Capítulo I - Cálculo y Estimación de Poblaciones PDF

CIV 238 – Ingeniería Sanitaria I

Ing. Juan Carlos Ortiz V.

Tema I – Cálculo y Estimación de Poblaciones

TEMA I Factores que influyen en el crecimiento anormal de poblaciones

CÁLCULO Y ESTIMACIÓN DE POBLACIONES

INTRODUCCIÓN Los sistemas de abastecimiento de agua potable, por tener usuarios actuales y futuros (población de diseño), cuyos habitantes deben ser cuantificados para determinar los volúmenes de agua de consumo que se requieren para el diseño de sus partes componentes. POBLACION DE DISEÑO La previsión de la población futura o de diseño, en el mejor de los casos no pasa a ser una simple estimación, debido a que puede presentarse factores impredecibles que influyen en el crecimiento de las mismas, es decir:

Factores que influyen en el crecimiento anormal de poblaciones

Explosión demográfica por migraciones en una determinada región. Disminución demográfica por emigración (guerras, epidemias, falta de agua, etc.)

Factores impredecibles Sin embargo para realizar proyectos y diseños de sistemas de abastecimiento de agua potable se consideran crecimientos normales de población, cuyo desarrollo se explica en el siguiente subtítulo. TEORÍA MATEMÁTICA DEL CRECIMIENTO Según investigaciones del matemático Quetelet que en el año 1835 aplica el primer criterio relacionado al crecimiento de una población, que se basa en el principio del crecimiento proporcional al cuadrado de su velocidad. Posteriormente el investigador Verlhust asumió este principio y sugirió una curva de crecimiento teórica, que tiene la forma de una S, a la que denominó “Curva Logística”, indicando que era la más adecuada para describir el desarrollo del crecimiento poblacional. En ésta curva se observa un crecimiento por etapas: •

En la primera etapa (puntos 0 a 1) se presenta una tendencia geométrica por unidad de tiempo (crecimiento geométrico).

•

En la segunda etapa (puntos 2 a 3) el incremento por unidad del tiempo se hace más pequeño (crecimiento aritmético). I-1

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•

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En la tercera etapa final (puntos 3 a 4) el incremento de población es muy lento en un lapso de tiempo muy largo (crecimiento de primer orden).

En el siguiente gráfico se muestra la curva de crecimiento normal de una población: Pob. (hab)

Población de Saturación 4

3

Puntos Crecimiento Característica 0-1 Geométrico Asentamiento o iniciación 2-3 Aritmético Franco crecimiento. 1-4 Primer orden Saturación.

1 2

0

Tiempo (años)

PROYECCIONES POBLACIONALES Se refieren a los cálculos o estimaciones de poblaciones donde se requiere conocer en forma cuantitativa los usuarios futuros de un sistema de abastecimiento de agua. Estas proyecciones se puede clasificar en:

  a) Aritmético   b) Geométrico     Métodos Analíti cos c) Wappaus Corto Plazo  Cálculo de d) Exponencial    Proyecciones   e) Re gresión lineal  Poblacionales   f ) Método Gráfico   g) Método de la curva log ística  L arg o Plazo  h) Método de Folwell  

DESARROLLO NORMAL DE POBLACIONES Una localidad tiene un desarrollo normal cuando no ocurre un evento de carácter extraordinario, y la cantidad de sus habitantes cambia según los siguientes aspectos: a) Crece, por nacimientos (natalidad e inmigración). b) Decrece, por defunciones (mortalidad y emigraciones). I-2

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Para conocer cuantitativamente dichos cambios por motivos de a) ó b), mediante índices de crecimiento ó decrecimiento se recurre a los censos, cuyos resultados son publicados por el Instituto Nacional de Estadística (INE), su página Web es: http://www.ine.gov.bo A continuación se describen los métodos indicados anteriormente:

MÉTODOS ANALÍTICOS A CORTO PLAZO Para el uso de las siguientes fórmulas se utiliza la siguiente notación: Pf

Población futura o de diseño estimada (Hab.)

Po i t

Población inicial o base obtenida del último censo (Hab.) Tasa o índice de crecimiento de población (%) Período de diseño o vida útil de parte o todo el sistema de agua.

a) Método Aritmético, su fórmula es la siguiente:

i⋅t   Pf = Po ⋅ 1 +   100 

b) Método Geométrico, su fórmula es la siguiente: i   Pf = Po ⋅ 1 +   100 

t

c) Método de Wappaus, su fórmula es la siguiente:  200 + i ⋅ t  Pf = Po ⋅    200 − i ⋅ t 

d) Método Exponencial, su fórmula es la siguiente: i ⋅t

Pf = Po ⋅ e100

De los anteriores métodos a), b), c) y d), se puede despejar el parámetro “i” de sus respectivas fórmulas, y usarlas cuando sea necesario calcular el índice de crecimiento en base a censos poblacionales de años anteriores, es decir:

I-3

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Fórmula

Índice o tasa de crecimiento “i”

Aritmético

P  100 i =  f − 1 ⋅  Po  t

Geométrico

 P  i =  t f − 1  ⋅100  P   o 

Wappaus

i=

200  Pf − Po  ⋅  t  Pf + Po 

Exponencial

i=

P  100 ⋅ Ln  f  t  Po 

e) Método de Regresión Lineal, que consiste en ajustar una curva de grado “n” a los puntos de coordenadas rectangulares de tiempo y población, es decir una función: Y = f (x) ó también: P = f (t). Como ejemplo se toma una recta como la curva de mejor ajuste a una serie de puntos de varios censos correspondientes a varios años, las fórmulas se pueden deducir así: Utilizando mínimos cuadrados se debe cumplir que: D12 + D 22 + D32 + D 24 + ....... + D n2 = mínimo

(1)

Suponiendo que la curva de mejor ajuste es una recta, cuya ecuación es: Y = A 0 + A1 X Coordenada del punto real (censo) ( P1 , t1 ) ó ( Y1 , X1 )

( P2 , t 2 )

( Pn , t n )

ó ( Y2 , X 2 ) ó ( Yn , X n )

Coordenada de la recta

Desviación Di

Yr1 = A 0 + A1X1 , ó Pr1 , t1

D1 = Y1 − Yr1 = Y1 − ( A 0 + A1X1 )

Yr2 = A 0 + A1X 2 , ó Pr2 , t 2 Yrn = A 0 + A1X n , ó Prn , t n

D 2 = Y2 − Yr2 = Y2 − ( A 0 + A1X 2 ) D n = Yn − Yrn = Yn − ( A 0 + A1X n )

Reemplazando la última columna de la tabla anterior en la ecuación (1), se tiene:

R= ( Y1 -A 0 -A1X1 ) + ( Y2 -A0 -A1X2 ) +.......+ ( Yn -A0 -A1X n ) = mínimo 2

2

2

Para que sea mínimo se debe verificar que:

∂R =0 ∂A 0

; I-4

∂R =0 ∂A1

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−2 ( Y1 -A 0 -A1X1 ) + ( Y2 -A0 -A1X 2 ) +.......+ ( Yn -A0 -A1X n )  = 0

∑ Y − nA i

0

− A1 ∑ X i = 0

nA 0 + A1 ∑ Xi = ∑ Yi

−2 ( Y1 -A 0 -A1X1 ) ⋅ X1 + ( Y2 -A 0 -A1X 2 ) ⋅ X 2 +.......+ ( Yn -A 0 -A1X n ) ⋅ X n  = 0

∑X Y −A ∑X i

i

0

i

− A1 ∑ X i2 = 0

A 0 ∑ X i + A1 ∑ X i2 = ∑ X i Yi

El gráfico en coordenadas cartesianas de la “recta de mejor ajuste” se puede representar así: Población

D4

P4 P3

D3 = 0 β

P2 D2

D1 P1 A0

t1

t2

t3

t4

t (años)

A1 = tan β

f) Método Gráfico, consiste en marcar los valores de los censos de población en un sistema de coordenadas rectangulares, cuya función es también P = f (t), luego se traza una curva entre los puntos y se extrapola según la tendencia gráfica, hasta obtener la población requerida para el período de diseño. Generalmente la curva es parabólica con ecuación del tipo p = a ⋅ x que puede transformarse en una recta con ecuación p = A + b ⋅ X , siendo log p = P ; log a = A ; log x = X . Luego graficando en papel logarítmico se traza una línea recta la que se prolonga hasta el año correspondiente al período de diseño y se obtiene la población futura. I-5

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MÉTODOS ANALÍTICOS A LARGO PLAZO g) Método de la Curva Logística, según Pearl y Reed el crecimiento de una población se desarrolla sin límites, se asemeja a una curva en forma de S, y se parece a las curvas de auto catálisis química de primer orden, y tiene tres ciclos: el primero en la parte inferior de la curva con incremento geométrico; el segundo en la parte central, se incrementa por crecimiento aritmético lineal, y el tercero en la parte superior final se asemeja a una reacción química de primer orden. En el siguiente gráfico se muestra la curva y los ciclos: Pob. (hab)

L

Población de Saturación

P2

P1

P0 a

t0

a

t1

t2

tiempo (años)

La anterior ecuación tiene la siguiente ecuación: P=

L 1 + m ⋅ e n ⋅t

Para que la anterior ecuación sea aplicable, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1) Son necesarios tres puntos ( t 0 , P0 ) ; ( t1 , P1 ) ; ( t 2 , P2 ) 2)

P0 ⋅ P2