Capitulo IV. Fisica II. Tensión Superficial y Capilaridad
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Descripción: FISICA 2: TENSION SUPERFICIAL...
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Física General II
Tensión Superficial y Capilaridad
Optaciano Vásquez García
CAPITULO IV TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD CAPILARIDAD
253
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
4.1
Optaciano Vásquez García
TENSION SUPERFICIAL. Si depositamos con cuidado sobre el agua una aguja de coser de acero engrasada, o cuando depositamos un clip sobre el agua éstos objetos puede flotar, formando en la superficie del agua una pequeña depresión y permanecen sin hundirse, aunque la densidad de la aguja y del clip puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua. Las fuerzas que soportan la aguja y el clip en dicha posición no son las fuerzas de flotación flotación sino más bien son las fuerzas debidas a la tensión superficial (F st). Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b . El ascenso o descenso se deben a la tensión superficial.
T ubo de vidri o sume sumer gi do en agua; ( b) Tubo T ubo de vidri o limpi limpi o sume sumer gi do en mer mer curi o. Figura 4.2. ( a) Tubo El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3.
( a) G otas otas de agua forma for mada dass sobre una planta; planta; ( b) i nsecto nsecto caminando caminando sobr sobr e la superf superfii cie ci e del del agua.
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TENSION SUPERFICIAL. Si depositamos con cuidado sobre el agua una aguja de coser de acero engrasada, o cuando depositamos un clip sobre el agua éstos objetos puede flotar, formando en la superficie del agua una pequeña depresión y permanecen sin hundirse, aunque la densidad de la aguja y del clip puede llegar a ser hasta ocho veces mayor que que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1a y 4.1b.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua. Las fuerzas que soportan la aguja y el clip en dicha posición no son las fuerzas de flotación flotación sino más bien son las fuerzas debidas a la tensión superficial (F st). Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b . El ascenso o descenso se deben a la tensión superficial.
T ubo de vidri o sume sumer gi do en agua; ( b) Tubo T ubo de vidri o limpi limpi o sume sumer gi do en mer mer curi o. Figura 4.2. ( a) Tubo El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3.
( a) G otas otas de agua forma for mada dass sobre una planta; planta; ( b) i nsecto nsecto caminando caminando sobr sobr e la superf superfii cie ci e del del agua.
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Todos estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal que si se considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado de dicha línea ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la superficie y es perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver figura 4.4) es decir una molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en todas las direcciones dando lugar a una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la molécula B que tiene más moléculas de líquido en la parte inferior de su esfera de acción experimenta una fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la acción de una fuerza resultante dirigida hacia el interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la superficie del líquido produce la contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana elástica. Esta tendencia contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.
Figura 4.4 4.2
D escri scr i pci pci ón mole molecular cular de la tensi tensión ón super super fi cial ci al.
ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN SUPERFICIAL. Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un anillo de alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como se muestra en la figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo de ella se forma una película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha el interior del bucle de hilo, este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las superficies del líquido tirasen radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.
ni llo metá metálilico co con con un bucle de de hilo hil o extr extraído aído de de una soluci solución ón jabonosa jabonosa;; ( b) A nillo ni llo de alam alambre bre en el el que se Figura 4.5 (a) A nillo pincho pincho el cent centro ro del bucle ucle.. Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas de las manera que la resultante de las fuerzas es nula. Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6, consiste en un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador. Cuando el sistema se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el alambre de longitud L, L, se desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W 1, no sea demasiado grande, y para mantenerlo en
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equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca extraño la fuerza total F = W1 + W2, mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la lámina líquida, siempre que la temperatura se mantenga constante.
Figura 4.6. Alamb Alambre en forma forma de U co con un alam lambre móvil AB en equilibrio uilibri o bajo la acción cción de la tensión nsión sup superficial. rf icial. Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el diámetro molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil y se aumenta el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas superficiales.
4.3
COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL. Otro dispositivo muy adecuado para poner de manifiesto los fenómenos interfasiales y para comenzar un estudio cuantitativo es el que se muestra en la figura 4.7, el cual consta de un alambre delgado en forma de U y sobre el cual puede deslizar sin rozamiento un alambre ligero móvil de longitud L longitud L,, extraídos de una disolución jabonosa
Figura 4.7
Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.
Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una fuerza exterior Fex es decir para ampliar el área a temperatura constante es necesario realizar un trabajo, trabajo que resulta ser proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de tensión superficial, γ. Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será U s A
Donde, γ s es el coeficiente de tensión superficial. ΔA es el incremento de área superficial.
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(4.1)
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De acuerdo con esta definición el coeficiente de tensión superficial tiene como unidades al joule por metro cuadrado (J/m2) en el SI y al ergio por centímetro cuadrado (erg/cm 2) en el c.g.s El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en la forma.
U F .r F i . xi
U F x
Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior A 2l x
(4.2)
F, esta dado por (4.3)
Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos F x s (2 Lx)
F s
2l
(4.4)
La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la fuerza superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema internacional el coeficiente de la tensión superficial se expresa en Newton por metro ( N/m) y el sistema CGS absoluto, se expresa en dinas/cm. La equivalencia entre ambas unidades 1 N / m 1000 Dinas / cm
El valor del coeficiente de tensión superficial de una sustancia líquida pura en contacto con su propio vapor depende de la naturaleza de la sustancia. Si el gas circundante es inerte e insoluble en el líquido y no son intensos los fenómenos de absorción, el coeficiente de tensión superficial depende poco de la naturaleza del gas y su valor respecto al vacío se puede confundir con el valor de γ st con relación al gas. La experiencia demuestra que el coeficiente de tensión superficial de los líquidos disminuye con el incremento de la temperatura y que dicha disminución es, generalmente, función lineal de la temperatura anulándose cuando la temperatura del líquido se aproxima a la crítica T k ,. En la figura 4.8 se muestra la relación coeficiente de tensión superficial en función de la temperatura para el agua.
Figura 4.8
Relación tensión superficial – temperatura para el agua
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En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.
TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superfi cial para algunos líquidos a la temperatura de 20ºC
4.4
LIQUIDO
TENSION SUPERFICIAL (N/m)
Agua Mercurio Glicerina Aceite de ricino Benzol Keroseno Alcohol
0,073 0,50 0,064 0,035 0,03 0,03 0,02
SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE DE UN LÍQUIDO. Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la película está limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la película es convexa, al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo de ella, mientras que si la película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.9. Es decir,
Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación con aquella que experi menta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es convexa, la presión complementari a es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión complementari a es negativa “
(depresión)”.
Figura 4.9 4.4.1.
Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.
Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.
Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete es férico de área ΔA como se muestra en la Fig. 4.10. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del casquete son tangentes a la superficie esférica. La fuerza Δ F, aplicada al elemento diferencial ΔL de dicho contorno está dado por F s L
(4.5)
Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC . Por lo tanto, la componente de la fuerza paralela al radio OC , no será igual a cero. Es decir existirá una so brepresión. Del gráfico se observa que φ F 1 F . sen
(4.6)
F 1 S L.sen
(4.7)
Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene
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Figura 4.10. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para d eterminar la sobrepresión . Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a Δ F1, la fuerza resultante paralela al radio OC , es F 1
F 1 S sen L.
(4.8)
La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en un a circunferencia de radio r , por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación ( 4.8) se escribe
F 1
S
2 .r sen
(4.9)
Del gráfico se observa además
sen
r R
(4.10)
Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene
F 1
2 .r 2 S
R
(4.11)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p 0), viene expresado por F p
p p A
(4.12)
0
Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.11. La componente de esta fuerza en dirección vertical será F p
p p A' cos 0
(4.13)
Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección vertical será F p
p p A proy
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0
.
(4.14)
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La fuerza total en la dirección vertical se expresa
F p F p p p 0 A proy.
(4.15)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área A proy = πr 2, entonces la ecuación (4.15) se escribe
F p p p 0 .r 2
(4.16)
En la dirección Y , las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se compensan, por tanto se tiene
F y 0 2
p p .r
2
0
p
Figura 4.11
2 .r S
R
2 S
R
(4.17)
F uerza debida a la diferencia de presión para una gota
La ecuación (4.17) indica que si el coeficiente de tensión superficial permanece constante (temperatura constante), el exceso de presión en el interior de la gota es tanto mayor cuanto menor sea su radio. Por consiguiente si dos gotitas de diferentes tamaños, de un mismo líquido, se ponen en contacto, la mayor engullirá a la menor. Este fenómeno, llamado coalescencia, se presenta cuando en un recinto isotermo se encuentran presentes gotitas de diferentes tamaños de un mismo líquido. El fenómeno puede explicarse también desde el punto de vista energético, ya que el sistema tenderá adoptar como configuración de equilibrio estable aquélla que corresponda a un mínimo de energía potencial, es decir, aquella a la que corresponda un mínimo de extensión superficial para un mismo volumen total. La tensión superficial es uno de los factores más importantes de entre los que determinan el tamaño de las gotitas líquidas que forman los humus y las nieblas (aerosoles). Cuando un líquido está en contacto con su propio vapor a través de una interfase plana, la presión de la fase gaseosa recibe el nombre de presión de vapor. La presión de vapor de unas sustancia dad aumenta con la temperatura; así, las presiones de vapor del agua a 20°C y a 100°C son 17,533 y 760 Torr, respectivamente. El equilibrio al que nos referimos es un equilibrio dinámico, esto es, durante un intervalo de tiempo dado, el número de moléculas que pasan de la fase líquida a la de vapor a través de la superficie interfasial, es igual al que pasa de la fase gaseosa a la líquida. En el caso de una superficie curvada el equilibrio interfasial se establece cuando la presión capilar, es decir la diferencia de presiones p – p 0, es igual a la presión de vapor . Esta condición determina el tamaño de la gotas más pequeñas que pueden permanecer sin evaporarse en una atmósfera de vapor saturante.
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4.4.2.
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Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica. Pompas
Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios interior y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un casquete esférico de radio r , tal como se muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11
Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.
La componente de la fuerza Δ F, paralela al eje X, en este caso es F 1 F . sen
(4.18)
Teniendo en cuenta que ΔF = γ SΔL, la ec. (18), se escribe en la forma F 1 S L.sen
(4.19)
La fuerza resultante total en dirección horizontal es F 1
F 1 S sen L.
(4.20)
Del gráfico se observa que
L 22 .r
(4.21)
En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r , por el hecho de existir dos superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20), se tiene
F 1 S 4 .r sen
(4.22)
Teniendo en cuenta que senφ = r/R, la ecuación (4.22) se escribe 2
F 1
4 .r S
R
(4.23)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está dado por
F p p p 0 A'
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(4.24)
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En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p 0 es la presión atmosférica. Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.13, entonces la componente horizontal es F p
p p A' cos 0
(4.25)
Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec. Anterior se escribe F p
p p A proy 0
.
(4.26)
La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa
F p , x F p p p 0 Aproy.
(4.27)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área A proy = πr 2, entonces la ec. (4.27) se escribe
F p , x
p
p0 .r 2
(4.28)
Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta dirección es nula, es decir
F x 0 p p0 .r 2
p
4 S
R
4 .r 2 S R (4.29)
La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión complementaria, es directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia de presión es mucho mayor cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas e n los extremos de un tubo, la más pequeña obligará al aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará aún más pequeña y la grande incrementará su volumen.
Figura4.13. F uerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja. La diferencia de presiones puede ponerse de manifiesto mediante el sencillo dispositivo mostrado en la figura 4.14a, que incluso nos permite determinar el coeficiente de tensión superficial γ s de la disolución jabonosa empleada para producir la pompa. Para ello basta medir el radio R de la pompa y deducir el valor de Δp a partir del desnivel h que se observa en el tubo manométrico acoplado. La ecuación (4.29) pone de manifiesto que cuando mayor es la pompa menor es la presión int erior en la misma. Este efecto puede demostrarse fácilmente soplando dos pompas de jabón en los extremos del tubo de la figura 4.14b. Cuando se cierra la llave A y se abren las llaves B y C, el aire pasará de la pompa más pequeña hacia la
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mayo, de modo que la pompa más pequeña se hará aún menor y la más grande crecerá. Por otro lado si las pomas tienen el mismo tamaño existirá un equilibrio inestable.
Figura 4.14
4.4.3.
(a) dispositivo para medir la tensión superficial de una burbuja, (b) dispositivo que muestra el efecto del radio de curvatura en la tensión superficial de una pompa
Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.
Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer lugar, existe la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general θ En la figura 4.15, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la superficie que pasa por O. Al trazar un plano P 1 por la normal, la intersección de este plano con la superficie se genera una sección normal.
Figura 4.15
E squema para mostrar la curvatura de una superfi cie.
Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1 B1 , cuyo radio coincide con el de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera. Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto O dará diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.14, se muestran dos secciones normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el arco A1 B1 y la otra el arco A2 B2 , siendo sus radios de curvatura R 1 y R 2, respectivamente. La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como
C
1
R1
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1
R2
(4.30)
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Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos secciones normales A1 B1 y A2 B2 , tal como se muestra en la figura 4.16, los radios de curvatura de las secciones normales so R 1 y R 2.
Figura 4.16 F uerza debido a la tensión superfi cial para una superfi cie de forma arbitrari a Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces ΔL 1 será la longitud de DE y ΔL2 la longitud de DG y EF , entonces el área del cuadrilátero será
A L1
L2 .
(4.31)
La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE , será
F 1 S L1
(4.32)
La componente de ΔF 1 en dirección del radio OC 1 es diferente de cero, por tanto F 1 ' F 1 sen
(4.33)
De la figura se obtiene la relación trigonométrica
L 2 2
sen 1
O A1
R1
A1 C 1
L2
sen 1
2 R1
(4.34)
(4.35)
Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) s e obtiene '
F 1
S L1 L2 2 R1 '
F 1
S A 2 R1
En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.
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Tensión Superficial y Capilaridad S A
'
F 1
2 R1
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(4.36)
Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG, obteniéndose '
F 2
S A 2 R2
(4.37)
Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)
S A
'
F 2
2 R2
(4.38)
La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será
A A F ? 2 S 2 S 2 R1 2 R2
(4.39)
Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la for ma
F p
p p A
(4.40)
0
Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la tensión superficial, resulta F p F '
p p A S A 0
1
R1
1
p p S 0
R1
R 2 1
R2 1
(4.41)
A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace , esta debida a la superficie de un líquido de forma arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales, entonces la ec. (4.41) se escribe
p p0 S p p0 R R 1
1
2 S R
Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el otro es igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene
p p0 S 1
1
R
p p0 4.5.
S
R
(4.42)
ANGULOS DE CONTACTO Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que separan un líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de láminas
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superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared sólida y un fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.17, conjuntamente con sus láminas. Debe notarse además que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se encuentra asociada una determinada tensión superficial. Así por ejemplo: FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido FSV = Tensión superficial de la lámina sólido -vapor FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor
Figura 4.17. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido – vapor . La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la tensión superficial sólido-vapor (F SV) y la tensión superficial sólido-líquido (F SL). Para determinar la relación entre estas tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección como se muestra en la figura 4.18, y se aplica las ecuaciones de equilibrio
(a)
Figura 4.18.
(b)
(c)
(a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el I oduro de metileno en contacto con vidrio, (b) menisco cóncavo y (c) I nteracción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el líquido (agua).
Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan.
F x 0 A F LV sen
(4.43)
F y 0 F SV F SL
F LV cos .
(4.44)
Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión. La ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-vapor y el
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ángulo de contacto θ, mientras que la ecu ación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el cual es una medida de la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la diferencia entre la fuerza de tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial s ólido-líquido. En la figura 4.18, se observa que F SV es mayor F SL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida. FSV > FSL → 0 < θ < 90º
(4.45)
En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las moléculas del líquido como se muestra en la figura 4.19a.
Figura 4.19
(a) F uerzas de adhesión y cohesión en la interfase vidrio-agua, (b) fuerzas de cohesión y adhesión en la interfase vidri o-mercuri o
Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la curvatura de la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.20.
(a)
Figura 4.20
(b)
(c)
(a) DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio, (b) menisco convexo y (c) interacción entre las moléculas del vidri o y las de mercurio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared sólida i líquida, se obtiene
F x 0 A F LV sen180º F y 0
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(4.46)
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F SV F SL F LV cos180º
(4.47)
En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión superficial sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones se dice que el fluido no moja al vidrio. FSV < FSL → 90º < θ < 180º
(4.48)
Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva. Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se muestra en figura 4.21, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas condiciones las ecuaciones de equilibrio nos dan
F x 0
A F LV
(4.49)
F y 0 F SV
Figura 4.21
F SL
(4.50)
DCL de la intersección de láminas: sólido-lí quido-vapor para el agua en contacto con una pared de plata.
Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por ejemplo, el agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en forma análoga el mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro. Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es cóncava, mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se le llaman meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el ángulo de contacto como se muestra en la figura 4.22.
Figura 4.22
E fecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con detergente, el líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido no moja la superficie (θ > 90°)
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Física General II
4.6
Tensión Superficial y Capilaridad
Optaciano Vásquez García
CAPILARIDAD. Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido lí quido en un tubo abierto de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se presenta este efecto se les llama capilares (análogo a cabello). En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta situación el fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.23.
Figura 4.23
Ascenso de un fluido en un capilar.
Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió, como se muestra en la figura 4.24, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (F S) , el peso de la masa líquida (W ), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a la presión sobre la superficie AB.
F igur a 4.24
DCL del flui do que ascendió en el capilar.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F y 0 F S
W
(451)
Si el radio interior del tubo es r , el fluido líquido estará en contacto con la pared del capilar a lo largo de una longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será
269
Física General II
Tensión Superficial y Capilaridad
Optaciano Vásquez García
F S LV 2 .r cos
(4.52)
Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será
W
gV
2
g .r
h
(4.53)
Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta
h
2 LV cos
gr
(4.54)
La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto menor es el radio r del capilar como se muestra en la figura 4.25a. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en tubos de radios muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente de tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ = 0º ), la ecuación (4.54) puede escribirse
h
2 LV gr
(4.55)
Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión complementaria es positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la vasija, esta situación se muestra en la figura 424b, la altura h que desciende el fluido en el capilar se determina también con la ecuación (4.54).
Figura 4.25
(a) L a elevación del fluido en el capilar depende del radio del tubo, (b) Descenso de un fluido líquido en un capilar .
Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo constituye la infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento de las mechas, la absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.
270
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
PROBLEMAS RESUELTOS
S
K x
d1 d 2
Problema 1. Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm de diámetro exterior está colgado de un resorte, cuyo coeficiente de deformación es igual a 0,98 N/m, y se encuentra en contacto con al superficie de un líquido. Al descender la superficie del líquido el anillo se desprendió de ella en el momento en que el resorte se había alargado 5,3 mm. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido.
x
5,3mm;.. S
26mm;.. K 0,98 N / m;..
S
S
32, 4.10 N
3
25 26 10 3 3
/ m...........................Rta.
Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la figura, provisto de un travesaño móvil MN , hay extendida una película de agua jabonosa. (a) ¿Qué diámetro deberá tener el travesaño de cobre MN para poder estar en equilibrio?. (b) ¿Qué longitud tiene este travesaño si sabemos que para desplazarlo 1 cm hay que realizar un trabajo igual a 4,5.10 -5 J?. Para el agua jabonosa γ S = 0,045N/m.
Datos e incógnitas. 25mm;..d 2
0,98 5,3.10
Problema 2.
Solución
d 1
Optaciano Vásquez García
?? .
En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza elástica (F e), el peso del anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial (FS).
Solución Parte (a). Datos e incógnitas
S
El valor de la fuerza de tensión superficial es
0,045 N / m;.. Cu
3
8600kg / m ;..d
??.
En la figura se muestra el DCL del travesaño en la posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas: la fuerza de tensión superficial (F S) y el peso (W).
longitud S 2 .r 1 2 .r 2 F S S d 1 d 2 .......... .......... .(1) F S
S
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene F y 0
F e F S W .......... .......... .......( 2)
Debido a que el peso del anillo es despreciable, la ecuación anterior se escribe en la forma FS F e
. S d1 d2 K x
271
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
La fuerza debido a la tensión superficial es
F S
F S
después que la anterior, hallar cuánto tiempo tardará en salir 10 gramos de alcohol. El diámetro del cuello de la gota en el momento en que ésta se desprende tómese igual al diámetro interior del tubo.
longitud S 2 L S
Optaciano Vásquez García
Solución
2 S .......... .......... (1)
Datos e incógnitas
El peso del travesaño es d
W mg gV
al .
d L .......... .......... ..(2) 4 2
W g
2mm;..t 1 s;..t T
??;..m alcohol
10 gr ;
0,02 N / m
En la figura se muestra el DCL de la gota un instante antes de desprenderse del tubo, sobre ella actúan: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene F y 0
F S W .......... .......... ....( 3)
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta 2 S L d
d
2
L g
4 8 S
8(0,045 )
g
(8600 )(9,8)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene d 1,17 mm.......... .......... ... Rta.
F y 0 F S W
longitud mg S 2 .r mg S
Parte (b) Datos e incógnitas
S 2 .
L ??;.. y 1cm;.. S
0,045 N / m;..U 45 J
m
Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la película jabonosa es proporcional al área, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de tensión superficial, entonces se tiene
d
mg
2
S d
g
0,022.10 3
9,8
m 0,0128kg
Para determinar el número de gotas (N), que hay en 10 gramos de alcohol se usa una regla de tres simple, esto es
U S A U S ( 2 L y )
por tan to L
U
2 S y
1 gota
45.10 6
20,045 10 2
N
0,0128 kg
10.10 3kg
entonces
L 5cm.......... .......... .......... ..... Rta.
N
780 gotas
Problema 3. Finalmente se determina el tiempo que demora e salir 10 gramos de alcohol
El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a través de un tubo vertical que tiene 2 mm de diámetro interior. Considerando que cada gota se desprende 1 segundo
272
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
780 gotas 1 seg
t T
N .t
t T
13 minutos... .......... .....Rta.
780 seg
Optaciano Vásquez García
T ??;.. hg 13600 kg / m
3
;..r 1mm;..R
En la figura se muestra las gotas en estado inicial y final.
Problema 4. De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el momento de desprenderse. Considerar que las gotas son esféricas. El diámetro del cuello de la gota en el momento de desprenderse tómese igual al diámetro interior del tubo.
Solución
En primer lugar se determina el área total de las gotas pequeñas A
Datos e incógnitas.
2 4 .r 2
8 .r 2 .......... ......( 1)
En forma análoga se determina el área de la gota formada después de la unión de las gotas pequeñas
S 0,073 N / m;..r 1mm;..R ?? :
En la figura se muestra el DCL de la gota en un instante antes de desprenderse del tubo, las fuerzas que obran son: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión superficial (FS).
A
4 R ...........................(2)
2
La energía liberada al disminuir la superficie, como consecuencia de la unión de las gotas será E U i ff
A A0 Hg
8 .r 4 R E 4 2r R .......... .......( 3) 2
2
Hg
2
2
Hg
Como no se conoce el valor de R se determina teniendo en cuenta que la masa del fluido antes de la unión de las gotas es igual a la masa del fluido después de la unión, es decir Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
m1
m2
M
2m M F y 0 F S W
2 V r
S longitud mg
2
S 2 .r 43 R 3 g R 3
3 S r 2 g
3
30,073.10
3
4 3
V R
4 3
R
r
3
.r
R 3
3
2 .......... .......... .......( 4)
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
21000 9,8
2 E 4 2r 2 r .3 2 Hg 2 4 .r 2 2 2 3 Hg 2 4 10 3 2 2 3 0,5 6 E 2,57.10 J .......... .......... ........( 5)
R 2,23 mm........ .......... ........Rt a.
Problema 5. ¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que resulta de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de radio cada una?.
La energía de 2,57.10 -6 J, se utiliza para el calentamiento de la gota de mercurio formada. Según la calorimetría se tiene
Solución Datos e incógnitas
273
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
E
Optaciano Vásquez García
Datos e incógnitas
m Hg ce T
0, 24 2,57.10 6 Hg 43 R3 0, 033 T
1
0, 24 2, 57.10 6 13600 43 2 3.10 3 T 1,64.10
4
p a
3
(0, 033) T
??;..d
0,01mm;..h
20 cm;.. p 0
765 mmHg
En la figura se muestra la burbuja ubicada en el interior del agua.
º C.........Rta.
Problema 6. ¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de tensión superficial para aumentar al doble el volumen de una pompa de jabón que tiene 1 cm de radio? El coeficiente de la tensión superficial del agua jabonosa tómese igual 0,043 N/m.
Solución Datos e incógnitas r 1 1cm;.. S 0,043 N / m;..U ?? .
Siendo la presión interior del aire p a y la presión p en un punto inmediatamente fuera de la burbuja, la diferencia de presiones se expresa como
En primer lugar se determina el nuevo radio de la pompa debido al aumento de volumen V 2 4 3
2V 1
.r 23 2 43 .r 13
r 2
r 1 3 2
r 2
10 2 2
1 3
.......... .......... ....(1)
A1
p
p a
p
2 S R 4 S d
.......... .......... ....(1)
Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p
Se procede ahora a determinar el área total de la superficie de la pompa,
A1
p a
p p 0
24 .r .......... .......... ....( 3)
2 4 .r 12 .......... .......... .....( 2)
gh.......... .......... ....( 2)
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
2 2
p a
El trabajo se procede a determinar mediante la ecuación
p 0
p 0
9800 (0,2)
p 0
31160 N / m 2 .......... ...( 3)
U i ff A2 A1 S 8 Hg r r 2 2
2 1
p a
2 2 8 0,043 2 .10 2 10 2 U i ff 64 J......... .......... .......... ...Rta. 1 3
gh
4 S
d 40,073 0,01.10
3
En seguida se procede a convertir la presión de 31160 N/m2 a mmHg 1mmHg
133 ,3 N /
m2
X 31160 N / m 2
Problema 7 Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que hay dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm que se encuentra a la profundidad de h = 20 cm bajo la superficie libre del agua. la presión atmosférica exterior es p0 =765 mmHg.
X 233 ,76 mmHg...... ........(4 ) Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta
Solución
274
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
Optaciano Vásquez García
Solución
p a 765 mmHg 233 ,75mmHg
Parte (a) p a 998 ,76 mmHg...... .......... Rta.
Datos e incógnitas d 1mm;..h 2,8cm;.. R ??;..H ' ??.
Problema 8.
En la figura se muestra el DCL del agua ubicada dentro del capilar
La presión atmosférica que hay dentro de una pompa de jabón es de 1 mmHg mayor que la atmosférica. ¿Qué diámetro tiene esta pompa?. El coeficiente de la tensión superficial de la solución jabonosa tómese igual a 0,043 N/m.
Solución Datos e incógnitas. p p 0
1mmHg ;..d
??;.. S
0,073 N / m
En la figura se muestra la situación descrita en el enunciado
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F y 0
La diferencia de presión para una pompa de jabón viene expresada por la relación
pa
pa
F AB F S W F CD .......... .(1) Debido a que las fuerzas F AB y FCD son debidas a la presión atmosférica y actúan en la misma área, entonces se cancelan y la ec. (1) se escribe F S W
4
p0
p0
S
R 8
S LC cos mg
S
d
S 2 .r cos gV
S 2 .r cos g .r
Entonces el diámetro será
d
d
8 S
pa
p0
8 0, 043 N / m
133,3 N / m
2
h.......... .(2)
Despejando θ se obtiene
1mmHg
8 0, 043 N / m
2
2
cos
. g.r.h 2 S
9800 0,5.103 2,8.102 2 0, 073
cos 0,939726
2
20º................(3) De la geometría del menisco se obtiene
Problema 9. En un recipiente con agua se introduce un tubo capilar abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm. La diferencia entre los niveles de agua en el recipiente y en el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a) ¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco en el tubo capilar?.(b) ¿Cuál es la diferencia entre los niveles del agua en el recipiente y en el tubo capilar si este líquido mojara perfectamente?.
275
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
cos R
R
0,939726
r
h
R
0,5
h
0,939726 0,532 mm........ ......Rta.
Optaciano Vásquez García
2 S cos
. g .r 20,03cos 0º
880 9,8 0,5.10
h 13,9 mm........
3
.......... ...Rta.
Parte (b) Cuando el fluido moja perfectamente la superficie el ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y la altura en este caso será h'
h'
Problema 11 Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra el mercurio que hay en dos tubos capilares comunicantes cuyos diámetros respectivos son d 1 =1 mm y d 2 =2 mm. Considere que el mercurio no moja en absoluto.
2 S cos 0º
. g .r
Solución
20,073
9800 0,5.10
3
Datos e incógnitas
2,98 cm........ .......... .Rta. r 1 0,2mm;..r 2 1mm;.. 180 º ; S 0,5 N / m h ??.
Problema 10 ¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo capilar cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere que el benzol moja perfectamente.
En la figura se muestra la ubicación del mercurio en los capilares comunicantes
Solución Datos e incógnitas h ??;..r 0,5mm;.. S 0,03 N / m
2
En la figura se muestra el DCL del benzol dentro del capilar
La sobrepresión p1, producida por la superficie convexa del mercurio en la rama más delgada del tubo, se equilibra con la debida a la diferencia entre los nivele de Hg, en ambas ramas y con la sobrepresión p2 en la rama ancha, esto es p1
p 2
. g .h.......... ....(1)
Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se tiene que θ =180º, y las presiones complementarias será
Del problema anterior se tiene que
276
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
p1 p 2
2 S r 1
.......... .........( 2)
2 S r 2
h
.......... .......( 3)
Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta 2 S
r 1
h
h
h
2 S
r 2
h
. g .h
2 S r 2 r 1
3
2 S cos
. g .r 4 S cos 0º
. g .d 40,03
800 9,8 10.10
3
0,15 mm........ .......... ...Rta.
Problema 13
. g .r 1 .r 2
20,5 1.10
Optaciano Vásquez García
0,5.10
13600 9,80,51.10
3
Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se introduce en un líquido. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido sabiendo que la cantidad de éste que se eleva por el tubo capilar pesa 88.10 -2 N.
6
Solución
7,5 mm........ .......... ......Rta.
Datos e incógnitas
Problema 12 r
¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la mecha de una hornilla de petróleo par que este último suba desde el fondo del depósito hasta el mechero de la hornilla (esta altura es h = 10 cm)?. Considerar que los poros son tubos cilíndricos y que el petróleo moja perfectamente.
2mm;.. S
??;..W L
2
88.2.10 N
En la figura se muestra el DCL del fluido en el capilar y las fuerzas que actúan sobre el fluido
Solución Datos e incógnitas d
S
??;..h
10cm;..
0º ;.. P
800 kg / m
3
0,03 N / m.
En la figura se muestra el DCL del petróleo en capilar formado en la mecha.
Del equilibrio de fuerzas se tiene F y 0
S LC cos W S 2 .r cos W .......... ..(1) Asumiendo que el fluido moja perfectamente el capilar cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe S 2 .r W
La altura del petróleo en el capilar se determina a partir de la ecuación.
277
S
S
W 2 .r
88,2.10 2
2 2.10 3
7,02.10 2 N / m......... Rta.
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
Problema 14.
S
Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está introducido verticalmente en un recipiente con agua. ¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el líquido que hay dentro del tubo capilar para que éste se encuentre al mismo nivel que el agua que hay en el recipiente ancho?. La presión exterior es p0=760 mmHg. Considere que el agua moja perfectamente.
Optaciano Vásquez García
0,073 N / m;.. R
??;.. p 0
750 mmHg .
En las figuras se muestran al tubo capilar antes y después de sumergirlo
Solución Datos e incógnitas r 0,16mm;.. S 0,073 N / m;.. p ?? p 0 760 mmHg 101308 N / m 2
Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el agua en el depósito se debe insuflar aire como se muestra en la figura.
( a) antes de sumergir
(b) después de sumergir.
Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen del aire atrapado dentro del tubo son y
p 0
V0 .......... ....(1)
Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión y el volumen del aire atrapado serán
y
p
V
(2)
Según la ley de Boyle, debe cumplirse que pV
Analizando el menisco que forma el fluido se tiene 2 S p p '
p'
p
p0
p
102220, 5N / m 2
p
767 mmHg................Rta.
p 0V 0 .......... .......... ...( 3)
En la figura se muestra la posición del tubo en el fluido
R 2 S
p
R
2 0, 073 3
0,16.10
Problema 15. Un tubo capilar está introducido verticalmente en un recipiente con agua. El extremo de este tubo está soldado. Para que el nivel del agua fuera igual dentro del tubo que en el recipiente ancho hubo que sumergir el tubo en el líquido hasta el 15% de su longitud. ¿Qué radio interior tendrá el tubo?. La presión exterior es igual a 750 mmHg. Considerar que el agua moja perfectamente.
La presión se calcula a partir del menisco formado por el fluido dentro del tubo
p p 0
Solución
2 S R
p p 0
Datos e incógnitas
278
2 S R
.......... ......( 4)
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta que V0 = A0h0, se tiene
d 1 S
R 2 S
R
p 0 h0
h0 h1 p 0 h1
h0 h1
R
??;.. p 0
13600 kg / m
3
758 mmHg .
p 0
p B
. g .h.......... ..(1)
2 S
p B pV , Hg p B
.......... .......... ...( 5)
100
1,5cm;.. Hg
Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se tiene
pV , Hg
R
4 S d
................(2)
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
h0
p 0
1,5 h0 100 20,073 100 1,5 p 0
p 0
1,5
0,5 N / m;..h
p A
Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0 , la ecuación (5) se escribe 2 S h0
5mm;..d 2
De la hidrostática se tiene
2 p 0 S h0 h1 A0 p 0 A0 h0 R 2 p 0 h0 p 0 S R h0 h1 2 S
Optaciano Vásquez García
pV , Hg
4 S d
. g .h..........
......( 3)
Debido a que la presión del vapor de mercurio es muy pequeña pV , Hg . 0 , la ec. Anterior se escribe
1,5750 133 ,3
p 0
4 S d
. g .h.......... .......... .....( 3)
Caso (a), Remplazando los valores dados resulta
R 0,096 mm........ ......Rta.
40,5
13600 9,8h 5.10 3 h 755 mm........ .......... .......... Rta.
758 (133 ,3)
Problema 16 El tubo barométrico A de la figura está lleno de mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5 mm y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar directamente la presión atmosférica por la columna de mercurio de este tubo?. Hallar la altura de la columna en cada uno de los casos antes mencionados, si la presión atmosférica es p0 = 758 mmHg. Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se tiene 40,5 758 (133,3) 13600 9,8h' 2 1,5.10
h'
757 mm........ .......... .......... Rta.
Problema 17. El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75 cm. ¿Qué corrección habrá que introducir al medir la presión atmosférica por la altura de la columna de mercurio de este tubo?. Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Solución Datos e incógnitas d 0,75cm;.. Hg 13600 kg / m 3 ; S 0,5 N / m corrección ?? . En la figura se muestra el tubo barométrico sin considerar la tensión superficial
Solución Datos e incógnitas
279
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
Optaciano Vásquez García
A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm h1
h2
2 mm.......... ......... Rta.
Problema 18. ¿Qué error relativo cometemos al calcular la presión atmosférica, igual a 760 mmHg, por la altura de la columna de mercurio de un tubo barométrico cuyo diámetro interior es iguala: (a) 5 mm y (b) 10 mm? Considerar que el mercurio no moja en absoluto.
Solución Datos e incógnitas
Aplicando la ley de la hidrostática se tiene
p 0
p 0
pV , Hg
p 0
0 13600 9,8h1
p B
e R ?? .. p 0 760 mmHg ;..d 1 5mm;..d 2 10mm;.
. g .h
p A
. Hg 13600 kg / m 3 ;.. S 0,5 N / m;.. pV , Hg 0
Hg g .h1
Del problema anterior se tiene que cuando no se tiene en cuenta la tensión superficial, resulta p 0 . g . H
h1
p 0 133280
.......... .......... .......... ........( 1)
H
En la figura se muestra el tubo barométrico teniendo en cuenta los efectos de tensión superficial
p 0
. g
.......... .......... .....( 1)
Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial, se obtiene p A p o p B' . g .h
p 0 p B pV , Hg . g .h p 0 p 0
4 S
. g .h
d 4 S
. g gd
h.......... ........( 2)
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
H Del gráfico se observa que tomando los puntos de igual presión, resulta p A
p 0
p 0
p 0 . g
p o
p
B
4 S
p B'
gd
. g .h2
e R
h 2
h.......... .......... ....( 3)
h2 .......... ........( 2)
40,5
13600 9,8 7,5.10
3
H h h
p0 p0 4 S . g .g .g .d e R p0 4 S . g .g .d
Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene h1
. g .d
El error relativo viene expresado por
. g .h2
4 S
. g .h2
pV , Hg
d 4 S
280
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
4 S e R
e R
Optaciano Vásquez García
. g .d
p0 4 S . g .g .d 4 S p0 d 4 S
F S
F S
S longitud S 2 L .......... .......... (2)
El peso de la aguja será
......................(4)
Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será
W e R e R
40,5
760 133 .3 5.10
3
e R
4
2 S L
. ac .d
3
.......... .(3)
2
. L. g
4 8 S
d
40,5
760 133 .3 10.10
. ac .d 2 . L. g
0,396 %......... .......... .......... .. Rta.
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
40,5
Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será
e R
W ac .V . g ac .r 2 L g
. ac g
80,073
7700 9,8
.
40,5
0,197 %......... .......... .......... .. Rta.
d 1,57 mm........ .......... .......... ...Rta.
Problema 19.
Problema 20.
Sobre la superficie del agua se depositó cuidadosamente una aguja de acero grasienta (suponiendo que el agua no moja en absoluto). ¿Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para mantenerse a flote?.
¿Flotará en la superficie del agua un alambre grasiento de platino de 1 mm de diámetro?. Suponga que el agua no moja en absoluto.
Solución
Solución
Datos e incógnitas
Datos e incógnitas
ac S , w
3
7700 kg / m ; w
3
1000 kg / m ;..d
d 1mm;.. S
0.073 N / m;... pt
21400 kg / m
3
??;
Para verificar si flota o no el alambre de platino, se calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso del alambre y se aplican las ecuaciones de equilibrio al DCL mostrado en la figura
0,073 N / m
En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando en el agua por acción de la tensión superficial, las fuerzas que actúan son: el peso (W) y la fuerza de tensión superficial que tiene una dirección vertical porque el agua no moja en absoluto
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F S S longitud
F y 0
F S S 2 L .......... .......... (1)
F S W .......... .......... ....(1)
281
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
El peso de la aguja será W W
mg
pt .V . g
. pt .d
2
. L. g
4
Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene p p 0 Hg . g .h.......... .......( 2)
L g
2
pt .r
Optaciano Vásquez García
Comparando las ec. (1) y (2) resulta
.......... .(2)
d
d
4 S
Hg . g .h
40,5
13600 9,8 3.10
2
Para que exista equilibrio debe cumplirse que
F Y 0
0,5 mm........ .......... .......... ........Rt a.
FS W 0 2 S , w L
Pt L.g .d 2
4
Problema 22.
0
Del fondo de una laguna se separó una pompa de gas de diámetro d . Durante su ascenso a la superficie su diámetro aumentó, η veces. Si la presión atmosférica es normal p0 y la densidad del agua es ρ, y considerando que el proceso de expansión del gas es isotermo.
2
2 0, 073 4 21400 9,8 1.10 3 0 0,146 0.1647 0 0,0187 0..........................(3)
(a) (b)
De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota puesto que no existe equilibrio ya que el peso es mayor que la fuerza de tensión superficial.
Calcular la profundidad de la laguna en dicho lugar en función de d, η , γS ; p0 y ρ. ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4 μm; η =1,1; ρ =1000kg/m 3; γS =0,073 N7m y p 0 =101300 N/m2?.
Solución
Problema 21.
El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del lago
En el fondo de un depósito que contiene mercurio hay un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener este orificio para que cuando la altura de la columna de mercurio sea de 3 cm éste último no pueda salir de él?.
Solución Datos e incógnitas
d max Hg
??;..h
3cm;.. S
0,5 N / m;.
13600 kg / m 3
En la figura se muestra la situación planteada en el problema
La diferencia de presiones debido a la tensión superficial es 4 S p a p d 4 p a p S .......... ...(1) d Aplicando la hidrostática se determina la presión p
p po
. g .h..........
......( 2)
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta Del menisco debe observarse que la diferencia de presiones está dado por p p 0
4 S d
p a
p 0
. g .h
4 S
d
.........( 3)
En la figura se muestra el diagrama de la burbuja cuando está llegando a la superficie del lago
.......... .......... .(1)
282
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
Optaciano Vásquez García
Problema 23. Un capilar de longitud L, que tiene el extremo superior soldado, se puso en contacto con la superficie de un líquido, después de lo cual éste ascendió por el capilar hasta alcanzar una altura h. La densidad del líquido es ρ; el diámetro de la sección interna del canal del capilar es d ; el ángulo de contacto es φ, y la presión atmosférica es po. Hallar el coeficiente de tensión superficial del líquido.
Solución La diferencia de presiones en esta posición será
p a' p
' a
p 0 p 0
Datos e incógnitas
4 S
L;
h;
ρ;
d;
φ;
p0;
γS =??
'
d 4 S d
En la figura se muestran los diagramas del tubo antes y después de colocarlo en contacto con el fluido
.......... ...( 4)
Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos da p aV a p a' V a'
d 3 4 d 3 ' 4 p a 3 p a 3 2 8 p a'
p a 3
.......... .......... .......( 5)
Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta
p a 3 p 0
4 S .......... ..(6) d
(a) Estado inicial
Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene
p 0 . g .h
4 S
d
Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle establece
3
p 0
4 S 2
d 2 d 2 p0V0 pV p0 L p L h 4 4 p0 L p L h .......................(1)
d
Despejando el valor de h, se tiene
h
4 S 3 p 0 1 d
2
(b) Estado final
1
. g
Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo cuando éste se coloca en contacto con el agua, se traza el DCL del fluido que ascendió, como se muestra en la figura.
..... Rta.
Remplazando los valores del enunciado del problema resulta 4(0,073 ) 3 1,12 1 101300 1 , 1 1 6 4.10
h
h
5 m .......... .......... .......... ..Rta.
1000 9,8
283
Tensión Superficial y Capilaridad
Física General II
(a) Disposición de tubos
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F S cos p 0 A pA W
.d 2 .d 2 . . g .h.d 2 .d . S cos p 0 p 4 4 4
F y 0
p 0 A F S p 0 A W
Despejando la presión, p, se tiene
4 S cos d
p 0
F S m f g .......... .......... .....( 1) La fuerza de tensión superficial es
. g .d .h.......( 2)
F S S Longit ud
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
p 0 L (
4 S cos d
p 0
F S S d 1 d 2 .......... ......( 2) El peso del fluido que asciende por el capilar es
. g .d .h) L h .......( 3)
d 22 d 12 W . g 4 4 h.......... (3)
Despejando el coeficiente de tensión superficial, resulta
S
p 0 h d . . g h l h ........ Rta.
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
d 22
4 cos
S d 1 d 2 . g
4
Problema 24.
h
4 S . g d 2
Datos e incógnitas. h
w
1,5mm;..d 2
3
2mm;.. S
1000 kg / m ;..h
h.......... (4)
4
d 1
.......... ......( 5)
Remplazando valores del enunciado, se tiene
Solución
d 12
Despejando h resulta
En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un diámetro d 2 =2 mm se colocó concéntricamente, una barra de vidrio de diámetro d 1 = 1,5 mm. Luego el sistema se estableció verticalmente y se puso, en contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura ascenderá el agua en este capilar?.
d 1
(b) DCL del fluido
Debido a que el fluido que ascendió en el capilar está en equilibrio, se tiene
F y 0
p
Optaciano Vásquez García
0,073 N / m
40,073
1000 9,8 2.10
3
1,5.10
3
?? . h
En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el DCL del fluido que ascendió en el capilar formado.
5,96 cm........ .......... ....Rta.
Problema 25. Entre dos láminas de vidrio horizontales se encuentra una gota de mercurio en forma de torta cuyo radio es R y el grosor h. Considerando que h
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