Capitulo Vii. Calor y Propagacion Del Calor

Física General II

Calor y Transferencia de Calor

Optaciano Vásquez García

CAPITULO vii CALOR Y PROPAGACIÓN DEL CALOR

381

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7.1.

Calor y Transferencia de Calor

Optaciano Vásquez García

INTRODUCCIÓN. Es sabido que cuando dos cuerpos o sistemas a diferentes temperatura se ponen en contacto, la temperatura del cuerpo más caliente disminuye y la temperatura del cuerpo más frío aumenta. Si a estos cuerpos se le deja en contacto cierto tiempo, ambos alcanzan una temperatura común de equilibrio en algún punto comprendido entre las temperaturas iníciales. Cuando ocurre dicho proceso se dice que ocurre un flujo de calor del cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío. Pero ¿Cuál es la naturaleza de la transferencia de calor?. Los primeros científicos creían que el calor era una sustancia material invisible llamada calórico, la cual pasaba de un cuerpo a otro. De acuerdo con esta teoría, el calor no se podía crear ni destruir. Aun cuando ésta teoría tuvo éxito en la descripción de la transferencia de calor, posteriormente fue desechada debido a su inconsistencia con los experimentos. La primera observación experimental de que el calórico no se conservaba la realizó B. Thompson al final del siglo XVIII, un americano emigrado a Europa y nombrado director del Arsenal de Baviera. Thompson supervisó el torneado de los cañones de Baviera. A causa del calor generado por el taladro se utilizaba agua para refrigerar y había que remplazarlo continuamente, porque se evaporaba durante la operación. De acuerdo con la teoría del calórico, cuando el metal procedente del torneado se cortaba en trozos pequeños, su propiedad de retener calor disminuía. Por lo tanto se cedía calórico al agua calentándolo hasta la ebullición. Thompson observó, sin embargo, que aun cuando la broca no estuviese lo suficientemente afilada como para cortar el metal, el agua seguía evaporándose en tanto la broca giraba. Aparentemente el calórico se producía por fricción y podía producirse indefinidamente. Así sugirió que el calor no era una sustancia que se conservara, sino alguna forma de movimiento que era comunicada de la broca al agua. Demostró además que el calor producido era aproximadamente proporcional al trabajo realizado durante la operación del taladro. Existen muchos otros experimentos que contradicen la teoría del calórico. Por ejemplo, si se frotan entre sí dos bloques de hielo en un día en que la temperatura ambiental es menor a 00C, los bloques se fundirán; este experimento lo realizó por primera vez H. Davy. Para explicar de manera apropiada esta “creación del calórico”, se observa que en el proceso se realiza trabajo mecánico sobre el sistema. Por lo tanto, se ve que los efectos de realizar trabajo mecánico sobre el sistema y el de agregarle calor directamente, como una flama, son situaciones equivalentes. Es decir, tanto el trabajo como el calor son formas de transferencia de energía. Aun cuando los experimento mostraron que la energía calorífica no se conserva, no fue sino hasta mediados del siglo XIX que se desarrolló el modelo mecánico moderno del calor. Desde este punto de vista el calor se trató como otra forma de energía que se transfiere de un cuerpo hacia otro debido a su diferencia de temperaturas. Los experimentos más precios que demuestran esta teoría los realizó James Joule (1818 – 1889) hacia finales de 1830. Joule demostró que la aparición o desaparición de una cantidad dada de calor va siempre acompañada de la desaparición o aparición de una cantidad equivalente de energía mecánica. Los experimentos de Joule y otros experimentos demostraron que ni el calor ni la energía se conservan independientemente, pero que la energía mecánica perdida iguala al calor producido. Lo que se conserva es el total de la energía mecánica y la energía térmica. 382

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7.2.

Calor y Transferencia de Calor

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CALOR Y ENERGÍA TÉRMICA Las magnitudes como el calor y la energía interna de una sustancia son dos conceptos muy diferentes. La palabra calor sólo se debe usar cuando se describe la energía que se transfiere de un lugar hacia otro. Es decir, el flujo de calor es una transferencia de energía que se lleva a cabo como una consecuencia de las diferencias de temperaturas únicamente. Por otro lado, la energía interna es la energía que tiene un cuerpo debido a su temperatura. En un gas ideal la energía interna está asociada con el movimiento interno de sus átomos y moléculas. Es decir, la energía interna del gas es esencialmente su energía cinética en una escala microscópica, mientras más grande sea la temperatura del gas más grande es la energía interna. En forma análoga, el trabajo realizado sobre (o por) el sistema es una medida de la energía transferida entre el sistema y sus alrededores, mientras que la energía mecánica (cinética y potencial) es una consecuencia del movimiento y de la posición del sistema. Por lo tanto cuando se hace trabajo sobre un sistema se transfiere energía al sistema. Es decir, no tiene sentido hablar de trabajo de un sistema sólo se puede referir uno al trabajo realizado por o sobre un sistema cuando ha ocurrido cierto proceso en el cual el sistema cambia en alguna forma. De la misma forma no tiene sentido hablar de calor al menos que alguna de las variables termodinámicas del sistema haya sufrido un cambio. Debe hacerse notar además que se puede transferir energía entre dos sistemas, aún cuando no haya flujo de calor. Un ejemplo lo constituye la frotación de dos cuerpos entre sí, durante el proceso el trabajo mecánico entre ellos produce un aumento en su energía interna.

7.3.

UNIDADES DE CALOR. El flujo de calor que interviene en un proceso se mide por algún cambio que acompaña a éste proceso, y una unidad de calor se define como el calor necesario para producir una transformación de tipo convenida. Las unidades de calor son: 7.3.1. La caloría(cal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de 1 gramo de agua a la presión atmosférica de 14,5 0C a 15,5 0C. 7.3.2. La kilocaloría (kcal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de 1 kg de agua de 14,5 0C a 15,5 0C. 7.3.3. La unidad térmica británica (BTU). Definida como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de una libra de agua de 63 0F a 64 0F. 7.3.4. El joule(J). Debido a que el calor es una forma de energía en la actualidad la unidad de calor es el Joule. Las equivalencias entre estas distintas unidades de calor son: 1 cal = 4, 186 J = 3,968.10-3 BTU 1 J = 0,2389 cal = 9,478.10-4 BTU BTU = 1055 J = 252 cal 383

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7.3.

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EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR. James Joule efectuó varios experimentos que muestran que el flujo de calor así como el trabajo, representan una forma de transferencia de energía. Uno de estos experimentos se muestra en la Figura 7.1. El sistema de interés consta del agua encerrado en un recipiente térmicamente aislado. Se hace trabajo sobre el agua por medio de la rueda de paletas que se hace girar al caer las pesas con una rapidez constante. El agua, la cual es agitada por las paletas, se calienta debida a la fricción entre ésta y las paletas. Si se desprecia la energía que se pierde en las poleas, en los cojinetes, y en las paredes del recipiente, entonces la energía potencial que pierden las pesas al caer es igual al trabajo realizado por las paletas sobre el agua Este experimento muestra que hay un aumento de temperatura para una cantidad específica de trabajo y por tanto habrá un equivalente preciso entre trabajo efectuado sobre el sistema (ΔW) y el flujo de calor hacia el agua (ΔQ). Para un sistema térmicamente aislado se cumple que

Q

(7.1)

W

Este resultado se conoce como equivalente mecánico del calor, es decir 1 cal = 4,186 J

(a)

(7.2)

(b)

Figura 7.1. (a) Fotografía del aparato para el experimento de Joule en la que se ve la rueda de paletas y el recipiente; (b) Diagrama esquemático del aparato utilizado por Joule para demostrar la conversión de trabajo en calor. 7.4.

CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO. 7.4.1. Capacidad calorífica. Cuando se adiciona calor aun cuerpo, normalmente aumenta su temperatura del mismo. (Los cambios de fase constituyen una excepción). La cantidad de energía 384

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calorífica que se requiere para elevar la temperatura de una masa dada de una sustancia varía de una sustancia a otra. Por modelo, el calor necesario para elevar la temperatura de 1 kg de agua en1 0C es de 4186 J, pero el calor necesario para elevar la temperatura de 1 kg de cobre en 1 0C es sólo 387 J. La capacidad calorífica, C, de cualquier sustancia se define como la cantidad de energía calorífica que se requiere para elevar la temperatura de la sustancia en un grado Celsius. Es decir si se agrega, ΔQ unidades de calor a una sustancia le produce un cambio en la temperatura, ΔT, entonces

Q C T

(7.3)

En esta ecuación, ΔQ, puede ser positivo o negativo. La cantidad, C, siempre es positiva, es decir el signo del cambio de temperatura indica el signo del flujo de calor. 7.4.2. Calor específico. La dependencia que tiene la capacidad calorífica con la cantidad de masa de la sustancia puede eliminarse definiendo el calor específico. El calor específico (ce ) de una sustancia se define como la capacidad calorífica por unidad de masa.

ce

C m

Q m T

(7.4)

El calor específico de una sustancia es numéricamente igual a la cantidad de calor que hay que suministrarle a una unidad de masa de dicha sustancia para elevar su temperatura en un grado. Las unidades de capacidad calorífica es cal/grado; Btu/grado; J/grado; mientras que las unidades de calor específico son cal/gramo-grado, Btu/libra-grado, J/kg-grado. Debe indicarse que ni la capacidad calorífica, ni el calor específico de una sustancia es constante, sino que dependen de la variación de la temperatura, Las ecuaciones (3) y (4) solamente proporcionan valores medios. El calor específico de una sustancia a cualquier temperatura se expresa mediante la ecuación.

ce

dQ m.dT

(7.5)

La cantidad de calor que debe proporcionarse a un cuerpo de masa, m, cuyo material tiene un calor específico ce para elevar su temperatura desde Ti hasta Tf es

385

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Tf

Q

m c e dT

(7.6)

Ti

Siendo el calor específico función de la temperatura. A temperaturas ordinarias y en intervalos de temperaturas ordinarias el calor específico puede considerarse como constante, en estas condiciones la ecuación (6) se escribe

Q

mc e T

(7.7)

La fig. 7.2, muestra la variación del calor específico del agua con la temperatura.

Figura7.2. Variación del calor específico del agua con la temperatura. De esta gráfica se observa que el calor específico varía menos del 1 % de su valor 1 cal/g-0C, a 15 0C. Las ecuaciones (5.5) y (5.7) no define el calor específico en forma única. Debe especificare además las condiciones bajo las cuales se agrega el calor a la sustancia. Una de estos casos es que la presión se mantiene constante, sin embargo hay muchas otras posibilidades y cada una ellas conducen a diferentes valores del calor específico.

7.4.3. Capacidad calorífica molar. En muchos casos por ejemplo para los gases, es más conveniente expresar el calor específico tomando como unidad de masa el mol de sustancia, definiéndose La capacidad calorífica molar como la capacidad calorífica por mol.

CM

dQ ndT

(7.8)

7.4.4 Ley de Dulong y Petit. En 1819 estos científicos mostraron que la capacidades caloríficas molares de todos los metales excepto los más ligeros es aproximadamente la misma, e igual a 6 cal/mol-0C..La tabla 01 muestra tal situación. 386

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Tabla Nº 01. Valor de la capacidad calorífica molar para algunos sólidos a temperatura ambiente y 1 atmósfera de presión.

7.5.

Sustancia

Calor específico

Peso molecular

Aluminio Carbono Cobre Plomo Plata Wolframio

0,215 0.121 0,0923 0,0305 0,0564 0,0321

27 12 63’5 207 108 184

Capacidad calorífica molar 5,82 1,46 5,85 6,32 6,09 5,92

MEDIDAS DEL CALOR ESPECÍFICO (ce) – CALORIMETRIA. Una técnica para medir el calor específico de sólidos y líquidos consiste en calentar la sustancia a cierta temperatura, colocarlo en un recipiente con una masa dada de agua a una temperatura conocida y medir la temperatura del agua una vez que se haya logrado el equilibrio térmico. Aún cuando se realiza una cantidad de trabajo, éste puede despreciarse. El principio de conservación de la energía requiere que la cantidad de calor que transfiere la sustancia más caliente (calor específico desconocido) es igual a la cantidad de calor que recibe el agua más el recipiente, esto es:

Qcedido m x c ex Tx

c e, x

Te

(m w c e , w

Qganado

m w c ew Te

Tw

mcal c e,cal )(Te m x Tx

Te

mcal c e,cal Te

Tw )

Tw

(7.9)

donde: Tx = temperatura de la sustancia; Te = temperatura de equilibrio; T w = TCal = temperatura del agua y del calorímetro iníciales; mw = masa del agua; mcal = masa del calorímetro; cw = calor específico del agua; c cal = calor específico del calorímetro; mx = masa de la sustancia; cx = calor específico de la sustancia.

7.7.

CAMBIOS DE FASE Y FLUJO DE CALOR. Cuando se le suministra calor a un cuerpo a presión constante, el resultado es un aumento de la temperatura del cuerpo. Sin embargo a veces un cuerpo puede absorber grandes cantidades de calor sin variar su temperatura. Este fenómeno ocurre cuando hay cambio de fase, es decir cuando la condición física de la sustancia está cambiando de una forma a otra. Los principales cambios de fase son: la fusión, que es el cambio de la fase sólida a la líquida; la vaporización, que es el paso de la fase líquida a la de vapor y la sublimación que es el paso de directo de la fase sólida a la de vapor. 387

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Estos fenómenos son explicados por la teoría molecular. Un aumento de la temperatura de la sustancia refleja el hecho de que se ha incrementado la energía cinética molecular media. Así por ejemplo cuando un sólido pasa a la fase líquida sus moléculas que estaban fuertemente unidas cuando está liquido estas fuerzas disminuyen. Esto exige que se desarrolle trabajo contra las fuerzas atractivas, es decir debe agregarse energía a las moléculas para que se separen. Esta energía pasa a aumentar la energía potencial de las moléculas más que a incrementar la energía cinética. Por lo tanto la temperatura de la sustancia no varía. En una sustancia pura, un cambio de fase a una determinada presión tiene lugar sólo a una temperatura dada. Por ejemplo el agua pura a 1 atmósfera de presión pasa de sólido a líquido a la temperatura de 0 ºC y pasa de líquido a vapor de agua la temperatura de 100 ºC. La primera temperatura se llama punto de fusión del agua y la segunda se llama punto de ebullición del agua. Se necesita una cantidad específica de energía térmica para que ocurra el cambio de fase de una cantidad determinada de sustancia. El calor requerido es proporcional a la masa de la misma, de tal manera que la cantidad de calor necesaria para fundir una masa dada de sustancia sin cambio de temperatura es

Qf

mL f

(7.10)

donde: Lf = calor latente de fusión. Para el caso de la fusión del hielo en agua a 1 atmósfera de presión, el calor de fusión es Lf = 33,5 kJ/kg =79,7 kCal/kg Cuando el cambio de fase corresponde al de líquido a gas, el calor necesario esta dado por la ecuación

Qv

mLv

(7.11)

donde: Lv = calor de vaporización. Para el cambio de fase de líquido a vapor para el agua a 1 atm, de presión el calor latente de vaporización es Lv = 2,26 kJ/kg = 540 kCal/kg En forma análoga cuando hay un cambio de fase de gas a liquido, el calor necesario que se le debe extraer al vapor es Qc mLc (7.12) donde: Lc es el calor de condensación cuyo valor es igual al calor de vaporización. Finalmente el calor que debe extraerse a una sustancia para cambiar de fase de líquido a sólido esta dado por 388

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Qs

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mLs

(7.13)

donde Ls = calor latente de solidificación cuyo valor es igual al calor de fusión. Los cambios de fase que ocurren en las diferentes sustancias pueden representarse en la figura 7.3.

Figura7.3.

7.8.

Cambios de fase de las sustancias.

MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR. Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en contacto entre sí, se produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor temperatura al de menor temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos: conducción, convección y radiación, que se ilustran en la figura 7.4.

Figura 7.4.

Esquema de los mecanismos de transferencia de calor.

7.8.1. Conducción de calor. Es el proceso de transferencia de calor entre un punto y otro de la sustancia, debido a los choques entre sus moléculas. Si un extremo de un cuerpo es expuesto a una fuente de calor, entonces las moléculas próximas a la fuente verán aumentada su velocidad media y su separación molecular, chocando a sus vecinas más frías, de velocidad menor, transfiriéndole parte de su energía 389

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en el proceso. Estas a su vez incrementan su velocidad energía a las vecinas y así, a través del material.

transfiriendo su

Existe un experimento sencillo (ver figura 7.5) que usted puede hacer en su casa para mostrar esto. Tome una varilla delgada de metal (ojalá cobre) y sujétela con un soporte de manera tal que quede vertical (por comodidad), pegue clips a espacios regulares con cera de una vela común (la cantidad mínima que asegure que no se caiga el clip) y caliente el extremo libre de la varilla con la vela. Se sorprenderá.

Figura 7.5. Experimento que muestra la conducción de calor. La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica a través de la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde las partículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas, produciéndose un flujo de calor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los mejores conductores de calor son los metales. El aire es un mal conductor del calor. Los objetos malos conductores como el aire o plásticos se llaman aislantes. La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes del medio conductor. Para un volumen de espesor ∆x, con área de sección transversal A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2 > T1, como se muestra en la figura 7.6, se encuentra que el calor ∆Q transferido en un tiempo ∆t fluye del extremo caliente al frío. Si se llama H (en Watts) al calor transferido por unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor H = ∆Q/∆t, está dada por la ley de la conducción de calor de Fourier.

Donde: k (en W/mK) se llama conductividad térmica del material, magnitud que representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la consiguiente variación de temperatura; A es el área de la placa; y dT/dx es el gradiente de temperatura. El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección decreciente de la temperatura. En la tabla 7.2, se listan valores de conductividades térmicas para algunos materiales, los altos valores de conductividad de los metales indican que son los mejores conductores del calor. 390

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Figura 7.6.

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Conducción de calor

Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por un material aislante, como se muestra en la figura 7.7, cuyos extremos de área A están en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas T1 y T2 > T1, cuando se alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la barra es constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la forma: T T Q H kA 1 2 (7.14) t L

Figura 7.7. Flujo de calor a través de una barra de longitud L Algunos autores acostumbran llamar como corriente térmica (I) a la velocidad de Q conducción de energía térmica , por tanto, la ecuación (7.14) se escribe en la forma t

I

Q t

kA

T x

(7.15)

Si despejamos la diferencia de temperaturas de la ecuación (7.15), se tiene

x I (7.16) kA También, siguiendo la analogía eléctrica, esta ecuación se puede escribir T

T

RI

(7.17)

Comparando las ecuaciones (7.16) y (7.17) se obtiene la resistencia térmica, la cual está dada por

R 391

x kA

(7.18)

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Tabla 7.2.

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Algunos valores de conductividades térmicas.

Ejemplo 7.1. Dos placas de espesores L1 y L2 y conductividades térmicas k1 y k2 están en contacto térmico, como en la figura. Las temperaturas de las superficies exteriores son T1 y T2, con T2 > T1. Calcular la temperatura en la interface y la rapidez de transferencia de calor a través de las placas cuando se ha alcanzado el estado estacionario.

Solución: si T es la temperatura en la interface, entonces la rapidez de transferencia de calor en cada placa es:

Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:

Despejando la temperatura T

392

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Ejemplo 7.2. Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una a continuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Un extremo de la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuesto a T2 = 30º C. Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de calor alcanza el estado estacionario.

Solución: similar al ejemplo anterior, con L1 = L2 = L Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:

Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:

Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valores obtenidos de la tabla 7.2:

7.8.2. Convección. La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de masa o circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las diferencias de densidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a moverse de un lugar a otro, por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una bomba. Sólo se produce en líquidos y gases donde los átomos y moléculas son libres de moverse en el medio. En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción y radiación cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera por convección. 393

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Un modelo de transferencia de calor H por convección, llamado ley de enfriamiento de Newton, es el siguiente H = h A (TA – T)

(7.19)

Donde: h se llama coeficiente de convección, en W/(m2 K), A es la superficie que entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se encuentra a una temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura 7.8. La tabla 14.2 lista algunos valores aproximados de coeficiente de convección h.

Figura 7.8. Proceso de convección. El flujo de calor por convección es positivo (H > 0) si el calor se transfiere desde la superficie de área A al fluido (TA > T) y negativo si el calor se transfiere desde el fluido hacia la superficie (TA < T). Tabla 7.3. Valores típicos de coeficiente de convección.

Ejemplo 7.3. El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C y su área es 1.2 m2. Si la temperatura del aire exterior es 0º C, calcular la energía que se pierde por convección cada segundo. Considerar h = 4 W/(m2 K). Solución: Los datos son: TA = 10º C = 283K, T = 0º C = 273K, A = 1.2 m2. Usando la ley de enfriamiento de Newton:

7.8.3. Radiación. La radiación térmica es energía emitida por la materia que se encuentra a una 394

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temperatura dada, se produce directamente desde la fuente hacia afuera en todas las direcciones. Esta energía es producida por los cambios en las configuraciones electrónicas de los átomos o moléculas constitutivas y transportadas por ondas electromagnéticas o fotones, por lo que recibe el nombre de radiación electromagnética. La masa en reposo de un fotón (que significa luz) es idénticamente nula. Por lo tanto, atendiendo a la relatividad especial, un fotón viaja a la velocidad de la luz y no se puede mantener en reposo. (La trayectoria descrita por un fotón se llama rayo). La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y magnéticos oscilantes y perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio transportando energía de un lugar a otro. A diferencia de la conducción y la convección, o de otros tipos de onda, como el sonido, que necesitan un medio material para propagarse, la radiación electromagnética es independiente de la materia para su propagación, de hecho, la transferencia de energía por radiación es más efectiva en el vacío. Sin embargo, la velocidad, intensidad y dirección de su flujo de energía se ven influidos por la presencia de materia. Así, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. La longitud de onda (λ) y la frecuencia (ν) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λν = c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y otras características. Independientemente de su frecuencia y longitud de onda, todas las ondas electromagnéticas se desplazan en el vacío con una rapidez constante c = 299792 km/s, llamada velocidad de la luz. Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La longitud de onda de la radiación está relacionada con la energía de los fotones, por una ecuación desarrollada por Planck: Donde h se llama constante de Planck, su valor es h = 6,63 x 10-34 Js. 7.8.3.1. Espectro de radiación. Atendiendo a su longitud de onda, la radiación electromagnética recibe diferentes nombres, y varía desde los energéticos rayos gamma, con una longitud de onda muy corta del orden de picómetros (frecuencias muy altas) hasta las ondas de radio con longitudes de onda muy largas del orden de kilómetros (frecuencias muy bajas), pasando por la luz visible, cuya longitud de onda está en el rango de las décimas de micrómetro. El rango completo de longitudes de onda es lo que se denomina el espectro electromagnético, que se muestra en la figura 7.9. Esta variación es porque las fuentes que producen las ondas son completamente diferentes. El espectro electromagnético no tiene definidos límites superior ni inferior. La luz, llamada también luz visible o luz blanca, es uno de los componentes del espectro electromagnético, y se define como aquella parte del espectro de radiación que puede percibir la sensibilidad del ojo humano. La luz visible es un minúsculo intervalo que va desde la longitud de onda correspondiente al color violeta (aproximadamente 400 nm) hasta la longitud de onda correspondiente al color rojo (aproximadamente 700 nm). 395

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Figura 7.9. Espectro electromagnético y región visible (inferior). Por orden creciente de longitudes de onda (o decreciente de frecuencias), el espectro electromagnético está compuesto por rayos gamma, rayos X duros y blandos, radiación ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos, microondas y ondas de radio. Los rayos gamma y los rayos X duros tienen una longitud de onda de entre 5.10-6 y 5.10-4 micrómetros (un micrómetro, símbolo µm, es una millonésima de metro). Los rayos X blandos se superponen con la radiación ultravioleta en longitudes de onda próximas a los 5x10-2 µm. La región ultravioleta, a su vez, da paso a la luz visible, que va aproximadamente desde 0.4 hasta 0.8 µm. Los rayos infrarrojos se mezclan con las frecuencias de microondas, entre los 100 y 400 µm. Desde esta longitud de onda hasta unos 15.000 m, el espectro está ocupado por las diferentes ondas de radio; más allá de la zona de radio, el espectro entra en las bajas frecuencias, cuyas longitudes de onda llegan a medirse en decenas de miles de kilómetros. La tabla 7.4, muestra el espectro electromagnético, con sus longitudes de onda, frecuencias y energías del fotón. Tabla 7.4. Espectro electromagnético. Rayos gamma Rayos X Ultravioleta Extremo Ultravioleta Cercano Luz Visible Infrarrojo Cercano Infrarrojo Medio Infrarrojo Lejano Microondas Ultra Alta Frecuencia Radio Muy alta Frecuencia Radio Onda Corta Radio Onda Media (AM) Radio Onda Larga Radio Muy Baja Frecuencia Radio

Longitud de onda 789 THz >384 THz >120 THz >6,00 THz >300 GHz >1,0 GHz >300 MHz >30 MHz >1,7 MHz >650kHz >30 kHz 19,910-15 >19,9.10-18 >993.10-21 >523.10-21 >255.10-21 >79,5.10 >3,98.10-21 >199.10-24 >1,99.10-24 >1,99.10-25 >2.05.10-25 >1,13-10-27 >4,38.10-28 >1,98.10-29 >1,99.10-29

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La radiación del Sol es emitida en todas las longitudes de onda, pero tiene un máximo en la región de luz visible. La luz visible está compuesta por varios colores, que cuando se mezclan forman la luz blanca. Cada uno de los colores tiene una longitud de onda específica, con límites entre 0.4 y 0.7 µm. Considerando desde las longitudes de onda más cortas a las más largas, los diferentes colores tienen los valores centrales de longitudes de onda que se indican en la tabla 7.5. Tabla 7.5.

Colores del espectro visible y sus extremos.

Estos colores están dentro de un rango de longitudes de onda, por ejemplo el violeta esta en el rango entre 0.4 y 0.45 µm. Son los colores que forman el arco iris. En sus extremos se tienen el ultravioleta y el infrarrojo. La mayor cantidad de energía radiante del Sol se concentra en el rango de longitudes de onda del visible y visible cercano del espectro, con las siguientes proporciones: luz visible 43%, infrarrojo cercano 49%, ultravioleta 7%, y el 1% restante en otros rangos.

7.8.3.2. Penetración de la radiación electromagnética. Cuando la frecuencia es inferior a la frecuencia de la radiación ultravioleta, los fotones no tienen suficiente energía para romper enlaces atómicos. Se dice entonces que la radiación es radiación no ionizante. A partir de los rayos ultravioleta, vienen los Rayos X y los Rayos gamma, muy energéticos y capaces de romper moléculas, dicha radiación se denomina radiación ionizante. La radiación electromagnética reacciona de manera desigual en función de su frecuencia y del material con el que entra en contacto. El nivel de penetración de la radiación electromagnética es inversamente proporcional a su frecuencia. Cuando la radiación electromagnética es de baja frecuencia, atraviesa limpiamente las barreras a su paso. Cuando la radiación electromagnética es de alta frecuencia reacciona más con los materiales que tiene a su paso. En función de la frecuencia, las ondas electromagnéticas pueden no atravesar medios conductores. Esta es la razón por la cual las transmisiones de radio no funcionan bajo el mar y los teléfonos móviles se queden sin cobertura dentro de una caja de metal. Sin embargo, como la energía ni se crea ni se destruye, sino que se transforma, cuando una onda electromagnética choca con un conductor pueden suceder dos cosas. La primera es que se transformen en calor: este efecto tiene aplicación en los hornos de microondas. La segunda es que se reflejen en la superficie del conductor (como en un espejo).

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Calor y Transferencia de Calor

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Figura 7.10. Poder de penetración de la radiación. La radiación de partículas también puede ser ionizante si tiene suficiente energía. Algunos ejemplos de radiación de partículas son los rayos cósmicos, los rayos alfa o los rayos beta. Los rayos cósmicos son chorros de núcleos cargados positivamente, en su mayoría núcleos de hidrógeno (protones). Los rayos cósmicos también pueden estar formados por electrones, rayos gamma, piones y muones. Los rayos alfa son chorros de núcleos de helio positivamente cargados, generalmente procedentes de materiales radiactivos. Los rayos beta son corrientes de electrones, también procedentes de fuentes radiactivas. La radiación ionizante tiene propiedades penetrantes, importantes en el estudio y utilización de materiales radiactivos. Los rayos alfa de origen natural son frenados por un par de hojas de papel o unos guantes de goma. Los rayos beta son detenidos por unos pocos centímetros de madera. Los rayos gamma y los rayos X, según sus energías, exigen un blindaje grueso de material pesado como hierro, plomo u hormigón, como se muestra en la figura 7.10. También existe la radiación mecánica, que corresponde a ondas que sólo se transmiten a través de la materia, como las ondas de sonido. 7.8.3.3 Leyes de radiación. Ley de Stefan. Todos los objetos emiten energía radiante, cualquiera sea su temperatura, por ejemplo el Sol, la Tierra, la atmósfera, los Polos, las personas, etc. La energía radiada por el Sol a diario afecta nuestra existencia en diferentes formas. Esta influye en la temperatura promedio de la tierra, las corrientes oceánicas, la agricultura, el comportamiento de la lluvia, etc. Considerar la transferencia de radiación por una superficie de área A, que se encuentra a una temperatura T. La radiación que emite la superficie, se produce a partir de la energía térmica de la materia limitada por la superficie. La rapidez a la cual se libera energía se llama potencia de radiación H, su valor es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ley de Stefan (Joseph Stefan, austriaco, 1835-1893), que se escribe como:

398

Física General II

Calor y Transferencia de Calor

Optaciano Vásquez García

donde σ = 5,67.10-8 W/(m2 K4) se llama constante de Stefan-Boltzmann (Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844-1906) y ε es una propiedad radiactiva de la superficie llamada emisividad, sus valores varían en el rango 0 < ε < 1, es una medida de la eficiencia con que la superficie emite energía radiante, de- pende del material. Un cuerpo emite energía radiante con una rapidez dada por la ecuación7.17, pero al mismo tiempo absorbe radiación; si esto no ocurriera, el cuerpo en algún momento irradiaría toda su energía y su temperatura llegaría al cero absoluto. La energía que un cuerpo absorbe proviene de sus alrededores, los cuales también emiten energía radiante. Si un cuerpo se encuentra a temperatura T y el ambiente a una temperatura To, la energía neta ganada o perdida por segundo como resultado de la radiación es

Cuando el cuerpo está en equilibrio con los alrededores, irradia y absorbe la misma cantidad de energía, por lo tanto su temperatura permanece constante. Cuando el cuerpo está más caliente que el ambiente, irradia más energía de la que absorbe, y por lo tanto se enfría. Un absorbedor perfecto se llama cuerpo negro (no significa que sea de color negro), que se define como un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su superficie y su emisividad es igual a uno. No se conoce ningún objeto así, aunque una superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de la radiación incidente. El Sol, la Tierra, la nieve, etc. bajo ciertas condiciones se comportan como un cuerpo negro. En teoría, un cuerpo negro sería también un emisor perfecto de radiación, y emitiría a cualquier temperatura la máxima cantidad de energía disponible. A una temperatura dada, emitiría una cantidad definida de energía en cada longitud de onda. En contraste, un cuerpo cuya emisividad sea igual a cero, no absorbe la energía incidente sobre él, sino que la refleja toda, es un reflector perfecto. Los cuerpos con emisividades entre 0 y 1 se llaman cuerpos grises, son los objetos reales. A raíz del fracaso de los intentos de calcular la radiación de un cuerpo negro ideal según la física clásica, se desarrollaron por primera vez los conceptos básicos de la teoría cuántica. Una buena aproximación de un cuerpo negro es el interior de un objeto hueco, como se muestra en la figura 7.11. La naturaleza de la radiación emitida por un cuerpo hueco a través de un pequeño agujero sólo depende de la temperatura de las paredes de la cavidad.

Figura 7.11. Representación de un cuerpo negro. Ejemplo 7.4. Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K recibe energía radiante del Sol por un valor de 700 W/m2. Calcular la radiación neta ganada por cada m2 de la superficie de la carretera. 399

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

Optaciano Vásquez García

Solución: la energía que emite la superficie de la carretera es:

Como del Sol recibe 700 W/m2, la radiación neta es:

Ley de Wien. La figura 7.13, muestra la curva típica de la intensidad de radiación de un cuerpo negro en función de la longitud de onda de la radiación emitida, para diferentes valores de temperatura indicados como frío, templado y cálido. De acuerdo a la teoría cuántica, se encuentra que los cuerpos a una temperatura determinada, emiten radiación con un valor máximo para una longitud de onda λ dada. Al aumentar la temperatura de un cuerpo negro, la cantidad de energía que emite se incrementa. También, al subir la temperatura, el máximo de la distribución de energía se desplaza hacia las longitudes de onda más cortas. Se encontró que este corrimiento obedece a la siguiente relación, llamada ley del desplazamiento de Wien (Wilhelm Wien, alemán, 1864-1928):

donde λmax es la longitud de onda que corresponde al máximo de la curva de radiación (figura 7.12), en µm, y T es la temperatura absoluta del objeto que emite la radiación. La ley de Wien afirma que para la radiación de un cuerpo negro la longitud de onda de máxima emisión es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Con esta ley se demuestra que la emisión de radiación de la superficie terrestre tiene un máximo en cerca de 9.9 µm, que corresponde a la región infrarroja del espectro. También muestra que la temperatura del Sol, si el máximo de emisión de radiación solar ocurre en 0.474 µm, es del orden de 6110 K.

Fig. 7.12. Intensidad de radiación de un cuerpo negro. 400

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

Optaciano Vásquez García

Ley de Planck. Los objetos con mayor temperatura radian más energía total por unidad de área que los objetos más fríos. Por ejemplo el Sol con una temperatura media de 6000 K en su superficie, emite 1,6105(6000/300)4 veces más energía que la Tierra con una temperatura media en superficie de 289 K = 16º C. Por definición, un cuerpo negro es un absorbedor perfecto. Este también emite la máxima cantidad de energía a una temperatura dada. La cantidad de energía emitida por un cuerpo negro está únicamente determinada por su temperatura y su valor lo da la Ley de Planck. En 1900, Max Planck (alemán, 1858-1947), descubrió una fórmula para la radiación de cuerpo negro en todas las longitudes de onda. La función empírica propuesta por Planck afirma que la intensidad de radiación I(λ,T), esto es, la energía por unidad de tiempo por unidad de área emitida en un intervalo de longitud de onda, por un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, está dada por:

donde I(λ,T) es la densidad de flujo de energía por unidad de longitud de onda, en W/(m2µm), h es la constante de Planck, y k es la constante de Boltzmann, de valor k = 1,38.10-23 J/K. El gráfico de la función I(λ,T) para diferentes valores de temperatura absoluta, se muestra en la figura 7.13.

Figura 7.14. Gráfico de la función I(λ,T) de la ley de Planck.

401

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

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hielo que se funde

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01

Solución.

El calor específico de cierto material se determina midiendo la variación de temperaturas que tiene lugar cuando una porción calentada de metal se sitúa en un recinto aislado construido del mismo material y que contiene agua. La porción de metal posee una masa de 100 g y una temperatura inicial de 100°C. El recinto posee una masa de 200 g y contiene 500 g de agua a una temperatura inicial de 20°C. La temperatura final es 21,4°C.¿Cuál es el calor específico del metal?.

Datos e incógnitas

mh

200 g; a Th

0 C; mw

ce,w =1cal/g°C; ce,h =0,5 cal/g°C; TE

Q1

mm 100 g; a T m 100 C; mD 200 g a TD 20 C

Q1 16000 cal

mw 500 g; a Tw 20 C; TE 21, 4 C; ce =???

(2)

mh

mm cx (Tm TE )

w

(2)

w

Lf

1000 cal

(80cal / g ) 1000 cal mh

280cx (100 201, 4 7860cx

1000 cal

La cantidad de hielo fundido será

mh

QG

(1)

Comparando las ecuaciones (1) y (2) se observa que se funda todo el hielo se necesitan 16000 cal y sólo se disponen de 1000 cal, por lo tanto no todo el hielo se funde siendo la temperatura de equilibrio TE =0°C

Calor perdido

QP

200 g (80cal / g )

mwce, w (T20 T0 )

Q2

(1)

200cx (21, 4 20) 500(1)(21, 4 20) 700cal

=??

500(1)(20 0)

mD cx (TE TD ) mwce,w (TE Tw ) 280cx

mh L f

Q2

El calor ganado será

QG

w

Calor cedido por el agua cuando esta pasa de 20°C a 0°C

Despreciando las pérdidas de energía, el calor ganado por el recipiente y el agua es igual al calor perdido por el metal.

QG

??; mh

Calor necesario para convertir el hielo en agua

Datos e incógnitas

QP

20 C;

Debido a que en este problema existen cambios de fase es necesario hacer un balance de energía para determinar si todo el hielo se funde, o si ocurre una conversión parcial.

Solución

QG

500 g ; a Tw

w

125 g

Rta.

(3) Problema 03

Remplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta

Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20°C. Dentro del recipiente se introduce de hielo de 100 g enfriado a -20°C. (a) Determine la temperatura final del sistema suponiendo que no hay pérdidas de energía. (b) Se añade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20°C. ¿Cuánto hielo queda en el sistema, una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico?. (c) ¿Sería distinta la respuesta a la parte (b) si ambos trozos se agregaran al mismo tiempo?.

280cx 700 7860cx cx

0, 092 Cal/g°C

Rta

Problema 02 Un trozo de hielo de 200 a 0°C se introduce en 500 g de agua a 20°C. El sistema se encuentra en un recinto de capacidad calorífica despreciable y aislada de sus alrededores. Determine: (a) la temperatura de equilibrio final; (b) la cantidad de

Solución Datos e incógnitas

402

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

mal

200 g ; a Tal

20 C; mw 500 g ; a Tw ' h

mh 100 g ; a Th

20 C; m

200 g a Th

20 C;

mal

200 g ; a Tal

20 C; mw

20 C

mh

200 g ; a Th

20 C;

ce,w =1cal/g°C; ce,h =0,5 cal/g°C; cal =0,215cal/g°C

Q''G

Parte (a) Debido a que en este problema también existen cambios de fase es necesario hacer un balance de energía para determinar si todo el hielo se funde, o si ocurre una conversión parcial.

Q''G

Q''P

100 g (0,5cal / g C )(20 C ) 200 g (80cal / g )

Q

200 g (0, 225cal / g C )(20 C ) 500 g (1cal / g C )(20 C ) (2)

Comparando las ecuaciones (1) y (2), se observa que si disponemos de la cantidad de energía suficiente para fundir todo el hielo e agua líquida e incluso elevar la temperatura

QG

18000cal

(3)

mw'' cw T

mal cal T

'' P

1858, 27cal

(4)

Comparando ahora las ecuaciones (3) y (4) se observa que ahora que solo se disponen de 1858,27 cal para fundir todo el hielo sin embargo se necesitan 18000 cal por tanto parte del agua se transforma en hielo, siendo la nueva temperatura de equilibrio 0°C y la masa fundida. La masa de agua fundida será

mal cal T mwce,w T

Q2 10800 cal

mh' L f

600(1)(2,89) 200(0, 215)(289)

(1)

Calor cedido por el agua más el calorímetro cuando esta pasa de 20°C a 0°C QP

mh' ch T

El calor perdido es

mh ce T mh L f 9000 cal

20 C;

200(0,5)(20) 200(80)

Calor necesario para convertir el hielo en agua

QG

600 g; a Tw

El calor ganado será

(a) TE ??;(b) m h, queda =??; (c) verificar

QG

Optaciano Vásquez García

m 'H ch T

mwcw mal cal

T mw h L f

200(0,5)(20) (600 x1 200 x0, 215)(2,89) mx (80) 1000 1858, 27 80mx

QP

mx 1, 77 g

El calor ganado es

La masa total de hielo será

mf Lf

mwcw T

'

QG

mh ce T

QG

100(0,5)(20) 100(80) 100(1)(TE )

QG

9000 100TE

mh,T

201,77 g

Parte (c). Cuando se añaden ambos trozos a la vez se tiene:

El calor perdido es Calor ganado por el hielo

QP

mal cal

mwcw

T

''

QG

200(0, 215) 500(1) 20 TE QP

mh ce T

mh L f

300 g (0,5cal / g C )(20 C ) 300 g (80cal / g ) QG

543 20 TE

27000 cal

(6)

Calor perdido por el agua más el calorímetro. Por tanto se tiene QP

9000 TE TE

543 20 TE 2,89 C

mal cal T

mwce,w T

200 g (0, 225cal / g C )(20 C ) 500 g (1cal / g C )(20 C ) QP

Rta

10800 cal

(7)

Comparando las ecuaciones (6) y (7), se observa que no todo el hielo se funde. Por tanto la cantidad de hielo fundido será

Parte (b). De la parte (a) ahora el sistema está formado por

403

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

mh ch T

En el régimen estacionario

mx L f

10860

80mx

10860 300(0,5)(20)

mx

Optaciano Vásquez García

kA(T1 T0 ) L k (0, 75.10 4 m2 )(100 C 0 C ) 3,35W 0, 4m k 178, 67 W/m.K H=

98, 25 g

La masa de hielo que queda será

mh,queda

300 98, 25

mh,queda

201, 25 g

No existe variación.

Problema 05 Una varilla larga, aislada para evitar pérdidas de calor por los costados, está en contacto térmico perfecto con agua hirviendo ( a la presión atmosférica), en un extremo y con una mezcla de hielo-agua en el otro extremo como se muestra en la figura. La varilla consiste en un tramo de 1 m de cobre (un extremo en el vapor) unido al extremo de otro ramo L2 de acero. La temperatura de la unión cobre-acero es 65°C una vez que se alcanza el estado estacionario, determine: (a) la corriente térmica; (b) la longitud L2 que tiene el tramo de acero; (c) la resistencia térmica del sistema y (d) la cantidad de hielo que se funde en 40 min. Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2 W/m.K.

Problema 04 Un extremo de una varilla metálica aislada se mantiene a 100°C, y el otro se mantiene a 0°C con una mezcla de hielo más agua. La varilla tiene 40 cm de largo y el área transversal es 0,75 cm 2. El calor conducido por la varilla funde 3 g de hielo en 5 minutos. Determine la conductividad térmica de material. Solución Datos e incógnitas.

mh

3g ; t = 5 min; k = ??, T1 100 C;

T0

0 C; L = 40 cm; A = 0,75 cm2

En la figura se muestra a la barra

40 cm

100°C

0°C

Solución Parte (a). La corriente térmica es

Ahora se determina el calor utilizado para fundir el hielo

Q

mh L f

3g (80cal / g )

I I

240cal

Q 240(4,186 J ) Q 1004, 64 J (1)

T 373 338 385(6.10 4 ) x 1 8, 085 J / s KA

Parte (b). En el estado de régimen estacionario se cumple que

I cu

La corriente térmica o calor por unidad de tiempo será

8, 085 Q

mh L f

3g (80cal / g )

I ac K ac Aac

240cal

Q 240(4,186 J ) Q 1004, 64 J (1)

T' L2

8, 085 50, 2(6.10 4 ) L2

Se procede a determinar la conductividad térmica.

404

24, 2cm

338 273 L2

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

Parte (c). Resistencia térmica del sistema

Se determina ahora la corriente térmica en la barra de acero

RT

Rcu

RT

x x ( )cu ( ) ac KA KA 1 0, 242 4 385(6.10 ) 50, 2((6.10 4 ) 51 K/W

Rac

Iac

I ac

mx L f

0,1971 W

Icu

K cu Acu

19282,9 J

I ac

I

Una barra de 2 m de longitud tiene un alma de acero de 1 cm de diámetro rodeado de una camisa de cobre cuyo diámetro externo es 2 cm. La superficie exterior de la barra está térmicamente aislada de modo que el calor sólo puede fluir longitudinalmente por la varilla. (a) Determine la corriente total de calor en la barra, en el estado estacionario; (b) ¿Qué fracción transporta cada material?. Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2 W/m.K.

(4)

I cu

0,197 4,54

4, 737 W

Parte (b). Fracción de corriente que pasa por cada barra

0,197x100 4, 2% 4,737 4,54x100 En el cobre= 95,8% 4, 737 En el acero=

Solución

Problema 07

En primer lugar se determina el área de las secciones transversales

Se disponen dos cubos metálicos de 3 cm de lado, uno de cobre y el otro de aluminio tal como se muestra en la figura. Determine: (a) la resistencia térmica de cada uno de los cubos, (b) la resistencia total de sistema, (c) la corriente térmica y (d) la temperatura en la interface de los cubos.

Área transversal del acero

d2 (1cm) 2 4 4 4 0, 785.10 m 2

cm 2

4 (1)

Área transversal del cobre

Acu Acu

dcu2 d ac2

393 273 2

La corriente total será

57,58 g

Problema 06

Aac

(T1 T2 ) L

4,54 W

I=Iac

Aac

393 273 2

(3)

385(2,356.10 4 )

m x (80 x 4,186 J / g ) 19282,9 J mx

(T1 T2 ) L

La corriente térmica en el cobre será

Q H I t It 8, 085 J / s(2400 s) Q

K ac Aac

50, 2(0, 785.10 4 )

Parte (d). Cálculo del hielo fundido Se sabe que

Q

Optaciano Vásquez García

22 12

4 4 4 2 2,356.10 m (2)

3 cm2 4 Solución

405

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

Optaciano Vásquez García

Datos e incógnitas

Solución

mh

3g ; t = 5 min; k = ??, T1 100 C;

T0

0 C; L = 40 cm; A = 0,75 cm2

Parte (a). La resistencia térmica en cada cubo será

Parte (a). cálculo de la resistencia térmica 2

Rcu

x K cu Acu

Rcu

0, 083 K / W

Rcu Rcu

0, 083 K / W

3.10 401(3.10 2 ) 2 (1) 2

Ral

x' K al Aal

3.10 237(3.10 2 ) 2

Rcu

0,14 K / W

Ral

RT

0, 224 K/W

Rcu

0,14 K / W

373K 273K I

(2)

T

0,083 0,14 (3)

373K Tx Tx

IReq I cu (0, 083K / W )

I cu

963,86 W

T

I al Ral

373K 293K I al

I al (0, 224 K / W ) 571, 43 W

La corriente total será

IReq I (0, 224 K / W ) 357,14 W

I total I

Parte (d). Cálculo de la temperatura en la interface. Se sabe que en régimen estacionario la corriente se mantiene constante, por lo tanto

T'

(2)

Parte (b). La corriente térmica en cada cubo es

Parte (c). Corriente térmica esta dada por

T

3.10 2 237(3.10 2 ) 2

Ral

Parte (b). La resitencia total será

Rcu

(1)

x' K al Aal

373K 273K

RT

3.10 2 401(3.10 2 ) 2

x K cu Acu

I cu

I al

963,86 571, 43

1535,3 W

Parte (c). La resistencia térmica equivalente es

IRcu 357,14W (0, 224 K / W )

R eq

Rcu Ral Rcu Ral

Req

0, 052 K/W

0, 083(0,14) 0, 083 0,14

343, 4 K Problema 09

Problema 08

Un pequeño estanque tiene una capa de hielo de 1 cm de espesor flotando sobre él. (a) si la temperatura del aire es -10°C, halle la velocidad en cm/h con que aumenta el espesor del hielo por su parte inferior, (b) ¿Cuánto tiempo tardará en formarse una capa de hielo de 20 cm de espesor?. Considere que ρh =0,917 g/cc; Kh = 4,78.10-3 cal/s.cm°C.

Los mismos cubos empleados en el problema anterior se disponen en la forma indicada en la figura. Determine: (a) la resistencia térmica de cada uno de los cubos, (b) la corriente térmica y (c) la resistencia térmica equivalente.

Solución Datos e incógnitas

e 1cm; T1 0 C; T2 h

406

0,917 g / cc; K h

10 C; 4,78.10 3 cal / s.cm. C

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

Optaciano Vásquez García

Problema 10 Parte (a). En la figura se muestra la capa de hielo y la forma como ocurre el flujo térmico, además suponemos que se está formando una capa de hielo de espesor x

Una barra de sección transversal uniforme A y de longitud L que tiene la superficie lateral termoaislada se compone de un material, cuya conductividad térmica varía con la temperatura según la ley , donde α es una constante y T es la temperatura. Los extremos de la barra se mantienen a las temperaturas T1 y T2 (T1 > T2). Determine: (a) la corriente térmica y (b) la dependencia T(x), donde x es la distancia medida desde el extremo con temperatura T1. Solución. En la figura se muestra la forma de la barra

La corriente térmica se expresa en la forma

I

H

dQ dt

KA

T1 T2 e

x

(1)

T1

T2

La masa de la capa de hielo de área A y espesor dx que se está formando es

dm = dV = Adx

L

(2)

La ley de conducción de calor en este caso nos da

El calor necesario para que pase el agua de 0°C a hielo a 0°C es

dQ = Lf (dm) = Lf

Adx

H Hdx

(3)

Hdx

Remplazando (3) en (1) se tiene

Lf

Adx dt

H

L 0

dx H

4, 78.10 3 10 0,917 1 80 v

(1)

(2)

Integrando la expresión anterior resulta

KA T1 T2 e dx K T1 T2 dt eL f

v

dT dx KAdT A dT T

KA

dT T T A ln 1 L T2 A

T2

T1

(3)

Parte (b). Para determinar T(x) se procede a integrar la expresión (2) pero con otros límites, esto es

2,34cm / h

Parte (b). Cálculo del tiempo

Lf Lf

dQ dt Adx dt 20 0

H

10 KA x 10 KA x

0

dx H

t

dT T T A ln 1 x Tx A

Tx

T1

Remplazando (3) en (4), resulta

xdx 10 K dt 0

t

x

85,3 h Rta 407

(4)

Calor y Transferencia de Calor

Física General II

T A ln 1 L T2

tiene

T A ln 1 x Tx

Tx

T1

T1 T2

Optaciano Vásquez García

H

x/ L

c b

(5)

dr r H2

Problema 11 Una tubería de vapor de agua de 2 cm de radio que lleva vapor a 140oC, está rodeada por una camisa cilíndrica de corcho (Ke = 0,04 W/m.K) con radios exterior e interior de 2 cm y 4 cm, respectivamente, ésta a su vez está rodeada por una camisa de espuma de poliestireno (Ke = 0,01 W/m.K) con radios interior y exterior de 4 cm y 6 cm, respectivamente. La superficie exterior de la espuma de poliestireno está en contacto con el aire de 20oC. Determine: (a) la temperatura en un radio de 4 cm (la unión de los materiales aislantes) y (b) La corriente térmica total hacia fuera de un tramo de 2 m de tubería.

2 LK 2

Tc Tx

dT

2 LK1 Tc Tx c ln b

(3)

Parte (a). En régimen estacionario se tiene

H1 2 LK1 Tx Ta ln b a K1 Tx Ta ln b a 0, 04 Tx 413 ln 4 2 Tx

H2 2 LK 2 Tc Tx ln c b K 2 Tc Tx ln c b 0, 02 293 Tx ln 6 4 377, 2 K 104, 2 C Rta

Parte (b). Cálculo de la corriente térmica. De la ecuación (2), se tiene

2 LK1 Tx Ta b ln a

H1 Solución

H

Debido a que la transferencia de calor es a través de la superficie lateral del cilindro, entonces la corriente térmica se expresa

H

K1 Ar

H

dT dr

dr r

b a

dr r

2 LK1dT

H1

2 LK1

Tx Ta

(1)

dT

2 LK1 Tx b ln a

Rta

Un iglú hemisférico hecho de nieve compactada tiene un radio interior de 2 m. Se desea mantener en su interior una temperatura de 20°C. El calor generado por los habitantes del iglú es 30.106 J/dia. ¿Qué espesor debe tener las paredes del iglú sabiendo que la temperatura exterior es – 20°C y la conductividad térmica de la nieve compactada es 0,209 W/m.K?.

Integrando la ecuación anterior desde r = a, hasta r = b, resulta

H

26,1 W

Problema 12

dT K1 2 rL dr H

2 (2) 0, 04 377, 2 413 ln 4 / 2

Solución

Ta

En la figura se muestra el iglú

(2)

Integrando la ecuación desde r = b hasta r = c, se

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En este caso asumimos que el flujo de calor a través de la superficie del iglú es radial. Por lo tanto la ecuación de conducción de calor será

H

KAr 4 2

K H

dr r2

dT dr r2

dT dr

2 KdT

(1)

Integrando la ecuación (1) desde r = a hasta r = b, resulta

H

b a

dr r2

2 Kh

Tb Ta

dT

ab K h Ta Tb (2) b a 2 2(2 e) 0, 209 20 ( 20) 347, 2 J / s e e 86, 7cm Rta H

2

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calcular cuánto hielo queda.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

a) Una persona de 80 kg intenta bajar de peso subiendo una montaña para quemar el equivalente a una gran rebanada de un rico pastel de chocolate (700 Cal alimenticias). ¿A qué altura debe subir? b) Otra persona consume energía a razón de 150 W durante su trabajo, ¿qué cantidad de pan debe ingerir para poder trabajar durante una hora? (Calor de combustión del pan es 8000 cal/g). Considere que el 25% de la energía liberada del alimento se aprovecha como trabajo útil.

8.

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6.

Se acuerdan del problema del Salto del Laja; suponga ahora que el agua en su parte superior tiene una temperatura de 15ºC. Si toda su energía potencial se emplea en calentar el agua que cae, calcule la temperatura del agua en la base del salto.

10. Un calorímetro de 50 g de cobre contiene 250 g de agua a 20º C. Calcular la cantidad de vapor que se debe condensar en el agua para que la temperatura del agua llegue a 50ºC.

R: si altura del salto se estima en 25m, 15.06ºC.

11. Un calorímetro de aluminio con una masa 100 gr contiene 250 gr de agua. Están en equilibrio térmico a 10ºC. Se colocan dos bloques de metal en el agua. Uno es 50 gr de cobre a 80ºC. El otro una muestra de masa de 70 gr a una temperatura de 100ºC. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura final de 20ºC. Deducir de qué material se trata la muestra.

R: 12.9 g

Se utilizan 2 kcal para calentar 600 gr de una sustancia desconocida de 15ºC a 40ºC. Calcular el calor específico de la sustancia.

Un trozo de cadmio de 50 gr tiene una temperatura de 20ºC. Si se agregan 400 cal al cadmio, calcular su temperatura final.

12. Un envase plumavit contiene 200 g de mercurio a 0ºC. Se le agregan 50 g de alcohol etílico a 50ºC y 100 g de agua a 100ºC. a) Calcular la temperatura final de la mezcla. b) calcular el calor ganado o perdido por el mercurio, alcohol y agua. Desprecie la capacidad térmica del plumavit.

A un vaso aislante del calor (de plumavit) que contiene 200 cm3 de café a la temperatura de 95ºC, se le agregan 40 cm3 de leche que se encuentra a temperatura ambiente. Calcular la temperatura de equilibrio que alcanza la mezcla. (Suponer calor específico de los líquidos igual al del agua y considere un día de primavera).

R: a) 84.4º C, b) 557 cal, 998 cal, 1560 cal. 13. Un cubo de hielo de 20 g a 0ºC se calienta hasta que 15 g se han convertido en agua a 100ºC y el resto en vapor. Calcular el calor necesario para este proceso.

Al desayunar, usted vierte 50 cm3 de leche refrigerada en su taza que contiene 150 cm3 de café recién preparado con agua hirviendo. Calcular la temperatura de equilibrio alcanza esta apetitosa mezcla. (Desprecie la capacidad calórica de la taza).

R: 21739 J. 14. Un trozo de cobre de 1 kg y a 20ºC se sumerge en un recipiente con nitrógeno líquido hirviendo a 77K. Calcular la cantidad de nitrógeno que se evapora hasta el momento en que el cobre alcanza los 77K. Suponga que el recipiente está aislado térmicamente.

R: 75ºC. 7.

Un recipiente de aluminio de 300g contiene 200g de agua a 10º C. Si se vierten 100 g más de agua, pero a 100º C, calcular la temperatura final de equilibrio del sistema. R: 34.6º C.

R: 0.13 cal/grºC. 4.

En un recipiente aislado se mezclan 150 g de hielo a 0ºC y 600 g de agua a 18ºC. Calcular: a) la temperatura final del sistema, b) la cantidad de hielo queda cuando el sistema alcanza el equilibrio. R: a) 0º C, b) 14.4 g.

R: a) 934 m, b) 64.5 g. 2.

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Se enfría un bloque de 40 gr de hielo hasta 50ºC. Luego se agrega a 500 gr de agua en un calorímetro de 75 gr de cobre a una temperatura de 25ºC. Calcular la temperatura final de la mezcla. Si no se funde todo el hielo,

R: 941 kg.

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central eléctrica de 1000MW. 15. La temperatura en áreas costeras se ve influenciada considerablemente por el gran calor específico del agua. Una razón es que el calor liberado cuando un metro cúbico de agua se enfría en 1ºC aumentará la temperatura de un volumen enormemente más grande de aire en 1ºC. Calcule este volumen de aire. El calor específico del aire es aproximadamente 1 kJ/(kgºC). Considere la densidad del aire igual a 1,25 kg/m3.

R: b) aprox. 66 años. 21. El gradiente térmico de la Tierra, medido en la superficie es 30º C/km. Suponga que este valor no cambia en todo el trayecto hasta el centro de la Tierra. Si la temperatura en la superficie terrestre es 17º C, calcular la temperatura en el centro de la Tierra. ¿Considera que es una res- puesta razonable? Considerar el radio terrestre de 6370 km. R: 191117º C. 22. Una barra de hierro de 60 cm de longitud y área transversal de 2 cm2, tiene un extremo a 80º C y el otro a 20º C. Calcular: a) el gradiente de temperatura, b) la rapidez de transferencia de calor, c) su temperatura a 20 cm del extremo caliente.

R: Vaire = 3433 Vagua. 16. Un estudiante inhala aire a 22ºC y lo exhala a 37ºC. El volumen promedio del aire en una respiración es de 200 cm 3. Ignore la evaporación del agua en el aire y estime la cantidad de calor absorbido en un día por el aire respirado por el estudiante.

R: a) -100 ºC/m, b) 1.6x10-4 W, c) 60ºC.

R: 3.75 J por respiración. 23. Dos barras de la misma longitud, de diferentes materiales y áreas transversales se colocan paralelas entre sí. Encuentre la expresión de la tasa del flujo de calor en términos de las conductividades térmicas y las áreas de las barras. Generalice el resultado al caso de más de dos barras.

1 7. Un calentador de agua funciona por medio de potencia solar. Si el colector solar tiene un área de 6 m2 y la potencia entregada por la luz solar es de 550 W/m2, ¿Cuál es el tiempo mínimo en aumentar la temperatura de 1 m 3 de agua de 20ºC a 60ºC? Indique la(s) suposición(es) hecha(s).

R: -(∆T/∆x)(k1A1+k2A2) R: aprox. 14 horas. 24. Un carpintero construye una pared. Hacia el exterior coloca una lámina de madera (k = 0.08 W/mK) de 2 cm de espesor y hacia el interior una capa de espuma aislante (k = 0.01 W/mK) de 3,5 cm de espesor. La temperatura de la superficie interior es de 19º C, y la exterior es –10º C. Calcular: a) la temperatura en la unión entre la madera y la espuma, b) la razón de flujo de calor por m2 a través de esta pared.

18. Cuando un conductor frena su auto, la fricción entre los tambores y las balatas de los frenos convierten la energía cinética del auto en calor. Si un auto de 1500 kg que viaja a 30 m/s y se detiene, ¿cuánto aumenta la temperatura en cada uno de los cuatro tambores de hierro de 8 kg de los frenos? (desprecie la pérdida de energía hacia los alrededores). R: 47.1º C.

R: a) -15.3º C, b) -53.2 W/m2.

19. Dos balas de plomo cada una de 5,0 g, a 20ºC y moviéndose a 400 m/s chocan de frente. Suponiendo una colisión perfectamente inelástica y que no hay ninguna pérdida de calor hacia la atmósfera, describa el estado final del sistema (las dos balas).

25. Una tabla de área de 2 m2 y 2 de cm de espesor se usa como una barrera entre un cuarto a 20º C y una región a 50º C. Calcular el número de clavos de acero de 2 cm de longitud y 4 mm de diámetro que se deben clavar sobre la tabla para que el flujo de calor a través de la tabla se duplique.

R: 645º C. 20. Un lago contiene cerca de 5.1011 m 3 de agua. a) ¿Cuánto calor se necesita para elevar la temperatura de ese volumen de agua de 14.5 a 15.5ºC? b) Calcule el tiempo que se requeriría para calentar el lago, entre esas temperaturas, si el calor lo suministra una

R: aprox. 160 clavos. 26. Un extremo de una varilla metálica aislada se mantiene a 100º C, y el otro se mantiene a 0º C en contacto con una mezcla de hielo-agua. La varilla tiene 40 cm de longitud y un área

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transversal de 0,75 cm2. El calor conducido por la varilla funde 3 g de hielo en 5 minutos. Calcular: a) el gradiente térmico a lo largo de la varilla, considerando que este es uniforme, b) la cantidad de calor conducida por la varilla, c) la conductividad térmica del metal. d) Si el extremo que está a 100º C está en contacto con vapor ¿qué cantidad de vapor condensa en los 5 minutos señalados?

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durante el invierno, cuando afuera hay 0° C. ¿Qué temperatura interna deberían elegir si quisieran bajar sus gastos en combustibles en 10%? Explique clara- mente las hipótesis que hizo. R: 20.7º C. 32. a) Si la temperatura promedio de la piel de algún alumno es 30º C, su poniendo una emisividad ε = 0.97, calcular la radiación que emite. b) Si la temperatura promedio de las paredes de la sala donde se encuentra es 15º C, calcular la radiación que emite, considerada como cuerpo negro. c) Calcular la radiación neta para el alumno.

R: a) 250 ºC/m, b) 3.3 W, c) 173.7 W/mK, d) 0.44 g. 27. Una barra de hierro de 20 cm de largo con un diámetro de 1 cm tiene un extremo sumergido en una mezcla de hielo a 0º C, mientras que el otro extremo está en un tanque de vapor a 100º C. Suponga que a lo largo de la barra se ha establecido un gradiente de temperatura uniforme. Calcular: a) la rapidez del flujo de calor a lo largo de la barra, b) la rapidez con la que se funde el hielo en el extremo frío, c) la rapidez con la que se condensa el vapor en el extremo caliente para mantener el gradiente de temperatura uniforme, d) el gradiente de temperatura a lo largo de la barra.

33. Una dama se encuentra en bikini en una sauna cuyas paredes están a 85°C y tienen una emisividad igual a 1. Su piel se encuentra a 40°C y su emisividad es 0.8. a) ¿Cuánto calor absorbe la dama por radiación de las paredes? b) ¿Cuál es la tasa a la cual la dama irradia energía al medio exterior? c) ¿Cuánto sudor debería evaporar por hora para que su temperatura se mantenga normal y estable? (Suponga que éste es el único mecanismo de pérdida energía y que no está produciendo energía por metabolismo). Considere que el calor latente del sudor, a 37º C, es 2427 kJ/kg (compare con el del agua, tenga presente que éste último está dado a 100º C).

28. Una heladera cúbica de plumavit, de 30 cm de lado y 2 cm de espesor, tiene una temperatura interna de 5º C y externa de 25º C. Si 5kg de hielo se funden en 8 horas, calcular la conductividad térmica del material. R: 0.143 W/mºC.

34. Averiguar en algún texto de óptica, cual es la longitud de onda y la frecuencia de la radiación donde el ojo humano tiene la máxima sensibilidad, ¿y el ojo de un gato?, ¿un murciélago?, ¿un búho?

29. Un tubo de vapor se cubre con material aislante de 0.5 cm de espesor y 0.2 cal/(s cm ºC) de conductividad térmica. Inicialmente ¿Cuánto calor se pierde por segundo si el tubo está a 120º C y el aire circundante a 20º C? El tubo tiene un perímetro de 20 cm y una longitud de 50 cm. Ignore las pérdidas por los extremos del tubo. Analice la conveniencia o no de usar la relación dada para superficies planas. Estrictamente, debería usar la ecuación diferencial para la tasa conducción de calor e integrar para un conjunto de capitas superpuestas, cada una de forma cilíndrica y muy delgadita.

35. Calcular la frecuencia en Hertz y la energía en J (ecuación 14.4), para las longitudes de onda de cada tipo de radiación de la tabla 14.4. 36. La temperatura de la superficie del Sol es de unos 6000 K. Tomando el radio del Sol igual 7x108 m, calcular la energía total irradiada por el Sol cada día. R: 3.7x1031 J.

R: 5.3x104 W 30. Una ventana térmica de 6 m2 se construye con dos capas de vidrio, cada una de 4 mm de espesor, separadas por un espacio de aire de 5 mm. Si la parte interna está a 25º C y la externa a 0º C, calcular la pérdida de calor a través de la ventana. 31. A cierta familia le agrada tener la casa a 23° C

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