Capitulo10 Sears Exercicios Gabarito

Exercícios  – Sears & Zemanski, Young & Freedman  – Física  – 10ª Edição  – Editora Pearson

Capítulo 10  – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO Q10.1 Ao apertar os parafusos da cabeça do motor de um automóvel, a grandeza critica é o torque aplicado aos parafusos. Por que o torque é mais importante que a  força efetiva aplicada sobre o punho da chave de boca?

Q10.2

Pode uma única força aplicada a um corpo alterar simultaneamente seu movimento de translação e de rotação? Explique.

que faz a velocidade angular de um corpo mudar. Como, então, explicar que a velocidade angular do martelo dessa Figura permanece constante ?

Figura 1 Q10.12 Suponha que você puxe o Fio da figura 2 para cima. A energia mecânica seria conservada nesse caso ? Explique por quê.

Q10.3 Suponha que você possa escolher qualquer tipo de roda para o projeto de um carro de competição soapbox (um veículo de quatro rodas sem motor que desce uma encosta a partir do repouso). Seguindo as regras do limite máximo para o peso do carro somado com o peso do competidor, você usaria rodas grandes e pesadas ou rodas pequenas e leves? Você usaria rodas maciças ou rodas ocas com a massa concentrada em um aro na periferia da roda? Explique. 

Q10.4

A menos que r  e F  sejam ortogonais, existem sempre dois ângulos entre estas forças que fornecem o 



mesmo torque para valores fixos dos módulos de r  e Explique por que. Ilustre sua r esposta com um desenho. 

F  .

Q10.5 O eixo da manivela do motor de um automóvel possui uma roda para aumentar o momento de inércia em torno do eixo de rotação. Por que isso e desejável?

Q10.6

Quanto mais fortemente você pisar no freio enquanto o carro se desloca para a frente, mais para baixo a parte dianteira do carro se move (e a parle traseira se move mais para cima). Por que? O que ocorre durante a aceleração? Por que os carros de corrida do tipo dragster não dragster  não usam apenas direção nas rodas dianteiras?

Q10.7

Quando unia acrobata anda sobre uma corda esticada, ela abre e estende seus braços lateralmente. Ela faz isso para que seja mais fácil se equilibrar caso tombe para um lado ou para o outro. Explique como isso funciona. {Sugestão { Sugestão:: Raciocine usando a Equação:  N 



i

  I    

i 1

Q10.8 Quando um motor eletrico é acionado, ele leva mais tempo para atingir sua velocidade final quando existe um esmeril ligado ao eixo do motor. Por quê?

Q10.9 Sem quebrar a casca do ovo, um cozinheiro experiente pode distinguir um ovo natural de outro que já tenha sido cozdo na água fazendo os dois rolarem sobre um plano inclinado (se você Fizer a experiência tome cuidado para segurar os ovos na base do plano). Como isso ê possível ? O que se espera concluir ? Q10.10

Quando um esmeril elétrico e desligado, a roda do esmeril leva cerca de um minuto ale parar. Quando uma furadeira elêtrica ê desligada, a broca leva apenas alguns segundos ate parar. Explique a razão dessa diferença.

Q10.11

Sobre o martelo indicado na Figura l atua a força da gravidade, e sabemos que uma torça produz um torque

Figura 2 Q10.13 Uma roda eslá rolando sem deslizamento sobre uma superfície horizontal. Em um sistema de referência inercial no qual a superfície está cm repouso, existe algum ponto sobre a roda que possua uma velocidade puramente vertical ? Existe algum ponto sobre a roda que possua velocidade com um componente horizontal com sentido oposto ao da velocidade do centro de massa? Explique. Caso a roda deslize durante o giro, suas respostas semodificam ? Explique.

Q10.14

Parte da energia cinética da rotação de um automóvel em movimento esta em suas rodas. Quando você aplica fortemente os freios em uma rua com gelo, as rodas ficam "bloqueadas", e o carro começa a deslizar. O que ocorre com a energia cinética da rotação ?

Q10.15

Você está em pé no centro de um carrossel horizonlal que gira em um parque de diversões. O carrossel gira sobre apoios sem atrito, e sua rotação é livre (ou seja, não existe nenhum motor fazendo o carrossel girar). Quando você caminha até a periferia do carrossel, diga o que ocorre com o momento angular total do sistema constituído por você junto com o carrossel. O que ocorre com a velocidade angular do carrossel ? Explique suas respostas.

Q10.16

Uma partícula descreve um movimento circular uniforme. Em relação a uma origem no centro do círculo, existe um torque resultante atuando sobre a partícula ? Uma força resultante ? O que ocorreria se a velocidade da partícula estivesse variando ? Explique sua resposta em cada caso.

Q10.17

Uma partícula se move em linha reta

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com velocidade constante e a distância entre a reta e a origem é igual a l. Em relação à origem, o momento linear da partícula é igual a zero ou diferente de zero ? A medida que a partícula se desloca ao longo da rela seu momento angular em relação à origem varia ?

precessão como indicado na Figura 3. O que ocorrerá se você colocar suavemente algum peso em um ponto o mais afastado possível do pivô. ou seja. na extremidade do eixo do volante?

Q10.18 No Exemplo 10.13 (Seção 10.7) a velocidade angular  varia  varia e isto deve significar que existe uma aceleração angular diferente de zero. Porém não existe nenhum torque em torno do eixo de rotação quando as forças que o professor aplica sobre os pesos estão orientadas radialmente para dentro. Então pela Equação:  N 



i

  I    

i 1

 deve   deve ser igual a zero. Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente.

Q10.19 No exemplo 10.13 (Seção 10.7) a energia cinética do professor junto com os halteres aumenta. Contudo, como não existem torques externos, não existe nenhum trabalho capaz de alterar a energia cinética da rotação. Então, pela Equação (10.25) a energia cinética deve permanecer constante! Explique o que existe de errado nesse raciocínio que conduziu a uma contradição aparente. De onde vem a energia cinética extra? Q10.20

Conforme discutimos na Seção 10.7, o momento angular de uma acrobata no circo se conserva à medida que ela se move através do ar. Seu momento linear se conserva? Explique sua resposta.

Q10.21 Quando você segura durante um intervalo mínimo de tempo um ovo fresco que está girando e a seguir o liberta, o ovo começa a girar novamente. Quando você repete a experiência com um ovo cozido, ele permanece parado. Experimente fazer isso. Explique. Q10.22

Um helicóptero possui um rolor grande principal que gira em um plano horizonlal e ocasiona a força de sustentação. Existe também um rotor pequeno na traseira do helicóptero que gira em um plano vertical. Qual é a finalidade do rotor traseiro ? (Sugestão (Sugestão:: Caso não existisse o rotor traseiro, o que ocorreria quando o piloto fizesse variar a velocidade angular do rotor principal ?) Alguns helicópteros não possuem rotor traseiro, mas possuem dois rotores principais grandes que giram em um plano horizontal. Por que é importante que esses rotores girem em sentidos contrários ?

Q10.23

Em um projcto comum de giroscópio, o volante que gira e o eixo do volante permanecem no interior de uma estrutura leve e esférica, com o volante no centro da estrutura. O giroscópio é a seguir equilibrado no topo de um pivô de modo que o volante fique direlamcntc acima do pivô. O giroscópio realiza precessão quando ele é libertado enquanto o volante está girando ? Explique.

Q10.24

Um giroscópio leva 3.8 s para fazer uma precessão de l.0 revolução em torno de um eixo vertical. Dois minutos depois ele leva 1.0 s para fazer uma precessão de 1.0 revolução. Ninguém tocou no giroscópio. Explique o que ocorreu.

Q10.25

Um giroscópio realiza um movimento de

Figura 3

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aplicadas tangencialmente a uma roda com raio igual a 0.330 m, conforme mostra a figura 7. Qual é o torque resultante da roda produzido por estas duas forças em relação a um eixo perpendicular à roda passando através de seu centro? Resolva o caso ( b).

Exercícios Seção 10.2  –  Torque

Figura 7 (a)

10.1 Calcule o torque (módulo, direção e sentido) em de um ponto O de uma força F  em cada uma das 

torno situações esquematizadas na Figura 4. Em cada caso, a força 

F  e a barra estão no plano da página, o comprimento da barra é igual a 4.00 m e a força possui módulo de valor F = 10.0 N.

Figura 4

(b)

10.5 Uma força atuando sobre uma parte de uma máquina é dada pela expressão:

F   5.00 N   i   4.00 N   j 

ˆ

ˆ

O vetor da origem ao ponto onde a força é aplicada e dado por:

r   0.45m   i   0.15m   j 

ˆ

ˆ



10.2 Calcule o torque resultante em torno de um ponto O para as duas forças aplicadas mostradas na Figura 5 . Figura 5

(a) Faça um diagrama mostrando

r  F  e a 

origem. (b) Use a regra da mão direita para determinar a direção e o sentido do torque. (c) Determine algebricamente o vetor torque produzido por essa torça. Verifique se a direção e o sentido do torque são iguais aos obtidos no item (b).

Figura 8 -

Regra da mão direita.

10.3

Uma placa metálica quadrda de lado igual a 0.180 m possui o eixo pivotado perpendicularmente ao plano da página passando pelo seu centro O (Figura 6). Calcule o torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas na figura, sabendo que F 1 = 18.0 N, F 2 = 26.0 N e F 3 = 14.0 N. O plano da placa e de todas as forças é o plano da página.

Figura 6

SEÇÃO 10.3 TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO 10.6 O volante de uma certa máquina possui momento de 2

inércia igual a 2.50 kg.m em tomo do seu eixo de rotação, (a) Qual é o torque constante necessário para que, partindo do repouso, sua velocidade angular atinja o valor de 400 rev/min em 8.00 s ? (b) Qual é sua energia cinética final ?

10.4

As forças F 1 = 7.50 N e F 2 = 5.30 N são

10.7 Usando o valor de

a calculado no Exemplo 10.2 (Seção 10.3), qual é o valor da velocidade do cabo

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depois que ele foi puxado 2,0 m? Compare seu resultado com o obtido no Exemplo 9.8 (Seção 9.5).

10.8

Uma corda é enrolada em torno da periferia de uma roda de raio igual a 0.250 m, e a corda é puxada por uma força constante de 40.0 N. A corda é montada cm apoios sem atrito sobre um eixo horizontal que passa em seu centro. O momento de inércia da roda em torno do eixo é igual a 5.00 2 kg.m . Calcule a aceleração angular da roda. 10.9 (a) Calcule o modulo η da força normal para as situações descritas no Exemplo 10.3 (Seção 10.3). (b) Sua resposta do item (a) é menor do que, igual a, ou maior do que o peso total do cilindro junto com a massa ( M  + m).g. Explique como isso ocorre. (c) Suponha que o cilindro esteja inicialmente girando no mesmo sentido dos ponteiros do relógio de modo que a massa suspensa m suspensa esteja inicialmente se movendo para cima com velocidade escalar v0 (o cabo permanece esticado). Qual e o efeito que isso produz sobre a tensão T  e sobre a força normal η. Explique.

10.10

(a) Na situação descrita no Exemplo 10.2 da Seção 10.3 (Figura 9), a torça normal η exercida sobre o cilindro pelo mancal está orientada para cima e para a esquerda. Explique a razão da força normal possuir essa direção. (b) Determine o modulo, a direção e o sentido de .

Figura 9

passando em seu centro. O balde é libertado a partir do repouso no topo de um poço e cai 10.0 m até atingir a água. Despreze o peso da corda, (a) Qual e a tensão na corda enquanto o balde está caindo ? (b) Com que velocidade o balde atinge a água ? (c) Qual é o tempo de queda ? (d ) Enquanto o balde está caindo, qual e a força exercida pelo eixo sobre o cilindro ?

10.13 Um livro de 2.00 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Uma corda amarrada ao livro passa sobre uma polia com diâmetro igual a 0.150 m e sua outra extremidade está presa a outro livro suspenso com massa de 3.00 kg. O sistema e solto a partir do repouso e os livros se deslocam 1.20m em 0.800 s. (a) Qual é a tensão em cada parte da corda ? (b) Qual e o momento de inércia da polia em torno do seu eixo de rotação?

10.14 Uma barra horizontal fina de comprimento  L e massa  M  é articulada em torno de um eixo vertical passando em sua extremidade. Uma força com módulo constante F  é aplicada à outra extremidade, fazendo a barra girar em um plano horizontal. A força é mantida perpendicularmente á barra e ao eixo da rotação. Calcule o módulo da aceleração angular da barra.

SECAO 10.4 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO MÓVEL 10.15 Um fio é enrolado diversas vêzes em torno da

10.11 Um esmeril em forma de disco sólido com diâmetro de 0.520 m e massa de 50.0 kg gira a 850 rev/min. Você pressiona um machado contra sua periferia com uma torça normal de 160 N (Figura 10) e o esmeril atinge o repouso em 7.50 s. Ache o coeficiente de atrito entre o machado e o esmeril. Despreze o atrito nos mancais.

periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa 0.180 kg. Se a extremidade livre do rio e mantida Fixa e o aro é libertado a partir do repouso (Figura 11) , calcule: (a) a tensão no fio enquanto o aro desce à medida que o fio se desenrola; (b) o tempo que o aro leva para descer 0.750; (c) a velocidade angular do aro no momento em que ele desceu 0.750 m.

Figura 11.

10.16 Repita a parte (c) do Exercício 10.15 usando desta vez considerações de energia. 10.17

Figura 10. 10.12 Um balde com água de 15.0 kg é suspenso por uma corda enrolada em torno de um sarilho, constituído por um cilindro sólido com diâmetro de 0.300 m e massa igual a 12.0 kg. O cilindro e pivotado sobre um eixo sem atrito

No Exemplo 10.5 (Seção 10.4) verificamos que para uma casca cilíndrica oca rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal, metade da energia cinética total e translacional e a outra metade e relacional. Determine que tração da energia cinética total e dada pela parte relacional no case do rolamento sem desilizamento dos seguintes objetos: (a) um cilindro maciço homogêneo; (b) uma esfera maciça homogênea; (c) uma casca esférica, (d ) um cilindre eco cem raio externo K  e raio

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interno R /2.

10.18 Uma casca esférica de massa igual a 2.00 kg rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 38°. (a) Ache a aceleração, a força de atrito e e coeficiente de atrito mínimo necessário para impedir o deslizamenlo. (b) Como suas respostas do item ( a) seriam alteradas caso a massa fosse dobrada para 4.00 kg ?

10.19 Uma roda de 392 N sai do eixo de um caminhão em movimento e rola sem deslizar ao longo de uma estrada inclinada. Na base de um morro ela está girando a 25.0 rad/s. O raio da roda é igual a 0.600 m e seu momento de inércia em 2 tomo do eixo de rotação é igual a 0.800 MR . O atrito realiza trabalho sobre a roda a medida que ela sobe o morro até parar, a uma altura h acima da base do morro: esse trabalho possui módulo igual a 3500 J. Calcule h.

10.20 Uma bola subindo uma inclinação. Uma bola de boliche rola sem deslizar para cima de uma rampa inclinada de um angulo  com a horizontal. (Veja o Exemplo 10.9 na Seçao 10.4.) Considere a bola uma esfera homogênea e ignore os seus orifícios. (a) Faça um diagrama do corpo livre para a bola. Explique por que a torça de atrito deve possuir sentido para cima. (b) Qual e a aceleração do centro de massa da bola? (c) Qual deve ser o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir o deslizamenlo ?

SECAO 10.5 TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 10.21 Um carrossel de um parque de diversões possui raio 2 de 2.40 m e momento de inércia igual a 2100 kg.m em torno de um eixo vertical passando em seu centro e gira com atrito desprezível. (a) Uma criança aplica uma força de 18.0 N tangencialmente a periferia do carrossel durante 15.0 s. Se o carrossel está inicialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois deste instante de tempo de 15.0 s? (b) Qual é o trabalho realizado pela criança sobre o carrossel? (c) Qual é a potência média fornecida pela criança.? 10.22

O Exemplo 9.5 (Seção 9.4) descreve o projeto 5 da hélice propulsora de um avião. O motor fornece l.305.10 W para a hélice a uma rotação de 2400 rev/min. (a) Qual é o torque fornecido pelo motor do avião? (b) Qual é o trabalho realizado pelo motor em uma revolução da hélice?

10.23 A roda de um esmeril de 1.50 kg possui forma cilíndrica com raio igual a 0.100 m. (a) Qual deve ser o Iorque constante capaz de levá-lo do repouso a uma revolução angular de 1200 rev/min em 2.5 s? (b) Que ângulo ele girou durante esse intervalo de tempo? (c) Use a Equação ( 10.24) para calcular o trabalho realizado pelo torque, (d ) Qual é a energia cinética do esmeril quando ele está girando a 1200 rev/min? Compare sua resposta com o resultado do item (c).

10.24 Qual e a potência em watts de um motor elétrico que gira a 4800 rev/min e desenvolve um torque de 4.30 N.m? 10.25

As extremidades dos dentes de carboneto de uma serra circular estão situadas a uma distância de 8.6 cm do eixo de rotação, (a) Quando a serra não está cortando nenhum objeto, sua velocidade angular é de 4800 rev/min. Por que sua potência é desprezível quando ela não está cortando nenhum objelo? (b) Quando ela está cortando tábuas, sua velocidade angular se reduz para 2400 rev/min e a potência de saída é igual a 1.417 kW. Qual e a força tangencial que a madeira exerce sobre as extremidades dos dentes de carboneto?

10.26

A hélice propulsora de um avião possui comprimento de 2.08 m (de uma extremidade a outra) e sua massa é de 117 kg. Logo no início do funcionamento do motor, ele aplica um torque de 1950 N.m na hélice, que começa a se mover a partir do repouso, (a) Qual é a aceleração angular da hélice? Considere a hélice como uma barra fina. {Sugestão: Veja a Tabela 9.2.} (b) Qual e a velocidade angular da hélice propulsora quando ela atinge 5.00 rev ? (c) Qual e o trabalho realizado pelo motor durante as 5,00 rev iniciais ? (d ) Qual é a potência média fornecida pela máquina durante as 5.00 rev iniciais ? (e) Qual é a potência instantânea do motor no instante em que a hélice propulsora completa essas 5.00 rev ?

10.27 (a) Calcule o torque desenvolvido por um motor industrial com potência de 150 kW para uma velocidade angular de 4000 rev/min. (b) Um tambor de massa desprezível com diâmetro igual a 0.400 m é ligado ao eixo do motor e a potência disponível do motor e usada para elevar um peso pendurado em uma corda enrolada em torno do tambor. Qual é o peso máximo que pode ser elevado com velocidade constante ? (c) Com que velocidade constante o peso sobe?

SEÇÃO 10.6 MOMENTO ANGULAR 10.28 Uma mulher com massa de 50 kg está em pé sobre a periferia de um grande disco que gira com 0.50 rev/s em torno de um eixo que passa através do seu centro. possui massa de l IO kg e i aio igual a 4,0 m. Calcule o modulo do momento angular total do sistema mulherdisco. (Suponha que a mulher possa ser tratada como um ponto.) 10.29

Uma pedra de 2.00 kg possui uma velocidade horizontal com modulo de 12.0 m/s quando esta no ponto P na Figura 10.40. (a) Nesse instante, qual é o modulo, a direção e o sentido do seu momento angular em relação ao ponto O ?

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(b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taxa de variação (módulo, direção e sentido) do momento angular nesse instante ?

10.30 (a) Calcule o modulo do momento angular da Terra considerando-a uma partícula que descreve urna órbita 24 em volta do Sol. A massa da Terra é igual a 5.97.10 kg. Suponha que ela descreva um movimento circular uniforme 11 com raio de 1.50.10 m e que sua velocidade escalar orbital 4 seja de 2.9.10 m/s². (b) Calcule o modulo do momento angular da Terra devido a sua rotação em torno do eixo que liga o Pólo Norte com o Pólo Sul. Considere a Terra uma esfera maciça e 6 homogénea de raio 6.38.10 m que completa uma revolução em 24.0 horas. Figura 12.

10.31

Ache o módulo do momento angular do ponteiro dos segundos de um relógio em torno do eixo que passa pelo centro de massa da lace frontal do relógio. Esse ponteiro do relógio possui comprimento de 15.0 cm e massa de 6.00 g. Considere-o uma barra delgada girando com velocidade angular constante em torno de uma d e suas extremidades.

SECAO 10.7 CONSERVAÇÃO 00 MOMENTO ANGULAR 10.32

Sob determinadas circunstâncias, uma estrela pode sofrer um colapso e se transformar em um objeto extremamente denso, constituído principalmente por nêutrons e chamado estrela de nêutrons. A densidade de uma estrela de 14 nêutrons é aproximadamente 10 vêzes maior do que a da matéria comum. Suponha que a estrela seja uma esfera maciça e homogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela 5 era de 7.0.10 km (comparável com o raio do Sol): seu raio final e igual a 16 km. Supondo que a estrela original completava um giro em 30 dias, ache a velocidade angular da estrela de nêutrons.

10.33

Um pequeno bloco apoiado sobre uma mesa horizonlal sem atrito possui massa de 0.0250 kg. Ele está preso a uma corda sem massa que passa através de um buraco na superfície (Figura 13). No início o bloco está girando a uma distância de 0.300 m do buraco com uma velocidade angular de 1.75 rad/s. A seguir a corda e puxada por baixo, fazendo com que o raio do círculo se encurte para 0.150 m. O bloco pode ser considerado uma partícula, (a) O momento angular é conservado ? (b) Qual é a nova velocidade angular ? (c) Calcule a variação da energia cinética do bloco, (d ) Qual foi o trabalho realizado ao puxar a corda ?

Figura 13.

10.34 Um patinador girando. Podemos considerar as mãos e os braços esticados para fora de um patinador que se prepara para girar como uma barra delgada cujo eixo de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 14). Quando suas mãos e braços se aproximam do corpo e se cruzam em torno do corpo para executar o giro, as mãos e os braços podem ser considerados um cilindro oco com parede fina. A massa total das mãos e dos braços e igual a 8.0 kg. Quando esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 m; quando torcidas, elas formam um cilindro de raio igual a 25 cm. O momento de inércia das parles restantes do corpo em relação ao eixo de rotação é constante e igual a 0,40 kg m². Se sua velocidade angular inicial é de 0,40 rev/s, qual é sua velocidade angular final ? Figura 14.

10.35 Uma mergulhadora pula de um trampolim com braços estendidos verticalmente para cima e pernas esticadas para baixo, fornecendo-lhe um momento de inércia em torno do eixo de rotação igual a 18 kg.m². Ela então se agacha formando uma pequena bola, fazendo seu momento de inércia diminuir para 3.6 kg.m². Quando está agachada ela realiza uma revolução completa em 1.0 s. Caso ela não se agachasse, quantas revoluções faria no intervalo de tempo de 1.5 s desde o trampolim até atingir a água ?

10.36

Uma mesa giratória grande gira em tomo de um eixo vertical fixo, fazendo uma revolução em 6.00 s. O momento de inércia da mesa giratória em torno desse eixo é igual a l 200 kg.m² . Uma criança com massa de 40.0 kg, que estava inicialmente em repouso no centro da mesa. começa a correr ao longo de um raio. Qual é a velocidade angular da mesa giratória quando a criança está a uma distância de 2.00 m do centro ? (Suponha que a criança possa ser considerada uma partícula.)

10.37

Uma mesa giratória grande possui forma de disco com raio de 2.00 m e massa igual a 120 kg. A mesa giratória esta inicialmente a 3.00 rad/s em torno de um eixo vertical que passa em seu centro. Repentinamente, um pára-quedista pousa suavemente em um ponto próximo da periferia da mesa. (a) Ache a velocidade angular da mesa giratória depois do pouso do pára-quedista. (Suponha que o para-

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qucdista possa ser considerado uma partícula.) (b) Calcule a energia cinética do sistema antes e depois do pouso do pára-quedista. Por que essas energias cinéticas são diferentes ?

10.38

Uma porta sólida de madeira com largura de 1.00 m e altura de 2.00 m é articulada em um de seus lados e possui massa total de 40.0 kg. Inicialmente ela está aberta e em repouso, a seguir, uma porção de lama pegajosa de massa igual a 0,500 kg, se deslocando perpendicularmente à porta com velocidade de 12,0 m/s, colide no centro da porta. Calcule a velocidade angular final da porta. A lama contribui significativamente para o momento de inércia?

SEÇÃO 108 GIROSCÓPIOS E PRECESSÃO 10.39 (a) Desenhe uma vista de topo do giroscópio da 10.29 indicando letras para   ,  L e   . Desenhe dL 

Figura



L dL. Determine o sentido da

 

produzido por   . Desenhe







precessão examinando as direções e sentidos de  L e L dL. (b) Inverta o sentido da velocidade angular do rotor e repita todas as etapas do item (a). (c) Mova o pivô para a outra extremidade do eixo. considerando a mesma direção e mesmo sentido da velocidade angular de spin como na parte (b) e repita todas as etapas, (d ) Mantendo o pivô como na parte (c), inverta a velocidade angular de spin do rotor e repita iodas as etapas. 





10.40 O rotor (volante) de um giroscópio de brinquedo possui massa de 0.140 kg. Seu momento de inércia em relação 4 ao seu eixo é igual a 1.20.10 kg.m². A massa do suporte é de 0.0250 kg. O giroscópio é suportado em um único pivô (Figura 15) e seu centro de massa está situado a uma distância de 4.00 cm do pivô. O giroscópio possui movimento de precessão cm um plano horizontal completando uma revolução em 2.20 s. (a) Ache a força de baixo para cima exercida pelo pivô. (b) Ache a velocidade angular com a qual o rolor gira em torno de seu eixo, expressa em rev/min. (c) Faça um diagrama, desenhando vetores para mostrar o momento angular do rotor e o torque que atua sobre ele. Figura 15.

10.41 Um giroscópio estabilizador,

ü giroscópio

esiaimi£íiuui de um navio é um disco sólido de massa igual a 60.000 kg; seu raio é igual a 2,00 m, e ele gira em tomo de um eixo vertical com velocidade angular de 500 rev/min.

(a) Qual é o tempo necessário para ele atingir essa velocidade, partindo do repouso, com uma potência de entrada de 7.46 x 10 W? (b) Ache o Iorque necessário para fazer o eixo sofrer uma precessão em um plano vertical oscilando com uma taxa de inclinação de 1.00°/s.

10.42 Um giroscópio possui movimento de precessão em tomo de um eixo vertical. Descreva o que ocorre com a velocidade angular de precessão quando são feitas as seguintes mudanças nas variáveis, mantendo-se as outras grandezas constantes: (a) a velocidade angular de spin do volante dobra; (b) o peso total dobra. (c) o momento de inércia em torno do eixo do volante dobra; (d ) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra. (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d ) dobrassem de valor? 10.43

O período do movimento de precessão da Terra é de 26.000 anos e o período de sua velocidade angular de spin é de um dia. Estime o módulo do torque que produz a precessão da Terra. Você pode usar dados do Apêndice F. Faça a estimativa supondo (i) que a Terra seja uma esfera maciça e homogênea e (ii) que a precessão da Terra seja semelhante ao movimento de precessão do giroscópio indicado na Figura 15. Nesse modelo, o eixo de precessão e o eixo de rotação de spin são perpendiculares. Na verdade, no caso da Terra, o ângulo entre esses dois eixos é de 23.5°; isso altera a estimativa do torque de um fator aproximadamente igual a 2.

PROBLEMAS 10.44 Um esmeril de 55.0 kg é um disco sólido de diâmetro igual a 0.520 m. Você comprime um machado sobre a periferia com uma força normal de 160 N (Figura 10). O coeficiente de atrito cinético entre a lâmina e a pedra do esmeril é igual a 0.60 e existe um torque do atrito constante igual a 6.50 N.m entre o eixo do esmeril e seus mancais, (a) Ache a força que deve ser aplicada tangencialmente à extremidade do eixo da manivela de 0.500 m de comprimento para acelerar a roda do esmeril desde zero até 120 rev/min em 9.00 s. (b) Depois que o esmeril atinge a velocidade de 120 rev/min, qual é a força tangencial que deve ser aplicada à extremidade da manivela para manter a velocidade angular constante de 120 rev/min ? (c) Quanto tempo o esmeril levaria para reduzir sua velocidade angular de 120 rev/min até zero quando a única força atuante for apenas a força de atrito nos mancais ? 10.45 Uma roda de bicicleta experimental está sob teste, montada em um eixo de modo que ela possa girar livremente em torno desse seu eixo. Se um torque de 5.00 N.m for aplicado ao pneu durante 2.00 s, a velocidade angular cresce de zero a 100 rev/min. A seguir o torque externo é removido, e a r oda atinge o repouso em

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125 s pela ação do atrito em seus mancais. Calcule (a) o momento de inércia da roda em torno do eixo de rotação; (b) o torque do atrito; (c) o número total de revoluções realizadas pela roda durante o intervalo de tempo de l 25 s.

10.46 Um volante com diâmetro de 0.600 m é pivotado sobre um eixo horizontal. Uma corda é enrolada na periferia do volante e puxada com uma força estacionária de 40.0 N. O volante começa a girar a partir do repouso, e um comprimento da corda igual a 5.00 m é desenrolado em 2.00 s. (a) Qual é a aceleração angular do volante ? (b) Qual é a sua velocidade angular final ? (c) Qual é a sua energia cinética final? (d ) Qual é seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação ? 10.47

Uma roda parte do repouso e gira com velocidade angular constante em torno de um eixo fixo. (a) Prove que a potência em qualquer instante é proporcional ao quadrado do torque resultante em torno do eixo. (b) Se a potência para t  = 3.00 s é 500 W com um torque resultante constante de 20.0 N.m, qual seria a potência para t  = 3.00 s se o torque resultante constante fosse igual a 60.0 N.m ? (c) Prove que a potência para qualquer deslocamento angular é proporcional ao torque total elevado a 3/2 para esse deslocamento angular, (d ) Sabendo que a potência depois de uma rotação de 37.5 rad com o torque de 20.0 N.m é igual a 500 W, qual seria a potência depois de um deslocamento angular de 37.5 rad com um torque de 60.0 N.m? (e) As respostas dos itens ( a) e (b) contradizem as respostas dos itens (c) e (d ) ? Tanto na resposta afirmativa quanto para a resposta negativa explique por quê.

10.48

Uma viga de comprimento l está sobre o eixo +0x com sua extremidade esquerda situada na origem. Um 

cabo puxa a viga na direção do eixo +0y com uma força F  cujo módulo depende do ponto de aplicação na viga

F  F0  1  x l  onde F 0 é o módulo da força aplicada à extremidade esquerda da viga. 

(a) Qual é a direção e o sentido do torque da força

F 

? (b) Faça um gráfico de F contra x desde x = 0 até x = l. Expresse F em termos de F 0 e x em termos de l. (c) Faça um gráfico do torque contra x desde x = 0 até  x = l. Expresse o torque em termos de F 0, x e l em termos de l. (d ) Determine o ponto ao longo da viga no qual a força aplicada produz o torque máximo e qual é o valor desse torque máximo.

10.49 Quando explora um castelo, Exena, a Exterminadora, é surpreendida por um dragão que a persegue pelo corredor. Exena corre para dentro de um quarto e tenta fechar uma porta pesada antes que o dragão entre. A porta está inicialmente perpendicular a parede, de modo que ela deve girar a 90° para fechar. A porta possui alutura de 3.00 m e largura de 1.25 m, e pesa 750 N. O atrito das dobradiças pode ser desprezado. Se Exena aplica uma força de 220 N a

extremidade da porta e ortogonal a ela, quanto tempo leva para fechar a porta ?

10.50 Urna barra fina de comprimento

l repousa sobre o eixo +Ox com sua extremidade direita na origem. 

Um fio puxa a barra com uma força F  dirigida a um ponto P situado a uma distancia h acima da barra. Determine o ponto ao longo da barra onde você deve amarrar o fio para obter o torque máximo em torno da origem se o ponto P estiver situado (a) acima da extremidade direita da barra: (b) acima da extremidade esquerda da barra; (c) acima do centro da barra.

10.51 Ato de equilibrar. Uma pequena esfera de massa M é ligada a extremidade de uma barra longa, fina e uniforme de comprimento L, e massa M. (a) Localize a posição do centro de massa do sistema barra e esfera. Anote essa posição em um d esenho da barra, (b) Você equilibra cuidadosamente a barra no topo de uma mesa sem atrito, de modo que a extremidade sem a esfera fique apoiada verticalmente sobre a mesa. A seguir a barra e inclinada de um angulo pequeno  ; calcule sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade sem a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. {Sugestão: Consulte a Tabela 9.2.) (c) Você novamente equilibra a barra no topo da mesa, porem agora com a extremidade contendo a estera tocando a mesa. A seguir a barra e novamente inclinada de um pequeno ângulo  ; determine sua aceleração angular nesse instante. Suponha que a extremidade com a esfera permaneça em contato com o topo da mesa. Como esse resultado se compara com o obtido no nem (b) ? (d ) Um taco de bilhar e uma barra de madeira cónica grossa em uma extremidade e fina na outra. Você pode equilibrar facilmente o taco na vertical sobre um dedo quando a extremidade fina fica em contato com esse dedo; esse equilíbrio e muito mais difícil quando a extremidade grossa fica em contato com seu dedo. Explique por quê.

10.52

Você amarra um fio a um ponto na periferia de um disco uniforme vertical de raio R e massa  M . O disco pode girar livremente sem atrito em um eixo horiznontal fixo passando em seu centro de massa. Inicialmente o disco está em repouso com a conexão do fio no ponto mais elevado do disco. Você puxa o fio com 

uma força horizontal F  até que a roda lenha feito exatamente um quarto de rotação em torno do eixo horizontal que passa em seu centro, e a seguir o sistema é libertado, (a) Achar o trabalho realizado pelo fio.

WTot  

1 2

I  22 

1 2

I   12

(b) Achar o trabalho realizado pelo fio pela equação. Você obtém o mesmo resultado obtido no item (a) ?  2



WTot    d    1

(c) Ache a velocidade angular final do disco,

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(d ) Calcule a aceleração radial (centrípeta) máxima de um ponto sobre o disco.

10.53

O mecanismo indicado na Figura 16 e usado para elevar um engradado de suprimentos do depósito de um navio. O engradado possui massa total de 50 kg. Uma corda e enrolada em um cilindro de madeira que gira em torno de um eixo de metal. O cilindro possui raio igual a 0.25 m e momento de inércia  I  = 2,9 kg.m² em torno do eixo. O engradado é suspenso pela extremidade livre da corda. Uma extremidade do eixo está pivotada em mancais sem atrito; uma manivela está presa á outra extremidade. Quando a manivela gira. sua extremidade gira cm torno de um circulo vertical de raio igual a 0.12 m. o cilindro gira e o engradado sobe. Calcule o módulo da força F aplicada tangencialmente ã extremidade da manivela para elevar o engradado com uma aceleração de 0.80 m/s² . (A massa da corda c o momento de inércia do eixo e da manivela podem ser desprezados.)

Figura 16

10.54 Um grande rolo de papel de 16 kg com raio R = 18.0 cm esta em repouso contra unia parede e e mantido no lugar por um suporte ligado a uma barra que passa em seu centro (Figura 17). A barra pode girar sem atrito no suporte, e o momento de inércia do papel e da barra em torno do disco e igual a 0.260 kgm² . A outra extremidade da barra está presa à parede por uma articulação sem atrito de modo que a barra faz um ângulo de 30.0° com a parede. O peso da barra e desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre o papel e a parede é  k  = 0.25. Uma força constante vertical F = 40.0 N é aplicada ao papel, e o papel desenrola, (a) Qual é o modulo da força que a barra exerce sobre o papel enquanto ele desenrola ? (b) Qual e a aceleração angular do rolo ?

Figura 17

10.55 Um bloco de massa m= 5.00 kg desliza para baixo de uma superfície honzontal inclinada a 36.9° com a horizonlal (Figura 18). O coeficiente de atrito cinético é 0.25. Um fio amarrado ao bloco é enrolado em torno de um volante que pode girar em torno de um eixo passando em O. O volante possui massa de 25.0 kg e momento de inércia de 0.500 kg.m² em relação ao eixo de rotação. O fio puxa a roda sem deslizar a uma distância perpendicular ao eixo igual a 0.200 m. (a) Qual é a aceleração do bloco para baixo do plano? (b) Qual é a tensão no fio ?

Figura 18

10.56 Dois discos metálicos, um com raio  R1 = 2.50 cm e massa m1 = 0.80 kg e outro com raio  R2 = 5.00 cm e massa m2 = 1.60 kg. são unidos por uma solda e montados sobre um eixo sem atrito passando no centro comum dos discos. (a) Um fio leve é enrolado em torno da periferia do disco menor, e um bloco de 1.50 kg é suspenso na extremidade livre do fio. Qual é o módulo da aceleração de cima para baixo do bloco depois que ele é libertado? (b) Repita os cálculos da parte (a), agora supondo que o fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois casos a aceleração é maior ? Sua resposta faz sentido ? 10.57

Um rolo de cortar grama com forma de uma casca cilíndrica de massa  M  é puxado horizontalmente com uma força constante horizontal F  aplicada por um cabo ligado ao eixo. Sabendo que ele rola sem deslizar, calcule a aceleração e a força de atrito.

10.58 Máquina de Atwood. A Figura 19 mostra uma máquina de Alwood. Ache a aceleração linear dos blocos  A e  B, a aceleração angular da roda  e a tensão em cada lado da corda supondo que não exista deslizamento entre a corda e a periferia da roda. Os pesoss dos blocos  A e  B são, respectivamente, 75.0 N e 125.0 N e o momento de inércia da roda em torno do eixo é I e o raio do semicírculo no qual a roda se move e igual a R.

Figura 19

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10.59

Um disco sólido rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade constante de 2. 50 m/s. (a) Se o disco rola para cima de uma rampa inclinada a 30.0° qual é a distância máxima que ele atinge ao longo da rampa antes de parar ? (b) Explique por que sua resposta do item (a) não depende nem da massa nem do raio do disco.

10.60 O

loiô. Um ioió é feito usando-se dois discos uniformes. cada um com massa m e raio R, ligados por um eixo leve de raio b. Um fio leve e fino e enrolado diversas vêzes em torno do eixo e a seguir mantido fixo enquanto o ioiô e libertado do repouso, caindo verticalmente à medida que o ioiô desenrola. Calcule a aceleração linear e a aceleração angular do ioiô e a tensão no fio.

10.61

Uma bola de gude homogênea de raio  R parte do repouso com seu centro de massa a uma altura h acima do ponto inferior de uma volta completa de um trilho de raio K. Um trilho que possui forma semelhante ao da Figura 7.26. A bola de gude rola sem deslizar. O atrito de rolamento e a resistência do ar são desprezíveis. (a) Qual é o valor mínimo de h para que a bola de gude não abandone o trilho no topo da circunferência? {Sugestão: O raio R não é desprezível em comparação com o raio R.} (b) Qual seria a resposta do item ( a) se o trilho fosse bem lubrificado, de modo que o atrito se tornasse desprezível?

10.62 A Figura 20 mostra três ioiôs idênticos que estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. Para cada ioiô o fio é puxado conforme indicado. Em cada caso existe atrito suficiente para cada ioiô rolar sem deslizar. Desenhe um diagrama do corpo livre para cada ioiô. Qual é o sentido da rotação de cada ioiô? (Tente fazer essa experiência!) Explique suas respostas.

uma bola homogênea rolar para baixo de um trilho curvo. A bola parte do repouso e rola sem deslizar. Enquanto esta sobre o trilho, a bola desce uma distância h. A extremidade inferior do trilho ê horizontal e se estende para fora da extremidade da mesa do laboratório; a bola abandona o trilho se deslocando horizontalmenie. Durante a queda livre depois de abandonar o trilho, a bola se move até uma distância horizontal  x e uma distância vertical  y. (a) Determine  y em lermos de h e de  x, desprezando o trabalho realizado pelo atrito, (b) A resposta do item (a) seria diferente se a experiência tosse feita na Lua ? (c) Ao fazer a experiência com muito cuidado, o valor de v medido é menor do que o calculado no item (a). Por quê? (d ) Qual seria o valor de y para o mesmo h e y do item (a) se você fízesse uma moeda de um real rolar para baixo do trilho ? Despreze o trabalho realizado pelo trilho.

10.65 Em uma catapulta de mola, a constante da mola é igual a 400 N/m c a mola sofre uma compressão de 0.15 m. Quando ela e disparada, 80% da energia potencial elástica armazenada na mola é convertida em energia cinética para uma bola uniforme de 0.0590 kg que estava rolando sem deslizar na base de uma rampa. A bola continua a rolar sem deslizar subindo a rampa com 90% da energia cinética que ela possuía na base convertida em energia potencial gravitacional no momento em que ela pára. (a) Determine a velocidade do centro de massa da bola na base da rampa, (b) Nessa posição, qual é a velocidade de um ponto no topo da bola ? (c) Nessa posição, qual ê a velocidade de um ponto na base da bola ? (d ) Qual é a altura vertical máxima acima da base da rampa atingida pela bola ?

10.66

Quando uma roda rola ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constante, as coordenadas de um ponto na periferia da roda são:

x t  R 1  sen 2   t T 

Figura 20 e

10.63 Como indicado na Figura 11 um fio é enrolado diversas vêzes cm torno da periferia de um pequeno aro de raio 0.0800 m e massa igual a 0.180 kg. A extremidade livre do fio e puxada de baixo para cima de um modo exato tal que o aro não se move verticalmente quando o fio é desenrolado, (a) Ache essa tensão exata no fio. (b) Calcule a aceleração angular do aro enquanto o fio se desenrola, (c) Ache a aceleração de baixo para cima ila mão que puxa o fio. (b) Quais as modificações das suas respostas se o aro fosse substituído por um disco maciço com o mesmo raio e a mesma massa ?

10.64

Em uma experiência de laboratório você faz

y t  R 1  cos  2   t T  onde  R e T  são

constantes, (a) Faça um desenho da trajetória do ponto desde t = 0 até t = 2T . A curva obtida denomina-se ciclóide. (b) Qual é o significado das constantes R e T ? (c) Determine os componentes  x e  y da velocidade e da aceleração do ponto em função de t . (d ) Ache os instantes para os quais o ponto permanece momentaneamente em repouso. Quais são os componentes x e y nesse instante ? (e) Ache o módulo da aceleração do ponto. Ele depende do tempo? Compare o resultado com o módulo da aceleração de uma partícula com movimento circular uniforme,

a  4 2 R T 2 . Explique seu resultado para o

modulo da aceleração de um ponto sobre a roda que rola lembrando-se de que o rolamento sem deslizamento é uma combinação de um movimento de rotação e de

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translação.

10.67 Urna criança faz uma bola de basquete de 0.600 kg rolar para cima de uma rampa longa. A bola de basquete pode ser considerada uma casca esférica. Quando a criança larga a bola na base da rampa, ela possui velocidade igual a 8.0 m/s. Quando a bola retorna para a base ela possui velocidade igual a 4.0 m/s. Suponha que o trabalho realizado pelo atrito na subida seja igual ao trabalho realizado pelo atnto na descida da bola e que a bola rola sem deslizar. Ache a altura máxima atingida pela bola quando ela sobe a rampa.

10.68 Uma roda partindo do repouso gira em torno de um eixo fixo que passa em seu centro de massa de tal modo 3 que   = bt  , onde b é  uma constante positiva com unidades rad/s .  2

(a) Use a equação: W

   d   para

mostrar que o

 1

trabalho realizado pelo torque resultante sobre a roda quando ela girou de um ângulo  é dado por:

W (b) Use a equação:

9 2

2

4

I cmb  3

barra. Eles inicialmente estão presos por pregadores em distâncias afastadas de 0.0500 m do centro da barra, e o sistema começa a girar com 30.0 rev/min. Sem alterar nada no sistema, os pregadores são libertados e os anéis deslizam ao longo da barra e saem pelas suas extremidades. (a) Qual é a velocidade angular da barra no instante em que os anéis atingem as extremidades dela ? (b) Qual é a velocidade angular da barra depois que os anéis saem pelas suas extremidades ?

10.71

Uma barra uniforme de comprimento  L repousa sobre uma superfície horizontal sem atrito. A barra possui um pivô, de modo que ela pode girar sem atrito em torno de um eixo passando por uma das suas extremidades. A barra está inicialmente em repouso. Uma bala se deslocando com velocidade v ortogonal à barra e paralela à superfície atinge o centro da barra e permanece retida em seu interior. A massa da bala é um quarto da massa da barra. (a) Qual é a velocidade angular final da barra ? (b) Determine a razão entre a energia cinética do sistema depois da colisão e a energia cinética da bala antes da colisão.

3

 d       t 0 t dt 

  lim

para calcular a velocidade angular da roda quando ela girou de um ângulo  . (c) Use o resultado da parte (b) para calcular a energia cinética da roda depois que ela girou de um ângulo  . O teorema do trahalho-energia. A equação é obedecida ? Explique.

10.72

A porta sólida de madeira de um ginásio tem largura de 1.00 m e altura de 2.00 m, sua massa total é igual a 35.0 kg e ela possui uma articulação em um dos seus lados. A porta esta aberta e em repouso quando uma bola de basquete colide Irontalmente no centro da porta, aplicando sobre ela uma força média igual a 1500 N durante 8.00 ms. Calcule a velocidade angular da porta depois da colisão. (Sugestão: Integrando a Equação 

dL

   dt  , obtemos: 

i

i

10.69 Um cilindro homogêneo de massa  M e raio

2R esta em repouso sobre o topo de uma mesa. Um fio é ligado por meio de um suporte duplo preso às extremidades de um eixo sem atrito passando através do centro do cilindro de modo que o cilindro pode girar em torno do eixo. O fio passa sobre uma polia em forma de disco de massa  M e raio R montada em um eixo sem atrito que passa em seu centro. Um bloco de massa  M  é suspenso na extremidade livre do fio (Figura 20). O fio não desliza sobre a superfície da polia, e o cilindro rola sem deslizar sobre o topo da mesa. Calcule o módulo da aceleração do bloco quando o sistema é libertado a partir do repouso.

Figura 20 -

10.70

Uma barra uniforme de 0.0300 kg e comprimento de 0.400 m gira em um plano horizontal em torno de um eixo lixo passando em seu centro e perpendicular ã barra. Dois pequenos anéis, cada um com massa de 0.0200 kg, são montados de forma que eles possam deslizar ao longo da

t 2

 L 

dt  méd   

t

 

t 1 t 2

A integral

   dt 

denomina-se impulso

t 1

angular .

10.73 Um alvo é constituído por uma placa quadrada de madeira vertical com lado igual a 0.250 m e massa de 0.750 kg, pivotada em um eixo horizontal situado em seu topo. A placa á atingida frontal mente em seu centro por uma bala de massa igual a 1.90 g que se desloca a 360 m/s e que fica relida no interior da placa. (a) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala ? (b) Qual é a altura máxima atingida pelo centro de massa da placa antes que ela comece a oscilar para baixo novamente ? (c) Qual deveria ser a velocidade mínima da bala para que a placa completasse a rotação passando a girar em torno do eixo depois do impacto ? 10.74 Aceleração repentina de uma estrela de nêutrons. Ocasionalmente uma estrela de nêutrons (Exercício 10.32) sofre uma aceleração repentina e inesperada conhecida como glitch. Uma explicação é que

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o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre uma pequena sedimentação, fazendo diminuir o momento de inércia em torno do eixo de rotação. Uma estrela de nêutrons com velocidade angular  0 = 70.4 rad/s sofreu um glitch em outubro de 1975 que fez sua velocidade angular aumentar para  =  0 + -6  , onde    / 0  = 2.01.10 . Se o raio da estrela de nêutrons era de 11 km, qual foi sua diminuição na sedimentação dessa estrela ? Suponha que a estrela de nêutrons seja uma esfera maciça e homogênea.

10.75 Dois discos A e B são montados em um disco SS e podem ser conectados ou desligados por meio de uma embreagem C  (Figura 21). O disco  A é feito de um material mais leve que o de B, de modo que o momento de inércia de  A em torno do eixo é um terço do momento de inércia de  B. O momento de inércia do eixo e da embreagem são desprezíveis. Quando a embreagem está conectada, o disco  A é levado a uma velocidade angular  0. O torque acelerador é então removido de  A, e a seguir o disco  A é acoplado ao disco  B pela embreagem. (Despreze o atrito nos mancais.) Nota-se que são produzidos 2400 J de energia térmica na embreagem quando a conexão é feita. Qual é a energia cinética inicial do disco A ?

S

S

 A

C 

 B

FIGURA 21.

eixo O não e um eixo de simetria. (a) Faça um esboço dessas partículas no instante em que elas eslão no ponto ( R, R, 0) e (-R, -R, 0) e mostre os seguintes vetores em relação à origem: posição, velocidade e momento angular. (b) Mostre que em qualquer instante as duas partículas possuem o mesmo momento angular, (c) Qual e o angulo entre   (o vetor velocidade angular do sistema das duas partículas) e o vetor momento angular total do sistema ? (d ) Mostre que o componente v do momento angular total do sistema e constante e igual a L y = 2mvR. (e) Qual e o componente v do torque resultante que atua sobre o sistema ? ( f ) Ache o módulo da força resultante que atua sobre cada partícula e o módulo do Iorque total que atua no sistema. (g) Mostre, usando seu esboço do item (a), a direção e o sentido do torque resultante sobre o sistema e verifique se esse torque é paralelo ao plano xz. 

10.79 Rm um laboratório de Física, você realiza a seguinte experiência de pêndulo balístico. Usando uma espingarda de mola, você dispara uma bala com massa m e velocidade v na direçao da horizontal. A bala fica imediatamente presa a uma distancia r abaixo de um eixo sem atrito por um dispositivo de massa  M que a retêm e que pode girar sem atrito em torno do pivô. O momento de inércia desse dispositivo em torno do pivô ê igual a  I . A distância r é muito maior do que o raio da bala. (a) Use a lei da conservação do momento angular para mostrar que a velocidade angular do sistema logo após o momento em que a bala é retida e dada por:   

10.76

Um pequeno bloco de massa 0.250 kg está amarrado por um fio que passa por um orifício em uma superfície horizontal. O bloco está inicialmente em um círculo com raio igual a 0.800 m em torno do orifício com velocidade tangencial igual a 4.00 m/s. O fio a seguir é puxado por baixo lentamente, fazendo o raio do círculo se reduzir. A tensão de ruptura do fio é igual a 30.0 N. Qual é o raio do círculo quando o fio se rompe ?

10.77 Um disco horizontal de madeira compensada de massa igual a 7.00 kg e diâmetro de 1.00 m e pivotado em mancais sem atrito em tomo de um eixo vertical passando em seu centro. Você monta sobre o disco um modelo circular de trilhos com massa desprezível e diâmetro igual a 0.95 m. Um trem de brinquedo com 1.20 kg movido por uma bateria está em repouso sobre os trilhos. Para demonstrar a conservação do momento angular, você liga o motor do trem. O trem se move no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, atingindo logo uma velocidade constante de 0.600 m/s em relação aos trilhos. Ache o módulo, a direçao e o sentido da velocidade angular do disco em relação a Terra.

10.78 Uma partícula de massa m se move com velocidade constante v em um círculo de raio R que está a uma distancia R acima do plano  xz. Outra partícula de massa m se move do mesmo modo e com a mesma velocidade em outro círculo de raio R situado a uma distancia  R abaixo do plano xz. As duas partículas giram com uma defasagem de meia revolução, de modo que quando uma está no ponto ( x, R,  R) a outra está no ponto (- x, -R,- z). Assim, o centro de massa das partículas coincide com a origem O, porem o eixo de rotação (o

m  v  r  m  r  I  2

(b) Depois que a bala fica retida, o centro de massa do sistema bala+dispositivo retentor oscila para cima e atinge uma altura máxima h. Use a lei da conservação da energia para mostrar que:

2  M  m  g  h

  

m  r  I  2

(c) Sua amiga de laboratório diz que o momento linear é conservado na colisão e deduza relação mv= (m+ M )V , onde V é a velocidade da bala depois da colisão. Ela a seguir usa a lei da conservação da energia para mostrar que:

V  2g  h



, logo: m  v  m  M



2g  h

Use os resultados dos itens (a) e (b) para mostrar que esse resultado é satisfeito somente no caso particular quando r  2 for obtido da relação I = M r  .

10.80 Um corredor de 55 kg corre na periferia de uma mesa giratória montada em um eixo vertical sem atrito passando cm seu centro. A velocidade do corredor em relação à Terra possui módulo de 2.8 m/s. A mesa giratória gira em sentido contrário com velocidade angular de módulo igual a 0.20 rad/s em relação ã Terra. O raio da mesa ê de 3.0 m e seu momento de inércia em 2 torno do eixo de rotação ê igual a 80 kg.m . Calcule a velocidade angular do sistema quando o velocista fica em repouso em relação à mesa giratória. (O velocista pode ser

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considerado uma partícula.)

(a) Faça um desenho e mostre que em qualquer

10.81 Uma bicicleta caindo.

O momento de inércia da roda dianteira de uma bicicleta em torno de seu eixo ê igual a 0.085 kg.m², seu raio ê de 0.33 m, e a velocidade da bicicleta para a frente é igual a 6,00 m/s. Calcule a velocidade angular da roda dianteira cm torno de um eixo vertical para contrabalançar o torque que tende a fa/er a bicicleta virar produzido por uma massa de 50.0 kg situado a uma distância horizontal de 0.040 m da linha que liga os pontos de conlato das rodas com o solo. (Ciclista: Compare sua resposta com sua própria experiência e verifique se sua r esposta é ra/oável.)

instante

vcm    R 2  d 2 4 . Discuta essa expressão

nos limites d = 0 e d = 2R. (b) Para uma bola uniforme partindo do repouso e descendo uma distância vertical h enquanto rola sem deslizar para baixo de uma rampa, temos,

vcm 

10 g  h 7

mostre que:

vcm 

10.82

Centro de percussão. Um bastão de bola de beisebol está em repouso sobre uma superfície hori/onlal sem atrito. O bastão possui comprimento de 0,900 m. massa de 0,800 kg e seu centro de massa está situado a 0.600 m da extremidade do punho do bastão (Figura 22). O momento de inércia do bastão em relação ao centro de massa ê igual a 0.0530 kg.m² . O bastão é golpeado por uma bola de beisebol que se desloca ortogonalmente a ele. O impacto fornece um t 2

impulso

J



Fdtem   um ponto situado a uma distância x do

t 1

punho do bastão. Qual deve ser o valor de  x para que a extremidade do punho do bastão permaneça em repouso á medida que o bastão se move? (Sugestão: Considere o movimento do centro de massa e a rotação em (orno do centro de massa. Ache v de modo que a combinação dos dois movimentos forneça v = 0 para a extremidade do bastão logo após a colisão. Note também que a integração da Equação t 2



dL

   dt  

i

fornece

i

 L 

 dt     méd 

t 1

(Problema 10.72).) O ponto que você localizou denomina-se centro de percurssão. Quando uma bola de beisebol colide no centro de percussão, ocorre uma diminuição da força de "picada" que o batedor sente nas mãos.

Figura 22 10.83 Considere um giroscópio com um eixo que não esta na direção horizontal, mas possui uma inclinação    em relação á horizontal. Mostre que a velocidade angular da precessão não depende do valor de    porém é dada pela equação (10.36). PROBLEMAS DESAFIADORES 10.84 Uma bola uniforme de raio  R

rola sem deslizar entre dois trilhos de tal modo que a distância horizontal entre os dois pontos de eontato entre a bola e os trilhos seja igual a d .

. Trocando a rampa pêlos dois trilhos,

10 g  h 2 5 2 d  1 4 R 2

Em cada um desses casos, o trabalho realizado pelo atrito foi desprezado. (c) Qual das duas velocidades indicadas na parte (b) e a menor ? Por quê? Raciocine em termos de como a energia potencial e dividida entre o ganho da energia cinética da translação e da energia cinética da rotação, (d ) Para qual valor da razão d/R as expressões das duas velocidades da parle (b) diferem de 5.0% e quando diferem de 0.50% ?

10.85 Quando um objeto rola sem deslizar, a força de atrito de rolamento é muito menor do que a força de atrito quando o ohjelo desliza sem rolar; uma moeda de um real rola sobre sua periferia mais rapidamente do que quando ela desliza com sua face voltada para baixo. (Veja t a Seção   5.4.) Quando um objeto rola sem deslizar ao longo de uma superfície horizontal, podemos desprezar a força de atrito, de modo que a e  são nulos e v e   são constantes. Rolar sem deslizar implica v =   R e a = r .  Quando um objeto se desloca sobre uma superfície sem obedecer a essas igualdades, o atrito (cinético) de deslizamento está aluando sobre o objeto ã medida que ele desliza até que o rolamento sem deslizamento começa a ocorrer. Um cilindro homogêneo de massa  M e raio K. girando com velocidade angular  0 em torno de um eixo passando em seu centro, é lançado sobre uma superfície horizontal sobre a qual o coeficiente de atrito cinético é  C.  (a) Faça um diagrama do corpo livre para o cilindro sobre a superfície. Pense com cuidado sobre o sentido da força de atrito sobre o cilindro. Calcule a aceleração a do centro de massa do cilindro e a aceleração angular  em torno do centro de massa do cilindro, (b) No início o cilindro desliza sem rolar, então  =  0 mas v = 0. O rolamento sem deslizamento começa quando v =  R . Calcule a distância que o cilindro percorre no momento em que termina o deslizamento, (c) Calcule o trabalho realizado pela força de atrito sobre o cilindro desde o momento em que ele toca a superfície até o momento em que começa o rolamento sem deslizamento. 10.86

Um giroscópio de demonstração pode ser construído retirando-se o pneu de uma roda de bicicleta com diâmetro de 0.650 m, enrolando-se um fio de chumbo no aro e fixando-o nele. O eixo se projeta 0.200

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m para cada lado da roda, e uma garota apoia as extremidades do eixo em suas mãos. A massa do sistema é igual a 8.00 kg; toda a sua massa pode ser considerada concentrada em sua periferia. O eixo é horizontal, e a roda gira em torno do eixo com 5.00 rev/s. Ache o módulo, a direção e o sentido da força que cada mão exerce sobre o eixo (a) quando o eixo está em repouso; (b) quando o eixo está girando em um plano horizontal em torno do seu centro com 0.050 rev/s; (c) quando o eixo está girando em um pla no horizontal em torno do seu centro com 0.300 rev/s. (d ) Com que taxa o eixo deve girar de modo que ele possa ser suportado apenas em uma das suas extremidades ?

10.87

Um bloco de massa m está girando com velocidade linear v, em um círculo de raio r 1, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O fio é puxado por baixo até que o raio do círculo no qual o bloco se move é reduzido a um valor r 2. (a) Calcule a tensão T  no fio em função de r , a distância entre o bloco e o orifício. Dê sua resposta em função da velocidade inicial v e do raio r 1. r 2

  T  r   dr para   

(b) Use a relação W





calcular o

r 1 

trabalho realizado pela tensão T  quando r varia desde r 1 até r 2. (c) Compare o resultado do item (b) com a variação da energia cinética do bloco.

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10-20: (a)

Capítulo 10  –  Exercícios resolvidos pares Editora Pearson  10-2:  1  (8.00 N )(5.00 m)   40.0 N   m,  2  (12.0 N )(2.00 m) sin 30o  12.0 N   m, onde o torque positivo está no sentido anti-horário, de modo que o torque resultante é  – 28.0 Nm, onde o sinal negativo indica um torque sentido horário, ou um torque para dentro da página .

10-4:

 1   2   F 1 R  F 2 R  ( F 2  F 1 ) R

 (5.30 N   7.50 N )(0.330 m)   0.726 N   m.

10-6:   

(a)

 I    I 

(b)

1

2

 I   2

A velocidade angular da bola deve diminui, e portanto o torque é determinado pela força de atrito que para cima . (b) A força de atrito resulta em uma aceleração angular, relacionada por :  I  = fR. A equação do movimento é mg sin  -  f  = m cm, enquanto que a aceleração angular é relacionada por: cm =  R  (observe que a aceleração positiva é considerada ser para baixo, e que a relação entre cm e  está correta para uma força de atrito direcionada para cima ). Combinando as equações acima, temos:

   

2   rad  / s      400 rev / min  x    60 rev / min    ( 2.50 kg  m )    13 .1 N   m.  t  (8.00 s )



mg sin    ma 1 

2

1 2

   

(2.50 kg  m )  400 rev / min  x 2

do qual obtemos:  cm = (5/7)g sin  . (b) Das relações entre f e  cm , , dadas acima, temos:

2

   2.19 x 10  J .  60 rev / min 

2   rad  / s

3

10-8:   

   I 



FR  I 



( 40.0 N )(0.250 m ) (5.0 kg  m 2 )

 I      ma (7 / 5), mR 2  

 2.00 rad  / s . 2

2 2  f   macm  mg sin     s    s mg cos  , 5 7 da qual obtemos:  s  (2/7) tan  .

10-22: (a) 10-10: (a) O cilindro não se move, então a força resultante deve ser nula. O cabo exerce uma força horizontal para a direita, e a gravidade uma força para baixo, então a força normal deve ser para cima e para a esquerda conforme mostrado na figura Fig. (10-8). (b) N = (9.0 N ) 2  ((50 kg )(9.80 m / s 2 )) 2  490 N , Em um ângulo de arctan

  9.0    1.1    490 

o

a partir da vertical (o peso é

  

(175 hp)(746W  / hp)  519 N   m.   rad  / s       ( 2400 rev / min)    30 rev / min   P



W =   Δ = (519 Nm)(2 ) = 3261 J. Da Eq. (10-26), a potência de saída é:

(b)

10-24:

muito maior que a força F aplicada).

P =  = (4.30 Nm)

 4800 rev / min  x 2  rad  / s    2161W ,   60 rev / min    

10-12:

Esta é a mesma situação apresentada no Exemplo 10-3. (a) T = mg /(1 + 2m/M ) = 42.0 N. (b) v  2 gh /(1  M  / 2m)  11.8 m / s. Existem muitas formas de se encontrar o tempo de queda . Ao invés de se realizar os cálculos intermediários da aceleração, o tempo é a distância dividida pela velocidade média, ou seja h/(v/2) = 1.69 s. A força normal na Fig. (10-1-9(b)) é a soma da tensão encontrada na parte (a) e o peso do molinete, um total de 159.6 N (mantido os algarismos significativos da parte (a)).

 I  

1 12







2



vcm 

gh,

  

vcm / R  33.9 rad / s 

10-18: (a) A aceleração ladeira abaixo é: a  g  sen  

 f  m

sendo que o torque relativo ao centro da concha é dado por:

a 2 a 2    Rf   I    I    M  R 2   MRa ,  R 3  R 3 então  f 

2

 a.

Resolvendo simultaneamente relações para

 M  3 a e f encontramos: 5 3

a  g sen    3 3 o a  g s en    (9.80 m / s2 ) sen 38.0  3.62 m/  s 2 5 5 2 2 f Ma (2.00 kg)(3.62 m/ s2 )4.83 N   3 3

A força normal é: Mg cos  , e desde que f   sN , então finalmente temos: 2

3  Ma g sen   2 a 25 2 3    tan    0.313.  s    N   Mg cos   3 g cos  3 g cos   5  f 

(b) a = 3.62 m/s2 , visto que ela não depende da massa . Contudo, a força de atrito é duas vezes maior, 9.65 N, visto que ela também não depende da massa . O valor mínimo de

 s

também não varia.

1 12

(117 kg )(2.08 m) 2  42.2 kg  m 2

2 

2(46.2 rad s )(5.0 rev x 2  rad rev)  53.9 rad  s 2

(c) Tanto de

temos: K2  Mvcm

2

  1950 N   m      46.2 rad  / s 2 . 2  I  42.2 kg  m (b) 

10-16: Veja o Exemplo 10-6 e o Exercício 10-17. Para este caso

mL 

(a)

10-14:   3F  Fl     .   I  1 Ml 2  Ml 3

ou 2.9 hp.

10-26:

1 2 como da Eq. (10-24), W   K    I   2

W     = (1950 Nm)(5.00 rev x 2 rad/rev) = 6.13 x 104 J.

(d ) O tempo pode ser encontrado da aceleração angular e do ângulo total, enquanto que a potência instantânea é encontrada de P =  = 105 kW (141 hp). A potência é metade desse valor, isto é: 52.6 kW .

10-28: Apenas como interesse, o momento de inércia da mulher com relação ao eixo do disco é mR2 , e portanto o momento angular total é:  1    L  Ldisk   Lwoman  ( I disk    I woman )     M   m  R 2  2     1       110 kg  50.0 kg  ( 4.00 m) (0.500 rev / s x 2  rad  / rev)  2   5 . 28 10  /   x kg  m s.  2

3

2

10-30: Para ambas as partes, L = I .  Também ,   = v/r , e portanto: L = I(v/r). (a) L = (mr 2)(v/r) = mvr   L = (5.97 x 1024 kg)(2.98 x 10 4 m/s)(1.50 x 1011 m) = 2.67 x 10 40 kgm2 /s (b) L = (2/5 mr 2)( )  L = (2/5)(5.97 x 10 24 kg)(6.38 x 106 m)2 (2 rad/(24.0 hr x 3600 s/hr)) = 7.07 x 1033 kgm2 /s

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10-32:

O momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e portanto a velocidade angular será proporcional ao inverso do quadrado do raio, e dessa forma a velocidade angular final é: 2

(b) Para se manter uma velocidade angular constante, o torque  resultante é nulo e, a força é:

2

  R        7.0 x 10 km  2  rad         4.6 x 10 rad  / s.   R    (30 d )(86,400 s / d )    16 km  

 2   1 

5

F  =

3

1

2

10-34:

O momento de inércia inicial do patinador é:  I 1  (0.400 kg  m )  2

1 12

(8.00 kg )(1.80 m) 2  2.56 kg  m 2 ,

e o seu momento de inércia final é:  I 2  (0.400kg  m 2 )  (8.00 kg )(25 x 10 2 m) 2  0.9 kg  m 2 , 

portanto da EQ. (10-33), temos: 2.56 kg  m  I   1.14 rev / s.       (0.40 rev / s) 0.9 kg  m  I  Observe que a conversão de rev/s para rad/s não é necessária. Faça

1 0.500 m

(6.50 Nm + 24.96 Nm) = 62.9 N.

(c) O tempo t  necessário para recuperar a parada é encontrado do módulo da (10-27), com  =   f  constante, ou seja:  120 rev / min  x 2  rad  / s   (1.86 kg  m 2 )    L   I    60 rev / min     3.6 s. t     f    f  (6.50 N   m)

2

1

2

1

2

2

10-36:

 I 1  I 0  1200 kg  m 2 ,

Observe que este tempo pode também se encontrado como: 2.60 N   m t  (9.00 s ) . 6.50 N   m 10-46: (a) O momento de inércia não é dado, então a aceleração angular deve ser encontrada através das equações da cinemática, isto é:

2 2 2 2  I 2  I 0  mR  1200 kg  m  (40.0 kg )(2.00 m)  1360 kg  m .

  

Então da Eq. (10-33),

 2  rad   1200 kg  m  0.924 rad  / s.          I    6.00 s   1360 kg  m 2

1

10-38:

Faça a largura da porta ser l;  L  I 





mv (l / 2)

(0.500 kg )(12.00 m / s )(0.500 m) (1 / 3)(40.0 kg )(1.00 m) 2  ( 0.500 kg )(0.500 ) 2

2(5.00 m)

 8.33 rad  / s . 2

(0.30 m)( 2.00 s ) 2

(d )

 0.223 rad  / s.

 I  

10-48: (a) ˆ

ˆ



(1.372 N )( 4.00 x 10 2 m) (1.20 x 10  4 kg  m 2 )(2  rad  / 2.20 s )

2 K 

 2



2(200 J ) (16.67 rad  / s) 2

 1.44 kg  m . 2

Da regra da mão direita, a direção do torque é:

i  x  j  k , ˆ

ou seja a direção

+ z .

(b) (c)

ter uma força vertical sobre ele, então a força que o eixo exerce deve ser igual em módulo ao peso do giroscópio, isto é: F =   = mg = (0.1540 kg)(9.80 m/s2) = 1.372 N, ou 1.37 N para três algarismos significativos. (b) Resolvendo a Eq. (10-36) para , temos:

 I 



(c) O trabalho realizado pela corda sobre o volante será a energia cinética final, isto é: K = W = Fs = (40.0 N)(5.0 m) = 200 J.

10-40: (a) Como o giroscópio esta trabalhando no plano horizontal, lá não pode

wR

rt 2

(1 / 3) Ml 2  m(l / 2) 2

Ignorando a massa do barro no denominador da expressão acima, resulta em   = 0.225 rad/s, portanto a massa de barro afeta o momento de inércia em seu terceiro algarismo significativo .

  

2s



2

2

  

t 2

(b)  t = (8.33 rad/s 2)(2.00 s) = 16.67 rad/s.

2

 I 1

2 

 160 rad  / s,

a qual é 1.53 x 103 rev/min. Observe que nesta ou em outra situação similar, desde que  apareça no denominador da expressão para  , a conversão entre rev/s e rev/min deve ser feita. (c)

(d ) O módulo do torque é F 0(x- x2 /L), o qual possui seu valor máximo em L/2. (e) O valor do torque em x = L/2 é F 0 L/4.

10-50: (a)

De considerações geométricas, o braço da alavanca e o  

seno do ângulo entre

10-42:

Utilizando a Eq. (10-36) para todas as partes, temos: (a) Compartilhado igualmente (b) Dobrado (supondo que o peso adicionado seja distribuído de tal modo que tanto r como I não se modifiquem) (c) Compartilhado igualmente (supondo que tanto   como r  não variam) (d ) Dobrado (e) Inalterado .

10-44: (a) O torque resultante deve ser:  120 rev / min  x 2  rad  / s       60 rev / min   2.60 N   m.  (1.86 kg  m )    I    I  t  (9.00 s )       Este torque deve ser a soma da força aplicada FR e os torques de atrito 2

opostos

  f 

no eixo , e também fr =  k r  devido a faca . Combinando essas,     

temos: F  



1  R

(     f    k  r ) 1

0.500 m

 68.1 N .

(( 2.60 N   m)  (6.50 N   m)  (0.60)(160 N )(0.260 m))

F  e r 

são ambos máximo se a corda estiver

presa no final da haste (b)Em termos da distancia x onde a corda está presa, o módulo da força é: Fxh /   x 2  h 2 . Esta função satisfaz seu máximo no limite quando  x = h, então a corda deveria estar presa no lado direito da haste. (c) Em função de x, l e h, o módulo do torque é:  xh .    F  ( x  l / 2) 2  h 2 Esta fórmula mostra que existem dois aspectos ao se aumentar o torque: maximizando o braço l da alavanca e maximizando sin  . Diferenciando  com relação a x e fazendo-se igual a zero temos:  xmax = (l/2)(1+ (2h/l)2). Este será o ponto no qual deve-se prender a corda, a não ser que 2h > l, no qual a corda deveria ser presa em um ponto adicional, a direita, em x = l.

10-52:

Na figura (10-19) e Eq. (10-22), com o ângulo  medido a partir da vertical , sen  na Eq. (10-2). O torque é então:  = FR cos  . (a) W     / 2 FR cos  d    Fr .



0

(b) Na Eq. (6-14), dl é a dist6ancia horizontal que os pontos se movem, e portanto temos: W = F  ∫ dl = FR, que é o mesmo resultado encontrado em (a). (c) De K  2

 W   ( MR  / r )  ,    4 F  / MR. 2

2

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Capítulo 10  – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

(d ) O torque, e por conseqüência a aceleração angular, é maior quando  = 0, e no ponto  = (  /I) = 2F/MR, e portanto a aceleração tangencial máxima é: 2F/M. (e) Utilizando o valor para  encontrado na parte (c), temos: arad  =  2 R = 4F/M .

10-54: No ponto de contato as paredes exercem uma força de atrito  f  direcionada para baixo e uma força norma direcionada para a direita. Esta é uma situação onde a força resultante sobre o cilindro é nula, então torques de equilíbrio não seriam correto. Forças verticais de equilíbrio, F rod  cos  = f +   + F , e forças horizontais de equilíbrio , F rod  sin   = N. Com  f =  k N    , essas equações se tornam: F rod  cos  =  k N  ,   + F +   F rod  sin  = N . (a) Eliminando N e resolvendo para F rod  temos:    F  (16.0 kg )(9.80 m / s 2 )  (40.0 N )   266 N . F rod   cos    k  sin   cos 30o  (0.25) sin 30o (b) Com respeito ao centro do cilindro, a corda e a força normal exercem torque nulo . O módulo do torque resultante é (F  – f)R, e f =  k N pode   se encontrada por inserção do valor encontrado para F rod  dentro de ambas as relações acima , isto é:  f =  kF    rod  sen  = 33.2 N. Portanto,   (40.0 N   31.54 N )(18.0 x 102 m)  4.71 rad  / s 2 .      I  (0.260 kg  m 2 ) Para uma tensão T na corda, temos: 10-56: mg – T = ma e TR = I  = a Eliminando T e resolvendo para  I 

a , temos: ag

m m  I  /  R 2



 R

10-64: (a) A energia cinética da bola quando ela deixa a trilha (quando ela ainda está rolando sem deslizar) é : (7/10)mv2, e este deve também ser o trabalho realizado pela gravidade, isto é: W = mgh, então v  10 gh / 7. A bola fica no ar por um tempo igual a: t  2 y / g , então  x

 vt  20hy / 7.

(b) A resposta não depende de g, então o resultado deveria ser o mesmo sobre a lua . (c) A presença de atrito de enrolamento diminuiria a distancia . (d ) Para moeda em dólar, modelada como um disco uniforme, temos:

K   (3 / 4)mv 2 , e portanto  x  8hy / 3.

10-66:

(a)

.

g

1  I  / mR 2

,

onde m é a massa do peso dependurado,  I  é o momento de inércia da combinação do disco ( I = 2.25 x 10 -3 kgm2 de acordo com o problema 9-75) e,  R é o raio do disco onde a corda está presa . -2

(b) R é o raio da roda ( y varia de 0 a R) e T é o período de rotação da roda. (c) Diferenciando, temos: v x 

2

(a) Com m = 1.50 kg, R = 2.50 x 10 m, a = 2.88 m/s . (b) Com m = 1.50 kg, R = 5.00 x 10-2 m, a = 6.13 m/s2. A aceleração é maior no caso (b); com a corda presa ao disco maior, a tensão na corda é capaz de aplicar um torque maior .

v y 

10-58: As aceleração dos blocos A e B terão o mesmo módulo a. Como a corda não escorrega, a aceleração angular sobre a polia será:

  

a  R

.

Denotando as

tensões na corda como: T  A e T  B, as equações do movimento são:

2

2  R   2 t   1  cos   T     T    2  R T 

 2    R sin  2 t        T      T   

a x  

2

 2 t      T   

 2    2 t     R cos  .   T      T   

a y  

sin 

 2 t    2     T   

v x  v y  0 quando 

(d ) ou qualquer múltiplo de 2, então os tempos são múltiplos inteiros do período T . As componentes das acelerações para estes tempos são: 2

m A g  T  A  m A a

a x  0, a y 

T  B  m B g  m B a

(e)

T  A  T  B 

 I   R

2

4   R . T 2 2

a,

2

onde a última equação é obtida pela divisão de  = I  por R e substituindo por  em termos de a. Somando-se as três equações, eliminamos ambas as tensões, resultando em:

ag

m A  m B

m A  m B  I  /  R

2

2

2

2

2

independente do tempo. Este é o módulo da aceleração radial para um ponto se movimentando sobre um circulo de raio  R com velocidade angular constante igual a:

2

Então, a aceleração angular é:   

 2    R cos  2 t    sin  2 t    4   R .        T      T      T    T 

a x  a y  

2  Para movimentos que consiste deste . T 

movimento circular sobreposto com um movimento de velocidade constante ( a  0), a aceleração devido ao movimento circular será a 

a  R

g

m A  m B m A R  m B R  I  /  R

E as t ensões podem ser encontradas de: 2m A  m B  m A I  /  R 2 T  A m A ( g  a )  g m A  m B  I  /  R 2 2m B  m A  m B I  /  R 2 T  B m B ( g  a )  g . m A  m B  I  /  R 2

aceleração total .

10-68:

 



opostas, e a força de atrito gera um torque maior o qual tende a gerar um movimento de rotação, para a direita, no iô-iô. A força resultante para a direita é a diferença F  –  f , então a força resultante é para a direita enquanto o torque resultante provoca uma rotação no sentido horário. Na segunda situação, tanto o torque como a força de atrito tenta girar o iô-iô no sentido horário e, o iô-iô se movimenta para a direita. Na terceira situação, a força de atrito tenta movimentar o iô-iô para a direita e, como a força aplicada é vertical, o iô-iô se movimenta para a direita .

2 / 3

    3bt   3b     3b   , dt   b 

d  

2

1 / 3

(a)

2 / 3

1 / 3

       6bt  6b     6b   . dt   b  W     I cm d    6b  I cm    d    9  I cmb d  

Como verificação, pode ser demonstrado que :(T  A – T  B) R = I . 

10-62: Na primeira situação a forca F  e a força de atrito estão em direção

Diferenciando e obtendo a resposta para a parte (b), temos:

2 / 3

2 / 3

1 / 3

1 / 3

2

2 / 3

4 / 3

  .

(b) A energia cinética é:

1 9 2 2 / 3 4 / 3 K    I cm    I cm b   , 2 2 o que está de acordo com a Eq. (10-25); o trabalho total realizado é a variação na energia cinética .

10-70:

(a) Os anéis e as hastes exercem forças um sobre o outro, mas não existe força resultante ou torque sobre o sistema, e portanto o momento angular será constante . Enquanto os anéis deslizam na direção final, o momento de inércia varia e, a velocidade angular final é dada pela Eq. (10-33), isto é:

Exercícios  – Sears & Zemanski, Young & Freedman  – Física  – 10ª Edição  – Editora Pearson

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 1  ML  2mr     5.00 x 10  kg  m            12     2.00 x 10 kg  m  4 , 1  I    ML  2mr    12  e portanto,  2 = 7.5 rev/min. Observe que a conversão de rev/min para rad/s não é necessária. (b) As forças e torques que os anéis e a haste exercem mutuamente irão desaparecer, mas a velocidade angular comum será a mesma, isto é: 7.5 rev/min. 2

2

 I 1

2

4

1

e então cos

2

1

1

1

1

2

2

3

  

2

2

2

m 2 R 2 2

( 2m  R )( )



ave

ave

ave

A velocidade angular é então:

 

 L rF  t  (l / 2) F  t  3 F  t  ,    ave

 I 

ave

1

 I 

3

ml

ave

2 ml

2

onde l é a largura da porta. Substituindo os valores numéricos dados, encontramos:  = 0.514 rad/s. 10-74: Momento angular é conservado, então  I    I    , ou , usando o 0

0



2

2

0

2

ângulo de

  

com o eixo +y. (c) Dos cálculos intermediários da parte (c),

 L y 1  m  R 2  mvR,

então a c omponente y total do momento angular é:

 L y  2mvR. (d )  L y é constante, então a componente resultante na direção y do toque é nula. (e) Cada partícula se movimenta em um circulo de raio R com velocidade v, e portanto está sujeita a uma força para dentro cujo módulo é mv2 /R. O braço de alavanca dessa força é  R, então o torque sobre cada tem módulo mv2. Estas forças estão direcionadas em direção opostas para duas partículas, e os vetores de posição são opostos uns ao outros, portanto os torques possuem o mesmos módulos e direção, e o torque resultante tem módulo igual a 2mv2.

10-80:

2

 2 

 R0  0  ( R0   R) 2 ( 0   ) ~ R02 0  2 R0  R 0  R02  ,

 R  e  

onde os termos em

foram omitidos. Cancelando os termos

 R0  

2  0

do circulo através de:

T   mv

r 



2



(80 kg  m )  (55.0 kg ) 3.00 m 2



2

onde o sinal negativo indica que a plataforma giratória reverteu a sua direção de movimento (isto é, o homem tinha inicialmente o maior módulo de momento angular) .

v 

.

r 

cm

m 2 v 2 r 2 m r 3



( mvr ) 2 mr 3



 L2 mr 3

velocidade angular irá variar de

  

 J ( x  xcm )  I 

.

 J  m

,

e a

A variação da

velocidade será

.

v  v    x 

O raio no qual a corda rompe pode ser relacionada ao momento angular inicial através de:  L2 ( mv1 r 1 ) 2 ((0.250 kg )(4.00 m / s )(0.800 m)) 2 3 , r     (0.250 kg )(30.0 N ) mT max mT max para o qual r = 0.440 m.

10-78:

(80 kg  m )(0.200 rad  / s )  (55.0 kg )(3.00 m )(2.8 m /  s )

10-82:A velocidade do centro de massa irá variar de

v2

O momento angular do bloco com relação ao buraco é L = mvr , então em termos de momento angular, temos: 2 1

 I   mR 2

  0.776 rad  / s,

  1.1 cm.

10-76: A tensão está relacionada com a massa do bloco, a velocidade e o raio

T   m

O momento angular inicial é  I 1   –  mRv1, com o sinal menos indicando que o movimento do corredor é oposto ao movimento da plataforma giratória sobre seus pés. O momento angular final é  2(I + mR2), então:  I  1  mRv1



 R02 0 , temos:  R  

6

6

2

2

2

Isto também é verdade para  L , então o momento angular total faz um 2

fato de que para massas comuns o momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, temos:  R 2   R 2  , ou 0

 



10-72: Admitindo que o sopro esteja concentrado em um ponto (ou utilizando um ponto médio escolhido favoravelmente), a uma distância r  da dobradiça, então:    rF  , e  L  rF  t  rJ .

1

 , e    .

(a), g)

end 

Fazendo

cm

vend   0

 I   ( x  xcm ) xcm m,  x 

 I 

  xcm 

cm

 J   J ( x  xcm ) xcm m



 I 

.

permite o cancelamento de J , resultando em o qual quando resolvido para x é:

(5.30 x 102 kg  m2 )

 (0.600 m)  0.710 m. (0.600 m)(0.800 kg )  xcmm 10-84: (a) A distância do centro da bola ao centro da linha que une os pontos onde a bola esta em contato com o trilho é:  R 2  ( d  / 2)2 , então vcm     R 2  d 2 / 4. Quando

d  =

vcm    R,

0,

isto

fica

reduzido

para

que é o mesmo de estar rolando

sobre uma superfície plana . Quando d = 2R, o raio de rolamento se aproxima de zero, e

vcm  0

para qualquer  .

(b) 1 1 2 2 K   mv   I   2 2 1

     v   mv  (2 / 5)mR   2    R  (d   / 4)     mv  2 5 .  10  (1  d   / 4 R )  2

2

2

cm

cm

(b) Utilizando a forma do produto vetorial para o momento angular, temos: v   v e r    r  , então 1 2 1 2 







mr 2  x v2  mr 1  x v1 , então o momento angular é o mesmo . 





     j . 

Então:

v1    x r 1   ( zi   xk ), e 





ˆ

ˆ





 L1  mr 1  x v1  m  (  xR )i  ( x 2   y 2 )  j  ( xR )k  . Com x2 + y2 = R2, o módulo de 





ˆ

ˆ

 L1 é 2m  R 2 , e  L1     m 2 R 2 , 

2

2

cm

2

2





(c) Seja

2





ˆ

Igualando isto a mgh e resolvendo para vcm dá o resultado desejado . (c) O denominador na raiz quadrada da expressão para vcm é maior do que para a situação quando d  = 0, então vcm é menor . Para uma dada velocidade,   é maior do que quando d = 0, portanto uma grande parte da energia cinética é rotacional, daí a energia cinética de translação e por conseqüência vcm, são menores. (d ) Tornando a expressão da parte (b) igual a 0.95 e resolvendo para a razão d/R obtemos d/R = 1.05. Colocando igual a 0.995 obtemos d/R = 0.37. 10-86: Denotando por F  L e F  R as forças para cima exercida pelas mãos,

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Gabarito – Gabarito  –  Exercícios Ímpares Exercício Gabarito 10.1 (a) para fora da página 40 N  m (b) 34.6

as condições que estas forças devem satisfazer são:

F  L  F  R    F  L  F  R   onde a segunda equação é

    L,

 I   r 

,

N.m para fora da página (c) 20 N.m para

podem ser resolvidas para as forças, através de, primeiro somando e então subtraindo, o que conduz a:

1    I    F  L        2   r    F  R 

fora da página. (d ) 17.3 N.m para dentro

dividido por r . Estas duas equações

1  

 I         . 2   r   

Utilizando os valores de  = mg = (8.00 kg)(9.80 m/s2) = 78.4 N e

da página (e) 0 ( f ) 0

10.3 10.5

2.50 N.m sentido anti-horário

10.7 10.9

1.2 m/s

(c)

(a)

 1.05 N  m  k   ˆ

g  M  3m  1  2m M   (b)

2

 I   (8.00 kg )(0.325 m ) (5.00 rev / s  x 2  rad  / rev) r 



(0.200 m ) obtemos:

F  L  39.2 N   (66.4 N   s), F  R  39.2 N   (66.4 N   s).

(a)  = 0, F  L = F  R = 39.2 N. (b)  = 0.05 rev/s = 0.314 rad/s, F  L = 160.0 N, F  R = 18.4 N. (c)  = 0.3 rev/s = 1.89 rad/s, F  L = 165 N, F  R = -86.2 N, como sinal negativo indicando uma força para baixo . F  R = 0 obtemos  =

39.2 N  66.4 N   s

rev/s.

 0.575

menor (c) nenhum efeito.

 132.7 kg  m / s

rad/s, que é o mesmo que 0.0916

10.11 10.13

0.482 (a) 7.7 N na parte horizontal, 18.2 N na parte suspensa. (b)

10.15 10.17 10.19 10.21 10.23 10.25 10.27

0.0160kg  m2

(a) 0.882N (b)

0.533s (c) 33.9 rad/s

(a) 1/3 (b) 2/7 (c) 2/5 (d ) 5/13 11.7m

0.309 rad s (b) 100J (c) 6.67W (a) 0.38 N  m (b) 160rad  (c) 59J (d ) 59 J 

(a)

(b)65.6N (a)

358 N  m (b) 1.79 103 N  (c) 83.8m/s

(a) para dentro da página 115k g  m

10.29

(b)para fora da página

10.31

s

2

125kg  m2 s 2

4.71106 kg  m2 s 7rad / s 2 (c) 1.03 10 J  2 (d ) 1.03 10 J  0.6rev (a) 1.4 rad s (b) 1080 J  antes ; 500 J  depois (b)

10.33 10.35 10.37 10.39 10.41 10.43 10.45

36.8min (b) 1.10 105 N  m 5.4 1022 N  m (a) 0.955kg  m² (b) 0.0800 N  m (c) (a)

104 rev

10.47

(b)

4500W  (d ) 2600W 

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Capítulo 10  – Torque e Momento angular Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Exercício

Gabarito

10.49 10.51

0.675s (a) L /4 a partir da extremidade com a esfera (b) (9g /8 L)sen (c) (3g /2 L)sen 1200 N (a) 1.12 m/s² (b) 14.0 N  /2m; f = F   /2 a = F  (a) 0.957 m (a) (27 R  –  17r )/10 (b) (5 R  –  3r )/2

10.53 10.55 10.57 10.59 10.61 10.63

(a)

1.76 N  (b) 123 rad s 2 (c)

9.80 m s ² (d )T possui o mesmo valor, os valores de  e a dobrariam

10.65 10.67 10.69 10.71 10.73 10.75 10.77 10.81 10.85

9.34 m s (b) 18.7 m s (c) 0 (d ) 5.6m

(a)

3.4m g /3 (a) 6v /19 L (b) 3/19 3 (a) 5.60 rad/s (b) 3.17 cm (c) 1.01.10 m/s 3200 J 0.3 rad/s no sentido horário 12.7 rad/s (a)

a   C  g;  2  C   g R (b)

02  R 2 18 C g

(c)  M   02  R2 6

10.87

(a)



m1  v12  r12 r 3 

(b) m1  v1

2

2  r1 r2    1 2



(c)resultados iguais.

