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Análisis de redes de corriente alterna en estado estable

CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL FUNCIÓN SENOIDAL Sea una función senoidal de la forma

( t )  Vm  Sen  t

(4.1)

donde Vm es la amplitud del valor máximo que tiene la función. La frecuencia está dada en radianes o frecuencia angular  está dada en radianes por segundos (rad / s). La función senoidal es una función periódica, definida para toda t ( t  T )  ( t )

(4.2)

donde T es el periodo, la función para un ciclo completo o periodo 2 T  (4.3)  Por consiguiente, en un segundo la función pasa por 1/T ciclos, su frecuencia es  f  (4.4) 2

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Una expresión más general podemos escribirla como

( t )  Vm  Sent  

(4.5)

Donde  es el ángulo de fase, como está en radianes por segundo,  debe expresarse en radianes. Sin embargo, los grados son medidos para un ángulo.

Vm  Sent  

Podemos escribir que

se adelanta a

Vm  Sen  t por 

radianes o grados, como se muestra en la figura

Nótese que una fase adelantada positivamente ( > 0) implica un desplazamiento a la izquierda de la gráfica de la función. En general, las sinodales 1  Vm1  Sent    y 2  Vm2  Sent    , están adelantadas por ( ), es decir; que 2 está en retrazo con respecto a 1. Ejemplo:

 

1  4  Sen 2t  300 2  6  Sen 2t  120

 

1 está adelantada con respecto a 2, o 2 está en retrazo con respecto a 1, por lo tanto    = 30°  (12) = 42° lo que significa que 1 se desplaza hacia la izquierda por 42° con respecto a 2,.

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Esto no importa que tipo de función utilicemos, puesto que podemos realizar la conversión de una sinodal a cosenoidal o viceversa utilizando la siguiente identidad

Ejemplo:

  Cos t    Sen  t 2 

Sent     Sen  t

  Sen t    Cos  t 2 

Cos t    Cos  t





1  4  Sen 2t  300 2  2  Cos 2t  180





 Cos  t  Cos t  180 2  2  Cos 2t  18  180 2  2  Sen2t  198  90 2  2  Sen2t  188

El desfasamiento es de 30°  188° = 158°, es decir; 1 está adelantado de 2 o 2 atrasado de 1 por 158°. La suma de una onda sinodal y una cosenoidal, el resultado es otra función sinodal de la misma frecuencia

ACost  BSent 

 A A2  B 2  Cost  2 2 A  B 

 Sent  A2  B 2  B

Puede ser escrita como

ACost  BSent 

A2  B 2 Cost  Cos  Sent  Sen

(4.6)

Haciendo uso de la trigonometría podemos transformar (4.6) de la forma

ACost  BSent 

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A2  B 2  Cos t  

(4.7)

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De acuerdo a la figura 4.3, nos muestra el triángulo para la suma de dos ondas sinodales, de manera que B   tan 1 (4.8) A

El resultado es una sinodal de la misma frecuencia y el resultado es similar si sus fases son diferentes. Ejemplo:

Efectuar:  5 Cos 3t + 12 Sen 3t

  12   5Cos3t  12 Sen3t  52  12 2 Cos 3t  tan 1     5  

 13  Cos 3t  112.6 EJERCICIOS: 4.1.1. Encuentre el periodo de las siguientes funciones: a) 4Cos 5t  33     b) Cos 2t    3Sen 2t   4 6   c) 6Cos 2t Respuesta: 2/5 ;  ; 1

4.1.2. Encuentre la amplitud y fase de la siguientes funciones: a) 3Cos 2t  4 Sen 2t b) 4  3  3  Cos 2t  30  3  3  4  Cos 2t  60









Respuesta: 5 ; - 53.1° ; 5; 36.9°

4.1.3. Encuentre la frecuencia de las siguientes funciones: a) 3  Cos 6t  10 b) 4  Sen377t Respuesta: 3 ; 60 Hz.

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NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo cualquiera se puede escribir en su forma triángular de la manera siguiente: A  a  jb

(4.9)

Donde A es cualquier número complejo, a es la parte real, b la parte imaginaria y j   1 es la representación de una raíz imaginaria. Utilizando la figura 4.4 sirve para convertir cualquier número complejo en su forma rectangular a la forma polar, de modo que (4.9) la podemos escribir en forma polar

A  A   j  A 

(4.10)

Donde A es la magnitud, obtenida como

A  a2  b2 y el ángulo  dado por   tan 1

b a

Transformar a su forma polar a: A =  5 – j12

Ejemplo: A

 52   122

 13

A=1367.38°   12    tan 1    67.38  5 

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FASORES Para dar comienzo al entendimiento de los fasores, iniciaremos con nuestra función senoidal para el voltaje en función del fiempo

  Vm  Cos t  

(4.9)

de manera que si nosotros conocemos la frecuencia , entonces  queda espcíficamente por su amplitud Vm y su ángulo de fase , lo cual hace un número complejo que puede representar de la manera siguiente V  Vm   j  Vm 

(4.10)

La ecuación (4.10) se define como una representación fasorial o fasor. La representación fasorial de  = 5 Cos (3t + 12°) V donde Vm = 5 y  = 12°,  = 3 rad/s es conocida podemos encontrar a V

Ejemplo:

V = 5 12° V Del mismo modo podemos representar a la corriente en función del tiempo a su forma fasorial

i  I m  Cos t  

(4.11)

I  I m   j   I m 

(4.12)

La cual resulta

EJERCICIOS: 4.1.4 Encuentre la representación fasorial de a) 6 Cos(2t + 45°), b) 4Cos2t + 3 Sen2t, c) – 6 Sen(5t – 65°). Respuesta: 6 45°; 5  – 36.9°; 6  25°. 4.1.5. Encuentre la función en el dominio del tiempo siendo  = 2 representada por los fasores a) 5  – 60°, b) 6 + j8, c) – j6. Respuesta: 5 cos (2t – 60°); 10 Cos (2t + 53.13°); 6 Cos (2t – 90°)

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IMPEDANCIA Y ADMITANCIA Considerando un circuito general con dos terminales, como se muestra en la figura 1-1; si el voltaje y corriente están en el dominio del tiempo, en las terminales del circuito son

  Vm Cost  V 

(1.1)

i  I m Cost  I  Sus fasores son

V  Vm V

(1.2)

I  I m I

la impedancia, entonces; queda definida por el voltaje fasor con la corriente fasor y la denotaremos por la letra Z, es decir V  ZI

(1.3)

por lo tanto de (1.2) tenemos Z  Z  Z 

Vm  V   I Im

(1.4)

donde Z es la magnitud y Z el ángulo de Z de manera que Z

Vm Im

,  Z  V  I

La magnitud de la impedancia es la proporción de magnitudes de voltaje con respecto a los fasores de corriente.

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La impedancia es un número complejo, siendo compuesta por dos números complejos, pero no es un fasor, no está en función senoidal de dominio del tiempo, como lo es un fasor voltaje o de corriente.

la impedancia se puede escribir en su forma rectángular como Z  R  jX

(1.5)

donde R es la componente resistiva o resistencia y X es la componente reactiva o reactancia, cada uno medidos en ohms, misma unidad de la impedancia. Si comparamos (1.4) con (1.5), podemos escribir a Z como

Z  R 2  X 2 ,   tan 1

X R

o bien R  Z  Cos Z X  Z  Sen Z

Estas expresiones se obtienen de la figura 1.2

Ejemplo 1.1: Encuentre la impedancia Z si V  10600 volts y I  2200 amperes. utilizando la ecuación (1.4)

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Z

10600  5400  2200

en la forma rectángular

Z  5  (Cos 400  jSen 400 )  3.83  j3.21 En la gran mayoría de los circuitos que actualmente se realizan, podemos encontrar diferentes tipos de impedancias como, las impedancias resistivas, las impedancias inductivas y las impedancias capacitivas. Se encuentran fácilmente por la relación que existe con V – I, estas relaciones las podemos identificar con los subíndices R, L y C, como se denota a continuación.

ZR  R ZL  jL  L900 ZC   j

(1.6)

1  C  900 C

Para el caso de una resistencia, la impedancia si es puramente resistiva si la reactancia es cero, Las impedancias de inductores y capacitores si son puramente reactivos si su resistencia es cero.

Z L  X L  j L

(1.7)

y la reactancia capacitiva ZC  X C   j

1 C

(1.8)

en ambas reactancias , es la frecuencia angular y tanto como L es positiva ( X L ) y para la capacitancia negativa ( XC ). En caso especial de (1.5) X = 0, cuyo caso especial la impedancia es resistiva; si X  0 la impedancia es inductiva y X  0 es capacitiva la impedancia. La inversa de toda impedancia de la forma 1 (1.9) Z Se denomina con el nombre de admitancia, representada con la letra Y, muy similar a la conductancia cuyo resultado es debido al inverso de la resistencia. Las unidades de la admitancia es el mho o siemens. Y

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La admitancia al igual que la impedancia es un número complejo y su representación en forma rectángular es Y  G  jB

(1.10)

siendo G la componente real llamada conductancia y B la componente imaginaria llamada suceptancia, la cual podemos escribir Y  G  jB 

1 1  Z R  jX

(1.11)

Siendo las unidades de Y, G, y B en mhos. Para obtener sus componentes, podemos hacer el arreglo siguiente

 1   R  jX  R  jX      2 G  jB   2  R  jX   R  jX  R  X

(1.12)

Separando cada término, tenemos la parte real y la parte imaginaria, G y B respectivamente G

R X , B  j 2 2 R X R  X2

(1.13)

2

Ejemplo 1.2: Encuentre, la admitancia si la impedancia Z =4 + j3 ohms. Utilizando (1.12)

 1   4  j3  4  j3      Y   25  4  j3   4  j3  Y

4 3 mhos j 25 25

De manera similar a Z, podemos decir que Y puede escribirse de acuerdo al elemento correspondiente YG  G 1 L YC  jC YL   j

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(1.14)

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COMBINACIONES DE IMPEDANCIA Y ADMITANCIA Impedancias en serie. Consideremos al circuito de la figura 1.3 para nuestro estudio, debido al circuito fasor de corriente I, fluye por cada elemento, de manera que se analizará para N elementos.

Aplicándole al circuito LVK se tiene

VT  V2  V2    VN ZT  Z1  Z2    Z N Por lo tanto V  ZI

(1.15)

De manera similar para la admitancia equivalente o resultante de las N admitancias en serie, es YT 

1 1 1 1   Y1 Y2 YN

ZT 

1 1  1 1 1 YT   Y1 Y2 YN

(1.16)

O bien

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(1.17)

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Impedancias en Paralelo.

aplicando la LCK al circuito se tiene ZT 

1 1 1 1   Z1 Z2 ZN

(1.18)

Cuando se tienen dos impedancias en paralelo podemos utilizar, la siguiente expresión ZT 

Z1  Z2 Z1  Z2

(1.19)

para el caso de las N admitancias

YT  Y1  Y2    YN

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(1.20)

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DIVISIÓN DE VOLTAJE Y DIVISIÓN DE CORRIENTE El divisor de voltajes un método práctico que nos ayuda a obtener las caídas de los voltajes en cada una de las impedancias que se desee obtener; el divisor de voltaje se puede aplicar únicamente en los circuitos donde todos sus elementos que lo constituyen están conectados en serie, como se observa en la figura 1.5. El cual nos muestra las caídas de tensión en cada impedancia.

Por lo tanto para obtener cada uno de los voltajes se tiene VT  V1  V2    VN V1 

Z1 Z Z  VT  V2  2  VT    VN  N ZT ZT ZT

(1.21)

Sea el circuito paralelo de la figura 1.6 para nuestro es análisis del divisor de corriente.

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Sabemos que la corriente total es la suma de cada una de las corrientes que pasa por cada impedancia. Así como; el voltaje el mismo para todos las impedancias. Y la impedancia total la suma de las inversas de cada impedancia, de manera que para calcular cada una de las corrientes utilizaremos las siguientes expresiones IT  I1  I 2    I N IT  I1 

ZT Z Z  IT  I 2  T  IT    I N  T  IT Z1 Z2 ZN

(1.22)

Para el caso de las admitancias en paralelo se tiene I T  I1 

Y1 Y Y  IT  I 2  2  IT    I N  N  IT YT YT YT

(1.23)

Para dos elementos en paralelo podemos en impedancias como admitancias podemos utilizar las siguientes expresiones

I1 

Z2  IT Z1  Z2

Z1 I2   IT Z1  Z2

I1 

,

Y1  IT Y1  Y2

(1.24)

Y2 I2   IT Y1  Y2

Ejercicios: 1.1 Ecuentre la corriente i y v en estado permanente usando fasores R = 2 Cos(8t – 36.9) A.

1.2 Encuentre la corriente i e i1 de estado estable. R = 1 Cos(3t + 36.9) A, 1.41Cos(3t + 81.9) A

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