capitulo 7 y 8

Problemas desarrollados del Mankiw Manki w Cap 7–8 7–8 Curso: Macroeconomía

Alumnos : Jhoany Elizabeth Figueroa Valdivia (1315140019) (1315140019) Rodrigo Cesar Pineda Zevallos (1129220044) (1129220044)

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7– 7–8

CAPITULO 7 

PREGUNTAS DE REPASO 1. En el modelo de Solow, ¿Cómo afecta la tasa de ahorro al nivel de renta del estado estacionario? ¿Y a la tasa de crecimiento del estado estacionario?

En el modelo de crecimiento Solow, una alta tarifa de ahorro conduce a un capital social grande fijo y un nivel alto de salida fija. Una tarifa de ahorro baja conduce a un pequeño capital social fijo y un nivel bajo de salida fija. El ahorro más alto conduce al crecimiento más rápido económico sólo a corto plazo. Un aumento de la tarifa que ahorra levanta el crecimiento hasta que la economía alcance el nuevo estado estable. Es decir si la economía mantiene una alta tarifa de ahorro, esto también mantendrá un capital social grande y un nivel alto de salida, pero esto no mantendrá una alta tarifa de crecimiento siempre. 2. ¿Qué ventajas tiene una política económica que pretenda alcanzar el nivel de capital correspondiente a la regla de oro?

Es razonable de asumir que el objetivo de un responsable de formular la política de un partido económico es maximizar el bienestar económico de los miembros individuales de sociedad. Ya que el bienestar económico depende de la cantidad de consumo, el responsable de formular la política de un partido debería escoger el estado estable con el nivel más alto de consumo. El nivel de Regla de oro de capital representa el nivel que maximiza el consumo en el estado estable. Suponga, por ejemplo, esto no hay ningún aumento de población o el cambio tecnológico. Si el capital social fijo aumenta en una unidad, entonces aumentos de salida por el producto marginal de capital MPK; la depreciación, sin embargo, aumenta en una δ de cantidad, de modo que la cantidad neta de salida suplementaria disponible para el consumo sea MPK - la δ. El capital social de Regla de oro es el nivel en cual MPK = la δ, de modo que el producto marginal de capital iguala la tarifa de depreciación. 3. ¿Podría la política económica conseguir un estado estacionario en el que hubiera más capital que en el de la regla de oro? ¿Y uno en el que hubiera menos? Justifique sus respuestas.

Cuando la economía comienza encima del nivel de Regla de oro de capital, alcanzando el nivel de Regla de oro conduce al consumo más alto en todos los puntos a tiempo. Por lo tanto, el responsable de formular la política de un partido siempre querría escoger el nivel de Regla de oro, porque el consumo es aumentado para todos los períodos de tiempo. De otra parte, cuando la

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7– 7–8

CAPITULO 7 

PREGUNTAS DE REPASO 1. En el modelo de Solow, ¿Cómo afecta la tasa de ahorro al nivel de renta del estado estacionario? ¿Y a la tasa de crecimiento del estado estacionario?

En el modelo de crecimiento Solow, una alta tarifa de ahorro conduce a un capital social grande fijo y un nivel alto de salida fija. Una tarifa de ahorro baja conduce a un pequeño capital social fijo y un nivel bajo de salida fija. El ahorro más alto conduce al crecimiento más rápido económico sólo a corto plazo. Un aumento de la tarifa que ahorra levanta el crecimiento hasta que la economía alcance el nuevo estado estable. Es decir si la economía mantiene una alta tarifa de ahorro, esto también mantendrá un capital social grande y un nivel alto de salida, pero esto no mantendrá una alta tarifa de crecimiento siempre. 2. ¿Qué ventajas tiene una política económica que pretenda alcanzar el nivel de capital correspondiente a la regla de oro?

Es razonable de asumir que el objetivo de un responsable de formular la política de un partido económico es maximizar el bienestar económico de los miembros individuales de sociedad. Ya que el bienestar económico depende de la cantidad de consumo, el responsable de formular la política de un partido debería escoger el estado estable con el nivel más alto de consumo. El nivel de Regla de oro de capital representa el nivel que maximiza el consumo en el estado estable. Suponga, por ejemplo, esto no hay ningún aumento de población o el cambio tecnológico. Si el capital social fijo aumenta en una unidad, entonces aumentos de salida por el producto marginal de capital MPK; la depreciación, sin embargo, aumenta en una δ de cantidad, de modo que la cantidad neta de salida suplementaria disponible para el consumo sea MPK - la δ. El capital social de Regla de oro es el nivel en cual MPK = la δ, de modo que el producto marginal de capital iguala la tarifa de depreciación. 3. ¿Podría la política económica conseguir un estado estacionario en el que hubiera más capital que en el de la regla de oro? ¿Y uno en el que hubiera menos? Justifique sus respuestas.

Cuando la economía comienza encima del nivel de Regla de oro de capital, alcanzando el nivel de Regla de oro conduce al consumo más alto en todos los puntos a tiempo. Por lo tanto, el responsable de formular la política de un partido siempre querría escoger el nivel de Regla de oro, porque el consumo es aumentado para todos los períodos de tiempo. De otra parte, cuando la

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7– 7–8 economía comienza debajo del nivel de Regla de oro de capital, alcanzando el medio de nivel de Regla de oro que reduce el consumo hoy para aumentar el consumo en el futuro. En este caso, la decisión del responsable de formular la política de un partido no es como claro. Si el responsable de formular la política de un partido se preocupa más por generaciones corrientes que aproximadamente futuras generaciones, él o ella puede decidir no perseguir la política para alcanzar la Regla de oro el estado estable. Si el responsable de formular la política de un partido se preocupa igualmente por todas las generaciones, entonces él o ella deciden alcanzar la Regla de oro. Incluso aunque la generación corriente consuma menos, un número infinito de futuras generaciones se beneficiará del consumo aumentando por moviéndose a la Regla de oro. 4. En el modelo de Solow, ¿Cómo afecta la tasa de crecimiento de la población al nivel de renta del estado estacionario? ¿Y a la tasa de crecimiento del estado estacionario?

El más alto la proporción de aumento de la población es, el más abajo el nivel fijo de capital por trabajador es, y por lo tanto hay un nivel inferior de ingreso fijo. Por ejemplo, la Figura 7-1 muestra el estado estable para dos niveles de aumento de población, un nivel bajo n 1 y un nivel más alto n 2. El aumento de población más alto n 2 quiere decir que la línea que representa el aumento de población y la depreciación es más alta, entonces el nivel fijo de capital por trabajador es inferior.     d    a     d    i     l    i     b    a    t    n    e    r    e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    i  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n     I

(δ + n2)k 2)k (δ + n1)k 1)k

K1 *

sf (k )

K2*

Capital por trabajador

El índice de crecimiento fijo de ingreso total es la n + la g: más alto la n de proporción de aumento de la población es, más alto el índice de crecimiento de ingreso total es. El ingreso por trabajador, sin embargo, crece en la g de tarifa en el estado estable y, así, no es afectado por el aumento de población.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7– 7–8 

PROBLEMAS Y APLICACIONES 1. Los países A y B tienen ambos la función de producción

 = ,,  = 22

a) ¿Tiene esta función de producción rendimientos constantes de escala? Razone su respuesta

Una función de producción tiene vueltas constantes de escalas aumentando todos los factores de producción por un porcentaje igual hace que la salida aumente en el mismo porcentaje. Matemáticamente, una función de producción tiene vueltas constantes de escala si zY zY = F (zK, zL) para cualquier z de número positiva. Es decir si multiplicamos tanto cantidad de capital como la cantidad de trabajo por alguna z de cantidad, entonces la cantidad de salida es multiplicada por la z. Por ejemplo, si doblamos las cantidades de capital y el trabajo usamos (la z que se pone = 2), entonces la salida también dobla.

      =  ,,  =       2 2 2    = , == = 2 =   =     =      =     = 2

Ver si la función de producción para escalar, escribimos:

tiene vueltas constantes

Por lo tanto, la función de producción escalar.

tiene vueltas constantes para

b) ¿Cuál es la función de producción por trabajador,

?

Para encontrar la función de producción por trabajador, divida la función de producción

 por L.

Si definimos y = Y/L, podemos volver a escribir la susodicha expresión como: .

Definiendo la k = K/L, podemos volver a escribir la susodicha expresión como:

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8

c) Suponga que en ninguno de los dos países hay crecimiento demográfico o progreso tecnológico y que todos los años se desprecia un 5% del capital. Suponga, además, que el país A ahorra el 10% de la producción todos los años y el B el 20%. Utilizando su respuesta a la pregunta (b) y la condición del estado estacionario según la cual la inversión es igual a la depreciación, halle el nivel de capital por trabajador del estado estacionario correspondiente a cada país y, a continuación, los niveles de renta por trabajador y de consumo por trabajador del estado estacionario.

Sabemos los hechos siguientes sobre países un A y B: δ = la tarifa de depreciación = 0.05 Sa = la tarifa que ahorra de país un = 0.1 Sb = la tarifa que ahorra de país la B = 0.

 =

 es la función de producción por trabajador sacada en la parte (b) para

países un A y B.

∆

El crecimiento del capital stock  iguala la cantidad de inversión sf (k), menos de la cantidad de depreciación δk. Es decir, k = sf(k)-δk. En el estado estable, el capital stock no crece, entonces podemos escribir esto como sf(k) = δk. Para encontrar el nivel fijo de capital por trabajador, tape la función de producción por trabajador en la condición fija de la inversión, y solucione para k*:

Volver a escribir esto:

2 =δk 2 =/δ =δ2

Para encontrar el nivel fijo de capital por trabajador k*, tape la tarifa que ahorra para cada país en la susodicha fórmula:

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 País A: k a* = (sa/ δ) = (0.1/0.05)2 = 4 País B: k b* = (sb/ δ) = (0.2/0.05)2 = 16 Ahora que hemos encontrado k* para cada país, podemos calcular los niveles fijos de ingreso por trabajador para países A y B porque sabemos que

  =2

4 16

ya* = yb* =

 = 2  = 4

Sabemos que de cada dólar de ingreso, trabajadores salvan una s de fracción y consumen una fracción (1 - s). Es decir la función de consumo es c = (1 - s) y. Ya que sabemos los niveles fijos de ingreso en los dos países, encontramos: País A: Ca* = (1-sa) ya* = (1-0.1)(2) = 1.8 País B: Cb* = (1-sb) yb* = (1-0.2)(4) = 3.2 d) Suponga que ambos países comienzan teniendo un stock de capital por trabajador de 2. ¿Cuáles son los niveles de renta por trabajador y de consumo por trabajador? Recordando que la variación del stock de capital es la inversión menos la depreciación, calcule como evolucionara el stock de capital por trabajador con el paso del tiempo en los dos países. Calcule la rentra por trabajador y el consumo por trabajador correspondiente a cada año. ¿Cuántos años tardara el consumo del país B enser mayor que el del A?

Usando los hechos siguientes y ecuaciones, calculamos el ingreso por trabajador y, el consumo por trabajador c, y la capital por k de trabajador: sa = 0.1 sb = 0.2 δ = 0.05 k0 = 2 para ambos países

 =2 = 1 Página 5

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8

Año

k

1 2 3 4 5

2 2.041 2.082 2.122 2.102

Año

k

1 2 3 4 5

2 2.183 2.369 2.559 2.751

  =2

=1Sa

i = Sa y

δk

1.414 1.429 1.443 1.457 1.470

1.273 1.286 1.299 1.311 1.323

0.141 0.143 0.144 0.146 0.147

0.100 0.102 0.104 0.106 0.108

 =2

= 1Sb

i = Sb y

δk

1.131 1.182 1.231 1.280 1.327

0.283 0.295 0.308 0.320 0.332

0.100 0.109 0.118 0.128 0.138

1.414 1.477 1.539 1.600 1.659

País A

País B

∆

 = i δk 0.041 0.041 0.040 0.040 0.039

∆

 = i δk 0.183 0.186 0.190 0.192 0.194

Note que esto tomará cinco años antes del consumo en el país la B es más alta que el consumo en el país A.

2. En el análisis del crecimiento de Alemania y Japón tras la Segunda Guerra Mundial, hemos descrito que ocurre cuando una guerra destruye parte del stock de capital. Supongamos, por el contrario, que las guerras no afectan directamente al stock de capital, pero que las victimas reducen la población activa.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 i.

¿Cuáles son las consecuencias inmediatas sobre la producción total y sobre la producción per cápita?

La función de producción en el modelo de crecimiento Solow es: Y = F( K, L), o los términos expresados de la salida por trabajador, y = f(k). Si una guerra reduce la mano de obra por víctimas, entonces caídas de L, pero subidas de k =K/L. La función de producción nos dice que la salida total se cae porque hay menos los trabajadores. La salida por aumentos de trabajador, sin embargo, desde cada trabajador tiene más capital.

ii.

Suponiendo que la tasa de ahorro no varía y que la economía se encontraba en un estado estacionario antes de la guerra, ¿Qué ocurre con la producción por trabajador tras la guerra? ¿es la tasa de crecimiento de la producción por trabajador menor o mayor de lo normal una vez terminada esta?

La reducción de la mano de obra quiere decir que el capital stock por trabajador es más alto después de la guerra. Por lo tanto, si la economía estaba en un estado estable antes de la guerra, entonces después de la guerra la economía tiene un capital stock que es más alto que el nivel fijo. Muestran esto en la Figura como un aumento de la capital por trabajador de k* a k1. Como las vueltas de economía al estado estable, el capital stock por caídas de trabajador de k1 atrás a la k*, entonces la salida por trabajador también se cae.

    d    a     d    i     l    i     b    a    t    n    e    r    e     d

(δ + n1)k

sf (k )

   n     ó    i    s    r    e    v    n    i  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n     I

K*

K1

Capital por trabajador

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 De ahí, en la transición al nuevo estado estable, el crecimiento de salida es lento. En el estado estable, sabemos que el progreso tecnológico determina el índice de crecimiento de salida por trabajador. Una vez las vueltas de economía al estado estable, la salida por trabajador iguala la tarifa de progreso como tecnológico que era antes de la guerra. 3. Considere la economía descrita por la función de producción:

=, =.. 

¿Cuál es la función de producción por trabajador?

=..  = ..  = ..

Seguimos la Sección 7-1, " Acercamiento a al Estado Estable: Un Ejemplo Numérico. " La función de producción es  .Para sacar la función de producción por trabajador f(k) , divida ambos lados de la función de producción por la mano de obra la L:

Reorganice para obtener:

Como y = Y/L y la k = la K/L, esto se hace:



=.

Suponiendo que no hay crecimiento de la población ni progreso tecnológico, halle el stock de capital por trabajador, la producción por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario en función de la tasa de ahorro y de la tasa de depreciación.

Memoria esto

∆= δk ∆ 0= δk  ∗∗ = δ

El valor fijo de capital k* es definido como el valor de k en la cual el capital stock es constante, tan  = 0. Se sigue que en estado estable.

o, equivalentemente,

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Para la producción funcionan en este problema, se sigue que:

Reorganización:

O

∗∗. = δ ∗. = δ ∗ =δ⁄.

La substitución de esta ecuación para la capital fija por trabajador en la función de producción por trabajador de la parte (a) da:

∗ =δ.⁄.

δ ∗ =∗ δ∗ =δ.⁄. δδ⁄.

El consumo es la cantidad de salida que no es invertida. Ya que la inversión en el estado estable iguala k*, se sigue que:

Nota: Un acercamiento alternativo al problema es de notar que el consumo también iguala la cantidad de salida que no es salvada:

∗ =1 ∗=1∗. =1δ.⁄.

Alguna manipulación algebraica muestra que esta ecuación es igual a la ecuación encima. 

Suponga que la tasa de depreciación es del 10% al año. Elabore un cuadro que muestre el capital por trabajador, la producción por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario correspondiente a una tasa de ahorro del 0%, del 10%, del 20%, del 30%, etc. (necesitara una calculadora con una tecla para calcular funciones exponenciales). ¿Qué tasa de ahorro maximiza la producción por trabajador? ¿Qué tasa de ahorro maximiza el consumo por trabajador?

La mesa debajo muestra la K*, Y* y C* para la tarifa que ahorra en la columna izquierda, usando las ecuaciones de la parte (b). Asumimos una

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 tarifa de depreciación del 10%. La última columna muestra el producto marginal de capital, sacada en la parte (d) debajo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

∗

0.00 1.00 2.69 4.80 7.25 9.97 12.93 16.12 19.50 23.08 26.83

∗

0.00 1.00 1.35 1.60 1.81 1.99 2.16 2.30 2.44 2.56 2.68

∗

  0.00 0.90 1.08 1.12 1.09 1.00 0.86 0.69 0.49 0.26 0.00

MPK 0.30 0.15 0.10 0.08 0.06 0.05 0.04 0.04 0.03 0.03

Note que una tarifa que ahorra del 100% (s = 1.0) maximiza la salida por trabajador. En aquel caso, desde luego, nada alguna vez es consumido, tan c* =0. El consumo por trabajador es maximizado en una tarifa de ahorro del 0.3% es decir donde la s iguala la parte de la capital en la salida. Esto es el nivel de Regla de oro de s. 

(Mas difícil). Utilice el cálculo para hallar el producto marginal del capital. Añada el producto marginal del capital a su cuadro una vez descontada la depreciación correspondiente a cada una de las tasa de ahorro. ¿Qué muestra su cuadro?

=.. .  .    =0.3  =0.3  =0.3 

Podemos diferenciar la función de producción en lo que concierne a la K para encontrar el producto marginal de capital. Esto da:

La mesa en la parte (c) muestra el producto marginal de capital para cada valor de la tarifa que ahorra. Note que el apéndice al Capítulo 3 sacó el MPK para la función de producción de general Cobb-Douglas. La ecuación encima corresponde al caso especial donde un iguala 0.3

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 4. La dedicación de una parte mayor de la producción nacional a la inversión ayudaría a acelerar el crecimiento de la productividad y a elevar los niveles de vida ¿Está usted de acuerdo con esta afirmación? Justifique su respuesta.

Suponga la economía comienza con un capital stock inicial fijo debajo del nivel de Regla de oro. El efecto inmediato de dedicar una parte más grande de salida nacional a la inversión es que la economía dedica una más pequeña parte al consumo; es decir "nivel de vida" como medido por caída de consumo. La tarifa más alta de la inversión quiere decir que el capital stock aumenta más rápidamente, tan los índices de crecimiento de salida y salida por subida de trabajador. La productividad de trabajadores es la cantidad media producida por cada trabajador, es decir la salida por trabajador. Tan subidas de crecimiento de productividad. De ahí, el efecto inmediato es aquella caída de nivel de vida, pero subidas de crecimiento de productividad. En el nuevo estado estable, la salida cultiva en la n + g de tarifa, mientras la salida por trabajador crece en la g de tarifa. Esto quiere decir que en el estado estable, el crecimiento de productividad es independiente de la tarifa de inversión. Ya que comenzamos con un capital stock inicial fijo debajo del nivel de Regla de oro, la tarifa más alta de la inversión quiere decir que el nuevo estado estable tiene un nivel más alto de consumo, entonces el nivel de vida es más alto. Así, un aumento de la tarifa de la inversión aumenta el índice de crecimiento de productividad a corto plazo, pero no tiene ningún efecto a la larga. El nivel de vida, de otra parte, la caída inmediatamente y sólo se eleva con el tiempo. Es decir la cita acentúa el crecimiento, pero no el sacrificio requerido para alcanzarlo. 5. Según una teoría de la función de consumo, defendida a veces por los economistas marxistas, la propensión de los trabajadores a consumir es elevada y la de los capitalistas es baja. Para analizar las consecuencias de esta teoría, supongamos que una economía consume toda su renta salarial y ahorra toda su renta de capital. Muestre que si los factores de producción perciben su producto marginal, esta economía alcanza el nivel de acumulación de capital correspondiente a la regla de oro (pista: comience con la identidad según la cual el ahorro es igual a la inversión; utilice la condición del estado estacionario según la cual la inversión debe ser justo la suficiente para contrarrestar la depreciación y el crecimiento de la población y el hecho de que el ahorro es igual a la renta de capital en esta economía).

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Como en el texto, deje a la k = K/L significa la capital por unidad de trabajo. La ecuación para la evolución de k es:

∆k= Saving – δ

Si todo el ingreso de capital es salvado y si la capital gana su producto marginal, entonces el ahorro iguala MPK × la k. Podemos substituir esto en la susodicha ecuación para encontrar.

 ∆

∆ =  x  – δ 

En el estado estable, la capital por unidad de eficacia de capital no se cambia, tanto  = 0. De la susodicha ecuación, esto nos dice esto:

O

Equivalentemente,

 δ

 x = δ   = δ   δ= 

En el estado estable de esta economía, el producto neto marginal de capital, MPK - , iguala la tarifa de crecimiento de salida n. Pero esta condición describe la Regla de oro el estado estable. De ahí, concluimos que esta economía alcanza el nivel de Regla de oro de acumulación de capital.

6. Muchos demógrafos predicen que Estados Unidos tendrá un crecimiento demográfico nulo en el siglo XXI, en comparación con el crecimiento demográfico anual medio de 1% aproximadamente registrado en el siglo XX. Utilice el modelo de Solow para predecir la influencia de esta desaceleración total y en el de la producción per cápita. Considere los efectos tanto en el estado estacionario como la transición de unos estados a otros.

Primero, considere estados estables. En la Figura, la proporción de aumento de la población lenta cambia la línea que representa el aumento de población y la depreciación hacia abajo. El nuevo estado estable tiene un nivel más alto de capital por trabajador k, y de ahí un nivel más alto de salida por trabajador.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8

(δ + n1)k

    d    a     d    i     l    i     b    a    t    n    e    r    e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    i  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n     I

(δ + n2)k

K1 *

sf (k )

K2*

Capital por trabajador

¿En cuanto a índices de crecimiento fijos? En el estado estable, la salida total cultiva en la tarifa de n + g, mientras que la salida por persona crece en la g de tarifa. De ahí, el aumento de población lento bajará el crecimiento de salida total, pero el crecimiento de salida por persona será el mismo. Ahora considere la transición. Sabemos que el nivel fijo de salida por persona es más alto con el aumento de población bajo. De ahí, durante la transición al nuevo estado estable, la salida por persona debe crecer en una tarifa más rápido que la g un ratito. En las décadas después de la caída en el aumento de población, el crecimiento en total la salida se caerá mientras el crecimiento en la salida por persona se elevará. 7. En el modelo de Solow, el crecimiento de la población provoca un crecimiento de la producción total, pero no de la producción por trabajador. ¿cree usted que sería así si la función de producción mostrara rendimientos de escalas crecientes o decrecientes? Justifique su respuesta (para las definiciones de los rendimientos de escala crecientes y decrecientes, véase el capítulo 3. Problemas y aplicaciones, problema 2).

Si allí disminuyen vueltas para trabajar y la capital, entonces aumentando tanto capital como trabajo por la misma salida de aumentos de proporción por menos que esta proporción. Por ejemplo, si doblamos las cantidades de capital y trabajo, entonces la salida menos que dobla. Esto puede pasar si hay un factor fijo como la tierra en la función de producción, y se hace escaso como la economía se pone más grande. Entonces el aumento de población aumentará la salida total, pero disminuirá la salida por trabajador, ya que cada trabajador tiene menos del factor fijo para trabajar con. Si allí aumentan vueltas para escalar, entonces el doblamiento de las entradas de capital y trabajo más que dobla la salida. Esto puede pasar si la especialización de trabajo se hace mayor como la población crece. Entonces el aumento de población aumenta la salida

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 total y también aumenta la salida por trabajador, ya que la economía es capaz de aprovechar la economía de escala más rápidamente. 8. Considere la influencia del paro en el modelo de crecimiento de Solow. Suponga que se produce de acuerdo con la función de producción

= 1− Donde k es el capital, L es la población activa y u es la tasa natural de paro. La tasa de ahorro nacional es s, la población activa crece a la tasa n y el capital se deprecia a la tasa .

δ

i) Exprese la producción por trabajador ( y = Y/L ) en función del capital por trabajador ( k = K/L ) y de la tasa natural de paro. Describa el estado estacionario de esta economía. Para encontrar la salida per cápita y dividimos la salida total por el número de trabajadores:

 ∗ −       1  =    =( ) 1∗−  1∗−

donde el paso final usa la k = K/L de definición. Note que el paro reduce la cantidad de per cápita la salida para cualquier proporción de persona de capital dada porque un poco de la gente no produce nada. El estado estable es el nivel de capital por persona en la cual el aumento de la capital per cápita de la inversión iguala su disminución de la depreciación y el aumento de población (mirar el Capítulo 4 para más detalles). sy * = (

 δ

+ n)k *

sk *α(1 – u)1–α = (δ + n)k *

∗ =1∗δ  − Página 14

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 El paro baja el producto marginal de capital Y, de ahí, actúa como un choque negativo tecnológico que reduce la cantidad de capital la economía puede reproducirse en el estado estable. La figura muestra esto gráficamente: un aumento del paro baja el sf(k) la línea y el nivel fijo de capital por persona.

    d    a     d    i     l    i     b    a    t    n    e    r    e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    i  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n     I

(δ + n)k

sf (k, u1*) sf (k, u2*)

K2*

K1*

Capital por trabajador

Finalmente, para conseguir la salida fija tapan el nivel fijo de capital en la función de producción:

  ∗ = 1∗δ  − 1∗−   − ∗

=1 δ  

El paro baja la salida para dos motivos: para una k dada, el paro baja Y, y el paro también baja el valor fijo k*. ii) Suponga que un cambio de política reduce la tasa natural de paro. Describa como afecta este cambio a la producción tanto inmediatamente como con el paso del tiempo. ¿Afecta a la producción más en el estado estacionario que inmediatamente o menos? Explique su respuesta. La figura debajo muestra el modelo de salida con el tiempo. En cuanto caídas de paro de u1 a u2, salida salta encima de su valor inicial fijo de y*(u1). La economía tiene la misma cantidad de capital (ya que esto requiere tiempo para ajustar el capital stock), pero esta capital es combinada con más trabajadores. En aquel momento la economía es fuera del estado estable: esto tiene menos capital que ello quiere emparejar el número aumentado de trabajadores en la economía. La economía comienza

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 su transición por acumulándose más capital, levantando la salida aún más lejos que el salto original. Tarde o temprano el capital stock y la salida convergen a su nuevo, niveles más alto fijos.

Y*(u*2)

Y*(u*1)

u*

t

Caídas

9. Elija dos países que le interesen, uno rico y uno pobre. ¿Cuál es la renta per cápita de cada uno? Busque algunos datos sobre las características de los países que podrían ayudar a explicar la diferencia de renta: las tasas de inversión, las tasas de crecimiento de la población, los niveles de estudios, etc. (pista: la página web del Banco Mundial, www.worldbank.org, es un lugar en el que encontrar esos datos). ¿Cómo podría averiguar cuál de estos factores es el mayor responsable de la diferencia de renta observada?

No hay ningún modo único de encontrar los datos contestando esta pregunta. Por ejemplo, del sitio web de Banco mundial, seguí se vincula " Datos y Estadística. " Entonces seguí un eslabón " a Mesas de Referencia Rápidas " (http: // www.worldbank.org/data/databytopic/GNPPC.pdf) para encontrar una mesa sumaria de ingreso per cápita a través de países. Note que hay algunas publicaciones sutiles en la conversión de valores monetarios a través de los países que están más allá del alcance de este libro. Los datos en la Mesa 7-1 empleo lo que llaman " la paridad de poder adquisitivo".

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Como un ejemplo, decidí comparar los Estados Unidos (el ingreso por persona de 31,900 dólares en 1999) y Paquistán (1,860 dólares), con una diferencia de 17 pliegues en el ingreso por persona. ¿Cómo podemos decidir qué factores son los más importantes? Como los apuntes de texto, las diferencias del ingreso deben venir de diferencias de la capital, el trabajo, y/o la tecnología. El modelo de crecimiento Solow nos da un marco para pensar en la importancia de estos factores. Una diferencia clara a través de países está en el logro educativo. Uno puede pensar en diferencias del logro educativo como diferencias que reflexionan de amplio " la capital humana " (análogo a la capital física) o como diferencias del nivel de tecnología (p.ej., si su mano de obra es más educada, entonces usted puede poner en práctica mejores tecnologías). Para nuestros objetivos, pensaremos en la educación como reflejando " la tecnología, " en el cual esto permite a más salida por trabajador para cualquier nivel dado de capital física por trabajador. Del sitio web de Banco mundial (mesas de país) encontré los datos siguientes (el febrero de 2002 descargado):

Estados Unidos Paquistán

Mano de obra Crecimiento (1994-2000) 1.5 3.0

Inversión/PIB (1990) (por ciento) 18 19

Analfabetismo (por ciento Población 15+) 0 54

¿Cómo podemos decidir que el factor explica el más? Parece improbablemente en el cual la pequeña diferencia en la inversión/PIB explica la diferencia grande por ingreso de capital, abandonando el crecimiento de mano de obra y el analfabetismo (o, más generalmente, la tecnología) como los culpables probables. Pero podemos ser más formales sobre esta utilización el modelo de Solow. Seguimos la Sección 7-1, “Acercamiento  al Estado Estable: Un Ejemplo Numérico”.  Para el momento, asumimos que los dos países tienen la misma tecnología de producción:

=22

Esto nos permitirá para decidir si las diferencias del ahorro y el aumento de población pueden explicar las diferencias del ingreso per cápita; si no, entonces

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 las diferencias de la tecnología permanecerán como la explicación probable. Como en el texto, podemos expresar esta ecuación en términos de la función de producción por trabajador f(k):

 =2 En fijo, sabemos esto

 ∆

∆=δk

El valor fijo de capital k* es definido como el valor de k en la cual el capital stock es constante,  = 0. Se sigue que en estado estable:

O, equivalentemente,

0=δk  ∗∗ = δ ∗∗ 2 = δ   ∗2 = δ

Para la producción funcionan en este problema, se sigue que:

Reorganización:

O

∗ =+ 2 La substitución de esta ecuación para la capital fija por trabajador en la función de producción por trabajador da:

∗ =δ  Página 18

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Si asumimos que los Estados Unidos y Paquistán están en el estado estable y tienen las mismas tarifas de depreciación digamos, el 5% entonces la proporción de ingreso per cápita en los dos países es:

  0. 0 5 =[ ][ paquistan  0.05] Esta ecuación nos dice que sí, digamos, EE UU que salvan la tarifa habían sido dos veces la tarifa de ahorro del Paquistán, entonces el ingreso estadounidense por trabajador sería dos veces el nivel del Paquistán (otras cosas igual). Claramente, dado que EE UU tienen el ingreso más alto de 17 veces por trabajador, pero los niveles muy similares de inversión en relación con el PIB, esta variable no es un factor principal en la comparación. Incluso el aumento de población sólo puede explicar un factor de 1.2 diferencia (0.08/0.065) en los niveles de salida por trabajador. El culpable restante es la tecnología, y el nivel alto de analfabetismo en Paquistán es compatible con esta conclusión.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8

Capítulo 8: El crecimiento económico II: La tecnología, el análisis empírico y la política económica



Preguntas de Repaso

1.- En el modelo de Solow ¿qué determina la tasa de crecimiento de la renta por trabajador? En el modelo de Solow, encontramos que sólo el progreso tecnológico puede afectar el estado estacionario de crecimiento de los ingresos por trabajador. El crecimiento en el stock de capital (a través de un notable ahorro) no tiene ningún efecto sobre la tasa de crecimiento de estado estacionario de la renta por trabajador; tampoco lo hace el crecimiento demográfico. Pero el progreso tecnológico puede conducir a un crecimiento sostenido. 2.- ¿A qué tasa crece la producción per cápita en el estado estacionario del modelo de Solow? ¿A qué tasa crece el capital per cápita? ¿Qué diferencias hay entre esas tasas y las de Estados Unidos?

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 3.- ¿Qué datos necesitaría para averiguar si una economía tiene más o menos capital que el estado estacionario correspondiente a la regla de oro? Para decidir si una economía tiene más o menos capital que la regla de oro, tenemos que comparar el producto marginal del capital neto de la depreciación (MPK - δ) con la tasa de crecimiento de la producción total (n + g). La tasa de crecimiento del PIB es fácilmente disponible. Estimar el producto marginal neto del capital requiere un poco más de trabajo, pero, como se muestra en el texto, puede hacer una copia de los datos disponibles en el capital social con respecto al PIB, el monto total de la depreciación con respecto al PIB, y la participación del capital en el PIB. 4.- ¿Cómo pueden influir los responsables de la política económica en la tasa de ahorro de un país? La política económica puede influir en la tasa de ahorro, ya sea aumentando el ahorro público o la prestación de incentivos para estimular el ahorro privado. El ahorro público es la diferencia entre los ingresos y gastos del gobierno. Si el gasto es superior a los ingresos, el gobierno tiene un déficit presupuestario, que es ahorro negativo. Las políticas que reducen el déficit (como la reducción de las compras o aumentos en los impuestos del gobierno) aumentar el ahorro público, mientras que las políticas que aumentan el ahorro de reducción del déficit. Una variedad de políticas gubernamentales afectan el ahorro privado. La decisión de un hogar para ahorrar puede depender de la tasa de retorno; mayor será el retorno al ahorro, el ahorro se convierte en más atractivo. Los incentivos fiscales, tales como cuentas de jubilación exentas de impuestos para las personas y los créditos fiscales a la inversión para las corporaciones aumentan la tasa de rendimiento y fomentar el ahorro privado. 5.- ¿Qué ha ocurrido con la tasa de crecimiento de la productividad en los últimos cuarenta años? ¿Cómo podría explicar este fenómeno? La tasa de crecimiento del producto por persona se redujo en todo el mundo después de 1972. Esta desaceleración parece reflejar una desaceleración en el crecimiento de la productividad, velocidad a la que la función de producción está mejorando con el tiempo. Se han propuesto varias explicaciones, pero la desaceleración sigue siendo un misterio. En la segunda mitad de la década de 1990, la productividad creció más rápidamente de nuevo en los Estados Unidos y, al parecer, algunos otros países. Muchos comentaristas atribuyen la recuperación de la productividad de los efectos de la tecnología de la información.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 6.- ¿Cómo explica la teoría del crecimiento endógeno el crecimiento persistente sin el supuesto del progreso tecnológico exógeno? ¿En qué se diferencia del modelo de Solow? La Teoría de crecimiento endógeno intenta explicar la tasa de progreso tecnológico explicando las decisiones que determinan la creación de conocimiento a través de la investigación y el desarrollo. Por el contrario, el modelo de Solow simplemente tomó este paso como exógenas. En el modelo de Solow, la tasa de ahorro afecta el crecimiento temporalmente, pero los rendimientos decrecientes a de capital finalmente forzar la economía de acercarse a un estado de equilibrio en el que el crecimiento sólo depende del progreso tecnológico exógeno. Por el contrario, muchos modelos endógenos de crecimiento en esencia suponen que no son constantes (en lugar de disminuir) el rendimientos del capital, interpretados para incluir el conocimiento. Por lo tanto, los cambios en la tasa de ahorro pueden conducir a un crecimiento persistente.



Problemas y aplicaciones

1.- una economía descrita por el modelo de crecimiento de Solow tiene la siguiente función de producción:

= √



a. Halle el valor de y   correspondiente al estado estacionario en función de s, n, g y .

Para resolver el valor de estado estacionario de y en función de s, n, g, y δ, comenzamos con la ecuación para el cambio en el capital social en el estado de equilibrio:  ∆ K = sf (k) - (δ + n +g) k = 0.

√

La función de producción y =

también puede ser reescrita como y 2 = k . Al conectar esta

producción funciona en la ecuación para el cambio en el capital social, nos encontramos con que en el estado de equilibrio: sy - (δ + n + g) y 2 = 0.

La resolución de este, encontramos el valor de estado estacionario de y :

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 y * = s / (δ + n + g).

b. Un país desarrollado

tiene una tasa de ahorro del 28 % y una tasa de

crecimiento de la población del 1 % al año. Un país menos desarrollado

=0. 04

tiene una tasa de ahorro del 10 % y una tasa de crecimiento de la población del 4 % al año. En los dos, g = 0,02 y

. Halle el valor de y

correspondiente al estado estacionario en cada país.

La pregunta nos proporciona la siguiente i nformación acerca de cada país: Los países desarrollados:

Los países menos desarrollados:

s = 0,28

s = 0,10

N = 0,01

N = 0,04

g = 0,02

g = 0,02

δ = 0,04

δ = 0,04

Usando la ecuación para y * que derivamos en la parte (a), se puede calcular el valor del estado estacionario de y para cada país. 

Países desarrollados:

y * = 0,28 / (0.04 + 0.01 + 0.02) = 4.



País de menor desarrollo:

y * = 0,10 / (0.04 + 0.04 + 0.02) = 1.

c. ¿Qué medidas podría adoptar el país menos desarrollado para elevar su nivel de renta? La ecuación para y * que derivamos en la parte (a) muestra que el país menos desarrollado podrían elevar su nivel de ingresos mediante la reducción de su tasa de crecimiento de la población n  o el aumento de su tasa de ahorro s. Las políticas que reducen el crecimiento de la población incluyen la introducción de métodos de control de la natalidad y la aplicación de desincentivos para tener hijos.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Las políticas que aumentan la tasa de ahorro incluyen aumentar el ahorro público para reducir el déficit presupuestario y la introducción de incentivos de ahorro privado como IRA y otras ventajas fiscales que aumentan el retorno al ahorro.

2.-En los Estado Unidos, la participación del capital en el PIB es del orden del 30%; el crecimiento medio de la producción gira en torno al 3% al año; la tasa de depreciación es del 4 % anual aproximadamente; y la relación capital-producto es del alrededor de 2,5. Suponga que la función de producción es Cobb-Douglas, por lo que la participación del capital en la producción es constante, y que Estados Unidos se encuentra en un estado estacionario. Para resolver este problema, es útil para establecer lo que sabemos acerca de la economía de EE.UU.: Una función de producción Cobb-Douglas tiene la forma y = K α, donde α es la parte del capital de ingresos. La pregunta nos dice que α = 0.3, así que sabemos que la función de producción es y = k0.3. En el estado estacionario, se sabe que la tasa de crecimiento de la producción es igual a 3 por ciento, así que sabemos que (n + g) = 0,03. La tasa de depreciación δ = 0,04. La relación capital-producto K / Y = 2.5. Debido k / y   = [K / (L × E)] / [Y / (L × E)] = K / Y, sabemos que k / y  = 2,5. (Es decir, la relación capital-producto es la misma en términos de efectivo trabajadores como lo es en los niveles.)

1. ¿Cuál debe ser la tasa de ahorro en el estado estacionario inicial?

Comience con el estado de equilibrio condiciones , sy = k (δ + n + g). Reescribiendo la ecuación conduce a una fórmula para el ahorro en el estado estacionario: s = ( g δ + n +) (k / y). La conexión de los valores establecidos anteriormente:

Página 24

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 s = (0,04 + 0,03) (2,5) = 0,175. La tasa de ahorro inicial es del 17,5 por ciento.

2. ¿Cuál es el producto marginal del capital en el estado estacionario inicial? Sabemos por el capítulo 3 que con una función de producción Cobb-Douglas, el capital de participación en el ingreso α = MPK (K / Y). Reescrito, tenemos: MPK = α / (K / Y). La conexión de los valores establecidos anteriormente, nos encontramos con: MPK = 0.3/2.5 = 0.12.

3. Suponga que las medidas adoptados por el gobierno elevan la tasa de ahorro, por lo que la economía alcanza un nivel de capital correspondiente a la regla de oro ¿Cuál será el producto marginal del capital en el estado estacionario de la regla de oro? Compare este producto marginal con el estado inicial

Sabemos que en el estado estacionario de la regla de oro: MPK = (n + g + δ). Juntando los valores establecidos anteriormente: MPK = (0,03 + 0,04) = 0,07 En el estado estacionario de la regla de oro, el producto marginal del capital es del 7 por ciento, mientras que es del 12 por ciento en el estado de equilibrio inicial. Por lo tanto, desde el estado de equilibrio inicial tenemos que aumentar k para alcanzar el estado estacionario de la regla de oro.

4. ¿Cuál será la relación capital-producto en el estado estacionario de la regla de oro?

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Sabemos por el capítulo 3 que para una función de producción Cobb-Douglas, MPK = α (Y / K). La solución de este para la relación capital-producto, nos encontramos con: K / Y = α / MPK. Podemos resolver la relación capital-producto Regla de Oro usando esta ecuación. Si nos conectamos en el valor 0,07 para el producto marginal de estado estacionario de la regla de oro de la capital, y el valor de 0.3 para α, encontramos: K / Y = 0.3/0.07 = 4.29. En el estado estacionario de la regla de oro, la relación capital-producto es ig ual a 4,29, en comparación con la relación capital-producto actual de 2,5.

5. ¿Cuál debe ser la tasa de ahorro para alcanzar en estado estacionario de la regla de oro? Sabemos de la parte (a) de que en el estado de equilibrio s = (k / y) (δ + n + g ) (k / y), Donde k / y  es la relación capital-producto en el estado estacionario. En la introducción de esta respuesta, mostramos que k / y = K / Y, y en la parte (d) se encontró que la Regla de Oro K / Y = 4,29. La relación de este valor y los establecidos anteriormente: s = (0,04 + 0,03) (4,29) = 0,30. Para alcanzar el estado estacionario de la regla de oro, la tasa de ahorro debe subir 17,530 ciento.

3.- Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones sobre el estado estacionario con crecimiento de la población y progreso tecnológico. a. La relación capital-producción es constante. En el estado estacionario, sabemos que sy = (g δ + n +) k . Esto implica que k / y = s / (δ + n + g).

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Desde s, δ, n, y g son constantes, esto significa que la relación k / y   también es constante. Desde k / y = [K / (L × E)] / [Y / (L × E)] = K / Y, podemos concluir que en el estado de equilibrio, la relación capital-producto es constante.

b. El capital y el trabajo obtienen una proporción constante de la renta de la economía Sabemos que la participación del capital en la renta = MPK × (K / Y). En el estado estacionario, se sabe de la parte (a) de que la relación capital-producto K / Y es constante. También sabemos desde el indicio de que la MPK es una función de k, que es constante en el estado estacionario; Por lo tanto, la propia MPK debe ser constante. Por lo tanto, la participación del capital en la renta es constante. La participación del trabajo en la renta es 1 - [participación del capital]. Por lo tanto, si la parte del capital es constante, se observa que la participación del trabajo en la renta también es constante.

c. La renta total del capital y la renta del trabajo crecen ambas a la tasa de crecimiento de la población más la tasa de progreso tecnológico n + g. Sabemos que en el estado estacionario, el ingreso total crece a n + g - la tasa de la población crecimiento más la tasa de cambio tecnológico. En la parte (b) mostramos que es constante de las acciones de capital de la renta del trabajo. Si las acciones son constantes, y el ingreso total crece a la tasa n + g, entonces la renta del trabajo y los ingresos de capital también deben crecer a una tasa n + g.

d. El precio real de alquiler del capital es constante y el salario real crece a la tasa de progreso tecnológico, g.

Definir el precio de alquiler de bienes de capital de R como: R = Capital Total ingresos / Capital Social = (MPK × K) / K = MPK.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Sabemos que en el estado estacionario, la MPK es constante porque el capital por trabajador eficiente k es constante. Por lo tanto, podemos concluir que el precio de alquiler de bienes de capital es constante en el estado estacionario. Para demostrar que el salario real w crece a un ritmo de progreso tecnológico g, definimos: TLI = ingreso laboral total. L = Fuerza de Trabajo. Utilizar la sugerencia de que el salario real es igual al ingreso laboral total dividido por la fuerza de trabajo w  = TLI / L. De manera equivalente, wL = TLI. En términos de tasas de variación, podemos escribir esto como ∆ W / w +∆ L / L = ΔTLI / TLI. Esta ecuación dice que la tasa de crecimiento del salario real más la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo es igual a la tasa de crecimiento de las rentas del trabajo total. Sabemos que la fuerza de trabajo crece a una tasa n, y de la parte (c), sabemos que el ingreso laboral total crece a una tasa n + g. Por consiguiente, concluimos que el salario real crece a una tasa g. 4.- Dos países, Ricolandia y Pobrelandia, son descritos por el modelo de crecimiento de Solow. Tienen la misma función de producción Cobb-Duoglas , F (K, L)=AK αL1-α , pero con cantidades diferentes de capital y de trabajo. Ricolandia ahorra el 32% de su renta, mientras Pobrelandia ahorra un 10%. En Ricolandia, el crecimiento de la población es de 1% al año, mientras que en Pobrelandia es de un 3%. Los dos países tienen una tasa de progreso tecnológico del 2 % al año y una tasa de depreciación del 5% al año.

a. ¿Cuál es la función por trabajador f (k )?

 −         −    =  =  =  = Página 28

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 b. Halle el cociente entre la renta por trabajador en el estado estacionario de Ricolandia y la de Pobrelandia.

   =  =   ;− =    − ∗ = /−    ∗    =− =()  −  ) =[]−   ∗∗ =   (   −    ()

En el estado estacionario: ∆k = 0 → sf(k)= ( 

 )

→ sA

c. Si el parámetro α de la función Dobb- Douglas toma el valor convencional de alrededor de 1/3, ¿en qué cuantía debe ser mayor la renta por trabajador en Ricolandia que la de Pobrelandia? Sustituyendo en la fórmula:

 −  ) =[]−   ∗∗ =   (   −    ()

Nr, np, Sp, Sr y α= 1/3

  ∗∗ =1,795  Página 29

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 d. La renta por trabajador de Ricolandia es, en realidad, 16 veces mayor que la de Pobrelandia. ¿Puede explicar este hecho cambiando el valor del parámetro α? ¿cuál debe ser? ¿se le ocurre alguna forma de justificar ese valor de este parámetro? ¿de qué forma podría explicar la gran diferencia entre la renta de Ricolandia y Pobrelandia? Si

Tomamos log s:

 ∗ −   ∗ =16 ⟹  =16    ⇒ 4− =16

1 ln4 =ln16 = ln4lnl16n16 =0, 66

5.- La cantidad de educación que adquiere la persona representativa varía significativamente de unos países a otros. Suponga que tuviera que comparar un país cuya población activa posee un elevado nivel de estudios con otro cuya población activa posee menos estudios. Suponga que los dos países son, por lo demás, iguales: tienen la misma tasa de ahorro, la misma tasa de depreciación, la misma tasa de crecimiento demográfico y la misma tasa de progreso tecnológico. Ambos son descritos por el modelo de Solow y se encuentran en sus estados estacionarios. ¿Qué predicciones haría sobre las siguientes variables?

¿De qué manera las diferencias en la educación entre países afectan el modelo de Solow? La educación es un factor que afecta la eficiencia de la mano de obra, que denotamos por E. (Otros factores que afectan la eficiencia del trabajo incluyen los niveles de salud, habilidad y conocimiento.) Puesto que el país 1 tiene una fuerza laboral más educada que el país 2, cada uno de los trabajadores en país 1 es más eficiente. Es decir, E1> E2. Vamos a suponer que ambos países están en estado estacionario.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 a. La tasa de crecimiento de la renta total En el modelo de crecimiento de Solow, la tasa de crecimiento del ingreso total es igual a n + g, que es independiente del nivel de la fuerza de trabajo de la educación. Los dos países, por lo tanto, tienen la misma tasa de crecimiento de los ingresos totales, ya que tienen la misma tasa de crecimiento de la población y l a misma tasa de progreso tecnológico. b. El nivel de renta por trabajador Debido a que ambos países tienen la misma tasa de ahorro, la misma tasa de crecimiento de la población, y el mismo ritmo de los avances tecnológicos, sabemos que los dos países se reunirán en el mismo nivel de estado estacionario del capital por la eficiencia de la unidad de trabajo k *. Esto se muestra en la Figura 1.

FIGURA 1    o    i    r     b    i     l    i    u    q    e    e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    i  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n    I

El capital por unidad de eficiencia

Por lo tanto, la producción por unidad de eficiencia del trabajo en el estado de equilibrio, que es y * = f (k *), es el mismo en ambos países. Pero y * = Y / (L × E) o Y / L = y * E. Sabemos que y * será el mismo en ambos países, pero que E1> E2. Por lo tanto, y   * E1> Y * E2.Esto implica que (Y / L) 1> (Y / L) 2. Por lo tanto, el nivel de ingresos por trabajador será más alto en el país con la fuerza de trabajo más educada.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 c. El precio real del alquiler del capital Sabemos que el precio de alquiler de bienes de capital de R es igual al producto marginal del capital (MPK). Pero el MPK depende del stock de capital por unidad de eficiencia de la mano de obra. En el estado estacionario, ambos países tienen k = k = k *, porque ambos países tienen la misma tasa de ahorro, la misma tasa de crecimiento de la población, y al mismo ritmo de los avances tecnológicos. Por lo tanto, debe ser cierto que R1 = R2 = MPK. Entonces, el precio real de alquiler del capital es idéntico en ambos países.

d. El salario real La producción se divide entre las rentas del capital y las rentas del trabajo. Por lo tanto, el salario por eficiencia de la unidad de trabajo se puede expresar como: w = f (k) - MPK • k. Como se discutió en las partes (b) y (c), ambos países tienen el mismo capital de estado estacionario Stock K y el mismo MPK. Por lo tanto, el salario por unidad de eficiencia en los dos los países son iguales. Los trabajadores, sin embargo, se preocupan por el salario por unidad de mano de obra, no el salario por unidad de eficiencia. Además, podemos observar que el salario por unidad de trabajo, pero no el salario por unidad de eficiencia. El salario por unidad de trabajo está relacionado con el salario por eficiencia unidad de trabajo por la ecuación salario por unidad de L = wE. Entonces, el salario por unidad de mano de obra es más alto en el país con la más educada fuerza de trabajo.

6.- En este problema le pedimos que analice más a detalle el modelo de crecimiento endógeno con dos sectores presentado en el texto. a. Formule de nuevo la función de producción correspondiente a los bienes manufacturados expresándola como producción por trabajador efectivo en función del capital por trabajador efectivo. En el modelo de crecimiento endógeno de dos sectores presentados en el texto, la función de producción para productos manufacturados es

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Y = f (k, (1 - u) EL). Asumimos en este modelo que esta función tiene rendimientos constantes a escala. Como los rendimientos son constantes significa que para cualquier número positivo z, zY = F (zK, z (1 - u) EL). Configuración z = 1/EL, obtenemos:

 = ,1

Utilizando nuestras definiciones estándar de y cómo producción por trabajador, k como capital efectivo por trabajador efectivo, podemos escribir esto como y = f (k, (1 - u)).

b. En esta economía, ¿cuál es la inversión de mantenimiento? Para empezar, tenga en cuenta que a partir de la función de producción en las investigaciones de las universidades, la tasa de crecimiento de la eficiencia del trabajo, ∆E / E, es igual a g (u). Sustituyendo la función g (u) para la tasa de crecimiento constante



g. A fin de mantener el capital por trabajador efectivo (K / EL) constante, el punto de equilibrio incluye tres términos: se necesita k para reemplazar el capital que se deprecia, se necesita nk para proveer capital para los nuevos trabajadores, y g (u) es necesaria para proporcionar capital para el mayor acervo de conocimientos E creado por las investigaciones de las universidades. Es decir, la inversión de mantenimiento es: k (δ (u) + n + g).

c. Formule la ecuación de variación de k , en la que ∆k es el ahorro menos la inversión de mantenimiento. Utilice esta ecuación para representar un gráfico.

El crecimiento del capital por trabajador efectivo es la diferencia entre el ahorro por trabajador efectivo y las inversiones del punto de equilibrio por trabajador efectivo. Ahora sustituimos la función de producción-por efectivos de trabajo de la parte (a), y la función g (u) para la tasa de crecimiento constante g, para obtener: ∆ K = sF (k, (1 - u)) - (δ + n + g (u)) k.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 En el estado estacionario, ∆k = 0, por lo que puede volver a escribir la ecuación anterior como: sF (k, (1 - u)) = ( δ + n + g(u)) k Al igual que en el análisis del modelo de Solow, para un valor dado de u podemos trazar el lado izquierda y luego el lado derecho de esta ecuación:

   o    t    n    e    i    i    n    e    t    n    a

Figura 2

   e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    I  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n    I

Capital por trabajador

El estado de equilibrio está dado por la intersección de las dos curvas.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 d. En esta economía, ¿cuál es la tasa de crecimiento de la producción por trabajador del estado estacionario Y/L? ¿Cómo afectan la tasa de ahorro s y la proporción de la población activa que está en las universidades u a esta tasa de crecimiento del estado estacionario? El estado de equilibrio tiene capital constante por trabajador k efectiva dada por la figura 2 anteriormente. También asumimos que en el estado estacionario, no es una parte constante de tiempo de permanencia en las universidades de investigación, por lo que u es constante. (Después de todo, si u no fuera constante, no sería un estado "estable"). Por lo tanto, el producto por trabajador efectivo y  también es constante. El producto por trabajador es igual a y E, y E crece a una tasa g (u). Por lo tanto, el producto por trabajador crece a una tasa g (u). La tasa de ahorro no afecta a esta tasa de crecimiento. Sin embargo, la cantidad de tiempo empleado en las universidades de investigación no afecta a esta tasa: como se pasa más tiempo en las universidades de investigación, la tasa de crecimiento de estado estacionario aumenta. e. Muestre por medio de su gráfico los efectos de un aumento de u. Describa los efectos inmediatos y los efectos en el estado estacionario. Un aumento de la u se desplaza ambas líneas en nuestra figura. La producción por trabajador efectivo se cae de un determinado nivel de capital por trabajador efectivo, ya que menos de tiempo de cada trabajador se gasta la producción de bienes manufacturados. Este es el efecto inmediato del cambio, ya que en el momento u eleva, el stock de capital K y el rendimiento de cada trabajador E son constantes. Dado que la producción por trabajador efectivo cae, la curva que muestra el ahorro por trabajador efectivo se desplaza hacia abajo. Al mismo tiempo, el aumento del tiempo pasado en universidades de investigación aumenta la tasa de crecimiento de la eficiencia del trabajo G (u). Por lo tanto, el punto de equilibrio de la inversión [que nos encontramos por encima de la parte (b)] se el eva en cualquier nivel dado de k, por lo que la línea que muestra el punto de equilibrio inversión también se desplaza hacia arriba.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 La Figura 3 muestra estos cambios:

Figura 3

   o    t    n    e    i    m    i    n    e    t    n    a    m    e     d    n     ó    i    s    r    e    v    n    I  ,    n     ó    i    s    r    e    v    n    I

Capital por trabajador efectivo

En el nuevo estado de equilibrio, el capital por trabajador efectivo cae de k1 a k2  a. La producción por trabajador efectivo también cae. f.

Basándose en su análisis ¿es un aumento de u algo inequívocamente bueno para la economía? Explique su respuesta

En el corto plazo, el aumento de u disminuye de forma inequívoca el consumo. Después de todo, hemos argumentado en el apartado (e) que el efecto inmediato es reducir la producción, ya que trabajadores gastan menos bienes de fabricación que produce el tiempo y más tiempo en universidades de investigación ampliando el acervo de conocimientos. Para una tasa de ahorro dado, la disminución en la producción implica una disminución en el consumo. El efecto de estado estable de largo plazo es más sutil. Nos encontramos en la parte (e) que la producción trabajador efectivo por caídas en el estado estacionario. Pero el bienestar depende de la salida (y el consumo) por trabajador, no por trabajador efectivo. El aumento en el tiempo dedicado en las universidades de investigación implica que E crece más rápido. Es decir, el producto por trabajador es igual a yE. Aunque el estado de

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 equilibrio y   cae, en el largo plazo la tasa de crecimiento más rápida de E domina necesariamente. Es decir, en el largo plazo, el consumo de forma inequívoca se eleva. Sin embargo, a causa de la disminución inicial en el consumo, el aumento de la u no es inequívocamente positivo. Es decir, una política que se preocupa más de las generaciones actuales que en las generaciones futuras pueden decidir no aplicar una política de aumentar u.



Más problemas y aplicaciones

1.- En la economía de Solovia, los propietarios del capital obtienen dos tercios de la renta nacional y los trabajadores reciben uno. a.

Los hombres de Solovia permanecen en el hogar realizando las labores domésticas, mientras que las mujeres trabajan en las fábricas. Si algunos de los hombres comenzaran a trabajar fuera del hogar, de tal manera que la población activa aumentara un 5%, ¿Qué ocurriría con la producción medida de la economía? ¿Aumentaría la productividad del trabajo- definida como la producción por trabajador- disminuiría o no variaría? ¿Aumentaría la productividad total de los factores, disminuiría o no variaría?

El crecimiento de la producción total (Y) depende de las tasas de crecimiento de la mano de obra (L), capital (K), y de la productividad total de los factores (A), como se resume en la ecuación: ∆Y / Y = αΔK / K + (1 - α) ∆ L / L +∆ A / A, donde α es la parte del capital de la producción. Podemos ver el efecto sobre la producción de un 5 por ciento que aumentó la mano de obra mediante el establecimiento de ∆K / K =∆ A / A = 0. Puesto que α = 2/3, esto nos da ∆Y / Y = (1/3) (5%) = 1,67%. Un aumento de 5 por ciento en el factor trabajo incrementa la producción en un 1,67 por ciento. La productividad del trabajo es Y / L. Podemos escribir la tasa de crecimiento de la productividad laboral como

∆Y/L ∆Y ∆L =  /   Página 2

Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 Sustituyendo para el crecimiento de la producción y el crecimiento de la mano de obra, encontramos Δ (Y / L) / (Y/ L) = 1,67% - 5,0% = -3,34%. La productividad del trabajo se reduce en un 3,34 por ciento. Para encontrar el cambio en la productividad total de los factores, utilizamos la ecuación ∆ A / A = ∆Y / Y - αΔK / K - (1 - α) ∆ L / L. Para este problema, nos encontramos con ∆ A / A = 1,67% - 0 - (1/3) (5%) = 0. La productividad total de los factores es la cantidad de crecimiento de la producción que queda después de que han representado los determinantes del crecimiento que podemos medir. En este caso, no hay cambios en la tecnología, por lo que todo el crecimiento de la producción se atribuye a medir el crecimiento de entrada. Es decir, el crecimiento de la productividad total de factores es cero, como se esperaba.

b. En el año 1, el stock de capital era 6, la cantidad de trabajo era 3 y la producción era 12. En el año 2, el stock de capital era 7, la cantidad de trabajo era 4 y la producción era 14. ¿Qué ocurrió con la productividad total de los factores entre dos años?

Entre los años 1 y 2, el stock de capital aumenta en 1/6, el factor trabajo crece un 1/3, y la producción crece por 1/6. Sabemos que el crecimiento de la productividad total de los factores es dada por ∆A / A = ∆Y / Y - αΔK / K - (1 - α) ∆ L / L. Sustituyendo los números de arriba, y establecer que α = 2/3, encontramos ∆ A / A = (1/6) - (2/3) (1/6) - (1/3) (1/3) = 3/18 a 2/18 - 2/18 = - 1/18 = - 0.056.

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 La productividad total de los factores se reduce en 1/18, es decir, aproximadamente el 5,6 por ciento.

2.- La productividad del trabajo es Y/L, es decir, la cantidad de producción dividida por la cantidad de trabajo. Parta de la ecuación de contabilidad del crecimiento y demuestre que el crecimiento de la productividad del trabajo depende del crecimiento de la productividad total de los factores y del crecimiento de la relación capital- tr abajo. En concreto, demuestre que

∆/ ∆ ∆/ =   /   /

Por definición, la salida Y es igual a la productividad del trabajo Y /L multiplicado por la fuerza de trabajo L: Y = (Y / L) L. Usando el truco matemático de la pista, podemos reescribir esto como

∆ = ∆  ∆/ /

Podemos arreglar esto como

∆/ ∆ ∆ =  /  

Sustituyendo ∆Y / Y a partir del texto, encontramos

∆/ ∆ ∆ ∆ ∆ =  1  /      = ∆   ∆  ∆ = ∆  ∆  ∆

Usando el mismo truco que usamos anteriormente, podemos expresar los términos entre paréntesis como

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Problemas desarrollados del Mankiw Cap 7–8 ∆K / K -∆ L / L = Δ (K / L) / (K / L). Haciendo esta sustitución en la ecuación para el crecimiento de la productividad del trabajo, llegamos a la conclusión que

 ∆  ∆/ ∆  / =    /

3.- Suponga que una economía descrita por el modelo de Solow se encuentra en un estado estacionario con un crecimiento de la población, n, de 1,8% al año y un progreso tecnológico, g, de 1,8% al año. La producción total y el capital total crecen un 3,6% al año. Suponga, además, que la participación del capital en la producción es de 1/3. Si utilizara la ecuación de la contabilidad del crecimiento para dividir el crecimiento de la producción en tres fuentes- capital, trabajo y productividad total de los factores-, ¿Cuánto atribuiría a cada fuente? Compare los resultados con las cifras de Estados Unidos que figuran en el c uadro 8.3

Sabemos lo siguiente: ∆Y / Y = n + g = 3% ∆ K / K = n + g = 3% ∆ L / L = n = 1% Acción = α de capital = 0.3 La participación del trabajo = 1 - α = 0,7. Utilizando estos datos, podemos encontrar fácilmente las contribuciones de cada uno de los factores, y a continuación, buscar la contribución del crecimiento de la productividad total de factores, utilizando las siguientes ecuaciones: Salida = Capital de Trabajo + Contribución del trabajo + Total de los Factores de la Productividad

∆ = ∆  1∆ ∆    

3,0% = (0,3) (3%) + (0,7) (1%) +∆ A / D Podemos resolver fácilmente esto ∆A / A, para encontrar que 3,0% = 0,9% + 0,7% + 1,4%.

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