama de una v´alvula alvula de estrangulamiento,

Figura 10.7: El fluido entra por el punto 1, sufre una restricci´on on que produce un aumento de presi´on on en la salida. Como h Como  h =  = u  u + P v, la ultima u ´ ltima ecuaci´ ecuacion ´on queda: u1  + P 1 v1  =  u 2  + P 2 v2 ,

 

(10.1)

on de Bernoulli  y expresi´ on on conocida en mec´anica anica de fluidos como  ecuaci´    y que expresa la conservaci´on on de la ener energg´ıa que es obvio pues proviene de un balance de energ´ııa. a. 91

 

Dispositivos de ingenier´ıa

V´ alvulas de estrangulamiento

Ejemplo 39.  En una nevera comercial de uso dom´ estico estico el refrigerante 134-a “roba” calor a los alimentos lo que

hace que su presi´on on y temperatura aumenten a 800 kPa y 25 C respectivamente. Con el fin de hacerlo recircular y que vuelva a hacer su trabajo de “robar” calor se hace pasar por una v´alvula alvula de estrangulamiento para bajar su presi´on on y temperatura. Con un term´ometro ometro colocado a la salida de la v´alvula alvula se registra una temperatura de -20 C. Calcular la presi´on on y energ ene rg´´ıa interna del refrigerante refriger ante despu´ d espu´es es de salir s alir de la l a v´ v a´alvula lvula de estrangulamiento. ◦

◦

  Con la presi´ presion ´on y temperatura del estado inicial se puede saber la fase de la sustancia y conocer la entalp´´ıa de este estado. A la presi´ entalp on on de 800 kPa la temperatura de saturaci´on on es 31.31 C que es mayor que la temperatura tempera tura dada (25 C) y por lo tanto se concluye que la fase es un l´ıquido ıquido comprimido. En este caso la l a entalp´ entalp´ıa ser´ a   hf   a la temperatura dada. Revisando en las tablas (en algunas no est´a el dato para 25 C entonces se debe hacer una interpolaci´oon), n), obteniendose: P 1  = 800 kPa

Soluci´  on:

◦

◦

◦

◦

T 1  = 25 kPa   kJ h1  = 86 86..41 . kg De acuerdo al an´alisis alisis hecho para estas v´alvulas h alvulas  h 1  =  = h  h 2 . Por lo tanto, h2  = 86 86..41

  kJ . kg ◦

Buscando en las tablas de refrigerante saturado a la temperatura de -20 C, los valores de las propiedades son: P 2  = 132. 132.82 kPa ◦

T 2  = −20 kPa   kJ hf   = 25 2 5.49 . kg   kJ hg  = 238. 238.41 . kg   kJ uf   = 25 2 5.39 . kg   kJ ug  = 218. 218.84 . kg Observando Observ ando los datos se puede apreciar que la entalp´ entalp´ıa de la sustancia est´a entre el valor de l´ıquido y el de vapor, es decir   kJ hf   <  86.  86 .41   < hg , kg y por lo tanto la fase de la sustancia es mezcla saturada y el valor   h2 =86.41 kJ/kg se debe considerar como el valor promedio de la entalp´ entalp´ıa en el estado final. Con la anterior se calcula la calidad, as´ as´ı: 86 86..41   kJ   − 25. 25.49   kJ   h2 − hf  kg kg x  = = ≈ 0.2861 2861..   kJ   hg − hf  238.41 kg   − 25. 238. 25.49 kJ kg Finalmente la energ´ energ´ıa interna del refrigerante es: u2  = u  =  u f   + xU f g   = 25 25..39

  kJ kg

92

 + 0.2861 × 218 218..84



  kJ kg

  − 25. 25.39

  kJ kg

≈ 80. 80.74



  kJ

.

kg ♦

 

Dispositivos ingenierr´ıa Dispos itivos de ingenie

 

C´ amara s de mezc amaras mezclado lado

Secci´ on 10.4: C´ on amaras de mezclado amaras

En diversas aplicaiones industriales i ndustriales y dom´eesticas sticas es necesario mezclar fluidos. Un ejemplo muy conocido cono cido por todos es la ducha en la cual se mezcla agua fr´ fr´ıa ıa y caliente para obtener agua a la temperatura ideal para el ba˜n no. o. El lugar donde ocurre la mezcla es llamado c´amara amara de mezclado. Las siguientes im´agenes agenes ilustran ilustran aplicaciones aplicaciones cotidianas cotidianas de las mencionadas c´amaras, amaras,

Igual que en los dispositivos anteriores se considera r´egimen egimen de flujo estacionario, no hay interacciones i nteracciones de trabajo traba jo dentro de la c´amara, amara, a menos que se diga lo contrario se desprecian intercambios de calor con el exterior e igualmente los cambios en las energ´ energ´ıas ıas potencial y cin´etica etica son tan peque˜nos nos que se desprecian, pero atenci´on, on, se debe tener cuidado con el balance de masa pues aqu´ aqu´ı ya no hay una s´ola ola entrada. En la figura 10.8 figura  10.8 se  se muestra un diagrama de una c´amara amara de mezclado.

Figura 10.8: Los puntos de entrada al volumen de control son 1 y 2 y la mezcla sale por el punto 3. Dos fluidos entran, uno por el punto 1 y el otro por el punto 2, se encuentran en la c´amara se mezclan y salen por el punto 3. El balance de masa en este caso es: m ˙ 1  + m ˙ 2  = m ˙ 3. Ejemplo Ejempl o 40.   Usted dise˜ n naa la ducha de su casa para que entregue agradable agua tibia a 42 ◦ C. El calentador

provee agua a 80 C y a raz´on on de 0.5 kg/s. El agua fr´ fr´ıa en promedio se mantiene mantiene a 20 C, ¿cu´al al debe ser el flujo m´asico asico del agua fr´ fr´ıa para que al mezclarla con el agua del calentador se logre el prop´ osito? osito? Nota: considere que la mezcla ocurre a 250 kPa. ◦

Soluci´  on:

  Balance Balance de masa: masa:

m ˙ 1  + m ˙ 2  = m ˙ 3. del cual s´oolo lo se con conoce oce m ˙ 1  y se desea desea calc calcula ularr m ˙ 2.

93

◦

 

Dispositivos ingenierr´ıa Dispos itivos de ingenie

 

Balanc Bal ancee de d e energ ener g´ıa,

0

0

0

C´ amara s de mezc amaras mezclado lado

0

   0                ˙1 − Q ˙2  +    ˙1 −    ˙2  + m Q W  W  ˙ θ  + m ˙ θ −   m ˙ θ  = ∆ E     1 1 2 2 3 3 sistema . sistema       0

   +      ≈ h  y por lo tanto: con θ con  θ  = h  =  h +   ec ep 0

m ˙ 1 h1  + m ˙ 2 h2   = m ˙ 3 h3 . Se revisan las fases de cada entrada y la de la salida, as´ı: ı: 1. Entra Entrada da 1: A la presi´ presi´ on on de 250 kPa la temperatura de saturaci´on on es de 127 C muy alta comparada con las temperaturas de los tres puntos, luego en todos to dos la fase es l´ıquido comprimido. La entalp´ entalp´ıa se lee en las tablas como   hf  a la temperatura dada. En particular para el punto 1: como ◦

P 1  = 250 kPa ◦

T 1  = 80 C   kg m ˙ 1  = 0.5 s h1  = 335. 335.02

  kJ kg

2. Entrada 2: fase l´ıquido ıquido comprimido. La entalp´ entalp´ıa se lee en las tablas como  como   hf  a la temperatura dada. P 2  = 250 kPa T 2  = 20 C ◦

m ˙ 2  =??? h2  = 83 83..915

  kJ kg

3. Salida 3: fase l´ıquido ıquido comprimido. La entalp entalp´´ıa se lee en las l as tablas tabla s como  h f  a la temperatura dada aunque en la tabla que se uso no aparce el dato para 42 C y se debi´o interpolar. ◦

P 3  = 250 kPa ◦

T 3  = 42 C m ˙ 3  =??? h3  = 175. 175.89

  kJ . kg

De acuerd acuerdoo con el balance balance de masa m ˙ 3  = m ˙ 1  + m ˙ 2 , reemplazando en el balance de energ´ energ´ıa, m ˙ 1 h1  + m ˙ 2 h2  = (m ˙ 1  + m ˙ 2 ) h3 . Agrupando Agru pando adecuadame adecuadamente, nte, despejando despejando m ˙ 2  y despejando se llega a: m ˙ 2  =

 m ˙ 1 (h1 − h3 ) = h3 − h2

0.5   kg s

335 335..02

  kJ  − kg

175..89   kJ 175 kg

kJ kJ 175..89   kg 175   − 83. 83.915   kg



≈ 0.865

  kg  . s ♦

94

 

Dispositivos ingenierr´ıa Dispos itivos de ingenie

 

Intercambiadores de calor

Secci´ on 10.5 on 10.5:: Inter Intercamb cambiado iadores res de calo calorr

Los intercambiadores de calor son dispositivos usados frecuentemente en refrigeraci´on on y calefacci´on on y se fundamentan en el intercambio de calor entre dos sustancias. El radiador de un autom´ovil ovil es un intercambiador de calor que toma el aire del ambient ambientee haci´ haci´endolo endolo circular circular por p or la superficie superficie de los tubos del radiador que a su vez transportan transportan vapor de agua a muy alta temperatura que proviene del motor. Cuando el aire “frio” pasa, se “roba” calor del vapor lo que hace que ´este este se enfr´ enfr´ıe mientras el aire se calienta. En algunas marcas de autos este aire “calentado” “cal entado” se utiliza como elemento calefactor dentro de la cabina.

Un diagrama del funcionamiento de estos dispositivos se presenta en la figura 10.9 figura  10.9,,

Figura 10.9: El fluido B entra a la c´amara amara por el punto 3 a muy alta temperatura, temperatura, cede calor al fluido A a trav´ trav´ es es de las paredes del serpent serp ent´´ın y sale por po r el punto 4 a menor temperatura. Al fuido A se le conoce como sustancia de trabajo y es la que se usa para enfriar, usualmente es un tipo de refrigerante como el 134-a, esta sustancia entra a la c´amara a mara por el punto 1 a muy baja temperatura, en su recorrido por el serpent serp ent´´ın roba calor a la sustancia B y sale por p or el punto 2 donde despu´es es se deshecha el calor calo r que gan´o al ambiente se enfr´ enfr´ıa y vuelve a recircular. Note que la l a l´ınea verde de la figura 10.9 figura  10.9 delimita  delimita el volumen de control y como se puede apreciar entra masa al sistema por los puntos 1 y 3 y sale por los puntos 2 y 4, situaci´on que se debe observar al plantear el balance de masa. Ejemplo 41.  Un intercambiador de calor como el del diagrama 10.10 diagrama  10.10 bien  bien aislado se usa como calentador de agua

para aumentar su temperatura de 20 C a 70 C a raz´on on de 4.5 kg/s. La sustancia de trabajo es aceite caliente ((ccP  = 2.30 kJ/kg C) que entra por el punto 3 a 170 C a raz´on on de 10 kg/s. Calcule la tasa a la que se transfiere calor al agua y la temperatura temperatura a la que sale el aceite. aceite. Considere Considere r´egimen egimen de flujo estacionario estacionario en juntos juntos fluidos. ◦

 ◦

95

◦

◦

 

Dispositivos ingenierr´ıa Dispos itivos de ingenie

 

Intercambiadores de calor

Figura 10.10: Se toma el volumen de control la superficie sup erficie del serpent´ serpent´ın, l´ınea verde, a fin de p poder oder calcular el calor que entra. Soluci´  on:

1. Pa Para ra el caso de la figura figura 10.10  10.10 entra  entra masa al volumen de control por el punto 1 y sale por el 2. Hay calor que ingresa y es la tasa de este la que se pretende calcular. Balance de masa considerando r´egimen egimen de flujo estacionario, estacio nario, m ˙ 1 −  m ˙ 2  = ∆   m ˙   sistema         , 0   Balanc Bal ancee de d e energ ener g´ıa,

0

0

∴

  m ˙ 1  = m ˙ 2  = 4.5   kg  . s

0

   0          ˙sale +    ˙1 −    ˙2  + m Q˙ entra −    Q W  W  ˙ 1 θ1 −  m ˙ 2 θ2  =    ∆   E  sistema . sistema

Despejando  Q˙  y despreciando cambios en las energ´ energ´ıas potencial y cin´etica etica del agua, se llega a:   kg   kJ Q˙ entra  = m ˙ (h2 − h1 ) = mc ˙ P ∆T   T   = 4.5   × 4.18   × 50 C = 940. 940.5kW 5kW.. s kg C ◦

◦

2. Para Para responder a la segunda pregunta pregunta se debe cambiar la frontera frontera del volumen volumen de control control y tomarla tomarla como se muestra en la figura 10.11. figura  10.11.

Figura 10.11: Se toma el volumen de control la superficie interna de la c´aamara. mara. Balance de masa,    0      m ˙ agua + m ˙ aceite −  m ˙ agua −  m ˙ aceite  = ∆   m ˙   sistema,   96

∴

  m ˙ 1  = m ˙ 2   = 44..5

  kg s

 

y

m ˙ 3  = m ˙ 4  = 10

  kg  . s

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Ejercicios

que no aporta mayor informaci´on. on. Balanc Bal ancee de energ ener g´ıa 0

0

0

0

   0                ˙entra − Q ˙sale +    ˙1 −   ˙2  + m − − Q W  W  ˙ θ  + m ˙ θ   m ˙ θ   m ˙ θ  = ∆ E     sistema 1 1 3 3 2 2 4 4 sistema .      

Despreciando cambios en las energ´ energ´ıas potencial y cin´etica etica del agua, se llega a: −m ˙ agua (h  (h2 − h1 ) = m ˙ aceite (h  (h4 − h3 ) ,

que se puede reemplazar por: −m ˙ agua cP

agu agua a ∆T agua agua  =

despejando despej ando la temperatura temperatura   T 4 , T 4  = reemplazando valores, T 4  =

−4.5

  −m ˙ agua cP

m ˙ aceitecP

 (T 4 aceite aceite (T 

agu agua a ∆T agua agua

m ˙ aceite cP

+ T 3 ,

ace aceite ite

  kg   kJ ◦ s   × 4.18 kg C   × 50 C 10   kg   × 2.30  kgkJC s ◦

− T 3 ) ,

◦

◦

+ 170 C ≈ 129 129..1 C.

◦

♦

Secci´ on 10.6 on 10.6:: Ejercicios Ejercicios

Ejercicio Ejerci cio 72.  Con el fin de acelerar vapor de agua se dise˜ na na una tobera. El vapor entra a 380 ◦ C y 800 kPa a

una velocidad de 15 m/s y a la salida de la tobera se mide una temperatura de 250 C y una presi´on on 180 kPa. Se instalaa un dispositivo instal dispositivo de alta sensibilidad sensibilidad para medir p´ erdidas erdidas que registra que la tobera pierde calor a raz´ on on de 2 20 kW. El area ´area de la boquilla de entrada es de 800 cm . Determine la velocidad a la que sale el vapor. ◦

Ejercicio 73.  Una tobera hace parte del mecanismo de una turbina. Se sabe que aire entra a 320 psia y 720◦ F a

una velocidad de 750 ft/s y sale a 250 psia y 645 F. Calcule la velocidad a la que sale el fluido. ◦

Ejercicio 74.   ¿Q ¿Qu´e area ´area de salida debe tener un difusor si se desea bajar la velocidad del aire de 200 m/s a 40

m/s? Mediciones precisas detectan que el aire entra a 100 kPa y 110 C con un flujo m´asico asico de 5320 kg/h y a la salida se registra un aumento en la presi´on on de 10 kPa. Suponga que el difusor es adiab´atico. atico. ◦

Ejercicio 75.  Calcule la velocidad de salida de un difusor cuando entra aire a una atmosfera (100 kPa) y 17 ◦ C

con una velocidad de 500 m/s y a la salida se duplica la presi´on y la temperatura aumenta a cinco veces la inicial. Ejercicio 76.  Por una turbina que genera 4 MW de potencia pasa vapor de agua en condiciones de flujo estacio-

nario a raz´on on de 45000 lbm/h. Las condiciones de entrada son: 1000 psia y 900 F y las de la salida 5 psia como vapor saturado. Calcular la rapidez con que pierde calor el vapor de agua. Nota: convierta las unidades a un s´oolo lo sistema y determine la fase de la sustancia a la entrada y salida de la turbina. ◦

Ejercicio 77.  Vapor de agua a 8.5 MPa y 6500 ◦ C entra a una turbina adiab´ atica atica que alivia la presi´on on a 20 kPa

con calidad del 70 %. Determine Determine el flujo m´aasico sico que es capaza de producir 4 MW de potencia. Ejercicio 78.  Se est´ a dise˜ nando nando un compresor que tome aire que proviene de una tobera a 25 m/s en condiciones

normales de una atmosfera y 20 C y comprima hasta 2.0 MPa y 450 C. Las boquillas de entrada y salida del compresor son de 0.2 m2 y 0.05 m2 respectivamente. Calcule la potencia que se le debe suministrar al compresor para que pueda efectuar esta operaci´on. on. ◦

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◦

 

Dispositivos de ingenier´ıa

Ejercicios

Ejercicio 79.  Se dise˜ na na un compresor para envasar helio en un contenedor a raz´on on de 120 kg/min. La sustancia

pasa de 120 kPa y 300 K, hasta 660 kPa y 480 K perdiendo en el proceso 30 kJ de calor por kilogramo envasado. Calcule la potencia que se le debe suministrar al compresor para que pueda efectuar esta operaci´on. on. Ejercicio 80.  En una l´ l´ınea de suministro suministro de vapor de agua ingresa el fluido a una v´alvula alvula de estrangulamiento

adiab´aatica. tica. Antes de entrar al dispositivo el vapor est´a a 8 MPa y 600 C y sale a 5 MPa. ¿A qu´e temperatura temp eratura sale la sustancia? sustancia? ◦

Ejercicio 81.  Aire que proviene de un compresor est´ a a 220 psia y una temperatura de 130 ◦ F cuando pasa por

una v´alvula alvula de estrangulamiento adiab´atica atica sale a una presi´on on de 2 atmosferas ((aproximadamen aproximadamente te 30 psia), ¿a qu´e temperatura est´a el aire a la salida? Ejercicio 82.  Por una u na tuber tub er´´ıa viene vien e refrigerante refrige rante 134a 134 a a 850 kPa y 10◦ C y por po r ot otra ra tube t uberr´ıa vien v ienee tambi´ ta mbi´en en refige r efigerante rante

134a a 850 kPa y 80 C. El flujo m´asico asico del refrigerante “fr´ “fr´ıo” es 2.5 veces mayor que del “caliente”. Los dos flujos se encuentran en una c´amara amara se mezclan y salen. De la mezcla determine (a) la temperatura, (b) la fase y (c) en caso que sea una mezcla saturada calcule la calidad. ◦

Ejercicio 83.   Por una entrada de una c´ amara amara de mezclado llega agua a 34◦ F y cuatro atmosferas. A la misma

presi´ on on y por la otra entrada llega vapor de agua saturado. Si los flujos m´asicos asicos est´an an en una proporci´on on de 1:1, calcule la temperatura y calidad de la mezcla. Ejercicio Ejerci cio 84.   Aprovechando el agua fr´ fr´ıa de un u n r´ıo ıo vecino se propone propo ne utilizar utili zar un iintercambiado ntercambiadorr d dee serpent´ s erpent´ın ın para

enfriar el vapor que proviene enfriar proviene de una termoel´ ectrica ectrica local que sale a 25 kPa y calidad del 90 % a raz´ on on de 8 000 kg por hora. El agua fr´ fr´ıa se hace pasar por el serpent´ serpent´ın para as as´´ı quitar calor al vapor. A fin de proteger el ecosistema, la legislaci´on on ambiental no permite p ermite que la temperatura del agua del r´ıo se incremente por encima de 5 C. Por otro lado los ingenieros necesitan que el vapor salga como agua l´qiuida qiuida saturada a 25 kPa, ¿cu´al al debe ser el flujo m´asico asico del agua del r´ıo que cumpla los prop´ ositos ositos sin violar las leyes ambientales? ◦

Ejercicio Ejerci cio 85.  Un sistema de aire acondicionado utiliza agua helada a 5◦ C y un intercambiador de calor para

enfriar seis metros c´ ubicos ubicos de aire en cada segundo. El aire est´a inicialmente a una atmosfera y 35 C y se necesita que quede a 15 C y la misma presi´on. on. Considerando un flujo m´asico asico de agua de 2 kg/s, ¿cu´al al es la temperatura final del agua? ◦

◦

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