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FINAL MATEMATICA – CATEDRA DOPAZO – MATEO / GAZZO

GEOMETRÍA DE LAS FORMAS

Sistema de Coordenadas Cartesianas Coordenadas Cartesianas

Para ordenar un espacio determinado se deberá establecer donde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Por esto se crearon los ejes de coordenadas donde puntos, ejes y planos son elementos fijos y a los cuales referimos el resto del espacio. Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares donde el origen es el punto de intersección entre ellas. Las proyecciones determinan las distancias al origen y constituyen un par ordenado (x ; y). Coordenadas polares

En el espacio bidimensional tomamos un eje polar fijando en él un origen, un sentido positivo y una escala. escala. Cualquier punto se lo puede determinar por por su distancia al origen origen y el ángulo que se forma con el eje polar. Vectores Un vector es un segmento orientado, dentro del segmento consideramos a uno de los puntos como origen y al otro como extremo, es decir, hay un orden entre ellos. Un vector  se define por tres elementos: Dirección: Dada por la recta que lo contiene. Sentido: Fija el orden en que hayamos elegido los puntos extremos. Modulo: longitud del segmento. Los vectores representan fuerzas, velocidades o aceleraciones; se las llama magnitudes vectoriales. Los vectores pueden ser: Iguales: Cuando tiene mismo sentido, dirección y mismo módulo. Opuestos: Tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario. Componentes del vector: Proyecciones del vector sobre los ejes. (x ; y ; z). Es equivalente representar un punto por sus coordenadas o por su vector posición. Diferencia de vectores: AB = OB – OA = (xb ; yb) – (xa ; ya) = (xb – xa ; yb - ya) Sumatoria de vectores: A = (ax ; ay ; az) y B = (bx ; by ; bz)  A + B = (ax + bx ; ay + by ; az + bz) Multiplicar por un numero real: k. A = (kax ; kay ; kaz) • • •

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Ecuaciones de una recta en un plano

Ecuación de la recta que pasa pasa por dos puntos puntos (aX ; aY) y (bX ; bY) la ecuación es: 1 y – aY = bY – aY x – aX bX – aX Si en 1 hacemos multiplicación cruzada, se obtiene otra equivalente, si la igualamos a ¨t¨ que es un parámetro obtenemos: 2 y – aY = x – aX = t bY – aY bX – aX Ecuación simétrica aX ≠ bX ; aY ≠ bY ; aZ ≠ bZ Y de la ecuación 2 se obtiene: 3 x – aX = t (bX – aX) y – aY = t (bY – aY) Ecuación paramétrica Página 1

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Si se toman esas diferencias como parte de un vector: (x – aX ; y – aY) = (t (bX – aX) ; t (bY ; aY)) Que es lo mismo que: (x ; y) – (aX ; aY) = (t (bX ; bY) – (aX ; aY)) ---------------------------r a b a Entonces queda:  _ _ _ _ _ _ _ _  r – a = t (b - a) o r = a + t (b - a) Ecuación vectorial Espacio tridimensional 

Distancia entre dos puntos A = (a X ; aY ; aZ) y B = (bX ; bY ; bZ): D (AB)= | √ (bX – aX)2 + (bY – aY)2 + (bZ – aZ)2 | Números directores de la recta AB a cualquier terna (m,n,p) que cumple con: m = n = p bX – aX bY – aY bZ – aZ Vectores tridimensionales

Teniendo un vector a = (aX ; aY ; aZ) definimos: 1. Igu Iguald aldad ad ent entre re vector vectores es (aX ; aY ; aZ) = (bX ; bY ; bZ) aX = bX ; aY = bY ; aZ = bZ 2. Suma Suma de de vect vector ores es a + b = (a (aX + bX ; aY + bY ; aZ + bZ) 3. Producto Producto de un un ve vector ctor por un un es escala calarr k (a (aX ; aY ; aZ) = (kaX ; kaY ; kaZ) Versor: es un vector de modulo uno (i ; j ; k) i = (1;0;0) j = (0;1;0) k = (0;0;1) Ej.: Vector r = (x;y;z) = r = xi + yj + zk (Ecuación canónica) Modulo del vector |a| = √aX2 + aY2 + aZ2 El modulo de valor positivo determina la longitud del segmento. Ecuación de la recta en el espacio

En el espacio tridimensional la ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto a, representada por su vector posición a = (a x ; ay ; az) y tiene dirección c es: r = a + t.c (Ecuación vectorial) vectorial) r = (x ; y ; z) a = (aX ; aY ; aZ) c = (bX – aX ; bY – aY ; bZ – aZ) Por lo tanto obtenemos la ecuación parametrica: x = aX + t . cX y = aY + t . cY z = aZ + t . cZ Por eliminación del parámetro t se obtiene la ecuación simétrica. x – aX y – aY z – aZ cX cY cZ Si llegara a faltar cX; cY o cZ eso indica que el plano esta contenido en los ejes restantes. Dado un vector a = (aX ; aY ; aZ) sus cosenos directores resultan: cos α = aX cos β = aY cos γ = aZ |a| |a| |a| 2 2 2 cos α + cos β + cos γ = 1

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Paralelismo y perpendicularidad entre rectas:

Condición de paralelismo: paralelismo: v = k . w donde k es un numero numero real cualquiera, es decir decir que los vectores asociados tiene componentes proporcionales. Condición de Perpendicularidad: exige que los vectores asociados tengan productor  escalar 0. v.w=0  Alabeadas: Dos rectas son son alabeadas cuando cuando no son ni perpendiculares perpendiculares ni paralelas, no tiene ningún punto en común. Producto Escalar 

Sean los vectores a = (aX ; aY ; aZ) y b = (bX ; bY ; bZ) se define el productor escalar a.b como a . b = |a| . |b| . cos θ donde θ es el ángulo formado por los vectores. El resultado del producto escalar es un numero que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre el. El producto escalar cumple las siguientes propiedades: 1. Propie Propieda dadd co conmu nmutat tativa iva:: a . b = b . a 2. Propiedad Propiedad distributiv distributiva: a: a . (b + c) = a . b + a . c 3. k ( a . b) = (ka (ka.b .b)) 2 4. a . a = |a| 5. a. b = |a| |a| . |b| |b| . cos cos α Ejemplo:

u = 2i – j – k

v = 3i + 2j + 8k (u + v) . w

w = -4y +2j – 2k

Ecuación del plano

Sea un plano π que pase por el punto P y sea normal a OP = p. Sea Q un punto genérico de π y OQ = r, siendo r = (x ; y ; z). Como Q pertenece a π, entonces PQ = (r - p) pertenece a π, entonces p | (r - p) condición que nos permite escribir  escribir  -1- (r - p) . p = 0

Si a 1 se le hace distributiva se llega a la ecuación vectorial del plano: r . uP = |p| donde uP = p = cos α i + cos β j + cos γ k es el versor de la dirección normal p al |p| plano π y α β γ son sus ángulos directores. Entonces como r . uP queda expresada por r . uP = x cos α + y cos β + z cos γ se llega a la ecuación general del plano -2- A (x - x0) + B (y – y0) + C (z – z0) (Ecuación cartesiana del plano) Si a 2 lo resolvemos llagamos a:  Ax + By + Cz + D = 0 (Ecuación (Ecuación general del plano) plano) Página 3

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Ejemplo: Dado el plano π de ecuación: x + 2y + 2z -6 = 0. Hacer un grafico aproximado

que muestre su posición en el espacio. x + 2y + 2z -6 = 0 x + 2y + 2z = 6 x + 2y + 2z = 6 6 6 6 6 x+y+z=1 6 3 3 Intersección de planos

Sea el plano Ax + By + Cz + D = 0. Sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados son las llamadas trazas del plano. Sus ecuación esta dadas por la solución de los sistemas formados por las ecuación del plano y las ecuación de cada plano coordenado. Traza sobre plano (x ; y) = Ax + By + D = 0 ; z = 0 Traza sobre plano (x ; z) = Ax + Cz + D = 0 ; y = 0 Traza sobre plano (y ; z) = By + Cz + D = 0 ; x = 0 La intersección de dos planos, si existe, es una recta cuyas ecuaciones se obtienen eliminando sucesivamente x e y, para obtener en cada caso las funciones lineales que son las ecuaciones de los planos proyectantes de la intersección. (En el primer plano se despeja x y se introduce su resultado en el otro plano. Luego de obtenido y en función de z se introduce en x para obtener x en función de z. Quedando así la recta x = bla y = bla z = z) • • •

Paralelismo y perpendicularidad entre planos:

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. π1 // π2 si: A1 = B1 = C1 A2 B2 C2 Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a cero. π1 | π2 si: A1 . A2 + B1. B2 + C1 . C2 = 0  Ax + By + Cz + D = 0 Donde A, B, C son las coordenadas del vector normal. Posiciones relativas de rectas y planos Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

Condición de paralelismo: Se utiliza la recta y la normal al plano (recta). Se usa así la condición v . w = 0 (producto escalar). Condición de perpendicularidad: La recta será perpendicular al plano si es paralela a la normal (plano). Se utiliza v = k . w. Trabajo

Para fuerzas constantes y que tengan la misma dirección. Se utilizan vectores si se dan. Sino como esta. T=f.d T = f . d . cos α

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CURVAS CONICAS

Las curvas cónicas pueden definirse como lugar geométrico de un conjunto de puntos tales que la distancia de cada punto del conjunto a un cierto punto fijo (foco) esta en relación constante con su distancia a una recta fija (directriz). La relación de las distancias se denomina excentricidad. Todas las curvas cónicas nacen del doble cono generado por una recta (generatriz) alrededor de un eje, describiendo una circunferencia (directriz) y manteniéndose siempre pasante por un punto del eje (vértice del cono). Utilizando planos de corte se obtiene distintas curvas cónicas: elipse, parábola, hipérbola, circunferencia (caso especial de la elipse). Ejemplos en el diseño industrial: elipse (bandeja; chapas de casas) ; circunferencias (ruedas de bicicletas) ; parábola (reja arcada) ; hipérbola… Excentricidad: La excentricidad de una cónica es la relación entre las distancias de un punto P al foco y de P a la directriz. Parábola: e = 1 Elipse: 1 > e > 0 (cuanto mas próxima esta la e a 0, mas redondeada es la elipse) Circunferencia: e = 0 Hipérbola: e > 1 (cuanto menor sea la e, mas cerradas serán las dos ramas de la hipérbola)

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Elipse Es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es constante. Son curvas cerradas, el plano corta a todas las generatrices.

C es la distancia entre el foco y el centro. Los dos focos están ubicados en el diámetro mayor. | a | son las coordenadas en x del vértice y | b | las coordenadas en y. Esta curva es simétrica respecto de ambos ejes. Si se mantiene el valor de a fijo y se varia la distancia focal c, las elipses cambian de forma. A medida que c crece las elipses se van achatando. Se llama excentricidad al cociente entre el valor c y el de a. e=c a 1>e>0 Deducción de la ecuación: Siendo los F1 = (-c;0) y F2 = (c;0) y siendo 2a la suma de las distancias PF1 Y PF2, las coordenadas del punto P = (x;y) de la elipse satisfacen la ecuación: √ (x + c)2 + y2 + √ (x - c)2 + y2 = 2a Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la elipse: x2 + y2 = 1 donde b2 = a2 – c2 a2 b2 Ecuación de la elipse: (x - h)2 + (y - k)2 = 1 centro (h ; k) a2 b2 En ambos casos la suma de las distancias de cualquier punto P de la elipse a cada uno de los focos es igual al diámetro mayor. Pf 1 + Pf 2 = 2 . (diámetro mayor, a o b según corresponda). El centro de la elipse son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y. Existen dos tipos de elipses: Elipse horizontal 

Una de sus características es que a > b. Ecuación de los focos: c2 = a2 – b2 Coordenadas de los focos: f 1 = (h – c ; k)

f 2 = (h + c ; k)

Elipse vertical 

Una de sus características es que a < b Ecuación de los focos: c2 = b2 – a2 Coordenada de los focos: f 1 = (h ; k - c)

f 2 = (h; k + c)

Circunferencia

Es un caso especial de la elipse donde a = b y su excentricidad es 0. Ecuación: (x - h)2 – (y - k)2 = r 2

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Parábola Es el conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de una recta (directriz). La parábola es una curva abierta de una sola rama, el plano es paralelo a una generatriz.

La parábola tendrá sus ramas en el eje que no esta al cuadrado. Las coordenadas de vértice son : (h ; k). P es la distancia del foco a la directriz.

Deducción de la ecuación: Siendo el F = (P/2;0) y la recta directriz x = -P/2, entonces DR = PF; por lo tanto, las coordenadas del punto P = (x;y) de la parábola satisfacen la ecuación: x + P/2 = √ (P/2 - x)2 + y2 Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la parábola: y2 = 2p x Existen dos tipos: Si la parábola se desarrolla en el eje x la ecuación es:

Ecuaciones de los focos:

Ecuación de la directriz: Si p es + la parábola es C. Si p es – la parábola es D.

(y – k)2 = 2p (x – h) yF = k xF = h + p 2 x=h–p 2

Si la parábola se desarrolla en el eje y la ecuación es:

Ecuaciones de los focos:

Ecuación de la directriz: Si p es + la parábola es U Si p es – la parábola es ∩

(x – h)2 = 2p (y – k) xF = h yF = k + p 2 y=k–p 2

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Hipérbola Es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancia a los focos es constante. Es una curva abierta de dos ramas, el plano es paralelo a dos generatrices.

La curva es simétrica respecto de ambos ejes y no toca al eje que esta restando. El eje que corta la hipérbola es el eje real. El centro de la hipérbola son las coordenadas (h ; k) siendo h en x y k en y. C es la distancia entre el foco y el centro. A es la coordenada en x del vértice y b la coordenada en y.  Asíntotas: y=-b.x y= b.x a a En ambos casos se verifica que: c2 = a2 + b2 Deducción de la ecuación: Siendo los F1 = (-c;0) y F2 = (c;0), debe ser PF2 - PF1 = 2a. Dado el punto P perteneciente a la hipérbola, sus coordenadas satisfacen la ecuación: √ (x + c)2 + y2 - √ (x - c)2 + y2 = 2a Desarrollando esta expresión resulta la ecuación de la hipérbola: x2 - y2 = 1 donde b2 = c2 – a2 a2 b2 Puede ser de dos tipos: Hipérbola que corta el eje x 

Ecuación general:

Ecuación de los vértices: Coordenadas de los focos: Excentricidad: e > 1

(x - h)2 - (y - k)2 = 1 a2 b2 v1 = (h – a ; k)

v2 = (h + a ; k)

f 1 = (h – c ; k)

f 2 = (h + c ; k)

e=c a

Hipérbola que corta el eje y 

Ecuación general:

Ecuación de los vértices: Coordenadas de los focos: Excentricidad: e > 1

(y - k)2 - (x - h)2 = 1 b2 a2 v1 = (h ; k - b)

v2 = (h ; k + b)

f 1 = (h; k - c)

f 2 = (h ; k + c) e=c b

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CUADRICAS Definición: Son superficies en el espacio, generadas por curvas cónicas. Pueden ser  regladas o de revolución.

Superficies cilíndricas y de revolución: Se llama superficie cilíndrica, a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana y son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva. La curva se llama directriz y las rectas generatrices. Se llama superficie reglada a la superficie que cumple con la condición de que por cada una de sus puntos pasa al menos una recta, llamada generatriz rectilínea, que tiene en común con la superficie un segmento que contiene dicho punto. Ejemplo: superficies cilíndricas y cónicas. Se llama superficie de revolución a la superficie que se obtiene rotando una curva plana en torno a un eje. Se dice que la curva genera la superficie.

Teniendo una curva generatriz (C) definida sobre el plano (y , z) y siendo z el eje de revolución, un punto cualquiera PO describirá una circunferencia de centro M y de radio MPO = MP (siendo P un punto de la superficie de revolución). Teniendo la ecuación de la curva F(y,z) = 0 entonces tenemos que y = √ x2 + y2 La variable de revolución queda igual y la otra variable presente la reemplazo por la ecuación, entonces se incluye la variable no presente hasta ahora. Ejemplo: x2 + 4z2 = 16 gira en el eje x Entonces: z = √ z2 + y2 Reemplazando esta ecuación en la original tengo: x2 + 4(√ z2 + y2)2 = 16 x2 + 4y2 + 4z2 = 16

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Superficie esférica La superficie esférica es generada por la rotación de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros. Como lugar geométrico, la esfera es el conjunto de puntos que equidistan de su centro (C= (x;y;z)). Para cualquiera de estos puntos se deberá satisfacer la ecuación: (x – xO)2 + (y – yO)2 + (z – zO)2 = r 2 Si se desarrolla esta ecuación: x2 +y2 +z2+ Dx + Ey + Fz + G = 0

Cuando el centro coincide con el origen de coordenadas: C = (0,0,0) entonces xO= yO= zO = 0 y en consecuencia la ecuación es: x2 +y2 +z2 = r 2

La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es una circunferencia: (x – xO)2 + (y – yO)2 = r 2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una circunferencia: (x – xO)2 + (z – zO)2 = r 2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es una circunferencia: (y – yO)2 + (z – zO)2 = r 2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z = 0 (+x;0;0) Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;+y;0) Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;+z)

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Ecuaciones de las cuádricas Se trata de polinomios de segundo grado y su diferencia con las cónicas es que estas son funciones de dos variables (x;y) mientras que las cuádricas son funciones de tres variables (x;y;z). Elipsoides Siendo a, b, c positivos; la longitud de los semiejes del elipsoide en la dirección de los ejes x,y,z respectivamente se define: x2 + y2 + z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 Los elipsoides pueden ser considerados como generados por una elipse variable que se traslada paralela al plano (x,y) [Reglada]

La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es una elipse: x2 + y2 = 1 a2 b 2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una elipse: x2 + z2 = 1 a2 c 2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es una elipse: y2 + z2 = 1 b2 c 2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0) Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0) Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z) Para que exista intersección la distancia entre elipse y elipse debe ser mayor o igual que cero. Como caso particular los elipsoides pueden ser de revolución. Si lo fueran alrededor del eje y, los semiejes a y c serian iguales, ya que la traza con el plano (xz) seria una circunferencia. La ecuación: x2 + y2 + z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 a=c Si tuviera los tres semiejes iguales (a=b=c), la ecuación seria: x2 + y2 + z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 a=c=b 2 2 2 2 Osea: x + y + z = a entonces seria una esfera de r = a

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Hiperboloides Hiperboloide de una hoja: Siendo a, b, c positivos se define: x2 + y2 - z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2

La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es un elipse (las dos variables son positivas): x2 + y2 = 1 a2 b 2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una hipérbola (variable de distinto signo): x2 - z2 = 1 a2 c 2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x = 0 Es una hipérbolas (variables de distinto signos): y2 - z2 = 1 b2 c 2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0) Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0) Intersección eje z: No hay intersección. El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada pero cuando a = b, el hiperboloide será de revolución alrededor del eje z y su ecuación será: x2 + y2 - z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 a=b

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Hiperboloide de dos hojas: Siendo a, b, c positivos se define: - x2 - y2 + z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 No existe esta traza. - x2 - y2 = 1 (algo negativo menos algo no puede dar +) a2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una hipérbola: - x2 + z2 = 1 a2 c2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es una hipérbolas: - y2 + z2 = 1 b2 c2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: No existe Intersección eje y: No existe Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z) En el caso en que a = b el hiperboloide es de revolución alrededor del eje z - x2 - y2 + z2 = 1 (ecuación canónica) a2 b2 c2 a=b La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Son elipses: - x2 - y2 = 1 a2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Son hipérbolas: - x2 + z2 = 1 a2 c 2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Son hipérbolas: - y2 + z2 = 1 b2 c 2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: No existe Intersección eje y: No existe Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z)

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Paraboloides Paraboloide elíptico: Siendo a, b, c positivos se define: x2 + y2 = c.z (ecuación canónica) a 2 b2 siendo c>0

La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es un punto (origen): x2 + y2 = 0 a2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una parábola: x2 = c.z a2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es una parábola: y2 = c.z b2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z = 0 (x;0;0) Intersección eje y: x = 0 z = 0 (0;y;0) Intersección eje z: x = 0 y = 0 (0;0;z) En el caso en que a = b, el paraboloide será de revolución alrededor del eje z: x2 + y2 = z (ecuación canónica) a2 b2 c a=b Paraboloide hiperbólico: Siendo a, b, c positivos se define: - x2 + y2 = c.z (ecuación canónica) a2 b2 siendo c>0 La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Son dos rectas (asintotas): -x2 + y2 = 0 (se distribuye) a 2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una parábola de eje z: -x2 = c.z a2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es una parábola de eje z: y2 = c.z b2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z=0 Intersección eje y: x = 0 z=0 Página 14

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Intersección eje z: x = 0

y=0

El paraboloide hiperbólico no puede ser de revolución, ya que ninguna de sus secciones planas es elíptica, pero es una superficie reglada, pues por cada uno de sus puntos para un generatriz que es asíntota del sistema de hipérbolas. Cono cuádrico: Siendo a, b, c positivos se define: x2 + y2 = z2 (ecuación canónica) a2 b2 c2

La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es un punto (centro 0,0,0) x2 + y2 = 0 a2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Son dos rectas: x2 = z2 (de distribuye y entonces (x + z). (x - z) = 0) a2 c 2 a c a c La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Son dos rectas: y2 = z2 (de distribuye y entonces (y + z). (y - z) = 0) b2 c 2 b c b c Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z=0 Intersección eje y: x = 0 z=0 Intersección eje z: x = 0 y=0 Cilindros cuádricos Se llama superficie cilíndrica, a la superficie formada por el conjunto de todas las rectas que cortan una curva plana y son paralelas a una recta fija que no esta en el plano de la curva. La curva se llama directriz y las rectas generatrices.

La superficie engendrada por una elipse, hipérbola o parábola que se mueve paralelamente a si misma, manteniendo centro o vértice sobre una recta perpendicular a su plano es un cilindro. Si son de generatrices paralelas al eje z, perpendiculares al plano (x;y) tiene ecuaciones para cualquier valor de z. Página 15

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Cilindro elíptico: x2 + y2 = 1 a2 b 2 La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es una elipse: x2 + y2 = 1 a2 b2 La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Son dos rectas: x2 = 1 a2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Son dos rectas: y2 = 1 b2 Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z=0 Intersección eje y: x = 0 z=0 Intersección eje z: No existe Cilindro parabólico: x2 = 2pz o y2 = 2px La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es el eje y (apoyan todas las parábolas) La traza sobre el plano (xz) Plano de ecuación y=0 Es una parábola La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 Es el eje y. Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: x = 0 Intersección eje y: y = 0 Intersección eje z: z = 0 Cilindro hiperbólico: x2 - y2 = 1 a2 b2 La traza sobre el plano (xy) Plano de ecuación z=0 Es una hipérbola: x2 - y2 = 1 a 2 b2 La traza sobre el plano (xz) Página 16

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Plano de ecuación y=0 Es un punto. x2 = 1 a2 La traza sobre el plano (yz) Plano de ecuación x=0 No existe Intersección con los ejes coordenados Intersección eje x: y = 0 z=0 Intersección eje y: No existe Intersección eje z: No existe HELICE Y HELICOIDE

Hélice cilíndrica circular: La hélice circular, es la curva trazada por un punto P, que se mueve con movimiento circular uniforme. Este consiste en una rotación alrededor del eje del cilindro y una traslación en la dirección z. Un punto sobre la circunferencia (centro O y radio R) gira alrededor del centro con una velocidad angular  ω = σ = cte t  A la vez, el centro se desplaza por el eje z a una velocidad de traslación constante. Si R es el radio del cilindro sostén entonces: x = R. cos α y = R. sen α z = k . ωt P es el paso de la hélice y es la distancia entre dos intersecciones consecutivas de la hélice. P = k . 2π Helicoide recto Un helicoide recto es el lugar geométrico de las rectas paralelas al plano de la base de una hélice circular, cortan con un eje. Si la hélice circular es: x = R. cos α y = R. sen α z = k . ωt Una recta paralela al plano es una generatriz del helicoide si corta al eje z y a la hélice. La ecuación del helicoide es: Z = k arc tg y donde y = tg ωt z = k . ωt x x

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GRAFOS

Definición de grafo Se llama grafo a una terna G = (V , A , φ) donde V y A son conjuntos finitos y φ es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V. Los elementos de V son los vértices de G, y los elementos de A son las aristas de G, y φ es la aplicación de incidencia que asocia a cada arista sus dos vértices. La representación grafica de un grafo se efectúa asociando a cada vértice un punto del plano de dibujo y a cada arista una línea que une los puntos asociados con los vértices. El grado de un vértice es el numero de aristas que en el inciden. Un vértice se dice aislado si su grado es nulo y pendiente si su grado es 1. Dos o mas aristas se llaman múltiples si tienen por extremos los mismos vértices. Un lazo es una arista cuyos dos extremos coinciden en un vértice. Un vértice y una arista son incidentes si el vértice es extremo de la arista. Dos vértices son adyacentes si son extremos de la misma arista. Dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común. Dos grafos P y P´ son isomorfos si tienen la misma cantidad de vértices y aristas y se mantiene las relaciones de adyacencia e incidencia entre ambos. Conceptos no orientados  Arista: Existe una arista entre dos vértices x e y distintos del grafo si existe un arco que va de x a y o de y a x. Cadena: Sucesión de aristas adyacentes. Ciclo: Cadena finita en la que el vértice inicial coincide con el final. •

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Tipos de grafos Grafo vacío: Es todo grafo que no posee aristas, aunque pueda contener vértices. Grafo sencillo: Es todo grafo que no tiene ni lazos ni aristas múltiples. Grafo k – regular : Es en el que todos los vértices tiene igual grado k. Grafo completo de n vértices : Es todo grafo sencillo en el que todo par de vértices

determina una arista. Todos sus vértices tienen grado n –1 y el numero de aristas es n n-1 2

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Grafo complemento de G (C G ): Es el que tiene los mismo vértices que G y cuyas aristas

no pertenecen a G.

Subgrafo: Es cuando los vértices y las aristas están incluidos en los vértices y las aristas

de G. Pueden tomarse respecto de un vértice (se anula el vértice y todas las aristas que en el inciden) o bien respecto de una arista (se anula la arista).

Grafo euleriano: Es cuando todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar 

dos veces por alguna de ellas y volver al punto inicial. Para que un grafo sea euleriano, solo puede tener como máximo dos vértices a los que concurra un número impar de aristas. En todos los demás vértices debe incidir un número par de aristas. Grafo euleriano restringido: es cuando se pueden recorrer todos los vértices sin repetir  ninguno y no vuelvo al vértice inicial.

Grafo hamiltoniano: Es cuando existe un recorrido que pasa por todos los vértices una

sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas.

Grafo p – coloreado: Son grafos de V vértices y p subconjuntos de pares no ordenados de

elementos de V, determinados por otras tantas aplicaciones φ. Un grafo p – coloreado posee aristas de p clases distintas que se colorean en forma diferente.

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Grafo rotulado: Es el que tiene sus vértices individualizados por números o letras.

Especificación y representación de grafos. Enumerando sus vértices y sus aristas, agregando un listado de las relaciones entre esas partes. Mediante matrices. Las matrices son arreglos rectangulares de números cuya dimensión esta dada por el numero de filas multiplicado por el numero de columnas. La matriz de incidencia tiene n filas y k columnas, donde cada fila o corresponde a un vértice y cada columna a una arista. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vértice y la arista son incidentes y un 0 si no lo son. o La matriz de adyacencia de vértices es cuadrada y tiene n filas por n columnas. En el lugar de cruce se escribe un 1 si el vértice si los vértices son adyacentes o un 0 si no lo son. o La matriz de adyacencia de aristas es cuadrada y tiene k filas por k columnas. En el cruce se escribe un 1 si las aristas son adyacentes y un 0 si no lo son. Mediante rejillas: En ellas los vértices y las aristas se representan en una grilla ortogonal, colocando un punto en las intersecciones cuando se cumple la relación de incidencia (o de adyacencia). Diagrama de punto entrelazados: es en los que los vértices y/o las aristas se representan mediante dos columnas de puntos enfrentados, uniendo los puntos cuando se cumple la relación. Representación poligonal: es en la que los vértices se ubican formando un polígono regular, y las aristas aparecen como lados. En algunos casos, se trata de convertir  esta representación en otra con mínimos cruces. •

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Grafos dirigidos o dígrafos Un dígrafo es un grafo cuyas aristas tienen un sentido u orientación determinado. En este caso, las aristas se denominen arcos. El arco (ab) esta dado por un par ordenado: a es el vértice inicial y b es el vértice final. Un grafo se dice fuertemente conexo si entre dos vértices cualquiera existe un camino de cualquier longitud que va de uno a otro. Un grafo es conexo si entre dos vértices cualquiera existe una cadena. Es no conexo cuando tiene partes separadas. Una componente fuertemente conexa es una parte del dígrafo que sea fuertemente conexa.

Conceptos Orientados Vértices: Puntos que representan los elementos del conjunto V. •

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 Arcos: Líneas orientadas que unen pares de vértices y representan los elementos del conjunto A. Extremos inicial y extremos final de un arco: Vértice del que parte un arco y vértice al que llega. Camino: Sucesión de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el extremo inicial del siguiente. Longitud: Numero de arcos del camino. Circuito: Camino en el que el vértice inicial coincide con el final. Lazo: Circuito de longitud 1.

Grafos Planos Un grafo es plano si existe un grafo isomorfo que puede dibujarse en el plano de modo que las aristas solo se crucen en los vértices. Un grafo es no plano cuando no existe un isomorfo que pueda dibujarse sin que sus aristas se crucen.

Teorema de Kuratowski La condición necesaria para que un grafo sea plano es que no admita subgrafos ni del tipo K3,3 ni del tipo K5. Siendo estos los grafos no planos que definen toda una familia de subgrafos no planos. Solo vértices de grado mayor o igual que 4 son candidatos para el K5, y solo vértices de grado mayor o igual que 3 son candidatos para el K3,3.

Grafos poligonales Llamaremos grafo poligonal a un grafo plano conexo que es reunión de ciclos, tal que existe un ciclo mínimo y otro máximo. En todo grafo poligonal se cuenta no solamente el numero de vértices V y el de aristas A, si no también el de caras C, incluida la cara del infinito. Si se consideran los 5 poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro) se puede comprobar que, entre el numero C de caras y el numero V de vértices y el numero A de aristas, vale la formula de Euler: C + V = A + 2 Página 21

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La formula de Euler es también valida en cualquier grafo poligonal. Un grafo poligonal es regular si el grado de cada vértice es el mismo. Un grafo es completamente regular si es regular y además cada cara tiene el mismo número de aristas limitantes. Los grafos completamente regulares no triviales son los asociados con los 5 poliedros regulares.

Grafos duales Sea G un grafo plano y conexo, si se construye un grafo G´  A cada cara de G le corresponderá un vértice de G´  A cada vértice de G le corresponderá una cara de G´  A cada arista de G le corresponderá una arista de G´ Dos vértices de G´ están unidos por una arista si las caras correspondientes de G tienen una arista en común. Entonces G´ es el grafo dual de G Dado un grafo plano y conexo G, si se construye su grafo dual G´ y luego el dual G´´ de G ´ , G Y G ´´ son isomorfos. • • • •

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Mosaicos regulares Es un tipo especial de recubrimiento del plano. Los diferentes tipos de mosaicos se obtienen siguiendo un principio general de repetición de un modulo en dos direcciones, con condiciones restrictivas de acoplamiento y regularidad. No puede haber huecos ni superposiciones. La arista de un modulo tiene que ser  coincidente con la arista del otro. La sumatoria de los ángulos que concurren de los vértices tiene que ser 360°. Cada ángulo interno mide: (n - 2) . 180° n En cada vértice tendremos entonces el siguiente numero de polígonos: 360° = 2n (n - 2). 180° n -2 n Como este numero debe ser entero, para n > 2, n tiene que ser igual a 3 , 4 o 6. Esto significa que plano puede recubrirse totalmente con mosaicos triangulares, cuadrados y hexagonales.

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SIMETRÍA La definición geométrica habla de la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes, puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. Se dice que una configuración espacial es simétrica respecto de un plano E si puede superponerse sobre si misma por reflexión en dicho plano.

Simetría traslatoria, rotatoria y afín Simetría: Es un conjunto de las transformaciones del plano que dejan invariantes las figuras. La simetría de una figura cualquiera del espacio que descripta por un subgrupo de dicho grupo. Estos subgrupos son: Traslación: Queda definida por un vector que indica en que dirección se traslada y cuanto se traslada.  Axial o reflexiva: Dos puntos P y P´ son simétricos respecto a una recta ¨r¨ llamada eje de simetría. Si se encuentran sobre un mismo plano perpendicular a dicha recta y equidistan de la misma. Giro centro ¨o¨ y ángulo de giro ¨ α¨: Es la transformación que a todo punto P le hace corresponder otro punto P´, tal que OP = OP´ y el angulo POP´ = α

Rotaciones = antihorario positivo Simetría axial = espejo Simetría central equivale a una rotación 180º La simetría axial (composición) es conmutativa.

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NUMERO DE ORO

El numero de oro corresponde matemáticamente a la división de un segmento en media y extrema razón. En efecto sea el segmento AB que se quiere dividir mediante un punto C en dos partes de manera que:  AB = AC  AC CB Llamando AC = a; CB = b se tiene la relación 1+ b = a a b Esta igualdad se puede escribir, indicando con x = a como: b 1+1= x x De donde resulta: x2 = 1+x Esta ecuación de segundo grado en x, tiene como solución positiva el siguiente valor que no es mas que el numero de oro Ф. x = 1 + √5 = 1,618... 2 Ф = 1,618... Se puede obtener también el número de oro, como el cociente de las longitudes de una diagonal y un lado de un pentágono regular. Sección Áurea Un rectángulo es áureo, si sus lados están en la relación 1:Ф (número de oro). Obtención de un rectángulo áureo:  A partir de un cuadrado de lados = b; marcamos el punto medio de un lado. Unimos ese punto con un vértice opuesto. Tomamos la medida de ese segmento y la trasladamos hacia el lado donde marcamos el punto medio. El rectángulo áureo tiene base a y altura b y se cumple: a=Ф b

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DERIVADAS

Definición de derivada La derivada de un función f (x) en un punto xo, indicada por f´(x), es un numero real que mide la pendiente de la recta tangente a la curva que representa la función. Funciones crecientes y decrecientes F(x) es creciente en un intervalo (a , b) si f (x1) < f (x2) y su derivada resulta f´(x) > 0 F(x) es decreciente en un intervalo (a , b) si f (x1) > f (x2) y su derivada resulta f  ´(x)0, hay un mínimo local en xo Si f´´(xo)