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3-1

CAPÍTULO III PRINCIPIOS DE CONSERVACIÓN 3.1. ECUACIONES BÁSICAS DE FLUJO DE FLUIDOS La dinámica de fluidos implica el movimiento de un fluido de un lugar a otro a través de dispositivos importantes mecánicos como la bomba o ventilador, por gravedad o por presión que permite el escurrimiento a través de un sistema de tuberías tuberías y/o equipos de procesos. La primera etapa en la solución de problema de flujo de fluidos es aplicar las ecuaciones del principio de conservación de masa y/ energía a todo el sistema o a cualquier parte del sistema. (1)

3.2. VOLUMEN DE CONTROL PARA BALANCES   Las leyes de conservación de masa y/o energía en términos de un sistema presentan la interacción de un sistema con sus alrededores. Un sistema  es   es definido como un conjunto de masa de fluido de identidad identidad fija. Sin embargo, en flujo de fluidos, las moléculas no son son fácilmente identificables. Como resultado, la atención está concentrada sobre un espacio dado a través través del cual el fluido escurre una masa de fluido.

El método a utilizar, es

seleccionar un volumen de control, control, que es una región fija en el espacio a través del cual el fluido fluye.

Los pasos que comprende el empleo del método de volumen de control finito son:

•  Elegir un volumen de control apropiado para el flujo. •  Elegir las ecuaciones necesarias. •  Emplear la información conocida y hacer suposiciones razonables para ev evaluar aluar los términos de las ecuaciones, y

•  Calcular la cantidad de inertes. La elección de un volumen de control puede afectar en g gran ran medida la complejidad de de   un análisis. Un volumen de control puede s ser: er:

• 

Fijo o rígido

• 

Móvil o deformable

 

3-2

La consideración más importante es que el volumen de control se ajusta al problema. La figura siguiente muestra algunos ejemplos de volúmenes de control ajustados especialmente a problemas de flujo.

3.3. ECUACIÓN DE CONSERVAC CONSERVACIÓN IÓN (1,2)  El estudio de mecánica de fluidos se basa en las tres leyes de conservación de: masa, energía total y momento. momento. Para un sistema visto como todo, c conservación onservación significa q que ue no hay ganancia neta o perdida de estas tres cantidades.

 

3-3

La ecuación de conservación se plantea en forma general para un volumen de control fijo completamente abierto a través del cual circula un fluido, y puede expresar en palabras como:

La ley de conservación de masa da origen a la ecuación de continuidad   y la ley de conservación de energía produce la ecuación de energía . Restricciones de las leyes de escurrimiento:

•  Flujo estable •  Las propiedades como T, p, x, ρ  en cada punto del aparato incluyendo todos las entradas y salidas son constantes con el tiempo

•  No hay acumulación de materia y/o energía •  No hay generación de materia y/o energía Estas restricciones señaladas se toman en cuenta al formular las ecuaciones de continuidad y de energía.

3.4. ECUACIÓN DE CONTINUIDA CONTINUIDAD D (1, 3, 4)  Aplicando el principio de conservación de masa para un volumen de control fijo, abierto y donde no hay generación de masa , en palabras representamos como:

Matemáticamente expresamos como:

∂ ∫ ρ dV  ∂t  vc

 

Tér  min o de acumulació n

 → →  +   ∫  ρ  v . n  dA = 0    AC    Ter  min o de  flujo neto

 

(3.2)

 

3-4

Considerando flujo permanente (término de acumulación = 0):

0 = 

∫

 → →     

ρ  v . n dA  

 AC 

(3.3)

Fig. 3.2. Campo de flujo para un volumen de control fijo y abierto .

La ecuación de continuidad se aplica a cada área de control (AC), por consiguiente la ecuación de conservación de masa puede escribir como:

→ 

∫

→

 

 ρ1  v 1. n1  dA1 +  A1

→ 

∫

→

 

ρ 2  v 2. n 2  dA2 = 0   A2

Caracterización de áreas:  →

→

→

dA1: abierto; n 1  opuesto a v 1  (se dirige fuera del volumen de control y el signo es – n 1 )

→

→

→

v 1 . n 1 =    v = − v 1   →

→

→

dA2  : abierto; n 2  es paralelo a v 2   , n 2  = +1

→

v

→

→ 2

.n

2

= 

 v

2

v2  

=

Entonces, se tiene la siguiente simplificación:

− ∫  ρ1vdA1 +  A1

∫ ρ  v dA 2 2

2

= 0 

A2

Considerando velocidad promedio, < v >

 

3-5

 ρ 1 < v1 >  A1 = ρ    2 < v 2 >  A2 = m,  flujo de masa  

(3.4)

Ecuación de continuidad continuidad válida para un fluido incompresible y compresible. Se utiliza para relacionar ρ y/o área de flujo (A) en dos secciones de un sistema en el que existe un flujo estable.

Formas simplificadas de la ecuación de continuidad  1) Si el flujo es incompresible: ρ1 = ρ2 = ρ. Q = < v1 > A1 = < v2 > A2  = caudal (m3 /s)

(3.5)

Es decir, la rapidez de flujo de volumen (caudal = Q) es la misma en cualquier sección. 2). Ecuación de continuidad para fluidos f luidos compresibles (gas ideal)

 ρ   =

v1 A1

 Mw p  RT 

 

 Mw1 p1  RT1

= v2 A2

Mw2 p2 RT 2

; si no hay reacción química MW1 = MW2 

 p  p v1 A1   1 = v2 A2 2   T 1 T 2

RESUMEN  1. Rapidez de flujo de volumen o caudal [Q] Q = v A , [m3 /s] 2. Rapidez de flujo de masa, [m] m = ρ v A 3. Velocidad promedio [ v = < v > ] v = Q/A, [m/s] 4. Velocidad en la sección (2) v2 = v1 (A1 /A2) = v1(d1 /d2)2 

(3.7)

 

3-6

3.5. BALANCE DE ENERGÍA ENERGÍA TOTAL (1, 4) La ecuación de energía para un volumen de control es similar a la de continuidad, ya que se trata de la conservación conservación de una c cantidad antidad escalar. Sin embargo, existen existen diversos tipos de energía, por lo que la ecuación tiene varias formas diferentes. La ecuación general se obtiene de la ley de conservación de la energía para un volumen de control, como la energía no se crea ni se destruye y sólo se transforma, y a su vez, suponiendo que hay generación de energía, se puede escribir:

(3.8)

3.6. DEFINICIONES  Antes de comenzar con las ecuaciones, es necesario examinar los términos del balance de energía. Así: La energía se puede transferir a un sistema mediante dos procesos diferentes.

•  Calor (Q): Transporte de energía a través de una frontera del sistema, en virtud de alguna diferencia de temperaturas entre el y sus alrededores. W): Transporte de energía por la acción de una fuerz fuerza a a través de una distancia, •  Trabajo ((W): y cualquier otro transporte de energía que se puede reemplazar mediante la acción de una fuerza a través de una distancia.

Energía total (E): Es la contribución de las siguientes formas de energía. E = U + k + Ep, Donde: U = es la energía de la estructura y movimiento molecular Ep = gz = Es la energía potencial debida a la posición de un campo de fuerzas (campo gravitacional y en ocasiones un campo eléctrico o magnético) k

= ½ (v 2): Es la energía cinética debido al movimiento

 

3-7

Por otro lado, las diversas formas de energía se clasifican como:

•  Térmicas: Se asocia asocian n con la temperatura, la estructura molecular y el transporte molecular

•  Mecánicas: Se asocian con la fuerza y el movimiento. Energías Mecánicas : Trabajo, energía cinética, energía potencial Energías térmicas : Calor, energía interna

Primera ley de la termodinámica. dE  dt  d

= Q − W   

∫ (U +

v

(3,9)

2

2

+ gz )dV = Q − W   

(3.10)

dt  Vc

Para un volumen de control fijo y abierto es necesario adicionar el término de flujo neto de energía total a través de la superficie del volumen de control.

  → →  v2 ∫ Ac ρ U  + 2 + gz  v . n dA  

(3.11)

Al introducir todos los términos en la ecuación de balance de energía total, el resultado es:

2 2   → →    v v U  gz dV  U  gz Q − W  = + + + + +  ρ   ρ    v . n dA    ∫  2 ∫ 2 dt  Vc       Ac 

d 

(3.12)

La transferencia de trabajo (W) se denomina potencia y es contribución de:

W = W eje  + Wcorte  + Wpresión 

(3.13)

Donde:

Weje  = Trabajo e en n el eje que se transmite por medi medio o de un eje giratorio (bo (bomba mba o turbina) Wcorte = Trabajo realizado por el esfuerzo cortante y se realiza por medio de esfuerzos cortantes en el fluido que actúa sobe la superficie del volumen de control.

 

3-8

Wpresión = Eje realiza por la presió presión n que un fluido actúa sobre la super superficie ficie de v volumen olumen de control. Es conveniente combinar: W eje  + W corte  = Ws De ecuación 3.13 queda

W = Ws + W presión 

(3.14)

Pero, W presión 

= Wflujo  + W deformación 

Si suponemos que el volumen de control es rígido y no se deforma, W deformación = 0

W presión 

= Wflujo 

Luego la ecuación 3.14 se simplifica a: W = Ws + W flujo 

W  flujo

→ →     = ∫  p   v . n  dA      AC   

→ →     W  = Ws + ∫  p v . n dA      AC   

Reemplazando en la ecuación de conservación de energía:

→ → v2 v2 d   → →  + + + + +  ρ    ρ  U  gz dV  U  gz v . n )dA   Q − Ws − ∫  p v . n dA = ( ) ( )( ∫ ∫ dt  2 2    AC    VC   AC 

Si al término de trabajo de flujo fl ujo se multiplica y se divide por ρ:

  p  → → ∫ AC  ρ    ρ  ( v . n)dA  

(3.15)

(3.16)

(3.17)

 

3-9

Luego la ecuación final reordenado es.

Q − Ws =

d 

2

v

∫

v

2

 p

→ →

+ gz )dV  + ∫ ρ (U  + + gz + )( v . n )dA      AC  ρ  2 2

 ρ (U  +

dt  VC 

(3.18)

Flujo estacionario: v

∫

Q − Ws =

 ρ (U  +

2

2 

 AC 

 p

+ gz +

→ →

)( v . n ) dA  

(3.19)

ρ 

Aplicando esta ecuación a cada área de superficie de la siguiente figura.

Fig.3.3. Sistema de volumen volumen de control rígido

v2

∫ ρ (U  +

Q − Ws =

2

 AC 1

+ gz +

→

 p

→

)( v 1 . n1 ) dA1 +

 ρ 

 

∫ ρ (U  +  AC 2

v2 2

+ gz +

 p

→

→

)(v2 . n2 ) dA2  

ρ 

(3.20) 

Característica de áreas: →

A1:

→

A2::

Q − Ws = −

→

→

→

, n1 = − 1  

v 1. n1 = v 1 = − v1

→

→

v 2. n2 = v 2

∫

(U 1 +

→

= − v2 ,

2

+ gz1 +

2

 AC 1

Q − Ws = − (U 1 +

v1

v1

2

2

(3.21)

+ gz1 +

 p1

 ρ 1  p1

 ρ 1

n2 = +1  

(3.22)

∫

)( ρ 1 . v1 ) dA1 +

 ρ 2 (U 2 +

v2

2

 AC 2

)( ρ   1 . v1 )  A1 +  (U 2 +

v2

2

2

2

+ gz 2 +

 p 2

 ρ 2

+ gz 2 +

 p 2

)( ρ 2 .v 2 )dA2  

 ρ 2 )( ρ 2 .v 2 ) A2  

(3.23)

 

3-10

Por la ecuación de continuidad: m =  ρ 1v1 Α1    =    ρ 2 v 2 Α 2  

  p 2     p1   v 22 − v11 + g ( z 2 − z1 )   − = (U 2 − U 1 ) +   −     + 2  ρ   ρ  m m   2     1  

Q

o

Ws

o

q −   w s = (U 2 +

 p 2

) − (U 1 +

 ρ 2

2

 p1

 ρ 1

) +  (

v 22 − v12 2

) + g ( z 2 − z1 )  

2

v −v q −   w s =  H 2 − H 1 + ( 2   1 ) + g ( z 2 − z1 )   2 o

o

(3.24)

Y se puede escribir en forma comprimida: o

o

q −   w s = ∆ H  + ∆ (

v

2

2

) + g∆ z  

(3.25)

Ecuación general de balance de energía. o

q = Calor añadido por unidad de masa de flujo J/kg

Donde:

o

w s = Trabajo en el eje por unidad de masa de flujo J/kg

Unidades:

1J

= kg.m2 /s2 

1 hp

= 778,17 kW

1 Btu = 778,17 ft lbf = 1055,06 J = 1,05506 kJ 1 ft lbf /lbm = 2,9890 J/kg

3.7. BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA (1)  El trabajo desarrollado por el fluido W fluido  fluido  puede expresar como: −

W  fluido =

Donde

∑

V 2

∫

−

V 1

−

   V  −  pd 

∑ F 

 f 

 

(

∑ F 

> 0)

(3.26) −

F  es la sumatoria de todas las pérdidas friccionales por unidad de masa y v   es

volumen específico:

W  fluido   ≠ Ws  

De la primera ley de la termodinámica: t ermodinámica:

 

3-11

∆U  =  q − W  fluido  

(3.27)

Pero se sabe: −

−

∆ H  = ∆U  + ∆ p v = ∆U  + Reemplazando:

∆ H  = q −

−

V 2

∫

−

V 1

−

−

v1

 

− 

 pd V  +

∑ F  + ∫

 pd V  +

 

∆ H  = q +

∫

v2

∫

 p2 −

 p1

V  dp  

 p2 −

 p1

V  dp  

 p2 −

∑ F  + ∫

V  dp  

 p1

Reemplazando esta expresión en la ecuación de balance de energía total:  

q − Ws = q +

F  +

∑

 v 2   V  dp + ∆  + g ( ∆ z )    2    

 p 2 −

∫

 p1

 v 2   V  dp +  ∆  +   2  

 p 2 −

∫

− Ws = g (∆ z ) +

 p1

∑ F 

 f 

 

(3.28)

Expresión que representa la ecuación general de de balance de energía mecánica.

3.8. APLICACIONES (5)  1.

Sistema con densidad constante (fluidos compresibles): ρ1 = ρ2 = ρ 

( − Ws) = g ( ∆z ) +

2.

1 1 2   ρ   ∆p + 2 ∆  (v )   + ∑ Ff   

( J / kg )  

(3.29)

Para sistemas ideales, sin fricción, (ΣF= 0) y sin bomba (Ws= 0 ) : Ecuación de Bernoulli

g∆ z +

1

 ρ 

(∆ p  ) +

1 2

∆ (v 2 ) = 0  

(3.30)

Otras formas de balance de energía:

1)

 v 2    ρ ( −Ws) =  ρ g∆  z + ∆ p + ρ ∆  + ∆ p  f    2  

( Pa)  

(3.31)

 

3-12

∆P f   = ρ     ∑ F f   

2)

 Hs = ∆ z +

 

∆ p f 

h =  ρ g  f 

3)

∆ p 1 +   ∆ (v 2 ) + 2  ρ g  

f 

  (m de columna de líquido)

(3.32)

( −Ws)

,  Hs =

( −Ws) = g∆ z  +

∑h

g

 

∆ p  1  + ρ   ∆ (v) 2 + ∑ F  ( J  / kg )    ρ   2 

(3.33)

Otras formas de de expresar la ecuación de Bernoulli sin bomba y sin pérdida de energía:

1)

Presión:

2)

Carga:

3)

Energía:

1

 ρ g∆ z + ∆ p  +  ρ ∆(v 2 ) = 0 2

∆ z +

( Pa)  

∆ p 1 +   ∆ (v 2 ) = 0  ρ g 2 g

∆ p 1 + ρ    ( ) ∆ (v 2 ) = 0 2  ρ 

g∆ z +  

(3.34)

( m de columna de líquido)   (3.35)

( J  / kg )  

(3.36)

3.9. SISTEMA CON BOMBAS (5)  Para el análisis del problema de bomba a continuación se muestra un sistema representado en la siguiente figura:

Fig. 3.4. Esquema de un sistema de bombeo (5) 

 

3-13

Ecuación de balance de energía mecánica:

 v 2   g∆ z + ∆ p + ∆  +  ρ    2   1

∑ F 

Donde:

∑ F 

  f 

 f  , total

∑ F 

  = (− W s , práctico ) ( J  / kg )  

 f  ,total

= ∑     F  f  + F  f  , bomba  

(3.37)

(3.38)

=  Pérdida por fricción en el sistema inclusive la bomba

= Pérdida por fricción en el interior de la bomba

F f,bomba  f,bomba  

 v 2   g∆ z + ∆ p + ∆  +  ρ    2   1

∑ F   

 f 

= (− W    s ,  práctico ) − F  f  , bomba  

Sea: (-W s, teórico) = (Ws, práctico) - Ff, bomba 

(3.39)

(3.40)

La eficiencia de la bomba se define como:

  (−W s ,teórico )   η  = (−W s , práctico ) práctico

(3.41)

De donde resulta,

η ( −W s , práctico ) = ( −W s ,teórico     ) = (−W s , práctico ) − F  f  ,bomba  

g ∆z +

1

 ρ

Donde:

1

∆ p f 

2

ρ 

∆p + ( )∆ (v 2 ) +

∑F = ∆ p  f   /    ρ 

= (−Ws, teórico ) = η (− Ws , prácti co )  

( J  / kg )  

 

Otras formas de expresar la ecuación de energía para la bomba es:

1)

∆ H bomba

  v 2   ∆ p = ∆ z +  + ∆ 2 g  +  ρ g    

∑h

 f 

(altura de columna de líquido)  (3.44)

(3.42)

(3.43)

 

3-14

( −W s , práctico   )  = ( −W s ,teórico ) / η   

(3.45)

∆ H bomba = (−W s , práctico ) / g m. de columna de líquido  

2)

∆ H bomba

 v 2   =  ρ g ∆ z + ∆ p  + ρ ∆ 2  + ∆P f     

( Pa)  

(3.46)

∆Pbomba  =  (−W s ,teórico )  

(3.47)

3.10. POTENCIA DE UNA BOMBA (5, 6)  Ps ,teó rico = W s ,teórico . m W s , teó r ic o

=

1 /  ρ 

(

)

∆P

b om b a

 

m =  ρ Q Ps ,teórico =

(1 /  ρ ) ∆ Pbomba ρ Q = ∆ Pbomba

∆ Pbomba = g ρ  ∆ H bomba  

Ps ,teórico = g ρ ∆ H bom ba Q Ps , p ráctico = Ps ,teórico  / η 

3.11 APLICAC APLICACIÓN IÓN DE LA ECUACIÓN DE BENOULLI (2, 3, 4, 6, 7)  Existen varios ejemplos ilustrativos en los cuales se puede mostrar el uso de la ecuación de Bernoulli, conjuntamente conjuntamente con la ecuación de continuidad continuidad..

Entre los ejemplos ap aplicativos licativos

podemos mencionar los siguientes.

1. Sifones 2. Tanques, recipi recipientes entes y boquillas ex expuestas puestas a la atmósfera 3. Medidores de flujo (orificio, v venturímetro, enturímetro, tubo pitot, rotámetro) 4. Flujo en canales abiertos vertederos

 

3-15

Caso 1 y 2

Las ecuaciones a utilizar para los ejemplos señalados son:

Ecuación de Bernoulli (Nota: es importante la ecuación en la dirección de flujo).

P1

 ρ g

2

+ z1 +

v1

2g

=

 p 2

 ρ g

2

+  z 2 +

v2

2g

 

(3.48)

Ecuación de continuidad:

v1A1 = v2 A2 

(3.49)

Se hace simplificaciones necesarias y se resuelve la ecuación de Bernoulli algebraicamente para el término deseado.

A) Drenaje de un estanque y gasto a través de un orificio. Supóngase un estanque de grandes dimensiones el cual contiene líquido de densidad y tiene un orificio de área área A en una pared, a una pro profundidad fundidad h bajo la s superficie uperficie libre. Se desea encontrar la velocidad de salida del líquido y el gasto a través del orificio.

 

3-16

Aplicando ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2. Entonces:

 Z 1 +

P1

 ρ g

2

+

v1

  =  Z 2 +

2g

P2

 ρ g

2

+

v2

2g

 

Simplificaciones:

Z1  = 0 (plano de referencia) Z2  = -h v1 = 0 (Diámetro del tanque >> q que ue el diáme diámetro tro del orificio) p1  = p2  (presión atmosférica) Entonces:

v2   =

2 gh  

Expresión que representa la ecuación de Torricelli. Esta velocidad:

•  Es igual a la q que ue adq adquiriría uiriría una partícula de fluido al caer desd desde e una altura h. •  Es independiente del peso específico del fluido. velocidad elocidad teórica de s salida alida e en n condiciones ideales. •  Es la v

Caudal en el orificio: Q =  A2 v 2  =  A2 2 gh  

(3.50)

 

3-17

Para el caso en que la sa salida lida del orificio es de tipo borde afilado , no se cumple la condición ideal, y existe una contracción del fluido a la descarga del orificio, tal como se observa en la siguiente figura. Para esta condición se establece la siguiente relación de contracción definida por:

Cc = A2 /A → A2  = CcA , Q = CcA   2 gh  

(3.51)

Donde Cc = 0,63  (coeficiente  (coeficiente de contracción para aristas con bordes afiladas)

B) Medidores de Flujo (Venturi, Orificio, Tubo Pitot, Rotámetro) Para un adecuado control de los procesos industriales hay que conocer el flujo e materia que entra y sale de los diferentes eq equipos uipos y operaciones. Esto se cuantifica con la medida de caudal (volumétrico o másico) o de la v velocidad. elocidad. Para cumplir este obj objetivo etivo existen varios dispositivos que a continuación se describe:

1. Medidor de orificio (2  ) :  Este consiste de una placa perforada con un orificio, de forma circular, centrado respecto respecto al eje axial de la conduc conducción. ción. El efecto q que ue produce es de una contracción brusca, formándose una vena contractada aguas abajo del orificio. La ventaja de este dispositivo es por su menor costo de construcción pero ofrece mayor pérdida de carga por la alta intensidad de turbulencia a la salida del orificio, lo que caracteriza como una desventaja. Se aplica la ecuación de Bernoulli para el fluido que circula de izquierdo a derecho a través de un orificio de área reducida, y se supone que la disipación friccional se ignora a través de

 

3-18

la distancia corta: por tanto, a medida que se incrementa la velocidad, la presión disminuye. De acuerdo a la ecuación de Bernoulli se ha demostrado que midiendo la caida de presión entre p1 – p2, es posible determinar la velocidad v1 aguas arriba.

Fig. 3.6 Flujo a través través de placa de orificio  orificio (2) 

Aplicando ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 para un medidor de orificio instalado en posición horizontal (Z1  = Z2 ), resulta:

 p1

 ρ g

2

+

v1

2g

=

 p 2

 ρ g

2

+

v2

2g

 

Conservación de masa entre los puntos 1 y 2 da la ecuación de continuidad:

v1 A1 = v2 A2 

Insertando el v valor alor de v2 en la ecuación de Bernoulli resulta:

2

2 v1   A1       + = +   ρ g 2 g  ρ g 2 g   A2  

 p1

2

v1

 p 2

La solución para v 1 resulta:

 

3-19

v1 =

1  

2( p1 −  p 2 )

  A    1   − 1   A2   

 ρ 

2

 

Expresado en forma de caudal: Q = v1 A1  

Q = v1 A1 =

2( p1

 A1

  A   1    A2 

 − 1 

2

−  ρ 

p2 )

ecuacion que representa caudal ideal  

,

En esta ecuación: A1 se conoce y se desconoce A2  (área de contracción) y hay necesidad de calcular a partir de la siguiente relación:

Cc =

 A2

,

 Ao

A2 = CcAo  

Reemplazando el valor de A2 , se tiene:

Q=

1

  A   1    AoCc 

2

2( p1

 − 1 

−  ρ 

p2 )

 

Considerando perdida por disipación friccional: 1

   A  1      A o C c 



2

−

Co

=

 A   1  A   o 

1





2

−

 

1



Lo que conduce finalmente a la ecuación de flujo de medidor de orificio CoA Q=

1 2

  A    1   − 1   Ao   

 2( p − p ) 1

 ρ 

2

 

(3.52) 

 

3-20

El valor de coeficiente de contracción   es Co = 0,62   para el caso de Reo (orificio) > 10000, caso contrario hay necesidad de utilizar la gráfica No 3.7, 3.7, donde se observa que Co varía en función de:

 β  =

 Do  D1

  v D  ρ   y  Re o = o o  

 µ 

El valor de Reo se puede calcular fácilmente si se conoce el número de Reynolds corriente arriba a partir de la siguiente relación: relación:

Re o =

  D1     Re1     Do  

(3.53)

En el laboratorio se verifica el valor de Co utilizando la ecuación (3.52) (3.52)   para lo cual es necesario medir los datos: caída de presión, caudal y los diámetros en la tubería y orificio D 1  y Do, respectivamente.. El valor respectivamente valor de (p1 – p2) se determina determina según el caso de empleo del manómetro. Así:

Piezómetro:

p1 – p2 = ρgh

Manómetro diferencial: diferencial:

p1 – p2 = gh [ ρm – ρ]

Fig. 3.7. Coeficiente de descarga para placa de orificio (2).

 

3-21

2. Venturímetro (2,3,7) : Es otro de los dispositivos que se utiliza para medir el caudal de un fluido que circula a través de un conducto conducto cerrado. Su construcción es bastante compleja y bastante caro comparado con el medidor de orificio, pero tiene la ventaja de que produce menor perdida de carga carga por la poca tturbulencia urbulencia de remolino remolino.. Generalmente se cons construye truye de una sola pieza de acuerdo a las características técnicas presentadas en la bibliografía y es difícil su construcción. Básicamente es un tubo que consta de dos secciones troncoconicas. La primera sección es convergente, lo que hace que la velocidad del fluido aumente gradualmente. La segunda sección es divergente y de mayor longitud que la primera, para permitir la máxima recuperación de energía de presión. La figura (3.8) muestra un esquema esquema aproximado del medidor de Venturi, con instalaciones de toma de presión aguas arriba y aguas abajo (garganta), para medir la caída de presión entre dos puntos, empleando medidores de tipo piezometrico y manométrico.

Para un fluido incompresible y en estado estacionario, el desarrollo de la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2 = vena contractada) es análoga al medidor de orificio, y en combinación con la ecuación de continuidad se determina el caudal del fluido circulante , Q (m3 /s), mediante la siguiente ecuación:

Q=

CvA1 

 2( p1 − p 2 )

  A    1   − 1   A2   

 ρ 

2

 

(3.54)

El coeficiente del medidor de ventura o coeficiente de descarga es un factor adimensional, obtenido de forma empírica, que permite corregir la sobreestimación del caudal calculado teóricamente respecto al caud caudal al real. Donde Cv   es el coe coeficiente ficiente de Ve Venturi nturi y su valor se determina mediante la calibración, midiendo el caudal y la diferencia de presión manométrica entre los puntos (1) y (2). En la bibliografía es posible encontrar graficas que representan la relación de coeficiente coeficiente de v venturi, enturi, Cv, en función del numero de Reynolds . En la Figura (3.9)   se presenta los resultados ex (3.9) experimentales perimentales de c coeficiente oeficiente de Venturi. Son aplicables para relaciones de diámetro D2 /D1=  0,5. El valor de coeficiente de Venturi para fines de diseño se considera en el rango de Cv = 0,98 – 0,99. 

Sin embargo, para tubos

completamente lisos (tubo de vidrio, acero inoxidable, etc) el valor de Cv > 1,0 (explicación de este fenómeno puede encontrar en el texto de mecánica de Fluidos novena edición por Streeter(7) ).

 

3-22

(a)

(b)

Fig. 3.8.

Esquema de un medidor de Ventura con tomas de presión tipo (a) piezometrica y (b) manometrica

 

3-23

Número de Reynolds =

V 2 D2 ρ 

Fig. 3.9. Coeficiente Cv para medidores Venturi

 µ  (9)

 

 

3-24

3. Tubo de Pitot :  Dispositivo para medir la velocidad puntual y se utiliza para calcular la velocidad de movimiento movimiento de un bote o un av avión. ión. siguiente figura se basa en la ecuación de Bernoulli.

Fig. 3.10. Tubo de Pitot estático

Ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2):

 Z 1 +

 p1

 ρ g

2

+

v1

 =

2g

 p 2

 ρ g

2

+

v2

2g

+  Z 2  

Simplificaciones: Z1  = Z2  (plano de referencia) V2 = 0 (punto de estancamiento) v12 2g

=

p2

 ρ g

Donde: p1 = ρgho 

−

p1

ρ g

⇒

 

 p

  1 = ho    ρ g  p 2

 p 2 =  ρ g ( ho + h) ⇒    ρ g = ho + h  

Lo que resulta finalmente f inalmente como:

El dispositivo q que ue se muestra en la

 

3-25

v1   =

2 gh  

(5.55)

Se afirma que el tubo Pitot mide la presión de estancamiento, la cual se como presión total. La presión total (expresado como columna de líquido) esta compuesta de dos partes:

•  Presión estática = h0  •  Presión dinámica = h También se puede utilizar manómetro tipo diferencial de acuerdo al montaje que se muestra en la figura.

Fig.3.11. Tubo de Pitot Pitot

Ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y (2):

 Z 1 +

 p1

 ρ g

2

+

v1

 =

2g

 p 2

 ρ g

2

+

v2

2g

+  Z 2  

Simplificaciones: Z1  = Z2  (plano de referencia) V2 = 0 (punto de estancamiento)

  p  −  p 2      = −  1 2g  ρ  g     2

v1

 

3-26

Calculo de (p1 – p2) acuerdo al balance de fuerzas f uerzas de presión:

φ 1  =  φ 2  

 p1 + hg ρ   + ∆hρ m g =  p 2 + ( h + ∆h) g  

  p 1 −  p 2    ρ    = ∆h  m − 1     ρ      ρ g  

− 

Reemplazando:

v1 =

 ρ m

2 g∆ h 

  ρ 



− 1  



(3.56)

Para el cálculo de velocidad de fluido compresible ver referencia de “Mecánica de Fluidos” por Streeter.

4. Sifón :  Un sifón es un tubo continuo que permite descargar el líquido desde un reservorio a través de un punto intermedio que es el más alto del reservorio. Tiene ciertas limitaciones en su comportamiento debido a las bajas presiones que ocurren cerca del punto más alto (cresta). 

Fig. 3.12. Tubo de sifón sifón para drenaje drenaje de

 

3-27

De acuerdo a la Fig. (3.12) mostrada podemos calcular los siguientes valores:

i) Velocidad y caudal de flujo a través del sifón : aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos (1) y ( C ) s se e tiene:

 Z 1 +

 p1

+

 ρ g

v12 2g

 =

 pC 

 ρ g

+

vC 2 2g

+  Z C   

Simplificando:

Z1 = 0 p1 = pC = patm  v1 = 0 Resolviendo para v y caudal: C

vC  =   2 gZ C     π 

 

(3.57)

 

Q = vC  A =    D 2  2 gZ C     4  

(3.58)

De esta ecuación se observa que la velocidad del flujo depende de la fuerza impulsora resultado de la diferencia de altura entre la superficie del nivel en el tanque y el punto de drenaje del líquido.

ii) Velocidad máxima . De la práctica se observa que a medida que el valor de Zb incremente, la velocidad de drenaje de líquido va disminuyendo, por tanto es posible calcular la máxima velocidad del sifón. De la ecuación ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:  Z 1 +

 p1

 ρ g

2

+

Simplificando: Z1 = 0 p1 = patm  v1 = 0

v1

 =

2g

 p B

 ρ g

2

+

v B 2g

+  Z  B  

 

3-28

  p atm

 

 p    −  B    ρ g  ρ g

2 g 

v B =

− Z B   

 

La velocidad será máximo cuando:

  p atm

2 g 

v max =

pB = 0 , vB = vmax 

 

−  Z B   

 

   ρ g

(3.59)

 

iii) Máxima altura del punto intermedio (Z BB  )    : este valor calculamos aplicando ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y ( B ):

 Z 1 +

 p1

 ρ g

2

v1

+

 =

2g

 p B

 ρ g

2

+

v B 2g

+  Z  B  

Simplificando: Z1 = 0 p1 = patm  v1 = 0 Resolviendo para ZB:

 Z  B =

 p atm

 ρ g

 

−

 p B

 ρ g

2

−

vB 2g

 

Esto significa que la altura del punto intermedio del sifón esta limitado por la velocidad del sifón. Sifoneo rápido resulta en la altura mas baja. La altura es máxima cuando el sifoneo es muy lento y vB = 0

 Z  B = 

 p atm

 ρ g

 

(3.60)

Esta es la máxima altura que un sifón trabajara, lo que indica que el peso de una columna de líquido a un punto intermedio se iguala a la presión atmosférica. Sustituyendo valores para agua resulta 10 metros para agua y 0,84 metros para mercurio.

5. Medición de Flujo con Rotámetros (2) :  Los rotámetros son dispositivos ampliamente utilizados a escala de laboratorio y banco para medir flujo. Se les conoce como medidores

 

3-29

de área variable, cuya representación se muestra en la Figura (3.13). Los rotámetros se instalan en línea en forma vertical y en general se construyen de material transparente con escala graduada, tales como vidrio borosilicato, o polímeros plásticos (acrilatos o pulisulfonas) y esta integrado con un dispositivo llamado flotador construido de acero inoxidable, aluminio o vidrio (bolitas). Para calcular el caudal que circula a través tra vés del rotámetro, de acuerdo a la figura mostrada se plantea las siguientes ecuaciones:

Ecuación de continuidad: m =  ρ v1  A  = ρ v 2 a  

Ecuación de Bernoulli:

 Z 1 +

 p1

 ρ g

2

+

v1

 =

2g

 p 2

 ρ g

2

+

v2

2g

+  Z 2  

Volumen del  fluido        

Ecuación de momento:



 M  



 ρ  f  

( p1 −  p 2 ) A + mv1 − mv2  − ( Z    2 −  Z 1 ) A −   

   

Pr esion

Conveccion

 ρ g −  Mg = 0  

            

Gravedad 

Fig 3.13. (a) Sección Sección de rotámetro, y (b) volumen volumen de control (2) 

De la ecuación de momento eliminamos los términos de presión y elevación utilizando la ecuación de Bernoulli y términos que involucran m y v 2  pueden ser eliminados usando la ecuación de continuidad, lo que conduce después de una operación algebraica a la siguiente relación:

 

3-30

2

  A    ρ  v  A  − 1  =  Mg 2     a

1

2 1

     1 −  ρ       ρ  f      

Luego el caudal de fluido es:

   ρ       ρ f    2 Mg       Q =  Av 2 =  A   = a 2  ρ   A   A    ρ  A − 1   a   2 Mg 1 −

(3.61)

En donde la forma aproximada fija para a 3ho 

Para el vertedero triangular:

Q=

0  ,3 ho  2 g tan φ 

 

(3.63)

Las ecuaciones ecuaciones (3.62 ) y (3.63) solo son aplicables al agua. Para otros líquidos, cons consultase ultase los datos de otras referencias (R.H. Perry and D. Green, “Perry ’s Chemical Engineer's Handbook”, 6th)

 

3-32

3.12. BIBLIOGRAFÍA 1.

P. Gerhart, R. Cross, J. Hochstein, “Fundamentos la Mecánica de Fluidos”, 2da Edic., Edit. Addison Wesley Iberoamerica, S.A. Argentina (1995).

2.

James O Wilkes, “Fluid Mechanics for Chemical Engineers”, Edit. Prentice Hall, New Jersey, USA Pags 25-26 (1999).

3.

Ron Darby, Chemical Engineering Fluid Mechanics”, Edic. 2da., Edit Marcel Dekker, Nueva York, pags. 86-88 (2001).

4.

F. Javier Penas, “Ingeniería Química para Químicos”, Departamento de Química y Edafología, Universidad de Navarra, España, (2002).

5.

Apuntes de Operaciones Unitarias, Universidad Técnica de Dinamarca, Departamento de Ingeniería Química (1999)

6.

O. Levenspiel, “El Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor”, Edit. Reverte, Barcelona (1993).

7.

Victor Streeter y otros, “Mecánica de Fluidos”, Edic. Novena, Edit. McGraw-Hill, Bogota Colombia, 2000.

8.

C. J. Geankoplis, “Transport Processes and Unit Operations”, 3rd Ed.,Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.

9.

Jack B. Evett and Cheng Liu, “Fluid Mechanics and Hydraulics”, Serie Coleccion Schaum. Edit McGraw-Hill, New York ( 1989).

10.

Joaquin Ocon Garcia y Gabriel

Tojo Barriero, “Problemas de Ingeniería Química.

Operaciones Básicas Tomo I”, 1ra Reimpresión, Edit. Aguilar, Ma Madrid drid (1971). 11.

Peter, M. S. and K. D. Timmerhaus, “Plant Design and Economics for Chemical Engineers”, 4ta Edic. Edit. Mc Graw-Hill Book Co, USA, (1991).

 

3-33

Ejemplos de aplicación del Texto “Fluid Mechanics for Chemical Engineers” Por James O. Wilkes

Problema 1. Evacuación de de un tanque con fuga

El tanque de la figura mostrada presenta un pequeñ pequeño o orificio de fuga al interior del tanque del aire exterior, cuya presión es 1 bar. La velocidad de flujo de masa de la fuga es igual a

-5

3

C (  ρo − ρ ) , donde C = 1x10   m  /s es una constante,  ρ o   es la densidad del aire del

ambiente, y  ρ  es  ρ   es la densidad del aire dentro del tanque. La densidad inicial del aire dentro del tanque también es  ρ o .

¿Cuál es la presión más más baja que puede alcanzar p* dentro del tanque?. ¿C ¿Cuánto uánto tiempo toma la presión en descender la mitad de su valor inicial de p* ?.

Fig. 1 Evacuación de un tanque con agujero

Problema 2. Trafica lento Dos líneas de una autopista sirven para el trafico de carros a una velocidad promedio de 60 millas/hora (mph) . En una z zona ona de construcción, donde los carros tienen que juntarse en una sola línea, la velocidad promedio es 20 mph y la distancia promedio entre los parachoques de los carros su sucesivos cesivos es 25 ft. Cuál es la distancia promedio entre la parte frontal de los parachoques en cada línea de las dos secciones?.

¿Por qué ?.

Cuantos carros por hora están pasando a trav través és de la zona de construcción?.

Problema 3. Densidad de carros carros Cuando manejas un carro a través de una vía expresa a 65 mph cuentas un promedio de 18 carros que van en dirección co contraria ntraria

por cada milla que v viajes. iajes. En c cualquier ualquier tiempo,

cuantos carros hay por cada milla que viajas en la dirección contraria?.

 

3-34

Problema 4. Tubería de etileno Veinte

lbm /s de gas etileno (supongase un comportamiento ideal) fluye en estado

estacionario a 60 oF en una tubería cuy cuyo o diámetro interno es 8 pulgadas. La presión 1 localizada corriente arriba

es p1 = 60 psia, y se reduce hasta la presión p2 = 25 psia

localizada en 2 corriente abajo. ¿Porque la presión cae, y cuál es la velocidad de etileno en las localizaciones?

Problema 5. Comportamiento transiente de un tanque agitado Un tanque bien agitado de volumen V = 2 m2 mostrado en Fig. 2 esta inicialmente con sal muera, en donde la concentración inicial de cloruro de sodio en t = 0 es Co = 1 kg/m 3. Seguidamente, se alimenta un caudal de flujo de agua pura de Q = 0,01 m 3 /s en estado estacionario al tanque, y el mismo flujo de sal muera salina abandona el tanque a través del drenaje. Derivar una expresión para la subsiguiente concentración de cloruro de sodio C en términos de Co, t, Q,, y V. Haga una grafica de C versus t y etiquete la principales anotaciones. Cuanto tiempo (minutos, segundos) tomara para la concentración de cloruro de sodio descienda hasta un valor final de Cf = 0,0001 kg/m3 ?

Fig. 2. Tanque agitado con flujo continúo

Problema 6. Tanque agitado con disolución disolución de cristales 3

Una tanque bien agitado de volumen V = 2 m   es llenado con sal muera, en donde la concentración inicial de cloruro de sodio en t = 0 es Co = 1 kg/m 3. Seguidamente, un caudal de flujo de Q = 0,01 m3 /s de agua pura es alimentado en estado estacionario al tanque, y el mismo caudal de sal muera abandona el tanque a través del drenaje. Adicionalmente, se

 

3-35

alimenta una muestra de cristales de cloruro de sodio en la base del tanque, lo cual se disuelve a una velocidad uniforme de m = 0,02 kg/s.

Porque es razonable suponer que el volumen de sal muera en el tanque se mantiene constante?. Derive una expresión para la siguiente concentración C de cloruro de sodio en términos de Co, m, t, Q, y V. haga un esquema de C versus t y etiquete las principales anotaciones. Suponiendo un suministro inagotable de cristales, cuál será la concentración de C de cloruro de sodio en el tanque en t = 0, 10, 100, y ∞  segundos?. Defina el sistema cuidadosamente sobre el cual va plantear el balance de materia.

Problema 7. Manguera para regar jardínl Una manguera para “regar” “regar” jardín con paredes de lon lona a porosa se mues muestra tra en la Fig. 3. Se suministra agua a la presión p po o en x = 0, y en el terminal lejos de x = L es cerrado con un tapón: En cualquier ubicación intermedia x, agua escapa hacia afuera a través de la pared a una velocidad volumétrica de q =  β ( p − po )  por unidad de longitud, donde p la presión local dentro de la manguera y la constante  β  y la presión externa de aire p o ambos son conocidos.

Fig. 3. Una manguera de irrigación con paredes porosas porosas..

Puedes suponer que el flujo volumétrico del agua dentro de la manguera es proporcional a gradiente de presión negativa:

Q = −α 

dp dx

 

(1)

Donde la constante α  también α   también se conoce. Hablando estrictamente, Ec. 1 se aplica para flujo laminar, lo cual puede ser o no el caso. A través de un balance de masa sobre una longitud diferencial dx de la manguera, demostrar que la variación de presión obedece la ecuación diferencial:

 

3-36

2

d P dx

2

= γ  2 P  

Donde P = ( p − po )

(2) 

y   γ 2 = β / α   . Demostrar que:

P = As Asen γ x + B cos γ  x  

satisface Ec. (2), y determine la co constante nstante A y B de las condiciones de contorn contorno. o. Por lo tanto, demostrar que la variación de presión está dada por:

 p − pa  po − pa

=

c osh γ  ( L − x) cos γ  L

 

Luego demostrar que la velocidad total de pérdida de agua de la manguera está dada por: Q perdida = αγ ( p − po ) tanh γ  L  

Finalmente, esquematice ( p − pa ) / ( po − pa )  versus x para valores bajo, intermedio y alto de t u esquema. γ   γ  .. Señale las principales notaciones de tu

Fig. 4. Sifón para el drenaje desde un tanque

Problema 8. Performance de un sifón Tal como se muestra en la Fig. 4 un tubo de área transversal de A = 0,01 m 2 y una longitud total de 5,5 m se utiliza para sifonear agua desde un tanque. La descarga del sifón es 1,0 m debajo del nivel de agua en el tanque. En su punto más alto, el tubo se eleva 1,5 m por

 

3-37

encima del nivel en el tanque. Cuál es la velocidad del agua v (m/s) en el tubo?. Cuál es la presión más baja en bar (manométrica), y donde ocurre?. Desprecie la fricción en el tubo. Tu respuesta es razonable?.

Si el sifón llega virtualmente hasta el fondo de la base base del tanque (pero no es taponeado), taponeado), el V  tiempo que toma toma el tanque para drenar es igual a t  = , donde V es el volumen inicial del vA

agua en el tanque, y v  es   es la velocidad evaluado más arriba cuando el tanque está lleno?. Explicar tu respuesta

Problema 9. Tubo de Pitot La velocidad de un bote es medido a través de un tubo Pitot. Cuando se v viaja iaja en el mar 

 = 64 lb ( ρ  =

m

2

/  ft 3  ) , el tubo mide una presión de 2,5 lbf  / in  debido al movimiento. Cuál es la 3

velocidad (mph) del bote?. ¿Cuál sería la velocidad en agua dulce ( ρ  =  = 62, 4 lb / f t   ) , también para una presión de 2,5 lbf / in2 ? m

Problema 10. Fuga de dióxido de carbono Un tubo vertical largo es abierto en el tope y contiene pequeños orificios en su base, lo cual por otro lado es cerrado. La sección más baja de 10 metros del tubo es llenado con dióxido de carbón (Mw = 44). Por otra parte, hay aire (Mw = 28,8) por encima de dióxido de carbono y también en el exterior del tubo. Calcular la velocidad (m/s) de dióxido de carbono que sale del orificio. En qué dirección fluye?.

Fig. 5. Dos presiones manométricas

Problema 11. Dos presiones manométricas Fig (5) muestra dos presiones manométricas que son montados en un tubo vertical de agua con una separación de 40 pies, estos leen ex exactamente actamente la misma presión, 100 psig.

 

3-38

(a) Esta fluyen fluyendo do el agua?. Porq Porque? ue? (b) Si es así, en qué dirección esta fluyendo?. Porque?. Sugerencia. Puedes utilizar un balance de energía global en el tubo entre las dos tomas manométricas para verificar su respuesta.

Problema 12. “Medidor de” de venturi Un caudal de flujo volu volumétrico métrico Q de líquido de densidad ρ fluye a través de un tubo de área de sección transversal A, y luego pasa a través de un “medidor” de v venturi enturi tal c como omo se muestra en la Fig. 6, cuyo garganta de área de sección transversal es a. Un manómetro que contiene mercurio (ρm) es conectado entre el punto de corriente aguas arriba (estación 1) y la garganta (estación 2), y registra una diferencia en nivel de mercurio de ∆h . Derive una expresión de Q en términos de A, a, g, ∆h , ρ, ρm y CD.

Si el diámetro del tubo y la garganta del Venturi son 6 pulgadas y 3 pulgadas, respectivamente, ¿qué velocidad de flujo (gpm) de isopentano (ρ ( ρ  = 38,75 lbm /ft3) podría registrar un ∆h  de 20 pulgadas de manómetro manómetro de mercurio (s = 13,57 )?. ¿ Cual es la caíd caída a de presión correspondiente correspondiente en psi?. Suponga un coeficiente de descarga de Cd = 0,98. Nota: aquellas partes partes del manómetro no ocupa ocupadas das por el mercurio son llenados con isopentano, puesto que hay una comunicación libre con el tubo via las tomas de presión.

Fig. 6. Medidor de “venturi”

Problema 13. Placa de orificio Un tubo horizontal de 2 pulgadas de DI transporta kerosene a 100 oF, con densidad de 50,5 3

lbm /ft

 y viscosidad 3,18 lbm /ft hr. Para poder medir la velocidad de flujo, la línea es acoplada con una placa de orificio de borde afilada (Sharp-edged) con tomas de presión que son conectadas a un manómetro de mercurio que lee hasta u una na diferencia de 15 pulgadas de nivel de manómetro de mercurio. Si se espera u un n flujo muy g grande rande de kerosen kerosene e de 560

 

3-39

lbm /min, especificar el diámetro de la placa de orificio que podría luego registrar una diferencia total de 15 pulgadas de nivel de mercurio.

Problema 14. Drenaje del tanque Un tanque cilíndrico de diámetro 1 m tiene un orificio bien redondeado de diámetro de 2 cm en su base. Qué tiempo tomara una profundidad inicial de acetona igual a 2 m para drenar completamente del tanque?. Qué tiempo podría tomar si el orificio fuera de borde afilada (Sharp-edge)?. La densidad de la acetona es 49,4 lbm /ft3.

Problema 15. Drenaje de líquidos inmiscibles del tanque La Fig. 7 muestra un tanque de área de sección transversal A que inicialmente (t = 0) contiene dos capas, cada una de profundidad H: aceite (densidad ρo), y agua (ρw). Un orificio de borde afilada de área de sección transversal a y coeficiente de contracción 0,62 en la base del tanque es luego abierta. Derive una expresión para el tiempo que toma para el drenaje de agua del tanque, en términos de de H, g, A, a, ρo  y ρw. Despreciar la fricción y suponga que A >> a.

Fig. 7. Drenaje del tanque con aceite y agua.

Problema 16. Drenaje de un tanque cil cilíndrico índrico horizontal Un tanque cilíndrico de radio r y longitud L, que se ventea por el tope a lla a atmosfera, se muestra con vista de elevación elevación lateral y del lado extremo en la Fig. 8. Inicialmente ( t = 0) está completamente lleno de liquido de baja viscosidad, lo cual es permitido drenar a través

 

3-40

través del tubo de salida de longitud H y área de sección transversal A. Demostrar que el tiempo que toma en drenar del tanque (excluyendo el tubo de salida) es:

2

t  =

2 Lr  Lr

π 

  sen2θd θ 

 A 2g 0  H + r (1+ cosθ )  

∫

Fig. 8. Tanque cilíndrico de almacenamiento

Si L = 5 m, r = 1 m, H = 1 m, que valor de A será adecuado en  el tanque para drenar en una hora?. Si es necesario, utiliz utilizar ar la regla de Simpso Simpson n para aproximar la integ integral. ral.

Problema 17. Performance de un vertedero “V” La Fig. 9 (a) muestra un vertedero “V  “V ”, ”, lo cual es una abertura triangular con corte de la mitad del ángulo θ  en la pared final del tanque tanque o canal que trans transporta porta el líquido. Se quie quiere re deducir el caudal de flujo volumétrico Q del líquido que se descarga por encima del vertedero de la altura H de la superficie libre por encima de la base del vertedero.

 

3-41

Fig. 9. Descarga a través de un vertedero V

La elevación de la vista lateral Fig. 9 m muestra uestra una línea de corriente corriente representativa, que esta fluyendo horizontalmente a una profundidad constante de h por debajo de la superficie libre, entre un punto 1 corriente arriba (donde la presión es hidrostática y la velocidad pequeña despreciable) a un punto 2 corriente abajo a la salida del vertedero, donde la presión es atmosférica (toda la sección transversal A-A). Cuál es la razón para suponer que la velocidad del líquido que se descarga a través del vertedero es:

v2 =

2 gh ?  

Por integración de la longitud total del vertedero, determine Q en términos de H, g y θ. Sugerencia: primero determine el ancho w del vertedero a una profundidad h en términos de H, h y θ. (En práctica, hay un significante contracción de la corriente después que abandone el vertedero, y el valor valor teórico obtenido para Q tiene que multiplicars multiplicarse e por un coeficiente de descarga cuyo valor es típicamente C D = 0,62).

 

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Problema 18. Drenaje de un tanque con sifón La figura 10 muestra el área de la sección transversal A del tanque horizontal que suministra en estado estacionario un flujo volumétrico de Q líquido y que simultáneamente esta drenando a través del del sifón de área de sección sección transversal a, cuya descarg descarga a esta al mismo nivel de la base del tanque. Disipación friccional en el sifón puede ser despreciado.

(a) Suponiendo que la fricc fricción ión en la tubería es desprec despreciables, iables, probar que el nive nivell en estado estacionario en el tanque esta dado por la ecuación:

(b) Si la velocidad de flujo de liq liquido uido que ingresa ahora repentinamen repentinamente te se incrementa a 2Q, probar que el tiempo que toma la profundidad de liquido de incrementar a 2h* (mostrado por la línea superior entrecortada) está dada por la siguiente expresión, en donde se espera evaluar el valor de coeficiente α 

 

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Problema 19 A través de dos grandes depósitos que se muestran en la Fig. 1 fluye agua de manera estable. Determine la profundidad del agua, hA 

Problema 20. (Ocon y Tojo) A través de una tubería circula una corriente de benceno a 20 oC (densidad = 810 kg/m 3). En una tubería provoca un estrechamiento, conectándose a ambos lados del mismo un manómetro diferencial de agua. Determínese la caída de presión a lo largo del estrechamiento si la diferencia de niveles de agua en las dos ramas del manómetro es de 20 cm.

Problema 21 (Ocon Tojo). Por una tubería de acero de 1.5 pulgadas (Di = 40.9 mm) se lleva hasta un deposito el benzol procedente del condensador de una columna de rectificación. Para la medida del caudal se dispone de un medidor de orificio de bordes rectos de 10 mm de diámetro de orificio. Las tomas de presión se dispone a un diámetro del tubo, antes y después del diafragma. El manómetro vertical empleado tiene agua como liquido denso, siendo la lectura máxima en el de 20 cm y la mínima obtenida con suficiente exactitud 2 cm. Tomando para la densidad del benzol el valor de 874 kg/m3, determínese el intervalo de caudales para los cuales pueden obtenerse medidas satisfactorias.

Problema 22 (Ocon Tojo). Para medir el caudal de una disolución débilmente salina a través de una tubería de 4 pulgadas se emplea un venturimetro

cuya sección mínima es de 2 pulgadas. Para

 

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contrastar el venturimetro se ha ha añadido continu continuamente amente a la disolución salina salina un caudal de 1,0 litro/min de disolución de ClNa 1,0 N, analizando una muestra del liquido tomada en un punto en el que se supone que la mezcla es completa. Antes de añadir esta disolución, 1,0 litro de la disolución primitiva requiere 10 cm3 de disolución 0,1 N de NO3Ag en la determinación de cloruros; después de la adición, la misma cantidad de disolución requiere 23,5 cm3  de la misma disolución de NO3Ag. Un manómetro de mercurio conectado al venturimetro da una lectura de 16,4 cm. Determínese el coeficiente de descarga del venturimetro, suponiendo que la densidad de la disolución primitiva no esta afectada por la pequeña cantidad de sal disuelta.

Problema 23. (Peter, M. S. and K. D. Timmerhaus)  Se debe medir en forma continua el caudal de una mezcla liquida. El caudal a medir es de aproximadamente 40 galones/min, pero puede haberse variaciones entre 30 y 50 galones/min. Se dispone de una placa de orificio, un rotametro y un venturi. Decidir cual de los aparatos de medición ha de recomendarse sobre la base de la información adicional que figura mas abajo. Justificar la recomendación. Densidad del fluido = 58 libras/ft 3  Viscosidad del liquido = 1,2 1, 2 centipoises Diámetro de la garganta del Venturi = 1,0 pulgadas Diámetro corriente arriba de la abert abertura ura del Venturi = 2pulgadas Los manómetros conectados al Venturi y la placa orificio contienen un liquido no miscible (peso especifico = 1,56 ) en contacto con la mezcla liquida fluyente La lectura máxima en estos manómetros es de 15 pulgadas El orificio es de bordes cuadrados con gargantas El diámetro del orificio es de 1,0 pulgada El diámetro corriente arriba de la placa de orificio, es de 3 pulgadas. La curva de calibración del rotametro para agua a 60 oF, da los siguientes valores: Lectura en el rotametro 2,0 4,0 6,0 8,0

Flujo volumétrico en (ft /min) 2,0 4,0 6,0 8,0

La densidad del flotador del rotámetro es igual a 497 lb/ft 3 

 

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Problema 24. (Ocon y Tojo) Un tubo de Pitot se introduce en el centro de una tubería de 3” que conduce nitrógeno, registrándose una lectura de 35 mm de agua en un manómetro inclinado (1/10) en conexión con el Pitot. La temperatura del nitrógeno en la tubería es de 15 oC y su presión en el lugar en el que se introduce el tubo Pitot es 850 mm de Hg. Determínese el caudal de referido a condiciones normales de temperatura y presión.

 

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Problemas por Ib Ketelsen del texto “ Fluid Mechanics”, Technical University of Denmark, Department of Chemical Engineering

 

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