Carpeta Actuarial 1

Cátedra: Metelli Profesores: Ma. Alejandra Metelli Alejandro Simón

Horario: Lu – Ju de 17 a 19 Sá de 9 a 11

Índice

CONTRATOS DE SEGURO............................................................................................................8 Introducción...................................................................................................................................8

UNIDAD I...................................................................................................................13 Factores de valuación...................................................................................................................13 Capital Diferido de Vida: E(x;t).....................................................................................................14 Análisis de la función...................................................................................................................15 Valores singulares del capital diferido de vida..............................................................................16 Comparación del capital diferido de vida con sus componentes..................................................16 Marcha Progresiva Colectiva.......................................................................................................17 Marcha Progresiva Individual......................................................................................................18 Factor de Capitalización Actuarial................................................................................................20 Análisis de la Función...................................................................................................................21 Valores singulares del Factor de Capitalización Actuarial............................................................22 Comparación del factor de capitalización actuarial con sus componentes...................................22 Capital Diferido de Muerte............................................................................................................23 Expresión del capital diferido de Muerte por medio de la esperanza matemática........................24 Análisis de la función...................................................................................................................24 Valores singulares del factor de actualización actuarial muerte...................................................25 Marcha Progresiva Colectiva.......................................................................................................26 Marcha Progresiva Individual para la Edad de Inicio “x”............................................................27

UNIDAD II.................................................................................................................29 Valores de Conmutación..............................................................................................................29 Relaciones entre los valores de Conmutación..............................................................................30 Seguros de vida de capitales múltiples o Rentas Vitalicias............................................................31 Valores singulares de las rentas vitalicias.....................................................................................35 Análisis de la función...................................................................................................................36 Marchas progresivas de rentas vitalicias......................................................................................39 Marcha Colectiva de riesgo Inmediato y Temporario............................................................................................39 Marcha Individual de riesgo Inmediato yTemporario...........................................................................................40 Marcha colectiva de riesgo diferido y limitado.....................................................................................................40 Marcha individual de riesgo diferido y limitado...................................................................................................42 Casos particulares..................................................................................................................................................43

Valor Final de los seguros de vida de capitales múltiples o Imposiciones Vitalicias....................44 Caso particular de las imposiciones vitalicias (por llegar al final de la tabla)...............................46

UNIDAD III............................................................................................................... 47 Seguros de Muerte..........................................................................................................................47 Marchas Progresivas del Seguro de Muerte.................................................................................52 1- Marcha 2- Marcha 3- Marcha 4- Marcha

colectiva del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única)........................52 individual del seguro de muerte de riesgo inmediato y limitado (a prima pura única)......................53 colectiva del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única)............................54 individual del seguro de muerte de riesgo diferido y limitado (a prima pura única)..........................55

Relaciones entre Seguros de Vida y de Muerte............................................................................56 Análisis de la Función...................................................................................................................58 Cálculo de las Primas Puras Anuales o Primas Niveladas............................................................60 Primas puras anuales del Capital diferido de vida........................................................................60 Primas puras anuales de las rentas vitalicias.................................................................................61 Primas puras anuales del seguro de muerte..................................................................................63 2

Marcha Progresiva Colectiva de Seguro de Renta Vitalicia Diferida y Limitada (a prima pura anual)............................................................................................................................................65

UNIDAD IV................................................................................................................66 Planes Mixtos y Planes Especiales.................................................................................................66 Plan mixto o Plan Dotal.................................................................................................................66 Prima pura única:.........................................................................................................................66 Prima Pura Anual:........................................................................................................................66 Plan Dotal Doble Capital o Capital Doblado................................................................................67 Prima Pura única:.........................................................................................................................67 Prima pura anual:.........................................................................................................................68 Planes Especiales...........................................................................................................................69 Término Fijo...................................................................................................................................69 Comparación con el Plan Dotal....................................................................................................69 Marcha Progresiva Colectiva (a prima pura única ).....................................................................70 Marcha Progresiva Individual (a prima pura única).....................................................................71 Seguro de Cuotas o Rentas Post-Mortem.......................................................................................72 Cuando el plazo de cobertura de muerte es menor que el plazo de cancelación de deudas.........73 Marcha progresiva individual a prima pura anual.........................................................................73 Seguros de Saldo de Deuda............................................................................................................74 Sistema Francés............................................................................................................................74 Sistema alemán.............................................................................................................................75 Préstamo cancelable mediante un sistema americano sin constitución de fondo..........................77 Préstamo cancelable mediante un sistema americano con constitución de fondo........................78

UNIDAD V................................................................................................................. 80 Seguros de Capitales Múltiples Variables......................................................................................80 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión aritmética...................................80 - Crecientes de razón igual al capital inicial (Increasing).............................................................80 Marcha progresiva individual a P.P.U. de un seguro de vida de capitales variables en progresión aritmética de razón igual al capital inicial (increasing).................................................................88 - Crecientes de razón distinta al capital inicial.............................................................................88 - Decrecientes de razón igual al capital final (Decreasing)...........................................................92 Seguros de muerte de capital variable en progresión aritmética...................................................96 - Creciente de razón igual al primer capital..................................................................................96 Marcha progresiva individual a P.P.U. de seguros de muerte de capitales variables crecientes en progresión aritmética de razón igual al primer capital (Increasing-diferida h y limitada n)........104 Seguros Variables de Razón “r”...................................................................................................104 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo limitado: A (x; h; n; r).............................................105 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo limitado:..............................................................107 Seguro Variable de riesgo inmediato y plazo ilimitado:.............................................................107 Seguro Variable de riesgo diferido y plazo ilimitado:.................................................................108 Seguro de Muerte Decreciente de Razón Igual al Último Capital...............................................110 Seguro de muerte de riesgo diferido y plazo limitado................................................................110 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo limitado:...........................................................111 Seguro de Muerte de riesgo inmediato y plazo ilimitado:..........................................................112 Seguro de Muerte de riesgo diferido y plazo ilimitado:.............................................................113 Cálculo de las Primas Puras Anuales...........................................................................................114 - Crecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n).......................................................................114 - Decrecientes de razón igual al valor de la Pv(x;n)...................................................................115 3

- Primas variables de razón diferente al valor de la Pv(x;n).......................................................115 Seguros de vida de capitales múltiples variables en progresión geométrica................................116 1) De riesgo inmediato y plazo limitado.....................................................................................116 2) De riesgo inmediato, sin límite...............................................................................................116 3) De riesgo diferido y plazo limitado........................................................................................117 4) De riesgo diferido, sin límite..................................................................................................118 Seguros de muerte de capitales múltiples variables en progresión geométrica...........................119 1) De riesgo inmediato y plazo limitado.....................................................................................119 2) De riesgo inmediato, sin límite...............................................................................................120 3) De riesgo diferido y plazo limitado........................................................................................120 4) De riesgo diferido, sin límite..................................................................................................121

UNIDAD VI..............................................................................................................123 Seguros Fraccionarios..................................................................................................................123 Distribución Uniforme de Fallecimientos (D.U.F.).....................................................................123 Distribución uniforme del capital diferido de vida (D.U.E.)......................................................123 Seguros fraccionarios - Capital Diferido de Vida........................................................................125 1) Riesgo inmediato y limitado...................................................................................................125 2) Riesgo inmediato y sin límite.................................................................................................127 3) Riesgo diferido y limitado......................................................................................................129 4) Riesgo diferido y sin límite....................................................................................................131 Resolución por Woolhouse............................................................................................................133 Seguros fraccionarios - Muerte....................................................................................................133 1) Riesgo inmediato y limitado...................................................................................................134 2) Riesgo inmediato y sin límite.................................................................................................136 3) Riesgo diferido y limitado......................................................................................................137 4) Riesgo diferido y sin límite....................................................................................................139 Primas Fraccionarias...................................................................................................................141 Con efecto liberatorio................................................................................................................141 Sin efecto liberatorio..................................................................................................................143 Seguros Continuos........................................................................................................................144 En el caso de Seguros de Vida:..................................................................................................144 En el caso de Seguros de Muerte:..............................................................................................144

UNIDAD VII............................................................................................................ 146 Primas de Tarifa...........................................................................................................................146 1- Capital diferido de vida..........................................................................................................148 2- Seguro de Muerte..................................................................................................................149 3- Plan Dotal..............................................................................................................................150 4- Plan Dotal Doble Capital.......................................................................................................152 5- Rentas Vitalicias.....................................................................................................................153 6- Término Fijo..........................................................................................................................154 Contraseguro................................................................................................................................155 1- Cobertura principal: Capital Diferido de Vida.......................................................................157 2- Cobertura principal: Seguro de Muerte de riesgo inmediato y temporario...........................159 3- Cobertura principal: capital diferido de vida con n : de este modo se indica la cobertura que se está ofreciendo. Sucesos

(x)

/

(x+t)

Capitales

0

1

Factor de actualización financiero

vt

vt

Factor de actualización biométrico q(x,0,t) 0.

Factor de actualización actuarial

vt

(x)

(x+t)

p(x;t)

q(x;0;t)=0

.

vt

.p(x;t)

La valuación es al momento cero, entonces: E(x;t) =

vt

E(x;t) =

(1  d ) t

Luego

.p(x;t)

interactúan un factor financiero ( v t ) y uno biométrico ( p(x;t)).

.[1-q(x;0;t)]

0 E(x;2) > ....... > E(x;t) > E(x;t+1) > ....... > E(x;w-x-1) > E(x;w-x) = 0 Ejemplo: x = 26 E(26;0) > E(26;1) > E(26;2) > ............ > E(26;10) >E(26;11) > ......... >E(26;73) > E(26;74) 1

> 0,959875 > 0,921378 > ........ > 0,6364197 > 0,610473 > ..... >0,00008745 > 0

2) Respecto a la edad

 x

E(x;t) = E(x+1;t)- E(x;t) = -E(x;t).[1- E(x+1;t)] E(x;t) = - E(x;t).[1- p(x+1;t) ] < 0 p(x,t)

Siendo t constante, variando la edad, en la mayoría de los intervalos la función es decreciente. E(x;t) > E(x+1;t) > E(x+2;t) >.................> E(x+s;t) >..............................> E(w-1;t) < E(w;t) Ejemplo:

x = 26

t = 20

E(26;20)>E(27;20)>E(28;20)>.............>E(50;20)>....................>E(78;20)>E(79;20) 0,4337 >0,4316 >0,4308 >..............>0,31934 >...................>0,00365 > 0,00136 3) Respecto a la edad, pero con una edad de salida que no varía

 E(x;y) = E(x+1;y)- E(x;y) x

= E(x+1;y) - E(x;x+1) . E(x+1;y) = E(x+1;y). [1- E(x;x+1)] > 0 A medida que la edad x, manteniendo constante la edad de salida (y), el valor del factor de actualización actuarial AUMENTA. E(x,y) < E(x+1,y) < ............ a(27;20;10) > a(28;20;10) > .... > a(55;20;10) > .... > a(69;20;10) > a(70;20;10) 3,5671682 > 3,5481178 > 3,5268782 > .... > 1,5883147 > .... > 0,2043103 > 0,1593803 2) Respecto al plazo de diferimiento manteniéndose constante x y n

 a(x;h;n) = a(x;h+1;n) - a(x;h;n) h

=

hn

h  n 1

t  h 1

th

 E(x;t) -



E(x;t)

=E(x;h+n) - E(x;h) = -E(x;h).[ 1 - E(x+h;n) ] < 0 0

1

h

h+1

h+n-2

h+n-1

h+n

x

x+1

x+h

x+h+1

x+h+n-2

x+h+n-1

x+h+n

a(x;h+1;n) a(x;h;n)

1

1

.....

1

1

1

.....

1

1

1

a(x;0;n) > a(x;1;n) > a(x;2;n) >........ > a(x;t;n) > ......... > a(x;w-x-n;n) A medida que aumenta el plazo de diferimiento, manteniéndose constantes la edad de contratación y el número de servicios, el valor de la prima pura única de la renta vitalicia DECRECERÁ. 36

Ejemplo: a(26;0;20} > a(26;1;20) > a(26;2;20) > .... > a(26;20;20) > .... > a(26;53;20) > a(26;54;20) 13,905971 > 13,339765 >12,794896 > ....> 5,73073005 > .... > 0,27947409 > 0,23281791 3) Respecto a la cantidad de servicios manteniéndose constante x y h

 a(x;h;n) = a(x;h;n+1) - a(x;h;n) n

hn

h  n 1

t h

th

=  vt . p(x;t) =

h  n 1



t h



vt . p(x;t)

E(x;t) +E(x;h+n) -

h  n 1



th

E(x;t)

= E(x;h+n) > 0 0 x

1

2

x+1 x+2

h

h+1

h+n-2

h+n-1

h+n

x+h

x+h-+1

x+h+n-2

x+h+n-1

x+h+n

a(x;h;n+1)

1

1

......

1

1

a(x;h;n)

1

1

......

1

1

1

A medida que aumenta la cantidad de servicios , manteniéndose constantes la edad y el plazo de diferimiento, el valor de la prima pura única CRECERÁ. Ejemplo: a(26;20;1) < a(26;20;2) < a(26;20;3) < .... < a(26;20;20) < .... < a(26;20;53) < a(26;20;54) 0,433793 < 0,8488506 < 1.245820 < .... < 5,73073005 < .... < 7,31536019 < 7,3154237 Rentas Vitalicias Inmediatas a) Respecto a la edad

 a(x;0;n) = a(x+1;0;n)-a(x;0;n) = 0

x

n -1 E(x+1;t)-t=0n -1 E(x;t) = t=0n -1 vt [p(x+1;t) - p(x;t)] <

t=0

a(x;0;n)> a(x+1;0;n)> a(x+2;0;n)> ...........> a(x+t;0;n)>......................... >a(w-n;0;n) En general a medida que aumenta la edad x, manteniéndose constante el numero de servicios; la prima (con respecto al seguro de vida con riesgo inmediato y plazo limitado) DECRECERÁ. Ejemplo: a(26;0;20) > a(27;0;20) > a(28;0;20) > .... > a(55;0;20) > .... > a (79;0;20) > a(80;0;20) 37

13,90597 > 13,897399 > 13,88674 > .... > 13,522645 > .... > 5,9819312 > 5,701754 b) Respecto al número de primas

 n

a(x;0;n) = a(x;0;n+1) - a(x;0;n) =

n E(x;t) - t=0n -1 E(x,t)

t=0

=E(x;n) + t=0n -1 E(x;t) - t=0n -1 E(x;t) = E(x;n) > 0 a(x;0;n)