Capitulo IV. Potencial Electrico
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descripcion del potencial electrico, formulas establacidas para cada tipo de plano,(plano tridimencional)...
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Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
CAPIT!O III
POTENCIAL ELÉCTRICO
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Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
4.1
INTRODUCCIÓN.
Es sabido que todos los objetos poseen una propiedad conocida como carga eléctrica. Un campo eléctrico ejerce una fuerza sobre un objeto cargado, acelerando a éste en la dirección de la fuerza, ya sea en el mismo sentido o en el sentido opuesto a la dirección del campo. Si el objeto cargado tiene una carga positiva, la fuerza y la aceleración están en la misma dirección del campo. Esta fuerza tiene la misma dirección que el vector campo eléctrico, y su magnitud está dada por el valor de la carga multiplicado con la magnitud del campo eléctrico. os conceptos tales como fuerza, energ!a, potencial, etc. Son e"plorados y estudiados con más detalle en la mecánica clásica. #qu! se muestra que la fuerza y la energ!a potencial están relacionados directamente. #si por ejemplo, cuando un objeto se mueve en la dirección de la fuerza, esta lo acelera, disminuyendo su energ!a potencial. #s! #s! por ejemplo, la energ!a potencial potencial de una bala de ca$ón es mayor mayor en la cima de una colina que en la base de la misma. %or otro lado, cuando cuando el móvil desciende su energ!a energ!a potencial disminuye dic&a disminución disminución de energ!a potencial se transforma en energ!a cinética de movimiento. %ara ciertas fuerzas, es posible definir el 'potencial( de un campo tal que la energ!a potencial de un objeto debido al campo es dependiente solamente de la posición del objeto con respecto al campo. Este efecto de las fuerzas sobre los objetos depende solo de las propiedades intr!nsecas del objeto y de su posición, y obedecen a otras reglas matemáticas. )os de tales son la fuerza gravitacional y la fuerza eléctrica en ausencia de campos magnéticos variables con el tiempo. El potencial de un campo eléctrico el llamado potencial eléctrico . El potencial eléctrico se mide en voltios. En este cap!tulo definiremos la energ!a potencial eléctrica, la diferencia de potencial y la función potencial eléctrico y determinaremos el potencial de distribuciones discretas y continuas de carga. %osteriormente veremos la relación entre el campo y el potencial eléctricos para finalmente estudiar el potencial en el interior de conductores.
4.2
SISTEM SISTEMAS AS GRAV GRAVITAC ITACION IONALE ALES S Y ELÉCTR ELÉCTRICO ICOS: S: Similit Similitude ude ! di"e#e di"e#e$%i $%i& &
as interacciones gravitacional y eléctrica son debidas a diferentes propiedades in&erentes a las part!culas que constituyen la materia* la masa gravitacional y la carga eléctrica. %ero matemáticamente, ellas en forma similar obedecen con la ley de la inversa al cuadrado de la distancia distancia +ley de la gravitación universal de e-ton y la ley de oulomb. #s! como la fuerza electrostática total sobre un cuerpo cargado es la suma de las fuerzas ejercidas sobre este por todos todos los demás demás cuerpo cuerposs cargad cargados, os, la fuerza fuerza gravitac gravitacion ional al sobre sobre un cuerpo cuerpo es la suma suma de las fuerzas fuerzas gravitacionales ejercidas sobre este por todas las demás masas que la rodean. %or ejemplo, el sol y la tierra ejercen fuerzas gravitacionales significativas sobre la luna, y las trayectorias de las part!culas de desec&o que conforman los anillos de Saturno son afectadas por fuerzas gravitacionales importantes. Estas incluyen a las fuerzas ejercidas por Saturno, por fuerzas que ejercen el resto de part!culas en el anillo, y aquellas fuerzas ejercidas por peque$as lunas que giran con los anillos y ayudan a mantener la configuración mostrada en la figura.
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Figura Figura 4.2.1 4.2.1..
Movimie Movimiento nto de de pequeñ pequeñas as lunas lunas y cuerpo cuerposs irregula irregulares res de mate materia ria en en el plane planeta ta Satur Saturno no .
En el curso de mecánica, vimos que la fuerza gravitacional ejercida por la tierra sobre una part!cula de masa m localizada a una distancia r desde desde el centro de la tierra está dada por la ecuación r F g
= −G
Mm r er r /
+0.12 − 11
6,67. 10 )onde, G =6,67.
2
N .m . m / kg
2
es la constante de gravitación universal y
⃗e r
es un vector unitario
dirigido radialmente &acia afuera. #sumiendo que la tierra es un cuerpo de forma esférica de mas 3. El campo gravitacional correspondiente ⃗g , definido como la fuerza gravitacional por unidad de masa, está dado por r g
=
F g m
= −G
M r er r /
+0./2
⃗g , solamente depende de la masa 3 del cuerpo que
a ecuación +0./2 indica que el campo gravitacional
crea el campo y la distancia r medida medida desde el centro de 3. %ara determinar el trabajo &ec&o por la fuerza gravitacional durante el movimiento de m desde # &acia 4, consideremos el movimiento de dic&a part!cula de masa m bajo la influencia de la gravedad tal como se muestra en la figura
Figura Figura 4.2. 4.2.2. 2.
Traba Trabajo jo desa desarrol rrollad lado o por por la fuer fuera a gravi gravitac tacion ional al sobre sobre m.
En este caso, el trabajo de F g es W A→B W A→B
r B
= ∫r
r r Fg .ds =
A
r r −G Mm er . dr ϕ d r e r d e + ( r r ϕ ) ÷ ∫ r r / r dr 1 = GMm ÷ r/ r r r B A
r B
= −GMm∫ r
A
B
A
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W A→B
1 1 = GMm − ÷ r B r A +0.52
Esta ecuación muestra que el trabajo es independiente de la trayectoria seguida por m y solamente depende de la posición inicial y final, respectivamente. )ebe recalcarse además que e"isten diferencias significativas entre el trabajo &ec&o por la fuerza gravitacional
W A → B y el trabajo realizado por un agente e"terno W ext A→B .
Sin embargo, ambas cantidades son iguales y de signo opuesto, es decir
ext
W A → B =− W A → B .
En el ejemplo planteado anteriormente, si la trayectoria descrita por m es una trayectoria cerrada, de tal forma que el cuerpo m se mueve alrededor de ella retornando a su posición inicial, el trabajo neto &ec&o por la fuerza gravitacional podr!a ser cero, en estas condiciones se dice que la fuerza gravitacional es conservativa. En forma general decimos que una fuerza es conservativa si su trabajo alrededor de una trayectoria cerrada es nulo, esto es We
=Ñ ∫ F g .ds = 6 C
+0.02 uando trabajamos con fuerzas conservativas, es conveniente introducir el concepto de energ!a potencial U . El cambio en la energ!a potencial asociada con una fuerza conservativa F actuando sobre un cuerpo cuando se mueve desde # &asta 4 es definido como r B
∆U = U B − U A = −WA→B = − ∫ r
r r F .ds
A
+0.72 )onde
W A→ B
es el trabajo realizado por la fuerza sobre el cuerpo de masa m. para el caso de la fuerza
gravitacional la energ!a potencial es Ug , B −U g , A
=−
GMm r
⇒ U g = −
GMm r
+U 6
+0.82 )onde U 0 es una constante arbitraria la cual depende del punto de referencia escogido. En general se escoge el punto de referencia a aquel en el cual la energ!a potencial es cero. %ara el caso de la fuerza gravitacional, escogemos un punto de referencia a una distancia muy grande +infinito2 de tal manera que U 0 ( r =∞ ) =0 . )ebido a que U g depende del punto de referencia escogido, solamente tiene importancia f!sica la variación de ∆ U g energ!a potencial . En puntos alejados de la superficie terrestre el campo gravitacional es variable ya que depende de r y como tal las l!neas de campo gravitacional son radiales e ingresan a la tierra tal como se muestra en la figura 0./.5a, mientras que en puntos cercanos a la superficie terrestre el campo gravitacional ⃗g , es apro"imadamente constante, de tal forma que las l!neas de campo gravitacional se pueden considerar paralelas tal como se muestra en la figura 0./.5b.
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Figura 4.2.!
"ampo gravitacional# $a% lejos de la superficie terrestre& $b% cerca de ella .
Entonces, cerca de la superficie terrestre, la fuerza gravitacional está dada por F g = mg
+0.92 )onde el campo gravitacional ⃗g , es apro"imadamente constante, con una magnitud
g= 9,8 m/ s
2
. El
trabajo &ec&o por la fuerza de gravedad para mover un cuerpo desde el punto # el cual está a una altura y A &asta el punto 4 ubicado a una altura y B +véase la figura 0./.02, es W A→ B
W A→B
y B
= ∫ y
A
r r Fg .ds
yB
= ∫y
r r mg.ds =
A
yB
∫
yA
r r r + − mgj 2.+ dxi + dyj 2
y B
= ∫ y +−mgdy 2 = −mg ( y B − y A ) = −mgh A
+0.:2
Figura 4.2.4
Trabajo 'ec'o por la fuera gravitacional durante desplaamientos en puntos cercanos a la superficie terrestre.
a variación de energ!a potencial en estas condiciones es
∆U g = −WA→B = mg ( yB − yA ) = + mgh +0.;2 Un concepto el cual está completamente relacionado con la energ!a potencial es el ' otencial Gravitacional! el cual se define como la energ!a potencial por unidad de masa esto es
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∆" g =
B F B r r r = −∫ A g ÷ .ds = −∫ A g.ds m÷
∆U g m
+0.162 4.'
ENERG(A )OTENCIAL ELÉCTRICA
Estamos interesados en la cantidad de trabajo &ec&o por una fuerza eléctrica durante el desplazamiento de una carga desde un punto inicial # &asta un punto final 4. %ara ello seguimos la secuencia desarrollada para el caso de la fuerza gravitacional. a figura 0.5.1 muestra un campo eléctrico producido por un sistema de cargas, al = colocar una carga q en este campo ella e"perimenta una fuerza eléctrica dada F e q0 E , la que tiende a 6
mover en la dirección del campo si la carga de prueba es positiva y en sentido contrario si dic&a carga es negativa.
Figura 4.!.1.
Movimiento de una carga en un campo no 'omog(neo.
El trabajo &ec&o por el campo sobre la carga cuando se mueve desde # &asta 4 a través de la trayectoria < es B
r
r
B
r r
W A→B = ∫ Fe .ds = ∫ #6 $.ds A A
+0.112
Si a&ora movemos a la carga a través de la trayectoria s ) +0.172
uando se trate de sistemas a escala atómica o molecular, un joule +?2, a menudo resulta ser demasiado grande como unidad de energ!a. # esta escala es muc&o más @til el uso del llamado electrón voltio + e" 2, el cual se define como la energ!a que adquiere un electrón +o pierde2 cuando se desplaza a través de una diferencia de potencial de 1 voltio. 1e"
= 1( 1, 8.16; C ) ( 1" ) = 1, 8.16 ; &
+0.182 a ecuación +0.152 nos da simplemente la diferencia en el valor del potencial entre dos punto # y 4. %ara determinar una función V ( r ) que defina el potencial en todos los puntos necesitamos especificar un punto en el cual el potencial " es cero. Arecuentemente escogemos este punto a distancias muy grandes +infinito2, es decir en puntos muy alejados de la ubicación de la carga productora de campo o potencial siendo, en estos puntos el campo o el potencial eléctrico son muy peque$os en valor absoluto. Sin embargo, este punto de referencia puede ser escogido para cada problema en particular lo @nico que se requiere es estar seguro de que " ' 0 en
dic&o lugar antes de &ablar con sensatez acerca de la función
V ( r ) . Entonces la ecuación +0B152 se
escribe r " +r 2 = −
B
∫
re(
r r $.ds
+0.192
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4.,
DI*ERENCIA DE )OTENCIAL EN CAM)OS ELECTRICOS UNI*ORMES.
onsideremos una carga #0 moviéndose desde un punto # &asta un punto 4 situado a una distancia d en el E= E 0 i interior de un campo eléctrico , como se muestra en la figura 0.7.1. ⃗
Figura 4.).1.
Movimiento de una carga en un campo el(ctrico uniforme.
#l moverse la carga desde # &asta 4, el trabajo &ec&o por el campo eléctrico es W A→B
B
r
r
r
r
W A→B
= #6 $d
B
B
= ∫ A Fe .ds = ∫A ( #6 $i ) . ( dxi ) = ∫ A #6 $dx = #6$ ( xB − x A )
+0.1:2 a variación de energ!a potencial está dada por
∆U = −W A→B = −#6 $d
+0.1;2 a diferencia de potencial entre estos dos puntos es
∆" =
∆U #6
=−
#6 $d #6
= − $d ⇒ " B − "A = − $d
+0./62 El signo menos en la ecuación +0./62 indica que el potencial del punto 4 es menor al potencial del punto #. %or otro lado la variación de energ!a potencial dada por la ecuación +0.1;2 indica que si # ) 0 , ∆ U es negativa, esto implica que la energ!a potencial de una carga positiva disminuye conforme se mueve a lo largo de la dirección del campo. Si a&ora la carga #0 se mueve en una dirección no paralela al campo sino que forma un ángulo C, tal como se muestra en la figura 0.7./.
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Figura 4.).2.
Movimiento de una carga puntual positiva en una direcci*n no paralela al campo el(ctrico uniforme.
a diferencia de potencial en este caso es B
r r
B
∆" = −∫ A $.ds = − ∫ A $ cos θ ds = −$ cosθ ( s B − s A ) = −$d
+0./12
%or otro lado si la carga se mueve desde # &asta y posteriormente 4, la diferencia de potencial de # a es ∆ V AC =− Ed , y la diferencia de potencial entre los puntos y 4 es cero debido a que el campo es perpendicular al desplazamiento. Entonces tenemos
∆" = ∆" AC + ∆"CB = −$d + 6 = −$d
+0.//2 Esta ecuación indica por un lado que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria por tanto el campo es conservativo. #s! mismo se observa que los puntos 4 y tienen el mismo potencial, por tanto a esta l!nea que une 4 y se le denomina 'l!nea equipotencial(.
+jemplo 4.1
Encuentre el voltaje requerido en un set de placas paralelas separadas *0+00 cm y que llevan cargas iguales y opuestas* para crear un campo eléctrico de *000,-C en la región comprendida entre ellas. Soluci*n
En la figura 0.7.5 se muestra la disposición de las placas, el campo se considera uniforme en las regiones alejadas de los bordes E= E i
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Figura 4.).!.
,iferencia de potencial entre placas paralelas.
a diferencia de potencial entre las placas es d
∆" = − ∫6
r r $.ds
d
= −∫6
r r ( $i ) . ( dxi )
d
= −$ ∫ 6 dx = −$d
∆" = −+1666 , > C 2 ( 6,16m ) ∆" = " B − "A = −166"olt El signo menos indica que el # está a mayor potencial que el punto 4
+jemplo 4.2 6
Un electrón que se mueve paralelamente al eje x tiene una velocidad inicial de 3,7.10 m / s en el origen. Su velocidad se reduce a
5
1,4.10 m / s en el punto x ' +00 cm. )etermine la diferencia de potencial entre
el origen y ese punto. Duál de los puntos está a mayor potencial. Soluci*n
)ebido a que el electrón se mueve en un campo eléctrico uniforme, la energ!a se conserva por tanto /i 1
me vi/ + #e"i
/ 1
/ 1
( ;,1.16 /
51
=
me ( vi/ − v/( )
0g ) ( 5, 9.168 m > s )
+ Ui = /i + Ui 1 /
mev /(
+ #e" (
= #e ( " ( − "i )
/ − ( 1, 0.167 m > s ) = ( −1, 8.16 −1; C ) ( "/ − "6 ) ( "/ − "6 ) = −5:,;volt /
)e esta ecuación se concluye que el punto x ' 0 está a mayor potencial, esto es "6
4.-
= "/ + 5:,;volt
)OTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA )UNTUAL.
En esta sección vamos a determinar la diferencia de potencial entre dos puntos # y 4 mostrados en la figura 0.8.1, debido a una carga puntual FG. )ebemos recordar que el campo eléctrico de una carga puntual es
kQ (¿ ¿ r 2 ) e⃗ r , donde ⃗e r es un vector unitario dirigido a lo largo del campo eléctrico. E =¿ ⃗
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Figura 4.-.1.
,iferencia de potencial producido por una carga puntual.
a diferencia de potencial entre los puntos # y 4 cuando la carga se mueve en el interior del campo eléctrico es
∆" = " B − "A = −∫
B
r r $ .ds
A
" B − "A
r B
dr
A
r/
= −01 ∫ r
r r 1 r . ( dre r + rd ϕ e ϕ ) = ∫ −0 / e r ÷ r B
A
r B
1 1 1 1 = 01 = − ÷ ÷ r r 0πε 6 r B rA A
+0./52 Una vez más observamos que la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria y solamente depende de las posiciones final e inicial de la carga testigo. #l igual que en el caso de la fuerza gravitacional, solamente la diferencia de potencial tiene importancia f!sica significativa. %or lo tanto, es conveniente establecer un punto de referencia en el cual el potencial es cero. En la práctica se escoge al punto de referencia que tiene potencial nulo al infinito. Entonces el potencial en cualquier punto será. " = −
∫
B
∞
r r $.ds +0./02
on este punto de referencia, el potencial en un punto % ubicado a una distancia r de una carga puntual G es " ( r )
=
1 0πε 6 r
+0./72 +jemplo 4.!
Una carga positiva de valor
2 μC
está localizada en el origen. +a2 Duál es el potencial eléctrico " en un
punto a 2 m del origen respecto al valor " ' 0 en el infinito. +b2 Duánto trabajo debe ser realizado por un agente e"terior para llevar la carga de 3 μC &asta r = 4 m considerando que se mantiene fija en el origen la carga de 2 μC Soluci*n
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En la figura 0.8./, se muestra la carga
Figura 4.-.2.
$a% otencial de una carga puntual en un punto a una distancia& $b% "arga movi(ndose desde el infinito 'asta .
arte $a%. El potencial en el
punto % está dado por /.16 −8 C " = 0 = ;.16 , .m > C r 0m 1
;
/
/
" = 0,7.16 volt 5
arte 345. El trabajo realizado por el agente e"terno para traer la carga q 5 desde el infinito
W∞→
= #5" = 5.16−8 C ( 0, 7.16 5 vol )
&asta el punto % será
W∞→ = 15,7.16 −5 &
4.
)OTENCIAL ELÉCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS )UNTUALES.
onsideremos un sistema de cargas puntuales situadas en posiciones fijas como se muestra en la figura 0.9.1, las cuales producen campos eléctricos en el espacio que los rodea. %ara evaluar el potencial producido por el sistema se eval@a el movimiento de una carga testigo F #0 a lo largo de la trayectoria desde un punto inicial &asta otro final +%2.
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Figura 4./.1.
otencial debido a un sistema de cargas puntuales.
El potencial en el punto % debido al sistema de cargas puntuales es
r r
− 6 = −∫ i $.ds
" ( x, y , 6 )
#l evaluar la integral se usa un procedimiento siguiente r r r r r r r r " ( x, y, 6 ) = − ∫ $1.ds + ∫ $ / .ds + ..... + ∫ $ i .ds + ..... + ∫ $ , .ds i i i i
as integrales son idénticas a la resuelta para el caso de una sola carga puntual, por ello, la primera integral corresponde al potencial de la primera carga y as! sucesivamente, entonces tenemos. " ( x, y , 6 )
=
#1 0πε 6 r1
" ( x, y , 6 )
=
+
#/ 0πε 6r/
+ .... +
#i 0πε 6ri
+ .... +
#,
0πε 6r,
#i ∑ ÷ 0πε 6 i =1 r i 1
,
+0./82 +jemplo 4.4
argas puntuales idénticas de
1,7 μC se fijan diagonalmente en las esquinas opuestas de un cuadrado. Una
tercera carga es entonces fijada en el centro del cuadrado, tal que esta cause potenciales en las esquinas vac!as cambien de signo sin cambiar sus magnitudes. Encontrar el signo y la magnitud de la tercera carga. Solución a figura muestra dos cargas idénticas, # fijas en las esuinas del cuadrado. El potencial en la esquina # es causado por la presencia de las dos cargas y está dado por " A,i
#
#
#
r
r
r
= 0 + 0 = /0
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Figura 4./.2
$a% "arga fijas en la esquina del cuadrado $inicial%& $b% ubicaci*n de la tercera carga en el centro del cuadrado
)ebido a que ambas cargas están a la misma distancia de 4, este potencial es igual al potencial en la esquina 4. Si a&ora una tercera carga G es localizada en el centro del cuadrado, el ptencial en la esquina # +as! como en la esquina 42 es " A, ( = 0
# r
#
1
r
d >/
+0 +0
#
1
r
d
= /0 + /0
)e la geometria se determina la longitud de la diagonal d = r √ 2 . Entonces tenemos " A, ( = /0
# r
+ /0
1 r /
)e la condición del problema, conocemos que la adición de G causa que el potencial en # o 4 cambia de signo sin cambiar la magnitud. En otras palabras
= −" A,i # 1 # /0 = − /0 + /0 ÷ r r / r 1 = −/ /# = −/ / ( 1, 9.16 −8 C ) 1 = −0,: µ C " A, (
+jemplo 4.)
onsidere un dipolo eléctrico ubicado sobre el eje y, como se muestra en la figura. Encuentre el potencial eléctrico " en u punto % en el plano xy.
Figura 4./.!
otencial el(ctrico de un dipolo el(ctrico
Soluci*n
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Utilizando el principio de superposición, el potencial en el punto % está dado por " = "+ + "−
=0
# r+
#
−0
r−
Utilizando la ley de los cosenos, se determina las distancias r±/
1 1 = 0# − ÷ r+ r− +¿
r ¿ y
−¿ r¿
, esto es
= r / + a / m/ ra cos θ
)ebido a que la distancia entre las cargas es muc&o menor a la distancia del centro del dipolo al punto donde se determina el potencial +a 77 r 2, entonces se tiene 1 r±
/ 1 a /a = 1 + ÷ m cos θ r r r
−1> /
/ 1 1 a /a = 1 − ÷ ± cos θ / r r r
Hemplazando este valor en la ecuación del potencial del dipolo se tiene " = " ≈
0# 1 a 1 − ÷ r / r /0#a r /
/
+
/a r
/ 1 a /a cos θ − 1 + ÷ + cos θ / r r
cos θ
" ≈
p 0πε 6 r
/
cos θ =
p.er 0πε 6 r /
)onde el momento dipolar es ⃗p=2 qa j 4.
)OTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA DISTRI+UCIÓN CONTINUA DE CARGA.
a ecuación +0./82 también es válida aunque el n@mero de cargas tienda al infinito y la distribución de cargas sea cont!nua. Sin embargo, en este caso es necesario conocer la cantidad de carga que contiene cualquier elemento diferencial de carga. %ara esto debemos conocer la densidad de carga por unidad de volumen o por unidad de área o por unidad de longitud. #s! mismo es necesario conocer la distancia entre el elemento diferencial de carga y el punto de observación +véase la figura 0.9.12. En consecuencia el elemento de carga produce un peque$o potencial dado por d" ( x, y, 6 )
=
1
d# r r 0πε 6 r − r I
+0./92
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Figura 4./.1.
otencial el(ctrico de una distribuci*n cont0nua de carga
El potencial total se obtiene sumando +integrando2 sobre toda la distribución de carga, esto es " ( x, y, 6 )
=
1 0πε 6
∫
d# r r r − r I
+0./:2 %ara el caso de una distribución lineal la ecuación se convierte en " ( x, y, 6 )
=
1 0πε 6
λ ( r I) ds r r r − r I
∫
s
+0./;2 %ara una distribución superficial tenemos " ( x, y , 6 )
=
1 0πε 6
σ ( r I) dA r r
∫∫ r − r I A
+0.562 Ainalmente para una distribución volumétrica se tiene " ( x, y, 6 )
=
1 0πε 6
ρ ( r I) d" r r
∫∫∫ "
r
− r I
+0.512 +jemplo 4.-
Sobre una barra delgada no conductora de longitud /, se &a distribuido uniformemente una carga FG con un densidad de carga por unidad de longitud J. )etermine el potencial eléctrico en un punto a lo largo de la bisectriz perpendicular a la barra a una distancia 6 de su centro.
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Figura 4./.2.
otencial el(ctrico de una distribuci*n lineal finita de carga.
Soluci*n
onsideremos un elemento diferencial de longitud dy el cual lleva una carga
dq = d! =
muestra en la figura 0.9./. El elemento que produce el potencial está localizado en punto en donde se determina el potencial está en el eje z en al punto % es
|r|=√ ! 2+ # 2 ⃗
Q 2 a , como se
( 0, ! " 0 ) mientras que el
(0,0, # ) . a distancia del elemento diferencial
. Entonces la contribución al potencial esta dado por d" =
d#
r 0πε 6 r
=
λ dy 0πε 6 ( y / + 6 / )
1> /
Komando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución entera es "
=
" =
λ 0πε 6
dy
a
∫ ( y −a
/
+ 6 / )
1> /
=
λ ln y + y / + 6 / 0πε 6
a
−a
a + a / + 6 / λ ln 0πε 6 − a + a / + 6 /
En el l!mite cuando 6 77 a+ se tiene
6 / 1> / / / 1 + 1 + ÷ ÷ a + a 1 + 6÷ 1 + 1+ 6 ÷ a ÷ a a λ λ λ = " = ln ln 1> / / = 0πε ln / / 0πε 6 0 πε 6 6 6 6 6 −a + a 1 + −1 + 1 + − 1 + 1 + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ a a a 0a / λ λ /a " ≈ ln / = ln 0πε 6 6 /πε 6 6 %or otro lado si 6 )) a+ tenemos
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a a 6 1 1+ ÷ + ÷ 6 λ a + 6 λ λ 6 = = " = ln ln ln a 0πε 6 − a + 6 0πε 6 0πε 6 a 6 1 − ÷ 1 − ÷ 6 6 λ a a = λ a − +− a 2 = /λ a " ≈ ln 1 ln 1 + − − ÷ ÷ ÷ 0πε 6 6 6 0πε 6 6 6 0πε 6 6 " ≈
1 0πε 6 6
+jemplo 4./
Un anillo de radio H cargado uniformemente con una carga por unidad de longitud J, se encuentra sobre el plano xy con su eje a lo largo del eje 6 . )etermine el potencial eléctrico en cualquier punto del eje 6 debido a la distribución. Soluci*n
En la figura se muestra el anillo en el plano xy. %ara determinar el potencial se divide a la distribución en peque$os elementos diferenciales de carga d# de longitud ds = $d% . El elemento tiene una carga d# = λ ds = λ 8dϕ
Figura 4./.!.
otencial el(ctrico de una distribuci*n lineal de carga en forma de anillo
El potencial producido por el elemento diferencial es d" =
d#
r 0πε 6 r
λ 8dϕ
= 0πε 6
( 8/ + 6 / )
Komando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución entera es
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Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
"
=
" =
λ 8 0πε 6 ( 8 / + 6 / )
/π
∫ 6
/πλ 8 0πε 6 ( 8 / + 6 / )
1> /
d ϕ
=
1
/ + 6 / ) 0πε 6 ( 8
1> /
)onde la carga total del anillo es Q=2 &$ . En el l!mite cuando 6 )) 8+ se tiene " =
" ≈
1 0πε 6 8 / + 6 /
1
= /
0πε 6 6
8 / ÷ + 1 6
1 0πε 6 6
+jemplo 4.
Un disco de radio H cargado uniformemente con una carga por unidad de área L, se encuentra sobre el plano xy con su eje a lo largo del eje 6 . )etermine el potencial eléctrico en cualquier punto del eje 6 debido a la distribución. Soluci*n
Se divide a la distribución de carga en elementos d# en forma de anillos de radio r y espesor dr tal como se muestra en la figura 0.9.0, tal que la carga del elemento d# está dada por
σ
Figura 4./.4.
=
1 A
=
d# dA
→ d# = σ dA = σ ( /π rdr ) ⇒ d# = /πσ rdr
otencial el(ctrico de una distribuci*n superficial de carga en forma de anillo
El potencial producido por el elemento diferencial es
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
d" =
d#
r 0πε 6 r
/πσ rdr
=
( r/ + 6/ )
0πε 6
σ rdr
=
( r/ + 6/ )
/ε 6
Komando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución entera es
En el l!mite cuando
"
=
σ /ε 6
"
=
σ /ε 6
rdr
8
σ /ε 6
∫
( 8 / + 6 / ) − 6
( r + 6 )
6
/
/
=
8
( r / + 6 / ) = 6
| #|≫ $
8
/
+6
8 / = 6 1 + ÷ 6
/
1> /
1 8 / = 6 1 + ÷ ÷÷ + ..... / 6
Hemplazando este valor en el potencial del disco, se tiene "
≈
" ≈
σ /ε 6
πσ 8 / 6 8 / 6 + / 6 / − 6 = 0πε 6 6
1 0πε 6 6
)eterminemos a&ora el potencial en el centro del disco
=
σ /ε 6
" =
σ 8 /ε 6
"
( 8 / + 6 / ) − 6 = σ /ε 6
( 8 + 6 ) − 6 /
+jemplo 4.
Una corteza delgada esférica de radio 8 posee una carga total G con una densidad superficial uniforme de carga L en la superficie. 3ediante integración directa, determine el potencial eléctrico en términos de la distancia r desde el centro de la corteza. Soluci*n
Se divide a la distribución en elementos diferenciales de carga en forma de anillos de radio y, espesor ds y carga d# como se muestra en la figura. El elemento diferencial tiene una carga d# dado por
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
d# = σ dA = σ ( /π y ) ( 8dθ )
= σ ( /π 8senθ ) ( 8dθ )
d# = /πσ 8 / senθ dθ
+a2 El potencial eléctrico producido por el elemento diferencial d# en el punto % situado a una distancia r del centro del cascarón es /πσ 8 / senθ d θ d" = 0 =0 9 9 d#
+b2
Figura 4./.).
otencial el(ctrico de un cascar*n esf(rico cargado
#ntes de proceder a integrar la ecuación +b2 es necesario eliminar una de las dos variables S y C. En este caso las variables se remplazan en función de S #plicando la ley de cosenos en el triángulo M%# 9/
θ = 8 / + r / − / 8r cos
+c2 )erivando la e"presión +e2, tenemos
= /r8senθ dθ
/ 9d9
senθ d θ =
9d9 r8
+d2 Hemplazando la ecuación +d2 en +e2, se tiene
d"
=0
d# 9
=0
9d9 ÷ r8 = 0 /πσ 8 d9
/πσ 8 / 9
r
(f)
Komando al potencial en el infinito como cero, el potencial neto debito a la distribución esférica completa es
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
"
=
" =
/π 0σ 8
r +8
∫
r −8
r
d9
=
/π 0σ 8
[ 9 ] r − 8 =
r
1
( 0πσ 8 )
0πε 6
r
r+8
/
1 0πε 6 r
El potencial en la superficie de la corteza será. 1
" =
0πε 6 8 /
+g2 El potencial en puntos interiores es "
=
/π 0σ 8 r
8 + r
∫
8 − r
d9
" =
=
/π 0σ 8 r 1
( 0πσ r8 )
0πε 6
r " =
1
( /πσ 8 )
0πε 6
r
8 + r
[ 9 ] 8 −r =
=
1
[ 8 + r − +8 − r 2 ]
( 0πσ 8 )
0πε 6
/
8
1 0πε 6 8
Esta ecuación indica que el potencial en puntos interiores es constante e igual al potencial en la superficie.
4./
ENERG(A )OTENCIAL ELÉCTRICA DE SISTEMAS DE CARGAS. 4./.1
E$e#0& de d %�& 3u$tu&le.
onsideremos a una carga puntual fija # en el espacio y una carga #0 que se desplaza de # &acia 4 tal como se muestra en la figura 0.:.1.
Figura 4..1.
+nerg0a potencial el(ctrica de dos cargas puntuales.
El trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga #0 al moverse de # &asta 4 es 167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
W A→B
B
= ∫ A
W A→B
r r Fe .ds =
=
##6 0πε 6
r B
∫
r A
##6 r r r 0πε r / er÷ . ( drer + rd ϕ eϕ ) 6
r B
dr
r A
/
∫ r
=
1 1 − ÷ 0πε 6 r A r B ##6
+0.5/2 Una vez más se demuestra que el trabajo de una fuerza eléctrica es independiente de la trayectoria seguida por lo tanto dic&a fuerza es conservativa y como tal el trabajo puede e"presarse como una variación de la energ!a potencial, esto es
∆U = −W A→B =
1 1 − ÷ 0πε 6 r B r A ##6
+0.552 a energ!a potencial U cuando la carga de prueba #0 está en cualquier distancia r de #, es U =
##6 0πε 6 r
+0.502 a ecuación +0.502 es válida para cualquier combinación de signos. a energ!a potencial es positiva si las cargas # y #0 son del mismo signo +figura 0.:./a2 y negativa si tienen signos opuestos +figura 0.:./.b2.
Figura 4..2.
3rficas de la energ0a potencial 5 en funci*n de r para dos cargas puntuales# $a% q y q 6 tienen el mismo signo y $b% q y q 6 tienen diferente signo.
a energ!a potencial siempre se define con respecto a un punto de referencia en el cual U ' 0 . En la ecuación +0.502, la energ!a potencial es nula cuando las cargas # y #0 están separadas una distancia muy grande esto es r = ∞ . %or lo tanto, U representa el trabajo que el campo eléctrico de la carga # realiza sobre la carga testigo #0 si esta se desplaza desde una
4./.2
distancia inicial r &asta el infinito.
E$e#0& 3te$%i&l de &#i& %�& 3u$tu&le.
%ara determinar la energ!a potencial de un sistema de cargas puntuales consideremos en primer lugar que se desea ensamblar un sistema de dos cargas mediante un agente e"terno, entonces 167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
∆ U =−W i →' =+ W ext
. Esto es, el cambio en la energ!a potencial del sistema es igual trabajo realizado
por un agente e"terno para ensamblar la configuración. En nuestro caso, las cargas son tra!das lentamente desde el infinito, sin aceleración, esto es, ellas están en reposo al final del proceso. Empezaremos el ensamblaje con ¡ dos cargas #* y # para ello consideremos que la región está libre de cargas y el campo eléctrico debe ser nulo en todas las partes y posteriormente traemos una a una a las cargas &asta ubicarlas en las posiciones mostradas. )e la figura 0.:.5, se observa que el trabajo requerido para colocar la primera carga #* en el punto # = es cero + W 1 0 2, debido a que en la región no e"iste campos eléctricos. El trabajo requerido para colocar la segunda carga # en la posición 4 es igual al producto de la carga # por el potencial en el punto 4 debido a W = q2 V B" 1) #*, es decir ( 2 .
+a2 Figura 4..!.
+b2
$a% 7egi*n del espacio sin cargas8 $b% Traslado secuencial de cargas desde el infinito para formar la configuraci*n mostrada.
%or lo tanto, el trabajo es W $
= W1 + W/ = 6 + #/"B ,1 = #/"B ,1 +0.572
)ebido a que el potencial de q 1 en el punto 4 es
V B " 1= q 1 / 4 & ( 0 r , donde r es la distancia medida desde
#* &asta 4. entonces la energ!a potencial será
U1/
= W $ =
#1# / 0πε 6 r
+0.582 Si a&ora a$adimos una tercera carga al sistema tal como se muestra en la figura 0.:.0, el trabajo requerido es W5
= #5 ( "C ,1 + "C ,/ ) +0.592
167
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Figura 4..!.
Traslado secuencial de cargas para ensamblar la configuraci*n de tres cargas.
En este caso el trabajo desarrollado por el agente para ensamblar dic&a configuración es W $
= W1 + W/ + W5 = 6 + #/"B ,1 + #5 ( "C ,1 + "C ,/ ) +0.5:2
a energ!a potencial para esta configuración es entones U
# # + #5 1 + / ÷ 0πε 6 r1/ 0πε 6r15 0πε 6r /5 #1#/
= W $ =
+0.5;2 U
=
#1# / 0πε 6 r1/
+
#1#5 0πε 6r15
+
# /#5 0πε 6r /5
= U1/ + U15 + U /5
+0.062 a ecuación muestra que la energ!a potencial total es simplemente la suma de las contribuciones de distintos pares. Neneralizando para un sistema de cargas, tenemos. U =
,
1
,
∑∑ 0πε 6 i =1 j =1 j >i
#i # j r ij
+0.012 )onde la limitación j ) * se utiliza para evitar la doble contabilidad de cada par. #lternativamente se puede contar dos veces cada par y dividir el resultado entre dos. Esto conduce a
U
=
1 :πε 6
,
,
∑∑ i =1 j =1 j ≠i
#i # j rij
1 , # j÷ 1 , #i" ( ri ) = ∑ #i ∑ ÷ =/∑ / i =1 /πε 6 j =1 r ij÷ i =1 j ≠i 1
,
+0.0/2 )onde
V ( r i )
, es el potencial en la localización de #i debido a todas las demás cargas.
+jemplo 4.16
onsideremos un cuadrado de lado a, con una carga en cada esquina :# y una carga ;# en el centro. )etermine la energ!a electrostática total del sistema de cinco cargas Slu%i5$
167
Física General III
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En la figura 0.:.0 se muestra la ubicación de las carga
Figura 4..4.
+nsamblaje del sistema de cinco cargas en un cuadrado.
m 0
0
" B − "A
= −9766volt
0
( 17m ) 0
El punto que está a mayor potencial es # + x ' * m2
+jemplo 4.1!
El campo eléctrico en el interior de una esfera no conductora de radio H con carga distribuida uniformemente a través de su volumen, está radialmente dirigido y tiene una magnitud de
E ( r )= qr / 4 & ( 0 $
3
. )onde #
+positiva o negativa2 es la carga total dentro de la esfera y r es la distancia medida desde el centro de la esfera. +a2 onsiderando V = 0 en el centro de la esfera, determine el potencial eléctrico V ( r ) dentro de la esfera, +b2 Duál es la diferencia de potencial entre un punto sobre la superficie y el centro de la esfera. +c2 Si # es positiva, cuál de éstos dos puntos está a un mayor potencial. Soluci*n
%arte +a2 En este caso debido a que el campo eléctrico solo depende de r , podemos utilizar la ecuación
E ( r )=− dV / dr , entonces se tiene d"
Keniendo en cuenta que
V 0=0 , en
= − $r dr = −
#r 0πε 6 8 5
dr
r = 0 +punto de referencia, el potencial para cualquier punto r
dentro de la esfera será V ( r ) se obtiene integrando la ecuación anterior
167
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∫
" ( r)
" 6 = 6
d"
=−
#
r
0πε 6 8 5
∫ rdr 6
r
r / #r / " ( r ) − 6 = − = − :πε 8 5 0πε 6 8 5 / 6 6 #
" ( r )
=−
#r / :πε 6 8 5
%arte +b2. Usando el resultado de la parte +a2, la diferencia de potencial entre un punto en la superficie y el centro de la esfera es
#+62 / −− " ( r ) − " ( 6) = − ÷ :πε 6 85 :πε 6 8 5 #8 /
" ( r)
− " ( 6) = −
#8 / :πε 6 85
%arte +c2. %ara cuando la carga # es positiva, la respuesta a la parte +b2 es un nn so4re %na circ%n(erencia concéntrica a la carga :# es cero? es decir los p%ntos A y B est>n al mismo potencial. or lo tanto+ todos los p%ntos so4re esta circ%n(erencia se enc%entran al mismo potencial. Es a esta circunferencia que se le denomina l@nea e#%ipotencial. En general, cuando no se realiza trabajo para mover una carga de prueba lentamente de un
lugar a otro sobre una superficie, se dice que todos los puntos de dic&a superficie están al mismo potencial y a una superficie como esta se denomina s%per(icie e#%ipotencial. En la figura 0.16./a se muestra las l!neas equipotenciales de una carga puntual y en la figura 0.16./b se muestran dos superficies equipotenciales para una carga puntual :#.
167
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$a% Figura 4.16.2.
$b%
$a% 90neas equipotenciales y l0neas de fuera para una carga puntual q. $b% superficies equipotenciales para la carga q.
En la figura 0.16.5a se muestra las l!neas equipotenciales +l!neas de color verde2 en la región comprendida entre dos placas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos y en la figura 0.16./b se muestran dos superficies equipotenciales para la misma configuración
$a% Figura 4.16.!.
$b%
$a% 90neas equipotenciales y l0neas de fuera para dos planos paralelos cargados. $b% superficies equipotenciales para la distribuci*n de planos paralelos
En la figura 0.16.0a se muestra las l!neas equipotenciales +l!neas de color naranja2 en la región comprendida entre dos cargas puntuales de igual valor pero diferente signo +dipolo2 y en la figura 0.16.0b se muestran dos superficies equipotenciales dos cargas puntuales de igual valor y signo. as propiedades de las superficies equipotenciales pueden resumirse como sigue. a. as l!neas de campo eléctrico son perpendiculares a las equipotenciales b. %or simetr!a, las superficies equipotenciales producidas por cargas puntuales son una familia de esferas concéntricas, y para campos eléctricos uniformes, una familia de planos perpendiculares a las l!neas de campo. c. a componente tangencial del campo eléctrico a lo largo de la superficie equipotencial es cero, por otra parte ning@n trabajo puede &acerse para mover una carga de un punto a otro en una superficie.
167
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$a% Figura 4.16.1.
$b%
$a% Superficies equipotenciales y l0neas de fuera para un dipolo. $b% superficies equipotenciales y l0neas de campo para dos cargas iguales
Un uso análogo a las curvas equipotenciales son los mapas topográficos +figura 0.16.72 utilizados por los alpinistas y e"cursionistas. En un mapa topográfico se trazan curvas de nivel que pasan por los puntos que tienen una misma elevación. ada l!nea de contorno matemáticamente se e"presa como # = ' ( x " ! )=/+0sta0te . )ebido a que el potencial gravitacional cerca a la superficie terrestre es V g =g#
, estas curvas corresponden a equipotenciales gravitacionales.
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
Figura 4.16.).
4.11
Mapas topogrficos de un volcn
E m/ +jemplo 4.1-
El potencial eléctrico de una placa metálica aislada muy grande es
V 0
. Vsta lleva una distribución de carga
uniforme sobre su superficie con una densidad L +C-m2. )etermine el potencial " a una distancia x de la placa. onsidere que el punto x está lejos de los bordes y asumir que x es muc&o menor que las dimensiones de las placas. Solución En la figura se muestra la placa cargada positivamente.
Figura 4.16.!
=plicaci*n de la ley de 3auss a un plano conductor cargado
#plicando la ley de Nauss a la superficie en forma de paralelep!pedo y teniendo en cuenta que el flujo en una de las caras es nulo por estás en el conductor, además en las otras caras paralelas al campo electico tampoco e"iste flujo y sólo &ay flujo en la cara situada a una distancia " del plano, se tiene
167
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rr 1enc = $ . ndA Ò ε6 9 ,G
r
∫∫
$ x A =
r
⇒ ∫ +$ xi 2. ( dAi ) =
σ A ⇒ $ x ε6
=
1enc
ε 6
σ ε 6
−dV = E x El potencial a una distancia x se obtiene a partir de la ecuación dx , esto es d"
∫
"
" 6
d"
=−
= − $ x dx = − σ ε6
σ dx ε 6
x
∫ dx ⇒ " −"
"
6
6
= "6 −
=−
σ x ε 6
σ x ε 6
Una lámina no conductora infinita tiene una densidad 2 de carga 1 =25 0C / m sobre un lado. DGué distancia se encuentran separadas dos superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en /7 =. Soluci*n.
En la figura se muestra la lámina y las dos superficies equipotenciales
)espreciando el efecto de los bordes y considerando que la intensidad del campo eléctrico para un plano E= 1 / 2 ( 0 i infinito es uniforme y esta dado por . Entonces la diferencia de potencial será
)#6lem& ;1
167
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r r σ r r d" = − $.ds = − i÷ . ( dxi ) /ε 6
∫
B
A
d"
∆" = " B − "A = −
=−
σ /ε 6
=
1 /
m1v1,/i
+
1 /
m/ v/,/ i
+
0#1#/ ri
= $ ( =
1 /
m1v1,/ (
+
1 /
m/ v/,/ (
x B
∫ dx
σ ( xB /ε 6
" A − "B
$i
Hesolviendo esta ecuación para determinar
σ ∆x /ε 6
teniendo en cuenta que
σ ∆x /ε 6
1 ri
∆ x =
σ
=
=
1 r(
+
1 m v/ + 1 m v/ 1 1, ( / /, ( 0#1#/ / / 1
/7.16 −; C > m /
( pi ) sistema = ( p ( ) sistema m1v1,i
)#6lem& ;2
m 1= 3 mg y una
v/, (
=−
q1 =8,0 μC . Una segunda part!cula tiene
una masa de
m1=6 mg
y
r1
#plicando la conservación del momento lineal para encontrar la relación entre las velocidades finales se tiene
∆ x = 19,9.16 −5 m
carga
+a2
/ ( :,:7.16−1/ C / > ,m/ ) ( /7" )
Una part!cula tiene una masa de
r /
* 1, i = * 2, i= 0 , se tiene
Entonces la separación entre las equipotenciales es /ε 6 ( " A − " B )
0#1#/
1
x A
− xA ) = −
+
m1 m/
v1, (
=−
−5
5.16 0g 8.16 −5 0g
( 1/7m > s )
v/, ( = −8/, 7m > s
y la misma carga. as dos
part!culas están inicialmente en reposo separadas cierta distancia y entonces soltadas. )ebido a la repulsión electrostática las part!culas se separan, y cuando dic&a separación entre ellas es de 16 cm, la velocidad de la part!cula m 1 es 1/7 m>s. Encuentre la separación
+ m/v/,i = m1v1, ( + m /v /, ( 6 = m1v1, ( + m/v /, (
+b2 Hemplazando +b2 en +a2 y simplificando se tiene 1 r i
=
1
+
1
6,1 ;.16; ( :.16−8 )
/
1 5.16−5 1/7 / + 1 5.16−5 − 8/, 7 / ) ) ( ) / ( ) ( / (
inicial entre las part!culas. r1 = 1, 01.16−/ m
Soluci*n
a fuerza que act@a sobre las dos part!culas es la fuerza eléctrica y ésta es conservativa. %or lo tanto, la energ!a total +cinética más potencial eléctrica2 se conserva cuando las part!culas se separan. En suma, la fuerza e"terna neta que act@a sobre el sistema de dos part!culas es nula +las fuerzas eléctricas que se ejercen las part!culas entre s! son fuerzas internas2. #s! el momento lineal del sistema también se conserva. Entonces podemos utilizar la conservación de la energ!a y la conservación del momento lineal para encontrar la separación inicial. #plicando la conservación de energ!a se tiene
)#6lem& ;'
El potencial eléctrico en la superficie de una esfera uniformemente cargada es 076 =. En un punto fuera de la esfera a una distancia radial de /6 cm desde su superficie, el potencial eléctrico es 176 =. #sumiendo que el potencial para puntos muy alejados de la esfera es cero. Duál es el radio de la esfera, y cuál es la carga de la esfera. Solución
167
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Sea H el radio de la esfera y G su carga. %odemos e"presar el potencial de las dos ubicaciones dadas y resolver las ecuaciones simultáneamente para determinar H y G
El cambio en la energ!a potencial eléctrica está dado por
∆U = − # ∫ 8
El potencial en la superficie de la esfera es " 8
=
01 8
= 076" ∆U = −
+a2
# /
01 8
=
01 8 + 6,/6m
= 176"
6,1.16 −;
∆ U = U ( ∞ )− U ( $ ) . Es &abitual
considerar U ( ∞ )=0 de tal manera que podemos − 18
U ( $ )=+ 2,3. 10
01
=
;.16; , .m / > C / +1, 8.16 −1; C2 /
decir que la energ!a potencial de los protones fue
)ividiendo las dos ecuaciones anteriores se tiene
8 01
∞
∆U = −/,5.16 −1: & ote que
+b2
=−
0πε 6 8
El potencial a una distancia de /6 cm de la superficie será "r =
r r $.ds = − #
0# ir . drir ∫ 8 r / ÷ ( ) ∞ ∞ dr 1 / ∆U = − 0# ∫ 8 / = − 0# − r r 8 ∞
2 .
Estos
protones
originalmente tienen una alta energ!a potencial por ello ellos tienden a separarse cuando se les da la oportunidad.
076" 176"
8 + 6,/6 m 8 = 16cm
)#6lem& ;,
#l remplazar este valor en +a2 se tiene 1=
076" ( 6,16 m ) ;.16; , .m / > C /
Una gota esférica de agua lleva una carga de 30 pC tiene un potencial de 00 " en su superficie
= 7nC
+con " ' 0 en el infinito2. +a2 Duál es el radio de la gota. Si dos gotas con la misma carga y radios iguales se combinan para formar una sola gota, Duál el potencial de la superficie de la nueva gota.
)#6lem& ;4
Encuentre el cambio en la energ!a potencial eléctrica cuando dos protones inicialmente separados 0+*00 nm se apartan &asta estar completamente separados. Soluci*n
#sumimos que un protón esta fijo y el otro se va a mover en el campo del primer protón
Soluci*n
+a2 onsideremos a la gota como un conductor, de tal manera que el potencial está dado por ; −1/ 01 01 ;.16 ( 56.16 ) " = ⇒8= = 8 " 766 8 = 70mm +b2 uando se combinan dos gotas, la gota nueva tiene otro radio, el mismo que se determina a partir de la conservación de la masa M = /m6
0 5
= /ρ 0 π 8 5 5 ÷ / = 70 / = 98, 59 mm
ρ π 815÷ 81
=8
El potencial de la nueva gota será
167
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= /m6 0 0 ρ π 815÷ = / ρ π 8÷5 5 5 81 = 8 ( /1> 5 ) M
"1
=
011 81 "1
=
0 ( /# ) 8( /
1> 5
/
=
(/ ) 1> 5
"1
=
/
) (/ ) 1> 5
∫
"o
"
d" =
/ /σ 0πε 6
" − " =
" 6
6 =a
6d6
6 = 6
6 / + ( a − 6 )
∫
σ a /ε 6
a a
ln
/
/ + a
÷
/ − a÷
)#6lem& ;
El potencial eléctrico +=2 como una función de la distancia es graficado en la figura. )etermine la magnitud del campo eléctrico en las regiones +a2 # a 4* +b2 4 a y +c2 a ).
( 766" )
= 9;5,9"
)#6lem& ;-
Encuentre la diferencia de potencial entre la parte superior +%2 y el centro de la base +M2 de un cono de radio a y altura a, el cual lleva una densidad de carga σ sobre el área lateral.
Soluci*n
El campo eléctrico entre puntos en el espacio es proporcional a la diferencia de potencial entre puntos dividida por la distancia entre ellos. Esto es Soluci*n
)ebido a la geometr!a el ángulo del cono es 07W. %ara encontrar el potencial primero dividamos a la superficie lateral en rebanadas de radio x a una profundidad 6 +desde el vértice del cono2. %or ser el ángulo de 07W el radio x es igual a la altura 6 . a longitud del elemento diferencial a lo largo de la pendiente es d3 =√ 2 d# y el area del peque$o elemento diferencial es dA =( 2 &# ) √ 2 d# . %or lo tanto la contribución del
(
%arte +a2. ampo entre # y 4 $1
=−
)
$/
0σ / /π 6d6 6 / + ( a − 6 )
∆" ∆ x
∆" 7, 6" − 6" =− = −/7" > m 6, /m − 6, 6 m ∆ x
%arte +b2. ampo entre 4 y
elemento diferencial al potencial es d" =
$ = −
=−
5, 6" − 7, 6" ∆" =− = 16" > m 6, 0m − 6, /m ∆ x
/
%arte +b2. ampo entre 4 y a diferencia de potencial entre los puntos % y M se determina integrando la ecuación anterior, es decir
167
$5
=−
1, 6" − 5, 6" ∆" =− = 7" > m 6,:m − 6, 0m ∆ x
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
V =0
resto del anillo. onsiderando a )#6lem& ;/
Un campo eléctrico uniforme de magnitud 5/7 =>m está dirigido en dirección negativa de las y como se muestra en la figura. as coordenadas del punto # son (−0,2 m"− 0,3 m) y las coordenadas del punto 4 es
(−0,4 m "−0,5 m ) . )etermine la diferencia de
potencial +a2 utilizando la trayectoria #4, +b2 utilizando la trayectoria recta #4 y +c2 Duál punto está a mayor potencial.
en el
infinito, determine el potencial eléctrico +a2 en el centro del anillo y +b2 en un punto M, el cual está sobre el eje del anillo a una distancia 6 del centro. Soluci*n arte $b%. )ebido a que la parte +a2
es un caso particular de +b2 entonces comenzamos con la @ltima para ello dividimos a la distribución en elementos de carga d# de longitud ds, entonces el potencial será +λ+ 2 ds +λ − 2 ds r +0 r r r
d"
=0
d# r r
d"
=0
+λ+ 82 dθ
=0
+0
8 / + 6 /
+λ− 82 d θ 8 / + 6 /
Soluci*n
%arte +a2 )iferencia de potencial para el trayecto #4
∫
B
A
" B − "A
d"
C
r r
B
r r
= −∫A $.ds − ∫ C $.ds r
C
r
B
r
r
= − ∫ A ( − $j ) . ( dsj ) − ∫ C ( − $j ) . ( dsi ) " B − "A
= + $ ( sC − s A ) − 6 " B − "A = +5/7 , > C2 ( 6,:m ) = /86"
El campo total se obtiene integrando la ecuación anterior, esto es
"
%arte +b2 )iferencia de potencial para el trayecto #4
∫
B
A
" B − "A " B − "A " B − "A
B
r r
= − ∫ A $.ds
d" B
= − ∫ A
=
r r r − + $j . dxi dyj ( )( )
" =
B
= $ ∫ A dy = $ ( y B − y A )
= +5/7, > C2 ( 6,:m ) = /86"
)#6lem& ;7
on una barra plástico se &a formado un aro de radio H. Vste tiene una carga :1 distribuida uniformemente a lo largo de un cuarto de circunferencia y una carga negativa −6 Q &a sido distribuida a lo largo del 167
0πε 6 8 / + 6 /
( /)
λ + 8 π
0πε 6 8 / + 6 /
∫
π >/
6
+
dθ
+
λ − 8 0πε 6 8 / + 6 /
λ− 8 /π −
/π
∫
π > /
π
÷
/
0πε 6 8 / + 6 /
5π ÷ / / / + 0πε 6 8 / + 6 / 8 6 6 +1 8 −81 8 /π 8 > 0÷ 8π 8 > 0÷ 5π π + " = ( ) ÷ / / + 6 / / 0πε 6 8 / + 6 / 0πε 6 8 +1 81 − " = 0πε 6 8 / + 6 / 0πε 6 8 / + 6 / " =
λ+ 8
λ+ 8
( π / ) + 0πε
λ− 8
d θ
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
" = −
a carga total del anillo se obtiene integrando la e"presión anterior, esto es
71 0πε 6 8 / + 6 /
∫
1 = d# = /πσ 6 8 arte $a%. El potencial en el centro del anillo será
" = −
71 0πε 6 8 / + 6 / " o
=−
=−
∫ dr 6
1 = /πσ 6 8 /
71 0πε 6 8 / + 6 /
El potencial producido por d# en el punto % es
71 d"
0πε 6 8
)#6lem& 1;
Un disco de radio H tiene una densidad de carga = / superficial dada por 1 1 0 $ r . )onde 1 0 es
=0
d# r r
=0
/πσ 6 8dr r / + x/
El potencial neto en % se obtiene integrando la ecuación anterior σ 6 8 8 + 8 / + x / " = ln /ε 6 x
una constante y r es la distancia desde el centro del disco. Encuentre +a2 la carga total sobre el disco. +b2 una e"presión para el potencial eléctrico a una distancia x desde el centro del disco sobre el eje que pase a través del centro del disco y es perpendicular a su plano.
)#6lem& 11
Slu%i5$
%odemos encontrar G mediante integración de la carga sobre un anillo de radio r y espesor dr desde r = 0 &asta
8
r = $ y el potencial en el eje del disco
mediante integración de la e"presión del potencial en el eje de un anillo de carga entre los mismos l!mites.
as tres placas conductoras mostradas en la figura está, cada una separadas por una distancia 4. Si las cargas sobre las dos placas e"tremas son 4 1 como se muestra en la figura. )etermine la diferencia de potencial entre las placas e"tremas
Soluci*n
%arte +a2. a e"presión para la carga de un anillo de radio r y espesor dr está dada por d# = σ dA = σ ( /π rdr )
=
σ 6 8
r d# = /πσ 6 8dr
( /π rdr )
167
)ebido a que las placas son conductoras en la placa ) se inducen cargas 5 1 en el lado 4 y + 1 en el lado .
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
" − "A
=−
" − "A
σ σ d− d ε6 ε 6
=−
/σ
ε 6
d
)#6lem& 12
#demás usando la ley de Nauss se determina el campo E entre las láminas #4 y ), esto es
Una peque$a esfera de 5,/ g de masa cuelga de un &ilo de seda entre dos placas conductoras paralelas verticales separadas cm. a carga en la esfera es 7,: μ. DGué diferencia de potencial entre las placas &ará que el &ilo forme un ángulo de θ X 56W con la vertical.
rr 1enc = $ . ndA Ò ε 6 9G
∫∫
=
$ ( A )
σ A σ ⇒ $ = ε6 ε 6
a diferencia de potencial entre # y 4 es
∫
B
A
d"
B
r r
r
B
Soluci*n
r
= − ∫A $.ds = − ∫ A + $i 2.+dxi 2
" B − "A
=−
σ ( xB ε6
− xA ) = −
σ d ε 6
)ebido a que la carga :# se desv!a &acia la derec&a, entonces el campo electico entre las placas debe estar dirigido &acia la derec&a, por ello la placa izquierda es positiva y la derec&a negativa. Entonces la diferencia de potencial será
+12
∫
a diferencia de potencial entre y ) es
∫
C
d"
= − ∫C
" − "C
=−
r r $.ds = −
σ ( x ε6
∫
C
A
r r +$i 2.+dxi 2
− xC ) = −
σ d ε 6
B
d"
B
r r
B
= + $d
r
r
= − ∫A $.ds = −∫ A + $i 2.+dxi 2 " B − "A = − $d
" A − "B
+a2
)ebido a que la placa central es conductora, el campo en su interior es cero y como tal todos los puntos están = al mismo potencial por tanto V C V B . Entonces se
En la figura Se muestra el ) de la carga, sobre ella act@an el %eso +mg2* la tensión en el &ilo +K2 y la fuerza = eléctrica debido al campo ( F e qE ) .
tiene " − "B
=−
σ d ε 6
+/2 Sumando las ecuaciones se tiene
#plicando las ecuaciones de equilibrio seg@n los ejes mostrados se tiene 167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
∑ F = 6 ⇒ / cos 56
6
x
/ =
El potencial en el punto D es la suma de los potenciales del anillo :# y del anillo ;#. es decir
= mg
mg cos56 6
+b2
∑ F = 6 ⇒ #$ = /sen56
" I
= "+ # , I + " − # , I
" I
=
0# 8 / + 6 /
−
0# 8
6
x
El potencial en el punto es la suma de los potenciales del anillo :# y del anillo ;#. es decir
+c2
Hemplazando +b2 en +c2 se tiene
= "+ # , + " − # ,
"
#$ = mgtg 566
+d2 "
Hemplazando la ecuación +a2 en +d2, resulta
∆" = mgtg 56 6 ÷ d
#
∆" =
mgdtg 566 #
=
0# 8
−
0# 8 / + 6 /
a diferencia de potencial entre sus centros será.
5, /,16 −5 ( ;, :) ( 7.16−/ ) tg 566 7,:.16
=
" I − "
−8
∆" = 178"
=
" I − "
)#6lem& 1'
Se tiene dos anillos finos de alambre de radio H, cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a # y Y #. )etermine la diferencia de potencial entre sus centros, siendo la distancia entre ellos igual a d .
0# 8 / + 6 /
=
0# − ÷ − 8
/0# 8 /
" I − "
+ 6/
=
=
0# 8
−
÷ 8 / + 6 / 0#
/# 0πε 6 8 /
+ 6 /
# /πε 6 8 / + 6 /
)#6lem& 14
Se tiene un &ilo recto y muy largo, cargado con una =0,40 μ C / m . densidad lineal de carga
Soluci*n
En la figura se muestra a ambos anillos
)etermine la diferencia de potencial en los puntos # y 4 si el punto 4 dista 6= 2,0 veces más del &ilo, que el #. Soluci*n
En la figura se muestra el &ilo recto y muy largo conjuntamente con una superficie gaussiana cil!ndrica que permite evaluar el campo producido por el &ilo
En el ejemplo se demostró que el potencial para un anillo en puntos sobre su eje es " =
0# 8 / + 6 /
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
rr 1 $ Ò .ndA = enc
∫∫
ε6
9 ,G
$ =
⇒ $ ( /π rE ) =
λ E ε 6
λ /πε 6 r
omo omo el camp campoo solo solo depe depende nde de la dist distan anci ciaa r al alambre, la diferencia de potencial entre los puntos # y 4 será d"
∫
B
A
= − $dr = − d" = −
λ dr /πε 6 r
λ /πε 6
r B
dr
r A
r
∫
El potencial del elemento diferencial diferencial será d" =
" B − " A
=−
r λ ln B÷ /πε 6 r A
" A − " B
=
=−
λ η r A ln ÷ /πε 6 r A
=
"
/π ( :, : , :7.16−1/ C / > , .m / ) " A − "B
7, 6 0" = 7,6
0πε 6 8
=
=
σ ( 8 cosθ ) ( 8d θ ) /ε 6 8
σ 8 cos θ d θ /ε 6
El potencial neto en el punto M se obtiene integrando la e"presión anterior
Hemplazando valores se tiene " A − " B
0πε 6 8
σ ( /π yds )
=
d"
λ ln ( η ) /πε 6
6,06.16−8 C
d#
=
σ 8 /ε 6
π > /
∫ 6
cos θ dθ " =
ln /
=
σ 8 π > / [ senθ ] 6 /ε 6
σ 8 /ε 6
)#6lem& 1-
)#6lem& 1,
Zall Zallee el pote potenc ncia iall eléc eléctr tric icoo en el cent centro ro de una una semi semies esfe fera ra de radi radioo 8, carg cargad adaa con con una una dens densid idad ad superficial de carga σ
)os )os &ilo &iloss fino finoss y para parale lelo loss que que dist distan an l se cargan cargan unif unifor orme meme ment ntee &ast &astaa la dens densid idad ad line lineal al λ y Y λ. )etermine el potencial eléctrico a la distancia r ≫ , ⃗p como se muestra en la bajo un ángulo θ al vector p
figura.
Soluci*n
%ara determinar el potencial de la distribución de carga en M, se divid dividee a ésta ésta en anil anillo loss de radio radio y con un espesor ds = $d7 como se muestra en la figura
Soluci*n.
En la figura se muestra el punto % donde se &alla "
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García /
l l r+ = r + ÷ − /r ÷ / / / l l / / r− = r + ÷ + /r ÷ / / /
/
cos θ cos θ
El potencial se escribe a&ora en la forma
"
En el problema W 16 se &a demostrado que el potencial para un alambre infinito está dado por "
r = −/0 λ ln ÷ a
)onde el potencial cero se considera en un punto de referencia r = a .
= /0 λ ln
"
El potenc potencial ial debido debido al alambre alambre que transp transport ortaa una densidad Fλ, será
/
l l r + ÷ + /r ÷ / / / l l / r + ÷ − /r ÷ / / /
cos θ cos θ
1> / l / l 1 + / + cos θ ÷ 0r r = /0 λ ln 1> / / l l 1 + / − cos θ ÷ 0r r
2
a "+ = /0 λ ln ÷ r +
, 8 0 , se 2 4r
Keniendo en cuenta que para r )) l , tiene
El potenc potencial ial debido debido al alambre alambre que transp transport ortaa una densidad Bλ, será "−
a = −/0 λ ln ÷ r −
"
1> / l l ≈ /0 λ ln 1 + cos θ÷ − ln 1 − cosθ ÷ r r
"
El potencial total en el punto % será "
"
a a = "+ + "− = /0 λ ln ÷ − /0 λ l n ÷ r+ r − r = /0 λ [ − ln r+ + ln r− ] = / 0λ ln −÷ r +
1> /
l l ≈ 0 λ ln 1 + cos θ÷ − ln 1 − cos θ ÷ r r
ln+1 + 6 2 = 6 −
6 / /
+
6 5 5
+ ..........
Usando la relación /
l l l + ..... ln 1 + cos θ÷ = cos θ − cos θ ÷ r r r l l ln 1 + cos θ÷ ≈ cos θ r r
Zaciendo uso de la ley de cosenos se tiene
Hemplazando este desarrollo en la ecuación para el potencial total se tiene.
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
"
l l /0 λ l cos θ ≈ 0 λ cos θ + cos θ = r r r " ≈
"
λ l cos θ /πε 6 r
1> / 1> / / / / / l / l / x + 8 + xl + ÷ − x + 8 − xl + ÷ 0 0 = 0# 1> / 1> / / / x / + 8 / + xl + l ÷ x / + 8 / − xl +l ÷ 0 0
" =
)#6lem& 1
)os anillos coa"iales coa"iales finos de alambre de radios radios H cada uno se encuentran a una peque$a distancia l uno uno de otro +l 77 82 y tienen tienen carga cargass :# y ; #. )etermine el potencial eléctrico en el eje del sistema como función de la coordenada x +véase la figura2.
01 x
/
+8
x / + 8 /
/
1> / / / lx l lx l 1 + / / + / / ÷ − 1 − / / + / ÷/ x +8 0x + 8 x + 8 0+ x + 8 2 1> / / / 1 + / lx / + /l / ÷ 1 − / lx / + /l / ÷ x + 8 0+ x + 8 2 x +8 0+ x + 8 2
1 > / 1> /
l / 0+ x / + 8 / 2
Si 8 ))l+ entonces
entonces se tiene
1> / lx − 1 − lx x / + 8÷/ / / 1 + / /÷ 01+ x + 8 x +8 " ≈ 5> / 1> / / / 1 − + lx 2 / ( x + 8 ) x / + 8/ ÷
1> /
Usando el binomio de ne-ton ne-ton tenemos 1 lx . − 1 − 1 + lx 2 +... 1+ + / 2 + ..÷ / x / + 8/ ÷ / 01+ x + 8 2 / x +8 " ≈ 5> / 1> / / / 1 − + lx 2/ ( x + 8 ) x/ + 8/ ÷ /
Slu%i5$
El potencial para un anillo está dado por la ecuación 0#
" =
Simplificando resulta
8 / + x /
+a2 El potencial en un punto % sobre el eje x producido por los anillos cargados es "+
=
0#
y " −
/
x − l + 8 / /÷
=
/
0#
1 lx lx 1 + + / 2 + 2 01 + x + 8 2 / x + 8 / / x/ + 8/ " ≈ 5> / 1> / ( x / + 8 / ) 1 − + lx 2 /÷ / / x + 8 /
/
" ≈
/
x + l + 8 / ÷ /
#l 0πε 6 ( x /
x
+ 8/ )
5> /
)#6lem& 1/
El potencial neto en cualquier punto sobre el eje x es Una Una car carga line lineaal unif unifor orme me "
= "+ + " − =
0# /
−
0# /
x − l + 8 / x + l + 8 / /÷ ÷ /
= 1 0C / m está
arreglada en forma de un cuadrado de 8 m de lado, como como se mues muestr traa en la figu figura ra.. )ete )eterm rmin ine e +a2 +a2 El potencial en el punto 9 ( 0,0,5 m ) +b2 en el centro del cuadrado* +c2 el trabajo necesario para trasladar una carga de 600 μC desde el punto % &asta el centro del cuadrado.
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
= #movil +"tot , − "tot , 2 W → = 866.16 −8 ( 85,58 − 57,78 ) W → = 18,8:.16 −5 & W →
)#6lem& 17
Soluci*n arte $a% El
potencial en el punto % debido al elemento diferencial de carga dq = dx es d" =
0d# x / + 50
=
Un anillo cargado uniformemente con una carga total de *00 μ y un radio de *0 cm yace en el plano xy con su centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga puntual de *0 μ en el e"tremo marcado con el M y una carga puntual de 0 μ en el e"tremo marcado con *00 cm. DGué trabajo &ay que realizara para transportar la regla de metro desde una distancia muy grande &asta una posición a lo largo del eje 6 con el e"tremo marcado con M en 6 ' 0+ m y el otro e"tremo en 6 ' *+ m. Soluci*n
0 λ dx
En la figura se muestra al anillo y a la regla con las cargas puntuales en su posición final.
x / + 50
El potencial debido a este lado del cuadrado será la suma +integración2 del potencial diferencial 5
∫
" = 0 λ
dx
−5
x / + 50 " p = :,:;"
El potencial debido al cuadrado completo en % será "tot ,
= 0" = 0+:, :;" 2 = 57, 78"
arte $b% El potencial en el punto M debido a un lado es
"
5
= 0 λ ∫ −5
dx
x / + ; " = 17,:0"
El trabajo realizado para traer la regla con las cargas desde un punto muy alejado y colocarlo en dic&a configuración es W∞→
= #mov" = #1
;.16 ( 16.16− ;
W ∞→ =
El potencial debido al cuadrado completo en M será "tot ,
= 0" = 0+17, :0" 2 = 85, 58"
8
÷ + #/ / / 6,1 + 6, / ÷ 0#anillo
) ( 166.16− ) 8
6,1/ + 6, //
;.16 ( / 6.16− ;
+
÷ / /÷ 6,1 + 1, / 0#anillo 8
) ( 166.16− ) 8
6,1/ + 1, //
W∞→ = 77,1; &
%arte +c2 El trabajo es
)#6lem& 2;
Una carga lineal de longitud E +m2 y densidad de carga uniforme λ >m, está situada paralelamente a una lámina infinita la que lleva una densidad superficial σ >m/, tal como se indica en la figura. )etermine el
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
trabajo necesario para girar la carga lineal un ángulo de ;6W &asta situarla sobre el eje 6
dWi → (
= λ ( "i − " ( ) dy = Wi → ( =
Slu%i5$
W i → ( =
Se &a demostrado que el campo eléctrico para una distribución plana infinita es r $
=
r r
= − $.ds = −+
∫
" (
"1
" (
d"
= "i − "
σ /ε 6
6
∫ d6
6 i
%arte +a2. Se divide a la distribución volumétrica en elementos de carga en forma de cascaras esféricas de radio r y espesor dr+ entonces la carga de este elemento diferencial será
= d# ( "i − " ( )
= Ar ( 0π r /dr ) = 0π Ar 5dr
al
8
∫ r dr 5
6
1 = π A8 0
#l girar la carga lineal, el elemento de carga dq = d! situado a una distancia y del origen, pasa potencial
d# = ρ ( r ) d"
1 = 0π A
está dado por la ecuación
del
r / rr 1 $ Ò .ndA = εenc 6 9 ,G
= − $dr = −
1 ⇒ " = " + 1 1 − 1 "a − "4 = a 4 ÷ 0πε 6 r 4 0πε6 a 4 1 1 1 1 1 1 / −/1 " a = + − = ÷ 0πε a − 4 − c 0πε 6 c 0πε 6 a 4 6 1
⇒ $ +0π r / 2 = 6
"a
"4
ampo para - < r < /
∫∫
0πε 6 c
%otencial eléctrico para - < r < /
ampo para a < r < -
rr 1enc $ . ndA = Ò ε6 9 ,G
/1
167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
El campo eléctrico para una uniformemente a una distancia r es
l!nea
r F 8
λ /πε 6 r
$ =
=
r
= −#
r
r
= F+ + F− =
#λ /πε 6 + r − a 2
/#aλ
=−
/πε 6 r / 1 +
r F 8
λ r i /πε 6 r
r i
a 1− ÷ ÷ r r
a
r i
r λ p =− /πε 6 r /
)#6lem& 24
Sobre un plano conductor ilimitado cuelga, de un &ilo elástico aislante de rigidez \, una peque$a bola. Una vez que la bola se cargó ésta descendió x cm, y su distancia &asta el plano conductor llegó a ser igual a l . )etermine la carga de la bola.
#λ r #λ r i − i /πε 6 r /πε 6r
r F 8
/πε 6 +r + a 2
r i−
−/a r 1 − 1 ir = #λ ÷ ÷i /πε 6 r + a r − a /πε 6 + r + a 2+r − a 2
r F 8
λ r i /πε 6 r
a fuerza resultante sobre el dipolo es
r F 8
#λ
#λ
a fuerza sobre la carga negativa es r r F− = #$
r
= F+ + F− =
)ebido a r )) a+ entonces se tiene
Auerza sobre la carga positiva r r F+ = #$ = +#
r F 8
cargada
=6
Solución
arte $b% En la figura se muestra al alambre y el dipolo
En la figura se muestra la disposición de los elementos seg@n el enunciado.
a fuerza sobre ;# es r r F− = #$
=−
#λ /πε 6 + r − a 2
r i
%ara resolver el problema usamos el método de imágenes, es decir al colocar la carga :# cerca del plano los electrones libres de éste se redistribuyen quedando el plano cargado con carga de signo contrario a la carga inductora :#. a l!neas de fuerza salen de la carga positiva y terminan e el plano conductor. El plano conductor se comporta como una superficie equipotencial, debido a la simetr!a de las l!neas de fuerza podemos ' / −1> / ∂ / / / / / / − + + − + + + x l y 6 x l y 6 ( ) ( ) ) ( ) ∂ x (
)#6lem& 2/
Una carga puntual :# se encuentra a la distancia l de un plano conductor ilimitado. )etermine la densidad superficial de cargas, inducidas en el plano, en función de la distancia r desde la base de la perpendicular bajada de la carga al plano.
− ( x − l ) ( x + l ) + σ y6 = −ε 6 # 5>/ 5> / / / / ( ( x + l ) / + y / + 6 / ) x=6 ( ( x − l ) + y + 6 )
Slu%i5$
Hemplazando x ' 0
En la figura se muestra al plano, la carga :# y la carga imagen correspondiente, y un punto arbitrario del espacio en donde se &alla el potencial.
l l σ y6 = − + / / / 5> / 5> / / / / 0π ( l + y + 6 ) ( l + y + 6 ) #
σ y6 = −
#
l
/π ( l / + r / )
5> /
)#6lem& 27
Un &ilo fino de longitud ilimitada tiene una carga por unidad de longitud λ y se sit@a paralelamente a un plano conductor infinito. la distancia entre el &ilo y el plano es igual a l . )etermine +a2 el módulo del vector 167
Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García
de la fuerza que act@a por unidad de longitud del &ilo* +b2 a distribución de la densidad superficial de carga 1 ( r ) en el plano, donde x es la distancia &asta el plano perpendicular a la superficie conductora y que pasa a través del &ilo.
" "
=−
λ ln /πε 6
(
=−
λ +ln r+ − ln r − 2 /πε 6
) (
/
( x − l ) + y / + 6 / − ln
( x + l ) + y / + 6 /
)
/
a densidad de carga superficial es
Soluci*n
En la figura se muestra las dos distribuciones de carga
σ y6
σ y6 = −ε 6 −
∂" = ε 6 $ x =6 = ε 6 − ∂ x x =6
λ ∂ / ln ( x − l ) + y / + 6 / ÷ 0πε 6 ∂ x
(
−/ ( x − l ) λ σ y6 = 0π x − l / + y / + 6 / ) ( (
%ara determinar la fuerza se usa el método de imágenes, para esto el plano se considera como una superficie equipotencial. Entonces la fuerza F que la carga ejerce sobre la placa es del mismo valor pero de sentido contrario a la fuerza que la placa +o la imagen #D 2 ejerce sobre la carga
σ y6 =
σ y6 =
/
+ y / + 6 / )
+ 5> / / / / ( ( x + l ) + y + 6 ) / ( x + l )
)
λ l / / / /π ( l + y + 6 )
) − ln ( ( x + l )
5> /
x = 6
+ / / / ( l + y + 6 ) l
λ l π ( l / + r / )
)#6lem& ';
Un anillo de alambre fino de radio H tiene una carga #. El anillo se sit@a paralelamente a un plano conductor ilimitado a la distancia l , determine el potencial y la intensidad de campo eléctrico en el centro del anillo. Soluci*n
En la figura se muestra las distribuciones conjuntamente con la carga imagen que en este caso es un anillo que lleva una carga ; #. arte $a% Auerza entre la carga imagen Y λ
y la carga +λ Para ell! "e#erm$%am!& el cam'! elc#r$c! '!r la carga $mage% e% el '%#! "e *$cac$% "e la carga l$%eal '!&$#$,a r $
=− r F
r λ r λ i =− i l 2 /πε 6 r /πε 6 +/
r λ = ( λ E ) − i÷ /πε 6 +/l 2 r F
%rimero determinamos el potencial en el centro del anillo positivo en este caso el plano es sustituido por la carga imagen.
λ / r i =− E 0πε 6l
%arte +b2 %ara determinar la densidad superficial de carga se determina primero el potencial en un punto arbitrario 167
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"
= 0# − 8
0# 8
/
+ 0l /
# = 1− 0πε 6 8
÷ 1 ÷ /÷ /l 1+ ÷ ÷ 8 ÷
El campo eléctrico será −1> / ∂" ∂ /l / # $ = − =− 1 − 1+ ÷ ÷ ∂l 0πε 6 8 ∂l 8 ÷ −5> / / # 1 /l $ = 1 + ÷ ÷ ( 0l ) 0πε 6 8 / 8 ÷
/l / $ = 1 + ÷ ÷ /πε 6 8 8 ÷ #l
−5> /
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)#6lem& 3#3uet 1. Una carga puntual de F55 μ es localizada a =H cm de una carga idéntica de F55 μ. Una carga puntual de B1,7 μ es movida desde el punto # al punto 4, como se muestra en la figura. Duál es el cambio en la energ!a potencial
4. En una fotocelda, la luz ultravioleta provee suficiente energ!a a algunos electrones en la placa de bario para emerger de la superficie a alta velocidad como se muestra en la figura. %ara medir la má"ima energ!a de los electrones, el colocada otra placa sobre la placa de bario la misma que está a un suficiente potencial de tal manera que los electrones emitidos son lentamente detenidos y retornados a la superficie de la placa de bario. Si el potencial de la placa superior es −3,02 V
+comparado a la de bario2 cuando los electrones son detenidos. Duál fue la velocidad de estos electrones cuando ellos fueron emitidos.
2. En cada una de las esquinas ye en el centro de un cubo de lado l &ay una carga puntual G, como se muestra en la figura. +a2 Duál es el potencial en centro del cubo +" ' 0 en r X ∞ 2. +b2 Duál es
el potencial en cada una de las esquinas debido a las otras oc&o cargas. +c2 Duál es la energ!a potencial del sistema.
,. El potencial en cierta región del espacio está dada por la ecuación "
= "6 + "1 ( 5x − y ) +
" / x
/
+ y / + 6 /
( x + ! + # ) ? 0 2
)onde 2
V 0=3,2. 10 V ,
2
2
y 2
V 1=6,89. 10 V / m ,
2
V 2=9,80. 10 V / m . )erivar una e"presión '. uatro cargas puntuales están localizadas en las esquinas de un cuadrado que tiene :,6 cm de lado. as cargas G, /G, B5G, y /G son colocadas sucesivamente alrededor del cuadrado como se muestra en la figura. Duál es la energ!a potencial eléctrica almacenada en el sistema, relativa a U X 6 a una separación infinita.
167
para el campo eléctrico E ( x " ! " # ) en alg@n punto. alcular la magnitud de la intensidad de campo en el punto
( 0,1,− 1 ) donde todas las
distancias están dadas en metros. -. Un electrón es localizado en el plano xy donde el potencial eléctrico depende de " e y como se
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muestra en la figura +el potencial no depende de z2. Usando la notación de vectores unitarios determine la fuerza eléctrica sobre el electrón.
11. Kres cargas eléctricas idénticas están relacionadas = = = = por q1 q2 q3 q 4.339 μC . as cargas
están fijas en los vértices de un triángulo rectángulo isósceles para el cual 2 s =2,0 m , como se representa en la figura. )etermine la cantidad de trabajo que se puede &acer en conjunto para mover las cargas &asta ocupar la configuración final donde s ' *+0 m
. Una esfera no conductora de radio a posee una carga #a. Hodeando a ésta &ay dos cascarones conductores delgados, de radios 4 y c a < - < /
los que llevan cargas #4 y #c. El cascarón más e"terno está conectado a tierra. Mbtenga e"presiones para el potencial de las otras dos esferas. /. )os dipolos,cada uno con momento dipolar de H.*0=0 C.m+ están localizados como se muestra en la figura, siendo su separación 0+2 nm. )etermine la energ!a potencial de los dipolos.
7. Si a&ora los dipolos se colocan en l!nea recta como se muestra en la figura, determine la energ!a potencial de los dipolos.
1;. )os cargas eléctricas puntuales guardan la relación #*'=# ' H+IJμ. a carga #* está fija en el origen de un sistema coordenado. a caga # está inicialmente localizada en un punto cuya posición r 2,1=−3,0 mi − 5,0 m j es . )etermine el ⃗
trabajo &ec&o por la fuerza eléctrica si # es movido a la posición dada por r 2, i=−6,0 mi + 3,0 m j . ⃗
167
12. Un dipolo ele^ctrico consiste en dos cargas puntuales de igual magnitud y signos opuestos que están separdos por una distancia ,=2 a . Uno
de estos dipolos es representado en la figura. +a2 )etermine el potencial en un punto arbitrario %_ sobre el eje y tal que y ) a * +b2 )etermine la forma que esta e"presión toma cuando y )) a? +c2 Usando la e"presión de la parte +a2 calcular el potencial cuando y ' =a, si # tiene una magnitud de # ' +2J nC y el valor de a es a ' 0+0H0m * +d2 )erivar una e"presión para el potencial en le punto % sobre el eje x. +e2 )etermine la forma de la e"presión cuando x ))a* +f2 Usando la respuesta de la parte +d2 determine el potencial en x ' =a para los mismos valores a # y a dados en la parte +c2.
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1'. Un n@cleo de &elio de carga
tiene una masa
Q @e =2 e − 27
@e =6,646. 10
y que kg
desplazamiento de una cuarta carga idéntica desde el infinito &asta el cuarto vértice.
es
liberado desde el reposo en una región del espacio donde &ay un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5 kN / C dirigido &acia el norte. )etermine +a2 la velocidad del n@cleo de &elio en el instante en que se &a movido una distancia , = 0,765 m * +b2 el cambio en el potencial eléctrico durante su desplazamiento. Q e =−e y que tiene una
14. Un electrón de carga
masa
− 31
e =9,11.10
kg es liberado desde
el reposo en una región del espacio donde &ay un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5 kN / C dirigido &acia el este. )etermine +a2 la velocidad del electrón en el instante en que se &a movido una distancia , = 1,0 m * +b2 el cambio en el potencial eléctrico durante su desplazamiento. 1,. %ara el cuadrupolo eléctrico representado en la figura. +a2 )erivar una e"presión del potencial eléctrico en un punto arbitrario % sobre el eje x tal que x ) a* +b2 determine la forma de esta ecuación cuando el valor de x es muc&o mayor que el valor de a, es decir, cuando x )) a* +c2 determine el Q=8,0 0C , potencial neto en % si a =0,00286 m
1. Un conductor esférico de radio 8* está cargado a 0 " . uando se conecta mediante un fino y largo alambre a una segunda esfera conductora situada lejos de él, su potencial cae a * " . Duál es el radio de la segunda esfera. 1/. Un anillo cargado uniformemente, de radio a y carga G, se encuentra sobre el plano y6 con su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual se coloca 10 se sit@a sobre el eje x en x ' a. +a2 )etermine el potencial eléctrico en cualquier punto del eje x debido al sistema de cargas. +b2 )etermine el campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje ". 17. a varilla de plástico ilustrada en la figura tiene una longitud , sobre ella se &a distribuido una carga con una densidad lineal no uniforme dada por = x donde - es una constante positiva.
onsiderando que " ' 0 en el infinito, determine +a2 el potencial en el punto % 1 y +b2 el potencial en %/* +c2 Si una carga #6 se mueve desde % 1 &asta %/ Duál es el trabajo desarrollado
y x X a* +d2 determine la
energ!a potencial eléctrica para esta configuración de cargas.
1-. Kres cargas idénticas
q =2,6 μC están fijas en
los vértices de un rectángulo de dimensiones , = 3 =0,12 m , como se muestra en el diagrama. )etermine +a2 El potencial eléctrico neto en el cuarto vértice, +b2 el trabajo neto &ec&o para ensamblar dic&a configuración, +c2 la cantidad de trabajo &ec&o por el campo eléctrico durante el 167
2;. Un cilindro no conductor tiene una distribución de carga dada por una densidad de carga volumétrica 2 )= )0 ( 1 −D r ) para r $0
+ . es una constante2. +a2 encuentre
el potencial eléctrico en puntos e"teriores e interiores a la distribución de carga, +b2 Duál es el valor de .
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21. )os lados de un longitud de sus positivamente =3,70 0C / m
no conductor cuadrado cuya lados es a son cargados con una densidad . +a2 alcular el potencial
eléctrico en el punto %. % está en la esquina del cuadrado. +b2 calcular el trabajo sobre un protón para desplazarlo desde el infinito &asta el punto %
2,. )os esferas metálicas tienen =+0 cm de radio y llevan cargas de :*0 nC y =0 nC , respectivamente, asumiendo que las cargas son distribuidas uniformemente y que sus centros están separados /,6 m. +a2 )etermine el potencial en el punto medio de la l!nea que une sus centros. +b2 encuentre el potencial sobre cada esfera. 2-. onsidere un cilindro de material no conductor cuyo radio es 80 y su longitud es infinita con una
densidad de carga volumétrica )= A r
2
donde
r es
la distancia medida desde el eje del cilindro. alcular la diferencia de potencial entre un punto % y la superficie del cilindro. % está a un valor de
r=
22. # lo largo del eje de un disco uniformemente cargado, en un punto situado a 6,8 m del centro del disco, el potencial es :6 = y la magnitud del campo eléctrico es :6 =>m* a una distancia de 1,7 m, el potencial es 06 = y el campo tiene un módulo de /5,7 =>m. )etermine la carga total residente en el disco. 2'. onsidere un cable coa"ial muy largo. El conductor interior tiene a y es mantenido a un potencial " 0. El conductor e"terior tiene un radio e"terior 4 y esta conectado a tierra. )etermine la función potencial en el espacio entre los conductores.
2 $ 0 3
. #suma que el cilindro es cargado
positivamente y establezca claramente el signo de la diferencia de potencial V ( 9 ) −V ( 0 ) .
2. Una esfera no conductora es cargada negativamente 3 con una densidad de carga dada por )= A r ,
donde # es una constante. Si el radio de la esfera es 80. +a2 calcule la magnitud de la diferencia de potencial entre la superficie de la esfera y un punto < % situado a una distancia r $0 de su centro. +b2 Establezca el signo de la diferencia de potencial V ( r ) −V ( $0 ) y dar una e"plicación f!sica 24. as dos placas de un condensador están separadas una distancia d y mantenidas a potenciales 6 y " 0. #sumiendo despreciable el efecto de los bordes, determine +a2 el potencial en cualquier punto dentro de las placas y +b2 las densidades de cargas superficiales en las placas
clara +no matemática2 para este signo. Si la carga total de la esfera es G, calcule #.
2/. onsidere una planc&a no conductora con un espesor d en la dirección y e"tendiéndose al infinito en las direcciones x y 6 , la planc&a lleva una
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Física General III
Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García 3
densidad de carga uniforme )=1,45 μC / m Si
.
d =1,25 m y el punto medio está en y ' 0,
encuentre la diferencia de potencial entre ! =0 y ! =+ 0,45 m
distancia desde el centro de la esfera. El radio de la esfera 80. +el signo de la carga es incluido en #2. +a2 si tomamos " ' 0 en r ' 0 +el centro de la esfera2, $0 = r encuentre el potencial en 3 . +b2 Si la carga total de la esfera es 1/ , encuentre el valor de # en función de 8 , 1 y ( 0 . 0
27. Un tubo cil!ndrico &ueco de radio interno 8 A y radio e"terno H 4 es &ec&o de un material no conductor y tiene una densidad de carga −3 ) = A r entre 8 A y 8 B y la densidad de carga
es cero en todas las demás regiones. +a2 )etermine el campo eléctrico a un distancia arbitraria r desde el eje del tubo tal que $ A < r
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