CAPITULO_03_METODO_GRAFICO

Investigación de Operaciones I Con aplicaciones a Ingeniería y Gestión

Profesor : Mg. Ing. Juan C Ubillus C.

EL METODO GRAFICO EL METODO GRAFICO Y LOS VALORES FACTIBLES El método gráfico nos permite resolver problemas pequeños de programación lineal. Si bien es cierto que solo podemos utilizarlo con dos o tres variables de decisión, es útil por ofrecer las bases de los otros métodos para resolver sistemas o modelos más complejos. El método gráfico para resolver un problema lineal con dos variables se comprende mejor concentrándose en las restricciones y posteriormente en la función objetivo. Cada restricción permite ciertos valores de X1 y X2 que satisfacen la restricción. Estos valores se denominan valores factibles. Aquellos valores que no satisfacen la restricción se llaman valores infactibles CASO PARA SOLUCION GRAFICA Una empresa elabora dos productos, A-01 y A-02, (acelerantes de fragua para concreto). El margen por ganancia estimado es de $0.30/galon de S-01 y de $0.50 por galón de S-02. Se plantea cuanto producir de cada uno, considerando que las horas requeridas en los departamentos de mezclado y purificación, para producir mil galones de cada uno, se enumeran a continuación: S-01 S-02 Mezclado 2 1 Purificación 1 2 Considerar que la demanda de S-02 esta limitada a 120,000 galones-semana. Se tiene hasta 230 horas disponible en mezclado y 250 horas en purificación Sean las variables de decisión X1, X2 cuantos miles galones producir de cada solvente Sea la función objetivo expresada en miles de dólares: Maximizar Z = 3 X1 + 5 X2 Dependiendo de 2 X1 + X2 = 150 Lo que resulta en un nuevo programa lineal: Maximizar Z = 3 X1 + 5 X2 Dependiendo de 2 X1 + X2 = 150 (6)

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Como se podrá ver no hay valores de X1, X2 que satisfagan la nueva restricción y todas las anteriores restricciones. Este programa lineal, se llama programa lineal infactible, lo que significa que ningún valor de X1, X2, satisface todas las restricciones, es decir que no existe ninguna región factible. Lo que debería hacer el Gerente: Determinar la obtención de recursos adicionales para cumplir con la meta contractual. Lo mas usual es un error de signo que convierta al problema en infactible.

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Profesor : Mg. Ing. Juan C Ubillus C.

Programas lineales ilimitados Considere la misma f.0., Maximizar Z = 3 X1 + 5 X2 dependiendo de 2 X1 + X2 >= 230 rest. Mezclado (1) X1 + 2 X2 >= 250 rest. Purificación X2 = 0 (4) X2 >= 0 (5)

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La línea de la función objetivo, debemos moverla paralelamente a si misma hasta el extremo de la región factible, pero en este caso la región factible no tiene limite en el extremo derecho. Técnicamente esto significa una ganancia infinita, lo cual es imposible La causa puede ser haber omitido una restricción accidentalmente o equivocarse en el signo de una restricción. Es posible que la región factible sea ilimitada pero el problema lineal no lo sea. Programas lineales con restricciones redundantes Restricción redundante es una restricción que no es necesaria, pues la región factible será la misma si se incluye o no esta restricción. Ejemplo, agregar la restricción: X1 + X2 =60 Requerimientos para evitar se malogre la material prima. X1>=30 Para atender ordenes de compra. X2>=20 Requerimientos para mantener inventarios. X1, x2 >=0 Condición de no negatividad.

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Graficamos las ecuaciones como igualdades y determinamos la Región factible

En el Gráfico observamos dos vértices de la región factible como posibles puntos solución. Costo total en el Vértice derecho = 3500 (40) + 4300 (20) = 140,000 + 86,000 = $ 226,000 Costo total en el Vértice izquierdo = 3500(30) + 4300 (30) = 105,000 +129,000 =$ 234,000 Luego, podemos concluir que la solución óptima es producir 40 ton del producto A y 20 toneladas del producto B, pues permite un ahorro de costos de $8,000 en dicho mes.

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PROBLEMA PROPUESTO PARA SOLUCION CON EL METODO GRAFICO Una empresa produce los productos A y B. El primero tiene un costo de producción de 3500 por Ton y el segundo de 4000 por Ton. Con la finalidad de atender las órdenes de compra pendientes y mantener el nivel de inventarios, se determina que necesita producir por lo menos 30 Ton de A y 20 Ton de B. Además se requiere producir por lo menos 60 ton de ambos productos para evitar que cierta materia prima utilizada en la producción de ambos productos se malogre. Determinar la cantidad a producir de cada producto para minimizar el costo total. Definimos las variables de decisión: X1 = cantidad de ton del producto A X2 = cantidad de ton del producto B Formulamos el Modelo: Min Z= 3500 X1 + 4000 x2 St X1 + x2 >=60 Requerimientos para evitar se malogre la material prima. X1>=30 Para atender ordenes de compra. X2>=20 Requerimientos para mantener inventarios. X1, x2 >=0 Condición de no negatividad. Se debe graficar las ecuaciones como igualdades y determinar la Región factible