Capítulo 7 - Fuerzas Internas en Vigas - Copia (1)
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FUERZAS INTERNAS EN VIGAS
“Un científico debe tomarse la libertad de plantear cualquier cuestión, de dudar de cualquier afirmación, de corregir errores”. errores”.
Julius Robert Oppenheimer
Universidad Nacional de Ingeniería
Rockefell er Center, Center, Nueva York
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
1
Universidad Nacional de Ingeniería
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7.1 DEFI FIN NIC ICIÓ IÓN N DE VIG IGA A Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra. otra.
h L L >>> b , h
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
b
2
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7.1 DEFI FIN NIC ICIÓ IÓN N DE VIG IGA A Elemento estructural proyectado o diseñado para soportar cargas aplicadas en diversos puntos a lo largo del mismo. Elemento estructural con sección transversal cualquiera, con una dimensión mucho mayor que la otra. otra.
h L L >>> b , h
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
b
2
V
Tipos de ap apoy oyos: os:
H
H
M
V Mó v i l
Fijo
Q R
Rótula
Em p o t r am i en t o
Tipos de ca carga rgas: s: P1
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W2 (tn/m)
P2
P3 (tn)
W1
Cargas repartidas Cargass concentradas Carga
m1
m 2 (t (tnn- m)
Momentos concentrados o p ares
Para Para determi determinar nar las reacci reaccione ones, s, pu puede eden n sustituirse sustituirse las cargas cargas repartidas repartidas por cargas cargas concentradas equiva equivalentes. lentes. Para calcular las fuerzas internas en una viga, se puede puede ha hacer cer esa sustituci sustitución ón pero pero con especial cuidado .
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Vigas está estáticame ticamente nte dete determinadas rminadas (ISOSTÁTICA): Cuando se pueden determinar las reacciones de los apoyos utilizando las ecuaciones ecuaciones del equilibrio equilibrio estático.
Vigas está Vigas estáticame ticamente nte indete indeterminada rminadass (HIPERESTÁTICA): Cuando el número de las reacciones excede el número de ecuaciones de equilibrio; para determinar las reacciones será necesario usar ecuaciones basadas en la deformaciónde deformación de la viga.
VigadeGalileo
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L : luz (distancia entre apoyos) L
Vi ga gas es tá tát ic ic am am en en te te d et et er er mi mi na nad as as
Vi ga gas es t át át ic ic am en en te te i nd nd et er er m in in ad ad as as
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Nota 01: Una estructura es estable cuando puede soportar cualquier sistema de carga, resistiendo sus elementos elementos en forma elástica la aplicación aplicación de las cargas. Estabilidad exte Estabilidad externa rna:: Número de reacciones mayores a dos, no concurrentes en un punto, ni paralelas.
Estabilidad Estabilida d inte interna rna:: Referido a los elementos que conforman la estructura, siendo necesario necesario que las deformaciones sean pequeñas. pequeñas.
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Nota 02: Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio estático, cuando ante la acción de fuerzas externas, la estructura permanece en estado de reposo. El equilibrio estático se puede aplicar a toda una estructura en sí, como también a cada una de sus partes o componentes. Se dice que una estructura se encuentra en equilibrio dinámico, cuando ante la acción de cargas generadas por sismo, viento, motores, etc., la estructura responde (se deforma) con un movimiento o vibración (aceleración) controlado de cada una de sus partes; mas no así sus soportes o apoyos.
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7.2 FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR EN VIGAS Se pretende determinar las fuerzas internas que mantienen juntas las diversas partes de una viga. En esta parte presentaremos lo que han denominado “Fuerza Cortante” y “Momento Flector” en cualquier sección de la viga.
Y
Y
P
Y
P
P
Y
X
X
h
X
X
X
X
X
X
b
Y
Y
Y
a
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
e
P
Y
b
c
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Caso
a :
Si las cargas están contenidas en el plano de simetría de la sección, entonces se produce flexión y fuerza cortante. Y
Y
P
X
X
h
X
X
b
Y
R2
R1
P
Y
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Caso b :
Si la carga es excéntrica, entonces, adicionalmente, se produce momento torsional. e Y
Y
P
P
X
X
h
X
X
b
Y
Y
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6
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Caso
c :
Si la carga es centroidal e inclinada, entonces se produce cortante y flexión en dos planos ( X e Y).
P
P
Y
Y X
X
h
X
X
b
Y
Y
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Caso d :
Si la carga es inclinada en el plano longitudinal, entonces, adicionalmente a la fuerza cortante y flexión, se producen fuerzas axiales en la viga (tracción y compresión). Y
Y
P
P
X
X
X
h
X
b
Y
Y
P
Compresión Axial
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Tracción Axial
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FUERZAS INTERNAS EN BARRAS DE UN RETICULADO:
C
F
A
F
C B
F
F F
A
F
F
F
B
F
F F
F
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FUERZAS INTERNAS EN UNA PLACA EN FORMA DE “L” :
Q M
B
D A
P
V
C
P
P
V Q
M
P
Si cortamos un elemento que está en equilibrio, para que cada subsistema o subelemento se mantenga en equilibrio, debe “haber” en la sección del corte fuerzas internas que generen acciones opuestas a las que se producen las fuerzas externas.
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FUERZAS INTERNAS EN UNA VIGA:
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Tenemos una viga como la que se muestra en la figura (apoyada en sus extremos y con cargas concentradas).
b a
P1
Y
P2
P3
1
X
1 R1
R2
X
Si hacemos el corte 1-1 a la viga, a una distancia “X” metros del apoyo izquierdo, para mantener el equilibrio aparecerán los efectos internos que se indican: V y M.
(x-a)
El objetivo es determinar el valor de esas fuerzas internas.
(x-b)
P1
P2
1
R1
M
1
V
Efectos internos
X
(Si consideramos el equilibrio en la zona izquierda del corte, entonces habrá que tener en cuenta las fuerzas internas del lado derecho del corte).
Apl icando las ecuacion es de equilibrio en el sub sistema:
(+) F y = 0 +
M1-1 = 0
:
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R1 – P1 – P2 – V = 0 V = R1 – P1 – P2
Fuerza cortante
: -R1 (x) + P1 (x-a) + P2 (x-b) + M = 0
(en el lugar del corte)
M = R1 (x) – P1 (x-a) – P2 (x-b)
Momento flector
Fuerza cortante (V):
Suma algebraica de las fuerzas verticales situadas a un lado de la sección en estudio.
Momento flector (M):
Suma algebraica de los efectos de momento producido por las fuerzas externas situadas a un lado de la sección en estudio.
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C
A
F
F
F
B
F
F
F
B D C
A
P
P
Q M V
V
M
P
P
Q
CRITERIO DE SIGNOS:
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X
Cuando las fuerzas externas (cargas y reacciones) que actúan sobre una viga, tienden a cortar o doblar a la viga como se muestra, se considera el signo indicado.
dx L
+
-
dx
dx
Momento
Momento
positivo
negativo
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X
dx L
Cortante
Cortante
positivo
negativo
X dx L
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dx
Parte izquierda
M
dx
Parte derecha
T
M
C T
C
M
Momento positiv o
Momento negativo
V
V
+
V
V
Cortante positivo
Q
+ Normal positiva
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M
-
Cortante negativo
Q Q
-
Q
Normal negativa
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7.3 DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
1. Cálculo de las reacciones en los apoyos. 2. Determinación del corte y momentogenérico para toda la viga. V
3. Diagrama de fuerza cortante:
o
+ -
X
+
X
M
Diagrama de momentoflector:
o
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7.4 RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR W (Tn/m) 1
2
a
R1
b
R2
L (m) X
i w
d V dx
:
Vb Va
d M dx
:
Mb Ma
xx ba w dx
ii
v
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xxba v dx
(Área bajo la curva de cargas entre los puntos “a” y “b”).
(Área bajo la curva de fuerza cortante entre los puntos “a” y “b”).
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Ecuación (i):
La variación en la fuerza cortante entre dos puntos es igual a menos el área comprendida bajo la curva de carga entre los mismos dos puntos. Válida sólo para cargas repartidas, las cargas concentradas mostrarán cambios bruscos (discontinuidades en la curva o función).
Ecuación (ii):
El área entre dos puntos bajo la curva de fuerza cortante es igual a la variación en el momento flector entre estos mismos puntos. Aplicable para cargas repartidas y concentradas pero no para pares (momentos concentrados). También muestra que la fuerza cortante es n ul a en los puntos donde el momento flector es máximo, facilitando la determinación de las secciones en la que la viga podría f allar debido a la flexión.
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7.5 PROBLEMAS DE CÁLCULO DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR PROBLEMA 1: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector en la viga mostrada.
300 Lb/pie
A
B 10 pies
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2 000 Lb-pie
5 pies
5 pies
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P = (300 Lb/pie) (10 pie) = 3000 Lb 1
300 Lb/pie
2 000 Lb-pie
2
Cálculo de reacciones: +
3
MA = 0 : RB = 1 133,33 Lb
+ FY = 0 : R A
1
A
2
10 pies
B
RB
5 pies
3
5 pies
V
Cálculo de las fuerzas internas: corte 1-1:
X
RA = 1 866,67 Lb
+
0 x 10 (izq.)
1 866,67
(Lb)
300 (x)
X/2
300 Lb/pie
+
1
X
-
V 1
- 1 133,33
R A
M
X
(Lb-pie)
+
X
3 666,7
M1-1 = RA x – 300 x2/2
V1-1 = RA – 300 x M
X = 0 V1-1 = 1 866,67 Lb X = 10 V1-1 = -1 133,33 Lb
X = 0 M1-1 = 0 X = 10 M1-1 = 3 666,7 Lb-pie
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1
300 Lb/pie
2 000 Lb-pie
2
R A
1
A
10 pies
2
+
10 x 15 (izq.)
3
B
RB
5 pies
300 (10)
3 5
5 pies
(X – 5)
2
X
V
corte 2-2:
300
Lb
M
pie
1 866,67
2V
(Lb)
R A X
+
X
- 1 133,33
M
-
(Lb-pie)
+ 3 666,7
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V2-2 = RA – 3 000 = -1 133,33 Lb
- 2 000
X
M2-2 = RA x – 3 000 (x – 5)
X = 10 M = 3 666,7 Lb-pie X = 15 M = -2 000 Lb-pie
14
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1
300 Lb/pie
2 000 Lb-pie
2
3
corte 3-3: R A
1
A
2
10 pies
B
5 pies
RB
0 x 5
(derch.)
+
3 5 pies
X
M V3
X
2 000 Lb-pie
V
1 866,67
3
(Lb)
X
+
X
-
V3-3 = 0
- 1 133,33
- 2 000
M
-
(Lb-pie)
X
M3-3 = – 2 000 Lb-pie
+ 3 666,7
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300 Lb/pie
R A
V
2 000 Lb-pie
A
B 10 pies
5 pies
RB
Determinación del momento máximo: M máx
V
d M0 dx
x 6,22 pies
Mmáx M X 6,22
5 pies
V11 1866,67 300 x
1 866,67
(Lb)
+
X
6,22
- 1 133,33
T
1 866,67 (6,22)
C
300 2
(6,22) 2
Mmáx M X 6,22 5 807,4 Lb pie
- 2 000
M
-
6,22
(Lb-pie)
+ C
3 666,7
5 807,4 (M máx)
X
NOTA: Si la curva de cargas es una línea recta horizontal, la de las fuerzas cortantes será una línea recta oblicua (1er. grado), y la de los momentos flectores será una parábola (2do. grado). Estas dos últimas curvas son siempre un grado y dos grados, respectivamente, mayores que la curva de la carga.
T
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PROBLEMA 2: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
Rótula 2 tn/m
A
D
C
B
2m
2m
3m
Rótula
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1
2
2 tn/m
A
D R A
2m
B
1 2m
RB
C
2
RC
3m
Cálculo de reacciones: RA = 2 tn RB = 11,67 tn RC = 0,33 tn
X
Cálculo de fuerzas internas: 0 x 4
corte 1-1
2x
+
V1-1 = 2 - 2x
X/2 2 tn/m
(izq.)
1 M
1V
R A X
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M1-1 = 2 x – 2 x (x/2)
X = 0 V = 2 tn X = 1 V = 0 X = 2 V = - 2 tn X = 4 V = - 6 tn
X = 0 M = 0 X = 1 M = 1 tn-m X = 2 M = 0 (Rótula) X = 4 M = - 8 tn-m
16
Rótula
Universidad Nacional de Ingeniería
1
2 tn/m
2
corte 2-2: 0 x 3 A
D R A
2m
B
1
RB
2m
2x
RC
3m
X/2
X
V
M V
5,67
RC 0
X
X - 0,33
-
-2
2 tn/m
2
2
+
0
M
V2-2 = 2 x - RC
-6 -8
(tn-m) 0
+
+
C
2
X
(tn) 2
(derch.)
X
0
+
1
X = 0 V = - 0,33 tn X = 3 V = 5,67 tn
M2-2 = – 2 x (x/2) + RC (x)
0
0,027
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 8 tn-m
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PROBLEMA 3: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn-m
4 tn-m
A
B
2m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
3m
1m
17
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PROBLEMA 4: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn/m
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m A
B
2m
1m
2m
1m
2m
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1 2 tn/m
2
3
4
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m
1
X
A
2m
2
3
4
R A
B
5
Por Simetría: RA = RB = 6 tn
RB 1m
2m
1m
Cálculo de reacciones:
2m
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 2 (izq.)
2x
+
x/2
2 tn/m
1
M
V=-2x
3 tn-m 1V
X
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
M = 3 – 2x (x/2)
X = 0 V = 0 X = 2 V = - 4 tn
X = 0 M = 3 tn-m X = 2 M = - 1 tn-m
19
corte 2-2:
+
2 x 3 (izq.) x/2
2x 2 tn/m
V = - 2x + 6 2
3 tn-m
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X = 2 V = 2 tn X = 3 V = 0
M
M = 3 + 6 (x-2) – x2
2 V
X = 2 M = - 1 tn-m X = 3 M = 0
6 tn x-2
X
corte 3-3:
+
3 x 5 (izq.) 6 tn
V=-6+6=0
x – 1.5
2 tn/m
3
3 tn-m
M
3 V
6 tn
M = 3 + 6 (x-2) – 6 (x – 1,5) = 0
x–2
X
corte 5-5:
0 x 2 (derch)
+
2x 5
M
V = + 2x
x/2
2 tn/m
V
Universidad Nacional de Ingeniería
3 tn-m
M = + 3 - 2x (x/2)
5
X = 0 V = 0 X = 2 V = 4 tn
X
X = 0 M = 3 tn-m X = 2 M = - 1 tn-m 4
2 tn/m
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m A
4
R A
corte 4-4:
2 x 3 (derch) 2x
x/2
M
2m
+ V = + 2x - 6
2m
RB
1m
5 X
2m
X = 2 V = - 2 tn X = 3 V = 0
2 tn/m
4
V 3 tn-m 4 x–2
1m
B
M = 3 – 2x (x/2) + 6 (x – 2)
X = 2 M = - 1 tn-m X = 3 M = 0
6 tn X
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20
Universidad Nacional de Ingeniería
1 2 tn/m
2
3
4
5
2 tn/m
3 tn-m
3 tn-m 1
X
A
2m
DFC V (tn)
2
R A
1m
3
2m
B
4
RB
1m
5
X
2m
4
2 0
0
X 0
-2
-4 -1
-1
DMF M
X
(tn-m)
3
3
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PROBLEMA 5: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
2 tn-m
1 tn/m
A
1m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
1 tn/m 2m
2m
4 tn
B
1m
21
Universidad Nacional de Ingeniería
1
2
1 tn/m
2 tn-m
3
4
4 tn
1
A
B
3
2
R A
1 tn/m
1m
2m
4
RB
2m
1m
M A 0 : R B 3,375 tn
F Y 0 : R
X
Cálculo de reacciones:
A
1,625 tn
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 1
1(x)
x/2
1 tn/m
1
x/2
1 tn/m
2
X = 0 V = 0 X = 1 V = - 1 tn
M = - x (x / 2)
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 0,5 tn-m
M
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V = RA - x = 1,625 - x
X = 1 V = 0,625 tn X = 3 V = - 1,375 tn
M = RA (x-1) – x (x/2)
X = 1 M = - 0,5 tn-m X = 3 M = - 1,25 tn-m
X = 3 V = - 1,375 tn X = 5 V = 0,625 tn
M
2V
R A
+
1 x 3 (izq)
1(x)
V = -x
1V
X
corte 2-2:
+
(izq.)
x–1
X
corte 3-3:
+
3 x 5 (izq)
1(3) x – 1.5
V = RA – 3 + (x-3)
1 tn/m
3
R A
V
1 tn/m
(x -3)
3 x 3 2
x-3 x-1
M
x 3 M = RA (x-1) – 3 (x – 1.5) + (x-3)
2
X = 3 M = - 1,25 tn-m X = 5 M = - 2 tn-m
X
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22
Universidad Nacional de Ingeniería
1
1
1 tn/m
A
R A
2
3
2 tn-m
2
3
B
2m
2m
4 tn
corte 4-4:
RB
1 tn/m
1m
4
1m
X
X 4
DFC
+
0 x 1 (derch)
4
M
4 tn
4
V
4 4
V 0,625
(tn)
0,625
X
0
0 -1
- 1,375
V = + 4 tn
-4
DMF M
- 2,196
(tn-m)
-2
- 1,2 - 0,5
M = – 4 (x)
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 4 tn-m
- 0,305
0
0
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PROBLEMA 6: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
5 tn/m 4 tn/m
6 tn
4 tn
A
2m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
B
1m
1m
2m
3m
2m
23
Universidad Nacional de Ingeniería
5 tn/m 1
4 tn/m
2
3
4
5
6 tn
1
A
2
R A
2m
1m
6
4 tn
3
4
1m
2m
B
5
M B 0 : R A 18,26 tn
6
RB
3m
Cálculo de reacciones:
F Y 0 : R B 16,24 tn
2m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 2 (izq.)
+
4x 1
M = - 4x ( x / 2 )
2
V = RA - 4x M
2 V
R A
X = 0 V = 0 X = 2 V = - 8 tn X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8 tn-m
Universidad Nacional de Ingeniería
x/2
4 tn/m
+
2 x 3 (izq)
4x
M
1V
X
corte 2-2:
V = - 4x
x/2
4 tn/m
X = 2 V = 10,26 tn X = 3 V = 6,26 tn
M = RA (x - 2) – 4x ( x / 2)
x–2
X = 2 M = - 8 tn-m X = 3 M = 0,26 tn-m
X = 3 M = 0,26 tn-m X = 4 M = 6,52 tn-m
X
corte 3-3:
+
3 x 4 (izq)
12 tn
x – 1.5
4 tn/m
V = RA – 12 = 6,26 tn 3
V
R A
3
M
M = RA (x - 2) – 12 (x – 1,5)
x–2
X
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24
corte 4-4:
+
4 x 6 (izq)
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x – 1.5
12 tn
6 tn
4 tn/m
V = RA – 12 – 6 = 0,26 tn
x-4
M
4
V
R A
M = RA (x-2) – 12 (x-1,5) – 6 (x-4)
X = 4 M = 6,52 tn-m X = 6 M = 7,04 tn-m
4
x–2
X
corte 5-5:
+
6 x 9 (izq) x – 1.5 2 (X6) 2
12 tn 6 tn
4 tn/m
V = RA - 12 - 6 - 4 -
X 6 3
4 tn
M
5
X = 6 V = - 3,74 tn X = 9 V = - 8,24 tn
(x –6)
M = RA (x-2) - 12 (x-1,5) - 6 (x-4) - 4 (x-6) -
V
R A
(x 6) 2 2
x-6 5
5 tn/m
x–4
x-6
x–2
(x
x 6 6) 2 . 3 2
X = 6 M = 7,04 tn-m X = 9 M = - 8,66 tn-m
x-6 5m
X
Universidad Nacional de Ingeniería
5 tn/m 1
4 tn/m
corte 6-6: 0 x 2 (derch.)
+ 1
A
2
3
2
3
4
6 tn
4
4 tn
5
R A 2m
(x)(x) 2
(5 –x) x 6
(5 - x)
x 2
1m
5 tn/m
V = (5 - x) x + x
2
x x2 2 M = - (5 - x) x x 2 2 3
2x 3
6
RB
2
6
B
1m
2m
3m
2m
X
x
M V
6
5
X = 0 V = 0 X = 2 V = 8 tn
X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8,66 tn-m
X Nota: Para analizar una carga trapezoidal, se puede emplear:
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
25
Universidad Nacional de Ingeniería
5 tn/m 1
4 tn/m
2
3
4 6 tn
1
A
2m
X DFC
2
R A 1m
5
6
4 tn
3
4
1m
2m
B
5
RB
3m
6
2m
X
10,26
8
6,26
V (tn)
0,26 0
0 - 3,74 -8
DMF
- 8,24 - 8,66
-8
M (tn-m) 0
0 0,26 6,52 7,04
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 7: Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector.
4 tn
4 tn/m
3 tn-m
Rótula
2m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
3m
4m
26
Universidad Nacional de Ingeniería
4 tn
1
4 tn/m
2
3 tn-m
3
Cálculo de reacciones:
MB
1
Rótula
2
RA = 5,67 tn RB = 14,33 tn
RB
3
MB = 25,32 tn-m
R A 2m
3m
4m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:
+
0 x 2 (izq.) 4T
1
1
M
V = - 4 tn
V
M=-4x
X
corte 2-2: 4 tn
Universidad Nacional de Ingeniería
V = - 4 + 5,67 = 1.67 tn
M
2
X = 0 M = 0 X = 2 M = - 8 tn-m
+
2 x 5 (izq)
3 tn-m
M = - 4x + 5,67 (x – 2) + 3
X = 2 M = - 5 tn-m X = 5 M = 0
V = - 4 + 5,67 – 4 (x – 5)
X = 5 V = 1,67 tn X = 9 V = - 14,33 tn
V 2
5,67 x-2
X
corte 3-3:
4 (x - 5) 4 tn
+
5 x 9 (izq) x5 2
3 tn-m 3
M
V 3
5.67
x-5 x–2
x 5 M = - 4 (x) + 3 + 5,67 (x - 2) – 4 (x – 5) 2
X = 5 M = 0 X = 9 M = - 25,32 tn-m
X
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
27
Universidad Nacional de Ingeniería
4 tn
1
3 tn-m
1
2
4 tn/m
3
MB Rótula
2
RB
3
R A 2m
3m
4m
X DFC 1,67
V (tn)
-4 - 14,33
DMF
- 25,32
M
-8
(tn-m)
-5
- 0.5
0
0 0,35
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 8: Hallar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de la siguiente viga:
2 tn
3 tn
2 tn/m
3 tn
4 tn-m
A
B 3 tn/m
1m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
3m
4m
2m
28
Universidad Nacional de Ingeniería
1
2 tn
1
2
3 tn
A
3
2 tn/m
2
B
3
R A 3m
3 tn
4m
Cálculo de reacciones:
4
RB
3 tn/m
1m
4
4 tn-m
M A 0 : R B 1,29 tn
F Y 0 : R A 3,71 tn
2m
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1: 0 x 1 (izq.) 2 tn
1
+
M
V = - 2 tn V
1
M = - 2x
X
corte 2-2:
3 tn
X = 0 M = 0 X = 1 M = - 2 tn-m
+
1 x 4 (izq)
2 tn
(x 1) 2 x 1 3 3
M
2 (x 1) 3
1
Universidad Nacional de Ingeniería
V = RA - 2 - 3 -
(x 1) 2 3
V 1
R A
M = RA (x - 1) - 2x - 3 (x - 1) -
x–1
X
corte 3-3:
2 x 6 (derch)
4 tn-m
3
M V 3 (x 2) 4
RB
3 (x 2)2 8
3 x 2 3
x–2
X
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
3 tn
X = 1 V = - 1,29 tn X = 4 V = - 4,29 tn
(x 1) 2 (x 1) . 3 3
X = 1 M = - 2 tn-m X = 4 M = - 8,86 tn-m
+
V = 3 - RB 3 x 2 2 8
M = - 3 (x) + RB (x - 2)
3 8
X = 2 V = 1,71 tn X = 6 V = - 4,29 tn
x 2 2
x 2 4 3
X = 2 M = - 10 tn-m X = 6 M = - 8,86 tn-m
29
corte 4-4:
Universidad Nacional de Ingeniería
+
0 x 2 (derch)
V = + 3 tn
3 tn
4
M V
M = - 3 (x)
4
X = 0 M = 0 X = 0 M = - 6 tn-m
X
NOTA:
Para 2 x 6 (derch) V
d dx
- 3 RB
M
M
3 8
(x 2) 2 0
x 4,138
- 12,44 tn-m
X 4,138
Universidad Nacional de Ingeniería
2 tn
3 tn
1
1
2
A
2
R A 1m
2 tn/m
3
3
B
3 tn
4
RB
3 tn/m 3m
4
4 tn-m
4m
2m
X
X
DFC
3,00
V 1,71
(tn) - 1,29 -2 - 4,29
- 12,44
DMF M (tn-m)
- 8,86
- 10 -6
-2 0
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
30
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 9: Determinar las cargas a las cuales debe estar sometida la siguiente viga, si el diagrama de fuerza cortante es el que se muestra. Asimismo, trazar el diagrama de momento flector.
A
B
1m
2m
2m
5m
5m
1 V= −
12.5
DFC V
2
x − 10 + 12.5
6.3
(kN) 0 −1.2 − 3.7
−5
1 V= − −15
2
x − 10
− 1.2
−13.7
Universidad Nacional de Ingeniería
1 V = −
12.5
DFC V
2
x − 10
+ 12.5
6.3
(Kn) 0
−1.2 − 3.7
−5
1 V= − −15
2
x − 10
− 1.2
−13.7
La fuerza cortante en x = 0 es - 5 kN Por tanto existe una carga puntual en x = 0 de 5 kN (↓)
Desde x = 0 a x = 1 m la fuerza cortante varía linealmente, entonces hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente, m = - 10 kN/m con dirección (↓).
5 kN 10 kN/m
A
1m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
B
2m
2m
5m
5m
31
Universidad Nacional de Ingeniería
1 V = −
12.5
DFC V
2
x − 10
+ 12.5
6.3
(Kn) 0 −1.2 − 3.7
−5
1 V= − −15
2
x − 10
− 1.2
−13.7
En x = 1 (apoyo fijo) se ve un “salto” de 21.3 kN ( ↑), que corresponde al valor de la reacción
5 kN
Desde x = 1 a x = 3 la fuerza cortante es constante, entonces no hay cargas en ese tramo
En x = 3 se ve un salto de 10 kN ( ↓), debido a una carga puntual
Desde x = 3 a x = 5 hay una carga distribuida de valor igual a la pendiente m = - 5 kN/m con dirección (↓)
10 kN 5 kN/m
10 kN/m
A
B 21.3 kN
1m
2m
2m
5m
5m
Universidad Nacional de Ingeniería
1 V = −
12.5
DFC V
2
x − 10
+ 12.5
6.3
(Kn) 0 −1.2 − 3.7
−5
1 V= − −15
x − 10
− 1.2
−13.7
De x = 5 a x = 10, derivamos la ecuación de V : = − − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 5 kN/m ( ↑) en x = 5 a 0 kN/m en x = 10
5 kN
2
En x = 10 (apoyo móvil) se ve un “salto” de 13.7 kN ( ↑), que se debe al valor de la reacción
De x = 10 a x = 15, derivamos la ecuación de V : = − − 10 , que corresponde a una carga distribuida lineal de 0 kN/m en x = 10 a - 5 kN/m (↓) en x = 15
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN/m
A
B 21.3 kN
1m
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
2m
5 kN/m 2m
13.7 kN 5m
5m
32
5 kN
10 kN
1
10 kN/m 2
5 kN/m
3
A
Universidad Nacional de Ingeniería
B 2
1
3
2m
5
4
5 kN/m
21.3 kN 1m
5 kN/m
5
4
13.7 kN
2m
5m
5m
X
X
Cálculo de fuerza internas (Momento Flector): corte 1-1: 0 x 1 (izq.)
+
M = - 5 x - 5 x2
corte 2-2: 1 x 3 (izq.)
+
M = + 6.3 x - 16.3
corte 3-3: 3 x 5 (izq.)
+
M = - 2.5 x2 + 11.3 x - 8.8
corte 4-4: 5 x 10 (derch)
+
M = + 0.167 x3 - 2.5 x2 + 13.7 x - 68.5
corte 5-5: 0 x 5 (derch)
+
M = + 0.167 x3 - 2.5 x2
5 kN
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN/m
Universidad Nacional de Ingeniería
A
B 5 kN/m
21.3 kN 1m
2m
2m
13.7 kN 5m
5m 1 V= −
12.5
DFC V
2
x − 10
+ 12.5
6.3
(Kn)
0 −1.2 −3.7
−5
1 V = − −15
2
x − 10 − 1.2
−13.7
- 41.7
DMF M (Kn/m)
- 14.8 - 10 0 2.6
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
33
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 10: Hallar el valor de las cargas “W (tn/m)”, “P (tn)” y “M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si:
La fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m,
la fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn, y
el momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m.
P
P
W
Rótula
M A
B
W 2L
L
L
Universidad Nacional de Ingeniería
Tenemos 4 incógnitas: “W (tn/m)”, “P (tn)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO: La
fuerza cortante y el momento flector en el extremo del volado es 12 tn y 12 tn-m.
(parte derecha)
P = 12 tn
+
M
DEL DATO: La
= 12 tn - m
fuerza cortante en el empotramiento (apoyo A) es - 8 tn.
(parte izquierda)
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
+
R A = 8 tn
(
)
34
Universidad Nacional de Ingeniería
DEL DATO: El
momento flector en el apoyo móvil (apoyo B) es - 30 tn-m. (parte derechadel apoyo B)
Mapoyo B = - 30 = 12 - 12 ( L ) - W L 2
POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:
+
F
v
F
Tomando
(
verticales
L 3
)
0
W L 2 = 252 - 72 ( L )
+ ...... ( I)
(para no incluir en la ecuación los momentos concentrados)
0 = - 8 + W ( 2L ) - 12 + RB - 12 - W ( 2L ) 2
RB = 32 tn
(
)
2
Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo (parte derecha de la rótula)
Mrótula = 0 = 12 - 12 ( 2L ) + 32 ( L ) - W ( 2L ) ( L )
+
W L 2 = 12 + 8 ( L ) ...... ( II)
2
Universidad Nacional de Ingeniería
Igualando las expresiones ( I) y ( II) : 252 - 72 ( L ) = 12 + 8 ( L )
Reemplazando en ( I) o en (II) :
L = 3 m
W = 4 tn / m
NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
35
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 11: Hallar el valor de las cargas “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)” y “M (tn-m)”,así como también la longitud “L (m)”; si:
La fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn,
el momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m, y
la reacción en el apoyo A, B y C es 0.83 tn ,10,25 tn y 13,42 tn, respectivamente.
W 2
W 1 Rótula M
2M A R A
B
W L
C
RB
1
2L
RC
L
2L
Universidad Nacional de Ingeniería
Tenemos 4 incógnitas: “W1 (tn/m)”, “W2 (tn/m)”, “M (tn-m)” y “L (m)”; así que procedemos a formular ecuaciones que involucren dichas incógnitas. DEL DATO: La
fuerza cortante en la rótula es de -1,17 tn. (parte izquierda de la rótula)
Vrótula = -1,17 = 0,83 – W1 L
W1 L = 4
+
...... ( I)
2
Además, sabemos que el momento flector en la rótula es nulo. Mrótula = 0 = M + 0,83 L – W1 L 2
(
2L ) 3
Reemplazando el valor de ( I), tenemos: M = L
...... ( II)
2
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
36
Universidad Nacional de Ingeniería
DEL DATO: El
momento flector en el apoyo B es de 27,67 tn-m. (parte derechadel apoyo B)
Mapoyo B = 27,67 = - 2 M + 13,42 ( 2 L ) – ( W2 ) ( 2L ) L
POR EQUILIBRIO EN EL SISTEMA:
+
F
v
Tomando
F
verticales
0
+
...... ( III)
(para no incluir en la ecuación al momento externo M)
0 = 0,83 - W1 L + W1 ( 2L ) + W1 L - 10,25 - W2 ( 2L ) + 13,42 2
2
W1 L - W2 L = - 2
Reemplazando el valor de ( I), tenemos: W2 L = 6
...... ( IV)
Universidad Nacional de Ingeniería
Reemplazando el valor de ( II) y (IV) en la expresión ( III) : 27,67 = - 2 L + 13,42 ( 2 L ) – ( 6 ) ( 2 L )
L = 2 m
2
Reemplazando en ( II) :
M
Reemplazando en ( I) :
W1 = 2 tn / m
Reemplazando en ( IV) :
W2 = 3 tn / m
= 1 tn - m
NOTA : El problema podría complementarse con las siguientes interrogantes: “Así también determinar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y el máximo momento flector y su ubicación en la estructura.”
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
37
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 12: Determinar la longitud “L 1” (en función de L), de manera que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( M máx ). Asimismo indicar el correspondiente valor del M máx (en función de W y L).
W
A
B
L1
L1 L
1
W
2
1 A
2
L1
B
RB
R A
X
Cálculo de fuerza internas: corte 1-1:
V
-
0 x L 1 (izq.)
+ W L1
+ X
-
- W L1
+
X = 0 V = 0 X = L 1 V = - W L 1
V = - W x
+ W ( L / 2 -L 1 )
+
Universidad Nacional de Ingeniería
Por Simetría: RA = RB = W L / 2
L1
( L –2 L 1 )
Cálculo de reacciones:
M = - W x (x/2)
X = 0 M = 0 X = L 1 M2 = - W ( L 1 )2 / 2
- W ( L / 2 - L1 )
corte 2-2:
L 1 x L / 2 (izq.)
M
-
V = - W x + W L / 2
+
X
X = L 1 V = W (L / 2 - L 1 ) X = L / 2 V = 0
M = - W x ( x/2 ) + W L / 2 ( x - L 1 )
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
+
X = L 1 M = - W ( L 1 )2 / 2 X = L / 2 M1 = W ( L )2 / 8 - W (L ) (L 1 ) / 2
38
Universidad Nacional de Ingeniería
Momento máximo positivo: Para el sistema tenemos:
M1 = W ( L )2 - W (L ) (L 1 ) 8
Momento máximo negativo:
2
M2 = - W ( L 1 )2 2
Notamos que el momento f lector máximo (M máx), es el mayor momento entre M 1 y M 2. Debemos minimizar estas dos expresiones (al mismo tiempo), a fin que se reduzca al mínimo el momento flector máximo de la viga ( M máx).
L1
L1
Universidad Nacional de Ingeniería
Se observa que al querer minimizar M 1, incrementamos M 2, y al querer minimizar M 2 incrementamos M 1. Entonces, el menor valor que podría tener M 1 y M 2; se dará cuando estos sean de igual magnitud. Es decir, debemos establecer la relación: W ( L )2 - W (L ) (L 1 ) 8
2
=
W ( L 1 )2
l M 1 I = l M 2 I
L 1 = 0,207 ( L )
2
Para calcular el valor del momento flector máximo de la viga ( M máx), bastará con reemplazar L 1 ( = 0,207L ), en la expresión de M 1 o M 2: M máx =
M2 = W ( L 1 )2 = W ( 0,207 L )2 2
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
Mmáx = 0,0214 W ( L )2
2
39
Universidad Nacional de Ingeniería
PROBLEMA 13: Si la viga homogénea AB pesa 120 lb y la viga homogénea CD pesa 800 lb, determinar los diagramas de fuerza cortante y momento f lector de las vigas:
80 lb/pie B
A
300 lb
D
C
3 pies
7 pies
6 pies
Universidad Nacional de Ingeniería
Cálculo de Reacciones:
120 lb 5 pies
5 pies
Viga AB: B
A
300 lb
R1
R2
F Y 0 : R 2 780 lb
3 pies
7 pies
Viga CD:
800 lb 4,5 pies
4,5 pies
80 lb/pie 1 200 lb
MB 0 : R 1 1 200 lb
780 lb
M
MD 0 : M 10 200 lb - pie
F Y 0 : R 3 1 460 lb
D
C
R3 3 pies
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
6 pies
40
Universidad Nacional de Ingeniería
Cálculo de Fuerza Internas: Viga AB:
A
B
V = - 300 – 12 x
780 lb
1 200 lb
300 lb X
X
x M = - 300 x – 12 x 2
3 pies
7 pies
+
0 x 7 (izda.)
120/10 lb/pie
X = 0 V = - 300lb X = 7 V = - 384lb
X = 0 M = 0 X = 7 M = - 2 394lb-pie
+
0 x 3 (dcha.) V = + 780 + 12 x
x M = - 780 x – 12 x 2
X = 0 V = 780 lb X = 3 V = 816 lb
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 2 394lb-pie
Universidad Nacional de Ingeniería
Viga CD: 800/9 lb/pie
0 x 3 (izda.) 80 lb/pie
1 200 lb
780 lb
V = - 1 200 – 88.9 x
10 200 lb-pie D
C
1 460 lb
X
3 pies
+
x M = - 1 200 x – 88.9 x 2
X = 0 V = - 1 200 lb X = 3 V = - 1 466,7lb
X = 0 M = 0 X = 3 M = - 4 000 lb-pie
6 pies
3 x 9 (izda.)
+
V = - 1 200 + 780 – 88,9 x – 6,7 (x – 3) 2 x (x 3) M = - 1 200 x + 780 (x – 3) – 88,9 x – 6,7 (x – 3) 2 3 2
ESTÁTICA - Ing. Sergio Herrera
X = 3 V = - 686,7lb X = 9 V = - 1 460 lb
X = 3 M = - 4 000 lb-pie X = 9 M = - 10 200 lb-pie
41
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