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CAPÍTULO X ESTADÍSTICA APLICADA A LA HIDROLOGIA

10.1 INTRODUCCIÓN. Los estudios hidrológicos requieren del análisis de información hidrometeorológica, esta información puede ser de datos de precipitación, caudales, temperatura, evaporación, infiltración, etc. Se cuenta con datos recopilados de un periodo disponible, si esta información es organizada y se analiza adecuadamente proporciona una herramienta muy útil, para tomar decisiones sobre el diseño de estructuras hidráulicas y responder a innumerables dudas y parámetros de diseño, como se muestra en la Figura 10.1

FIGURA No 10.1 APLICACIONES DE LA ESTADISTICA EN LA HIDROLOGIA.

En el análisis hidrológico se utilizan los conceptos de probabilidades y estadística, porque generalmente se cuenta con escasa información, y casi todos los fenómenos hidrológicos tienen una alta aleatoriedad, por esta razón se ve la necesidad de introducir este capítulo para aclarar los conceptos y los métodos más utilizados en la hidrología.

10.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES PROBABILIDAD: Sea S un espacio muestral asociado a un experimento, y A cualquier suceso de S, tal que A es un subconjunto de S, se dice que la probabilidad de P(A) de un evento A, es un experimento aleatorio que tiene Ns resultados igualmente posibles y Na resultados favorables, está dado por:

P( A) 

Na Ns

(Ec. 10.1)

Este tiene que satisfacer los siguientes axiomas. 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, para todo AϵS (para todo evento A su probabilidad es positiva y cero si el evento es imposible). 2. P(S)=1 3. P(A1UA2UA3U…UAN)=P(A1+A2+A3+….+AN)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+….P(AN). A1+A2+A3+…+AN, es una serie de sucesos mutuamente excluyentes. DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

Si

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FUNCIONES DE PROBABILIDAD: Una de las formas de representar las probabilidades de las variables hidrológicas son las funciones de probabilidad (funciones de densidad), y las funciones de probabilidad acumuladas que a continuación se mencionan.

a. Funciones de probabilidad discreta: Cuando el número n de valores que puede tomar una variable aleatoria X es finito, se dice que la variable aleatoria X es discreta. A la función y gráfica que asocia una probabilidad a dicha variable aleatoria X se denomina función de probabilidad discreta f(xi) Esta función representa la probabilidad que tomará la variable aleatoria X, generalmente se representa por un gráfico de barras para cada valor de la variable aleatoria X, ver Figura 10.2.

FIGURA No 10.2 FUNCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

b. Funciones de probabilidad continúas. Cuando el número de valores n que puede tomar una variable aleatoria X es infinito, se dice que la variable aleatoria X es continua. Este tipo de variables es más frecuente en hidrología. La función que asocia una probabilidad a dicha variable se denomina función de probabilidad continua o función de densidad f(xi). Esta función representa la probabilidad que toma una variable aleatoria X, la representación gráfica se muestra en la Figura 10.3

FIGURA No 10.3 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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FUNCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

c. Función de distribución acumulada. Si X es una variable aleatoria discreta o continua, se define la función de distribución acumulada F(x), como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome cualquier valor menor o igual a x y se designa por: F(x)=P(X≤x)

(Ec. 10.2)

Que es conocida como probabilidad de no excedencia, o 1- F(x)= 1 - P(X≤x) = P(X≥x)

(Ec. 10.3)

Que es conocido como probabilidad de excedencia, ver Figura 10.4

FIGURA No 10.4 PROBABILIDAD EXCEDENCIA Y NO EXCEDENCIA

Tal que: P(X ≤ x) + P(X ≥ x) = 1

(Ec. 10.4)

En hidrología la variable más frecuente es una variable continua, se analizara la función de distribución acumulada de esta variable, que está representada por:

F ( x)  P( X  x)   f ( x)dx

(Ec. 10.5)

x



En caso que la función empiece en

-



De esto se deduce que:

P(a  x  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx b

(Ec. 10.6)

a

Lo que significa que la probabilidad de un evento a≤x≤b, es igual al área que hay bajo la curva de la función de densidad f(xi) entre x=a y x=b, ver Figura No 10.5

DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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FIGURA No 10.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO a≤x≤b

Se concluye que la probabilidad puntual es cero, porque el área bajo la curva es cero., como se observa en la Figura 10.6

FIGURA No 10.6 PROBABILIDAD PUNTUAL

Por otro lado se tiene que el rango de F(x) es: 0≤F(x)≤1

(Ec. 10.7)

Es decir que la función de distribución acumulada está en el rango de cero y la unidad o 100%, dependiendo si se trabaja en porcentajes o decimales. La función de distribución acumulada se representa de la siguiente manera.

FIGURA No 10.7 FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA

La Figura No 10.7 nos permite ver el porcentaje de las observaciones que están por encima (Fxi) o debajo (1-Fxi) del valor xi con respecto al total.

DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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d. Función de distribución acumulada. El Periodo de Retorno T, se define como el tiempo o lapso promedio entre la ocurrencia de un evento igual o mayor a una magnitud dada, dicho de otra forma, es el intervalo de recurrencia promedio para un cierto evento. Estadísticamente el Periodo de Retorno es la inversa de la probabilidad de excedencia, es decir: T

1 P( X  x)

(Ec. 10.8)

O también puede ser representada por la probabilidad de no excedencia como se muestra a continuación.

T

1 1  P( X  x)

(Ec. 10.9)

Otra forma de definir Periodo de Retorno T es como sigue: Considerar por ejemplo la variable “caudal máximo del año, Q max” para n años. La gráfica correspondiente para una serie de 41 años será:

FIGURA No 10.8 CAUDALES DIARIOS MAXIMOS

La media histórica de esta serie de 41 años resulta 14.9 m3/s. Ahora considerar por ejemplo el valor 20 m3/s. Trazar una recta a 20 m3/s en el gráfico. Realizar el conteo de años transcurridos entre eventos mayores a 20 m3/s: Una vez que se presentó el evento “Q>20 m3/s” en el segundo año, transcurrieron 2 años antes de que se volviera a presentar dicho evento. Luego transcurrieron 5 años, luego 2 años, etc. Considerando varias centenas de años, el periodo de retorno T será el valor esperado de esos lapsos de tiempo. Entonces en el ejemplo descrito T puede ser estimado como sigue:

T

2  5  2  5  6  2  2 1 8  5  3.80años 10

Lo que significa: Considerando varias centenas de años, el valor de 20 m3/s es excedido en promedio una vez cada 3.8 años, es decir, el periodo de retorno del valor de 20 m3/s es de 3.8 años.

DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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Con otras palabras, en el transcurso de un año cualquiera se tiene una probabilidad de uno en 3.8 (o sea 26%) de que Q max sea igual o mayor a 20 m3/s. El periodo de retorno a adoptar para el diseño de una estructura hidráulica debería ser el resultado del análisis costo-beneficio. A mayor periodo de retorno mayor la obra y en consecuencia más cara y el beneficio también podría ser más grande. Sin embargo la evaluación de los beneficios es frecuentemente muy difícil de utilizar, por lo que en la práctica se adoptaran periodos de retorno en base a la práctica usual. En la Tabla 10.1, se muestra periodos de retorno recomendados para el cálculo de caudales de diseño de estructuras menores. TABLA No 10.1 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS MENORES

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002.

También se puede entender el periodo de retorno como un coeficiente de seguridad que se asigna a las distintas estructuras, a raíz de la falta de información y conocimiento del comportamiento de las variables hidrológicas (Precipitación, Caudales), siendo una medida de seguridad ante cualquier eventualidad.

TABLA No 10.2 PERIODO DE RETORNO PARA ESTRUCTURAS CIVILES EN GENERAL

FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987 .

Se dan a conocer otras tablas presentando periodos de retornos recomendados para diferentes tipos de estructuras civiles: La Tabla No 10.2 es de carácter general e incluye diversas obras, la Tabla 10.3 es exclusivo para obras hidráulicas en carreteras, la Tabla 10.4 está en función al tipo de área a proteger y la Tabla 10.5 en para el diseño de vertederos de embalses. DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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TABLA No 10.3 PERIODO DE RETORNO PARA OBRAS HIDRAULICAS EN CARRETERAS

FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987

TABLA No 10.4 PERIODO DE RETORNO SEGÚN AREAS A PROTEGER

/ FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987

TABLA No 10.5 PERIODO DE RETORNO PARA VERTEDEROS DE EMBALSE

FUENTE: CAMPOS ARANDA. HIDROLOGIA 1987.

e. Función de distribución acumulada. Por lo común el ingeniero diseña una obra para resistir una avenida de cierta magnitud. Se define el riesgo de fallo R de un diseño como la probabilidad de que la avenida para la cual se diseña la obra sea excedida en el transcurso de N años, esto es considerado como una situación de riesgo, pues la obra se diseña para soportar cierta avenida máxima, y crecientes mayores podrían hacerle daño o incluso destruirla, poniendo en riesgo vidas humanas e infraestructuras que están aguas abajo. De forma más sencilla se entiende por riesgo de fallo a la probabilidad de que un evento con un periodo de retorno de T años ocurra al menos una vez en N años. El riesgo de fallo se puede escribir como:

R  P( X  x.al.menos.una.vez.en.N .años)  1  (1  P( X  x)) N

(Ec. 10.10)

1 R  P( X  x.al.menos.una.vez.en.N .años)  1  (1  ) T

(Ec. 10.11)

Dónde: T = Periodo de Retorno; DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

N

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N = Años P( X≥ x) = Probabilidad de excedencia R = Riesgo de fallo o probabilidad de que un evento con periodo de retorno T años ocurra al menos una vez en N años. De la misma manera se puede definir la confiabilidad que viene a ser el complemento del riesgo de fallo, que se define como la probabilidad de que un evento con periodo de retorno de T años no ocurra en N años, la confiabilidad se puede expresar de la siguiente manera:

P( X  x.cada.año.durante.N .años)  1  P( X  x)

(Ec. 10.12)

N

1 R  P( X  x.cada.año.durante.N )  (1  )  F ( x) T N

N

(Ec.10.13)

También es posible calcular el periodo de retorno a partir del riesgo de fallo y del número de años, como sigue a continuación: (Ec. 10.14)

T

1  ln .1  R  1  exp   N 

10.3 POSICION DE PLOTEO Y PAPEL DE PROBABILIDAD. a. Posición de Ploteo. También denominada posición de graficación, o probabilidad empírica o experimental, o probabilidad asignada (probabilidad acumulada experimental) La posición de ploteo es la ubicación de graficación en el papel de probabilidades de los datos de una muestra. Existen varias fórmulas empíricas propuestas por diferentes autores para poder calcular dicha posición de ploteo, éstas se muestran en la Tabla 10.6 TABLA No 10.6 PROBABILIDADES EMPIRICAS

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002 DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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Dónde: m

: Numero de orden.

N

: Número total de datos.

a

: Valor entre 0≤a≤1, que depende de N de acuerdo a la Tabla No 10.7 TABLA No 10.7 VALORES DEL PARAMETRO a PARA LA FORMULA DE GRINGORTEM

FUENTE: MAXIMO VILLON BEJAR. HIDROLOGIA 2002

La fórmula más utilizada para el cálculo de la posición de ploteo es la de Weibull. El procedimiento a seguir es el siguiente: Una vez seleccionada la fórmula empírica a utilizar, se procede a ordenar los datos de la muestra de menor a mayor, después se les asigna la probabilidad empírica, que es la probabilidad de no excedencia. Si se ordena de mayor a menor, la probabilidad asignada será la probabilidad de excedencia. Con estos datos se plotea en los respectivos papeles de probabilidad.

b. Posición de Ploteo. Es la representación gráfica de la probabilidad acumulada de una distribución teórica, este papel de probabilidades tiene las escalas de las ordenada (X) y las abscisas (Probabilidad) diseñadas de tal manera que los datos que van a ser ajustados aparezcan cercanos a una línea recta. El propósito del papel de probabilidad es el de linealizar la relación de probabilidad de tal manera que los datos graficados se acomoden a una recta, generalmente con fines de comparación. Es una forma de determinar si una serie de datos está siendo representada de mejor manera por una distribución de probabilidades en comparación con otras distribuciones de probabilidades teóricas. Para este propósito se hace uso de la posición de ploteo. Este procedimiento es conocido como la prueba de bondad de ajuste gráfico, que nos sirve para poder determinar si los datos se ajustan a la distribución representada por el papel de probabilidades. Más adelante se presentarán las pruebas de bondad de ajuste estadístico

10.4 ANÁLISIS DE FRECUENCIA DE VALORES MEDIOS En estadística

existen muchas funciones de distribución de probabilidad teóricas, las

funciones de distribución de probabilidad teóricas más usadas en hidrología son las siguientes. 

Distribución Normal



Distribución Log. Normal



Distribución Gama de 2 y 3 parámetros



Distribución Log. Pearson Tipo III



Distribución Gumbel DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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

Distribución Log. Gumbel.

a. Distribución Normal. También denominada distribución gausiana. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución normal, cuando su función de densidad de probabilidad es:

 1 x  X  1  f ( x)  e   2 S  2  S   

2

(Ec. 10.15)

  

Dónde: f(x)

: Función de densidad normal de la variable x

x

: Variable independiente

X

: Parámetro de localización, igual a la media aritmética de x.

S

: Parámetro de escala igual a la desviación estándar de x.

e

: Base del logaritmo neperiano __

Cuando la variable aleatoria se distribuye normalmente con media

X y varianza S2, se

denota de la siguiente forma:

FIGURA No 10.9 FUNCION DE DENSIDAD DE LA DISTRIBUCION NORMAL

Para su aplicación lo más fácil es la utilización de una tabla que relacione Z versus f(Z) para lo cual se ha definido la variable estandarizada como:



(Ec. 10.16)

x X Z S

Donde la función de densidad de Z, es denominada función de densidad de la distribución normal estándar o estandarizada, que tiene la siguiente expresión:

(Ec. 10.17)

1  Z  f (Z )  e  2 S  2  2

Una característica importante de la distribución normal estándar es que tiene la media cero y la varianza igual a uno. La función de distribución acumulada de la distribución normal es:

DOCENTE: Msc. Ing. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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1 F ( x)   f ( x)   e 2 S x

x





 2     1 x X        2  S    

(Ec. 10.18)

dx

O su equivalente:

F ( x)  F ( Z ) 

1  e 2 Z

 Z2     2 



dZ

(Ec. 10.19)

Para el cálculo de la función de distribución acumulada se recurre a la tabla de la ley normal que está en función de la variable estandarizada Z. La distribución normal es de gran utilidad en hidrología, siendo algunas de sus principales aplicaciones:  El ajuste de distribución empírica de variables hidrológicas medias anuales, mensuales, estacionales, etc., o también variables acumuladas anuales, mensuales, etc., que pueden ser caudales precipitación, temperatura, entre otros.  Como referencia para comparar varias distribuciones teóricas de ajuste con una distribución empírica.  Análisis de errores aleatorios en las observaciones o mediciones hidrológicas.  Para aplicar inferencia estadística.

Para realizar el ajuste se utiliza el papel de probabilidades de la ley normal junto a su recta trazada analíticamente.

b. Distribución Log Normal. Las variables de interés en hidrología son generalmente positivas, por lo que es usual que presenten distribuciones de frecuencia asimétricas, por lo que se propone aplicar una transformación logarítmica a la variable de interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable trasformada, la distribución así obtenida se denomina log-normal, por ejemplo si la variable aleatoria X, tiene una distribución log-normal, esto significa que Y = lnX, tiene una distribución normal. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución log-normal, cuando su función de densidad de probabilidad se define como:

Para 0