Capitulo1Mediciones

Mediciones La física es la ciencia más fundamental de las que estudian a la naturaleza, está relacionada con los principios básicos del universo. Es la base sobre la cual las otras ciencias - astronomía, geología, química – están sustentadas. Las cinco áreas de la física más importantes son: Mecánica clásica, que estudia el movimiento de los objetos que se mueven a velocidades que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz. Relatividad, que estudia objetos moviéndose a cualquier velocidad, aun aquellos cuya velocidad sea cercana a la de la luz. Termodinámica, que trata con el calor, la temperatura, y el comportamiento estadístico de grandes números de partículas. Electromagnetismo, que estudia los fenómenos eléctricos, magnéticos y los campos electromagnéticos. Mecánica cuántica, que estudia el comportamiento de las partículas a nivel microscópico y macroscópico. Como todas las ciencias, la física se basa en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. El objetivo principal de la física es utilizar las leyes fundamentales que gobiernan a los fenómenos naturales para desarrollar teorías que los expliquen y predigan los resultados futuros. Las leyes fundamentales utilizadas para desarrollar teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas, la herramienta que proporciona un puente entre la teoría y los fenómenos experimentales. Estándares de longitud, masa y tiempo. Las leyes de la física se expresan en términos de cantidades básicas. En mecánica las tres cantidades básicas son la longitud, la masa y el tiempo. Otras cantidades físicas como la energía, la fuerza, la velocidad, el volumen, la aceleración pueden ser expresadas en términos de esas tres cantidades básicas. El Sistema Internacional (SI) tiene siete unidades básicas que se describen en la tabla 1. Otras unidades, derivadas de las básicas, se muestran en la tabla 2.

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Sistema Internacional Tabla 1. Unidades Básicas en el SI Unidad de tiempo

El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Unidad de longitud El metro (m) es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del Unidad de masa kilogramo Unidad de El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que intensidad de manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una corriente eléctrica distancia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2 x 10-7 Newton por metro de longitud. Unidad de El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la temperatura fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto termodinámica triple del agua. Unidad de cantidad El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 de sustancia kilogramos de carbono 12.

Unidad de intensidad luminosa

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Tabla 2. Algunas unidades derivadas en el SI Expresión en términos de unidades Cantidad Nombre Símbolo básicas. Ángulo plano Radianes Rad M/m Frecuencia Hertz Hz s-1 kg.m/s2 Fuerza Newton N kg/m.s2 Presión Pascal Pa kg.m2/s2 Energía Joule J kg.m2/s3 Potencia Watt W A.s Carga eléctrica Coulomb C Kg.m2/A.s3 Potencial electrico (fem) Volt V A2.s4/kg.m2 Capacitancia Farad F Kg.m2/A2.s3 Resistencia eléctrica Ohm Ω Kg.m2/A.s2 Flujo magnético Weber Wb Kg/A.s2 Intensidad de campo magnético Tesla T Kg.m2/A2.s2 Inductancia Henry H 2

Expresión en términos de otras unidades del SI J/m N/m2 N.m J/s W/A C/V V/A V.s Wb/m2 Wb/A

Además del SI, aun se utilizan otros sistemas de unidades. Los más importantes son el cgs, que fue utilizado en Europa principalmente antes del SI, y el British Engineering System (BES), utilizado en USA e Inglaterra a pesar de la aceptación en el resto del mundo del SI. • •

En el sistema cgs, las unidades para la longitud, la masa y el tiempo son el centímetro (cm), el gramo (gr) y el segundo (s). En el sistema ingles las unidades son el pie (foot), la libra (slug) y el segundo.

Aunque el SI se acepta universalmente, el uso de los otros sistemas requiere conversión de unidades de un sistema a otro. Tabla 3. Valores aproximados de algunas distancias Longitud (m) Un año luz 9.46x1015 Radio medio de la orbita alrededor del sol 1.5x1011 Distancia media de la tierra a la luna 3.8x108 Distancia del ecuador al polo norte 1x107 6.4x106 Radio medio de la tierra 2x105 Altura típica de los satélites que orbitan la tierra 9.1x101 Longitud de un campo de football 1x10-4 Tamaño de una partícula de polvo 1x10-5 Tamaño de una célula 1x10-10 Diámetro del átomo de hidrógeno 1x10-14 Diámetro de un núcleo atómico 1x10-15 Diámetro de un protón

Tabla 4. Masa de algunos cuerpos Masa aproximada (kg) Universo 1x1052 7x1041 Galaxia vía láctea Sol 2x1030 6x1024 Tierra 7x1022 Luna 1x103 Caballo 7x101 Humano 1x10-1 Sapo 1x10-5 Mosquito 1x10-15 Bacteria 1.67x10-27 Átomo de hidrógeno 9.11x10-31 Electrón

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Tabla 5. Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo Intervalo (s) Edad del universo 5 x 1017 Edad de la tierra 1.3 x 1017 Edad promedio de un estudiante 6.3 x 108 Un año 3.2 x 107 8.6 x 104 Un día Tiempo entre dos latidos del corazón 8 x 10-1 1 x 10-3 Periodo de una onda de sonido audible 1 x 10-6 Periodo de una onda de radio típica 1 x 10-13 Periodo de una vibración de un átomo en un sólido 1 x 10-15 Periodo de una onda de luz visible 1 x 10-22 Duración de una colisión atómica 3.3 x 10-24 Tiempo para que la luz atraviese un protón

Los bloques constitutivos de la materia Un modelo sencillo del átomo consiste en verlo como un sistema solar en miniatura cuyo núcleo cargado positivamente ocupa la posición del Sol y los electrones, cargados negativamente, orbitan como los planetas. Este modelo del átomo nos permite entender algunas propiedades de los átomos más simples, como el del hidrógeno, pero fracasa al explicar muchos detalles de la estructura atómica. Tabla 6. Densidad de diversas sustancias Sustancia Densidad (kg/m3) Oro 19.3 x 103 18.7 x 103 Uranio 11.3 x 103 Plomo 8.93 x 103 Cobre 7.86 x 103 Hierro 2.70 x 103 Aluminio 1.75 x 103 Magnesio 1.00 x 103 Agua 0.0012 x 103 Aire Después del descubrimiento del núcleo, a principios del siglo XX, surgió la pregunta: ¿Tiene estructura el núcleo? Es decir, ¿el núcleo es una sola partícula o una colección de partículas? Los moradores del núcleo son dos entidades básicas: el protón y el neutrón. El protón porta una carga positiva, y un elemento específico se identifica por el número de protones en su núcleo. • • •

Por ejemplo, el núcleo de un átomo de hidrógeno contiene un protón, El átomo de helio contiene dos protones y El núcleo de un átomo de uranio contiene 92 protones.

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La existencia de los neutrones fue verificada concluyentemente en 1932. Un neutrón no tiene carga y su masa es aproximadamente igual a la de un protón. Una de las tareas fundamentales del neutrón es actuar como "pegamento" para mantener unido al núcleo. Si los neutrones no estuvieran presentes en el núcleo, la fuerza repulsiva entre las protones cargadas positivamente causaría la desintegración del núcleo. Un átomo no ionizado, además de los protones y neutrones, fuera de su núcleo tiene un número de electrones en la misma cantidad que el número de protones de su núcleo.

Densidad y masa atómica Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad, ρ , definida como la masa por unidad de volumen, m (1.1) ρ= V La masa de 12C se define exactamente igual a 12 unidades de masa atómica (u) donde 1 u = 1.6605402 x 10-27 kg. En estas unidades el protón y el neutrón tienen masas de aproximadamente 1 u. • •

La masa del protón = 1.0073 u, La masa del neutrón = 1.0087 u.

Un mol de una sustancia es aquella cantidad de dicha sustancia que contiene el número de Abogadro (NA) de moléculas. NA = 6.02 x 1023 moléculas/mol. Por ejemplo, un mol de aluminio tiene una masa de 27 g, y un mol de plomo tiene una masa de 207 g. Sin embargo, un mol de aluminio contiene el mismo número de átomos que un mol de plomo, puesto que hay 6.02 x 1023 átomos en un mol de cualquier elemento. La masa por átomo para cualquier elemento está dada por, mátomo = (masa atómica del elemento)/NA Por ejemplo, la masa de un átomo de aluminio es, m Al =

27 g / mol = 4.5 x10 − 23 g / átomo 6.02 x10 − 23 átomos / mol

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Nótese que 1 u es igual a NA-1 g.

Análisis dimensional La palabra dimensión tiene un significado especial en física. Suele significar la naturaleza física de una cantidad. Ya sea que se mida una distancia en pies o en metros, se trata de una distancia. Se dice que su dimensión es la longitud. A menudo se emplean corchetes [ ] para indicar las dimensiones de una cantidad física. Por ejemplo, el símbolo utilizado para la velocidad es v y las dimensiones de velocidad se escriben [v] = L/T. El análisis dimensional aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Es decir, las cantidades pueden sumarse o restarse solo si tienen las mismas dimensiones. Asimismo, los términos en ambos lados de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Para ilustrar este procedimiento, supóngase que se desea obtener una fórmula para la distancia x recorrida por un carro en un tiempo t si el carro parte del reposo y se mueve con aceleración constante a. La expresión correcta es x =0.5at2. Se utilizará el análisis dimensional para comprobar la validez de esta expresión. La cantidad x en el lado izquierdo tiene la dimensión de longitud. Para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, la cantidad en el lado derecho también debe tener esa misma dimensión. Se puede efectuar una comprobación dimensional al sustituir las dimensiones de la aceleración, L/T2 y el tiempo, T, en la ecuación. Es decir, la forma dimensional de la ecuación x = 0.5at2 es L = (L/T2)T2 = L En el lado derecho de la ecuación las unidades de tiempo se cancelan, y queda la unidad de longitud. Un procedimiento más general es escribir una expresión de la forma x ~ an tm donde n y m son exponentes que deben determinarse, y el símbolo ~ indica una proporcionalidad. Esta relación es correcta solo si las dimensiones de ambos lados son iguales. Puesto que la dimensión del lado izquierdo es longitud, la dimensión del lado derecho también debe serlo. Es decir, [antm] = L = LT0

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En vista de que la dimensiones de la aceleración son L/T2 y la dimensión de tiempo es T, se tiene (L/T2)nTm = L o bien LnTm-2n = L Como los exponentes de L y T deben ser los mismos en ambos lados, se ve que n = 1 y m = 2. En consecuencia, se concluye que x ~ at2. Este resultado difiere en un factor de 2 de la expresión correcta, la cual es x ~ 0.5at2. Debido a que el factor 0.5 es adimensional, no hay forma de determinarlo vía análisis dimensional.

Mediciones ¿Qué es una Medición? Una medición es el resultado de una operación humana de observación mediante la cual se compara una magnitud con un patrón de referencia.

Figura 1. Medición con una regla.

Requerimientos para los patrones de medida • •

que sean reproducibles, que sean invariantes.

Las fuentes de Incertidumbre dependen de: • • • •

la naturaleza de la magnitud que se mide, el instrumento de medición, el observador, las condiciones externas.

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Errores accidentales o aleatorios son aquellos que aparecen cuando mediciones repetidas de la misma variable dan valores diferentes, con igual probabilidad de estar por arriba o por debajo del valor real. Cuando la dispersión de las medidas es pequeña se dice que la medida es precisa. Errores sistemáticos son aquellos que aparecen como una desviación constante de todas las medidas ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibración del instrumento de medición. La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100% de precisión.

Incertidumbre en medidas no-reproducibles Cuando se hacen repeticiones de una medida y estas resultan diferentes, con valores x1 , x 2 , x 3 ,⋅ ⋅ ⋅⋅, x N , surgen las preguntas: • •

¿Cuál es el valor que se reporta? ¿Qué incertidumbre se asigna al valor reportado?

Medidas de tendencia central El promedio x=

( x1 + x 2

+ x 3 + ... + x N ) = N

∑x

i

N

(1.2)

La mediana Cuando se tiene un numero impar de mediciones,

mediana = x N + 1

(1.3)

2

Cuando se tiene un numero par de mediciones, xN + xN mediana =

2

2

+1

2

(1.4)

La moda es aquella medición que se repite con más frecuencia.

Medidas de dispersión Los indicadores más utilizados para representar la dispersión de un conjunto de datos son la desviación media y la desviación estándar.

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La desviación media δ=

∑x

i

-x

(1.5)

N

La desviación estándar

σ=

∑(x

i

- x)

2

N-1

(1.6)

Regla para expresar una medida Toda medida ya sea reproducible o no, debe de ir seguida por la unidad de la variable que se mide y se expresa de la forma (1.7) x ± δx [unidades] donde x representa el valor central de la medición y se calcula mediante la ecuación (1.2). δx representa la incertidumbre y se calcula mediante la ecuación (1.6). De manera que se entienda que la medición está comprendida dentro del intervalo [ x - δx , x + δx ]. Ejemplo: volumen = 48.0 ± 0.5 ml significa que que la medición del volumen esta comprendida en el intervalo [47.5, 48.5] ml.

Representación absoluta y relativa de la incertidumbre Tomando en cuenta que δx representa la incertidumbre absoluta y x representa el valor central de la medición, entonces δx (1.8) x representa la incertidumbre relativa al valor central y δx 100% x

(1.9)

representa la incertidumbre relativa porcentual. Ejemplo: Longitud = 216.0 ± 0.5 mm Longitud = 216.0 mm ± 0.2 %.

Mediciones directas e indirectas A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de

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mediciones directas se les denomina mediciones indirectas. En las mediciones indirectas, la incertidumbre se propaga.

Propagación de la incertidumbre En la suma y la diferencia ∆w = δq + δr Ejemplo, (62.03 ± 0.01) + (1.7± 0.1) = 63.7 ± 0.11.

 δq δr  En el producto y en el cociente δw = w  +  r   q Ejemplos:

(1.317 ± 0.001)( 2.7 ± 0.1) = 3.5559 ± 3.5559 

0.001 0.1  +  = 3.6 ± 0.1  1.317 2.7 

46.5 ± 0.1  0.1 0.1  = 35.76923077 ± 35.76923077  +  = 35.8 ± 2.8 1.3 ± 0.1  46.5 1.3 

Cifras significativas Cuando se mide la magnitud de una variable, su valor se puede conocer solo hasta los límites de la incertidumbre experimental. El valor de la incertidumbre depende de varios factores, como la calidad del aparato, la habilidad del experimentador y el número de mediciones efectuadas. Supóngase que en un experimento en el laboratorio se nos pide medir el área de una placa rectangular con una regla métrica como instrumento de medición. Supóngase también que la precisión hasta la cual se puede hacer una medición particular de la placa es ± 0.1 cm. Si la longitud de la placa es 16.3 cm, se puede afirmar que su longitud se encuentra entre 16.2 cm y 16.4 cm. En este caso se dice que el valor medido tiene tres cifras significativas. De igual manera, si se encuentra que su ancho mide 4.5 cm el valor real se encuentra entre 4.4 cm y 4.6 cm. Este valor medido solo tiene dos cifras significativas. Nótese que las cifras significativas incluyen el primer dígito estimado. Así, se podrían escribir los valores medidos como 16.3 ± 0.1 cm y 4.5 ± 0.1 cm. Supóngase ahora que se calcula el área de la placa mediante la multiplicación de los dos valores medidos. Si se afirmara que el área es (16.3 cm) x (4.5 cm) = 73.35 cm2 la respuesta no tendría justificación debido a que contiene cuatro cifras significativas, un número de cifras significativas mayor que en cualesquiera de las longitudes medidas. Una buena regla práctica para usarse como guía en la determinación del número de cifras significativas es la siguiente:

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Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas en el resultado, es el mismo que el número de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde "menos precisa" significa "tener el número menor de cifras significativas". La misma regla se aplica a la división. Al aplicar esta regla al ejemplo de multiplicación anterior, se ve que la respuesta para el área solo puede tener dos cifras significativas pues la longitud de 4.5 cm tiene únicamente dos cifras significativas. Por consiguiente, todo lo que se puede afirmar es que el área es de 73 cm2, reconociendo que el valor puede variar entre 71 cm2 (= 16.2 cm x 4.4 cm) y 75 cm2 (= 16.4 cm x 4.6 cm). Los ceros no siempre representan cifras significativas. Los utilizados para colocar el punto decimal en números como 0.03 y 0.0075 no representan cifras significativas. En este caso hay una y dos cifras significativas, respectivamente. Cuando la posición de los ceros viene después de otros dígitos hay la posibilidad de una interpretación incorrecta. Por ejemplo, supóngase que la masa de un objeto es de 1500 g. Este valor es ambiguo debido a que no se sabe si los dos últimos ceros se utilizan para localizar el punto decimal o si ellos representan cifras significativas en la medición. Con el fin de eliminar esta ambigüedad, es común utilizar la notación científica para indicar el número de cifras significativas. En este caso, se podría expresar la masa como 1.5 x 103 si hubiera dos cifras significativas, 1.50 x 103 si hubiera tres cifras significativas y 1.500 x 103 si hubiera cuatro. Del mismo modo, 0.00015 debe expresarse en notación científica como 1.5 x 10-4 si tuviera dos cifras significativas o como 1.50 x 10-4 si tuviera tres. Los tres ceros entre el punto decimal y el dígito 1 en el numero 0.00015 no se cuentan como cifras significativas porque solo están presentes para ubicar el punto decimal. En general, una cifra significativa es un dígito conocido confiablemente. En la adición y la sustracción, el número de lugares decimales debe considerarse cuando se determina cuántas cifras significativas se van a indicar. Cuando se suman o restan números, el número de decimales en el resultado debe ser igual al número más pequeño de decimales en cualquier término de la suma. Por ejemplo, al sumar 123 + 5.35, la respuesta seria 128 y no 128.35. En la suma 1.0001 + 0.0003 = 1.0004, el resultado tiene cinco cifras significativas, aun cuando uno de los términos en la suma, 0.0003, solo tiene una cifra significativa. De igual modo, en la sustracción 1.002 - 0.998 = 0.004, el resultado tiene solo una cifra significativa aunque un término tiene cuatro cifras significativas y el otro tiene tres. La mayor parte de los ejemplos numéricos y los problemas propuestos producirán respuestas con dos o tres cifras significativas.

Redondeo de cifras significativas Para eliminar las cifras no significativas se lleva a cabo un proceso de redondeo de acuerdo a la siguiente regla:

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• •

Si la última cifra es menor que cinco, se suprime Si la última cifra es mayor o igual que cinco, se suprime la última y la anterior se incrementa en uno.

Ejemplos: 7.83 se redondea a 7.8; 3.14159 se redondea a 3.1416 y 0.35 se redondea a 0.4.

Relación entre cifras significativas e incertidumbre La incertidumbre fraccional está directamente relacionada con las cifras significativas. Considérese, por ejemplo, los números 10 y 9900 con dos cifras significativas. El 10 con dos cifras significativas significa 10 ± 0.5 = 10 ± 5% El número 9900 con dos cifras significativas significa 9900 ± 50 = 9900 ± 0.5 % Lo anterior muestra que, cuando se tiene dos cifras significativas, la incertidumbre fraccional ésta comprendida entre el 5% y el 0.5%. La siguiente tabla muestra la relación entre el número de cifras significativas y la incertidumbre fraccional correspondiente. Tabla 7. Correspondencia entre cifras significativas e incertidumbre fraccional Número de cifras Incertidumbre fraccional Significativas Correspondiente 1 5% - 50% 2 0.5% - 5% 3 0.05% - 0.5% 4 0.005% - 0.05%

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Formulario Densidad Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad, ρ definida como la masa por unidad de volumen, m ρ= V

Masa atómica La masa por átomo para cualquier elemento está dada por, mátomo = (masa atómica del elemento)/NA donde NA = 6.02 x 1023 moléculas/mol es el numero de Abogadro. La masa de donde

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C se define exactamente igual a 12 unidades de masa atómica (u)

1 u = 1.6605402 x 10-27 kg. Un mol de una sustancia es aquella cantidad de dicha sustancia que contiene el número de Abogadro (NA) de moléculas.

El promedio Si se tienen N mediciones

x=

( x1 + x 2 + x 3 + ... + x N ) N

=

∑x

i

N

La mediana Cuando se tiene un número impar de mediciones,

mediana = x N + 1 2

Cuando se tiene un número par de mediciones, xN + xN mediana =

La

2

2

+1

2 moda es aquella medición que se repite con más frecuencia.

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La desviación media δ=

∑x

i

-x

N

La desviación estándar σ=

∑(x

i

- x)

2

N-1

Regla para expresar una medida Toda medida se expresa de la forma x ± δx [unidades]

donde x representa el valor central de la medición y δx representa su incertidumbre.

Incertidumbre relativa

δx x

δx representa la incertidumbre absoluta y x representa el valor central de la medición,

Incertidumbre relativa porcentual

δx 100% x

Mediciones directas e indirectas A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de mediciones directas se les denomina mediciones indirectas. En las mediciones indirectas, la incertidumbre se propaga.

Propagación de la incertidumbre En la suma y la diferencia ∆w = δq + δr

 δq δr  En el producto y en el cociente δw = w  +  r   q

Cifras significativas 14

Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas en el resultado, es el mismo que el número de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde "menos precisa" significa "tener el número menor de cifras significativas". La misma regla se aplica a la división.

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PROBLEMAS 1. Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5.00 cm de lado y cuya masa es de 350 g. Solución: ρ=

m 0.350 = 2,800 kg/m3 = 2.8 g/cm3 = v 125×10 -6

2. La masa de Saturno es de 5.64 x 1026 kg y su radio es 6.00 x 107 m. (a) Calcule su densidad. (b) Si el planeta se colocara en un océano suficientemente grande, ¿flotaría? Explique. Solución: (a) La densidad de Saturno: m 5.64×10 26 = 0.0062x105 kg/m3 = 0.62 x 103 kg/m3 ρ= = 7 3 4 v (3.1416)(6×10 ) 3 (b) La densidad del agua = 1.00 x 103 kg/m3. Saturno si flotaría en el agua porque la densidad de saturno es menor que la densidad del agua. 3. ¿Cuántos gramos de cobre se requieren para construir un cascarón esférico hueco con un radio interior de 5.70 cm y un radio exterior de 5.75 cm? La densidad del cobre es 8.93 g/cm3. Solución: 4 π(r 3 - r 3 ) = (4/3) x (3.1416)(5.753 – 5.73) = 20.6 cm3. 2 3 1 Peso del cascarón = (densidad) x (VC) = (8.93g/cm3) x (20.6 cm3) = 183.9 g.

Vol. cascarón = VC =

4. El radio de Júpiter es, en promedio, 10.95 veces el radio promedio de la Tierra y una masa 317.4 veces la de nuestro planeta. Calcule la proporción de la densidad de masa de Júpiter y la densidad de masa de la Tierra. Solución: ρ J = 0.241

mT = 0.241ρ T vT

5. Calcule la masa de un átomo de (a) helio, (b) hierro y (c) plomo. En sus respuestas utilice unidades de masa atómica y gramos. Las masas atómicas para los átomos indicados son 4, 56 y 207, respectivamente. 16

Solución: (a) mátomo = (masa atómica)/NA = 4/(6.02 x 1023) = 0.6 x 10-23 g/átomo (b) mátomo = (masa atómica)/NA = 56/(6.02 x 1023) = 9.3 x 10-23 g/átomo (c) mátomo = (masa atómica)/NA = 207/(6.02 x 1023) = 33.4 x 10-23 g/átomo 6. Un pequeño cubo de hierro se observa en el microscopio. La arista del cubo mide 5.00 x l0-6 cm. Encuentre (a) la masa del cubo, y (b) el número de átomos de hierro en el cubo. La masa atómica del hierro es 56 u y su densidad es 7.86 g/ cm3. Solución: (a) Masa = ρV = (7.86 g/cm3) x (5 x 10-6 cm)3 = 982.5 x 10-6 g = 9.8 x 10-4 g. (b) La masa de un átomo de hierro es: mátomo = (masa atómica del elemento)/NA = 56/(6.02 x 1023) = 9.3 x 10-23 g/átomo Numero de átomos = Masa/ mátomo = (9.8 x 10-4)/(9.3 x 10-23) = 1.05 x 1019 átomos. 7. Una viga estructural construida con acero, cuya densidad es 7.56 x 103 kg/m3, tiene una sección transversal y dimensiones como se muestran en la figura. (a) ¿cuál es la masa de una sección de 1.5 m de largo? (b) ¿cuántos átomos hay en esta sección?

Análisis dimensional 8. Muestre que la expresión x = vt + at2/2 es dimensionalmente correcta, en la cual x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es la velocidad, a es la aceleración y t es el tiempo. Solución: La ecuación en función de las unidades es: [m] = [(m/s)s] + [(m/s2)s2] = [m] + [m] 9. El desplazamiento de una partícula, cuando se mueve bajo aceleración uniforme, se describe como una función del tiempo transcurrido y de la aceleración. Suponga que este desplazamiento se escribe, donde k es una

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constante adimensional. Muestre mediante análisis dimensional que esta expresión se satisface si m = I y n = 2. ¿Este análisis puede brindar el valor de k? Solución: La ecuación s = kamtn puede expresarse en función de las unidades, sin incluir ninguna unidad para k, pues es adimensional: [m] = [][m/s2]m[s]n = (mm/s2m)sn = mmsn-2m. Para que esta expresión tenga unidades de longitud, se debe de tener que m = 1 y n = 2. 10. El cuadrado de la velocidad de un objeto sometido a una aceleración uniforme es una función de la aceleración a y del desplazamiento s, según la expresión v2 = kamsn, donde k es una constante adimensional. Mediante análisis dimensional muestre que esta expresión se satisface sólo si m = n = 1. Solución: La ecuación v2 = kamsn puede expresarse en función de las unidades, sin incluir ninguna unidad para k, pues es adimensional: [m/s]2 = [][m/s2]m[m]n = (mm/s2m)mn = mm + n/s2m. Para que esta expresión tenga unidades de [m/s]2, se debe de tener que m = 1 y n = 1. 11. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes es dimensionalmente correcta? (a) v = v0 + ax (b) y = (2 m) cos (kx), donde k = 2m-1 Solución: (a) Expresamos la ecuación v = v0 + ax en función de sus unidades como sigue: [m/s] = [m/s] + [m/s2][m] = [m/s] + [m/s]2. Los dos últimos términos no tienen las mismas unidades, por lo que la ecuación es dimensionalmente incorrecta. (b) Expresamos la ecuación y = (2 m) cos (kx) en función de sus unidades como sigue: [m] = [m]cos([(2/m)(m)]) = [m] cos[2]. Dimensionalmente es correcta, ya que el argumento del coseno es un número adimensional, como debe de ser. 12. El periodo T de un péndulo simple se mide en unidades de tiempo y es

T = 2π

l g

donde l es la longitud del péndulo y g es la aceleración en caída libre en unidades de longitud dividida entre el cuadrado del tiempo. Demuestre que esta ecuación es dimensionalmente correcta. 18

Solución: Expresamos la ecuación T = 2π

l en función de sus unidades como sigue: g

[s] = ([m]/[m/s2])1/2 = [ms2/m]1/2 = [s2]1/2 = [s]. En efecto, la ecuación es dimensionalmente correcta. 13. El volumen de un objeto como una función del tiempo se calcula por medio de la formula V = -At3 + B/t, donde t es el tiempo medido en segundos y V está en metros cúbicos. Determine las dimensiones de las constantes A y B. Solución: Expresamos la ecuación V = -At3 + B/t en función de sus unidades como sigue: [m3] = -A[s]3 + B/[s]. Las dimensiones del termino -A[s]3 deben de ser [m3], por lo que las unidades de A son [m3/s3]. Por otro lado, las unidades del termino B/[s] deben de ser también [m3], por lo que las unidades de B son [m3s] 14. La ley de Newton de la gravitación universal es

F=G

m1m 2 r2

En la cual F es la fuerza de la gravedad, M y m son las masas y r es la distancia entre las masas. La fuerza tiene las unidades kgm/s2 en el SI. ¿Cuáles son las unidades de la constante G en el SI? Solución: Despejando G se obtiene

G=

Fr 2 = [kgm/s2][m2][kg-1][kg-1] = [kg-1][m3s-2] = [kg-1m3s-2] m1m 2

15. Considerando que 1 pulg = 2.54 cm y 1 cm = 10-2 m, convierta el volumen 8.50 pulg3 en m3. Solución: 8.5 pulg3 = 8.5 (0.0254 m)3 = 1.39 x 10-4 m3 16. Un lote de construcción rectangular mide 100.0 pies por 150.0 pies. Determine el área de este lote en m2.

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Área = (100)(150) pies2 = 15,000 pies2 = 15,000 (0.09290304) m2 = 1,393.5 m2 17. Un salón de clases mide 40.0 m x 20.0 m x 3.0 m. La densidad del aire es 1.29 kg/m3. ¿Cuáles son (a) el volumen del cuarto en pies cúbicos, y (b) el peso en libras del aire en el cuarto? Solución: (a) El volumen = 40 x 20 x 3 = 2400 m3 = 2400 m3 x (3.28 pies/m)3 = 84588.6 pies3 (b) El peso del aire = 2400 m3 x 1.29 kg/m3 = 3096 kg = 3096 kg x (2.2 libras/kg) = 6819.4 libras. 18. Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 m3. De acuerdo con estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI (kg/m3). Solución: ρ=

m 0.02394kg = = 0.0114kg/m 3 3 v 2.10m

19. Una unidad astronómica (UA) se define como la distancia promedio entre la Tierra y el Sol. (a) ¿Cuántas UAs hay en un año luz? (b) Determine la distancia de la Tierra a la galaxia de Andrómeda en UAs. Solución: (a) 1 UA = 1.5 x 1011 m, 1 m = UA/1.5 x 1011 = 0.666 x 10-11 UA 1 año luz = 9.46 x 1015 m = 9.46 x 1015 m x (0.666 x 10-11 UA/m) = 6.3 x 104 UA. (b) Distancia de la tierra a la galaxia M 31en Andrómeda = 2 x 1022 m = 2 x 1022 m x (0.666 x 10-11 UA/m) = 1.3 x 1011 UA. 20. La masa del Sol es aproximadamente 1.99 x 1050 kg, y la masa del átomo de hidrogeno, del cual está compuesto principalmente el Sol, es 1.67 x 10-27 kg. ¿Cuántos átomos hay en el Sol? Número de átomos = (masa del sol)/(masa del átomo hidrógeno) = (1.99 x 1050)/(1.67 x 10-27) = 1.2 x 1077 átomos de hidrógeno. 21. (a) Encuentre un factor de conversión para convertir mi/hr a km/h. (b) Hasta hace poco, la ley federal en Estados Unidos ordenaba que las velocidades en las autopistas serían de 55 mi/h. Con el factor de conversión del inciso (a) encuentre esta velocidad en km/h. (c) La velocidad máxima en una autopista se ha

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incrementado hasta 65 mi/h en algunos lugares. ¿Cuál es el incremento respecto del límite de 55 mi/h en km/h?, Solución: (a) mi/hr = 1.609 km/hr (b) 55 mi/hr = 55(1.609 km)/hr = 88.5 km/hr (c) incremento = 65/55 = 1.2 22. (a) ¿cuántos segundos hay en un año? (b) Si un micro meteorito (una esfera con un diámetro de 1.00 x I0-6 m) golpea cada metro cuadrado de la Luna cada segundo, ¿cuántos años se necesitaran para cubrir la superficie de la Luna con una capa de 1.00 m? (Sugerencia: Considere una caja cúbica sobre la Luna de 1.00 m de lado, y encuentre cuanto llevaría llenarla.) Solución: (a) 1 año = (365día)(24hr/día)(60min/hr)(60 s/min) =31,536,000 segundos (b) Superficie de la luna = 4πR 2 = 4 x (3.1416) x (1.74 x 106 m)2 = 38 x 1012 m2. Caja cúbica de 1 metro sobre la luna = 38 x 1012 m3. 4 4 Volumen de meteorito = πr 3 = (3.1416)(0.5×10-6 )3 = 0.5 x 10-18 m3 3 3 18 1 10 1m3 = meteoritos = meteoritos = 2 x 1019 meteoritos. −18 0.5 × 10 0.5 Numero de esferas para cubrir la luna con 1 metro de partículas = (38 x 1012 m3) x (2 x 1019 esferas/m3) = 76 x 1031 meteoritos. Tiempo requerido = 76 x 1031 meteoritos x (1s/meteorito) = 76 x 1031s = 76 x 1031 s x (1 año/3.2 x 107 s) = 23.75 x 1024 años 23. Un galón de pintura (volumen = 3.78 x 10-3 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el espesor de la pintura en la pared? Solución: Espesor = volumen/área = 3.78 x 10-3/25 = 0.15 x 10-3 m = 0.15 mm. 24. Suponiendo que 70 por ciento de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra en kilogramos. Solución: Masa = ρV

ρ = 1×103 kg/m3

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Volumen de agua, V = (0.7)(4πR T 2 )(1609m) El radio de la tierra, RT = 6.4 x 106 m V = (0.7)(4)(3.1416)(6.4×106 ) 2 (1609)m3 = 579,727.49 x 1012 m3 = 5.8 x 1017m3 Masa del agua = 5.8 x 1020 kg. 25. El diámetro de nuestra galaxia en forma de disco, la Vía Láctea, es aproximadamente de 1.0 x 105 años luz. La distancia a Andrómeda, la galaxia más cercana a nuestra galaxia es aproximadamente de 2.0 millones de años luz. Si la Vía Láctea se representara con un plato de 25 cm de diámetro, ¿cuál sería la distancia al siguiente plato? Solución: 1 año = (365)(24)(60)(60 s) =31,536,000 segundos 1 año luz = 9.46 x 1015 m Diámetro de la Vía Láctea = (1.0 x 105)(9.46 x 1015 m) = 9.46 x 1020 m Distancia a Andrómeda = (2 x 106)(9.46 x 1015 m) = 18.92 x 1021 m ≈ 1.9 x 1022 m 1.9×1022 ×25cm = 500 cm. Distancia al siguiente plato = 9.46×1020 26. El radio medio de la Tierra es 6.37 x 106 m y el de la Luna es de 1.74 x 108 cm. Con estos datos calcule (a) la .proporción entre el área superficial de la Tierra y la de la Luna y (b) la proporción de volúmenes de la Tierra y de la Luna. Recuerde 4 que el área de la superficie de una esfera es 4πr 2 y su volumen es πr 3 . 3 Solución: (a) (Área tierra)/(área luna) = (6.37 x 106/1.74 x 106)2 = 13.4 (b) (Vol tierra)/(vol luna) = (6.37 x 106/1.74 x 106)3 = 49.06 27. A partir de que la densidad promedio de la Tierra es 5.5 g/cm3 y de que su radio medio es 6.37 x 106 m, calcule la masa de la Tierra. Solución: 4 3 6 3 3 18 3 21 3 πr = (4/3)(3.1416)6.37 x 10 ) m = 1082.7 x 10 m = 1.1 x 10 m . 3 M = (densidad)(vol) = (5.5g/cm3)(1.1 x 1021 m3) = (5500 kg/m3) x (1.1 x 1021 m3) = 6050 x 1021 kg.

Volumen =

28. Suponga que una película de aceite se compone de una sola capa de moléculas y que cada molécula ocupa un cubo de 1.0 nm por lado. Determine el área de una película de aceite formada por 1.0 m3 de aceite. Solución:

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Área = vol/superficie = (1.0 x 109 nm)3/(1.0 nm) = 1027(nm)2 = 109 m2 29. Un metro cúbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70 X 103 kg, y 1.00 m3 de hierro tiene una masa de 7.86 X 103 kg. Encuentre el radio de una esfera de aluminio que se equilibre con una esfera de hierro de 2.00 cm de radio en una balanza de brazos iguales. Solución: Los pesos deben de ser iguales, implica que ρ

El volumen del aluminio

V =ρ V Al Al He He

ρ V = He V Al He ρ Al

El radio de la esfera de aluminio es

ρ r = 3 He r Al He ρ Al

= (7.86/2.7)

1/3

x ( 2.0 cm) = 2.86 cm

30. La densidad del aluminio se representa por ρAl y ρFe representa la del hierro. Encuentre el radio de una esfera sólida de aluminio que se equilibra con una esfera sólida de hierro de radio rFe en una balanza de brazos iguales. Solución: Los pesos deben de ser iguales, implica que

ρ El volumen del aluminio

V =ρ V Al Al He He ρ V = He V Al He ρ Al

El radio de la esfera de aluminio es

ρ r = 3 He r Al He ρ Al Cálculos de orden de magnitud

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31. Considere 60 latidos del corazón humano por minuto y calcule el número de latidos durante una vida promedio de 70 años. Latidos en una vida promedio = (70)(365)(24)(60)(60) = 2,207,520,000 Latidos. 32. La distancia de la Tierra a la Luna se midió utilizando un radar. Si el viaje redondo de la Tierra a la Luna le toma al haz del radar 2.56 s, ¿cuál es la distancia de la Tierra a la Luna? (La velocidad de las ondas de radar es 3.00 x 108 m/s.) Solución Distancia = (0.5) x (3 x 108)(2.56) m = 3.84 x 108 m = 3.84 x 105 km. 33. Una fuente de agua se localiza en el centro de un estanque, como el de la figura. Un estudiante camina alrededor y calcula que la circunferencia del estanque es de 150 m. Después, el estudiante encuentra que el ángulo de elevación de la parte superior de la fuente es de 55°. ¿Qué tan alta es la

fuente? Solución: Altura de la fuente = (150/(2x3.1416))tan(55o) = 34.1 m. 34. Suponga que usted ve cada lanzamiento de todos los juegos (162) de una temporada de béisbol de Ligas Mayores de su equipo favorito. ¿Aproximadamente cuantos lanzamientos vería usted? Solución: Cada pitcher lanza alrededor de 125 lanzamientos. Número total de lanzamientos = (162)(250) = 40,500 lanzamientos.

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35. Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: a) 23 cm, b) 3.589 s, c) 4.67 X 103 m/s, d) 0.0032 m. Solución: a) b) c) d)

2 4 3 4

36. Si el radio de un círculo es 10.5 ± 0.2 m, calcule (a) el área, y (b) la circunferencia del círculo, y dé la incertidumbre de cada valor. Solución: (a) El área del círculo es A = πr 2 . La incertidumbre del área

∆A ∆r =2 A r

A = πr 2 ± ∆A = 346.36 ± 13.2 = 346.3 ± 13.2 m2

(b) Perímetro = P = 2πr . La incertidumbre del perímetro ∆P = 2π∆r . Por lo tanto, el perímetro con incertidumbre resulta ser = 2(3.1416)(10.6 ± 0.2) = 66.6 ± 1.26 = 66.6 ± 1.3 m. 37. Si el largo y el ancho de una placa rectangular miden (15.30 ± 0.05) cm y (12.80 ± 0.05) cm, respectivamente, encuentre el área de la placa y la incertidumbre aproximada en el área calculada. 38. Si el radio de una esfera sólida es (6.50 ± 0.20) cm, y su masa es 1.85 ± 0.02 kg, determine la densidad de la esfera en kg/m3 y la incertidumbre en la densidad. Solución: m ∆ρ ∆m ∆v . La incertidumbre de la densidad . Donde = + v ρ m v 4 ∆v ∆r v = πr 3 , = 3 . Los cálculos son los siguientes: 3 v r 4 El volumen v = (3.1416)(6.5)3 ×10 -6 m 3 = 1,150.3 x 10-6 m3. La incertidumbre del 3 ∆v 0.2 ∆m 0.02 volumen =3 = 0.09 . La incertidumbre de la masa = = 0.011 . v 6.5 m 1.85 1.85 La densidad ρ = = 1.6×103 kg/m 3 . La incertidumbre de la densidad -6 1150.3×10

La densidad ρ =

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∆ρ = ρ(

∆m ∆v + ) = 1.6×103 (0.011 + 0.09) = 0.16×103 kg/m 3 m v

Por lo tanto la densidad = (1.6 ± 0.2) x 103 kg/m3. 39. ¿cuántas cifras significativas hay en (a) 78.9 ± 0.2, (b) 3.788 x 109, (c) 2.46 x 10-6 y (d) 0.0053? Solución: a) b) c) d)

3 4 3 4

40. Un granjero mide la distancia en torno a un campo rectangular. La longitud de los lados largos es 38.44 m, y la longitud de los lados cortos, 19.5 m. ¿cuál es la longitud total alrededor del campo? Solución: Longitud total = 2(38.44 + 19.5) = 115.9 m. 41. Se quiere construir un andador alrededor de una alberca que mide (10.0 ± 0.1) m de ancho por (17.0 ± 0.1) m de largo. Si las medidas del andador son (1.00 ± 0.01) m de ancho por (9.0 ± 0.1) cm de espesor, ¿qué volumen de concreto se necesita y cuál es la incertidumbre aproximada de este volumen? 42. Un centímetro cúbico (1.0 cm3) de agua tiene una masa de 1.0x 10-3 kg. a) Determine la masa de 1.0 m3 de agua. b) Si las sustancias biológicas son 98% agua, estime la masa de una célula que tiene un diámetro de 1.0 x10-6 m, un riñón humano y una mosca. Suponga que el riñón es una esfera con un radio de 4.0 cm y que una mosca es mas o menos un cilindro de 4.0 mm de largo y 2.0 mm de diámetro.

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