Capitulo v (Hidrodinamica)

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

CAPITULO V HIDRODINAMICA

Un ciclista puede hacer disminuir intencionadamente el rozamiento aerodinámico al adquirir una postura adecuada de carrera (encogiendo el cuerpo y usando ropa ajustada

293

Hidrodinámica

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5.1.

Optaciano Vásquez García

INTRODUCCIÓN La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son: El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación de continuidad. El principio de conservación de la energía. El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

5.2.

SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. 5.2.1. Sistema. Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y sólidos a voluntad del investigador. Un ejemplo lo constituye el sistema constituido por el vapor dentro del cilindro de una máquina después del cierre de la admisión como se muestra en la Fig.5.1. A medida que el pistón se mueve, el volumen del sistema cambia pero no existen cambios en la cantidad de masa.

Cilindro

Sistema (Gas en el cilindro) ´pistón

Límite del sistema

Fig5.1. Definición de sistema.

5.2.2. Volumen de control. Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa, momentum, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina superficie de control. El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas.

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En la Fig. 5.2, se muestra un volumen de control escogido para estudiar el flujo a través de una boquilla. Volumen de control

Superficie de control

Fig. 5.2. Volumen de control para un flujo de fluidos. 5.3.

FLUJO DE FLUIDOS Llamase flujo de fluidos al movimiento de un fluido. El flujo de fluidos puede ser: permanente, no permanente, uniforme, no uniforme, laminar, turbulento, unidimensional, bidimensional, tridimensional, rotacional e irrotacional. 5.3.1 Flujo permanente. Se dice que un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. Así por ejemplo, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, es decir, v / t 0 pero puede variar de un punto a otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras magnitudes tales como la densidad, la presión y la temperatura no varían con el tiempo, esto es, / t 0 , p / t 0 y T / t 0 . Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería larga recta de sección constante y a caudal constante. 5.3.2 Flujo no permanente Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, es decir, v / t 0 . Un ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de una tubería de sección constante pero a caudal variable. 5.3.3. Flujo uniforme. Un flujo de fluidos es uniforme cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad varían de un punto a otro del fluido, es decir, v / s 0 siendo s un 295

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desplazamiento en una dirección cualquiera. Esta suposición implica que las otras magnitudes físicas del fluido no varían, o bien, p / s 0 . Un / s 0, ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a través de tuberías de sección constante y gran longitud. 5.3.4 Flujo no uniforme. Se dice que un flujo es no uniforme, cuando la velocidad, la presión varían de un punto a otro en la región del flujo, es decir, v / s 0 . 5.3.5 Flujo laminar. Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o láminas, deslizándose una capa sobre la otra adyacente. v/ y. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por

5.3.6 Flujo turbulento. En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias aleatorias originándose un intercambio de momentun molecular. Es un ejemplo la cascada de un río. 5.3.7 Flujo unidimensional. En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad, presión, densidad, transversales a la dirección principal del movimiento del fluido. El flujo a través de una tubería se puede considerar unidimensional. 5.3.8 Flujo bidimensional. En este flujo se supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas en planos paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la dirección normal a dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero. 5.3.9 Flujo tridimensional. Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad vx , vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las coordenadas espaciales.

5.4.

FLUJO IDEAL. En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características:

296

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El fluido debe ser absolutamente incompresible. El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno.

5.5.

LINEAS DE CORRIENTE. Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluidos. Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido, en dicho punto. La Fig 5.3, nos muestra tal aseveración.

v Fig.5.3. Líneas de corriente en un flujo de fluidos. Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe, entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. En la Fig. 5.4, se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos sólidos del flujo de fluidos.

Fig5.4. Líneas de corriente para diferentes flujos.

5.6.

TUBO DE CORRIENTE. Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. Todas las partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente, al desplazarse continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. De igual forma ninguna partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. En la Fig, 5.5, se muestra un tubo de corriente. 297

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Fig.5.5. Tubo de corriente formado por líneas de corriente.

5.7.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de continuidad, la que expresa la continuidad del flujo de una sección a otra del tubo de corriente. Para encontrar la expresión matemática considere un sistema físico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra en la Fig.5.6, a través del tubo para un flujo permanente, unidimensional y compresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección es A1 y la densidad ρ1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la densidad es ρ2. El volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo de corriente.

Fig. 5.6. Sistema para determinar la ecuación de continuidad. De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt el sistema se mueve corriente abajo, de tal forma que según el principio de conservación de masa del sistema se tiene que Masa del fluidoen las

masa del fluido en las

zonas I y R en un

zonasO y R en un

tiempo t

tiempo t dt

298

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Es decir: mI

mR

mO

t

mR

t dt

(5.1)

Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son unciones del tiempo, de tal forma que mR

mR

t

t dt

(5.2)

Es decir, la ecuación (1) se escribe en la forma mI

mO

t

t dt

(5.3)

Estos dos términos se expresan fácilmente en función de otras variables como la densidad, el área de la sección y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir 1

A1 dS1

2

A2 dS 2

(5.4)

Si se divide la ecuación (5.4) entre el tiempo t, resulta 1

A1 (dS1 / dt )

2

A2 (dS 2 / dt )

(5.5)

Las derivadas de las cantidades S1 y S2 respecto del tiempo nos dan las velocidades instantáneas en las secciones 1 y 2, por lo tanto, la ec. (5), se escribe 1

A1v1

2

A2 v 2

(5.6)

Es a la cantidad m Av, que se le conoce como Régimen de flujo de masa y constituye la llamada ecuación de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo permanente, el régimen de flujo de masa que pasa a través de todas las secciones de un tubo de corriente, es constante. La ec. (5.6) puede escribirse también en la forma m Av cons tan te

o d

(5.7)

Av

0

Por otro lado si se multiplica a la ec. (5.6) por la aceleración de la gravedad local g se obtiene el flujo ponderal (G)

G m g

Av

(5.8)

Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso específico se mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa en la forma

Q

Av Cons tan te 299

(5.9)

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A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétrico o volumen por unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de flujo, cuyas unidades son m3/s. Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia perpendicular normal al plano del flujo. Si b es la distancia entre dos planos de flujo paralelos y h es la distancia entre líneas de corriente, la ec. (5.8), se escribe

G b

hv

(5.10)

A la cantidad G/b, se le denomina régimen de flujo bidimensional ponderal. Para el caso en el cual el flujo es permanente e incompresible, flujo en el cual la velocidad no es uniforme, el caudal se obtiene mediante la ecuación Q

5.8.

vdA

(5.11)

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER. Además de la ecuación de continuidad, otras ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de las partículas de un fluido. Para obtener la ecuación de Euler considérese un pequeño elemento de fluido de forma cilíndrica de masa, dm dV , tal como se muestra en la Fig.5.7. Considerando despreciable la viscosidad, las fuerzas que actúan sobre el cilindro y que tienden a acelerarlo son:

Fig.5.7. Tubo de corriente para determinar la ecuación de Euler.

300

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Las fuerzas debido a la presión sobre las bases del cilindro expresadas por

F1

pdA;

F2

( p dp)

(5.12)

La fuerza debido al peso del elemento en la dirección del movimiento

dW

.g.dA.dS.sen

(5.13)

La aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangente da θ

Ft

m.at

F1 F2 dW .Sen p dA

dm.at dv dt

p dp dA

.g .dA.dS .Sen

.dA.dS

dp

.g .dA.dS .Sen

.dA.v.dv

Dividiendo la ec. (5.14) entre dA y teniendo en cuenta que dS.Sen

dp

.g.dz

.v.dv

(5.14) dz, resulta

(5.15)

Para un flujo incompresible esta ecuación se escribe, la ecuación anterior se escribe en la forma

v2 d dz 0 2g O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme dp

d 5.9.

p

v2 2g

z

(5.16)

(5.17)

0

LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. La ecuación de Euler, se puede integrar fácilmente entre dos puntos ya que γ y g son constantes para un flujo incompresible de un fluido de densidad uniforme, obteniéndose

p1

v12 2g

z1

p2

v 22 2g

z2

(5.18)

Debido a que los puntos 1 y 2 son arbitrarios cualquiera de una línea de corriente, se puede escribir la ec.(5.18) en la forma

p

v2 2g

z

H

301

cons tan te

(5.19)

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La ec (5.19) se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una relación útil entre la presión p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ec.(5.19) revela además que las cantidades p/γ, v2/2g y z son distancias verticales. El experimento de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2/2g), la carga de presión (p/γ) así como la carga de altura z siempre permanece constante. La línea de carga piezométrica o línea de gradiente hidráulico (L.G.H) trazada a través de las partes superiores de las columnas piezométricas nos dan la imagen de la variación de presión ver la Fig.5.8.

Fig.5.8. Trazado de la línea de gradiente hidráulico.

5.10. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 5.10.1. La ecuación de la hidrostática. Las ecuaciones deducidas en hidrostática son un caso especial del teorema de Bernoulli, cuando la velocidad en todos los puntos es nula. Para determinar la ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la Fig. 5.9. Es decir

p1

v12 2g

z1

p2

v 22 2g

z2

(a)

Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica p0. Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas, con lo que la ecuación anterior se escribe

302

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p1

p0

0 z1

p1

p0

p1

p0

z2 .h

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0 z2 z1 (b)

Fig.5.9. Determinación de la ecuación de la hidrostática

5.10.2. Teorema de Torricelli. En la Fig. 5.10, se muestra a un líquido que sale por un orificio practicado en la pared lateral de un depósito, a una profundidad h por debajo de la superficie libre del líquido. Para determinar la velocidad con que sale el líquido a través del orificio se toma un punto 1 en la superficie libre del depósito en donde la altura y la presión son conocidas y un punto 2 en la salida de la tobera en donde también se conocen la presión y la altura.

Fig.5.10. Teorema de Torricelli 303

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Aplicando el principio de conservación de masa entre los puntos mencionados, para un flujo ideal proporciona

A1v1

A2 v2

(a)

Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene v12 2g

p1

p2

z1

v 22 2g

(b)

z2

Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión atmosférica p0, la ecuación anterior se escribe. p0

v12 2g

v22 2g

p0

z1

v22 v12

2 g z2

v22 v12

2 gh

z2 z1 (c)

Remplazando la ec. (a) en (c), resulta

A2 A1

2 2

v 1

v2

2

2 gh 2 gh

1

A1 / A2

2

(d)

En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección transversal del depósito A1, de tal forma que A2 / A1 0, y la ec. (d) se escribe v2

2 gh

(e)

La ec. (e) indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría una partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En otras palabras la energía potencial de la superficie libre se convierte en energía cinética del chorro. 5.10.3. Efecto Venturi. Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias significativas de energía potencial del fluido en movimiento. Entonces en la ecuación de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0, con lo que se tiene

p1

v12 2g 304

p2

v 22 2g

(a)

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De donde p1

p2

1 2

v22 v12

(b)

En esta expresión, si v1 es mayor que v2, entonces también lo es. En consecuencia, es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor que p1. En términos más simples, donde la velocidad sea mayor, la presión es menor. A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi. Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas unos cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en las caras externas y por tanto la presión en las caras externas será mayor, uniéndolas. El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo explica el porqué los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de viento de gran intensidad. Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto traslade como se observa en la Fig,5.11, que representa una mirada desde arriba.

Fig 5.11.

Efecto Venturi en una pelota en movimiento

La pelota se mueve hacia la derecha girando en sentido contrario a las manecillas de un reloj. El movimiento de rotación arrastra a una porción de aire en las cercanías de la pelota, el que forma una capa rotatoria que adquiere una velocidad cuyas direcciones están indicadas con vs y vi. El movimiento de traslación en cambio, produce una corriente de aire viajando a la izquierda con una velocidad vv. Se ve con claridad aquí que la velocidad será mayor en el lado 1 (vv vs ) que en el lado 2 (vv vi ) y por tanto la presión será mayor en el lado 2, produciéndose una curva en la trayectoria de la pelota, con radio de curvatura hacia el lado 1. 305

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Una aplicación interesante del efector Venturi, lo constituye el denominado Tubo de Venturi descrito en la siguiente sección 5.10.4. Tubo de Venturi Este medidor mostrado en la figura 5.12 consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la finalidad de evitar la formación de remolinos de tal manera que no se produzca remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente).

Fig. 5.12. Esquema de un venturímetro Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del fluido, para ello se aplica la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2 1

A1v1

2

A2 v 2

(a)

Para un fluido incompresible, la ec anterior se escribe

A1 v1 v2

A2 v 2 (b)

A2 v2 A1

Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

p1

v12 2g

z1

p2

v22 2g

z2

(c)

Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal por lo que

p1

v12 2g

v 22

v11

v22 2g

p2 2g

306

p1

p2

(d)

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Al remplazar la ec (b) en (d) y simplificar se tiene v2

2 g p1

p2 A2 A1

1

(e)

2

La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezometros, es decir p1 p 0 h1 p2 p0 h2

p1 p 2 p1 p2

h1

h2

h

(f)

Al remplazar la ec (f) en (e) resulta

2 gh

v2 1

A2 A1

(g)

2

Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma Q

A1 v1

A2 v 2

A1 A2

2 gh A A22 2 1

*

5.10.5 Tubo de Prandtl (Pitot). Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un gas, consiste en un tubo manométrico abierto e que va conectado a una tubería que lleva un fluido como se muestra en la Fig. 5.13. La presión en la parte izquierda del manómetro cuya abertura es paralela a la dirección del movimiento del gas es igual a la presión de la corriente gaseosa por otro lado la presión en la rama derecha cuya abertura es perpendicular al flujo del gas puede aplicarse aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos 1 y 2, esto es:

Siendo v, la velocidad de la corriente, γ el peso específico del fluido móvil y p1 la presión en el punto 1, la presión en la punto 2 es p2 y a velocidad en dicho punto es nula debido a que el gas no se mueve en el estancamiento, y los puntos 1 y 2 se encuentran en el mismo nivel horizontal, entonces la ecuación anterior se escribe

307

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2 g ( p2

v

p1 )

La diferencia de presiones se determina a partir de la lectura del manómetro en el tubo de Pitot, es decir

pM

p1

Hg

pN

p2

pM

pN

p1

p2

Hg

h

p1

h

p2 Hg

h

Al remplazar esta +ultima ecuación en la velocidad resulta

v

Fig. 5.13.

2g

Hg

h

Tubo de Pitot para medir la velocidad de un gas.

5.10.6 Sustentación del ala de un avión. Con la finalidad de simplificar los cálculos consideremos en nuestra mente que el ala del avión esta en reposo y que el aire es el que se mueve respecto al avión hacia la derecha. El la figura 5.14, se muestra algunas líneas de corriente alrededor

308

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del ala, estas líneas en la parte superior se encuentran más apretadas mientras que en la parte inferior no es muy importante la perturbación.

Fig. 5.14.

Sustentación del ala de un avión.

Esta distribución de las líneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturímetro y el punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir v1

v2

p1

p2

(a)

Bajo estas circunstancias, la fuerza de sustentación es F

F2

F1

( p2

p1 ) A

(b)

Donde A es el área del ala del avión que la consideramos iguales el parte superior e inferior, respectivamente. Si p y v son la presión y la velocidad del flujo de aire a una gran distanca del ala (puntos 3 y 4); y p1 y v1 los correspondientes al punto 1(debajo del ala); p2 y v2 los valores de la presión y la velocidad en en el punto 2 (sobre el ala), la aplicación de la ecuación de Bernoulli nos da p1 v12 p v2 z z1 entre 3 y 1 (c) 2g 2g

p

v2 2g

z

p2

De las ecuaciones (c) y (d) se tiene p1 v12 p2 z1 2g p2

p1

2g

2 1

v

v22 2g

z2 entre 4 y 1

v22 2g

z2

2 2

v

309

(d)

(e) z1 z2

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Despreciando la diferencia de alturas entre la parte superior e inferior del ala se tiene

p2

v12 v22

p1

(f

2g Finalmente, la sustitución de la ecuación (f) en (b) nos permite determinar la fuerza de sustentación del ala F

A 2 2 v1 v2 2g

Rta

5.11. LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una valiosa relación entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energía transmitida. Se ve entonces que la ecuación de Bernaulli es equivalente a la ecuación trabajo–energía de la mecánica para el flujo de un fluido ideal. Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la fig.4.15, y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el tiempo t, y las zonas R y O en el tiempo t + dt. Para un fluido permanente la ecuación de la continuidad establece (ρ = cte).

La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en la suma de las energías cinéticas, Ek y potencial, Ep del sistema, esto es en un tiempo dt.

Fig. 5.15.

Sección diferencial de un tubo de corriente. 310

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Remplazando (1) en (3) resulta

De igual forma se obtiene

Remplazando el segundo término de la ec. (1) en (5) resulta

El trabajo externo realizado sobre el sistema se lleva todo a cabo en las secciones transversales 1-1 y 2-2 porque no hay movimiento perpendicular al tubo, de manera que las fuerzas internas laterales no puedan realizar trabajo. Además, como todas las fuerzas internas aparecen en pares iguales y opuestos, no se realiza trabajo neto internamente. El trabajo realizado por el fluido que entra en I sobre el sistema en el trabajo dt, es el trabajo de flujo.

Como el sistema realiza trabajo sobre el fluido en O en el tiempo dt, el trabajo realizado sobre el sistema es

Reemplazando las ecuaciones (4), (6), (7), y (8) en (2), resulta:

Teniendo en cuenta la ec. (1) resulta:

311

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Reacomodando términos en la ecuación anterior se tiene

Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli, pero esta vez utilizando las ideas energéticas por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica. Los términos v2/2g, p/γ y z quienes además tienen las unidades de metros o m-N/N = Joule/New que representan energía por unidad de peso de fluido. La adición a un flujo de fluido de energía mecánica por una bomba (EB), o una extracción por una turbina (ET), altera la ecuación de Bernoulli la que debe escribirse:

En la que las cantidades EB y ET están expresadas en términos de energía añadida o sustraída por unidad de peso fluido en circulación y aparecen como elevaciones o descensos abruptos de la línea de energía, a través de las respectivas máquinas. En general el ingeniero requiere conocer la potencia total de dichas máquinas, la cual se puede calcular a partir del régimen de flujo ponderal (G) o de la energía EB o ET obteniéndose una potencia total dada por

5.12. FLUIDOS REALES. Como señalamos al principio de esta unidad, muchas de las restricciones que hemos considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos rigen el comportamiento de los fluidos en movimiento. Sin embargo, en muchos casos es necesario abandonar estas restricciones, porque proporcionan aproximaciones suaves al comportamiento de los fluidos reales Por cierto, sin querer entrar en terrenos de la ingeniería, podemos aproximarnos a aproximaciones un poco mejores considerando dos situaciones: primero, el hecho de que el elemento de fluido encuentra resistencia a desplazarse en el interior del tubo de flujo, fenómeno que describiremos con el nombre de viscosidad; y segundo, el hecho de que se puede determinar hasta qué punto un fluido hasta que punto un fluido se comporta de manera laminar, a través de un coeficiente sencillo denominada numero de Reynolds.

312

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5.13. VISCOSIDAD. Una manera sencilla de entenderla es suponer un tubo de fluido, compuesto de tal manera que se asemeja una resma de hojas de papel. Hasta ahora hemos supuesto que se mueven con igual velocidad, como se observa en el dibujo siguiente:

Fig. 5. 16. Modelo de un fluido ideal Este modelo puede ser mejorado considerado que en un fluido real, las hojas en contacto con las paredes del tubo tendrán la velocidad de estas, y luego, las restantes tendrán también distintas velocidades, considerando el roce entre ellas (viscosidad). El comportamiento de los vectores velocidad en este caso, se representa en el dibujo siguiente (flujo de Poiseuille).

Fig. 5.17. Modelo de un flujo real viscoso Otra forma de apreciar este fenómeno es suponer que cada hoja es una columna de personas caminando. Si cada hoja viaja a velocidad distinta, pero hay personas que se cambian a otras hojas, se tendrá que aquellas que se cambian a columnas de velocidad menor, provocaran un aumento de la velocidad promedio de esta ultima; e contrario, si una persona se cambia a una columna que tiene velocidad mayor, le provocará una disminución de su velocidad promedio. Este es el mecanismo básico de la viscosidad. El ejemplo más sencillo para estudiar el fenómeno de la viscosidad lo constituyen dos placas paralelas entre las que se dispone un fluido viscoso. La placa superior

313

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está moviéndose respecto de la inferior, que mantendremos en reposo (ver Fig. 5.18.)

Fig. 5.18. Fluido viscoso La placa superior está moviéndose con velocidad constante y la inferior esta en reposo. Se muestra que si el fluido está en contacto con estas paredes, se mueve con igual velocidad que ellas. Las rapideces de las capas intermedias aumentan uniformemente de una superficie a otra como indican las flechas, a partir de la superficie en reposo. Este es otra forma de ver nuestro flujo laminar. Observamos que esta acción deformará cada vez más el flujo por cizalladura. Supondremos que el área de la placa inferior es A y está separada de la otra por una distancia y , por otro lado, si queremos mantener a la placa superior moviéndose a una velocidad constante V se le debe aplicar una fuerza para compensar el roce, del mismo modo que lo hacíamos con los rígidos en la mecánica. Experimentalmente, se encuentra que esa fuerza es directamente proporcional al área de la placa que se mueve. También se encuentra que aumenta proporcionalmente con la velocidad y que es inversamente proporcional a y. Lo anterior se puede expresar en forma matemática como:

F

Av y

(5.22)

Si la separación entre las placas es grande, la velocidad cambia a través del perfil del flujo laminar y se tiene dv F A (5.23) dy Donde η es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de viscosidad, o simplemente viscosidad.

314

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Las unidades de n en el S.I. son Ns/m2 o lo que es lo mismo, Pa s, que se denomina Pouseuille (PI) en honor al francés Jean Pouseuille (1799-1869) y a su trabajo con la dinámica de fluidos, especialmente de la sangre. En el sistema CGS la unidad es Dina s/cm2 que se denomina poise (P) como es una unidad muy grande, se acostumbra usar el centipoise (cP), una centésima parte de un Poise. Respecto a los lubricantes comerciales para motores, existe una indicación de grados SAE (Society of Automotive Engineers) basados en la viscosidad. En invierno se usa aceite de viscosidad baja SAE 10W; en cambio en verano es necesario un aceite más viscoso SAE 30 o superior. También existen aceites multigrados por ejemplo el SAE10-40, que contienen otras sustancias (polímeros) permitiéndoles mantener una viscosidad constante. Algunos valores del coeficiente de viscosidad se observan en a siguiente tabla, en donde se resalta su variación con la temperatura.

Fluido

η (Pa s)x10-3

T(°C)

Agua

1,8

0

Agua

1,0

20

Agua

0,3

100

Glicerina

830

20

Hidrógeno

0,009

0

250

30

0.0018

20

Mercurio

1,55

20

Alcohol etílico

1,2

20

Oxígeno

2,2

20

Plasma sanguíneo

2,5

20

Aceite de motor Aire

Note que de (5.22.) se obtiene

Por lo que la unidad de viscosidad en el S.I. es:

Aunque a unidad más conocida es:

315

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

De lo anterior: 1 poise = 1[dina s cm2] = 10 -1[Nsm-2] La cantidad [F/A] es denominada esfuerzo constante, y la cantidad [v/y] es denominada variación de la deformación. En líquidos que fluyen fácilmente, como el agua o el petróleo, el esfuerzo cortante es relativamente pequeño para una deformación dada, lo mismo que la viscosidad. Para líquidos como la melaza o glicerina, se necesita un esfuerzo cortante mayor para la misma variación de la deformación, y por tanto su viscosidad será mayor. Los fluidos que se comparten según la ecuación (5.22.), se denominan Newtonianos.

5.14. NÚMERO DE REYNOLDS. Existe una velocidad crítica, después de la cual el fluido deja de comportarse en forma laminar. Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las paredes, que forman una capa denominada capa límite, conservan las propiedades del flujo laminar, conservan las propiedades del flujo laminar. Más allá de l la capa límite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de líneas separadas nítidamente. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias locales, denominadas vórtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al movimiento. Un flujo así se denomina turbulento Existe un parámetro asociado a la turbulencia, denominado Número de Reynolds, que matemáticamente está expresado mediante la ecuación

Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, η es su coeficiente de viscosidad dinámico, L es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el diámetro del tubo, cuando el flujo es en un tubo. El Número de Reynolds es una cantidad adimensional y tiene el mismo valor numérico para cualquier sistema coherente de unidadesEn el caso de el número de Reynlds sea inferior a 2000 entonces se dice que el flujo es laminar si el Número es mayor a 3000 el flujo es turbulento, pero si su valor oscila entre 2000 y 3000 el flujo es inestable y pasa de un régimen a otro con facilidad. Para tener una idea, considérese que, en el caso del agua que pasa por un tubo de 1 cm de diámetro el número de Reynolds es 104 v, de modo que el flujo se hace turbulento cuando sólo es de 0,3 m/s. Afortunadamente, un poco de turbulencia no cambia los valores predichos por la ecuación de Bernoulli, de la misma forma que un poco de viscosidad no cambia la 316

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

conservación de la energía para períodos cortos de tiempo, de modo que pueden seguirse aplicando las ecuaciones aquí vistas, sin grandes errores de aproximación.

5.15. MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos de una sección transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre las capa más externas del fluido, que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y así sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es máxima en el centro del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes. Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica como se muestra en la Fig. 5.19.

v

Fig. 5.19. Distribución de velocidades de un flujo en un tubo circular Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de radio R y longitud L. Supongamos además que el movimiento del fluido es de izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 – p2). Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r y espesor dr tal como se muestra en la Fig 5.20.

R

r dr r

Fig. 5.20. Diagrama de una capa de fluido En la parte interior de la capa cilíndrica actúa una fuerza de rozamiento interior 317

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento dirigida en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la fuerza f1 lo frena. En la Fig 5.21 se observa esta situación

f1

f

r dr

Fig. 5.21. Diagrama de fuerzas que actúan sobre la capa de fluido La fuerza resultante debido a la viscosidad será

Como la velocidad es máxima en el centro del tubo, el valor de , será negativo y la fuerza será positivo. Esta fuerza en estado de régimen estacionario debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es

Igualando las ecuaciones (5.27) y (5.28) resulta

318

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

Integrando en forma indefinida la ecuación anterior, resulta

Debido a que en el centro del tubo r =0; por lo que la ecuación se escribe

es nulo, entonces, el valor de C es nulo

Integrando la esta expresión resulta.

Determinemos ahora el volumen de fluido líquido que sale a través del tubo en un tiempo determinado t. De la capa cilíndrica de radio r y espesor dr en el tiempo t sale un volumen de fluido dado por

Al remplazar (5.30) en (5.31) resulta

Al integrar la ecuación anterior resulta que el volumen de fluido que sale a través del tubo será

La ecuación (5.32) se conoce como ecuación de POISEUILLE

319

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

de aceite a través de un chorro de 20 mm de diámetro?.

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01 Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua. El aire se mantiene a una presión manométrica p = 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale si se ignora la fricción y la energía cinética del fluido por encima de la elevación A? El chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie.

Solución De la ley de la hidrostática se observa que los puntos A y B se encuentran a la misma presión

p 150000N / m

2

gas

3

680kg / m 9,8m / s

2

pA

pB

ghgas

pB

2m

pB

Solución Aplicando la ecuación de Bernoulli entre lospuntos B y C.

En primer lugar se determina la presión en el punto B. pB

pA

720lb / pie pB

v C2 2g

pC

hCG 2

2

62, 4lb / pie 3pie

0

907, 2lb / pie

v C2 2g

v C2 2g 0

v C2 2g

zC 0 v C2 2g vC

pB pB

v B2 2g

zB

pB

v B2 2g

zB

163328 800 9,8

0 2g

0

20,83 3 18, 695m / s

Rta

El régimen de flujo de masa está dado por

0 10 pies 2g

907, 2 10 62, 4 39, 75 pies / s

3m v C2 2g vC

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos B y C, proporciona. pC

zC

 m=

acei

v C AC

acei

vC

r2

800kg / m 3 18, 695m / s m

Rta

4, 69kg / s

11.10 3 m

2

Rta

Problema 02

Problema 03.

Un tanque grande contiene aire comprimido, gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua. La presión manométrica del aire es p = 150 kPa. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el régimen de flujo de masa m

A través de la tubería mostrada en la figura fluyen trescientos litros por segundo de un líquido con peso específico de 8 kN/m3. Determine la lectura del manómetro en U si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3.

320

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Problema 04. Calcular el caudal ideal a través del sistema de tuberías mostradas en la figura.

Solución Datos e incógnitas

Q=300.10-3 m3 / s; =8000 N/m3 Hg

13600kg / m3 ; h = ???

En primer lugar se determina las velocidades en los puntos A y B. Q=A Av A 0,3 vA 0,3 vB

Solución

A Bv B

Datos e incógnitas.

2

300.10 3 v A 4 4, 24m / s 1

Q = ¿??? Al tratarse de un fluido ideal se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B

2

150.10 3 v B 4 16,98m / s 2

pA

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B nos da pA

v A2 2g

pB

v A2 v B2 2g

pA

pB

zA

w

zB

w

b h a

b

pB

pB

w

w

pA

w

a

pB w

0, 60sen300

pB w

3

pB

v B2 2g

zB

0 2g

0

pA

0,30

hg

h

h w

b

4

pB

pA

p0

w

z0sen 600

pB

p0

w

z0sen 600

pA

w

w

1, 2 sen 600

1, 2 sen 600

2

Remplazando la ec (4) en (3) nos da Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta w

a

hg

h

w

b

w

v A2 v B2 2g h(1

Hg w

)

b h a

v A2 2g

v A2 v B2 2g 2

h(1

1

w

Enseguida se determina las presiones de los puntos A y B

a hg

zA

vA 2g

Del manómetro se tiene que pM pN pA

v A2 2g

pA

v B2 2g

v A2 2g

w

1, 2 sen 600

v A =3,91 m/s 2

13600g 4, 24 16,98 ) 8000 19, 6 h 880mm Rta

El caudal esta dado por

321

0,30

w

3

Hidrodinámica

Física General II

Q

AAv A 4

0, 2m

p0

d 2v A

4

Optaciano Vásquez García

w

z

w 2

p0

3,81m / s

z

w

Q

0,12m 3 / s

v2 2g

p0

v2 2g

p0

w

w

(2,5m / s ) 2 2 9,8m / s 2

Rta.

h0

z

v B2 2g

h0

z

v B2 2 9,8m / s 2

vB

Problema 05.

v B2 2g

0,12m

1,97m / s

3

Analizando el movimiento de las partículas de fluido desde el punto B hasta C se tiene.

En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, según se muestra en la figura. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v = 2,5 m/s. la parte superior del tubo se encuentra a h0 = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente z tiene un pequeño agujero. Hasta que altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero.

v C2

v B2

2gh

0 1,97 h

2

2 9,8 h

20cm

Rta.

Problema 06. Determine la velocidad v1 del agua en el tubo vertical que se muestra en la figura. Desprecie todo tipo de perdidas.

Solución Datos e incógnitas v

2,5m / s; h 0

12cm; h = ???

Solución

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B se tiene v A2 2g

pA w

pA w

v B2 2g

pB

zA

w 2

v 2g

2 B

v 2g

p0

0

w

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, se tiene p1

zB

w

h0

z

1

Utilizando hidrostática se determina la presión en el punto A

pA

p0

w

z

v12 2g

z1

v12 2g

z1

p2

0 2g

w

0

p1

p2

1

w

Se procede a determinar la diferencia de presiones

2

p2

w

pM

pN

0, 4m a

p1

p2 p1

Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta

w

w

2m

1,6m a

Remplazando (2) en (1), resulta

322

Hg

Hg

0, 4m 0, 4m

2

Hidrodinámica

Física General II

v12 2g

1, 6m a

w

2 a

Hg

Optaciano Vásquez García

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 resulta

0, 4m

w

2 1

v 2g

2 a

1, 6m a 0, 4m

w

v12 2g v1

0, 4m 0, 4m

v12 2g

p1

Hg

gas

13600g 1000g

p1

0 2g

gas

gas

p2

3m

gas

p1

2 9,8m / s 5, 04m

p2

z1

gas

v1

9,94m / s

gas

p1,man

2 2

v 2g

Rta.

z2

v 22 2g

0

v 22 2g

p2

3m

v 22 2g

p2,man

3m

3

gas

Problema 07. Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta A través de la tubería mostrada fluye gasolina cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La lecturas de los medidores de presión; (b) El régimen de flujo de masa.

v 22 2g

4998N / m 2 7497N / m 2 850kg / m 2 9,8m / s 2

v 22

2 9,8m / s 2 3m 1,5m

v2

5, 42m / s

3m

4

El régimen de flujo de masa es  m=

gas

A2v 2

850kg / m3  m

p1

gas

0, 6m

p0

p1,man

gas

4

d 2 v2 0,15m

61, 44kg / s

0, 6m

4998N / m 2

1

Se determina ahora la presión del punto 2 utilizando el manómetro en U de la izquierda.

p2

p2

p3

p2

p0

p0

gas

gas

0,9m

0,9m

p2,man

850kg / m 3 9,8m / s 2 0,9m

p2,man

7497N / m 2

5, 42m / s Rta.

= 850kg / m 3 9,8m / s 2 0, 6m p1,man

2

A través del tubo vertical circula agua en forma permanente z luego entra en la región anular entre las placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una lamina libre. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el caudal de agua a través de la tubería si la presión manométrica en el punto A es 69 kPa?.

Se determina la presión del punto 1, utilizando el manómetro en U de la derecha. pN

4

Problema 08.

Solución

pM

gas

2

Solución

323

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los puntos A y B se tiene 8rh vB d A2

vA

8 0,3m 13.10 3 m (0, 2m) 2 vA

0, 78v B

1

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 nos da v A2 2g

pA w

w

v A2 2g

pA w

p0

pA w

pB

zA

p0

0

w 2 A

zB

v B2 2g

zB

2 B

v 2g p A,man

v B2 2g

v 2g

zB

2 B

2 A

v

w

v 2g

Solución Del manómetro en U se tiene pA

p0

zB

2

pA

v B2

0, 78v A

2 9,8m / s 2

vB

2

1,5m

16, 65m / s

p0

p2

w

p0

gH w

p2

0,3m 13.10 3 m 16, 65m / s

0, 408m 3 / s

0, 025m

2

1

p0 3332N / m2

pA

p2

p0

2 rh v B

Q

3332N / m

98m / s 2

2

Del piezómetro se tiene

3

AB v B 2

gh

13600kg / m 3

p1

El caudal estará dado por Q

p0

Hg

La presión en el punto 1 ser[a igual a la presión en el punto A por ser un gas el que se encuentra en la tubería superior izquierda.

Remplazando la ec. (1) en (2), resulta 69000N/m 2 9800N / m 3

p0

gH

1000kg / m 3 9,8m / s 2

p0 1470N / m

0,15m

2

3

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, resulta p1 v12 p2 v 22 z1 z2 2g 2g aire aire

Rta.

p1

Problema 09.

aire

Para un régimen de flujo de aire de 2 m3/s de aire cuyo peso especifico es 12 N/m3. ¿Cuál es la mayor área A2 que hará que se aspire agua por la abertura del piezómetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad.

v12 2g p1

0

p2 aire

p2 aire

v 22 2g

v 22 v12 2g

0 4

Remplazando las ec. (2) y (3) en (4) resulta

324

Hidrodinámica

Física General II

p 0 3332N / m 2

p0 1470N / m 2 aire

v 22 v12 2g

4802N / m 2 12N / m 3

v 22 v12 2 9,8m / s 2

4802N / m 2 12N / m 3

v 22 v12 2 9,8m / s 2

v 22 v12

Optaciano Vásquez García

7843, 27m 2 / s 2

5

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los puntos 1 y 2 resulta A1v1

A2v 2

v2

A1 v1 A2

v2

0, 09 v1 A2

6

Solución

Calculo de la velocidad v1: de la definición de caudal se tiene Q

Q 1,54m3 / s;

Av 1 1

2m3 / s v1

Datos e incógnitas

pv ,Hg

0, 09m 2v1

22, 22m / s

7

0, 09 22, 22m / s A2

v2

2 A2

6900N / m2 ; p0 100000N / m2 ; h=????

En la figura se muestra la ubicación final de los fluidos en el tuvo en U, después de abrir la válvula

Remplazando la ec. (7) en (6), resulta v2

9810N / m3 ;

w

8

Sustituyendo la ec. (8) en (5) se tiene 2 A2 2 A2 2 A2 A2

2

v12

7843, 27

2

22, 22 2

7843, 27

2

8336, 99

0, 022m 2

Rta.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, se tiene Problema 10 p1

A través del túnel de agua pasa un flujo de 1,54 m3/s (peso especifico 9,81N/m3, presión de vapor 6,9 kPa). La válvula está cerrada. Calcular la magnitud z la dirección de la lectura del manómetro después de que se abre la válvula. La presión atmosférica es 100 kPa.

w

p1 w

p1 w

325

v12 2g

Z1

v12 2g

0

v12 2g

p2 w

p2 w

p2 w

v 22 2g 0 2g

Z2 0 1

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Calculo de la presión en el punto 1 p1

pv ,Hg

w

Solución Datos e incógnitas

g 0,9m

6900N / m 2 9810N / m 3 0,9m p1

15729N / m

w

2

w

pM

pN

g 2, 4 h

p0

Hg

g 2h

p2

p0

Hg

g 2h

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1(punto de estancamiento del Pitot) y 2 (extremo en la salida de la boquilla) se tiene p1

w

g 2, 4 h

p0 13570 9,8 2h

w

p1

9810 2, 4 h

w

p2

76450 256162h

3

p0

2

0,5 v1

4 7,84m / s

v1

4

Remplazando las ec (2), (3) y (4) en (1), resulta 15729 9810

7,842 2 9,8 h

0 2g

6m

p1

p0

v 22 2g

p2 w

p0 w

v 22 2g

Z2 4,5m

+1,5

1

w

pM

pN

g 0,5m Hg

p1

w

g 0,5m

p1

p0

p1

p0

p1

p0 =61740N/m 2

Hg

g 0,5m

w

g 0,5m

9,8m / s 2 0,5m 13600kg / m 3 1000kg / m 3 2

Remplazando las ec (2), en (1), resulta

76456 256162h 9810 0,1169m

Z1

Calculo de la presión en el punto 2

A1v1

1,54

v12 2g

v 22 2g

Se procede a determinar la velocidad del fluido en la posición 1 Q

13600kg / m3 ; Q=????

Hg

2

Calculo de la presión en el punto 2

p2

1000kg / m3 ;

v 22 2 9,8m / s 2

5

6170N / m 2 +1,5m 9800N / m3

v 2 =12,36m/s

El signo menos indica que el mercurio en la rama izquierda asciende una altura H

3

El régimen de flujo será H

2h

H

234mm

2 0,1169

Q

Rta.

A2v 2

4

0, 05m

Problema 11. Q

A través de la tubería mostrada en la figura fluye agua. Determine el régimen de flujo volumétrico

d 22 v 2 2

4 0, 024m3 / s

12,36m / s Rta.

Problema 12. Para la instalación del venturimetro y el manómetro mostrado en la figura, deducir una expresión que relacione el caudal con la lectura del manómetro.

326

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

2gR

v 22

m

2gR

v2

m

d2 d1

1

Q

Av 2

4

4

d2 d1

1

d 22

2gR

m

d2 d1

1

Solución Aplicando la ecuación de Bernoulli puntos 1 y 2 se tiene v12 2g

p1

Z1

v12 2g

p1

z1 p1

p2

v 22 2g

p2

v 22 2g

v 22 v12 2g

p2

entre los

4

Rta.

4

Problema 13. Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una presión manométrica de 35 kPa en su superficie libre. El agua se bombea a través de una tubería como se muestra en la figura, y sale a través de una boquilla para formar un chorro libre. ¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?.

Z2 z2 z1 z2

1

La diferencia de presiones

p1

pM

pN

g a R

p2

p1 p2

g z1 z2

g z1 z2

g a

m

m

g R

g R

gR

2

Solución

Aplicando la ecuación de la continuidad nos da

A1v1 4

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (salida de la boquilla) se tiene

A2v 2

d12v1

4

d 22v 2

d2 d1

v1

p1,man

2

v2

v12 Z1 EB 2g

3 35000N / m 2 9800N / m3

Remplazando las ec (2) y (3) en (1) se tiene

0 1,5m EB 2g EB

z1 z2

m

R

R

d2 d1

v 22

2

v 22

m

R

R

v 22 1 2g

d2 d1

o

v 22 Z2 2g

v 22 1,5m 2g

v 22 3,57m 2g

1

Las partículas que salen de la boquilla describen un movimiento parabólico, por tanto

z1 z2

2g

p2,man

4

v 32y

v 22y

2gh

2 2y

2gh

0 v

El caudal será

327

v 22y

2gh

2 8,8m / s 2 6m

v 2y

10,84m / s

2

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

La velocidad en la salida de la boquilla será v 2y

v 2 sen 450

v2

15,3m / s

10,84m / s 3

pM

pN

p0

pB

0, 6

pB

0, 6 9810

p0

pB

29182, N / m 2

pB

29182,3N / m 2

0,175

w

Hg

0,175 134887,5

Remplazando la ec. (3) en (1) p0

EB

(15,3m / s ) 2 m / s2

EB

8, 42J / N

3,57m

Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene 4

v B2 2g

La potencia de la bomba si es que no haz pérdidas P

w

29182,3N / m 2 9810N / m 3

2, 4m

v 2B = 0,5756 2 9,81

QEB

w

4

9800

vB

d 22v 2 EB 0, 075

4

2

15,3

5610Watt

3,358m / s

3

Aplicando la ecuación de la energía entre B y el punto D (punto de salida del agua).

8, 42

pB

P

2

2

Rta.

w

pB

Problema 14.

w

v B2 2g

ZB E B

v B2 2g

zB EB

pD w

p0 w

EB

Calcular la potencia de la bomba, si a través de ella existe un flujo de agua

p0

v D2 2g

ZD

v D2 2g

zD v D2 v B2 2g

pB w

29182,3N / m 2 9810N / m 3 EB

v D2 v B2 2g

(zD zB ) v D2 v B2 2g

3,875m

0,9m 4

La aplicación de continuidad entre los puntos B z D, nos proporciona ABv B 4

d B2v B

Solución vD

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A (superficie libre del agua) y B (punto en la tubería a la altura del manómetro en U), resulta v A2 2g

pA w

p0 w

0 2g

ZA 0

w

v B2 2g

pB

2 B

pB

v 2g

w

v B2 2g

p0

pB

4

d D2 v D

dB dD

2

vB

200mm 75mm

ZB

vD

2, 4m 2, 4m

ADv D

2

3,358m / s

23,879m / s

5

Remplazando la ec. (5) en (4) resulta 1

EB

w

Se procede a determinar la diferencia de presiones, para ello se analiza el manómetro en U

EB

328

(23,879m / s ) 2

3,358m / s

2 9,81m / s 2 32,363J / m

6

2

3,875m

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

La potencia de la bomba será: P

w

QEB

w

4

A1v1

0, 075

4 33458Watt

23,879

32,363

d12v1

0, 2m v1

4 19, 098m / s

v1 2

4

2

0, 6m 3 / s

d 22v 2 EB

9800 P

Q

3

Remplazando la ec. (1) y (3)en (2) resulta

Rta. ET

Problema 15.

0,8

Hg

w

a 0,8

19, 0982 2 9,8

w

Determine la potencia producida por la Turbina mostrada en la figura para una razón de agua dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.

0,8

Hg

1

a

18, 61

w

0,8 ET

13600 1 1000

18, 6

28, 69J / N

4

La potencia de la bomba será: P

w

QET

9800 0, 6 28, 69 0,90 P

¿Cuál es la potencia requerida para que 30 pies3/s de agua fluyan en la bomba de la figura mostrada?. Desprecie la fricción en la tubería y considere que el diámetro de la salida en la boquilla tiene 10 pulgadas. Considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie3.

Se procede a determinar la diferencia de presiones, para ello se analiza el manómetro en U

p1

w

pN

a b 0,8m

p2

p1 p2

w

0,8

Rta.

Problema 16.

Solución

pM

151827Watt

b

Hg

Hg

w

0,8m

a 0,8

1

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1 (entrada de agua en la turbina) y el punto 2 (punto inmediatamente en la entrada del Pitot). p1 w

p1 w

v12 2g

Z1

v12 2g

z1

ET

p2 w

ET

p2 w

ET

p1

v 22 2g

Z2

0 2g

0

p2 w

v12 2g

a

Solución

2

Aplicando la ecuación general de la energía entre los puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque grande) y el punto 2 (extremo de salida de la boquilla)

Calculo de v1: de la definición de caudal se tiene

329

Hidrodinámica

Física General II

p1 w

1440lb / pie 2 62, 4lb / pie3

v12 Z1 EB 2g

0 20 pie EB 2g

v 22 Z2 2g

p2 w

v12 2g

p1 w

v 22 0 2g

8940lb / pie 2 62, 4lb / pie 3

2 2

2

v 20 pies 2g

7200lb / pie 62, 4lb / pie3

EB

Optaciano Vásquez García

p0 w

Z1

p2

ET

w

0 2g

p0

h ET

w

1

h

v 22 2g

Z2

v 22 2g

0

v 22 2g

ET

1

Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene Q 30 pie 3 / s v1

A2v 2

4

10 4 12

Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene

d 22v 2

2

Q

v1

55pies / s

0, 085m 3 / s

2

v2

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

EB

55pies / s

7200lb / pie2 62,4lb / pie3

EB 142,36 pies

20 pies

P

w

P

w

3

La potencia de la bomba será:

d 22v 2 2

0,1m v 2 4 10,82m / s

2

QEB w

ET

62, 4lb / pie 3 30 pies 3 / s 142,36 pies

QET d 22 v 2 ET 4

9800N / m3

15000Watts

P

4

Se determina la energía que extrae la turbina. De la definición de potencia se tien

2

2 32,2 pies / s 2

A2v 2

4

0,1m

2

10,82m / s ET

18J / s

266497,9lb.pie / s P

484 hP

Remplazando la ec. (2) y (3) en (1) resulta

Rta.

Problema 17.

h 18J / s

Calcular la altura h que producirá un régimen de flujo de 85 lt/s y una producción de potencia de 15 kW por la turbina.

h

10,82m / s 2 9,8m / s

23,97m

Rta.

Problema 18. Determine la potencia mínima de la bomba que hará pasar al chorro de agua sobre la pared.

Solución Datos e incógnitas Q = 85 lt/s; P = 15 kW;

Solución w; =

3

1000kg/m ; h = ???

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (extremo de la boquilla) se tiene

Aplicando la ecuación general de la energía entre los puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque) y el punto 2 (extremo de la boquilla).

330

Hidrodinámica

Física General II

v12 2g

p1 w

p0

0 2g

w

Z1 EB

p2 w

54m EB

p0 w

EB

v 22 2g

Problema 19.

v 22 2g

Z2

v 22 2g

60m

6m

Optaciano Vásquez García

Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0,005 mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en el aceite. Determine la velocidad terminal de bloque. Considere que la viscosidad del aceite es 0,07 N/m2..

1

Enseguida se determina la velocidad de salida del agua por la boquilla utilizando el movimiento parabólico de las partículas de agua, por tanto

Solución Datos e incógnitas Movimiento en X

W

x

v 2 cos 450 t

30m

v 2 cos 450 t

t

30m v 2 cos 450

1000N; L = 0,2m; e = 0,005 mm; vL

??

= 0,07 Pa.s En la figura se muestra el DCL del bloque; las fuerzas que actúan sobre él son: el peso W, la fuerza viscosa Fv la que se opone al movimiento relativo del bloque y la fuerza NC ejercida por el fluido sobre el bloque.

2

Movimiento en Y y 15m v2

v 2y t

gt 2 2

v 2 cos 450

30m v 2 cos 450

g 30m 2 v 2 cos 450

24, 25m / s

2

3

La aplicación de las ecuaciones de movimiento según la dirección x nos da

Remplazando la ec. (3) en (1) EB

(24, 25m / s ) 2 2 9,8m / s 2

EB

36J / N

6m

o

Wsen 20 4

w

w

P

37, 74kW

max

1

FV

(2)

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene

d 22v 2 EB

9800N / m 3

FV

Wsen20o

QEB 4

max

Cuando se alcanza la velocidad límite la aceleración se vuelve nula, por lo tanto.

Despreciando las perdidas, la potencia de la bomba será. P

Fx

4

0, 075m

2

FV A

36m / s

36J / N

FV A FV

Rta.

dv dy v e A.v e

3

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene

331

Hidrodinámica

Física General II

Cuando se alcanza la velocidad Terminal la aceleración del cilindro es nula.

A.v =Wsen200 e W .e.sen 200 v .A v v

Optaciano Vásquez García

W

1000N 5.10 6 m sen 200

FV

(2)

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene

2

7.10 Pa.s 0, 6 m/s

Rta

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene

Problema 20

=

Un cilindro de 149,5 mm de diámetro y 150 mm de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro interno. La holgura que se supone, está llena de aceite. Suponiendo que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. Determine la viscosidad del aceite.

FV A lat

dv dy

v e

FV A lat =

=

e.FV = v.A lat

e.W v 2

d 2

= L

e.W d.v L .L

D-d W 2 d.v L .L 0,15m 0,1495m 9N 2 0,1495m 46.10 3 m / s 0,15m 0, 6945 N.s/m 2

Solución Datos e incógnitas.

D 150mm; d = 149,5 mm; v L W

9N;

46mm / s

???

En la figura se muestra el DCL del cilindro; las fuerza que actúan son el peso W, la fuerza viscosa FV.

La aplicación de la ecuación de movimiento en la dirección vertical nos da:

Fy

may

W FV

may

1

332

Rta.

Física General II

Hidrodinámica

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.

2.

3.

4.

En una tubería fluye agua. En un punto en la línea en el que el diámetro es de 175 mm, la velocidad es de 3,6 m/s y la presión es de 345 kPa. En un punto alejado 12 m del anterior el diámetro se reduce a 75 mm. Calcular la presión aquí cuando: (a) el tubo está horizontal; (b) el tubo está vertical y el flujo es ascendente.

Optaciano Vásquez García

5.

Un tanque cerrado contiene agua y aire arriba de esta. El aire se mantiene a una presión de 103 kPa, y a 3 m debajo de la superficie del agua, esta se descarga hacia la atmósfera por una boquilla. ¿A qué velocidad saldrá el agua desde la boquilla?.

6.

A través de las tuberías fluye agua. Calcular el régimen de flujo a través de esta tubería, así como las presiones en A, B, C y D.

7.

Si a través de la tubería fluye agua. Calcular la presión en el flujo en A; (a) Para el sistema mostrado y (b) Para el tubo sin la boquilla.

8.

Se usa un sifón consistente de una manguera de 25 mm para extraer agua desde un tanque. El extremo de salida de la manguera se encuentra a 2,4 m debajo de la superficie del agua y el doblez de la misma está a 0,9 m sobre esa superficie del agua. Calcular la presión en el doblez y el régimen de flujo.

9.

Calcular el régimen de flujo mínimo que pasará sobre la pared.

Si a través de esta tubería circula petróleo crudo, y la velocidad de éste en A es de 2,4 m/s, ¿en dónde estará en nivel del petróleo en el tubo abierto C

A través del sistema de tuberías fluye agua. Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura del medidor de presión p(kPa).

El flujo es de agua. Calcular el diámetro requerido de tubo d, para que los dos medidores indiquen la misma lectura.

333

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

10. Un tubo horizontal de 75 mm está conectado a una tanque con agua a 1,5 m debajo de la superficie de la misma. El tubo se agranda de un modo gradual hasta un diámetro de 88 mm y se descarga libremente hacia la atmósfera. Calcular el régimen de flujo y la presión en el tubo de 75 mm. 11. Demostrar que para los dos orificios que descargan como se muestra, h1y1 = h2y2 . 15. A través del sistema fluye agua. Suponer que el flujo entre los dos discos es radial y calcular las presiones en A, B, C y D. El flujo descarga hacia la atmósfera.

12. En esta tubería fluye agua a razón de tres décimos de metro cúbico por segundo. Calcular la lectura del manómetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el tubo del pitot está en la sec. 2 y la conexión de presión estática está en la sección 1. 16. Si se ignora la fricción. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale del tanque como un chorro libre?. ¿Cuál es el caudal de descarga.

13. Calcule el régimen de flujo a través de esta tubería.

17. A través de la tubería esta fluyendo 28 l/s de agua. Calcular la potencia de la bomba.

14. A través de la tubería fluye gasolina. Calcular el régimen de flujo.

334

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

18. A través de la tubería esta fluyendo 120 l/s de combustible jet (JP-4). Calcular la potencia de la bomba.

22. Cuando la bomba mostrada en la figura proporciona 220 m3/h de agua a 200C desde el depósito, la pérdida total de carga por fricción es 5 m. El flujo se descarga a la atmósfera a través de una tobera de 5 cm de diámetro. Estime la potencia en kilowatios que la bomba proporciona al agua.

19. Calcular la producción de potencia de esta turbina.

20. Una bomba de bomberos saca agua de mar (DR = 1,025) mediante un tubo sumergido y la descarga a través de una tobera, según se representa en la figura. La pérdida total de carga es de 6,5 pies. Si el rendimiento de la bomba es 75%. ¿a qué potencia se requiere que funcione la bomba?.

23. La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC a 2,3 m/s. La pérdida de carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la bomba proporciona al flujo 8 hp de potencia. ¿Cuál será la lectura h del manómetro en pies?. Considere que la densidad relativa del kerosene es 0,804; la densidad del agua 62,4 lb/pie3 y 1 hp = 550 lb.pie/s

21. Dos tanques abiertos A y F contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD, con una contracción en C y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Un tubo vertical E sale de la contracción en C y baja al líquido del tanque F. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una altura h1 por debajo del líquido en A. ¿A qué altura subirá el líquido en el tubo E?. Exprese su respuesta en función de h1

24. Si a través de la bomba que se muestra en la figura debe circular 10 pie3/s. ¿Cuál debe ser la potencia en la bomba?. Desprecie la fricción y considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie3.

335

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

31. Una bolita de acero de 1 mm de diámetro cae con la velocidad constante de 0,185 cm/s en un gran recipiente lleno de aceite de Ricino. Hallar la viscosidad dinámica del aceite de Ricino. 32. En un depósito de 1 m de profundidad lleno de glicerina se echa una mezcla de perdigones de plomo entre los cuales unos tienen 3 mm de diámetro y otros 1 mm. ¿Cuánto tiempo más tarde llegarán al fondo los perdigones más pequeños que los de diámetro mayor?. La viscosidad dinámica de la glicerina a la temperatura que se hace el experimento es igual a 14,7 g/cm.s.

25. Un eje de acero (7850 kg/m3) de 3 cm de diámetro y 40 cm de longitud cae por su propio peso dentro de un tubo vertical de 3,02 cm de diámetro interior. La holgura, que se supone uniforme, está llena de glicerina a 200C con un coeficiente de viscosidad de 1,5 N.s/m2. ¿Cuál será la velocidad terminal del eje de acero?.

33. Una bola de corcho de 5 mm de diámetro emerge en un recipiente lleno de aceite re ricino. ¿A qué serán iguales las viscosidades dinámica y cinemática del aceite de ricino en las condiciones del experimento si la bola emerge con una velocidad constante de 3,5 cm/s?.

26. Sean dos cilindros coaxiales, uno fijo de radio interno R2 y otro móvil de radio exterior R1 y longitud L el cual se desplaza longitudinalmente a una velocidad v0 por el interior del primero. El espacio comprendido entre los cilindros que se supone uniforme se llena con un liquido viscoso cuya densidad es ρ y viscosidad η. Halle la fuerza de de rozamiento producida por el aceite

34. Un recipiente cilíndrico de radio R = 2 cm tiene en su pared lateral un orificio en la cual va montado horizontalmente un tubo capilar de radio interior r = 1 mm y longitud l = 2 cm. Este recipiente contiene aceite de ricino cuya viscosidad dinámica es 12 g/cm.s. Hallar la variación de la velocidad V, con que desciende el nivel del aceite en el recipiente, en función de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Calcular el valor numérico de esta velocidad cuando h = 26 cm.

27. Calcular la viscosidad aproximada del aceite.

35. En la pared lateral de un recipiente va montado horizontalmente u tubo capilar de radio interior r = 1 mm y l = 1,5 cm. El recipiente contiene glicerina, cuya viscosidad dinámica en las condiciones del experimento es 1,0 N.s/m2. El nivel de la glicerina se mantiene constante a una altura h = 0,18 m sobre el tubo capilar. ¿cuánto tiempo será necesario para que por el tubo capilar salgan 5 cm3 de glicerina?.

28. El espacio entre dos cilindros concéntricos de 250 mm de altura y de diámetro de 150 mm y de 156 mm, está lleno con petróleo crudo a 20 grados centígrados. ¿Qué par de torsión se requiere para hacer girar al cilindro interior a 12 RPM, si el cilindro exterior permanece estacionario?. 29. Una bola emerge con velocidad constante de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola. ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de éste?. 30. ¿Cuál será la velocidad máxima que puede alcanzar una gota de lluvia de diámetro d = 0,3 mm si la viscosidad dinámica del aire es igual a 1,2.10-4 g/cm.s?.

336