Capítulo I,II,III y IV

Curso de Diseño de Estructuras de Acero según AISC, método LRFD Telmo A. Sánchez G.

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CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN AL DISEÑO CON ACERO ESTRUCTURAL

En la actualidad, las estructuras de acero han ganado un importante sector de la construcción de edificios, puentes y naves industriales. Hoy, los sistemas estructurales para edificios en su mayoría son diseñados con acero debido a las ventajas que ofrece este material sobre otros como el hormigón armado y la madera. Por esta razón, es necesario que los profesionales dedicados al diseño estructural conozcan las particularidades del diseño con acero antes de enfrentar un proyecto relativo a este campo de la ingeniería.

El presente curso está enfocado hacia el estudio de la Especificación para Edificios de Acero Estructural AISC, método LRFD, que es el estándar norteamericano que rige el diseño con acero estructural. A lo largo de este curso se estudiarán los distintos tipos de carga que debe soportar una estructura y los fenómenos que éstas causan en ella.

El material cubierto no contempla todos los aspectos de diseño requeridos por la Especificación; sin embargo, al final del curso, el estudiante tendrá una idea clara de cómo diseñar una estructura de acero y cual es su comportamiento estructural.

1.1 EL PROCESO DE DISEÑO

Generalmente, una estructura de acero nace como solución a un requerimiento arquitectónico. En la Figura 1.1 se muestra un diagrama de flujo con el proceso de diseño que el ingeniero debe considerar cuando se encuentre ejecutando un proyecto para la construcción de una estructura de acero.

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ESPECIFICACIÓN DEL REQUERIMIENTO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL

DISEÑO DE LA GEOMETRÍA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL

DETERMINACIÓN DE LAS CARGAS DE SERVICIO PRESENTES EN LA ESTRUCTURA

DETERMINACIÓN DE LOS REQUERIMIENTOS DE SERVICIO DE LA ESTRUCTURA

DISEÑO PRELIMINAR DE LA ESTRUCTURA

ANÁLISIS ESTRUCTURAL DEL SISTEMA

CHEQUEO DE LOS REQUISITOS DE DISEÑO POR RESISTENCIA

CHEQUEO DE LOS REQUISITOS DE DISEÑO POR CONDICIONES DE SERVICIO

ELABORACIÓN DE PLANOS DE FABRICACIÓN

Figura 1.1

Proceso de diseño de una estructura de acero

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1.2 TIPOS DE CARGAS

Las cargas aplicadas sobre una estructura pueden ser de dos tipos: cargas vivas y cargas muertas. Las cargas vivas son aquellas que fluctúan con el tiempo, es decir, su aplicación varía durante la vida útil de la estructura. Por ejemplo, el peso de las personas que caminan sobre una losa es una carga viva, ya que su aplicación va cambiando de sitio constantemente, llegando incluso en algún momento a concentrarse en un solo punto. Las cargas vivas más relevantes son: el peso de las personas, el viento, los sismos, la ceniza volcánica y el peso de equipos. Por otra parte, las cargas muertas son aquellas que permanecen aplicadas de manera constante sobre una estructura. Las cargas muertas más frecuentes son: el peso propio de la estructura, la mampostería y los equipos fijos.

1.3 COMBINACIONES DE CARGA

Para el cálculo de la resistencia requerida Ru , la Especificación establece seis ecuaciones que mayoran los distintos estados de carga aplicados sobre una estructura. Estas seis combinaciones de carga están basadas en la especificación ASCE 7, las mismas que se reproducen a continuación:

1,4 D

1,2 D + 1,6 L + 0,5(Lr ó S ó R ) 1,2 D + 1,6(Lr ó S ó R ) + (0,5 L ó 0,8W ) 1,2 D + 1,6W + 0,5L + 0,5(Lr ó S ó R ) 1,2 D ± 1,0 E + 0,5 L + 0,2 S

0,9 D ± (1,6W ó 1,0 E )

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CAPÍTULO II MIEMBROS SUJETOS A TENSIÓN

Se dice que un miembro está sujeto a tensión o tracción cuando en él se encuentra aplicada una carga axial que tiende a estirar al elemento, según se muestra en la Figura 2.1. F

F

Figura 2.1

Elemento sujeto a tensión

Los miembros sujetos a tensión fallan al alcanzar uno de los siguientes estados límite: deformación excesiva, fractura de la conexión y corte de bloque. En el resto de este capítulo se discute cada uno de los estados límite mencionados con sus particularidades.

2.1 DEFORMACIÓN EXCESIVA

Cuando se presenta el fallo con este estado límite, la sección transversal del elemento se alarga de manera tal que se produce una estricción en la zona media del miembro, como se muestra en la Figura 2.2. Este fenómeno ocurre cuando la fuerza a la que está siendo sometido el elemento provoca en él esfuerzos superiores al esfuerzo de fluencia ( Fy ). El efecto producido es igual al que ocurre cuando una probeta de tracción es ensayada en una máquina de ensayos universales. En otras palabras, el miembro debe ser dimensionado de tal manera que las deformaciones siempre se encuentren dentro del rango elástico de la curva esfuerzo – deformación. F

F

Figura 2.2

Deformación excesiva

Para el estado límite en mención, la resistencia de diseño es:

Pn = Fy Ag y φ = 0,90 ; es decir:

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φ ⋅ Pn = 0,90 ⋅ Fy ⋅ Ag

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(2.1)

2.2 FRACTURA EN LA CONEXIÓN

Este mecanismo de falla implica un arrancamiento del material en la zona en la cual el elemento se encuentra conectado, ya sea por medio de soldadura o por medio de pernos, según se muestra en la Figura 2.3. La resistencia de diseño para este estado límite se la evalúa de la siguiente manera: Pn = Fu Ae y φ = 0,75 ; es decir:

φ ⋅ Pn = 0,75 ⋅ Fu ⋅ Ae

(2.2)

F

F

Figura 2.3

Fractura en la conexión

Para el estudio de este estado límite es necesario definir el área por la cual se fractura el elemento, debido a que la inclusión de perforaciones reduce el área de la sección sobre la cual se aplica la carga. Esta área se la conoce con el nombre de área efectiva ( Ae ) y dependiendo del tipo de conexión se la puede cuantificar de la siguiente forma: Para conexiones soldadas: La fractura en la conexión de elementos soldados ocurre de la forma que se muestra en la Figura 2.4. Como se observa en dicha figura, la sección por la cual se presenta la fractura tiene un área igual al área gruesa del elemento; es decir, Ae = Ag . Sin embargo, como se estudiará más adelante, existe un fenómeno conocido como corte retardado que disminuye el área efectiva del miembro a tracción ( Ae < Ag ) y por ende, su capacidad portante. Por lo pronto se asumirá que para las conexiones soldadas el área efectiva es igual al área gruesa.

F

Figura 2.4

Área efectiva de un elemento soldado

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Para conexiones empernadas: En el caso de las conexiones empernadas el cálculo del área efectiva es más complejo. Para definirla, es necesario en primera instancia, cuantificar el área neta del elemento, que es igual al área gruesa menos el área proyectada de los agujeros, como se muestra en la Figura 2.5. An = Ag − Ah

(2.3)

A

Corte A-A'

F

F A'

An = wx t-2hx t

Figura 2.5

Área neta de un elemento empernado

Cuando el miembro sometido a tracción falla según el estado límite de fractura en la conexión, la superficie en la que se produce la fractura es precisamente el área neta, por lo que para el caso de miembros empernados el área efectiva es igual al área neta, Ae = An .

2.2.1 CONEXIONES EMPERNADAS EN ZIGZAG

Los miembros sujetos a tensión conectados con pernos pueden ser diseñados con filas de pernos en las cuales éstos se encuentren desfasados como se muestra en la Figura 2.6 (b). La ventaja de utilizar este método, conocido como conexión en zigzag, es que se incrementa el área neta del elemento con respecto a cuando los pernos se encuentran en fase. Para este caso, el área neta se calcula de la siguiente forma:

An = Ag − Ah + N diagonales

s2 ⋅ 4g

(2.4)

En la Figura 2.6 se hace una comparación entre una conexión en fase y una conexión desfasada o en zigzag. Como se observa, para el primer caso existe un patrón único para el camino de falla; es decir, ya sea que la fractura se inicie por cualquiera de los cuatro pernos, ésta continuará en línea recta describiendo una fractura según el camino A-B.

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Para el segundo caso, en el que los agujeros están desfasados, existe la posibilidad de que el elemento se fracture siguiendo cualquiera de los tres patrones de falla, C-D, E-F o G-H, por lo que es necesario calcular las distintas áreas para cada patrón. El área a la cual se la denominará área neta y servirá para la determinación de la resistencia de diseño es la menor de todas éstas. Esta circunstancia encuentra su explicación en el hecho de que al existir menor área, los esfuerzos crecen en comparación al resto de lugares en donde las cargas se distribuyen en un área mayor y por lo tanto, provocan menores esfuerzos.

A

C

B

D

E

G

F H

Pernos desfasados

Pernos en fase

Posibles caminos de falla: C-D, E-F, G-H

Único camino de falla posible: A-B

(a)

(b)

Figura 2.6

Pernos en fase y desfasados

2.2.3 CORTE RETARDADO

Considere el miembro sujeto a tracción mostrado en la Figura 2.7. En este ángulo los esfuerzos no se distribuyen de manera uniforme a través de toda la sección transversal del elemento debido a que sólo una de sus partes está conectada. En el caso del ejemplo sólo la pierna 1 se encuentra conectada por medio del perno; así, la pierna 2 se somete a esfuerzos menores que la pierna 1. Este hecho repercute directamente sobre la capacidad portante del elemento, reduciéndola en determinado grado. La forma de cuantificar este fenómeno es por medio de la reducción del área efectiva. En el caso en el que exista corte retardado o en otras palabras, algún elemento de la sección no se encuentre conectado, como es el caso de la pierna 2, el área efectiva es igual al área neta multiplicada por un factor de reducción, es decir: Ae = U ⋅ An

(2.5)

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En donde U ≤ 1 . Se debe destacar que el cálculo del área efectiva según la ecuación 2.5 es válido únicamente cuando existen elementos de la sección que no estén conectados.

Figura 2.7

Corte retardado

Para el caso de la Figura 2.7, si el ángulo estuviese conectado en sus dos piernas, los esfuerzos se distribuirían de manera uniforme en toda la sección y el área efectiva sería igual al área neta.

El factor de reducción de área se define como: U = 1−

x ≤ 0,90 L

(2.6)

En la ecuación 2.6, x se define como la distancia desde el centroide de la sección hasta el plano de conexión; en tanto que L es la longitud de la junta. En la Figura 2.8 se muestran los valores de x para las secciones utilizadas como elementos a tracción y en la Figura 2.9 varios ejemplos de longitud de junta.

Figura 2.8

Valores de x para varios perfiles

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Figura 2.9

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Ejemplos de longitud de junta

2.3 CORTE DE BLOQUE

El tercer estado límite a ser estudiado en los elementos sujetos a tracción es el corte de bloque. La falla por corte de bloque ocurre cuando en un elemento sujeto a tracción se fractura la junta de tal forma que se arranca un segmento o bloque del mismo. En este caso existe una superficie que está sujeta a tracción y una que está sujeta a corte. La falla se puede presentar debido a que ocurra la fractura del área a tracción y la fluencia del área a corte o lo contrario, es decir, fractura del área de corte y fluencia del área de tracción. En la Figura 2.10 se aprecia a un elemento que ha fallado por corte de bloque y las áreas de tracción y corte. Bloque arrancado

Área de tracción Área de corte

Fluencia en el área de tracción y fractura en el área de corte.

Fluencia en el área de corte y fractura en el área de tracción.

Figura 2.10

Corte de Bloque 9

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Para el corte de bloque, la resistencia de diseño se define de la siguiente forma:

φ ⋅ Rn = φ ⋅ (0,6 ⋅ Fy Agv + Fu ⋅ Ant )

(2.7)

Cuando existe fluencia en el área de corte y fractura en el área de tracción

φ ⋅ Rn = φ ⋅ (0,6 ⋅ Fu Anv + Fy ⋅ Agt )

(2.8)

Cuando existe fluencia en el área de tracción y fractura en el área de corte

φ ⋅ Rn = φ ⋅ (0,6 ⋅ Fu Anv + Fu ⋅ Ant )

(2.9)

Para el caso en que la fractura ocurra de manera simultánea en el área de corte y de tracción. Para las ecuaciones anteriores, el factor de resistencia, φ es igual a 0,75. De entre las ecuaciones 2.7, 2.8 y 2.9, la resistencia de diseño que representa al corte de bloque es la que tenga el menor valor.

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2.4 EJERCICIOS

2.4.1 Considere el miembro mostrado en la figura. El acero con el cual está fabricado este elemento es el ASTM A36 y se encuentra conectado a la cartela por medio de pernos de diámetro ¾”. ¿Tiene este elemento la capacidad portante suficiente para resistir dichas cargas?

PL 3"x3/8"

D=8 kips, L=12 kips Pernos de Ø 3/8"

2.4.2 Calcule la resistencia de diseño de cada uno de los elementos mostrados en la figura. Para todos los casos el acero utilizado es el A572 Grado 50 y los pernos son de diámetro 5/8” para las juntas empernadas. a)

2L 2x2x3/8"

ØRn = ?

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b)

2L 2x2x3/8"

ØRn = ?

c) W8x31

ØRn = ?

d)

2L 5x5x1/2"

ØRn = ?

e)

ØRn = ?

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CAPÍTULO III MIEMBROS SUJETOS A COMPRESIÓN

Un miembro sujeto a compresión es aquel en el cual existe una carga axial que tiende a acortar el elemento, tal como se muestra en la Figura 3.1. El elemento más común de entre los miembros sujetos a compresión es la columna. Se puede encontrar esta clase de miembros también en armaduras o celosías de naves industriales.

F

F

Figura 3.1

Elemento sujeto a compresión

Antes de iniciar la discusión sobre el criterio de diseño que se debe aplicar para analizar este tipo de elementos, es preciso entender el concepto de inestabilidad y de pandeo. Considere la columna mostrada en la Figura 3.2 (a). Cuando a este elemento se le aplica una carga axial de compresión, la columna empieza a deformarse describiendo una curva que crece a medida de que se incrementa la carga. Este fenómeno conocido como pandeo global o simplemente pandeo es un tipo de inestabilidad que presentan las estructuras. El pandeo tiene un límite máximo, es decir, la curva puede crecer hasta un punto en el cual el elemento pierde su capacidad portante y por ende, colapsa. Este fenómeno fue estudiado a profundidad en el siglo XVI por el matemático suizo Leonhard Euler, quien estableció la carga máxima que puede soportar una columna que falla por pandeo; en otras palabras, la carga que provoca el colapso del elemento. Esta carga, conocida con el nombre de carga crítica se la puede cuantificar de la siguiente forma:

Pcr =

π ⋅ EI L2

(3.1)

En donde L es la longitud de la columna. Ahora consideremos el caso de la Figura 3.2 (b). En este elemento que tiene una longitud más corta y una mayor sección en comparación con el primer caso, es difícil comprender como podría ocurrir el pandeo.

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De hecho, para el elemento en cuestión la falla no sería provocada por este fenómeno de inestabilidad, sino por la aplicación de esfuerzos sobre la sección de la columna que provoquen la fluencia en ella. F1

F2

F2

F2 F1

F2

F1 > F2 ; y1 > y2

(a)

(b)

Figura 3.2

Comparación entre columnas

De la anterior discusión se desprende el hecho de que una columna puede fallar debido a que se ha presentado el fenómeno de inestabilidad denominado pandeo en lo que se conoce como falla elástica, o porque ella ha desarrollado su máxima capacidad resistente y se ha deformado plásticamente al entrar en la etapa de fluencia, siendo ésta le denominada falla plástica. Sin embargo, queda por determinar cuando ocurre el uno u otro tipo de colapso, cuestión que se discute a continuación.

3.1 DEFINICIÓN DE ESBELTEZ

La esbeltez de un elemento se define como la relación que existe entre su longitud y su sección transversal. Para poder comprender de mejor forma esta definición, es necesario estudiar la Figura 3.3. En ella se observa que el elemento tiene una determinada 14

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longitud L y un determinado radio de giro r, que al ser una propiedad geométrica de la sección, puede representar a la misma en el cálculo de la esbeltez. De esta forma, la esbeltez se define como:

e=

L r

(3.2)

Sección A-A' r=

A

I A

A'

Figura 3.3

Definición de esbeltez

En la ecuación 3.2 se observa que la esbeltez es adimensional, es decir, únicamente sirve como un parámetro de comparación que justamente sirve para determinar como fallará una columna, ya sea por pandeo o por deformación plástica.

Si se observa la comparación realizada en la Figura 3.4 entre dos columnas de igual longitud pero distinta sección, se podrá advertir que para el caso (a) la esbeltez es menor que para el caso (b), hecho que ocurre al aumentar las dimensiones de la sección. Como se verá más adelante, todos los esfuerzos que el diseñador realice por disminuir la esbeltez de un miembro sujeto a compresión se verán retribuidos en el aumento de capacidad portante que éste pueda tener.

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Sección A-A'

Sección B-B'

r1

A

A'

L e1 = r1

r2

B

B'

L e2 = r 2

e2 > e1

(a)

Figura 3.4

Comparación de la esbeltez entre dos columnas

3.2 LONGITUD EFECTIVA

Hasta este momento se ha definido a la esbeltez y al pandeo como dos cuestiones independientes dentro del análisis de los miembros sujetos a compresión; sin embargo, como se observará en el siguiente ejemplo, la esbeltez viene determinada por el tramo de la columna en el cual se forma la curvatura provocada por el pandeo. Considere el elemento mostrado en la Figura 3.5 (a). En él, los extremos se encuentran completamente articulados y por lo tanto, al aplicar la carga P la curvatura se forma en la totalidad de la columna debido a que este tipo de apoyo permite rotaciones del elemento. Para el siguiente caso, el de la Figura 3.5 (b), el apoyo superior se ha reemplazado por un empotramiento. Al ejecutar el mismo ejercicio aplicando la carga P, se observa que la curvatura se forma en un tramo de longitud menor que la longitud total de la columna, en virtud de que el empotramiento impide cualquier rotación. De este modo, la longitud utilizada para el cálculo de la esbeltez para este caso sería únicamente la longitud donde ocurrió el pandeo; así, se concluye que dependiendo del tipo de apoyo que existe en los extremos de la columna en estudio, la longitud de la curva en donde se provoca el pandeo será diferente. En otras palabras, existe un factor k por el cual habrá que multiplicar a la longitud L de la columna para obtener la

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denominada “Longitud Efectiva” k ⋅ L , correspondiendo a cada condición de apoyo un valor determinado de k. La tabla C-C2.1 del Comentario de la Especificación AISC, método LRFD, que se reproduce en la Figura 3.6, muestra varias condiciones de apoyo con sus respectivos valores de k. F

F

F

F

F

F

L1 e1 = r

Figura 3.5

e1 > e2

F

F

L2 e2 = r

Columna con apoyo articulado y empotrado

Figura 3.6

Tabla C-C2.1 17

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De acuerdo a lo establecido en párrafos anteriores, ahora es posible definir una ecuación más completa para el cálculo de la esbeltez, la misma que será la utilizada posteriormente en este capítulo:

e=

k ⋅l r

(3.3)

3.3 REQUISITOS DE DISEÑO

Con todos los aspectos estudiados hasta este punto, ahora se puede establecer los requisitos de diseño establecidos por la Especificación AISC, método LRFD para el diseño de elementos sujetos a compresión. El criterio de diseño es:

Pu ≤ φ c ⋅ Pn

(3.4)

En donde el factor de resistencia para la compresión es φ c = 0,85 . Como se explicó anteriormente, la resistencia de una columna, es decir, la resistencia nominal Pn es función de la esbeltez. La Especificación cuantifica la esbeltez de una manera distinta a la estudiada anteriormente. Para el diseño, la esbeltez se representa por medio del parámetro de esbeltez que se define como:

λc =

k ⋅l r ⋅π

Fy E

(3.5)

Si se observa con detenimiento la ecuación 3.5, se podrá advertir que este parámetro reúne en un solo término a tres constantes como son π , Fy y E y a la esbeltez expresada en la ecuación 3.3.

La resistencia nominal Pn entonces depende de si el colapso se provoca por falla elástica o falla plástica. El valor de λc en el cual se dividen estos dos tipos de falla es 1,5. En otros términos, si λc ≤ 1,5 , la columna colapsará por falla plástica y la resistencia nominal Pn se cuantifica de la siguiente forma:

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Pn = 0,658 λc ⋅ Fy

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(3.6)

Por otra parte, si λc > 1,5 , la columna colapsará por falla elástica al ser demasiado esbelta. En este caso, la resistencia de diseño es:

Pn =

0,877

λc 2

Fy

(3.7)

La Figura 3.7 muestra la gráfica de las ecuaciones 3.6 y 3.7 para distintos valores de λc . Como se puede observar en la figura, la ecuación de Euler descrita al inicio de este capítulo (ecuación 3.1), que básicamente es igual a la ecuación 3.7 se cumple para valores mayores a 1,5; es decir, a partir de λc > 1,5 , las columnas fallan exclusivamente por inestabilidad sin importar el material del que estén construidas, ya que una columna esbelta no tiene la oportunidad de desarrollar sus propiedades mecánicas. Por este motivo, cuando se tenga que diseñar una columna esbelta ( λc > 1,5 ), será recomendable que ésta esté fabricada con un material de una resistencia relativamente baja, como es el caso del acero ASTM A 36, pues de nada serviría fabricarla con materiales de mejor calidad. Resistencia Nominal (Pn) 60,000

50,000

Pn

40,000

30,000

20,000

10,000

0,000 0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

c

Figura 3.7

Pn como función de λc

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3.4 ESTABILIDAD LOCAL

Hasta el momento se ha definido al pandeo global como la única inestabilidad presente en los elementos sujetos a compresión; sin embargo, existe otra forma de inestabilidad conocida como pandeo local. Antes de entrar a describir este fenómeno en detalle es necesario definir la compacidad de las secciones.

Según la Especificación, las secciones se clasifican en compactas, no compactas y esbeltas. Al hecho de determinar a cual de estos tres tipos de sección pertenece una sección en particular se le conoce como “determinación de la compacidad de la sección”. Este procedimiento consiste en chequear la esbeltez local de cada uno de los elementos constitutivos de una sección, para luego compararla con un límite superior. Para esclarecer esta definición, considere la Figura 3.8. En ella se observa la sección de un perfil tipo I que tiene por dimensiones los valores correspondientes para h, b f , t f y t w . Si se divide a esta sección en los elementos que la conforman, se podrá percatar que ésta esta compuesta de dos patines y un alma. En este caso, para determinar que tipo de sección tiene el perfil I, será necesario chequear la esbeltez local del alma y de los patines, lo cual se logra determinando el parámetro de esbeltez local λ , definido para los patines como λ =

bf

2t f

y para el alma como λ =

h y comparándolo con el límite tw

superior para secciones esbeltas, cuyo valor para los patines es λ r = 0,56 alma es λ r = 1,49

E y para el Fy

E . Tanto para el alma como para los patines se dice que son Fy

elementos compactos si λ ≤ λ r y por lo tanto la sección entera es compacta. Si por el contrario, para ambos elementos o uno de los dos elementos, es decir, el alma o los patines λ < λ r , la sección se la considera como esbelta. En la Figura 3.8 se muestran los valores de λ y λ r para distintos tipos de secciones.

Como se puede observar, en elementos sujetos a compresión sólo se ha definido a las secciones como compactas o esbeltas. El estudio de las secciones no compactas se lo posterga para cuando en el capítulo IV se analice el diseño de vigas.

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λ=

b

λ=

h

t

≤ λ r = 0,56 ≤ λ r = 1,49

tw

λ=

b

λ=

h

Figura 3.8

E

t

tw

Fy

E

≤ λ r = 0,56 ≤ λ r = 1,49

Fy

E

Fy

E

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λ=

b

λ=

h

t

tw

≤ λ r = 0,56

E

≤ λ r = 1,49

λ=

D

t

Fy

E

Fy

≤ λ r = 0,11 E Fy

Fy

Valores de λ y λ r para distintas secciones

Una vez que se conoce la compacidad de una sección, es posible definir al pandeo local con mayor facilidad. La Especificación determina que si una sección es esbelta, fallará por pandeo local; caso contrario, es decir, la sección es compacta, fallará por pandeo global. El fallo por pandeo local se presentará como un arrugamiento en una longitud localizada del perfil cargado a compresión. Para la sección I del ejemplo anterior, si el alma es esbelta, ocurrirá un pandeo localizado como el mostrado en la Figura 3.9 (a), o si por el contrario, es el patín el elemento esbelto, se producirá un falló como el mostrado en la Figura 3.9 (b).

La importancia de determinar si se presentará el pandeo local en un elemento radica en que este fenómeno reduce la capacidad portante, es decir, la resistencia de diseño del elemento. Por este motivo, si la columna tiene una sección esbelta, la resistencia de diseño calculada con las ecuaciones 3.6 y 3.7 según sea el caso, pierde efecto pues antes de presentarse el fallo elástico o el fallo plástico, se presenta el fallo por pandeo local.

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(a)

Figura 3.9

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(b)

Fallo ocurrido por pandeo local

La Especificación determina la manera en la cual se calcula la resistencia de diseño para los miembros sujetos a compresión y que tienen secciones esbeltas; sin embargo, el estudio de este procedimiento va más allá del alcance del presente curso. En todo caso, con los elementos aprendidos el diseñador podrá determinar y dimensionar los miembros para que sean compactos, toda vez que es así está asegurando obtener las más altas resistencias.

3.5 EL FACTOR K EN MARCOS RÍGIDOS Anteriormente se especificó en la Figura 3.5 los valores de k para distintas condiciones de apoyo para la determinación de la longitud efectiva de un elemento sujeto a compresión. El método expuesto si bien es útil cuando se trata de una columna independiente, pierde precisión cuando se trata de un elemento que forma parte de un sistema estructural. Por ejemplo considere la Figura 3.10. En aquel pórtico se aprecia que la columna AB se encuentra en un estado cercano al empotramiento en los extremos por la rigidez que dan a los nudos los elementos que se conectan en ellos, lo que

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sugeriría un valor de k igual a 0,65 según la Figura 3.5. Sin embargo, aquel elemento no está trabajando de manera independiente, sino que forma parte de un conjunto en el que todos los elementos se deforman de manera solidaria tal como se muestra en la Figura 3.11. Ante esta circunstancia, el valor de k obtenido de la Tabla C-C2.1 es erróneo y por lo tanto se vuelve necesario disponer de un método que permita determinar este factor tomando en cuenta los detalles expuestos.

B

A

Figura 3.10

Columna AB en un marco rígido

La Especificación determina un método según el cual se obtienen valores de k más próximos a la realidad. Para ello establece el uso del nomograma que se reproduce en la Figura 3.12. Como se puede observar, k se determina luego de obtener los valores G A y

GB en donde A y B representan los nudos de la columna y G se define como:

∑( ) G= ∑( ) Ic

Lc

Ig

(3.8)

Lg

Donde I c y Lc representan las inercias y las longitudes de las columnas que se juntan en el nudo en estudio y I g y L g las inercias y las longitudes de las vigas que se conectan en el mismo nudo.

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B

A

Figura 3.11

Deformación de una columna en un marco rígido

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3.6 EJERCICIOS

3.6.1 Encuentre un perfil tipo W que sea capaz de resistir la carga que se muestra a continuación. Ru = 20 kips

W = ? Material: ASTM A 992 a) L = 20' b) L = 40'

Ru = 20 kips

3.6.2 Diseñe la misma columna del ejercicio 3.6.1 considerando que en lugar de tener una articulación en el extremo superior, se tiene un apoyo que permite traslaciones.

3.6.3 Determine la resistencia de diseño del tubo redondo que se muestra en la figura.

ØRn = ? Material: ASTM A 53 Gr B Ø = 6" xs

3.6.4 Diseñe una columna de sección cuadrada o rectangular que sea capaz de resistir las cargas que se muestran en la figura. Esta columna deberá ser diseñada con acero estructural ASTM A 36.

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D = 20 kips L = 75 kips

d=? bf = ? tw = ? tf = ?

D = 20 kips L = 75 kips

3.6.5 Diseñe una columna en acero ASTM A 36 para que pueda resistir las cargas que se muestran en la figura. Considere las particularidades de la columna con respecto a su eje fuerte y su eje débil. D = 120 kips L = 450 kips

D = 120 kips L = 450 kips

ØRn = ? Material: ASTM A 36

Eje débil

Eje fuerte

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3.6.6 Un edificio tiene columnas de 25 ft (k = 1) hechas a partir de perfiles W12x30. Este edificio originalmente fue diseñado albergar oficinas; sin embargo, se requiere que ahora sirva como archivo de documentos. Debido a que con este cambio de aplicación se aumentará la carga viva, se ha propuesto añadir dos perfiles tipo C8x11,5 para reforzar las columnas. Calcule el porcentaje de incremento en la resistencia de estas columnas.

W12 x 30

C8 x 11,5

3.6.7 En la figura se muestra esquemáticamente la estructura de un edificio. Determine los valores de k para las columnas AB, BC, DE y FG. Estas columnas están ubicadas en un marco intermedio. Todas las vigas utilizadas en el edificio son perfiles W12x83.

G

F

C

E

B

D

W10x30

W10x45

A

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CAPÍTULO IV MIEMBROS SUJETOS A FLEXIÓN Y CORTE El diseño de elementos sujetos a flexión y corte es de mayor complejidad si se lo compara al del resto de elementos estructurales estudiados anteriormente. Esto se debe principalmente a que en flexión existen varias consideraciones que el diseñador debe tomar en cuenta para dimensionar un miembro de tal forma que pueda resistir las distintas solicitaciones de carga y servicio.

Un elemento sujeto a flexión y corte es aquel en el cual existe una carga perpendicular al eje axial del elemento que genera momentos flectores, los mismos que provocan esfuerzos de tracción y compresión y a la vez, dicha carga produce esfuerzos de corte en la sección transversal del miembro. A este tipo de elementos se los conoce con el nombre de “vigas”. La Figura 4.1 muestra el ejemplo más básico de este tipo de miembros. P

V

Diagrama de carga cortante

x

M

Diagrama de momento flector

x

Figura 4.1

Elemento sujeto a flexión y corte

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4.1 ESFUERZOS PROVOCADOS POR LA FLEXIÓN

Considere la viga mostrada en la Figura 4.2. En ella está siendo aplicada la carga P que provoca el diagrama de momentos flectores mostrado. Como se puede apreciar, el momento varía a lo largo de la viga y consecuentemente también lo hace el esfuerzo provocado en la sección transversal del elemento. La manera de determinar el esfuerzo de tracción o compresión en un miembro sujeto a flexión viene dado por:

fb =

M⋅y I

(4.1)

En donde M es el momento producido por la carga en un punto determinado de la viga y

y la distancia medida desde el eje neutro de la sección hasta el punto en donde se está determinando el esfuerzo. De este análisis se puede concluir que la distribución de esfuerzos en la sección transversal de una viga es variable, partiendo desde cero en el eje neutro, hasta su máximo valor en la fibra externa. En la Figura 4.2 se puede apreciar en detalle este fenómeno.

A

P

A' Sección A-A'

y Compresión

fb Tracción

Figura 4.2

Distribución de esfuerzos en la sección de una viga 29

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Si en la ecuación 4.1 se lleva el esfuerzo de trabajo f b hasta que la fibra externa de la sección entre en fluencia, entonces tendremos que:

Fy =

M⋅y I

(4.2)

En la ecuación 4.2 se puede observar que Fy y M son dos términos que representan a la capacidad portante del elemento y a la carga aplicada sobre él respectivamente; por otra parte, I y y son propiedades geométricas de la sección de la viga, es decir, no dependen ni del material, ni de las cargas aplicadas sobre el elemento. Si ahora se separan los términos de tal manera que:

M I = =S Fy y

Podemos determinar el módulo de sección elástico S, que como se puede observar, se lo puede cuantificar, toda vez que I y son propiedades de la sección.

La determinación de S es importante debido a que si se conoce esta propiedad y el material del miembro (y por lo tanto Fy ), se puede entonces calcular el momento máximo M y que puede resistir un miembro sujeto a flexión antes de que éste entre en fluencia. Tradicionalmente este era el criterio de diseño con el cual se dimensionaban las secciones resistentes a la flexión, en lo que se conoce como diseño elástico. En este método el ingeniero obtenía S ya que conocía las cargas y el material utilizado para luego, encontrar una sección que al tener un módulo de sección elástico igual o mayor que el requerido, era capaz de resistir las solicitaciones de carga.

Si bien este método maneja un criterio acertado sobre como dimensionar una viga, como se verá a continuación, al utilizarlo, se está desperdiciando un gran remanente de capacidad resistiva, debido a que el colapso del elemento ocurre al aplicar una carga mucho más alta que la que provoca la primera fluencia.

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4.2 MOMENTO PLÁSTICO

En el análisis anterior se llegó a determinar que una viga falla cuando la carga aplicada provocaba la fluencia en alguna parte de ella; sin embargo, este concepto no es del todo cierto según se demuestra a continuación. Considere la Figura 4.3. Para el caso (a) se observa que la carga P1 causa en la sección esfuerzos de tracción y compresión que están por debajo del esfuerzo de fluencia. Si ahora se incrementa la carga hasta P2 se observará que las fibras externas de la sección tanto en compresión como en tracción han llegado a la fluencia. Según el análisis anterior, este sería es estado máximo al que podría llegar un miembro sujeto a flexión, pero en él no se toma en cuenta que si bien las fibras externas fluyeron, el resto de la sección está soportando esfuerzos inferiores a

Fy y por lo tanto es todavía resistente. Para el caso (c) se ha incrementado la carga hasta P3 , lo que ha provocado que más fibras de la sección entren en fluencia, pero una vez más, la sección todavía tiene una parte que no ha llegado a la fluencia y puede resistir más carga aún (zona rayada). Finalmente, como se muestra en el caso (d), la carga ha aumentado hasta P4 , la misma que ha esforzado toda la sección causando la fluencia y generando en ella una “bisagra estructural” denominada “nudo plástico”.

Para guardar concordancia con la teoría del diseño elástico en la que el momento máximo que se puede aplicar a una viga es M y = Fy ⋅ S x , en donde M y recibe el nombre de momento elástico, la Especificación ha definido el momento plástico como:

M p = Fy ⋅ Z x

(4.3)

El momento plástico es precisamente el momento que causa el colapso de la viga ejemplificado en la Figura 4.3 (d). Como se puede apreciar en la ecuación 4.3, en lugar del módulo de sección elástico S x , se ha incluido un nuevo parámetro definido como módulo de sección plástico Z x , cuyo valor obviamente es mayor a S x .

Al análisis expuesto se lo conoce como el método de diseño plástico. La Especificación basa el diseño en este método, por lo que de aquí en adelante se hará referencia

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exclusivamente al momento plástico cuando se diseñe los elementos sujetos a flexión, dejando de lado al momento elástico.

P1

a)

y Compresión Fy

fb

Fy Tracción

P2

b)

y Compresión Fy

fb

Fy Tracción

P3

c)

y Compresión Fy

fb

Fy Tracción

P4

d)

y Compresión Fy fb Tracción

Fy

Nudo Plástico

Figura 4.3

Análisis de esfuerzos en la sección de una viga

4.3 TIPOS DE SECCIONES

En el capítulo III se hizo referencia a dos tipos de secciones: las compactas y las esbeltas, siendo el indicador que diferencia a unas de otras el parámetro de esbeltez local λ . Para el diseño de vigas es necesario incluir en el grupo a un nuevo tipo de secciones: las no compactas. Como se recordará, el tipo de sección determina la capacidad portante del elemento, siendo las compactas las más resistentes, las no

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compactas las siguientes y las esbeltas las más débiles. Al igual que en el diseño de elementos sujetos a compresión, el tipo sección define la probabilidad de que se presente el pandeo local en los elementos. Para el caso de las vigas, el pandeo local puede ocurrir, por ejemplo, como un arrugamiento del patín de compresión en un perfil tipo I, de la forma que se muestra en la Figura 4.4.

Figura 4.4 Pandeo local de un elemento sujeto a flexión En el diseño de columnas, se estableció un límite para λ por debajo del cual la sección era compacta y era capaz de desarrollar su resistencia a la compresión de acuerdo con las ecuaciones estudiadas; por otra parte, si λ era mayor que aquel límite, la sección era esbelta y era necesario reducir la resistencia del elemento; sin embargo, no se estudio la manera de realizar este último cálculo. En el diseño de vigas que se estudia en este capítulo si se definirá la forma de cuantificar la resistencia de diseño para cada tipo de sección, pero antes, se establecerán los límites para identificar si una sección es compacta, no compacta o esbelta.

En general para todas las secciones: - Si λ ≤ λ p y el alma está continuamente unida a los patines, la sección es compacta. - Si λ p < λ ≤ λ r , la sección es no compacta y,

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- Si λ > λ r , la sección es esbelta. En la Figura 4.5 se muestran los valores de λ p y λ r para una sección tipos I.

Para los patines

λ=

Figura 4.5

Para el alma

bf

λ=

2t f

h tw

λ p = 0,38

E Fy

λ p = 3,76

E Fy

λ r = 0,83

E F y − 10

λ r = 5,70

E Fy

Valores de λ p y λ r para una sección tipo I

Al igual que cuando se estudió la compresión, cuando un elemento de la sección es no compacto o esbelto, se declara a toda la sección como no compacta o esbelta, respectivamente. Por ejemplo en un perfil tipo I, si el alma es no compacta y los patines son compactos, toda la sección se considera no compacta. Se debe destacar que si bien la forma de determinar λ es la misma para ambos fenómenos (compresión y flexión), los límites λ p y λ r tienen distintos valores para cada fenómeno según se podrá confirmar al analizar las Figuras 3.8 y 4.5.

4.4 PANDEO LATERAL – TORSIONAL (PLT)

Hasta este punto se ha estudiado el comportamiento de los miembros sujetos a flexión y definido los tipos de secciones para la evaluación del pandeo local. Ahora se discutirá otro fenómeno por el que una viga puede llegar a fallar. Su nombre es pandeo lateral – torsional y se lo definirá con el siguiente análisis: En la Figura 4.6 (a) se muestra una viga de longitud L1 cargada con la carga P. Si se realiza un corte a lo largo de la sección transversal de este elemento y se lo observa desde una vista lateral se podrá advertir que la sección se ha desplazado hacia abajo como producto de la deflexión sufrida. Para el

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caso (b) de la misma figura se ha incrementado la longitud del miembro de manera considerable hasta L2 . Al realizar el mismo ejercicio ejecutado en el caso (a) se observa que además de flejar, la sección también experimenta una torcedura; es decir, se ha presentado un fenómeno de flexión acompañada de torsión. Al fenómeno descrito se lo denomina “pandeo lateral – torsional”.

a)

P

A

A'

Curva elástica

Sección A-A' Posición inicial

Posición final

b)

P

A

A'

Curva elástica

Sección A-A' Posición inicial

Posición final

Figura 4.6

Pandeo lateral - torsional

Como producto de este análisis se puede concluir que a medida de que se incrementa la longitud entre apoyos de la viga, la probabilidad de que se presente esta forma de inestabilidad también se va incrementando. En otras palabras, si lo que se pretende es eliminar la posibilidad de que el pandeo lateral – torsional ocurra, habrá que dar apoyo lateral a la viga cada determinada distancia. Este apoyo lateral deberá ser proporcionado

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en el patín de compresión del miembro. Existen varias formas de cumplir con este cometido; en un edificio por ejemplo, cuando se embebe una viga en una losa, se está proporcionando apoyo lateral a lo largo de toda la viga, es decir, la longitud entre apoyos laterales es cero. Otro método que es especialmente utilizado en puentes, es a través de la colocación de diafragmas como el mostrado en la Figura 4.7. En este caso, los diafragmas arriostran a las vigas entre ellas, impidiendo que éstas se tuerzan.

Vigas arriostradas

Diafragmas

Figura 4.7

Arrostramiento a través de diafragmas

4.5 REQUISITOS DE DISEÑO PARA FLEXIÓN

Una vez que se han detallado todos los aspectos referentes al comportamiento de los miembros sujetos a flexión, es posible entrar a estudiar los requisitos de diseño. El criterio para este caso es:

M u ≤ φb ⋅ M n

(4.4)

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En donde el factor de resistencia para flexión φ b es igual a 0,90 y el momento requerido

M u es función de las cargas aplicadas al elemento, quedando únicamente por determinar el momento nominal M n , que es el principal motivo de lo que resta de este capítulo.

4.5.1 MOMENTO NOMINAL SEGÚN “PLT” En primer lugar se discutirá el momento nominal M n para el estado límite del pandeo lateral – torsional. Como se mencionó anteriormente, este tipo de inestabilidad se puede presentar con mayor opción en vigas que tengan distancias entre apoyos demasiado grandes, por lo que es necesario establecer límites de hasta que distancia se puede dejar de colocar apoyos laterales para procurar que el pandeo lateral – torsional no ocurra.

En general, esta clase de pandeo se puede producir de dos formas: plástica o elásticamente. En el primer caso, para que ocurra el pandeo lateral – torsional plástico, la distancia entre apoyos Lb deberá ser mayor que el límite L p , definido como:

L p = 1,76 ⋅ ry ⋅

E Fy

(4.5)

En el caso del pandeo lateral – torsional elástico, éste se presentará si la distancia entre apoyos laterales Lb es mayor que Lr , cuantificado de la siguiente manera:

Lr =

ry X 1 Fy − Fr

1 + 1 + X 2 (Fy − Fr )

2

(4.6)

En donde Fr es igual a 10 ksi para perfiles laminados en caliente y 16,5 ksi para perfiles armados a partir de plancha.

Finalmente, se ha determinado cuando ocurre y cuando no ocurre el pandeo lateral – torsional; sin embargo, lo que interesa es determinar la resistencia nominal M n para cada uno de estos tres casos. En la Figura 4.8 se muestra una gráfica con las curvas para los valores de M n .

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Mn

Mp

Mr

Lp

Lr

Lb

M n como función del PLT

Figura 4.8

Las ecuaciones que rigen el diseño para el PLT son: - Si Lb ≤ L p , el momento nominal es:

M n = M p ≤ 1,5M y

(4.7)

- Si L p < Lb ≤ Lr , el momento nominal es:

  Lb − L p   ≤ M p M n =  M p − (M p − M r )   L − L  p   r 

(4.8)

Donde M r = ( Fy − Fr ) ⋅ S x - Si Lb > L r , el momento nominal es:

Mn =

Sx ⋅ X1 ⋅ 2 Lb

ry

2

1+

X1 X 2

( )

2 Lb ry

2

≤Mp

(4.9)

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Como se puede observar en estas ecuaciones y en la Figura 4.8, la mayor resistencia se la consigue cuando la viga tiene apoyo lateral. En esta situación el momento nominal es igual al momento plástico. El caso más desfavorable ocurre cuando la longitud entre apoyos es tal que supera el límite Lr y se reduce la capacidad portante del elemento considerablemente. Bajo estos lineamientos, siempre que sea posible, el ingeniero deberá procurar realizar sus diseños con la menor distancia entre apoyos laterales para obtener el máximo de resistencia.

4.5.2

MOMENTO NOMINAL SEGÚN EL TIPO DE SECCIÓN

En este punto, el lector debe estar ya familiarizado con el fenómeno de pandeo local. Este estado límite, que es el otro fenómeno que se debe chequear en las vigas además del PLT, depende exclusivamente de la compacidad de la sección del elemento.

El momento nominal según el tipo de sección se lo evalúa de la siguiente forma: - Si la sección es compacta:

Mn = M p - Si la sección es no compacta:

 λ − λp M n = M p − (M p − M r ) ⋅  λ −λ p  r

 ≤Mp  

(4.10)

La ecuación 4.10 deberá ser evaluada tanto para los patines como para el alma en el caso de que ambos sean no compactos y M n será el menor valor de los dos resultados.

En el diseño de vigas se consideran únicamente elementos de secciones compactas y no compactas. No existe procedimiento para evaluar la resistencia de secciones esbeltas debido a que éstas son demasiado débiles y no representan una buena solución a un problema estructural.

4.5.3 RESUMEN

El cálculo del momento nominal M n tiene varios factores a ser tomados en cuenta. En primer lugar, existen dos estados límites que deben ser chequeados; el pandeo lateral – torsional y el pandeo local. 39

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Para el caso en el que la viga es compacta y Lb ≤ L p , el momento nominal es:

M n = M p ≤ 1,5M y Para el caso en el que la viga es compacta, pero existe PLT, el momento nominal es: 2   Lb − L p   ≤ M p ó M n = S x ⋅ X 1 ⋅ 2 1 + X 1 X 2 ≤ M p M n =  M p − (M p − M r ) 2 Lb  L − L  2 Lb ry ry  p   r

( )

Para el caso en el que la viga es no compacta y existe PLT, el momento nominal será el menor valor de entre las siguientes ecuaciones: 2   Lb − L p   ≤ M p ó M n = S x ⋅ X 1 ⋅ 2 1 + X 1 X 2 ≤ M p y M n =  M p − (M p − M r ) 2 Lb  L − L  2 Lb ry ry  p   r

( )

 λ − λp M n = M p − (M p − M r ) ⋅  λ −λ p  r

 ≤Mp  

4.6 REQUISITOS DE DISEÑO PARA CORTE

Definitivamente, la flexión es el fenómeno más importante a ser tomado en cuenta cuando se trata de diseñar una viga. La práctica más generalizada es diseñar el elemento a flexión y posteriormente, chequear el miembro seleccionado para que sea capaz de resistir el corte.

El criterio de diseño para este fenómeno es el siguiente:

Vu ≤ φ v ⋅ V n

(4.11)

En donde el factor de resistencia Vn es igual a 0,90. El esfuerzo de trabajo producido por el corte f v se lo determina con la siguiente fórmula:

fv =

VQ Ib

(4.12)

En particular, para una viga hecha a partir de un perfil tipo I, la distribución de esfuerzos en una sección del miembro, calculada según la ecuación 4.12 sería la mostrada en la Figura 4.9. En esta figura se puede observar que el esfuerzo máximo por 40

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cortante ocurre en el alma del perfil; siendo así, el alma es la parte más propensa a fallar por cortante. En la figura también se muestra el esfuerzo promedio calculado al dividir la carga cortante V entre el área del alma Aw . Como se puede observar, este esfuerzo promedio es muy próximo al esfuerzo máximo obtenido con la ecuación 4.12, por lo que se concluye que es el alma la que en mayor proporción resiste el corte comparado con la resistencia aportada por los patines.

y f v = VQ Ib

V/Aw Figura 4.9

fv

Distribución de esfuerzos cortantes en una viga tipo I

Basándose en el anterior análisis, la Especificación determina que el esfuerzo cortante máximo en una sección es el 60% del esfuerzo de fluencia, es decir:

f v , max =

Vn = 0,60 Fy Aw

De donde se establece que la resistencia nominal al corte es:

Vn = 0,60 F y Aw

(4.13)

La ecuación 4.13 es válida cuando el alma es compacta, es decir, considera que el alma se deformará plásticamente después de que Vn supere el 60% de F y ; sin embargo, a medida de que se incrementa la relación entre la altura del alma h y su espesor t w , aparece la posibilidad de que se produzca el pandeo en el alma. Para tomar en cuenta la inestabilidad producida por el pandeo, la Especificación determina que la resistencia nominal al corte para los diferentes límites de h t w se calcula con las siguientes ecuaciones:

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- Si

h

tw

≤ 2,45

E

Fy

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:

V n = 0,60 F y Aw - Si 2,45

E

Fy

<

h

tw

≤ 3,07

E

Fy

:

 2,45 E Fy Vn = 0,6 F y Aw   h tw  - Si 3,07

E

Fy

<

h

tw

   

(4.14)

≤ 260 :      4,52 E  Vn = Aw  2    h    t    w  

(4.15)

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4.7 EJERCICIOS

4.7.1 Determine el módulo de sección plástico Z x , el momento plástico M p y determine la compacidad de las secciones que se presentan a continuación.

a)

b)

4.7.2 Determine si la viga que se muestra a continuación es capaz de resistir las cargas mostradas. El material de la viga es el acero ASTM A 588.

L = 30 kips

D = 1 kips/ft L = 2 kips/ft

W 30 x 108

4.7.3 En un taller se dispone de una viga de 40 ft hecha a partir de plancha de acero A 36 con la sección que se muestra en la figura. Se desea utilizar esa viga para construir un puente grúa para el taller. Determine la capacidad máxima que puede tener el puente grúa.

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P= ?

4.7.4 En la gráfica se muestra el detalle de una losa de un edificio industrial. Diseñe las vigas A y las vigas B, considerando que las vigas están simplemente apoyadas. La losa es hormigón armado de 6” de espesor.

Viga B Viga A

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