Carga Crítica de Euler

Car ga c r í t i cade E ul er , def or mac i ón deb i da a o c mpr es i ón ( co l umnas)

Cada vez que se diseña un elemento, es necesario que cumpla con requisitos específcos de resistencia, deexión y estabilidad. Algunos elementos pueden estar sometidos a cargas de compresión y si dicos elementos son largos y delgados, la carga puede ser lo sufcientemente grande para acer que el elemento experimente deexión lateral o se ladee. !n específco, los elementos largos y delgados que se someten a una "uerza de compresión axial se denominan columnas, y la deexión lateral que se produce se llama pandeo. Con muca "recuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una "alla repentina y dram#tica de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse. $a carga axial m#xima que puede soportar una columna cuando est# al borde del pandeo se llama carga crítica, %cr, fgura&'a(. Cualquier carga adicional ar# que la columna se pandee y, por lo tanto, su"ra una deexión lateral como se muestra en la fgura &'b(.

Figura N°1

Con el fn de comprender me)or la naturaleza de esta inestabilidad, considere un mecanismo de dos barras consistente en barras rígidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en la fgura &*a(. Cuando las barras est#n en posición vertical, el resorte, con una rigidez +, se encuentra sin estirar y se aplica una pequeña "uerza vertical % en la parte superior de una de las barras. !sta

posición de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequeña distancia , fgura &*b(. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan, fgura &*c(, el resorte producir# una "uerza de restauración -  +, mientras que la carga aplicada % desarrolla dos componentes orizontales, %x  % tan u, que tiende a empu)ar al pasador &y a las barras( m#s deldeequilibrio. Como u resorte es pequeño,  $ u&$/*( tan u $ u. Así, la le)os "uerza restauración del se convierte en -y  +u$/* y la "uerza perturbadora es *%x  *%u. 0i la "uerza de restauración es mayor que la "uerza perturbadora, es decir, +u$/* 1 *%u, entonces, como u se cancela, se puede despe)ar %, de donde resulta

Figura N°2

!l valor intermedio de %, que requiere +$u/*  *%u, es la carga crítica %cr +$ 2344 equilibrio neutro !sta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como %cr es independiente del &pequeño( desplazamiento u de las barras, cualquier alteración ligera del mecanismo no causar# que se ale)e del equilibrio, ni se restaurar# a su posición srcinal. !n cambio, las barras se mantendr#n en la posición con deexión. Columna ideal con soportes de pasador

!n esta sección se determinar# la carga crítica de pandeo para una columna que est# soportada mediante un pasador, como se muestra en la fgura &5a(. $a columna que se va a considerar es una columna ideal, lo que signifca que es per"ectamente recta antes de la carga, est# "abricada de un material omog6neo y la carga se le aplica a trav6s del centroide de su sección transversal. Adem#s, se supone que el material se comporta de "orma el#stico lineal y que la columna

se pandea o se dobla en un solo plano. !n la realidad, las condiciones de rectitud de la columna y aplicación de la carga no se cumplen7 sin embargo, el an#lisis realizado sobre una 8columna ideal9 es similar al usado para estudiar columnas inicialmente torcidas o aquellas en las que la carga se aplica en "orma exc6ntrica. !stos casos m#s realistas se estudiar#n m#s adelante en este capítulo. Como una columna ideal es recta, en teoría axial % podría aumentarse que se produ)era una "alla la yacarga sea por "ractura o por cedencia asta del material. 0in embargo, cuando se alcanza la carga crítica %cr, la columna estar# a punto de volverse inestable, de modo que una pequeña "uerza lateral -, fgura &5b(, ar# que la columna permanezca en la posición con deexión cuando se retira -, fgura &5c(. Cualquier reducción ligera de la carga axial % a partir de %cr permitir# que la columna se enderece y cualquier aumento ligero en %, por encima de %cr, ocasionar# un aumento adicional de la deexión lateral.

Figura N°3

!l eco de que una columna se mantenga estable o se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial depender# de su capacidad de restaurarse, la cual se basa en su resistencia a la exión. %or consiguiente, si se desea determinar la carga crítica y la "orma pandeada de la columna, es necesario aplicar la ecuación, que relaciona al momento interno de la columna con su "orma exionada, es decir:

;ecuerde que esta ecuación supone que la pendiente de la curva el#stica es pequeña y que las deexiones ocurren sólo por exión. Cuando la columna est# en una posición exionada, fgura &3a(, el momento interno de exión puede determinarse mediante el m6todo

de las secciones. !n la fgura &3b( se muestra el diagrama de cuerpo libre de un segmento en la posición exionada. Aquí, tanto la deexión y como el momento interno < se muestran en la dirección positiva de acuerdo con la convención de signos utilizada para establecer la ecuación anterior. !l momento de equilibrio requiere que <  =%y. %or lo tanto, la ecuación anterior se convierte en

>sta es una ecuación di"erencial lineal omog6nea de segundo orden, con coefcientes constantes.