Cargas Combinadas Torcion y Traccion Resitencia de Materiales

RESISTEN RESISTENCI CIA A DE MA TERIAL TERIAL ES

CARGA S COMB I NADA S, TORCI T ORCION ON Y TRACCION.

INTRODUCCION.

El diseño de cualquier elemento o de un sistema estructural implica responder dos preguntas: ¿El elemento es resistente a las cargas aplicadas? y ¿Tendrá la suficiente rigidez para que las deformaciones no sean excesivas e inadmisibles? Las respuestas a estas preguntas implican el análisis de la resistencia y rigidez de una estructura, aspectos que forman parte de sus requisitos. Estos análisis comienzan por la introducción de nuevos conceptos que son el esfuerzo y la deformación, dentro de los cuales también tenemos los conceptos de tracción y

torsión, los mismos que podrían ser aplicados al diseño de cualquier maquina o estructura la cual lo necesite. Claro que hay que tomar en cuenta que para maquinas y estructuras complejas estos análisis se encuentran en el mismo sistema de análisis, lo cual se debe conocer como es el análisis en estos casos. A esto se hace mención en el presente trabajo.

OBJETIVOS:

1. Comprender la Resistencia de Materiales. 2. complementar el estudio de la resistencia de materiales. 3. Conocer los conceptos y los métodos de análisis y resolución de las cargas combinadas torsión y tracción.

4. Reconocer el tipo de esfuerzo o carga, al cual esta aplicando al diseño de ejes, vigas, estructuras, maquinas.

5. Aplicar el análisis de las cargas combinadas.

TRACCIÓN En física e ingeniería, se denomina tensión mecánica al valor de la distribución de fuerzas por unidad de área en el entorno de un punto material dentro de un cuerpo material o medio continuo. Un caso particular es el de tensión uniaxial , que se define en una situación en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un área  A. En ese caso la tensión mecánica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega σ (sigma)

y viene dada por:

σ=F/A

Siendo las unidades [Pa] (pascal = [N/m²]), [MPa] = 10 6 [Pa] y también [kp/cm²].

Alargamiento unitario Alargamiento unitario (ε) es la cantidad que alarga un cuerpo (δ) por unidad de

longitud (L). ε = δ/L (ε no tiene unidades)

Ley de Hooke Existen materiales en los que la relacción entre tensión (σ) y alargamiento (ε) es

constante. Se dice que estos materiales cumplen la ley de Hooke. σ1/ε1 = σ2/ε2 = σ3/ε3 = σ/ε = cte = E La relación entre ambas magnitudes (σ/ε) se llama  Módulo de elasticidad (E) o Módulo

de Young. E = σ/ε

Alargamiento total para una pieza sometida a una fuerza externa. Para los alargamientos totales debido a la deformación producida por una fuerza externa (despreciando su propio peso), la fórmula a utilizar es: δ = PL/AE

(siendo δ, el alargamiento total; P, la fuerza que actua; L, la longitud; A, la sección y E,

el módulo de elasticidad.)

Tensión de un elemento suspendido y sometido a su propio peso Cuando partimos de una barra y queremos hallar la tensión debida a su propio peso, tenemos que fijar primeramente que el peso equivale al volúmen de la barra por el peso específico del material que la compone. Como el volúmen lo podemos descomponer en la multiplicación del área por la longitud, tenemos que: W = A • L • Pe Dado que la tensión es σ = P/A y que la fuerza actuante, para este caso es W, podemos poner que σ = W/A. sustituyendo el peso en esta fórmula tenemos que σ = A • L •

Pe/A. Quedando que la tensión máxima sería σ = L • Pe

Alargamiento de una estructura debido a su propio peso En el caso del estudio de alargamiento de una estructura debido a su propio peso, la fórmula a utilizar es: δ = W L / 2AE

Elemento suspendido y sometido a su propio peso más una carga adicional En el caso de que contemplemos el elemento sometido a su propio peso al que se aplica una carga adicional, tanto la tensión como el alargamiento será suma de las correspondientes por separado, es decir, contemplando el elemento con una carga adicional y sin peso, sumado al elemento sin carga adicional y con peso, esto es: Tensión (peso + carga): σ = L Pe Alargamiento (peso + carga): δ = (W/2 + P) L/AE

Tensión admisible o tensión de trabajo La tensión admisible es aquella que asegura las no deformaciones permanentes en los materiales y que por tanto debe ser inferior a la tensión producida por las fuerzas exteriores. Para que una estructura esté siempre en condiciones elásticas seguras se acostumbra a escoger la tensión admisible bastante inferior al límite de proporcionalidad.

Dado que es difícil determinar este punto, se toman los puntos de fluencia o de rotura como base para determinar la tensión admisible. σadm = σFl/n1 y σadm = σR/n2

Donde n1 y n2 son coeficientes de seguridad.

Tensiones de origen térmico Cuando a un sistema se le aplica un incremento de temperatura que hace que se dilate, y hay alguna causa que impide el alargamiento (debido a la dilatación) aparecen unas tensiones denominadas de origen térmico. El alargamiento para un cuerpo suponiéndole sin rozamiento con el suelo, al que se le aplica un aumento de temperatura, se produce un alargamiento determinado por: δ = α L ΔT

(siendo ΔT = incremento de temperatura, α = Coeficiente de dilatación y L = Longitud) La tensión, en cambio, vendrá determinada por la siguiente fórmula: σ = E α ΔT

Deformaciones en el estado simple, doble y triple de tensiones.

Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el sistema de referencia. Sobre cada una de las caras existirá un vector tensión total de manera tal que el cubo elemental se encuentre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse según los ejes de referencia de manera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un estado de tensiones de estas características se dice que es un “estado triple o espacial”.

En determinadas circunstancias las cargas actuantes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este estado se denomina “doble o plano”.

Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje, el estado se denomina “simple o lineal”.

En realidad, la definición de un estado como simple, doble o triple no solo depende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento diferencial tiene una rotación, inclusive puede convertirse en un estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tenemos un estado doble, por ejemplo, es probable que no encontremos, por rotación del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal.

TORSIÓN En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por la dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él. El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. 2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

Diagrama momentos torsores. Al aplicar las ecuaciones de la estática, en el empotramiento se producirá un momento torsor igual y de sentido contrario a T. Si cortamos el eje por 1-1 y nos quedamos con la parte de abajo, para que este trozo de eje este en equilibrio, en la sección 1-1 debe existir un momento torsor igual y de sentido contrario. Por tanto en cualquier sección de este eje existe un momento torsor T. El diagrama de momentos torsores será:

Ángulo girado por un eje. Para el estudio de la torsión de un eje cilíndrico vamos a suponer las siguientes hipótesis: 

a) Hipótesis de secciones planas.



b) Los diámetros se conservan así como la distancia entre ellos.



c) Las secciones van a girar como si se tratara de cuerpos rígidos.

Planteadas estas hipótesis vamos a considerar un elemento diferencial de eje en el que estudiaremos su deformación y después las tensiones a las que esta sometido. Vamos a aislar el trozo dx de eje.

El ángulo ɣ será el ángulo que mide la distorsión del elemento.



 

Cálculo de las tensiones a las que está sometido el elemento abcd. El lado cd desliza hacia la derecha respecto al lado ab; por tanto existe una t. Este elemento trabaja a tensión cortante pura. El valor de t será: r = G . y = G . e . D/2

El circulo de Morh de este elemento es el circulo de la tensión cortante pura.

Las tensiones principales de este elemento serán:

Las direcciones principales del elemento estarán a 45º. σ1 = τ 

y

σ2 = -τ 

Si en vez de considerar al elemento la superficial abcd, hubiera considerado otro elemento a la distancia r del centro, la t a la que estaría sometido este elemento será:

Cálculo de Tmáx y del ángulo girado por el eje en función del momento torsor. Supongamos que la figura representa la sección del eje y el momento torsor T que actua La tensión t en el punto B vale: Si tomamos un diferencial de are dA alrededor del punto B las t de ese dA dan una resultante dF.

Este F da un diferencial de momento torsor. El momento torsor de la sección será:

Formula que permite calcular el ángulo girado por el eje por unidad de longitud, en función del momento torsor. El ángulo total girado por el eje será:

Módulo resistente a la torsión. Hemos visto que

Esta expresión se puede poner en la forma:

Para la sección circular:

CARGAS COMBINADAS En el capítulo anterior se estudió el diseño de elementos sometidos a cargas estáticas simples, como carga axial, flexión, torsión y cortante directo. En este capítulo avanzaremos en nuestro estudio al considerar elementos sometidos a cargas estáticas combinadas. Cuando el punto crítico de un elemento tiene un estado de esfuerzo plano (biaxial) o triaxial, su diseño es un poco más complejo, ya que los datos disponibles de resistencia de los materiales son aquellos de resistencia a estados de esfuerzo simple. Se debe recurrir, entonces, a teorías que predigan la falla de los materiales bajo estados de esfuerzo combinado. En este capítulo estudiaremos algunas teorías de falla estática, propuestas para predecir la falla de los materiales sometidos a cargas estáticas. En los capítulos 2 y 3 se estudiaron los estados de esfuerzo producidos por cargas simples. Sin embargo, en la resolución de los problemas no se necesitaron dichos estados de esfuerzo, ya que el diseño se hace por comparación directa; es decir, el esfuerzo normal máximo producido por carga axial o flexión se compara con la resistencia del material a tracción o compresión; algo similar sucede con los esfuerzos cortantes. En este capítulo se estudiarán estados de esfuerzo triaxiales, ya que puede ser necesario trazar éstos para la aplicación de las teorías de falla.

Esfuerzos combinados En la sección anterior se repasaron los conceptos de esfuerzo, esfuerzo normal, esfuerzo cortante y estado de esfuerzo en un punto. Aquí se resumen algunos conceptos estudiados allí, pero el estudiante puede releer dicha sección, si lo considera necesario.

Estado triaxial de esfuerzo Considere el cuerpo de la figura 4.1.a, el cual está sometido a fuerzas externas. Al hacer un corte sobre el elemento y aislar una de las partes (figura 4.1.b), puede determinarse la fuerza interna que soporta dicha sección de corte; esta fuerza tendrá una componente tangencial y otra normal a la sección, las cuales se distribuyen de cierta manera sobre ésta. Los esfuerzos normal, S, y cortante, S, sobre un punto cualquiera de dicha sección dependerán de la forma en que se distribuya la fuerza y se muestran en la figura 4.1.c.

El par de esfuerzos mostrado en la figura 4.1.c es el que actúa en el punto indicado,

con la orientación del plano de corte; sin embargo, si la orientación del plano cambia, también lo hacen los esfuerzos. Para conocer completamente el estado de esfuerzo en un punto, se deben conocer los pares de esfuerzos que actúan en tres planos ortogonales. La figura 4.2.a muestra el estado general de esfuerzo en un punto, donde

 ,  y    , son los esfuerzos normales que actúan en las direcciones x, y y z respectivamente y  ,  ,  ,  ,  ,  ,    , son los esfuerzos cortantes que actúan en los diferentes planos.

Los subíndices de los esfuerzos

cortantes indican, en su orden, esfuerzo cortante (s), plano donde actúa el esfuerzo y dirección en que actúa.

Como el estado de esfuerzo de un punto depende de la orientación de los planos ortogonales analizados, se tiene un número infinito de estados de esfuerzo, ya que dichos planos pueden tener infinitas orientaciones. Al rotar un elemento infinitesimal sometido a esfuerzos, como el de la figura 4.2.a, existirá siempre una orientación de los planos de dicho elemento en la cual sólo actúan esfuerzos normales, es decir, no hay esfuerzos cortantes. Los planos encontrados se denominan planos principales, y los esfuerzos normales que actúan en ellos son los esfuerzos principales,  ,  ,   , los cuales se muestran en la figura 4.2.b. Por convención

; entonces, 

es el esfuerzo principal máximo y    es el esfuerzo principal mínimo. Nótese que la única condición para que un esfuerzo normal sea esfuerzo principal, es que en el plano donde éste actúa, el esfuerzo cortante sea nulo. Para determinar los esfuerzos principales, partiendo de un estado de esfuerzo cualquiera, se puede aplicar el siguiente polinomio cúbico:

Las raíces de esta ecuación son siempre reales y son los esfuerzos principales. En la ecuación 4.1, un esfuerzo cortante (actuando en un plano positivo) es positivo si actúa en la dirección positiva del eje o negativo si actúa en la dirección negativa del eje.

Estado de esfuerzo plano El caso de esfuerzo plano es bastante común en el diseño de ingeniería; por lo tanto, estudiaremos este caso con cierta profundidad. El estado de esfuerzo biaxial (o estado

de esfuerzo plano) es aquel en el cual sólo actúan esfuerzos en un plano y se muestra en la figura 4.3.a.

Al rotar el elemento infinitesimal en el plano del papel, siempre se podrá encontrar una orientación en la cual sólo aparezcan esfuerzos normales; dichos esfuerzos son, entonces, los esfuerzos principales, σA y σB, en ese plano, tal como se muestra en la figura 4.3.b. El tercer esfuerzo principal es el que actúa perpendicularmente al plano del papel (en z), en la cara mostrada en las figuras 4.3.a y b, ya que en dicho plano no actúa esfuerzo cortante; como tampoco actúa esfuerzo normal, dicho esfuerzo principal es nulo: σC = 0. Se han cambiado los subíndices de los esfuerzos principales, 1, 2 y 3, por las letras A, B y C, para conservar la convención

ya que sólo se sabe el orden de los

esfuerzos   ,   , y   en cada caso particular; es decir, para el estado de esfuerzo de la figura 4.3.b, no se sabe cuál de los tres esfuerzos  ,  , y    es el máximo, el mínimo o el intermedio. Para simplificar algunas gráficas y ecuaciones, se adopta la convención σA ≥ σ B; de

acuerdo con ésta, las ecuaciones para encontrar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzo plano son:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

1. Calcular los esfuerzos normales y cortantes del cilindro de la figura 4.47, de aleación de aluminio forjado AA 2024 grado T4, sometido a las siguientes cargas uniformemente distribuidas en los extremos: un par de fuerzas de tracción,  F = 30 kN, y dos pares de torsión, T = 8 kN-m.

Pr opiedades del material: De la tabla A-3.5 (apéndice 3) se lee Sy = 324 MPa, Su = 469 MPa y elongación de 19% (en 2 in). Esto último indica que el material es dúctil.

RESOLUCION Cálculo de esfuerzos: El esfuerzo cortante esta dado por la ecuación 2.12:

  Remplazamos  

 

  



 

y nos queda la siguiente ecuación:

 

  



     



     

El esfuerzo normal producido por las fuerzas de tracción esta dado por la ecuación 2.5:

 



                      

Cálculo del diámetro: El estado de esfuerzo de los puntos críticos es biaxial con un esfuerzo cortante y un esfuerzo mormal; por lo tanto, puede aplicarse la ecuación 4.43:

Para un estado de esfuerzo biaxial con uno de sus esfuerzos normales igual a cero,  puede usarse la siguiente ecuacion:



 

  



       

                          Como se dijo anteriormente, los resultados de la teoría de la energía de distorsión coinciden con los de la Teoría del Esfuerzo Cortante Octaédrico (TECO). Los resultados de estas teorías son los preferidos en el diseño de materiales dúctiles ya que concuerdan mejor con los datos experimentales. A la teoría de la energía de distorsión se le conoce también como teoría de von Mises-Hencky5.

CONCLUCIONES:

Las cargas combinadas no ha sido mas que el análisis de los distintos esfuerzos y deformaciones que pueden estar presentes en vigas, estructuras o maquinas, estos esfuerzos y deformaciones se dan por la aplicación de fuerzas las cuales pueden a su ves producir torque o momentos flectores. Se debe tener muy presente cada uno de los conceptos. Revisados ya que con la debido estudio, se facilitara al resolver los diferente problemas que se nos pueda, ya que las cargas combinadas se nos presentan en cosas cotidianas de la vida diaria, como carteles de anuncios, ejes, columnas, vigas , etc. Es recomendable siempre fijarse muy bien en los signos de los momentos y esfuerzos que llegue a producirse en las vigas o estructuras, también se debe fijar muy bien en cuales son los puntos de referencian para el calculo de los esfuerzos.

REFERENCIAS: BEER, Ferdinand y JOHNSTON E. R..

Mecánica de Materiales.

Colombia:

McGRAW-HILL, 1993. 2ª edición. FAIRES, V. M.. Diseño de Elementos de Máquinas. México: Editorial Limusa, 1995. 4ª Reimpresión. HIBBELER Russell Charles, Mecánica de Materiales, Editorial Prentice Hall, México, 1996. SINGER Ferdinand, PYTEL Andrew, Resistencia de Materiales, Editorial Harla, Mexico, 1987.