Caracteristicas de Serie de Fourier

 

Funciones Pares

Nombre: Juan pablo Penagos Losada Código: 20172163408

Serie de

Serie de

Propiedades

Fourier

Fourier

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER Alcance y objetvos

Ejemplos

Funciones Impares Consideracion

Series de Fourier

Serie de Fourier

Propiedades

Ejercicios

T1

T2

T3

Aplicaciones de la serie de Fourier

T4 01

Serie de Fourier para periodos 2

 

Aprender esa herramiena maemátca utlizada para analizar funciones periódicas a ravés de descomponer dichas funciones en la suma inniesimal de funciones sinodales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias eneras). Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería. Para nuesro ingeniería elecrónica, ele crónica, es a usada en los sisemas decaso elecomunicaciones. También ravés del uso de los componenes especrales de frecuencia de una señal dada, se puede optmizar el diseño de un sisema para la señal poradora del mismo. Por ende, se muesra a lo largo ese rabajo la Serie de Fourier,. Fourier ,. Ejercicios referenes referen es al de seno y coseno, propiedades e inerpreaciones.

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Las llamadas series de Fourier son desarrollos en los que cada érmino es una función y por lo ano el resulado de oda la sumaoria ambién lo será. Esas series funcionales se utlizan para represenar o expresar funciones periódicas. Es necesario denir, enonces, enonces, qué es una función periódica. Es aquella aqu ella función cuyos valores se repien conforme un deerminado inervalo T. T. Ese inervalo de repetción de los valores de la función es jusamene el periodo T que le da su nombre. En numerosos problemas práctcos de sica, ingeniería y oras ciencias, aparecen funciones periódicas cuya ransformació ransformación n en suma de funciones periódicas más simples como lo son y nos permie el esudio de las mismas. Ese desarrollo se denomina “Serie de d e Fourier” en honor al sico francés Jean Baptsa Fourier.

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Siguiene

 

Básicamene las series de Fourier se encargan de d e ransformar una señal del dominio del tempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su ant ransformada y volver al dominio emporal. La serie tene la forma:

Donde an y bn se denominan coecienes de Fourier de la serie de Fourier de la función y(x) y es la frecuencia fundamenal que se dene como:

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Anerior

 

Funciones pares Una función y = f(x) es PAR si para odo x: f(-x) = f(x).

Ejemplos:

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Siguiene

 

  Como consecuencia inmediaa de la denición podemos observar que qu e para odo par de punos siméricos al origen “-x0”; “x0” perenecienes a su dominio, la función oma los mismos valores numéricos y por lo ano “su gráca es simérica respeco al eje de ordenadas”.

El érmino función par suele referirse referirse a una clase especial de funciones de variable variable real. La denición anerior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjuno con ciera esrucura algebraica en la que exisan inversos aditvos (por ejemplo, eje mplo, los números complejos C), una función par sería oda función: a Que cumpla:

La denición de función par presume que si a A enonces necesariamene −a ∈ A, de no ser así no se podría denir f(−a).

Anerior

Siguiene

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Propiedades de las funciones pares Propiedad 1: La suma de dos funciones pares es ora función par: U(x)= f(x) + g(x) es PAR, PAR, es decir, decir, U(-x) =U(x) Ejemplos:

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Anerior

Siguiene

 

Propiedad 2: El produco o cociene de de dos funciones pares es ora ora función par: V(x)= f(x). g(x) es PAR, es decir, V(-x) =V(x)

Ejemplos:

Anerior

Siguiene

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Propiedad 3:   una na función par, en un inervalo de Esa propiedad de la inegral denida de u inegración simérico respeco del origen origen es evidene, si se tene en cuena la simería de represenación abordada aneriormene, aneriormene, el valor de la inegral como área.

Anerior

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Funciones impares Una función y = f(x) es IMP IM PAR si para odo x: f(-x) = -f(x) Ejemplos:

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Siguiene

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Una función y = f(x) es IMPAR IMPAR si para odo x: f(-x) = -f(x) Desde un puno de visa geomérico, una función impar posee una simería roacional con respeco al origen origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráca no se alera luego de una roación de 180 grados alrededor del d el origen.

Anerior

Siguiene

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Propiedades de las funciones impares Propiedad 1: La suma de dos funciones impares es ora función impar: U(-x)= f(-x) f(-x) + g(-x) es IMPAR, IMPAR, es decir, decir, U(-x) =-U(x) Ejemplos:

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Anerior

Siguiene

 

Propiedad 2: El produco o cociene de dos funciones impares es una función par: V(x)= f(x). g(x) es PAR, es decir, V(-x) =V(x) Ejemplos:

Anerior

Siguiene

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Propiedad 3: El produco o cociene de una función par y ora impar da como resulado una función impar.. Sean f(x) una función par y g(x) una función impar enonces V(x)= f(x). g(x) es una impar función impar. Ejemplos:

Anerior

Siguiene

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Propiedad 4: Dado que una función impar oma valores numéricos opuesos para valores valores opuesos de la variable independiene, independiene, su gráca es una curva simérica respeco al al puno de origen.

Ejemplos:

Como consecuencia de esa propiedad de simería geomérica resula evidene que oda inegral denida de una función impar en un inervalo de inegración simérico respeco del origen es nula.

Anerior 15

 

Serie de Fourier en funciones pares  

Si f(x) es par quepares f(x) = es f(-x); sabemos que esf(x). pares y una es impar. impar . Como am produco de se doscumple funciones ora funciónambién par,bién par, enonces función par el y el desarrollo de Fourier y los coecienes de los érminos cosenoidales oman la siguiene forma:   De la misma manera:   En cambio, por ser el produco f(x). una función impar, impar, se endrá:

 

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Siguiene

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Los coecienes de los érminos sinusoidales serán odos nulos, por lo ano, el desarrollo de la serie de Fourier se reduce, resulando así:

Donde sus coecienes serán:  

Anerior 17

 

Serie de Fourier en funciones impares  

 

f(x).cos(nx) es impar f(x).sen(nx) es par

Si f(x) es impar entonces

Por lo tanto: 

  Por ser los inegrando funciones impares, por lo cual el e l desarrollo de la serie de Fourier para funciones impares quedaría:

Donde:

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Serie de Fourier para periodos 2  

Sea una función f(x) de período p = 2, que además es contnua o seccionalmene contnua con un número nio de discontnuidades nias en ´ [-, ] y supongamos puede ser desarrollada en una serie de Fourier de la forma:

Donde a0, an, y bn son los coecienes cuya deerminación esudiaremos. Ese desarrollo de la función es una suma de innias funciones simples sinodales y cosenoidales recibe el nombre de “Serie de Fourier”. Para deerminar los coecienes partmos del supueso de que el desarrollo exise y la serie converge hacia los valores de la función.

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Siguiene

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Supongamos su desarrollo de la forma:

Donde a0,an y bn son consanes  Inegrando ambos miembros enre los límies – y  se obtene:

Anerior

Siguiene 20

 

Conforme a lo demosrado aneriormene las inegrales que aparecen denro del parénesis son nulas, resulando:

De donde:

Anerior

Siguiene

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 

Multplicamos ambos miembros del desarrollo por , inegrando i negrando endremos:

Todas las inegrales del segundo miembro son nulas con la excepción de la inegral:

Por lo ano:

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Anerior

Siguiene

 

 

Multplicamos ambos miembros del desarrollo por , inegrando i negrando endremos:

Todas las inegrales del segundo miembro son nulas con la excepción de la inegral:

Por lo ano:

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Anerior  

Simetría del área posiva y negava de la señal:

Si una señal perque periódica iódica poseeno unposee área positva de igual ig ual magniud al área de esa misma, se dice la señal componene fundamenal (a0), esnegatva imporane ener en cuena que lo que debe ser igual es la magniud del área, es posible que una señal no sea simérica visualmene, pero al calcular su área si puede pu ede ser simérica su área positva y negatva, como se observa a contnuación en la siguiene gura.

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Siguiene

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Área A1 = b ∗ h = 3 ∗ 1 = 3 Área A2 = b ∗ h = 1 ∗ 3 = 3 Como se observa, a pesar de que las áreas no son visualmene iguales, si tenen la misma área bajo y sobre el eje x, por ende, se dice que la componene (a0) de la señal es igual a 0.

Anerior

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•

Desarrollar en Serie de Fourier la forma simérica de una onda recangular dada por:

Solución

•

Desarrollar en serie de Fourier la forma ant simérica de una onda recangular:

Solución

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Solución: Siendo f(x)=f(x+ 2) simérica al eje y por raarse de una función par la serie de Fourier es un desarrollo reducido de érminos cosenoidales ya que bn =0

Cálculo de an:

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Siguiene

 

Cálculo de :

 ya que = 0 Eso indica que a0=0, a1=4/; a2=0; a3=−4/3; a4=0; a5=4/5… donde odos los érminos de orden par se anulan y los de orden impar son alernadamene positvos y negatvos, omando omando 4 como facor facor común:

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Anerior

Siguiene

 

Anerior 29

 

Solución: siendo f(x)=f(x+ 2) simérica respeco del origen. Por Por raarse raarse de una función impar del desarrollo de la serie se reduce a una suma de érminos sinodales, mienras mienras que a0 a0 = an an = 0 para odo n  a los Naurales, y solo debemos calcular bn.

Cálculo de bn:

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Siguiene

 

  Cálculo de an:

Si n es par Si n es impar bn= Enonces: b1=4/; b2=0; b3=4/3; b4=0; b5=4/5  ya que = 0 Eso indica que a0=0, a1=4/; a2=0; a3=−4/3; a4=0; a5=4/5… donde odos los érminos de orden par se anulan y los de orden impar son alernadamene positvos y negatvos, omando omando 4/ como facor facor común:

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Anerior 32

 

•

Desarrollar en Serie de Fourier la siguiene función periódica denida como:

Deermine los coecienes. Solución 33

Inicio  

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Anerior

Siguiene

 

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Anerior

Siguiene

 

Con base en la denición de la función periódica más reciene previa, Deermine los coecienes bn.

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•

Ejemplo de aplicación de un circuio

Dado el circuio de la gura, sometdo a la excia exciación ción indicada, se desea obener la expresión emporal de Vc() Vc().. Solución 37

Inicio  

Aplicación de la serie de Fourier El poder exraordinario y la exibilidad de las series de Fourier se ponen de manieso en la asombrosa variedad de aplicaciones que esas tenen en diversas ramas de la maemátca y de laAlgunas sica maemátca mde aemátca desde la eoría de números geomería has a la en la mecánica quántca. las más imporanes aplicaciones de ylas series de hasa Fourier elecrónica y medicina son:

•

•

Aplicación en el procesamieno digial de señales de odo tpo Aplicación en la medicina

Inicio 38

 

Aplicación en el procesamiento digital de señales de todo po señ ales se correlaciona con las series de Fourier ya que esa nos El procesamieno de señales permie expresar una función periódica de tempo como la suma de un número innio de senoides cuyas frecuencias esán armónicamene relacionadas La imporancia de eso eso radica en que la serie de Fourier nos facilia el arduo rabajo del manejo con señales, ya que para que nosoros podamos procesar esas señales es necesario expresarlas como una combinación lineal de los respectvos érminos.

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39

Anerior  

Aplicación en la medicina Diagnóstco auomátco: La ecograa permie regisrar la vibración de cada una de las membranas del corazón, proporcionando una curva periódica. Un programa de ordenador calcula los primeros érminos de las sucesiones (coecienes de Fourier). En el caso de la válvula miral, son sucienes los dos primeros coecienes coecienes de Fourier Fourier para diagnostcar al paciene. Esa Esa forma de diagnóstco disminuye disminu ye coses en el sisema saniario sani ario y, sobre odo, evia al paciene los riesgos rie sgos y molestas inherenes a las pruebas endoscópicas.

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•

Hallar el periodo de la función: Solución

•

 Pruebe que la función:

es de periodo 6.

Solución •

Prueba que la función:

,, es de periodo .

Solución

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•

Desarrollar en Serie de Fourier la siguiene función periódica denida como:

Deermine los coecienes. Solución

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