Capitulo_1_PU_a.pdf

VALORES POR UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN El uso de la representación en valores por unidad en los sistemas eléctricos de potencia es muy útil y agradecido por los ingenieros. El valor numérico por unidad de cualquier cantidad el valor real sobre un valor base escogido. Luego, una cantidad por unidad es una cantidad normalizada respecto del valor base escogido. El valor por unidad es definido entonces como:

Valor por unidad ( p.u.) =

valor real valor base

Si denominamos {α } al conjunto de magnitudes escalares y vectoriales del sistema tales como: v Tensión: E i v Corriente: I i

v Potencia compleja: N i

Potencia activa:

Pi

v Impedancia: z i v Admitancia: y i

Potencia reactiva: Qi

{α } = {Ei , I i ,K} v v

Además denominamos {β } al conjunto de magnitudes escalares conocidas como magnitudes de base del sistema.

{β } = {Eb , I b , N b , z b , yb } Estas magnitudes deben guardar coherencia dimensional:

Nb =

Eb Ib

zb =

Eb Ib

yb =

Ib Eb

Las magnitudes {α } expresadas en p.u. serán:

v v& Ei Ei = Eb v v& Ni Ni = Nb

v v& Ii Ii = Ib

v zi v& zi = zb

P P&i = i Pb

Q Q& i = i Qb

La tensión nominal de las líneas y de los equipos eléctricos es casi siempre es conocida, al igual que la potencia aparente en MVA, por lo tanto estas dos cantidades son las

M. Gálvez & A. Ancajima

Valores por unidad

utilizadas para el cálculo de los valores base: La potencia base N b y la tensión base Eb , de ellas, la potencia base debe ser única para todos los elementos.

Ib =

Eb Nb

Eb Eb2 = Ib Nb

zb =

yb =

Nb Eb2

De este modo tenemos que las magnitudes de {α } serán expresadas como: v v& Ei Ei = Eb

v v& Ni Ni = Nb

v v E I&i = I i b Nb

r v N z&i = z i b2 Eb

2. PROPIEDADES a)

Las magnitudes en p.u. son adimensionales, los módulos en p.u. son lógicamente distintos a los que se tenían anteriormente pero sus argumentos son los mismos, toda vez que los valores de base son magnitudes escalares.

b)

Los valores p.u. deben cumplir las mismas relaciones que los valores reales. Asimismo deben cumplir con las leyes aplicables a los valores reales. - Ejemplo de relaciones: v v Ei Para valores reales: z i = v Ii v v v v E& i z i Eb Ei I b v& v& ⋅ v → zi = v Para valores en p.u.: z i = v ⋅ v = zb I b Eb I i I&i

- Ejemplo de leyes: Leyes de nodos y de mallas de Kircchoff: Para valores reales:

v

Ley de nodos:

∑I

Ley de mallas:

∑E −∑z

=0

j

v

Para valores p.u.: Ley de nodos:

k

v Ij

∑I

v v k Ik = 0

v = 0 → ∑ I& j = 0

b

v v v v Ek zk I k v v −∑ = 0 → ∑ E& k − ∑ z& k I&k = 0 Ley de mallas: ∑ Eb zb I b

2

Valores por unidad

c)

Simplifica los cálculos relacionados con transformadores de potencia. Los transformadores separan partes de la red en distintos niveles de tensión tal como se ve en la Fig. 1.

v I1

v I2 A1

A2

v E1'

RED 1 RED

v E 2'

RED 2

1 B1

B2

Fig.1 : Interconexión de dos redes por medio de un transformador de potencia.

En vacío, la razón de transformación es k =

E n1 En2

Calculamos los equivalentes de Thévenin de cada red, obtenemos el modelo indicado en la Fig. 2 v I1 A1

v z1 v E1

v I2 A2

E

v z2 v E 2'

v 1 E1' ' B1

v E2

B2

Figura 2 : Equivalentes de Thévenin de dos redes unidas por un transformador de potencia

Si los valores base de tensión para las redes 1 y 2 son Eb1 y Eb 2 y los valores base de potencia para las redes 1 y 2: N b1 y N b 2 , entonces debe cumplirse:

k=

Eb1 Eb 2

→

k=

Ib2 I b1

E1' I 2 Además: k = ' = , con lo cual: E2 I1

Eb1 I b1 N 1b ⋅ = Eb 2 I b 2 N 2 b k⋅

N 1 = 1 = 1b k N 2b

3

Valores por unidad

Es decir, tenemos una única potencia base como ya habíamos adelantado anteriormente. Expresando las ecuaciones de circuito de las dos redes según la ley de mallas: v vv v E1 = z1 I 1 + E1' v v v v E 2 = z 2 I 2 + E 2'

Dividiendo ambas ecuaciones por sus respectivos valores base de tensión: v v vv E1 z1 I 1 E1' = + E1b E1b E1b v v vv E1 z1 I1 E1' = + E1b E1b E1b

Recordando que Eb = z b I b v v vv E1 z1 I 1 E1' = + E1b z1b I 1b E1b v v v v E2 z2 I 2 E 2' = + E 2 b z 2 b I 2 b E 2b

→

v vv v E&1 = z&1 I&1 + E& 1'

→

v v v v E& 2 = z& 2 I&2 + E& 2'

Se conoce también: v v v& v E1' kE 2' E1 = = = E& 2' E1b kE 2b

La ecuación del circuito equivalente en p.u. será: v v vv v v E&1 = z&1 I&1 + z& 2 I&2 + E& 2'

Este circuito se presenta en la Fig. 3. v I&1

A1

v z&1 v E&1

v I&2

A2

v z& 2

v E&1'

v E& 2'

B1

v E& 2

B2

Fig. 3 : Circuito en p.u. de dos redes unidas por un transformador de potencia

4

Valores por unidad

3. VALORES P.U. EN SISTEMAS TRIFÁSICOS Para sistemas trifásicos tenemos como valores base N b y Vb Ib =

Nb 3 Vb

3

=

Nb

zb =

3Vb

Vb

3 Ib

Vb2 = Nb

Las magnitudes de {α } serán expresadas como: v E& i =

v Ei Vb

v v I&i = I i

3

3Vb Nb

v v N z&i = z i 2b Vb

4. CAMBIO DE BASE Deseamos cambiar de una base definida por N b1 y Vb1 a otra base definida por N b 2 y Vb 2 Tensión:

v v V  V&2 = V&1  b1   Vb 2 

Corriente:

v v  V  N  I&2 = I&1  b 2  b1   Vb1  N b 2  Impedancia:

v vN z&1 = z b21 Vb1 2 v vN v  V  N  z& 2 = z b22 = z&1  b1  b22  Vb 2  N b1  Vb 2 

v v V  z& 2 = z&1  b1   Vb 2 

2

 N b2     N b1 

5

Valores por unidad

5.

EJEMPLOS

5.1.

Ejemplo 1: Formación del sistema en valores p.u.

Tenemos el siguiente diagrama unifilar de un sistema eléctrico como se muestra en la Fig. 4. T1 A G1

B

j100Ω

j80Ω

C

T3 E

F G3

T2

D G2

Figura 4 : Diagrama unifilar de un sistema eléctrico para el ejemplo 1.

Acompañando a la simbología de los transformadores y generadores tenemos la representación del estado del neutro de los arrollamientos de dichas máquinas. En el problema de flujo de carga que vamos a ver a continuación, no interesa el estado del neutro porque se representa un sistema simétrico balanceado. Sin embargo en problemas de cálculo de cortocircuitos, el estado del neutro sí tendrá mucha importancia. Los datos de las máquinas eléctricas son: G1: G2: G3: T1: T2: T3:

20 MVA, 6.9 KV , X& '' = 0.15 p.u. 10 MVA, 6.9 KV , X& '' = 0.15 p.u. 30 MVA, 13.8 KV , X& '' = 0.15 p.u. 25 MVA, 6.9 KV (∆ ) − 115 KV (Y ), X& = 10% 12.5 MVA, 6.9 KV (∆ ) − 115 KV (Y ), X& = 10% El transformador T3 está constituido por tres transformadores monofásicos conectados en estrella. Los datos de cada transformador son: 10 MVA, 7.5 KV (∆ ) − 75 KV (Y ), X& = 10%

a)

Identificación de subsistemas: Conviene primero agrupar los elementos en subsistemas de modo que cada uno tenga una potencia y tensión base. Los subsistemas vienen limitados por transformadores. Podemos identificar 4 subsistemas como se muestra en la Fig. 5.

b)

Asignación de la potencia base: Este valor puede ser cualquiera algunas veces se toma la mayor potencia de alguna máquina, otra forma de seleccionar la potencia

6

Valores por unidad

base es un valor respecto del cual sea muy fácil el cálculo para el paso a valores reales. Muchas veces se toman múltiplos de 50 ó de 100. Para nuestro caso tomamos para todos ellos una misma potencia base: N b = 30 MVA que es la mayor potencia de todo es sistema que corresponde al generador G3. SUBSISTEMA A

SUBSISTEMA B

T1 A G1

B

j100Ω

j80Ω

C

SUBSISTEMA C

T3 E

F G3

T2

D G2

SUBSISTEMA D

Fig. 5 : División del sistema eléctrico en subsistemas

c)

Cálculo de los valores base de tensión para cada subsistema: Esto lo podemos realizar gracias a las relaciones de transformación de los transformadores que conectan a dos subsistemas adyacentes. Subsistema A:

Eb1 = 6.9 KV

Subsistema B:

115  E b 2 = 6 .9  = 115 KV  6.9 

Subsistema C:

Subsistema D: d)

 7 .5 3  E b 3 = 115   = 11.5 KV  75 3   6.9  Eb 4 = 115  = 6.9 KV 115 

Cálculo de valores p.u. de datos de problema: A continuación seguimos calculando los valores p.u. de las potencias, corrientes o tensiones que nos den como dato en el problema, en este caso sólo nos han dado valores de tensiones como dato. 6 .9 V&G1 = = 1 .0 6 .9 6 .9 V&G2 = = 1 .0 6 .9

7

Valores por unidad

13.8 V&G3 = = 1 .2 11.5 e)

Cambio de base de las impedancias de las máquinas: Los datos de las impedancias de las máquinas están dados en la base de cada una de ellas. Tenemos que uniformizarlas con las bases que hemos tomado para cada subsistema.

v v V  z& 2 = z&1  b1   Vb 2 

2

 N b2     N b1 

En nuestro caso, N b 2 = 30 MVA y N b1 depende de los valores nominales de potencia de las máquinas eléctricas.

  

2

x& G1

 6.9 KV = 0.15  6.9 KV

 30 MVA    = 0.225 p.u.  20 MVA 

2

x& G2

 6.9 KV   = 0.15  6.9 KV 

 30 MVA    = 0.45 p.u.  10 MVA 

x& G3

 13.8 KV   = 0.15  11.5 KV 

 6.9 KV   x&T1 = 0.1  6.9 KV 

2

 30 MVA    = 0.216 p.u.  30 MVA 

2

 30 MVA    = 0.12 p.u.  25 MVA 

2

 30 MVA    = 0.24 p.u.  12.5 MVA 

 6.9 KV   x&T2 = 0.1  6.9 KV 

 7.5 3 KV   x&T3 = 0.1  11 . 5 KV  

2

 30 MVA    = 0.127 p.u.  3 × 10 MVA 

Para hallar las impedancias p.u. de las líneas, hallamos el z b 2 correspondiente al subsistema B. E2 (115 KV ) = 440.8 Ω zb 2 = b2 = Nb 30 MVA x 100 x& BC = BC = = 0.227 p.u. z b 2 440.8 x 80 x& CE = CE = = 0.181 p.u. z b 2 440.8 2

f)

Cálculo tensiones y corrientes: Se puede llegar a determinar los valores de tensiones y corrientes de fase aplicando la teoría de circuitos eléctricos. Posteriormente los valores fase-neutro pueden llevarse a valores de línea y hallar los desfasamientos reales según las relaciones de desfasamiento entre valores de

8

Valores por unidad

fase y valores de línea, y según los índices horarios de las conexiones de los transformadores. Para nuestro ejemplo, los resultados de convertir a valores por unidad se muestra en la Fig. 6.

j 0.225

j 0.12 A

j 0.227 B

j 0.181 C

j 0.127 E

V&G1 = 1.0

j 0.216 F

V&G3 = 1.2

j 0.24 D

j 0.45

V&G2 = 1.0

Figura 6 : Circuito en p.u. del sistema eléctrico

5.2. Ejemplo 2: Cálculo de parámetros de fase y de línea considerando las conexiones de los devanados de los transformadores. Tomemos el diagrama unifilar que se presenta en la Fig. 7.

G

A

T

C

D L

Yd1

r N = 300 + j100 MVA

VD = 380 kV

Fig. 7: Diagrama unifilar para el ejemplo 2.

Los datos de las máquinas eléctricas son: G T

: :

L

:

300 MVA, 13,5 KV

300 MVA, 13,2 KV (Y ) − 400 KV (∆ ), Yd1, X& = 10% r r Z s = 9 + j105 Ω, Z p 2 = − j 2000 Ω

9

Valores por unidad

El modelo a utilizar para la línea L será el de línea de longitud media como se ve en la Fig. 8. r Zs r Zp

r Zp

2

2

Fig. 8: Modelo de línea de longitud media.

a)

Identificación de subsistemas: Existe un transformador, por lo tanto hay dos subsistemas en la red como se muestra en la Fig. 9. Subsistema I G

A

Subsistema II T

C

D L

Yd1

r N = 300 + j100 MVA

VD = 380 kV

Fig. 9: División del sistema eléctrico en subsistemas.

b)

Elección de la potencia base: Puesto que las potencias nominales de ambas máquinas (generador y transformador) son 300 MVA podríamos asumir esta potencia como la potencia base. Para realizar cálculos más rápido asumiremos que la potencia base para el sistema será de Nb = 100 MVA.

c)

Cálculo de los valores base para los subsistemas: Como dato del problema tenemos la tensión en el punto D al final de la línea. Aprovecharemos este dato y elegimos este valor como base de tensión en el subsistema II. VbII = 380 kV La tensión en el subsistema I lo hallamos según la relación de tensiones del transformador T. Asimismo hallamos las corrientes e impedancias base para ambos subsistemas.

 13,2 kV   13,2 kV   = (380 kV )  = 12,54 kV VbI = VbII   400 kV   400 kV  Nb 100 MVA I bI = = = 4 604 A 3 VbI 3 (12,54 kV )

10

Valores por unidad

I bII =

z bI =

z bII = d)

Nb 3 VbII

(VbI )2 Nb

(VbII )2 Nb

100 MVA

=

=

3 (480 kV )

(12,54 kV )2 100 MVA

=

(380 kV )2 100 MVA

= 151,93 A

= 1,573 Ω

= 1 444 Ω

Cálculo de valores p.u. de datos de problema: En este caso tenemos como datos la potencia y la tensión consumidas en el punto D al final de la línea L. r r& N D 300 + j100 MVA ND = = = 3 + j1 p.u . Nb 100 MVA r r& VD 380 kV VD = = = 1 p.u . VbII 380 kV

e)

Cambio de base de las impedancias de las máquinas y de las líneas. 2

x&T r z& s r z& s

 400 kV   100 MVA     = 0,0369 p . u . = (0,10 )  380 kV   300 MVA  9 + j105 Ω = = 0,0062 + j 0,0727 p . u . 1 444 Ω − j 2000Ω = = − j 1,385 p . u . 1 444 Ω

El circuito del sistema eléctrico expresado en valores por unidad se muestra en la Fig. 10.

A '’

C’

r& I3

D

r& N D = 3 + j 1p . u . r& ID r& V D = 1 ∠0 o p . u .

0,0062 + j 0,0727

j 0,0369

r& IL − j 1,385

r& I1

r& I2

− j 1,385

Fig. 10: Sistema en valores p.u.

11

Valores por unidad

f) Cálculo de tensiones y corrientes en el sistema en valores p.u.

r *  N&  r& I D =  rD  = 3 − j1 p.u .  V&   D  r& r& VD I2 = r = 0,722∠90 o p . u . = j 0,722 p . u & ZP 2 r& r& r& I L = I D + I 2 . = 3 − j 0,268 p . u = 3,012∠5,105 o p . u r& r& r& r& VC ' = V D + Z S I L = 1,060∠11,777 o p . u . r& r& VC ' I1 = r = 0,766∠101,777 o p . u . = −0,156 + j 0,750 p . u & ZP 2 r& r& r& I 3 = I L + I 1 = 2,844 − j 0.482 p . u = 2,884∠9,610 o p . u r& r& r& r& V A' = VC ' + X t I 3 = 1,070∠17,483o p . u .

g)

Cálculo de los valores de línea

Debemos primero tener en cuenta el grupo de conexión de los devanados de los transformadores. Por ejemplo para un transformador con conexión Yd1, los valores de fase del primario (en mayúsculas) adelantan 30° respecto a los valores del secundario (en minúsculas) como se ven en la Fig. 11.

U

u -30°

w W

V v

Fig. 11: Desfasamiento entre parámetros de fase para conexión Yd1

VP VY = = 1∠30 o V S V∆

12

Valores por unidad

3VP I P* = 3VS I S* *

 IP  V   = S = 1∠ − 30 o VP  IS  I P IY = = 1∠30 o I S V∆ En consecuencia, se introduce un desfase entre el primario respecto del secundario que es el mismo tanto para la tensión como para la corriente; en resumen podemos presentar distintas conexiones de transformadores con sus respectivos desfases como se muestra en la Fig. 12. Además de esto, debemos considerar que para pasar un valor de fase a un valor de línea se debe introducir un desfase de 30 grados (multiplicar por 1∠30 o ).

o

o

e j 30 : 1

e j 60 : 1

Yd1

Yd2

o

o

e j150 : 1

e j 210 : 1

Yd5

Yd7

1 : e j 30

o

Yd11 Fig. 12: Conexiones de transformadores y desfases entre arrollamientos primario y secundario.

La tensión de fase y de línea en D serán:

(

)

r r& V 380 V D ( f ) = V D ⋅ bII = 1,0∠0 o = 219,39∠0 o kV 3 3 r r& VD (l ) = VD ⋅ VbII ⋅ 1∠30 o = 1,0∠0 o (380) 1∠30 o = 380∠30 o kV

(

) (

)

(

)

La tensión de fase y de línea en C serán:

(

)

r r& V 380 VC ( f ) = VC ⋅ bII = 1,060∠11,777 o = 232,56∠0o kV 3 3 r r& o VC (l ) = VC ⋅ VbII ⋅ 1∠30 = 1,060∠11,777 o (380) 1∠30 o = 402,95∠30 o kV

(

) (

)

(

)

13

Valores por unidad

(

)

r r& I 3 = I 3 ⋅ I bII = 2,884∠9,610 o (151,93) = 438,17∠9,610 o A (lado de alta tensión)

r& VA o r& = 1∠30 V A' r& r& V  12,54  V A( f ) = V A' ⋅ bI ⋅ 1∠30 o = 1,070∠17,483o  (1∠30 ) = 7.75∠47,483o kV 3  3  r& r& o o V A( l ) = V A' ⋅ VbI ⋅ 1∠30 ⋅ 1∠30 = 1,070∠17,483o (12,54)(1∠30)(1∠30 )

(

)

(

)

= 13.42∠77,483 kV o

r& IA o r& = 1∠30 I3 r& r& r& I A = I A' ⋅ I bI ' ⋅ 1∠30 o = (2,884∠9,610 o )(4 604 )(1∠30 o ) = 13 277,94∠39,610 o A

(

)(

r N A = 3 V A( f ) I A* = 3 7.75∠47,483o 13 277,94∠ − 39,610 o r N A = 308,71 ∠7.873 MVA = 305,8 + j 42,3 MVA

)

Bibliografía GRAINGER, Jhon; STEVENSON, William. “Análisis de Sistemas eléctricos de potencia” 2da. Edición. Mc Graw Hill. 1996. PUMACAYO, Rafael. “Análisis de Sistemas Potencia: teoría y problemas resueltos”. s.e.

14