capítulo Conjuntos

Libro: “De la Lógica a las funciones” Autores: Claudia Cardazo, Rocío Elejalde y Guillermo López

Capítulo 2 CONCEPTOS CONJUNTOS

BÁSICOS

SOBRE

TEORÍA

DE

2.1 DEFINICIONES: 2.1.1 Conjunto: Término básico no definido. Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos. Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas. Se puede definir : Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: A = {-2,1,3,4} Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que deben tener sus elementos. Ejemplo: B = {x/x es número racional} C = {x/x = 2n-1 + 1, n∈N} 2.1.2 Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto se utiliza los signos ∈ y ∉ respectivamente. 2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable. 2.1.4 Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo Φ ó { } y se representa por Φ A = { x x ∈ A ∧ x ∉ A} 2.1.5

Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.

2.1.6 Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que se están tratando, (también se le conoce como Referencial). Símbolo: U y se representa por U = {x/x∈ A ∨x ∉A; siendo A cualquier conjunto} 2.1.7 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B. 2.1.8 Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B, (A ⊂ B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.

65

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos

⊂ : símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión.

Simbólicamente: A ⊂ B ⇔ ( ∀x )( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) A ⊂ B se lee A es un subconjunto de B o B es un superconjunto de A B⊃A A ⊄ B se lee A no es un subconjunto de B o B no es un superconjunto de A

Propiedades de la inclusión: i) El conjunto vacío, Φ, se considera subconjunto de todo conjunto. ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, A ⊄ B ; entonces hay por lo menos un elemento de A que no es elemento de B. iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es decir, si A es cualquier conjunto entonces A ⊂ A ∗ Demostrar las propiedades anteriores. ∗ Teorema: si A ⊂ B y B ⊂ C implica que A ⊂ C (Demostrarlo). Notas:

1) Con la definición de subconjunto se puede dar de otra forma la definición de la igualdad de conjuntos; así: Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A . Simbólicamente: A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A 2) La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia. (¿Por qué?)

2.1.9 Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dice que B es un subconjunto propio de A, si: i) B es un subconjunto de A, y ii) B no es igual a A Es decir, B es subconjunto propio de A si: B⊂ A y B≠ A En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por B ⊆ A , y “B es subconjunto propio de A”, se denota por B ⊂ A 2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si A ⊂ B o B ⊂ A , es decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Simbólicamente: A y B son comparables ⇔ A ⊂ B ∨ B ⊂ A Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si A ⊄ B ∧ B ⊄ A 2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos. Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas: A, B, C, D, E, .... Ya que las mayúsculas denotan sus elementos.

66

Libro: “De la Lógica a las funciones” Autores: Claudia Cardazo, Rocío Elejalde y Guillermo López 2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P (A). Con: n(A): número de elementos de A. n[P (A)]: números de elementos de P (A). 2.1.13 Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si no tienen elementos comunes. 2.1.14 Diagramas: •Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un área plana, generalmente círculos.

Ejemplo: A B⊆ A

B

• Lineales: Se establece la representación mediante líneas donde se identifican órdenes jerárquicos.

Ejemplo: 1) A ⊂ B

Se representa:

67

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos

2) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces se representa:

3) Sean los conjuntos: A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; Su representación lineal sería:

D = {1, 2, 4}

2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS 2.2.1 Unión: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x ∈ A v x ∈ B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión de A y B, es decir: A U B = {x/x ∈ A v x ∈ B}

68

Representación: A) Simbólica: x ∈ (A U B) ⇔ x ∈ A v x ∈ B B) Gráfica: A

B AUB

Propiedades: 1. Idempotencia: 2. Identidad: 3. Conmutativa: 4. Asociativa: 5. Adición:

AUA=A AUΦ=A ; AUU=U AUB=BUA A U (B U C) = (A U B) U C A ⊆ (A U B) ; B ⊆ (A U B)

2.2.2 Intersección: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x ∈ A ∧ x ∈ B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección de A con B, es decir: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧x ∈ B} Representación: A) Simbólica: x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A ∧x ∈ B B) Gráfica: A

B A∩B

Propiedades: 1. Idempotencia: 2. Identidad: 3. Conmutativa: 4. Asociativa: 5. Distributiva:

A∩A=A A∩Φ=Φ ; A∩U=A A∩B=B∩A A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C a) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) b) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 6. (A ∩ B) ⊆ A ; (A ∩ B) ⊆ B 7. Si A y B son disjuntos entonces A ∩ B = Φ

68

Operaciones fundamentales con conjuntos 2.2.3 Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā A’ = {x/x ∉ A} Representación: A) Simbólica: x ∈ A’ ⇔ x ∉ A ⇔ ∼ (x ∈ A) B) Gráfica:

A

A’

Propiedades: 1. (A’)’ = A (Complemento del complemento) 2. A U A’ = U (Tercer excluido) 3. A ∩ A’ = Φ (Contradicción) 4. (A U B)’ = A’ ∩ B’(Leyes de De Morgan) (A ∩ B)’ = A’ U B’ 5. U’ = Φ ; Φ’ = U 2.2.4 Diferencia: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x ∈ A ∧x ∉ B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y B. Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B. A – B = {x/x ∈ A ∧x ∉ B} Representación: A) Simbólica: x ∈ (A – B) ⇔ x ∈ A ∧x ∉ B

B) Gráfica: A

B A-B

69

Propiedades: 1. A – B = A ∩ B’ 2. A – A = Φ 3. A - Φ = A 4. Φ - A = Φ , U – A = A’ 5. A – B = B - A ⇒ A = B 6. (A - B) - C ⊂ A - (B - C) 7. (A - B) ⊆ A NOTA: A-B ≠ B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B). 2.2.5 Diferencia simétrica: Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x ∈ (A∪B) ∧ x ∉ (A∩B)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia simétrica entre A y B. Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A ∆ B. A ∆ B={x/x ∈ (A∪B) ∧x ∉ (A∩B)} Representación: A. Simbólica: x∈(A ∆ B) ⇔ x∈(A∪B) ∧x∉ (A∩B) B. Gráfica: A

B A∆B

Propiedades: 1. A∆B = B∆A 2. (A∆B)∆C = A ∆ (B∆C) 3. A∆Φ = A 4. A∆A = Φ 5. (A∆B)∩C = (A∩C) ∆ (B∩C) 6. A∆B = (A-B)U (B-A) 7. A∆B = (A U B)-(A∩B) 2.2.6 Operaciones con conjuntos comparables: Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.

70

Operaciones fundamentales con conjuntos Teoremas: 1. A ⊆ B implica A ∩ B = A 2. A ⊆ B implica A U B = B 3. A ⊆ B implica B’⊆ A’ A ⊆ B implica A U (B - A) = B Nota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante gráficas). 2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).

2.2.8 Principio de dualidad en 〈B, U,

∩〉

:

Toda proposición o identidad algebraica deducible de los postulados de un álgebra booleana de conjuntos 〈B, U, ∩〉 sigue válida sí todas las operaciones (U) e ( ∩) y los elementos identidad Φ y U son intercambiados. Si una proposición o una expresión se obtiene de otra por una sola aplicación del principio de dualidad, la segunda se llama la “DUAL” de la primera y viceversa. Ejemplos: 1. (a) A U A = A 2. (a) A U U = U 3. (a) A U (A ∩ B) = A

(b) A ∩ A = A (Dual de (a)). (b) A ∩ φ = φ (Dual de (a)). (b) A ∩ (A U B) = A (Dual de (a)).

Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.

2.3 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A. Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5. Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1. Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

71

Ejercicios resueltos Entonces podemos analizar dos casos: A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A ∩ B = Φ, entonces el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B. Luego: Si A ∩ B = Φ entonces

n(A U B) = n(A) + n(B).

Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces: n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A∩B=Φ A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q} n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9. B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A ∩ B ≠ Φ, es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (*) Ejemplo. Sean A = {x/ -3 < x < 4, x ∈ Z} Entonces: n(A) = 6 ; n(A ∩ B ) = 2

y B = {x/ 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ Z} n(B) = 5 y A ∩ B = {2, 3} A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.

Aplicando (*) tenemos: como A ∩ B ≠ Φ n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 . Si A ∩ B = Φ entonces n(A ∩ B) = 0, puede entonces generalizarse: ∀A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos. Para tres conjuntos: n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) – n(B∩C) + n(A∩B∩C) OBSERVACIÓN: Las anteriores fórmulas tienen demostración formal. Ejemplo: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:  Estudian trigonometría: 40  Estudian álgebra: 55  Estudian geometría: 55  Estudian trigonometría y álgebra: 15  Estudian trigonometría y geometría: 20  Estudian álgebra y geometría: 30

75

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos  

Estudian las tres materias: No van a la biblioteca:

10 5

¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? Desarrollo: Sean T = {x/x estudia trigonometría} A = {x/x estudia álgebra} G = {x/x estudia geometría} Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda: A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados. B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza. C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias. Gráficamente: T

A 15

520 10 10

20 15

5

G U

Analíticamente: n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(T∩A) – n(T∩G) – n(G∩A) + n(T∩A∩G) n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95 95 Estudiantes que asisten a la biblioteca. 100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca. Por lo tanto la encuesta está bien realizada.

2.4 EJERCICIOS RESUELTOS 1) Representar gráficamente: [(A’∆B)U(C-B)] ∩B’

76

Ejercicios resueltos U

U A

B

A

B

C

C

A’

(A’∆B)

U

U A

B

A

B

C

C

(C-B)

(A’∆B)U(C-B)

U

U A

B

C B’

A

B

C [(A’∆B)U(C-B)] ∩B’

77

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos 2) Expresarlo simbólicamente a) U

b) U

A

B

P

D

C

F

(AUBUC)’U[(B∩C)-A]

(D-F)U[F-(PUD)]

3) Sean los conjuntos: N = [d, i) E = (e, z) Z = [d, e] Siendo e, d, z, i ∈ Re. Con d < i < e < z Hallar: a) (N∆Z)-E = ? d i e N∆Z = [i, e]

z

(N∆Z)-E = [i, e] d

i

e

z

b) [(E∩Z)∆Z]UN = ?

E∩Z = Φ d

i

e

z

(E∩Z)∆Z = Z = [d, e] [(E∩Z)∆Z]UN = [d, e] d

i

e

z

78

Ejercicios resueltos c) [(Z-N) ∩Z]∆(NUE) = ? Z-N = [i, e] d

i

e

z

(Z-N) ∩Z = [i, e] d

i

d

i

e

z

NUE = [d, i) U (e, z) e

z

[(Z-N) ∩Z]∆(NUE) = [d, z) d

i

e

z

4) Sean los conjuntos: A = {x/ x >-10, x∈ Z+}

D = {x/ 20 < x ≤ 30, x∈ F}

B = {x/ -5 ≤ x < 15, x∈ Z}

E = {x/ 7< x ≤ 50, x∈ Q}

C = {x/ x ≤ 100, x∈ Re} Donde F es el conjunto formado por las expresiones de la forma m/n no reducibles con m y n ∈ Z+ Hallar: a) A∩B = {x/ 0 < x < 15, x∈ Z+} (A∩B)-D = {x/ 0 < x < 15, x∈ Z+} Z+ ( -10

[ -5

) Z

15

b) (DUC)∆B = x ∈(-α, 100] ∧x ∉{-5, -4, -3, -2 … 12, 13, 14} {x/(x ≤ 100, x∈ Re) ∧∼ (-5 ≤ x ≤ 14, x∈Z)}

79

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos DUC = {x/ x ≤ 100, x∈ Re} Re ( 20

] F 30

] 100

c) (A-C)U(C∩D) = {x/ (x > 100, x∈ Z+) ∨(20 < x ≤ 30, x∈ F)} A-C = {x/ x > 100, x∈ Z+} C∩D = {x/ 20 < x ≤ 30, x∈ F} Z+

(

]

-10

Re

100

d) (B∆A) ∩ (E-D) = {x/ 15 ≤ x ≤ 50, x∈ Z} B∆A = {x/ -5 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 15, x∈ Z} Z+

(

[

-10

)

-5

Z

15

E-D = {x/ (7< x ≤ 20, x∈ Q) ∨(20 < x ≤ 30, x∈ Z) ∨(30 < x ≤ 50, x∈ Q)} Q

( 7

( 20

]

] 30

F

50

e) (E∩B)∆(CUE) = {x/ (x < 7, x∈ R) ∨(7 < x < 15, x∈ F) ∨(7 < x < 15, x∈ Q’) ∨ (15 ≤ x ≤ 100, x∈ R)} CUE = {x/ x ≤ 100, x∈ Re}

E∩B = {x/ 7 < x < 15, x∈ Z} Z

Q

[ -5

( 7

) 15

] 50

5) En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que:

80

Ejercicios resueltos 1) 68 se comportan bien. 2) 138 son inteligentes. 3) 160 son habladores. 4) 120 son habladores e inteligentes. 5) 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes. 6) 13 se comportan bien y no son habladores. 7) 15 se comportan bien y son habladores, pero no son inteligentes. ¿Cuántos de los 200 estudiantes entrevistados no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes?. Solución: El problema da como datos n(B) = 68 n(I) = 138 n(H) = 160 n(H∩I) = 120 n(B∩I’) = 20 n(B∩H’) = 13 n(B∩H∩I’) = 15 Se pide hallar: n(B’∩H’∩I’) = ? B

H 5

15

25

40 8

80 9

17 I

Primero se ubica en el diagrama de Venn n(B∩H∩I’) = 15 luego n(B∩I’) = 20, después n(B∩H’) = 13, como se sabe n(B) = 68 se puede saber (restando) n(B∩H∩I) = 40. Se puede ubicar después n(H∩I) = 120, y por último se saca el número de personas que son únicamente inteligentes y únicamente habladores teniendo n(I) = 138 y n(H) = 160 (restando). Ahora bien si hay 200 estudiantes (se resta a esta cantidad (todo) las demás del diagrama de Venn). n(B’∩H’∩I’) = 17 Otra forma: n(B’∩H’∩I’) = n(BUHUI)’ n(BUHUI) = n(B) + n(H) + n(I) – n(B∩H) – n(B∩I) – n(H∩I) + n(B∩H∩I) n(BUHUI) = 68 + 160 + 138 – 55 – 48 – 120 + 40 = 183 n(BUHUI)’ = 200 – 183 = 17 6) Al final del semestre se hizo una encuesta sobre las materias que más perdió la gente: Contabilidad, Administración y Química. Siendo la clase de 60 alumnos, se tiene:

81

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos

n(C∩A∩Q) = 2 n(C∩A) = 7

n(A∩Q) = 8 n(C) = 25

n(C∩Q) = 10 n(A) = 15

n(Q) = 35

Expresar simbólicamente y hallar el número de personas de: a) ¿Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? b) ¿Cuántos aprobaron las 3 pruebas? c) ¿Cuántos fracasaron en la 1era y en la 3era, pero no en la segunda? d) ¿Cuántos fracasaron al menos en dos pruebas? e) ¿Cuántos aprobaron al menos una materia? f) ¿Cuántos aprobaron la 2da ó la 3era pero no la 1era? Solución: U C

A 10

2 5 2 8

6 19

8

Q

a) n[(C∆A)∆Q] = 31 b) n(CUAUQ)’ = 8 n(CUAUQ) = n(C) + n(A) + n(Q) – n(C∩A) – n(C∩Q) – n(A∩Q) + n(C∩A∩Q) n(CUAUQ) = 25 + 15 + 35 – 7 – 10 – 8 + 2 n(CUAUQ) = 52 n(CUAUQ)’ = 60 – 52 = 8 c) n[(C∩Q) ∩A’] = 8 n(C∩Q) = 10 || | | | A’ ≡

82

Ejercicios resueltos

U C

A

Q

La respuesta es la parte que tiene el doble rayado. d) n{[(C∩A) – (C∩A∩Q)]U[(C∩Q) – (C∩A∩Q)]U(A∩Q)} = 21 e) n[U – (C∩A∩Q)] = 58 f) n[(A’UQ’) ∩C] = 23 U C

A 10

5 2

2

86 19

8 Q

(A’≡ U Q’|| | ) ∩C = 23

7) Simplificar: [(A∩B’)U(B-A)]U{[(A∩B’)UB]’ ∩ (D∩D’)} [(A-B)U(B-A)]U{[(A∩B’)UB]’ ∩ Φ} Propiedad de diferencia, y de contradicción (A∆B)UΦ Propiedad de diferencia simétrica, y de identidad A∆B Propiedad de identidad

83

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos 8) Demostrar: AU(A’∩B) = AUB (∀x)x∈ [AU(A’∩B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∨x∈ (A’∩B)] Definición unión ⇔ (∀x) [x∈ A ∨(x∈ A’ ∧x∈ B)] Definición intercepción ⇔ (∀x) [x∈ A ∨(x∉ A ∧x∈ B)] Definición complemento ⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∉ A) ∧(x∈ A ∨x∈ B)] Postulado de distributividad (P.D) ⇔ (∀x) [V ∧(x∈ A ∨x∈ B)] Postulado del tercero excluido ⇔ (∀x) (x∈ A ∨x∈ B) Postulado de la identidad (P.I) ⇔ (∀x) x∈(AUB) Definición de unión 9) Demostrar: A-(A∩B) = A-B (∀x) x∈ [A-(A∩B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∧x∉ (A∩B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∧∼ (x∈A ∧x∈ B)] ⇔ (∀x) [x∈ A ∧(x∉ A ∨x∉ B)]

Definición de diferencia Definición intersección Teorema de De Morgan (T.DD.M) ⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ A) ∨(x∈ A ∧x∉ B)] Postulado de distributividad (P.D) ⇔ (∀x) [F ∨(x∈ A ∧x∉ B)] Postulado de la contradicción ⇔ (∀x) (x∈ A ∧x∉ B) Postulado de la identidad (P.I) ⇔ (∀x) x∈ (A -B) Definición de diferencia.

10) Demostrar: (A-B)-(A-C) = A∩ (C-B) (∀x) x∈ [(A-B)-(A-C)] ⇔ (∀x) [ x∈ (A-B) ∧x∉ (A-C)]

Definición de diferencia ⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∧∼ (x∈ A ∧x∉ C)] Definición de diferencia ⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∈ C)] Teorema de De Morgan (T.DD.M) y teorema de la doble negación. ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ B)∧x∉ A ]∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]} Postulado de la distributividad (P.D) ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ A)∧x∉ B ]∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]} Postulado de la conmutatividad (P.C), Teorema de la asociatividad (T.AS) ⇔ (∀x) {(F ∧x∉ B ] ∨[(x∈ A ∧x∉ B) ∧x∈ C]} Postulado de la contradicción ⇔ (∀x) {F ∨[x∈ A ∧(x∈ C ∧x∉ B)]} Postulado de la identidad (P.I),

84

Ejercicios resueltos Postulado de la conmutatividad (P.C), Teorema de la asociatividad (T.AS) ⇔ (∀x) [x∈ A ∧(x∈ C ∧x∉ B)] Postulado de la identidad (P.I) ⇔ (∀x) [x∈ A ∧x∈ (C-B)] Definición de diferencia ⇔ (∀x) x∈[A ∩ (C-B)] Definición de intersección 11) Demostrar: A∆B = (A-B)U(B-A) (∀x) x∈ [(A-B)U(B-A)] ⇔ (∀x) [x∈ (A-B) ∨x∈ (B-A)] Definición de unión ⇔ (∀x) [(x∈ A ∧x∉ B) ∨(x∈ B ∧x∉ A)] Definición de diferencia ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∧x∉ B) ∨x∈ B] ∧[(x∈ A ∧x∉ B) ∨x∉ A)] Postulado de distributividad (P.D) ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉B ∨x∈ B)] ∧[(x∈ A ∨x∉ A) ∧(x∉B ∨x∉ A)]} Postulado de distributividad (P.D) ⇔ (∀x) {[(x∈ A ∨x∈ B) ∧V] ∧[V ∧(x∉ B ∨x∉ A)]} Postulado del tercero excluido ⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)] Postulado de la identidad (P.I) ⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)] Postulado de la conmutatividad (P.C) ⇔ (∀x) [(x∈ A ∨x∈ B) ∧∼ (x∈ A ∧x∈ B)] Teorema de De Morgan (T.DDM) ⇔ (∀x) [x∈ (AUB) ∧x∉ (A B)] Definiciones: unión, intersección ⇔ (∀x) [x∈ (A∆B)] Definición de diferencia simétrica 12) Demostrar: B ⊆ (AUB) [B ⊆ (AUB)] ⇔ (∀x) [x∈ B ⇒ x∈ (AUB)] Definición de subconjunto ⇔ (∀x) [x∈ B → x∈ (AUB)] Definición de relación de implicación ⇔ (∀x) [x∈ B → (x∈ A ∨x∈ B)] Definición de unión ⇔ (∀x) [x∉ B ∨(x∈ A ∨x∈ B)] Definición de condicional (D.C) ⇔ (∀x) [(x∉ B ∨x∈ B) ∨x∈ A)] Postulado de la conmutatividad (P.C) Teorema de la asociatividad ⇔ (∀x) (V ∨x∈ A) Postulado del tercero excluido ⇔ (∀x) V Teorema de la tautología (T.T) 13) Demostrar: A ⊂ B ⇒ B’⊂ A’ (A ⊂ B ⇒ B’⊂ A’) ⇔ (∀x) [x∈ (A ⊂ B → B’⊂ A’)]

Definición de relación de implicación ⇔ (∀x) [(x∈ A ⇒ x∈ B) → (x∈ B’⇒ x∈ A’)]

85

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos Definición de subconjunto ⇔ (∀x) [(x∈ A → x∈ B) → (x∈ B’→ x∈ A’)] Definición de relación de implicación ⇔ (∀x) [(x∈ A → x∈ B) → (x∉ B → x∉ A)] Definición de complemento ⇔ (∀x) [∼ (x∈ A → x∈ B) ∨(x∉ B → x∉ A)] Definición de condicional ⇔ (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(x∈ B ∨x∉ A)] Definición de condicional ⇔ (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(x∉ A ∨x∈ B)] Postulado de la conmutatividad (P.C) ⇔ (∀x) V Postulado del tercero excluido 14) Demostrar: (E-F)-G ⊂ E-(F-G) (∀x) x∈ [(E-F)-G] ⇒ x∈ [E-(F-G)]Definición de subconjunto ≡ (∀x) x∈ [(E-F)-G] → x∈ [E-(F-G)] Definición de relación de implicación ≡ (∀x) {[(x∈ E ∧x∉ F) ∧x∉ G] → [x∈ E ∧∼ (x∈ F ∧x∉ G)]} Definición de diferencia ≡ (∀x) {∼ [(x∈ E ∧x∉ F) ∧x∉ G] ∨[x∈ E ∧∼ (x∈ F ∧x∉ G)]} Definición de condicional ≡ (∀x) {[∼ (x∈ E ∧x∉ F) ∨x∈ G] ∨[x∈ E ∧(x∉ F ∨x∈ G)]} Teorema de De Morgan (T.DDM), y Teorema de la doble negación ≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨x∈ G] ∨[x∈ E ∧(x∉ F ∨x∈ G)]} Teorema de De Morgan (T.DDM) ≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨x∈ G] ∨[(x∈ E ∧x∉ F) ∨(x∈ E ∧x∈ G)]} Postulado de la distributividad (P.D) ≡ (∀x) {[(x∉ E ∨x∈ F) ∨(x∈ E ∧x∉ F)] ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]} Postulado de la conmutatividad (P.C), Teorema de la asociatividad (T.AS) ≡ (∀x) {[∼ (x∈ E ∧x∉ F) ∨(x∈ E ∧x∉ F)] ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]} Teorema de De Morgan (T.DDM) ≡ (∀x) {V ∨[x∈ G ∨(x∈ E ∧x∈ G)]} Postulado del tercero excluido ≡ (∀x) V Teorema de la tautología (T.T)

15) Demostrar: A ⊂ B ⇒ AUB = B a) A ⊂ B ⇒ (AUB) ⊂ B b) A ⊂ B ⇒ B ⊂ (AUB)

Definición de igualdad

86

Ejercicios resueltos a) (∀x) {(x∈ A ⇒ x∈ B) ⇒ [x∈ (AUB) ⇒ x∈ B]} (∀x) {(x∈ A → x∈ B) → [x∈ (AUB) → x∈ B]}

Definición de subconjunto Definición de relación de implicación (∀x) {(x∈ A → x∈ B) → [(x∈ A ∨ x∈ B) → x∈ B]} Definición de unión (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[∼ (x∈ A ∨ x∈ B) ∨x∈ B]} Definición de condicional (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∧ x∉ B) ∨x∈ B]} Teorema de De Morgan (T.DDM) (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨ x∈ B) ∧(x∉B ∨x∈ B]} Postulado de distributividad (P.D) (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨ x∈ B) ∧V]} Postulado del tercero excluido (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ A ∨ x∈ B)] Postulado de identidad (∀x) V Postulado del tercero excluido ∧ b) (∀x) {(x∈ A ⇒ x∈ B) ⇒ [x∈ B ⇒ x∈ (AUB)]} (∀x) {(x∈ A → x∈ B) → [x∈ B → x∈ (AUB)]}

Definición de subconjunto Definición de relación de implicación (∀x) {(x∈ A → x∈ B) → [x∈ B → (x∈ A ∨ x∈ B)]} Definición de unión (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[x∉ B ∨(x∈ A ∨ x∈ B)]} Definición de condicional (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨[(x∉ B ∨ x∈ B) ∨x∈ A]} Postulado de la conmutatividad (P.C), Teorema de la asociatividad (T.AS) (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨(V ∨x∈ A)}] Postulado del tercero excluido (∀x) [∼ (x∉ A ∨x∈ B) ∨V] Teorema de la tautología (T.T) (∀x) V Teorema de la tautología (T.T) Entonces

a) V ∧b) V V

Por teorema de idempotencia

18) Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A

B=Φ

a) (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] ⇒ x∈ [(A B) ⊂ Φ]} Definición de conjuntos disjuntos (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] ⇒ [x∈ (A B) ⇒ x∈ Φ]} Definición de subconjunto (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] → [x∈ (A B) → x∈ Φ]} Definición de relación de implicación (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] → [(x∈ A ∧x∈ B) → x∈ Φ]} Definición de intersección (∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)] ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]} Definición de condicional

87

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos (∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)] ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]} Postulado de la conmutatividad (P.C) (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∉ B) ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]} Teorema de idempotencia (T. Idemp) (∀x) {(x∈ A ∧x∈ B) ∨[∼ (x∈ A ∧x∈ B) ∨x∈ Φ]} Teorema de De Morgan (T.DDM) (∀x) {[(x∈ A ∧x∈ B) ∨∼ (x∈ A ∧x∈ B)] ∨x∈ Φ} Teorema de la asociatividad (T.AS) (∀x) [V ∨x∈ Φ] Postulado del tercero excluido (∀x) V Teorema de la tautología (T.T) ∧ b) (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] ⇒ x∈ [Φ ⊂ (A∩B)]} Definición de conjuntos disjuntos (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] ⇒ [x∈ Φ ⇒ x∈ (A∩B)]} Definición de subconjunto (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] → [x∈ Φ → x∈ (A∩B)]} Definición de relación de implicación (∀x) {[(x∈ A → x∉ B) ∧(x∈ B → x∉ A)] → [x∈ Φ → (x∈ A ∧x∈ B)]} Definición de intersección (∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ B ∨x∉ A)] ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]} Definición de condicional (∀x) {∼ [(x∉ A ∨x∉ B) ∧(x∉ A ∨x∉ B)] ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]} Postulado de la conmutatividad (P.C) (∀x) {∼ (x∉ A ∨x∉ B) ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]} Teorema de idempotencia (T. Idemp) (∀x) {(x∈ A ∧x∈ B) ∨[x∉ Φ ∨(x∈ A ∧x∈ B)]} Teorema de De Morgan (T.DDM) (∀x) {[(x∈ A ∧x∈ B) ∨(x∈ A ∧x∈ B)] ∨x∉ Φ)} Teorema de la asociatividad (T.AS) (∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨x∉ Φ)] Teorema de la idempotencia (T.Idemp) (∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨∼ (x∈ A ∧x∉ A)] Definición del vacío (∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨x∉ F] Postulado de la contradicción (∀x) [(x∈ A ∧x∈ B) ∨V] Definición de tautología (∀x) V Teorema de la tautología (T.T) Entonces a) V ∧ b) V V Por teorema de idempotencia

88

Ejercicios resueltos

2.7. EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Representar gráficamente: a) [(A∩C’)’∆(P’-A)]U(A∆C) b) [(Q’-Z’)’-(T∆Q)’] ∩T’ c) {F’∩ [(D’UE)∆E’]}-D 2) Expresar simbólicamente: a)

U

b) U A

B

C

N

E

G

89

Ejercicios propuestos c)

U Q

D

Z

3) Del siguiente diagrama lineal: P

R N

A

B

S

T

Z

C F

K

G L Q

Responder: a) Q ⊂ A = ? S⊂ P=?

N⊂ A=? R⊂ Z=?

L⊂ C=? F⊂ G=?

b) Representar dicho diagrama en forma de diagrama de Venn-Euler. 4) Representar, sombreando el área apropiada, cada uno de los conjuntos productos que siguen en un diagrama cartesiano de R x R. a) (-4, -1] x [-2, -5] b) {x/ -1 < x < 3}x {x/ -3 ≤ x < 6} c) {x/ x > 7} x {x/ 2 < x ≤ 5} d) {x/ x < -4} x {x/ x ≥ 10}

91

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos 5) Sean los conjuntos : D = (x, z) M = (y, t]

P = [x, t]

A = [y, z)

Siendo x, y, z, t ∈ Re Si t > z > y > x Hallar: a) (M∆A)-(PUD) = ? b) [(P∩A)∆M]UA = ? c) [(D∩M)-(P-A)] ∩D = ? d) [(M-A)∆(AUP)]-D =? 6) Sean los conjuntos: M = [d, c] N = [c, a)

P = (d, b]

Siendo a, b, c, d ∈ Re Hallar: (M∆P)-(N∩P) = ? Si a) a > b > c > d b) b < a < d < c c) c = b < d < a 7) Sean los conjuntos: A = {x/ 10 ≤ x < 20, x∈ Q} C = {x/ x ≥ 8, x∈ Z} E = {x/x∈ 12 < x ≤ 90, x∈ Re}

B = {x/ 2 < x < 15, x∈ F} D = {x/x∈ I}

Hallar: a) (C-A) ∩E = ? b) (B∩D)U(E∆A) = ? c) (AUB) ∩ (E∆C) = ? d) [(A-B)∆(C∩E)]∆D = ?

8) Sean los conjuntos: A = {x/ x ≤ 30, x∈ Q} 1 3 B = {x/ < x ≤ , x∈ F} 2 2 Hallar: a) (B-C)∆(DUA) = ? b) (A∩C)-(D∆B) = ? c) (B∆C) ∩ (D-A) = ?

C = {x/ 10 ≤ x < 100, x∈ Re} D = {x/ x > 7, x∈ Z}

92

Ejercicios propuestos

9) Se da la siguiente información referente al número de elementos de los conjuntos A, B y C de cierto conjunto de 150 elementos: n(A) = 85, n(B) = 70, n(C) = 55, n(A∩C) = 30, n(B∩C) = 25, y

n(A∩B) = 35, n(A∩B∩C) = 20

Hallar: a) n(AUB) b) n(AUBUC) c) n(A∩B∩C’) d) n(A∩B’∩C’) e) n(A’∩B’∩C’) 10) Un alumno de la facultad efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes acerca de los hábitos de estudio en la biblioteca de ingenierías y aporta los siguientes datos: Estudian Física 40, álgebra 55, geometría 55, física y álgebra 15, física y geometría 20, álgebra y geometría 30, estudian las tres asignaturas 10, no asisten a la biblioteca 5. Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta? 11) En una investigación realizada sobre los hábitos de lectura de los estudiantes de la Universidad se encuentra que 48% leen la revista A, 50% la revista B, 30% la revista C, 20% la revista A y B, 10% las revistas B y C, 13% las revistas A y C, 10% no leen ninguna de las revistas. Hallar el porcentaje y expresarlo simbólicamente: a) ¿Qué porcentaje leen las tres revistas? b) ¿Qué porcentaje leen exactamente dos revistas? c) ¿Qué porcentaje leen al menos dos revistas? d) ¿Qué porcentaje leen la revista A o la C, pero no la B? e) ¿Qué porcentaje leen exactamente una revista? f) ¿Qué porcentaje no leen la revista B y la C, pero si la A? 12) En una encuesta hecha a 100 personas sobre sus conocimientos de idiomas resultó lo siguiente: Hablan inglés 27; francés 22; italiano 12; inglés y francés 10; francés y alemán 9; ingles, francés y alemán 6; alemán e italiano 5; 19 hablan inglés pero no alemán; el número de los que hablan alemán es el triple de los que hablan únicamente francés; ninguno de los que hablan italiano hablan ni francés ni inglés. Hallar el número de personas y expresarlo simbólicamente: a) ¿Cuántos no hablan ninguno de los 4 idiomas? b) ¿Cuántos hablan únicamente alemán? c) ¿Cuántos saben al menos 2 idiomas? d) ¿Cuántos saben italiano o francés pero no inglés? e) ¿Cuántos no saben alemán y no saben inglés, pero saben francés?

93

Conceptos básicos sobre teoría de conjuntos 13) Demostrar: a) AUA =A c) AUU = U e) AUB = BUA g) A ⊆ (AUB) i) A∩ (BUC) = (A∩B)U(A∩C) k) (A’)’ = A m) A∩A’ = Φ o) (A∩B)’ = A’UB’ q) Φ’ = U s) A – A = Φ u) A∆B = B∆A w) A – (B – C) = (A - B)U(A∩C) x) AU(B – C) = (AUB) – (C – A) y) A∩ (B – C) = (A∩B) – (A∩C) z) (A ⊂ B) ⊂ Φ = (A’⊂ Φ)∩ (B ⊂

b) A∩Φ = Φ d) AUΦ = A f) AU(BUC) = (AUB)UC h) A∩U = A j) (A∩B) ⊆ A l) AUA’ = U ñ) (AUB)’ = A’∩B’ p) U’ = Φ r) A – B = A∩B’ t) U – A = A’ v) A∆B = (AUB) – (A∩B)

Φ)

14) Demostrar: a) Si A ⊂ B implica A∩B = A b) Si A ⊂ B implica AU(B – A) = B c) Si A∩B = Φ entonces B∩A’ = B d) A – B es subconjunto de AUB e) A – B = B – A = B implica A = B

94