CAPITULO_7_Modif (1)

Movimiento Armónico Simple. Problemas

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE PROBLEMAS RESUELTOS

LUIS FRANCISCO GARCÍA RUSSI

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FÍSICA BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

DEDICATORIA Esta obra está dedicada al Divino Maestro de Maestros. Al Padre Glorioso que destila el dulcísimo bálsamo del Amor. Al escultor Grandioso que esculpiera con su voz la forma. A Aquel, cuyo perfume es esencia de infinita sabiduría. Al Creador de este universo fantástico, bañado de constelaciones polícromas y de estrellas rutilantes. Al Guía perfecto y Protector Poderoso, que le permite a la humanidad nadar en las aguas cristalinas de la felicidad, iluminadas por los resplandores diamantinos de la Verdad, la Justicia y la Paz. Al Excelso Ingeniero Gobernador de la Mecánica Celeste, que esparce su fragancia cual lluvia cargada de Bondad, Fe y Esperanza. Al Físico Majestuoso que perpetuara con sus leyes la armonía, el peso y la medida. Al Matemático Sublime que colocara a cada cosa, número, proporción y belleza prodigiosa. Al Artífice Maravilloso de tan rica gama de sabores, de sonidos, de paisajes y colores. Al Omnipotente, al Omnisciente, al Todopoderoso y siempre Omnipresente. Al único, al Inefable, al Preciosísimo Ser que nos regaló la vida. A Dios, por el que todo fue hecho, al Arquitecto Supremo, al Soberano PADRE, HIJO y ESPIRITU SANTO, también conocido como YO SOY, JEHOVÁ, JESÚS.

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

PROBLEMAS:

1. (1.54 seto) Un cilindro sólido homogéneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de constante k lb/pul y reposa sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura anexa. Si el cilindro rueda sin deslizar, demuestre que su frecuencia de oscilación es rad/seg.

SOLUCIÓN:

Cuando el sistema se encuentra en equilibrio estático, como se indica en la figura (1),

3

2𝑘/3𝑚

Movimiento Armónico Simple. Problemas

la suma de los momentos de fuerza respecto al punto A es igual a cero, es decir: ↺

𝜏𝐴

= 0: R m g sen𝜃0 - R 𝑇0 = 0

(1)

Si el sistema se desplaza un ángulo 𝜃 a partir de la posición de equilibrio, como se muestra en la figura (2), la ecuación dinámica

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

de rotación respecto al punto A viene dada por: ↺

𝜏𝐴

= 𝐼𝐴 𝛼 : mg sen (𝜃 + 𝜃0 ) – R (𝑇0 + T) sen (90 – 𝜃) = 𝐼𝐴

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

Pero: sen (𝜃 + 𝜃0 ) ≈ sen 𝜃0 sen (90 – 𝜃) ≈ sen 90° = 1

Además, de acuerdo al teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respect al eje instantáneo de rotación viene dado por:

𝐼𝐴 = 𝐼𝑐.𝑚 + m 𝑅 2 =

1 2

3

𝑚 𝑅 2 + m𝑅 2 = 2 𝑚𝑅 2

Luego:

mg sen 𝜃0 − 𝑅 𝑇0 − 𝑅 𝑇 =

3 2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

(2)

Insertando (1) en la ecuación (2), se obtiene:

-R T =

3 2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

Pero, de la Ley de Hooke: T=kx=kR𝜃 Entonces: 5

Movimiento Armónico Simple. Problemas -R (k R 𝜃) =

3 2

𝑚𝑅 2

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

Luego:

Dividiendo por

𝑑2𝜃

3 2

𝑚𝑅 2 𝑑𝑡 2 + k 𝑅 2 𝜃 = 0

3 2

𝑚𝑅 2 :

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

+

2𝑘 3𝑚

𝜃=0

(3)

Por consiguiente, la ecuación (3), corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple cuya frecuencia angular natural de oscilación está dada por:

𝑤0 =

2𝑘 3𝑚

2. (6.7 Eisberg/Lerner) Un objeto realiza un movimiento armónico con una frecuencia de 5 𝐻𝑧 . En i= 0 s su desplazamiento es x( i = 0) = 10 cm y su velocidad v(i = 0) = -314 cm/s. a. Utilice la información anterior para obtener una expresión analítica del deslazamiento x(t) del objeto, su velocidad y su aceleración. b. Exprese el desplazamiento en la forma x(t) = A cos (𝑤0 𝑡 + 𝛿) y determine los valores de A y 𝛿 que estén de acuerdo con los dados del problema. c. Calcule los valores máximos del desplazamiento x(t), la velocidad v(t) y la aceleración a(t) del cuerpo.

SOLUCION: a. La solución general de la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple es:

X(t) = 𝛽 cos 𝑤0 t + C sen𝑤0 𝑡

(1)

Derivando con respect al tiempo la ecuación (1), se obtiene la expresión para la velocidad así:

v(t) = - 𝛽 sen 𝑤0 t + 𝑤0 C cos𝑤0 𝑡 Derivando respecto al tiempo la ecuación (2), se obtiene la aceleración, así: 6

(2)

Movimiento Armónico Simple. Problemas

X(t = 0) = 10cm = 𝛽 cos 00 + C sen00 ⇓

⇓

1

0

Luego: 𝛽 = 10cm Además: V(t =0) = -314 cm/s = - 𝛽 cos 00 + C sen00 ⇓

⇓

1 2 →

0

-314 cm/s = 𝑤0 C = 2𝜋 f C

→

C=

−314 𝑐𝑚 /𝑠 2𝜋 (5𝐻𝑧 )

= -9,99 cm ≈ −10 𝑐𝑚

Por consiguiente: X(t) = 10 cos 10𝜋 𝑡 − 10 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡 v(t) = -100𝜋 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡 + 100𝜋 cos 10𝜋 𝑡 a(t) = -1.000𝜋 2 cos 10𝜋 𝑡 − 1.000𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 10𝜋 𝑡

b. Si x(t) = A cos (𝑤0 𝑡 + 𝛿), derivando con respecto al tiempo se obtiene la velocidad: v(t) =

𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡

= −𝑤0 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑤0 𝑡 + 𝛿

Derivando nuevamente respecto al tiempo, se obtiene la aceleración:

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

a(t)=

𝑑𝑣 (𝑡) 𝑑𝑡

= −𝑤0 𝐴 cos 𝑤0 𝑡 + 𝛿

Usando las condiciones iniciales del problema se obtienen los valores de A y 𝛿, así: Para t = 0: x(t =0) = A cos𝛿 =10 cm

(1)

v(t = 0) = -𝑤0 𝐴 𝑠𝑒𝑛𝛿 = − 314 𝑐𝑚/𝑠

(2)

Dividiendo la ecuación (2) por la ecuación (1): 𝑤0 𝑡𝑎𝑛𝛿 = 31,4 →

tan ð =

31,4 𝑤0

=

31,4 10𝜋

=

31,4 31,4

=1

𝜋

→ ð=4

(3)

Reemplazando en la ecuación (1): A cos

→

A=

𝜋 4

= 10cm

10𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑠

𝜋 4

=

10 𝑐𝑚 2 2

=

20 2

𝑐𝑚 = 14,14 𝑐𝑚

(4)

Luego: X(t) = 14,14 cos 10𝜋 +

𝜋 4

c. Los valores máximos del desplazamiento x(t), la velocidad v(t) y la aceleración a(t) del cuerpo, están dados por: 𝑥 𝑡 𝑚á𝑥 = 𝐴 = 14,14 𝑣(𝑡) 𝑚á𝑥 = 𝑤0 𝐴=

10𝜋 14,14

𝑐𝑚 𝑠

=141,4 𝜋

𝑐𝑚 𝑠

𝑎(𝑡) 𝑚á𝑥 = 𝑤0 𝐴 = (10𝜋)2 14,14 𝑐𝑚 = 1.414 𝜋 2

8

𝑐𝑚 𝑠2

Movimiento Armónico Simple. Problemas

El valor máximo del desplazamiento se puede obtener derivando x(t) respecto al tiempo e igualando dicha derivada a cero, así: 𝑑𝑥 𝑡 𝑑𝑡

= −𝑤0 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑤0 𝑡 + ð = 0

Uno de los tres factores debe ser cero, pero 𝑤0 no es cero: A tampoco es cero, luego la única posibilidad es que:

𝑠𝑒𝑛 𝑤0 𝑡 + ð = sen 10𝜋 +

𝜋 4

=0

10𝜋 +

𝜋 4

=0

→ Luego:

𝑥 𝑡 𝑚á𝑥 = 14,14 𝑐𝑜𝑠 10𝜋𝑡 +

𝜋 4

= 14,14𝑐𝑚.

_________ ⇓ 0 Análogamente se hace para 𝑣 𝑡 𝑚á𝑥 𝑦 𝑎 𝑡 𝑚á𝑥.

3. (13.47 Serway) Cuando un péndulo simple, como el que se ve en la figura, hace un ángulo 𝜃 con la vertical, su rapidez es v. a. Calcule la energía mecánica total del péndulo como función de v y 𝜃. b. Demuestre que cuando 𝜃 es pequeño, la energía potencial se puede expresar como:

1 1 𝑚𝑔𝐿𝜃 2 = 𝑚 𝑤 2 𝑠 2 . 2 2 (Sugerencia: En la parte b., aproxime cos𝜃 a cos𝜃≈ 1 −

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𝜃2 2

Movimiento Armónico Simple. Problemas

Solución: a. Del principio de conservación de la energía mecánica:

E=k+U 1

→ E = 2 𝑚 𝑣 2 + 𝑚𝑔𝐿 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 b. U = mgL (1- cos𝜃) Pero: Cos𝜃 = 1-

𝜃2 2

→

U = mgL 1 − 1 −

→

U=

𝜃2 2

𝑚𝑔𝐿 𝜃 2 2

Además:

10

Movimiento Armónico Simple. Problemas 𝑠2

𝑠

𝜃= 𝐿 → 𝜃 2 = 𝐿2 𝑤2 =

Y

𝑔 𝐿

Entonces: U=

𝑚𝑔𝐿 𝜃 2 2

=

1 𝑠2 𝑚𝑔𝐿 2 𝐿2

=

1 𝑠2 𝑚𝑔 2 𝐿

1

U = 2 𝑚𝑤 2 𝑠 2 .

→

4. (13.50 Serway) Una tabla horizontal de masa m y longitud L se pivotea en un extremo, y en el extremo opuesto se sujeta a un resorte de constante k 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 (𝑎) . El momento de 1 3

inercia de la tabla respecto al pivote es 𝑚𝐿2 . Si la tabla se desplaza un ángulo pequeño 𝜃 de la horizontal y se suelta, demuestre que se moverá con un movimiento armónico simple, con una frecuencia angular dada por 𝑤0= 3 𝑘/𝑚

SOLUCIÓN: La situación antes de que la tabla descanse sobre el resorte es:

11

Movimiento Armónico Simple. Problemas

Después de que la talba se conecta al resorte, la sutacion de equilibrio estático rotacional es:

𝜏=0∶ −

𝐿 𝑚𝑔 + 𝑘𝐿2 𝜃0 = 0 2

(1)

Si ahora se desplaza la tabla, como se muestra en la figura (a), la ecuación dinámica de rotación es: 12

Movimiento Armónico Simple. Problemas 𝜏 = 𝐼𝛼: − 1

𝐿 𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 900 + 𝜃 − 𝑘𝐿2 𝜃 − 𝜃0 𝑠𝑒𝑛 900 + 𝜃 2 𝑑2𝜃

= 3 𝑚𝐿2 𝑑𝑡 2 Pero:

𝑠𝑒𝑛 900 + 𝜃 ≈ 𝑠𝑒𝑛900 = 1 Entonces: -

𝐿 2

𝑚𝑔 − 𝑘𝐿2 𝜃 + 𝑘𝐿2 𝜃0 =

2 1 2𝑑 𝜃 𝑚𝐿 3 𝑑𝑡 2

Teniendo en cuenta la ecuación (1), se sigue que: −𝑘𝐿2 𝜃 = →

2 1 2𝑑 𝜃 𝑚𝐿 3 𝑑𝑡 2

→

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

+ 𝑘𝐿2 𝜃 = 0

𝑘𝐿2

+1 3

1 𝑑2𝜃 𝑚𝐿2 2 3 𝑑𝑡

𝑚 𝐿2

𝜃 =0

→

𝑤02 =

→

𝑤

0=

𝑘 1 𝑚 3

3𝑘 𝑚

5. (13.51 Serway) Se sujeta una masa M en el extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L, el cual se pivotea en la parte superior (figura anexa). Determine las tensiones en la barra en el pivote y en el punto P, cuando la barra se encuentra en reposo. Calcule el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos del equilibrio y determine el periodo para L =2m. (Sugerencia: Suponga que la masa en el extremo de la barra es una masa puntual y haga uso de la ecuación: T = 2𝜋

𝐼 𝑀𝑔𝑑

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

SOLUCION: La tensión en el pivote está dada por: 𝑇𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 = 𝑀𝑔 + 𝑀𝑔 = 2𝑀𝑔 La tensión en el punto P, viene dada por: 𝑇𝑝 = 𝑀𝑔 +

𝑀 𝑦𝑔 𝐿

𝑇𝑝 = 𝑀𝑔 1 +

→

𝑦 𝐿

El periodo de oscilación de un péndulo físico esta dado por:

𝑇 = 2𝜋

𝐼 𝑀𝑇 𝑔 𝑏

Pero: 𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑠𝑎 + 𝐼𝑣𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 𝐼 = 𝑀𝐿2 + 𝑀 𝑀𝑇 = 2𝑀 14

𝐿2 3

=

4 3

𝑀𝐿2

Movimiento Armónico Simple. Problemas 𝑏=

𝐿 2

𝑀𝐿+𝑀( ) 2𝑀

=

3 𝐿 4

Luego:

𝑇 = 2𝜋

→

𝑇=

4𝜋 3

4 3

𝑀𝐿2

2𝑀𝑔

3 𝐿 4

2𝐿 𝑔

Por consiguiente: 𝑇= →

4𝜋 3

2 (2𝑐𝑚 ) 9.8𝑚 /𝑠 2

𝑇 = 2.669 𝑠𝑒𝑔.

6. (13.53 Serway) Un disco pequeño de masa m y radio r se sujeta firmemente a la cara de otro disco delgado de radio R y masa M,como se muestra en la figura anexa. El centro del disco pequeño se localiza en el borde del disco mayor. El disco mayor se monta por su centro a un eje sin friccion. El dispositivo se gura un ángulo 𝜃 y se suelta. a. Demuestre que la rapidez del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es:

𝑉=2

𝑅 𝑔(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑀 𝑟 + (𝑅 )2 + 2 𝑚

b. Demuestre que el periodo del movimiento es:

𝑇 = 2𝜋

15

𝑀+2𝑚 𝑅 2 + 𝑚𝑟 2 2𝑚 𝑔 𝑅

1/2

Movimiento Armónico Simple. Problemas

SOLUCION: a. La energía potencial de m se transforma en energía cinetica de rotación del sistema (m + M), por conisguiente:

𝑚 𝑔 𝑅 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1 𝐼 𝑤2 2

Pero: 𝐼 = 𝐼𝑚 + 𝐼𝑀 𝐼 = 𝑚 𝑅2 +

1 1 𝑚 𝑟 2 + 𝑀𝑅 2 2 2

Además: 𝑤2 =

𝑣2 𝑅2

Luego: 𝑚 𝑔 𝑅 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1 1 1 𝑚 𝑅2 + 𝑚 𝑟2 + 𝑀 𝑅2 2 2 2

Dividiendo por m, se obtiene: 𝑔 𝑅 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1 2

1 𝑟 2 𝑅

+4

+

1 𝑀 4 𝑚

𝑣2 16

𝑣2 𝑅2

Movimiento Armónico Simple. Problemas →

𝑣2 =

→

𝑣=2

𝑔 𝑅 1−𝑐𝑜𝑠𝜃 2 1 𝑟 2 1 𝑀 + + 4 4 𝑅 4 𝑚

𝑔 𝑅 (1−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑅

2+( )2 + (𝑀𝑚 )

b. El sistema constituye un péndulo físico y su periodo se obtiene a partir de:

𝑇 = 2𝜋

𝐼 𝑀𝑇 𝑔 𝑏

Pero:

𝐼 = 𝑚𝑅 2 +

1 2

1

𝑚 𝑟2 + 2 𝑀 𝑅2

𝑀𝑇 = 𝑚 + 𝑀 𝑏=

𝑚𝑅 𝑚 +𝑀

Luego:

𝑇 = 2𝜋

→

𝑇 = 2𝜋

→

𝑇 = 2𝜋

1 2

1 2 𝑚𝑅 𝑚 +𝑀

𝑚 𝑅2 + 𝑚 𝑟 2 + 𝑀 𝑅2 𝑚 +𝑀 𝑔

2𝑚 𝑅 2 + 𝑚 𝑟 2 + 𝑀 𝑅 2 2

𝑔𝑚𝑅

𝑀+2𝑚 𝑅 2 + 𝑚𝑟 2 2𝑔𝑚𝑅

7. (13.55 Serway) Un péndulo de longitud L y masa M tiene conectado un resorte de constante de fuerza k a una distancia h por debajo del punto de suspensión (figura anexa). Encuentre la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de la amplitud (𝜃 pequeño). (Suponga que el soporte vertical, de longitud L, es rígido, pero de masa despreciable).

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

SOLUCIÓN: Aplicando la ecuación dinámica de rotación se tiene: 𝜏 = 𝐼𝛼: − 𝑕 𝑘 𝑥1 𝑠𝑒𝑛 90 + 𝜃 − 𝐿𝑀𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑀𝐿2 Pero: 𝑠𝑒𝑛 90 + 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ≈ 1; 𝑥1 = 𝑕𝜃 ; 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃 𝑑2

→

−𝑕2 𝑘 𝜃 − 𝐿 𝑀 𝑔 𝜃 = 𝑀𝐿2 𝑑𝑡 2

→

𝑀𝐿2 𝑑𝑡 2 + 𝑕2 𝑘 + 𝐿 𝑀 𝑔 𝜃 = 0

𝑑2

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𝑑2 𝑑𝑡 2

Movimiento Armónico Simple. Problemas 𝑑2 𝑑𝑡 2

→

+

𝑕 2 𝑘+𝐿 𝑀 𝑔 𝑀𝐿2

𝜃=0

Luego comparando con la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple:

𝑤0 = 𝑓=

→

𝑤0 2𝜋

𝑕 2 𝑘+𝐿 𝑀 𝑔 𝑀𝐿2

=

1 2𝜋

𝑕 2 𝑘+𝐿 𝑀 𝑔 𝑀𝐿2

8. (13.57 Serway) Una placa plana A hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin friccion con una frecuencia f = 1,5𝐻𝑧 . Un bloque B descansa sobre la placa, como se muestra en la figura aneza, y el coeficiente de friccion estatico entre el bloque y la placa es 𝜇𝑠=0,60. ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?.

SOLUCION: Si el cuerpo B permanece en reposo sobre el cuerpo A, de la condición de equilibrio estatico traslacional para un observador situado sobre A, es:

𝐹 = 0; 𝜇𝑠 𝑁 − 𝐹0 = 0 Pero: 𝑁 = 𝑚𝐵 𝑔 , 𝑦 , 𝐹0 = 𝑚𝐵 𝑎0 19

Movimiento Armónico Simple. Problemas →

𝜇𝑠 𝑚𝐵 𝑔 = 𝑚𝐵 𝑎0

→

𝑎0 = 𝜇𝑠 𝑔 = 0,6 (9,8𝑚/𝑠 2 )

→

𝑎0 = 5,888𝑚/𝑠 2

Además, de la definición de aceleración para un Movimiento Armónico Simple, se sabe que: 𝑎0 = − 𝑤02 𝑥 Luego la aceleración máxima 𝑎0 , se obtiene cuando x= -A, es decir: 𝑎0 = 𝑤02 𝐴 Por consiguiente: 5,88 𝑚/𝑠 2 (2𝜋𝑓 )2 𝑟𝑎𝑑 2 /𝑠 2

𝐴=

𝑎0 𝑤 02

→

𝐴=

5,88 𝑚/𝑠 2 4 𝜋2 𝑓2

→

𝐴 = 0,066𝑚

=

=

5,88 𝑚 4 𝜋 2 (1,5)2

9. (13.58 Serway) Considere una barra delgada con masa M=4kg de longitud L=1,2m pivoteada en un eje horizontal libre sin fricción en el punto l/4 desde un extremo, como se muestra en la figura anexa. a. Encuentre (a partir de la definición) la expresión para el momento de inercia de la barra respecto al pivote. b. Obtenga una ecuación que dé la aceleración angular 𝛼 de la barra como función de 𝜃. c. Determine el periodo para pequeñas amplitudes de oscilación respecto de la vertical.

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Movimiento Armónico Simple. Problemas

SOLUCIÓN:

a. 𝐼𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 =

3ℓ/4 2 𝑟 𝑑𝑚 −ℓ/4

=

3ℓ/4 2 𝑟 𝜌 −ℓ/4

3 3 ℓ 4

−

ℓ 2 4

→

𝐼𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 =

1 𝜌𝐴 3

→

𝐼𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 =

1 𝜌𝐴 3

27 64

→

𝐼𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 =

1 𝜌𝐴 3

28 ℓ3 64

→

𝐼𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒 =

7 48

𝛼=

b.

ℓ3 +

𝐴 𝑑𝑟 = 𝜌 𝐴

ℓ3 64

𝑀 𝜌𝐴ℓ

𝑀 ℓ2

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

𝜃 = 𝜃0 𝑠𝑒𝑛 𝑤0 𝑡 + 𝛼

Si

→

𝑑𝜃 𝑑𝑡

→

𝑑2𝜃 𝑑𝑡 2

= 𝑤0 𝜃0 cos( 𝑤0 𝑡 + 𝛼) = −𝑤02 𝜃0 sen 𝑤0 𝑡 + 𝛼 = −𝑤02 𝜃

21

3ℓ/4 𝑟3 3 −ℓ/4

Movimiento Armónico Simple. Problemas Luego:

𝛼 = −𝑤02 𝜃 c.

𝐼 𝑀𝑔𝑏

𝑇 = 2𝜋

Pero: 𝐼=

7 48

𝑀 ℓ2 7 48

y

𝑏=

ℓ 4

𝑀ℓ2

→

𝑇 = 2𝜋

→

𝑇 = 2𝜋

28ℓ 48 𝑔

→

𝑇 = 2𝜋

7ℓ 12 𝑔

→

𝑇 = 2𝜋

→

𝑇 = 1.67 𝑠

𝑀𝑔

ℓ 4

7(1,2 𝑚) 𝑚 𝑠

12 (9.8 2 )

10. (13.64 Serway) Una masa esférica m de radio R se sujeta a una barra de masa despreciable de longitud L – R (figura anexa). a. Determine el momento de inercia de este péndulo físico respecto del punto 0 usando el teorema de los ejes paralelos. b. Calcule el periodo para pequeños desplazamientos a partir del equilibrio. c. Si R