Capitulo v. Fisica II. Hidrodinamica (2)

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

CAPITULO V HIDRODINAMICA

Un ciclista puede hacer disminuir intencionadamente el rozamiento aerodinámico al adquirir una  po  postura stura adecua cuada de carr carre era (enc (enco ogi endo ndo el cue cuerpo y usand usando o ropa ropa ajusta justada

INTRODUCCIÓN

293

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las  partículas de un fluido en movimiento pueden pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son: El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación de continuidad. El principio de conservación de la energía. El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

  

5.1.

SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. 5.2.1.

Sistema.

Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y sólidos a voluntad del investigador. Un ejemplo lo constituye el sistema constituido  por el vapor dentro del cilindro de una máquina después del cierre de la admisión como se muestra en la Fig.5.1. A medida que el pistón se mueve, el volumen del sistema cambia pero no existen cambios en la cantidad de masa.

F i g5.1. D efi nició nici ón de de sistem sistema.

5.2.2.

Volumen de control.

Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa, momentum, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina  superficie de control . El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas. En la Fig. 5.2, se muestra un volumen de control escogido  para estudiar el flujo a través de una boquilla. boquilla.

F i g. 5.2. V olume olumen de control control para para un flujo f lujo de flui dos. dos.

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Hidrodinámica

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Optaciano Vásquez García

La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las  partículas de un fluido en movimiento pueden pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Las ecuaciones básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son: El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene la ecuación de continuidad. El principio de conservación de la energía. El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos en movimiento.

  

5.1.

SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. 5.2.1.

Sistema.

Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y sólidos a voluntad del investigador. Un ejemplo lo constituye el sistema constituido  por el vapor dentro del cilindro de una máquina después del cierre de la admisión como se muestra en la Fig.5.1. A medida que el pistón se mueve, el volumen del sistema cambia pero no existen cambios en la cantidad de masa.

F i g5.1. D efi nició nici ón de de sistem sistema.

5.2.2.

Volumen de control.

Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa, momentum, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina  superficie de control . El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas. En la Fig. 5.2, se muestra un volumen de control escogido  para estudiar el flujo a través de una boquilla. boquilla.

F i g. 5.2. V olume olumen de control control para para un flujo f lujo de flui dos. dos.

294

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5.2.

Hidrodinámica

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FLUJO DE FLUIDOS Llamase flujo de fluidos al movimiento de un fluido. El flujo de fluidos puede ser: permanente, no  permanente, uniforme, no uniforme, laminar, turbulento, unidimensional, bidimensional, tridimensional, rotacional e irrotacional.

5.3.1

Flujo permanente.

Se dice que un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. Así por ejemplo, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma. Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, es decir, v / t   0  pero puede variar de un punto a otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras magnitudes tales como la densidad, la presión y la temperatura no varían con el tiempo, esto es,    / t   0 ,  p / t   0  y T  / t   0 . Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería larga recta de sección constante y a caudal constante.

5.3.2

Flujo no permanente

Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones en cualquier  punto cambian con el tiempo, es decir, v / t   0 . Un ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de una tubería de sección constante pero a caudal variable.

5.3.3.

Flujo uniforme.

Un flujo de fluidos es uniforme cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad varían de un punto a otro del fluido, es decir, v / s  0 siendo  s un desplazamiento en una dirección cualquiera. Esta suposición implica que las otras magnitudes físicas del fluido no varían, o  bien,    / s  0 ,  p / s  0 . Un ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a 

través de tuberías de sección constante y gran longitud.

5.3.4

Flujo no uniforme.

Se dice que un flujo es no uniforme, cuando la velocidad, la presión varían de un punto a otro en la región del flujo, es decir, v / s  0 . 

5.3.5

Flujo laminar.

Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o láminas, deslizándose una capa sobre la otra adyacente. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por     v /  y .

5.3.6

Flujo turbulento.

En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias aleatorias originándose un intercambio de momentun molecular. Es un ejemplo la cascada de un río .

5.3.7

Flujo unidimensional.

En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad, presión, densidad, transversales a la dirección principal del movimiento del fluido. El flujo a través de una tubería se  puede considerar unidimensional.

295

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5.3.8

Hidrodinámica

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Flujo bidimensional.

En este flujo se supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas en planos  paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la dirección normal a dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero.

5.3.9

Flujo tridimensional.

Es aquel tipo de flujo general en el que las componentes de la velocidad v x , vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las coordenadas espaciales.

5.4.

FLUJO IDEAL. En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características:  

5.5.

El fluido debe ser absolutamente incompresible. El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno.

LINEAS DE CORRIENTE. Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluidos. Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la dirección instantánea de la velocidad de las  partículas del fluido, en dicho punto. La Fig 5.3a, muestra las líneas de corriente alrededor de un camión en movimiento y la figura 5.3b, indica que la tangente a una línea de fuerza nos da la velocidad.

Figura 5.3. (a) Líneas de corriente para el movimiento del aire respecto de un camión, (b) la tangente a una lí nea de de cor cor r i ente nos da la veloci velocida dad d de de las par partítículas culas de flui flui do Debido a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe, entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo. En la Fig. 5.4, se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos sólidos del flujo de fluidos.

F i g5.4. g5. 4. L í neas neas de de corr corrii ente par par a di di ferente ferentes fluj os

296

Hidrodinámica

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5.6.

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TUBO DE CORRIENTE. Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. Todas las partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente, al desplazarse continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. De igual forma ninguna partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo. En la Fig, 5.5, se muestra un tubo de corriente.

F ig.5.5. Tubo de corriente formado por líneas de corriente.

5.7.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de continuidad , la que expresa la continuidad del flujo de una sección a otra del tubo de corriente. Para encontrar la expresión matemática considere un sistema físico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra en la Fig.5.6, a través del tubo  para un flujo  permanente, unidimensional y co mpresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección es  A1 y la densidad ρ 1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es  A2 y la densidad es ρ 2. El volumen de control está representado por las letras I y R , en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo de corriente.

F ig. 5.6. Sistema para determinar la ecuación de continuidad. De la figura puede verse que en un tiempo t  el sistema está compuesto por el fluido dentro del volumen de control ( I + R ), en un tiempo t + dt el sistema se mueve corriente abajo, de tal forma que según el principio de conservación de masa del sistema se tiene que

 Masa del fluidoen las   masa del   fluido en las       zonas I y R en un    zonasO  y  R en un   tiempo t   tiempo  t  dt          Es decir:

m I   m R t   mO



m R t 



dt 

 

(5.1)

Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son funciones del tiempo, de tal forma que

297

Hidrodinámica

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m R t   m R t  dt   

(5.2)



Es decir, la ecuación (1) se escribe en la forma

m   I 

t 

m 



O

t  dt 

 

(5.3)

Estos dos términos se expresan fácilmente en función de otras variables como la densidad, el área de la sección y el desplazamiento de la masa del fluido, es decir

  2 A2 dS 2  

  1  A1 dS 1

(5.4)

Si se divide la ecuación (5.4) entre el tiempo t, resulta   1  A1 (dS 1

/ dt )

 2  A2 (dS 2



/ dt )  

(5.5)

Las derivadas de las cantidades S 1 y S2 respecto del tiempo nos dan las velocidades instantáneas en las secciones 1 y 2, por lo tanto, la ecuación (5), se escribe   1  A1v1



 2  A2 v 2  

(5.6)

Es a la cantidad m    Av  que se le conoce como Régimen de flujo de masa y constituye la llamada ecuación de la continuidad, la misma que expresa: en un flujo permanente, el régimen de flujo de masa que pasa a través de todas las secciones de un tubo de corriente, es constante. La ecuación (5.6) puede escribirse también en la forma 

,

m 



   Av



cons tan te

o

 



d     Av





(5.7)

0

Por otro lado si se multiplica a la ecuación (5.6) por la aceleración de la gravedad local  g se obtiene el régimen de flujo ponderal (G )

G



m  g 



    Av  

(5.8)

Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso específico se mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa en la forma

Q   Av  Cons tan te  

(5.9)

A la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétri co o volumen por unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de fl ujo, cuyas unidades en el SI son m3 /s. Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia perpendicular normal al plano del flujo. Si b es la distancia entre dos planos de flujo paralelos y h es la distancia entre líneas de corriente, la ecuación (5.8), se escribe G b



  hv  

(5.10)

A la cantidad G/b, se le denomina régimen de flujo bidimensional ponderal . Para el caso en el cual el flujo es permanente e incompresible, flujo en el cual la velocidad no es uniforme, el caudal se obtiene mediante la ecuación

298

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

Q  vdA  

5.8.

(5.11)

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER. Además de la ecuación de continuidad, otras ecuaciones que describen el movimiento de fluidos son: la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de la energía. La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de las partículas de un fluido. Para obtener la ecuación de Euler considérese un pequeño elemento de fluido de forma cilíndrica de masa, dm  dV  , tal como se muestra en la Figura 5.7. Considerando despreciable la 

viscosidad, las fuerzas que actúan sobre el cilindro y que tienden a acelerarlo son:

F ig.5.7. Tubo de corriente para determinar la ecuación de E uler.



Las fuerzas debido a la presión sobre las bases del cilindro expresadas por

 F1  pdA; y 

F2



( p  dp)dA  

(5.12)

La fuerza debido al peso del elemento en la dirección del movimiento

dW   g dA dS sen 

(5.13)



La aplicación de la segunda ley de Newton en la dirección tangente da θ

 Ft  mat   F  F  dW sen   dm at  1

2

 dv    dt  

 p dA   p  dp  dA   g dA dS sen    dA dS 



dp   g dA dS sen 



  dA v dv  

Dividiendo la ec. (5.14) entre dA y teniendo en cuenta que dS sen 

(5.14)



dz    resulta ,

dp    g dz    v dv  



Para un flujo incompresible esta ecuación se escribe, la ecuación anterior se escribe en la forma

299

(5.15)

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dp   

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 v 2    d    dz   0    2 g  

(5.16)

O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme

  p v 2   d    z   0       2 g    5.9.

(5.17)

LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. La ecuación de Euler, se puede integrar fácilmente entre dos puntos ya que un flujo incompresible de un fluido de densidad uniforme, obteniéndose 2

 p1



  

v1

2 g 

  z 1 

 p 2

  

γ y g  son

constantes para

2



v2

2 g 

  z 2

(5.18) Debido a que los puntos 1 y 2 son arbitrarios cualquiera de una línea de cor riente, se puede escribir la ecuación (5.18) en la forma

 p

v 

  

2

2 g 



 z 



 H   cons tan te  

(5.19)

La ecuación (5.19) se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una relación útil entre la presión  p, la magnitud de la velocidad v  y la altura  z   sobre el plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ecuación (5.19) revela además que las cantidades  p/ γ , v2 /2g y z   son distancias verticales. El experimento de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v2 /2g ), la carga de presión ( p/ γ) así como la carga de altura  z   siempre permanece constante. La línea de carga piezométrica o línea de gradiente hidráulico (L.G.H) trazada a través de las partes superiores de las columnas piezométricas nos dan la imagen de la variación de presión ver la Figura 5.8.

F ig. 5.8. L íneas de carga piezométri ca y líneas de gradiente hidráulico

300

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5.10.

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APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 5.10.1. La ecuación de la hidrostática. Las ecuaciones deducidas en hidrostática son un caso especial del teorema de Bernoulli, cuando la velocidad en todos los puntos es nula. Para determinar la ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la Fig. 5.9. Es decir  p1

  

2



v1

2 g 

  z 1 

 p 2

2



  

v2

2 g 

  z 2

 

(a)

Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica  p0. Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2  son nulas, entonces la ecuación anterior se escribe

 p1 



 p0

0   z1



 p1



p0     z2  z 1 

 p1



p0    .h (b)

  



0  z 2

F ig.5.9. D eterminación de la ecuación de la hidrostática

5.10.2.

Teorema de Torricelli.

En la Fig. 5.10, se muestra a un líquido que sale por un orificio practicado en el fondo de un depósito, a una profundidad h  por debajo de la superficie libre del líquido. Para determinar la velocidad con que sale el líquido a través del orificio se toma un punto 1 en la superficie libre del depósito en donde la altura y la presión son conocidas y un punto 2 en la salida de la tobera en donde también se conocen la presión y la altura.

Fig.5.10. Teorema de Torricelli

301

Hidrodinámica

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Aplicando el principio de conservación de masa entre los puntos mencionados, para un flujo ideal  proporciona  A1v1



 A2 v2  

(a)

Si se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene 2

 p1



  

v1

2 g 

2

 p 2

  z 1 



  

v2

2 g 

  z 2

 

(b)

Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión atmosférica  p0, la ecuación anterior se escribe.

 p0 



v12

p0

v22

 z1



v22  v12



2 g  z2

v22  v12



2 gh

2 g





  

2 g  



z 2

z1   (c)

Remplazando la ec. (a) en (c), resulta

   A 2  v 1   2    2 gh    A1   2 2

2 gh

v2 

(d)

1   A1 / A2 2   

En general el área de la tobera A 2 es mucho menor que el área de la sección transversal del depósito A1, de tal forma que  A2 /  A1  0,  y la ecuación (d) se escribe

v2



2 gh  

(e)

La ecuación (e) indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría una  partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En otras palabras la energía potencial de la superficie libre se convierte en energía cinética del chorro. Si la boquilla se encuentra ubicada en la pared lateral como se muestra en la figura 5.11a, la velocidad del fluido en la línea de corriente central, v2 , será ligeramente mayor que en la parte superior de la boquilla v1 y ligeramente menor que en la parte inferior de la boquilla, v3, debido a la diferencia en la altitud. En general podemos utilizar en forma razonable a la velocidad como la “velocidad promedio”. Si la boquilla de salida no es lisa ni está bien contorneada y es más bien una placa plana como se muestra en la figura 5.11b, el diámetro del chorro será menor que el diámetro del agujero, a este fenómeno se denomina contracción de la vena . Esto se debe a la incapacidad del fluido de curvarse en un ángulo de 90°. Por tanto la ecuación (e) puede escribirse en la for ma

v2



Cc

2 gh  

302

(f)

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(a)

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(b)

Fig.5.11. (a) F ljo de flui do en un tubería hori zontal, (b) E fecto de contracción de la vena de flui do debido a la rugosidad o al borde agudo. Debido a que las líneas de corriente en el plano de salida se curvan (R < ∞), la presión alrededor de ellas no es constante. Por tanto, es necesario la existencia de un gradiente de presión infinito alrededor del las líneas de corriente para que las líneas de corriente formen 90° en la salida (R = 0). En estas condiciones la presión más alta aprece en la línea de corriente central (2) y las presiones serán menores en las paredes del tubo ( p2 = p3 = 0). Por tanto, la asunción de velocidad uniforme y  presión constante en el plano de salida no es válida ( d  j < h) como fue discutido en la figura 5,11a. El efecto de la contracción de la vena de fluido  es función de de la geometría de la boquilla de salida. Algunas de estas configuraciones se muestran en la figura 5.12, conjuntamente con los valores típicos del coeficiente de contracción C C  = A j   /A h , donde A j  es el área de la vena contraída y  A h es el área de la sección transversal de la boquilla, respectivamente.

Fig.5.12. Patrones típicos de flujos y valores de los coeficientes de contracción, para diferentes configuraciones de boquillas. 5.10.3.

Efecto Venturi.

Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias significativas de energía  potencial del fluido en movimiento. Entonces en la ecuación de Bernoulli se puede considerar que  z 1 = z 2 = 0, con lo que se tiene

303

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Hidrodinámica

 p1

2



  

v1

2 g 



 p 2

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2



  

v2

2 g 

(a)



De donde

 p1



p2

1 

2



2

   v2



2

v1

 

(b)

En esta expresión, si v1  es mayor que v2 ,  entonces (v22  v12 )   también lo es. En consecuencia,

( p1  p2 )   es negativo, lo que a su vez, es posible solo si  p2  es mayor que  p1. En términos más simples, donde la velocidad sea mayor, la presión es menor. A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi. Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas unos cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en las caras externas y por tanto la  presión en las caras externas será mayor, uniéndolas. El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo explica el porqué los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de viento de gran intensidad. Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto traslade como se observa en la Figura 5.13, que representa una mirada desde arriba.

Fig 5.13. E fecto Venturi en una pelota en movimiento La pelota se mueve hacia la derecha girando en sentido contrario a las manecillas de un reloj. El movimiento de rotación arrastra a una porción de aire en las cercanías de la pelota, el que forma una capa rotatoria que adquiere una velocidad cuyas direcciones están indicadas con v s y vi. El movimiento de traslación en cambio, produce una corriente de aire viajando a la izquierda con una velocidad vv. Se ve con claridad aquí que la velocidad será mayor en el lado 1 (vv  vs ) que en el lado 2 (vv  vi )  y  por tanto la presión será mayor en el lado 2, produciéndose una curva en la trayectoria de la pelota, con radio de curvatura hacia el lado 1. Una aplicación interesante del efecto Venturi, lo constituye el denominado Tubo de Venturi descrito en la siguiente sección.

5.10.4. Tubo de Venturi Este medidor mostrado en la figura 5.14 consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la finalidad de evitar la formación de remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente).

304

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Fig. 5.14. Esquema de un venturímetro Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del fluido, para ello se aplica la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2   1 A1v1

 2 A2 v2  



(a)

Para un fluido incompresible, la ec anterior se escribe  A1 v1 v2





 A2 v 2

 A2

 

v2

 A1

(b)

Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene  p1

 

2



v1

2 g 

  z 1 

2

 p 2

v2



 

2 g 

  z 2

 

(c)

Observando la figura se ve que z 1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal por lo que  p1

2



   2

v1

2 g 

2

 p 2



v2



2 g 

  

1

v 2  v1 

2 g 

 p



  p 2  

1

  

(d)

Al remplazar la ec (b) en (d) y simplificar se tiene

 p   p 

2 g 

v2 

1



  1 



2

  A    A

2

1

    

2

 

(e)

  

La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezómetros, es decir

 p1



 p 0



  h1

 p 2



 p 0



 h2

 p1



 p2

 p1   p2





   h1

h 

   

Al remplazar la ecuación (f) en (e) resulta

305



h2  (f)

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2 gh

v2 

   A   1       A

2 1

 

    

(g)

  

2

Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma

Q   A1 v1



 A2 v 2



 A1 A2

2 gh

 A

2 1 

 A22 

*

En la figura se muestra la instalación experimental de un tubo de venturi.

5.10.5 Tubo de Prandtl (Pitot). Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un gas, consiste en un tubo manométrico abierto el que va conectado a una tubería que lleva un fluido como se muestra en la Figura 5.13. La presión en la parte izquierda del manómetro cuya abertura es paralela a la dirección del movimiento del gas es igual a la presión de la corriente gaseosa por otro lado la presión en la rama derecha cuya abertura es perpendicular al flujo del gas puede. Aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos 1 y 2, esto es:

  2  =   2 

Siendo v, la velocidad de la corriente, γ el peso específico del fluido móvil y  p1 la presión en el punto 1, la presión en la punto 2 es p2 y a velocidad en dicho punto es nula debido a que el gas no se mueve en el estancamiento, y los puntos 1 y 2 se encuentran en el mismo nivel horizontal, entonces la ecuación anterior se escribe

  2 = 

v



2 g ( p2 

p1 )

  

La diferencia de presiones se determina a partir de la lectura del manómetro en el tubo de Pitot, es decir

306

Hidrodinámica

Física General II

 p M

Optaciano Vásquez García

 p1     Hg h



 p N   p M





p2 p N 

 p1     Hg h  p2  p2



p1



  Hg h

Al remplazar esta última ecuación en la velocidad resulta

v



2 g   Hg h   

Figura 5.13.

(a) Tubo de Pitot para medir la velocidad de un líquido, (b) Tubo de pitot utilizado  para determinar la velocidad de un gas

5.10.6 Sustentación del ala de un avión. Con la finalidad de simplificar los cálculos consideremos en nuestra mente que el ala del avión esta en reposo y que el aire es el que se mueve respecto al avión hacia la derecha. El la figura 5.14, se muestra algunas líneas de corriente alrededor del ala, estas líneas en la parte superior se encuentran más apretadas mientras que en la parte inferior no es muy importante la perturbación.

Fig. 5.14.

 Sustentación del ala de un avión.

Esta distribución de las líneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturímetro y el punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir

307

Hidrodinámica

Física General II

v1  v2

Optaciano Vásquez García

p1  p 2  

(a)

Bajo estas circunstancias, la fuerza de sustentación es

 F

F2





F1



( p2

p1 ) A  



(b)

Donde A es el área del ala del avión que la consideramos iguales el parte superior e inferior, respectivamente. Si p y v son la presión y la velocidad del flujo de aire a una gran distanca del ala (puntos 3 y 4); y  p1 y v1 los correspondientes al punto 1(debajo del ala);  p2 y v2 los valores de la presión y la velocidad en en el punto 2 (sobre el ala), la aplicación de la ecuación de Bernoulli nos da

 p



v2



2 g

 p

v2





2 g





 z 

 z 

 p1



v12

  

2 g 

 p2

v22



  

2 g 



z 1 entre 3 y 1  

(c)



z 2  entre 4 y 1  

(d)

De las ecuaciones (c) y (d) se tiene  p1

2



  p2



v1

2 g p1

  z



1

p2



2

v2



2 g 

  

  

v 2 g 

2

1

2

 v2





z 2

 

z

   

1



z 2

(e)



Despreciando la diferencia de alturas entre la parte superior e inferior del ala se tiene

 p2  p1 

 

v 2 g 

2

1



v22 

(f)

Finalmente, la sustitución de la ecuación (f) en (b) nos permite determinar la fuerza de sustentación del ala

 F 

5.11.

   A

v 2 g 

2

1

2



 v2  

Rta

LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una valiosa relación entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energía transmitida. Se ve entonces que la ecuación de Bernaulli es equivalente a la ecuación trabajo – energía de la mecánica para el flujo de un fluido ideal. Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la figura 4.15, y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el tiempo t , y las zonas R y O en el tiempo t + dt . Para un fluido permanente la ecuación de la continuidad establece.

 =   = 1

La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW   (expresado como una fuerza actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en la suma de las energías cinéticas, E k  y potencial, E  p del sistema, esto es en un tiempo dt .

=( )+ ( ) 308

2

Hidrodinámica

Física General II

Fig. 5.15.

Optaciano Vásquez García

 Sección diferencial de un tubo de corriente.

( ) =( ) ( ) =( )     ( ) =( )     3 Remplazando (1) en (3) resulta

( ) =( )     4 De igual forma se obtiene

( )+ =( ) ( ) =( )     ( )+ =( )     5 Remplazando el segundo término de la ec. (1) en (5) resulta

( )+ =( )     6 El trabajo externo realizado sobre el sistema se lleva todo a cabo en las secciones transversales 1-1 y 2-2 porque no hay movimiento perpendicular al tubo, de manera que las fuerzas internas laterales no  puedan realizar trabajo. Además, como todas las fuerzas internas aparecen en pares iguales y opuestos, no se realiza trabajo neto internamente. El trabajo realizado por el fluido que entra en I sobre el sistema en el trabajo dt , es el trabajo de flujo.

 = = 7  = = 8

Como el sistema realiza trabajo sobre el fluido en O en el tiempo dt , el trabajo realizado sobre el sistema es

Reemplazando las ecuaciones (4), (6), (7), y (8) en (2), resulta:

309

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

=      



Teniendo en cuenta la ecuación (1) resulta:

  =        9   2  =   2   10

Reacomodando términos en la ecuación anterior se tiene

Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli, pero esta vez utilizando las ideas energéticas  por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica. Los términos v2/2g,  p/γ y z  quienes además tienen las unidades de metros o N.m/N = Joule/New que representan energía por unidad de peso de fluido. La adición a un flujo de fluido de energía mecánica por una bomba ( E  B), o una extracción por una turbina ( E T)  , altera la ecuación de Bernoulli la que debe escribirse:

     =       5.20

En la que las cantidades  E  B y  E T   están expresadas en términos de energía añadida o sustraída por unidad de peso fluido en circulación y aparecen como elevaciones o descensos abruptos de la línea de energía, a través de las respectivas máquinas. En general el ingeniero requiere conocer la potencia total de dichas máquinas, la cual se puede calcular a partir del régimen de flujo ponderal (G) o de la energía  E  B o E T  obteniéndose una potencia total dada por

=    5.21

5.12.

FLUIDOS REALES. Como señalamos al principio de esta unidad, muchas de las r estricciones que hemos considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos rigen el comportamiento de los fluidos en movimiento. Sin embargo, en muchos casos es necesario abandonar estas restricciones, porque  proporcionan aproximaciones suaves al comportamiento de los fluidos reales Por cierto, sin querer entrar en terrenos de la ingeniería, podemos aproximarnos a aproximaciones un  poco mejores considerando dos situaciones: primero, el hecho de que el elemento de fluido encuentra resistencia a desplazarse en el interior del tubo de flujo, fenómeno que describiremos con el nombre de viscosidad; y segundo, el hecho de que se puede determinar hasta qué punto un fluido hasta que  punto un fluido se comporta de manera laminar, a través de un coeficiente sencillo denominada numero de Reynolds.

5.13.

VISCOSIDAD. Una manera sencilla de entenderla es suponer un tubo de fluido, compuesto de tal manera que se asemeja una resma de hojas de papel. Hasta ahora hemos supuesto que se mueven con igual velocidad, como se observa en el dibujo siguiente:

310

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

Fig. 5. 16. Modelo de un fluido ideal Este modelo puede ser mejorado considerado que en un fluido real, las hojas en contacto con las  paredes del tubo tendrán la velocidad de estas, y luego, las restantes tendrán también distintas velocidades, considerando el roce entre ellas (viscosidad). El comportamiento de los vectores velocidad en este caso, se representa en el dibujo siguiente (flujo de Poiseuille).

Fig. 5.17. Modelo de un flujo real viscoso Otra forma de apreciar este fenómeno es suponer que cada hoja es una columna de personas caminando. Si cada hoja viaja a velocidad distinta, pero hay personas que se cambian a otras hojas, se tendrá que aquellas que se cambian a columnas de velocidad menor, provocaran un aumento de la velocidad promedio de esta última; e contrario, si una persona se cambia a una columna que tiene velocidad mayor, le provocará una disminución de su velocidad promedio. Este es el mecanismo  básico de la viscosidad. El ejemplo más sencillo para estudiar el fenómeno de la viscosidad lo constituyen dos placas  paralelas entre las que se dispone un fluido viscoso. La placa superior está moviéndose respecto de la inferior, que mantendremos en reposo (ver Fig. 5 .18.)

Fig. 5.18. Fluido viscoso La placa superior está moviéndose con velocidad constante y la inferior esta en reposo. Se muestra que si el fluido está en contacto con estas paredes, se mueve con igual velocidad que ellas. Las rapideces de las capas intermedias aumentan uniformemente de una superficie a otra como indican las flechas, a partir de la superficie en reposo.

311

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Este es otra forma de ver nuestro flujo laminar. Observamos que esta acción deformará cada vez más el flujo por cizalladura. Supondremos que el área de la placa inferior es A y está separada de la otra por una distancia y , por otro lado, si queremos mantener a la placa superior moviéndose a una velocidad constante V se le debe aplicar una fuerza para compensar el roce, del mismo modo que lo hacíamos con los rígidos en la mecánica. Experimentalmente, se encuentra que esa fuerza es directamente proporcional al área de la placa que se mueve. También se encuentra que aumenta proporcionalmente con la velocidad y que es inversamente  proporcional a y. Lo anterior se puede expresar en forma matemática como:

 F  

  Av

 y

 

(5.22)

Si la separación entre las placas es grande, la velocidad cambia a través del perfil del flujo laminar y se tiene

 F



 A

dv dy

 

(5.23)

Donde η es una constante de proporcionalidad denominada coeficiente de viscosidad, o simplemente viscosidad. Las unidades de n en el S.I. son Ns/m 2 o lo que es lo mismo, Pa s, que se denomina Pouseuille (PI) en honor al francés Jean Pouseuille (1799-1869) y a su trabajo con la dinámica de fluidos, especialmente de la sangre. En el sistema CGS la unidad es Dina s/cm 2 que se denomina poise (P) como es una unidad muy grande, se acostumbra usar el centipoise (cP), una centésima parte de un Poise. Respecto a los lubricantes comerciales para motores, existe una indicación de grados SAE (Society of Automotive Engineers) basados en la viscosidad. En invierno se usa aceite de viscosidad baja SAE 10W; en cambio en verano es necesario un aceite más viscoso SAE 30 o superior. También existen aceites multigrados por ejemplo el SAE10-40, que contienen otras sustancias (polímeros)  permitiéndoles mantener una viscosidad constante. Algunos valores del coeficiente de viscosidad se observan en a siguiente tabla, en donde se resalta su variación con la temperatura. η (Pa s)x10-3

T(°C)

Agua

1,8

0

Agua

1,0

20

Agua

0,3

100

Glicerina

830

20

0,009

0

250

30

0.0018

20

Mercurio

1,55

20

Alcohol etílico

1,2

20

Oxígeno

2,2

20

Plasma sanguíneo

2,5

20

Fluido

Hidrógeno Aceite de motor Aire

312

Hidrodinámica

Física General II

 Note que de (5.22.) se obtiene

Optaciano Vásquez García

= ⁄⁄   5.24.    − = [] [], denominada Poise

Por lo que la unidad de viscosidad en el S.I. es:

Aunque a unidad más conocida es:

De lo anterior:

1 poise = 1[dina s cm2 ] = 10 -1[Nsm-2 ] La cantidad [F/A] es denominada esfuerzo constante, y la cantidad [v/y] es denominada variación de la deformación. En líquidos que fluyen fácilmente, como el agua o el petróleo, el esfuerzo cortante es relativamente  pequeño para una deformación dada, lo mismo que la viscosidad. Para líquidos como la melaza o glicerina, se necesita un esfuerzo cortante mayor para la misma variación de la deformación, y por tanto su viscosidad será mayor. Los fluidos que se comparten según la ecuación (5.22.), se denominan Newtonianos.

5.14.

NÚMERO DE REYNOLDS. Existe una velocidad crítica, después de la cual el fluido deja de comportarse en forma laminar. Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las paredes, que forman una capa denominada capa límite, conservan las propiedades del flujo laminar. Más allá de la capa límite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de líneas separadas nítidamente. En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias locales, denominadas vórtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al movimiento. Un flujo así se denomina turbulento Existe un parámetro asociado a la turbulencia, denominado  Número de Reynolds,  que matemáticamente está expresado mediante la ecuación

 =    5.25

Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, η es su coeficiente de viscosidad dinámico, L es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el diámetro del tubo, cuando el flujo es en un tubo. El Número de Reynolds es una cantidad adimensional y tiene el mismo valor numérico para cualquier sistema coherente de unidadesEn el caso de el número de Reynlds sea inferior a 2000 entonces se dice que el flujo es laminar si el  Número es mayor a 3000 el flujo es turbulento, pero si su valor oscila entre 2000 y 3000 el flujo es inestable y pasa de un régimen a otro con facilidad. Para tener una idea, considérese que, en el caso del agua que pasa por un tubo de 1 cm de diámetro el número de Reynolds es 10 4v, de modo que el flujo se hace turbulento cuando s ólo es de 0,3 m/s.

313

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

Afortunadamente, un poco de turbulencia no cambia los valores predichos por la ecuación de Bernoulli, de la misma forma que un poco de viscosidad no cambia la conservación de la energía  para períodos cortos de tiempo, de modo que puede n seguirse aplicando las ecuaciones aquí vistas, sin grandes errores de aproximación.

5.15.

MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos de una sección transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre las capa más externas del fluido, que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y así sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es máxima en el centro del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes. Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica como se muestra en la Fig. 5.19.

Fig. 5.19. Distri bución de velocidades de un flujo en un tubo circular Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de radio r 0 y longitud L. Supongamos además que el movimiento del fluido es de izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 –  p2 ). Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r  y espesor dr tal como se muestra en la Figura 5.20.

Fig. 5.20. Diagr ama de una capa de flui do En la parte interior de la capa cilíndrica actúa una fuerza de rozamiento interior

=   =    =    =2    5.26 314

Física General II

Hidrodinámica

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  =

Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento   dirigida en sentido contrario a la fuerza f  (la fuerza f  acelera el movimiento de la capa y la fuerza  f 1 lo frena. En la Figura 5.21 se observa esta situación

Fig. 5.21. Diagr ama de fuerzas que actúan sobre la capa de flui do La fuerza resultante debido a la viscosidad será



  = =     ==[2 ]  =2  5.27 

Como la velocidad es máxima en el centro del tubo, el valor de



, será negativo y la fuerza

  =

será positivo. Esta fuerza en estado de régimen estacionario debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es

  == 2  5.27 2 = 2  =     5.28   =  2 

Igualando las ecuaciones (5.27) y (5.28) resulta

Integrando en forma indefinida la ecuación anterior, resulta

  = 2 

Debido a que en el centro del tubo r =0; ecuación se escribe

  es nulo, entonces, el valor de C es nulo por lo que la

Integrando la esta expresión resulta.

5.29

∫  =   ∫  2   = 4    5.30 315

Física General II

Hidrodinámica

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Determinemos ahora el volumen de fluido líquido que sale a través del tubo en un tiempo determinado t . De la capa cilíndrica de radio r  y espesor dr  en el tiempo t  sale un volumen de fluido dado por

=2 5.31 = 2  ∫=   ∫ 2     =    4.32

Al remplazar (5.30) en (5.31) resulta

Al integrar la ecuación anterior resulta que el volumen de fluido que sale a través del tubo será

La ecuación (5.32) se conoce como ecuación de POISEUILLE

316

Hidrodinámica

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PROBLEMAS RESUELTOS Problema 01 Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua. El aire se mantiene a una presión manométrica p = 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale si se ignora la fricción y la energía cinética del fluido por encima de la elevación A? El chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie.

Solución De la ley de la hidrostática se observa que los puntos A y B se encuentran a la misma presión

150000N / m

 pC

En primer lugar se determina la presión en el punto B.





 pB

pA



h

    CG

0 2



720lb / pie



907,2 lb / pie



62, 4lb / pie



2

3pie 



  

v C 2





0 

v C 2



2g

zC



2



v C  2g



0

pB   

2g 

pB

0



  

v C 2 2g 

v C 





v B2

v C 2 2g



zC

2g 

907,2 62, 4



vC 



acei v C   r

10 pies

pB

pB



pB

  



v B2 2g 



163328 800 9,8 

2

  2m

z B





20,83  3



18, 695m / s

2

0 2g 



0

Rta

  800kg / m 18, 695m / s    11.10

m   4,69kg / s

3

3

m

Rta

Problema 03.

10

39, 75pies / s



El régimen de flujo de masa está dado por  m= aceiv C AC 





3m 

2g 

z B



 p    gas ghgas 3

v C 2



pB

680kg / m  9,8m / s



2g

La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los  puntos B y C, proporciona.

 pC



Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos B y C.

Solución

 pB

2

 p A

A través de la tubería mostrada en la figura fluyen trescientos litros por segundo de un líquido con peso específico de 8 kN/m 3. Determine la lectura del manómetro en U si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3.

Rta

Problema 02 Un tanque grande contiene aire comprimido, gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua. La presión manométrica del aire es p = 150 kPa. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el régimen de flujo de masa m de aceite a través de un chorro de 20 mm de diámetro?.

317

2



Hidrodinámica

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Solución

Solución

Datos e incógnitas

Datos e incógnitas. Q = ¿???

Q=300.10-3m3 / s;  =8000 N/m 3;  Hg  13600 kg / m3; h = ??? 

Al tratarse de un fluido ideal se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B

En primer lugar se determina las velocidades en los  puntos A y B. Q=A Av A



A Bv B

v A



0, 3 

 

300.10  4 3



2

v A

 p A

 

150.10  4 3



2

 p A

v B



 p A



pB

vA 2g 2



vA





z A





pB



v B 2g 



  w 



pB



  w  

pB



2g  0 2g 

pA



z B



0



1

0,30

  w 



p0

   

w 

z0 sen600

 pB



p0

 w

z0 sen600

 pB

pA



  w 

1, 2 sen60



   w 

0

1, 2 sen60  2 0

 3 Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta

v A2  v B2 2g 

h(1 

  Hg    w 

h(1



  w 

 p A z B

 w

v  A2

a    hg h  

2g 

 4

 w a   hg h    w b





v B2

Se determina las presiones de los puntos A y B



)

vA



1, 2  sen 60

0 

0,30

  w 

 3

El caudal esta dado por

bha 2

  w  

v A =3,91 m/s

Remplazando la ec (4) en (3) nos da  w a   hg h    w b 

0

2g 

bha

Del manómetro se tiene que  pM  pN  pA   w b  pB

 p A

z A

pB

2



  

v B



v A

2

2g 

  

pB



2g

0, 60sen30



2g

v A2

2

16, 98m / s

2



v A2



w

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B nos da

 p A



w

1

4, 24m / s



0, 3  vB



Q

2

v B



A Av A Q



 

4

2

d vA 3

0,12m / s

  

4

2

 0, 2m  3,81m / s  Rta.

2g 

13600g  4, 242  16, 982 ) 8000 19, 6

h  880mm

Problema 05. Rta

En un torrente de agua se sumerge un tubo doblado, según se muestra en la figura. La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v = 2,5 m/s. la parte superior del tubo se encuentra a h 0  = 12 cm sobre el nivel del agua del torrente z tiene un pequeño agujero. Hasta que altura h subirá el chorro de agua que sale  por el agujero.

Problema 04. Calcular el caudal ideal a través del sistema de tuberías mostradas en la figura.

318

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Solución

Solución

Datos e incógnitas v

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, se tiene

2,5m / s; h 0





12cm; h = ???  p1

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B se tiene  p A

2



w

 p A

v A 2g



v2



2g

w

z A



pB



0

w

  w 

2g 

 p0

v B2



2g

2g 





z 1





z 1



p2



  w 

2

2g 

v B

  w 

v 1

v1

2



2



 p2



0 2g 



0

p1

1

  w 

z B Se procede a determinar la diferencia de presiones



h



0

z 

1

 pM



pN 

 p2   w  0, 4m  a   p1   w  2m    Hg  0, 4 m 

Utilizando hidrostática se determina la presión en el  punto A

 p2  p1



w

1, 6m  a      0, 4m   2 Hg 

Remplazando (2) en (1), resulta

 p A



p

0

   

w 

 2

z 

v 12 2g 

Remplazando la ecuación (2) en (1) resulta  p0    w  z 





2g

w

 p0

v

2

z

w

v



2g

2  9,8m / s 2 



p0   w 



v B 2g 

v B 2g 

  h0  z    h0  z 

v B2 2  9,8m / s 2 

2

h  20cm

  w 

v1  9, 94m / s

 3

0  1, 97

2



Rta.

Problema 07.

Analizando el movimiento de las partículas de fluido desde el punto B hasta C se tiene.  v B  2gh 

Hg 

v1  2  9,8m / s  5, 04m 

 0,12m

v B  1, 97m / s 

v C2

1, 6m  a       0, 4m 

       2  a   1, 6m  a  0, 4m  Hg   2g     w    13600g   v 12  0, 4m  0, 4m   2g  1000g  

2



w

v 12

2

  w 

2

(2, 5m / s ) 2

p0

 2  a 

A través de la tubería mostrada fluye gasolina cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La lecturas de los medidores de presión; (b) El régimen de flujo de masa.

2  9,8 h

Rta.

Problema 06. Determine la velocidad v1 del agua en el tubo vertical que se muestra en la figura. Desprecie todo tipo de  pérdidas.

Solución Se determina la presión del punto 1, utilizando el manómetro en U de la derecha.

319

Hidrodinámica

Física General II

 pM



a través de la tubería si la presión manométrica en el  punto A es 69 kPa?.

pN 

 p1    gas  0,6m   p0  p1,man

 0, 6m 

   gas

=  850kg / m  9,8m / s 3

 p1,man

Optaciano Vásquez García

4998N / m

 

2

  0, 6m  1

2

Se determina ahora la presión del punto 2 utilizando el manómetro en U de la izquierda.

 p2



p3

 p2



p0

p0



  gas

 p2,man



850kg / m  9,8m / s

 p2,man



7497N / m

 p2



 0,9 m   0,9 m 

   gas

3

 0,9 m 

2

2 

2

Solución

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 resulta 2

 p1

v1



2g

 gas

 p1



 gas

0





2g

z1

3m

2

p2





2g 

p2

v 2





 gas



  gas 2

v 2

2g 



z 2

2g 



 p1,man

2g 

v 22 v2

4998N / m

 

2

850kg / m 2  9,8m / s

2

v 2

(0, 2m) 2

v A

2



1

0, 78v 



B

2g 



p2,man



La aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los  puntos 1 y 2 nos da

 3

3m

7497N / m

 9,8m / s 

  3m

5, 42m / s

 p A

v A2



2g

2



2



 p A

3m



w

2g

 p A  p0

1, 5m 



  w 

4



v A2

z A





pB

v B2



2g 

  w 

0

 p0

v B2



2g 

  w 

v A2 2g

 p A,man





v B2 2g 

v B2

  w 

El régimen de flujo de masa es







z B



z B

z B

v A2



2g 

 2

z B

Remplazando la ec. (1) en (2), resulta

   2   d  v 2 4  2      850kg / m3    0,15m   5, 42m / s  4 Rta. m  61, 44kg / s m= gas A2v 2 

v B

8  0, 3m  13.10 3 m 



  gas



2

d  A



w 



0

Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta

v 22

8rh

v A

2

p2

3m 



2

  gas

 p1

v 2

  gas 

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los  puntos A y B se tiene

 gas

9800N / m

3

vB

Problema 08.

 0,78v   2  9,8m / s  2

vB

2

69000N/m







2

A



2

1, 5m

 3

16, 65m / s

El caudal estará dado por

A través del tubo vertical circula agua en forma  permanente z luego entra en la región anular entre las  placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una lámina libre. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el caudal de agua

 2 rh  v    2   0, 3m  13.10 m  16, 65m / s 

Q  ABv B



B

3



Q  0, 408m3 / s

320

Rta.

Hidrodinámica

Física General II

Problema 09.

 p0



Optaciano Vásquez García

3332N / m2



p0



1470N / m2

 aire

Para un régimen de flujo de aire de 2 m 3/s de aire cuyo  peso específico es 12 N/m3. ¿Cuál es la mayor área A 2 que hará que se aspire agua por la abertura del  piezómetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad.

4802N / m

4802N / m2 12N / m3 

v 22



v12







v 12

2g 

v 22

2

12N / m3

v 22





v 12

2  9,8m / s 2 

v 22



v 12

2  9,8m / s 2  7843, 27m2 / s 2

 5

Aplicando la ecuación de la continuidad entre los  puntos 1 y 2 resulta A1v1



v2



v2



A2v 2  A1  A2

v 1

0,09  A2

6

v 1

Calculo de la velocidad v1: de la definición de caudal se tiene Q

Solución

3

2m / s

Del manómetro en U se tiene  p A



p0

  p 0

 p A



p0

A1v 1



v1

gh

   Hg 





2

0, 09m v1  

22, 22m / s

 7

Remplazando la ec. (7) en (6), resulta

3 2  13600kg / m  98m / s   0, 025m 



3332N / m

1

2

La presión en el punto 1 ser[a igual a la presión en el  punto A por ser un gas el que se encuentra en la tubería superior izquierda.

 p

1



p A



p

0

 2

2

N/m

 3332

0,09

v2



v 2



 A2

 22, 22m / s 

2  A2

 8

Sustituyendo la ec. (8) en (5) se tiene 2

 2  2    v 1  7843, 27   A2 

Del piezómetro se tiene

2

 p0



p2

   w 

gH 

 p2



p0

   w 

gH 



 p0

 p2





 2  2    22, 22  7843, 27  A  2 2



1000kg / m

p0  1470N / m

3



9,8m / s

2

2

 2     8336,99   A2 

  0,15m   3

 A2

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, resulta  p1 p2 v 12 v 22   z1    z 2 2g 2g   aire   aire  p1  aire



v 12 2g



0

 p1  p2   aire

p2



  aire 

v 22



v 22 2g 



2g 

Rta.

Problema 10 A través del túnel de agua pasa un flujo de 1,54 m 3/s (peso específico 9,81N/m3, presión de vapor 6,9 kPa). La válvula está cerrada. Calcular la magnitud z la dirección de la lectura del manómetro después de que se abre la válvula. La presión atmosférica es 100 kPa.

0

v 12

 0, 022m 2

4

Remplazando las ec. (2) y (3) en (4) resulta

321

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

 p1  p1

g  0,9 m 



pv ,Hg



6900N / m



15729N / m

   

w  

2



9810N / m  0, 9 m  3

2

2

Calculo de la presión en el punto 2  pM



pN 

 p2   w g  2, 4  h   p0   Hg g  2h   p2



 p2

p0   Hg g  2h    w g  2, 4  h 



 p0  13570 9,8  2h   9810 2, 4  h 



76450  256162 h

3 

Se procede a determinar la velocidad del fluido en la  posición 1

Solución Datos e incógnitas

Q 1,54m3 / s; 

 pv ,Hg 



  w



100000N / m 2 ; h=????





v1



A1v1



1, 54 

 

 0, 5

4

2

v1

 

4

7,84m / s

Remplazando las ec (2), (3) y (4) en (1), r esulta

9810N / m3 ;

6900N / m 2 ; p0

Q

15729 9810



En la figura se muestra la ubicación final de los fluidos en el tuvo en U, después de abrir la válvula

7,84

2

2  9,8 h



76456  256162h 9810

 5

0,1169m

 

El signo menos indica que el mercurio en la rama izquierda asciende una altura H 2  0,1169

H



2h

H



234mm



Rta.

Problema 11. A través de la tubería mostrada en la figura fluye agua. Determine el régimen de flujo volumétrico

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, se tiene

 p

1



w

 p

1



w

 p

1

w



v

2 1

2g

v

Z



1



2g 

0



p

2

  w 

2 1

2



  w 

2 1

2g

v



2

p



v 

2

2g 



0 

2g 

p

2

  w 



Z 

2

Solución

0

Datos e incógnitas

1  w 

Calculo de la presión en el punto 1

322



3

1000kg / m ;

 Hg



3

13600kg / m ; Q=????

Hidrodinámica

Física General II

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1(punto de estancamiento del Pitot) y 2 (extremo en la salida de la boquilla) se tiene

Optaciano Vásquez García

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene

 p

1

 p1



w

 p1



v12

Z 1

2g 0



2g

v 22

 p1  p0



v 22



2g 

  w 

6m 

w

2g 



p2

 p0

 p

1

v 22



2g 

  w 







 Z  2

v



4, 5m

2 1





 p

1

  w 

Z

2



1





z



1

v 

2



2g 

   2

v 

2



2g 

  

p

2

v





Z 





2

2

p



2



2



z   2

2

v 

1



2g 

  

1

+1,5



2g

2

p

2 1

2g



v

z



1

z  

1

2

La diferencia de presiones Calculo de la presión en el punto 2  pM  pM  p0

  Hg

 p1  p0  p1  p0



pN 

 p

1



g  0,5m   p1   w g  0,5m 

2

  g  a  R   p

 Hg g

 p

w 

3

1



p

2



3

g  z



2

 0,5m     g  0,5m    0, 5m  13600kg / m  1000kg / m 



 9,8m / s



pN 





1

  g  z



1

z

2

   g  a     g  R  m

   g  R    gR 

z

 2

m

2

Aplicando la ecuación de la continuidad nos da 2

 p1  p0 =61740N/m

 2  A1v1

Remplazando las ecuación (2), en (1), resulta

v 22 2  9,8m / s

2





6170N / m

2

9800N / m

3

v 2 =12,36m/s

v1

+1,5m

 Av  2



2

4

 d       d  

2

d1 v1



 

4

2

d2 v 2

2

2

 3

v 2

1

 3

Remplazando las ec (2) y (3) en (1) se tiene

El régimen de flujo será

2

 d  v    z  z    m R    R d  2

2

2

2      A2v 2   d 22  v 2   0, 05m  12, 36m / s  4 4  3 Rta. Q  0, 024m / s

1

Q

2

2g 

 mR

v 

1

d 1    d  2g   

   R

2

2

  

Problema 12.

2

2

1

  

  v      z  z    2

1

4

   

2

  

El caudal será

Para la instalación del venturimetro y el manómetro mostrado en la figura, deducir una expresión que relacione el caudal con la lectura del manómetro.

v  2

 



2gR  m

2

 d   1       d   4





2gR  m 

 v  

2

1

2

 

4

 

4

2

Q  Av 

 

  d      1       d   

2

1

2

d   2



2gR   m

  

  d       1       d   

 

Rta.

4

2

1

Problema 13. Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una  presión manométrica de 35 kPa en su superficie libre. El agua se bombea a través de una tubería como se muestra en la figura, y sale a través de una boquilla  para formar un chorro libre. ¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?.

Solución

323

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Solución Solución

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (salida de la boquilla) se tiene  p1,man





35000N / m 9800N / m

2

3



v12 2g

0 2g



 Z1  EB

1,5m  EB



p2,man

v 22





o



  

v 22 2g



2g 

  



Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A (superficie libre del agua) y B (punto en la tubería a la altura del manómetro en U), resulta

Z 2

 p A

1,5m

 

w

 p0

2

EB



v 2

2g 



1

3,57 m



v A2 2g



0



2g

w

0



v 22y 





v 22y 



v 22y 



v 2 y 



2gh



2  8,8m / s

0



v 2 sen45

v2



15,3m / s

2

  6m 

  w 

2g 

pB

v B2



 p0



Z B



2, 4m

2g 

  w  



pB



2, 4m

  w 

1

 pM



pN 

 p0



pB



0, 6 w



 pB



0, 6  9810  0,175 134887, 5

 p0



pB



29182, N / m

pB



29182, 3N / m

2 



3 

0,175  Hg

 

2

 p0

2 m / s2 



 2

2

Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene

(15, 3m / s ) 2

8, 42J / N 



10,84m / s

Remplazando la ec. (3) en (1)



v B2



2gh

v 2 y 

EB

pB

Se procede a determinar la diferencia de presiones,  para ello se analiza el manómetro en U

La velocidad en la salida de la boquilla será





0

2g 

2gh

10,84m / s

EB



v B2

Las partículas que salen de la boquilla describen un movimiento parabólico, por tanto

v 32y

Z A



v B2

3,57 m

29182, 3N / m

2g



9810N / m

2 

3

2, 4m

v B = 0,5756  2 9,81 2

4

La potencia de la bomba si es que no haz pérd idas

vB

      w QEB    w  d 22v 2  EB   4  2      9800   0, 075  15,3  8, 42  4  Rta. P  5610Watt  



3 

3, 358m / s

Aplicando la ecuación de la energía entre B y el punto D (punto de salida del agua).

P

 pB

2



w

 pB

Problema 14.

w

Calcular la potencia de la bomba, si a través de ella existe un flujo de agua

324

vB

2g

 ZB  EB 

2



vB

2g

 zB  EB 

pD

2



  w 

 p

0

  w 

v D 2g 

 Z D

2



v D 2g 

 z D

Hidrodinámica

Física General II

EB





v D2





29182, 3N / m 2 9810N / m3

v D2  v B2 2g 



v B2

2g 

  w  

EB

 p0  pB





(zD



v D2  v B2 2g 

Solución

z B ) 

Se procede a determinar la diferencia de presiones,  para ello se analiza el manómetro en U

0,9m

 pM

 4

3,875m



4

2

d Bv B

vD

A

D



 

4

 p1  p2

v D

 p

1

B

2

v B

 23,879m / s



2 1

2g

 p

v

w

 200mm      3, 358m / s   75mm 

v

w 1

2





Z

1



ET 



(23,879m / s) 

EB



0,8 Hg

   w 

a  0,8

1

2g



z

1



E T 



ET 

 5



 3,358m / s 

2  9,81m / s 2  32,363J / m

2



p

2



 p



1

v 

2



2g  0



  w 

p

2

Z 

2

0

2g 

2



  w 

v 

1

2g 



 2

a

Calculo de v1: de la definición de caudal se tiene Q



0, 6m / s



2



2

p

  w 

2 1

Remplazando la ec. (5) en (4) resulta

EB



2

dD v D  

 d       d  

2

pN 

Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1 (entrada de agua en la turbina) y el punto 2 (punto inmediatamente en la entrada del Pitot).

D

vD



 p1   w  a  b  0,8m   p2   w b     Hg  0,8m   

La aplicación de continuidad entre los puntos B z D, nos proporciona  AB v B

Optaciano Vásquez García

3

3,875m

v1

6

La potencia de la bomba será:

Av 1 1  



4

  

4

2

d1 v 1  

 0, 2m 

2

v1  

 3

19, 098m / s

Remplazando la ec. (1) y (3)en (2) resulta

P    w QE B

       w  d22v 2  E B 4  2      9800   0, 075  23,879  32, 363 4  P  33458Watt   Rta.

ET  

0,8 Hg    w   a  0,8   w 



19,098

2  9,8

       0,8  Hg   1   18, 61     w      13600    0,8   1   18, 6 1000    ET   28, 69J / N 

Problema 15. Determine la potencia producida por la Turbina mostrada en la figura para una razón de agua dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.

2

a

 4

La potencia de la bomba será: P

P



 w QE T  



9800  0, 6 28, 69 0, 90 



151827Watt  

Rta.

Problema 16. ¿Cuál es la potencia requerida para que 30 pies 3/s de agua fluyan en la bomba de la figura mostrada?. Desprecie la fricción en la tubería y considere que el

325

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

diámetro de la salida en la boquilla tiene 10 pulgadas. Considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie3.

Solución Datos e incógnitas Q = 85 lt/s; P = 15 kW;

Aplicando la ecuación general de la energía entre los  puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque grande) y el punto 2 (extremo de salida de la boquilla)

 p

1

v

w

1440lb / pie 62, 4lb / pie

2

3



0 2g

v12 2g 



Z1  EB

20 pie  E B

EB

p2





 w  



v 22 2g 



 p

Z 2

8940lb / pie

v 22

2



3

62, 4lb / pie

7200lb / pie 62, 4lb / pie

0

2g

2

2

   10

 

4



3

62, 4lb / pie





3



v 2

20 pies



2g  



2

2

2g 

  w 



Z 



0

2

2

p

0

v 

2



2g 

  w 

v 

1

2



2g 

Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene

2

2

v 



1

d v  

Q



0, 085m / s



2

A2v 2

2

55 pies / s 

3

2

v2

  

4

  

4

 0,1m 

2

d2 v 2   2

v2  

 2

10,82m / s

Se determina la energía que extrae la turbina. De la definición de potencia se tien 2

2  32, 2 pies / s

2





20pies

  d 2    QE      2  v 2 E    4  2 3     15000Watts  9800N / m    0,1m  10,82m / s  E   4 E  18J / s Remplazando la ec. (2) y (3) en (1) resulta P

 3

EB  142,36pies

h  E T 

1

2

p

2

Remplazando la ec. (2) en (1), resulta

EB



2

2

1

2

2g

ET 



h  E T 

1

7200lb / pie

Z

0



2g  

 30 pie / s    v  4  12  v  55 pies / s 3



0 

w

Calculo de v2: de la definición de caudal se tiene

Q  Av 

2

1



w 

1000kg/m3 ; h = ???

Aplicando la ecuación general de la energía entre los  puntos 1 (superficie libre del agua en el tanque) y el  punto 2 (extremo de la boquilla).

Solución

 p1

w; =

w

T

w

T

 

T 

La potencia de la bomba será:

T 

P





P 

  w QE B

62, 4lb / pie

3

 30 pies



266497, 9lb.pie / s



484 hP

3

/ s  142, 36 pies 

Rta.

Problema 17.

h



18J / s 

h



23, 97m

10,82m / s  2  9,8m / s



Rta.

Problema 18.

Calcular la altura h que producirá un régimen de flujo de 85 lt/s y una producción de potencia de 15 kW por la turbina.

Determine la potencia mínima de la bomba que hará  pasar al chorro de agua sobre la pared.

326

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

Despreciando las perdidas, la potencia de la bomba será. P

      w  d 22v 2  E B 4  2      9800N / m 3   0, 075m   36m / s   36J / N    4 

Solución Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 1(superficie libre del agua) y 2 (extremo de la  boquilla) se tiene  p

1

v



2g

w

 p

0

w

0 

2 1



Z

 54

2g

EB



m  EB



1



P

2



  w 

v 

2

2g 



Z 

0



  w 

v 

2

2g 

 60

Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una  película de aceite con un espesor de 0,005 mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en el aceite. Determine la velocidad terminal de bloque. Considere que la viscosidad del aceite es 0,07 N/m 2..

m

2

EB



v 

2

2g 



Rta.

2

2

p

 37, 74kW 

Problema 19.

2

p

  w QE B

1

6m

Enseguida se determina la velocidad de salida del agua por la boquilla utilizando el movimiento  parabólico de las partículas de agua, por tanto

Solución Datos e incógnitas W

 Movimiento en X



1000N ; L = 0,2m; e = 0,005 mm; v L



??

  =

 x



v

2

30m



v

2

t  

0

t 

0

t 

cos 45 cos 45 30m

v 

2

0,07 Pa.s En la figura se muestra el DCL del bloque; las fuerzas que actúan sobre él son: el peso W, la fuerza viscosa Fv la que se opone al movimiento relativo del bloque y la fuerza N C ejercida por el fluido sobre el bloque.

 2

0

cos 45

 Movimiento en Y y  v 2 y t  

gt 2 2

 30m  g  30m  15m  v 2 cos 45    0  0   v 2 cos 45  2  v 2 cos 45  v 2  24, 25m / s 3

2

0

La aplicación de las ecuaciones de movimiento según la dirección x nos da

Remplazando la ec. (3) en (1)

 F x  max  o

EB EB





(24, 25m / s) 2 2  9,8m / s 2  36J / N 

Wsen 20  FV  max  

1

6m Cuando se alcanza la velocidad límite la aceleración se vuelve nula, por lo tanto. (2) Wsen 20  F  

4

o

V 

327

Hidrodinámica

Física General II

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene 



F V   A F V 

F V 



 A 



 

 

 

La aplicación de la ecuación de movimiento en la dirección vertical nos da:

dv 

 Fy  may 

dy 

v 

Cuando se alcanza la velocidad aceleración del cilindro es nula.

 3

e

W

e

W .e.sen 20 

1000N  5.10 m  sen20 6

2

7.10 Pa.s 0,6 m/s



=

Rta FV

A lat

Problema 20

FV A lat

  

 =

Un cilindro de 149,5 mm de diámetro y 150 mm de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro interno. La holgura que se supone, está llena de aceite. Suponiendo que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. Determine la viscosidad  del aceite.

9N ;

 





 d    L  2 

v  2  

=

e.W  d.vL .L

 d.v L .L

Solución



e.W

D-d  2 W    =

Datos e incógnitas.

W

=



  



dv  dy 

v  e

v.Alat

 0,15m  0,1495m     9N  2    

D 150mm; d = 149,5 mm; v L

  

e.FV

  



(2)

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene

0



v 

F V 

Como el perfil de velocidades es lineal, se tiene

 . A





Terminal

0



v 

1

W  FV  may 

e  A.v 

De las ecuaciones (2) y (3), se tiene  A.v  0    =Wsen20 v 

Optaciano Vásquez García

46 mm / s

???

En la figura se muestra el DCL del cilindro; las fuerza que actúan son el peso W, la fuerza viscosa F V.

328

 0,1495m   46.10 m / s   0,15m  3

2

0,6945 N.s/m

Rta.

la

Física General II

Hidrodinámica

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.

Optaciano Vásquez García

 5. El flujo es de agua. Calcular el diámetro requerido de tubo d, para que los dos medidores indiquen la misma lectura.

En una tubería fluye agua. En un punto en la línea en el que el diámetro es de 175 mm , la velocidad es de 3,6 m/s  y la presión es de 345 kPa. En un  punto alejado 12 m  del anterior el diámetro se reduce a 75 mm. Calcular la presión aquí cuando: (a) el tubo está horizontal; (b) el tubo está vertical y el flujo es ascendente.

Rta: d = 54,3 mm

Rta: (a) 159,5 kPa y (b) 277,1 kPa

2. Por la tubería en Y de la figura circula agua a 20°C. El flujo entrante en peso es 5300 N/s  y la velocidad en la sección 3 es 5 m/s. Determine: (a) la velocidad en la sección 1, (b) el flujo másico en la sección 3 y (c) la velocidad del fluido en la sección 2.

6. Los dos fluidos de a figura se encuentran a 20°C. Si la velocidad del agua en la posición 1 es v1 = 1,7 pies/s y se desprecian las pérdidas. ¿Cuál es la lectura h del manómetro?. Considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie3  y la densidad relativa del mercurio es 13,6 .

Rta: 1,08 pies

3. Si a través de esta tubería circula petróleo crudo, y la velocidad de éste en A es de 2,4 m/s, ¿en dónde estará en nivel del petróleo en el tubo abierto C.  Rta: h = 1,51 m

7. Un tanque cerrado contiene agua y aire arriba de esta. El aire se mantiene a una presión de 103 kPa, y a 3 m debajo de la superficie del agua, esta se descarga hacia la atmósfera por una  boquilla. ¿A qué velocidad saldrá el agua desde la  boquilla?.

8. 4. A través del sistema de tuberías fluye agua. Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura del medidor de presión p(kPa).

Para el sifón mostrado en la figura, calcular: (a) el flujo volumétrico de aceite que sale del tanque, y (b) las presiones en los puntos A y D.

9. A través de la tubería fluye aire a razón de 170 lt/s. Si la tubería consiste en dos secciones de 18 cm y 10 cm de diámetro, respectivamente y está unidas por una reducción gradual como se muestra en la figura. La diferencia de presiones

329

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

entre las dos secciones de las tuberías es medida mediante un manómetro de agua. Despreciando los efectos de la fricción. Determine la altura diferencial de agua entre las dos secciones de la tubería. Considere que la densidad del aire es 1,2 kg/m3.

13. ¿Qué presión p 1 se requiere para obtener un gasto de 0,09 pies3 /s  del depósito que se muestra en la figura?. Considere que el peso específico de la gasolina es γ = 42,5 lb/pie 3.

Rta: 2,60 cm

10. Para el sifón mostrado en la figura. Determine: (a) el flujo volumétrico sabiendo que la manguera utilizada es de 2,5 cm y (b) la presión absoluta del  punto 2.

Rta: (a) 4,2 li tros/s y (b) 45,1 kPa.

14. A través de las tuberías fluye agua. Calcular el régimen de flujo a través de esta tubería, así como las presiones en A, B, C y D. Rta:

11. Fluye agua continuamente de un tanque abierto como se muestra en la figura. La altura del punto 1 es de 10 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2 m. El área transversal en el punto 2 es de 0,03 m 2, en el  punto 3 es de 0,015 m2. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Determine: (a) el flujo volumétrico y (b) la  presión manométrica del punto 2.

15. Si a través de la tubería fluye agua. Calcular la  presión en el flujo en A; (a) Para el sistema mostrado y (b) Para el tubo sin la boquilla.

Rta: (a) 17,5 kPa; (b) -29,4 kPa.

12. El fluido de la figura es gasolina a 20°C que fluye con un caudal en peso de 120 N/s. Despreciando las pérdidas de energía. Determine la presión manométrica en la sección 1.

Rta: p1 = 104 kPa

16. Se usa un sifón consistente de una manguera de 25 mm  para extraer agua desde un tanque. El extremo de salida de la manguera se encuentra a 2,4 m debajo de la superficie del agua y el doblez de la misma está a 0,9 m sobre esa superficie del

330

Hidrodinámica

Física General II

Optaciano Vásquez García

21. Un tanque abierto grande contiene una capa de

agua. Calcular la presión en el doblez y el régimen de flujo.

aceite flotando sobre el agua como se muestra en la figura. El flujo es estable y carece de viscosidad. Determine: (a) la altura h a la cual se elevará el agua que sale de una boquilla de 0,1 m de diámetro, (b) la velocidad del agua e el tubo y (c) la presión en el tubo horizontal.

17. Un tubo de Pitot conectado a un manómetro de agua es utilizado para medir la velocidad del aire como se muestra en la figura. Si la deflexión (la distancia vertical entre los niveles del fluido en las dos ramas) es de 7,3 cm. Determine la velocidad del aire. Considere que la densidad del aire es 1,25 kg/m 3.

18. Calcular el régimen de flujo mínimo que pasará

22. En esta tubería fluye agua a razón de tres décimos

sobre la pared.

de metro cúbico por segundo. Calcular la lectura del manómetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el tubo del pitot está en la sección 2 y la conexión de presión estática está en la sección 1.

19. Un tubo horizontal de 75 mm  está conectado a una tanque con agua a 1,5 m  debajo de la superficie de la misma. El tubo se agranda de un modo gradual hasta un diámetro de 88 mm  y se descarga libremente hacia la atmósfera. Calcular el régimen de flujo y la presión en el tubo de 75 mm.

23. El agua fluye a través de la tubería contraída como se muestra en la figura Para la diferencia de nivel de 0,2 m en el manómetro. Determine el régimen de flujo volumétrico en función del diámetro D del pequeño.

20. De una botella que contiene refresco, fluye agua a través de dos orificios como se muestra en la figura. Si de los orificios se encuentra a una  profundidad h1 y h2 de la superficie libre y el refresco fluye por los orificios de tal manera que los chorros se intersecan a una distancia horizontal  L  de un costado de la botella. Demuestre que  L 2(h1h2 )1/ 2 . Desprecie la 

24. Calcule el régimen de flujo a través de esta

viscosidad y considere que el flujo es cuasi estático.

tubería.

25. Los dos chorros de agua que proviene de dos tanques se encuentran en el punto A, como se

331

Física General II

Hidrodinámica

Optaciano Vásquez García

29. Un depósito tiene la forma de cono truncado con 1,5 m de diámetro en la base superior y 0, 5 m de

muestra en la figura: despreciando la viscosidad y considerando que el punto A es un  punto de estancamiento. Determine la altura h.

diámetro en la base inferior como se muestra en la figura. El fondo contiene un orificio de 0,05 m de diámetro y un coeficiente de medio de descarga de C d =   0,80. Determine: (a) El tiempo que tardará la superficie libre en descender 0,5 m  y (b) El tiempo necesario para vaciar completamente el depósito

 26. El agua fluye a través de la tubería mostrada en la figura. Despreciando la viscosidad. Determine el diámetro D de la tubería horizontal por donde el agua sale libremente con una velocidad de 20  pies/s.

30. A través de la tubería fluye gasolina. Calcular el régimen de flujo.

27. Una manguera plástica suave de 10 m de longitud y 20 mm  de diámetro interno es utilizada para drenar una piscina, como se muestra en la figura. Despreciando los efectos viscosos. Determine el régimen de flujo volumétrico de evacuación del agua.

31. El agua fluye constantemente de un gran tanque abierto y se descarga a la atmósfera a través de una tubería de 3 pulgadas de diámetro como se muestra en la figura. Determine el diámetro de la contracción en A, si los medidores de presión en A y B indican la misma presión manométrica.

28. A través de la tubería fluye aceite ( SG = 0,83). Determine el régimen de flujo volumétrico del aceite.

32. El agua de un tanque muy grande es evacuada usando un sifón el cual consiste en una manguera de diámetro constante doblada como se muestra en la figura. Determine la máxima altura  H   a la cual debe doblarse la manguera para que no exista cavitación. Se sabe que el extremo de la

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manguera está 5 pies  por debajo del fondo del tanque y la presión atmosférica es 14,7 psi.

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mostrada en la figura. Primero usando la lectura de los medidores, y posteriormente usando la lectura del manómetro.

33. A través de la tubería mostrada en la figura fluye agua (ρw). Si las presiones estáticas son medidas  por el manómetro invertido

  el cual tiene como fluido manométrico a un aceite de densidad ρm. Determine la altura h registrada por el manómetro.

36. El nivel de agua en un tanque esta 15 m  por encima del suelo. Una manguera se conecta a la  parte inferior del tanque, y la boquilla en el extremo de la manguera se apunta hacia arriba. El depósito está cerrado herméticamente mediante una tapa y la presión de aire sobre la superficie del agua es de 3 atm manométrica. El sistema se encuentra en el nivel del mar. Determinar la máximo altura a la que la corriente del agua podría ascender.

34. El aceite de densidad relativa 0,90, fluye a través de una tubería vertical que presenta una contracción como se muestra en la figura. Si el manómetro de mercurio da una altura h = 100 mm y despreciando la fricción. Determine: (a) el régimen de flujo volumétrico, (b) el régimen de flujo másico y (c) el régimen de flujo ponderal.

37. En la figura se presenta un flujo de aceite ( SG = 0,89) que entra a través de la sección 1 con un flujo en peso de 250 N/h para lubricar un cojinete de empuje. El aceite fluye radialmente en forma estacionaria hacia el estrecho hueco que has entre las placas. Determine: (a) el caudal de salida en ml/s y (b) la velocidad media de salida en cm/s.

35. Calcular el régimen de flujo de gasolina cuya

38. Un piezómetro y un tubo de Pitot son colocados

densidad relativa es 0,82  a través de la tubería

en el interior de una tubería de agua como se

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42. A través del sistema fluye agua. Suponer que el

muestra en la figura, para medir las presiones estática y de estancamiento. Para las alturas de las columnas de agua indicadas, determine la velocidad en el centro del tubo

flujo entre los dos discos es radial y calcular las  presiones en A, B, C y D. El flujo descarga hacia la atmósfera.

39. Si se ignora la fricción. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale del tanque como un chorro libre?. ¿Cuál es el caudal de descarga.

43. Establezca una ecuación para determinar el tiempo de descenso del nivel de un líquido en un depósito de sección recta constante mediante un orificio como se muestra en la figura. ¿Cuál sería el tiempo requerido para vaciarlo desde un nivel de  3 m  hasta 0,5 m. El tanque tiene un diámetro de 1, 5 m  y la boquilla tiene un diámetro de  50 mm?.

40. La ventilla del tanque mostrado en la figura es cerrada y el tanque presurizado para aumentar el caudal a través de la boquilla. Determine la  presión  p1 necesaria para  producir el doble de caudal que cuando la ventilla está abierta.

44. El agua fluye constantemente a través de los

41. La figura muestra un tanque lleno de agua con

tanques como se muestra en la figura. Determine la profundidad h A.

una válvula en la parte inferior izquierda. Si abrimos la válvula. Determine la máxima altura alcanzada por el chorro de agua que sale por el tubo de la parte derecha del tanque.

45. Un depósito rectangular alimentado de forma  permanente por un flujo de 30 L/s de agua, tiene una superficie transversal de 20 m2. Un sifón de 100 mm de diámetro asegura el vaciado del depósito. Con los datos indicados en la figura y

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49. Calcular la producción de potencia de esta

 partiendo del momento en que se encuentra lleno y por tanto el sifón cebado se pide: (a) Deducir si el depósito se vaciará o desbordará (b) encontrar una expresión que relacione la altura de la lámina de agua en función del tiempo

turbina.

50. En una planta de energía hidroeléctrica, fluye agua a razón de 100 m 3 / s  desde una altura de 120 m  hacia una turbina, donde se genera la

46. A través de una turbina mostrada en la figura circulan 0,22 m3 /s de agua y las presiones en a y B son iguales a 1,5 kgf/cm 2 y -0,35 kgf/cm2, respectivamente. Determine: (a) la potencia comunicada por la corriente de agua a la bomba. (b) si la potencia extraída de la corriente es 68 CV  y las presiones manométricas en A y B son 1,45 kgf/cm2 y -0,34 kgf/cm2, respectivamente, ¿Cuál es el caudal de agua que está fluyendo

energía eléctrica como se muestra en la figura. La pérdida total de carga en el sistema del punto 1 al punto 2 (con exclusión de la unidad de turbina) se determinó que es de  35 m. Si la eficiencia global de la turbina-generador es de 80%, Determine la potencia eléctrica disponible

47. A través de la tubería está fluyendo 28 l/s de 51. La bomba mostrada en la figura crea un chorro

agua. Calcular la potencia de la bomba.  Rta: P = 8,38 kW

de agua a 20°C   orientada de forma que viaje la máxima distancia horizontal posible. La pérdida de carga en el sistema por fricción es de 6,5 m. El chorro se puede aproximar por la trayectoria de las partículas sin fricción. Determine la  potencia que proporcionar la bomba.

Rta: P = 26,2 kW

48. A través de la tubería está fluyendo 120 l/s de combustible jet (JP-4). Calcular la potencia de la  bomba.

52. Una bomba de bomberos saca agua de mar ( DR = 1,025) mediante un tubo sumergido y la descarga a través de una tobera, según se representa en la figura. La pérdida total de carga es de 6,5 pies. Si el rendimiento de la bomba es 75%. ¿a qué potencia se requiere que funcione la  bomba?

Rta: P = 97 hp

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0,804; la densidad del agua 62,4 lb/pie 3 y 1 hp = 550 lb.pie/s

53. Dos tanques abiertos A y F contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD, con una contracción en C y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Un tubo vertical E sale de la contracción en C y baja al líquido del tanque F. Si el área transversal en C es la mitad del área en D y si D está a una altura h 1  por debajo del líquido en A. ¿A qué altura subirá el líquido en el tubo E?. Exprese su respuesta en función de h1

Rta: 3,92 pies

56. El sistema bomba turbina de la figura admite agua del depósito superior para proporcionar energía a la ciudad. Por la noche bombea agua del depósito inferior al superior para restablecer la situación anterior. Para un caudal de diseño de 15.!03  gal/min  en cada dirección, la pérdida de carga es de 17 pies. Estime la potencia en kilovatios. (a) extraída por la turbina y (b) requerida por la bomba.

54. Cuando la bomba mostrada en la figura  proporciona 220 m3 /h  de agua a 200C   desde el depósito, la pérdida total de carga por fricción es 5 m. El flujo se descarga a la atmósfera a través de una tobera de 5 cm  de diámetro. Estime la  potencia en kilovatios que la bomba proporciona al agua.

Rta: Pturbina = 410 hp, (b) P bomba = 540 hp  57. Si a través de la bomba que se muestra en la figura debe circular 10 pie3 /s. ¿Cuál debe ser la  potencia en la bomba?. Desprecie la fricción y considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie3.

Rt. 33,7 kW 

58. Si la bomba mostrada en la figura impulsa 0,089  pies3 /s de fluido con peso específico de 60 lb/pie3. ¿Qué potencia en hp debe transmitir la bomba al fluido, si entre los puntos 1 y 2 hay una pérdida de energía de 3 ,40lb.pie/lb?. (considere que 1 hp = 550 lb.pie/s)

55. La

bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC  a 2,3 pies3 /s. La pérdida de carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies  y la  bomba proporciona al flujo 8 hp  de potencia. ¿Cuál será la lectura h del manómetro en pies?. Considere que la densidad relativa del kerosene es

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62. Para el arreglo de prueba de la bomba de la figura, determine la eficiencia mecánica de ésta si la potencia de entrada que se midió fue de  2,87 kW , cuando bombeaba 125 m 3 /h de aceite ( γ = 8,8 kN/m 3)

63. En una planta de energía hidroeléctrica, fluye agua a razón de 100 m 3 / s desde una altura de 120 m hacia una turbina, donde se genera la

59. El aceite de (SG = 0,88) fluye en un tubería inclinada a razón de 5 pies 3/s como se muestra en la figura). Si la lectura del manómetro diferencial de mercurio es de 3 pies. Determine la potencia añadida por la bomba al fluido. Desprecie las  pérdidas de calor.

energía eléctrica como se muestra en la figura. La  pérdida total de carga en el sistema del punto 1 al  punto 2 (con exclusión de la unidad de turbina) se determinó que es de  35 m. Si la eficiencia global de la turbina-generador es de 80%, Determine la  potencia eléctrica disponible.

60. Un sifón de agua que tiene una manguera de sección constante e igual a 3 pulgadas, está dispuesto como se muestra en la figura. Si las  pérdidas de calor entre A y B es 0, 6v 2 / 2 g  , donde v es la velocidad del flujo en el sifón. Determine la rapidez de flujo volumétrico involucrado.

64. El agua ingresa a una turbina hidráulica por una tubería de 30 cm de diámetro a razón de 0,6 m3 /s y sale a través de una tubería de 25 cm de diámetro. La variación de presión en la turbina es medida por un manómetro de mercurio siendo 1,2 m. Para una eficiencia combinada turbinagenerador de 83%. Determine la potencia eléctrica neta de salida.

61. La turbina mostrada en la figura desarrolla 100 hp, cuando el régimen de flujo volumétrico de agua es de 20 pies3 /s. Despreciando todas las  pérdidas, determine: (a) la elevación h, (b) la diferencia de presiones alrededor de la turbina, y (c) el régimen de flujo volumétrico cuando se remueve la turbina.

65. El agua es bombeada desde un reservorio en la  parte más baja a un reservorio en la parte más alta  por una bomba que le provee una potencia mecánica útil de 20 kW al agua. La superficie libre del agua del reservorio superior está a 45 m de altura de la superficie libre del agua en el reservorio inferior. Si el régimen de flujo

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