Capitulo 9 Metodo de Cross Marcos Con Desplazamientos

CAPITULO 9 METODO DE CROSS PARA MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL 

Ing. Luis A. Campuzano Castro Castro Mg. Sc.

%.& Introducci'n  



En los análisis de vigas y marcos sin desplazamiento lateral, bastaba con verifcar ue todos los nudos estuviesen en euilibrio para garantizar ue la estructura en su con!unto tambi"n lo estuviese. En marcos con posibilidad de tener desplazamientos desplazamiento s laterales se presenta un #actor adicional ue debe considerarse $ el equilibrio de todas las fuerzas horizontales que actúan sobre el marco, incluyendo las reacciones horizontales en los apoyos.

%.& Introducci'n  



En los análisis de vigas y marcos sin desplazamiento lateral, bastaba con verifcar ue todos los nudos estuviesen en euilibrio para garantizar ue la estructura en su con!unto tambi"n lo estuviese. En marcos con posibilidad de tener desplazamientos desplazamiento s laterales se presenta un #actor adicional ue debe considerarse $ el equilibrio de todas las fuerzas horizontales que actúan sobre el marco, incluyendo las reacciones horizontales en los apoyos.

%.( Marcos de un nivel 

Marco 9.1 - a  





Es un marco asim"trico tanto en carga como en geometr)a. *or lo tanto los nudos + y C pueden desplazarse orizontalmente al aplicar la carga de &( ton. *ara comprobar esa posibilidad se a resuelto el marco en la -abla %.& por el m"todo presentado anteriormente, es decir suponiendo ue / 0A1 2ES*LA3AMIE-/S 0/4I3/-ALES. Los momentos de barra sobre apoyo obtenidos en el cálculo se muestran en la fgura %.& 5 b.

Reacciones horizontales 



A partir de los momentos de las columnas se calculan las reacciones orizontales en los apoyos A y 2, se obtienen los valores mostrados en la fgura %.( 5 a. As) en la columna A+$

Reacciones horizontales 

Reacciones horizontales 



Como no ay ninguna carga lateral aplicada al marco, no se cumple el euilibrio de #uerzas orizontales, o sea, Ʃ Fx ≠ 0



El marco no está en equilibrio, aunque los nudos si lo estén. Para que se cumpla la condición de equilibrio de fuerzas horizontales, sera necesario introducir un apo!o adicional, como se muestra en la fi". #.$ %b , el cual impedira que el marco se desplace horizontalmente hacia la derecha.



En este apo!o se desarrollara una reacción de derecha a izquierda de &.0' ton, que es la diferencia entre las dos reacciones horizontales en los apo!os ( ! ).

M"todo para resolver marcos con desplazamiento lateral 

+

M"todo para resolver marcos con desplazamiento lateral  

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El marco asim"trico de la fgura %.6 5 a puede resolverse, aplicando el principio de superposici'n de causas y e#ectos, como la suma de la resoluci'n del marco %.6 5b y la del marco %.6 5 c. La resoluci'n del primero es la ue ya se a eco en la tabla %.&, con los resultados mostrados en la fgura %.& 5 b. 7altar)a resolver el marco de la fgura %.6 5 c, el mismo ue se e8plica a continuaci'n$

*rocedimiento para resolver un marco con carga orizontal a partir de un desplazamiento impuesto * 

*rocedimiento para resolver un marco con carga orizontal a partir de un desplazamiento impuesto * 



Se tiene un marco como el de la fgura %.9 5 a con una carga orizontal aplicada en uno de los nudos del cabezal. Se puede restringir los nudos contra giro e imponer al marco un desplazamiento orizontal *, como se muestra en la fi"ura #.+ % b.



En estas circunstancias, aparecerá en los extremos de las columnas momentos de empotramiento perfecto que serán i"uales a partir de las si"uientes relaciones

*rocedimiento para resolver un marco con carga orizontal a partir de un desplazamiento impuesto * 



Sacando la relaci'n entre los momentos de las dos columnas se obtiene$



Esta e8presi'n indica ue la relaci'n entre los momentos de empotramiento per#ecto producidos por un desplazamiento lineal es directamente proporcional a los valores de EI e inversamente proporcional a los cuadrados de las longitudes l de las columnas.

*rocedimiento para resolver un marco con carga orizontal a partir de un momento impuesto 

*rocedimiento para resolver un marco con carga orizontal a partir de un momento impuesto 

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Si en el marco de la fgura %.: se imponen los momentos de empotramiento per#ecto MA+ y M+A, pueden calcularse los momentos correspondientes en la columna C2 utilizando la ecuaci'n %.;. Si el marco tiene varias cru!)as, se aplica la ecuaci'n %.; entre la columna a la cual se impusieron los momentos y cada una de las otras columnas. Si una columna tiene un e8tremo articulado se está en el caso de la fgura , un marco con #uerzas iguales y de sentido contrario a las reacciones calculadas. Los momentos obtenidos del análisis de este marco, sumados a los obtenidos en la primera etapa, o sea, con los desplazamientos orizontales impedidos, serán los momentos totales.

Análisis del marco %.&>  



Se empieza por imponer un desplazamiento en el tercer nivel, restringiendo el desplazamiento de los otros niveles, fgura %.&& 5 a. Esto se ace de la misma manera ue en marcos de un nivel, es decir, introduciendo momentos de empotramiento per#ecto arbitrarios en una de las columnas del nivel, calculando los momentos en las otras columnas de acuerdo a su rigidez lineal y llevando a cabo los ciclos de distribuci'n y transporte de momentos. na vez terminados los ciclos de distribuci'n y

Análisis del marco %.&> 







La notaci'n 066 indica ue es la #uerza en el nivel 6 debida a un desplazamiento impuesto en el mismo nivel 6. El cálculo de esta #uerza se realiza como se indic' en la fgura %.% 5 b, pero se debe tomar en cuenta ue es la #uerza ue produce el desplazamiento impuesto, y no la reacci'n ue impide el desplazamiento. na vez calculada la #uerza 0 66, se calcula la reacci'n 0(6, de la manera indicada en la fgura %.% 5c, y despu"s la reacci'n 0 &6 como se planteo en la fgura %.% 5 d. Se debe considerar en ue 0 (6 es la reacci'n en el nivel ( debida al desplazamiento impuesto en el nivel 6 y 0 &6 es la reacci'n en el nivel & debida al desplazamiento impuesto en el nivel 6.

Análisis marco %.&&? b 





 A continuaci'n, el desplazamiento se impone en el nivel ( y se restringen los desplazamientos en los niveles & y 6. 2e la misma #orma anterior se calculan la #uerza 0(( y las reacciones 0 6( y 0&(. 'tese ue al imponer el desplazamiento en el nivel ( aparecen momentos de empotramiento per#ecto en las columnas de los entrepisos ( y 6. Se f!a el momento de empotramiento per#ecto en cualuiera de las columnas a#ectadas y se calculan los momentos en las otras columnas de acuerdo con su rigidez lineal.

Análisis marco %.&&? c  



Como paso siguiente, el desplazamiento se impone en el nivel & y se calculan la #uerza 0 && y las reacciones 0(& y 06& En marcos de un mayor nBmero de niveles abrá ue repetir el procedimiento tantas veces como nBmero de pisos tenga el marco.

Análisis de las #uerzas 0i! 



En la fgura %.&& se an dibu!ado todas las #uerzas 0i! de dereca a izuierda, pero al acer los cálculos reales no resultan todas del mismo signo. As) la #uerza 0 66 en la fgura %.&& 5 a seguramente tendr)a un sentido de izuierda a dereca, ya ue es la ue produce un desplazamiento en este mismo sentido, mientras ue la reacci'n 0 (6 es muy probable ue si tenga el sentido mostrado en la fgura. *or lo tanto se debe establecer una convenci'n de signos consistente, todas las #uerzas de izuierda a dereca serán positivas y las de dereca a izuierda negativas

Ecuaciones de euilibrio de #uerzas orizontales 



Luego ue se an realizado los cálculos de la fgura %.&&, se planean las ecuaciones de euilibrio de #uerzas orizontales para cada nivel. Estas ecuaciones representan ue las #uerzas orizontales de los marcos de las fguras %.&> y %.&& deben ser iguales. *ero la de los marcos %.&& deben estar multiplicadas por #actores = 6, =(, =&, ya ue los desplazamientos o los momentos de empotramiento per#ecto impuestos en las fguras %.&& 5 a, b y c #ueron arbitrarios.

Ecuaciones de euilibrio de #uerzas orizontales 



*lanteando estas ecuaciones de euilibrio se obtienen entonces el siguiente sistema de ecuaciones$



4esolviendo el sistema se obtienen los #actores correctivos =&, =( y =6.

4esoluci'n 7inal  



Multiplicando los momentos calculados a partir de las confguraciones de las fguras %.&& 5 c, b y a, respectivamente, por estos #actores, y sumando los resultados correspondientes, se tiene la resoluci'n del marco de la fgura %.&>. Los momentos calculados de esta manera deben sumarse a los obtenidos en la resoluci'n del marco de la fgura %.% 5 a, o sea, a los correspondientes al marco sin desplazamiento lateral, para tener los momentos totales.

CAPITULO 9 METODO DE CROSS PARA MARCOS CON DESPLAZAMIENTO LATERAL 

RESOLUCION DEL EJEMPLO 9.2

Ing. Luis A. Campuzano Castro Mg. Sc.

EDEM*L/ %.( MA4C/ C/ -4ES IGELES 1 A C4DIA C/ 2ES*LA3AMIE-/ LA-E4AL   

El marco esta su!eto a cargas verticales y orizontales. El marco tiene desplazamientos laterales tanto por la presencia de cargas orizontales como por la asimetr)a, ya ue el voladizo de la dereca rompe la simetr)a del resto de la estructura.

*aso a Cálculo de las rigideces angulares simplifcadas 

*aso b Cálculo de los #actores de distribuci'n 

*aso b Cálculo de los #actores de distribuci'n 

*aso b Cálculo de los #actores de distribuci'n 

*aso b Cálculo de los #actores de distribuci'n 

*aso c Cálculo de los momentos de empotramiento per#ecto para Cross sin desplazamiento lateral 

*aso c Cálculo de los momentos de empotramiento per#ecto para Cross sin desplazamiento lateral 

*aso d Cross sin desplazamiento lateral 

*aso d Cross sin desplazamiento lateral 

Calculo de las reacciones necesarias para impedir los desplazamientos laterales 

7uerza 76



Calculo de las reacciones necesarias para impedir los desplazamientos laterales 

7uerza 7(



Calculo de las reacciones necesarias para impedir los desplazamientos laterales 

7uerza 7&



MA4C/ A 4ES/LGE4 C/ 7E43AS LA-E4ALES -/-ALES 

*aso e Cross con imposici'n de momentos en el nivel 6 

*aso e Cross con imposici'n de momentos en el nivel 6 

Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel 6 

7uerza 766



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel 6 

7uerza 7(6



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel 6 

7uerza 7&6



*aso # Cross con imposici'n de momentos en el nivel ( 

*aso # Cross con imposici'n de momentos en el nivel ( 

Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel ( 

7uerza 76(



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel ( 

7uerza 7((



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel ( 

7uerza 7&(



*aso g Cross con imposici'n de momentos en el nivel & 

*aso g Cross con imposici'n de momentos en el nivel & 

Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel & 

7uerza 76&



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel & 

7uerza 7(&



Calculo de las #uerzas orizontales debidas al desplazamiento en el nivel & 

7uerza 7&&



*aso  Cálculo de los #actores de modifcaci'n 

*aso i Cálculo de los momentos fnales 