Capitulo 4 Valor presente neto

Valor presente neto O

>

D

U uu LLT

Z

D t/y ii i

A continuación examinaremos uno deios concep­ tos más importantes de las finanzas corporativas: la relación que existe entre un dólar el día de hoy y un dólar en el futuro. Considere el siguiente ejem­ plo: una empresa está contemplando la posibilidad de invertir un millón de dólares en un proyecto que se espera reditúe $200 000 anuales durante nueve años. ¿La empresa debería aceptar el pro­ yecto? A primera vista la respuesta podría ser afir­ mativa, ya que los ingresos totales por $ 1.8 millo­ nes (= $200 000 x 9) son mayores que el flujo de salida de efectivo por un millón. Sin embargo, el millón se paga inmediatamente, mientras que los $200 000 anuales se recibirán en el futuro. Asimis­ mo, el pago inmediato se conoce con certeza, mien­ tras que los flujos posteriores sólo se pueden esti­

mar. Por tanto, antes de tomar decisiones sobre el proyecto, necesitamos saber la relación entre un dólar de hoy y un dólar (posiblemente incier­ to) en el futuro. Esta relación se conoce como el valor del dinero en el tiempo, y es de especial relevancia en temas como el presupuesto de capital, las decisiones de arrendamiento en relación con la de compra, el análisis de cuentas por cobrar, los acuerdos de f¡nanciamiento, las fusiones y los fondos de pensiones. Los conceptos básicos se presentan en este capítulo. Comenzamos con la exposición de dos conceptos fundamentales: el valor futuro y el va­ lor presente. A continuación, intentaremos sim­ plificar algunas fórmulas como las perpetuidades y las anualidades. '

4.1 Caso de un periodo EJEMPLO

Keith Vaughn intenta vender una extensión de terreno baldío en Alask'a. Ayer se le ofrecieron $10 000 por su propiedad. Estaba dispuesto a aceptar la oferta cuando otro individuo le ofreció $ 11 424. Sin embargo, la segunda oferta se pagaría después de un año contado a partir del día de hoy. Keith está convencido de que ambos compradores son honestos y solventes; por tanto, no teme que cualquiera de las opciones resulte un fracaso. Estas dos ofertas se presentan como flujos de efectivo en la ilustración 4.1. ¿Qué oferta debería seleccionar Vaughn? Mike Tuttie, asesor financiero de Keith, le ha señalado que si acepta la primera oferta, podría invertir los $10 000 en el banco a una tasa de 12%. Al final de un año, tendría: $10 000 + (0.12 x $10 000) = $10 000 x 1.2 = $11 200 Reembolso del principal

Intereses

Debido a que esta cantidad es menor a los $1 I 424 que Reith podría recibir con el segundo ofrecimiento, Tuttie le recomienda que tome esta última. Este análisis utiliza el concepto de valor futuro o valor compuesto; es decir, el valor de una cantidad después de invertir durante uno o más periodos. El valor compuesto o futuro de $10 000 es $1 I 200.

o

61

Capítulo 4 Valor presente neto | ILUSTRACIÓN 4.1

Precios de venta alternativos

Flujo de efectivo por la venta de Vaughn

$10 000

Año; ■

■

$11 424

,i

ji

c

1

'

■

'

Un método alternativo utiliza el concepto del valor presente, el cual se puede determinar formulan­ do la pregunta: ¿Cuánto dinero tendría que poner Keith en el banco para tener $11 424 el año siguiente? Algebraicamente esto se escribiría: VPx 1.12 = $11 424

(4.1)

Queremos conocer el valor presente (VP), la cantidad de dinero que redituará $ 11 424 si se invierte hoy a 12%. Al despejar VP, tenemos: V P = H ^ 1.12

= $10200

La fórmula del VP se puede escribir: Valor presente de la inversión: VP =

- ^ +r

donde C, es el flujo de efectivo en la fecha 1 y r es la tasa de interés apropiada. Es decir, r, es la tasa de rendimiento que Keith Vaughn requiere sobre la venta del terreno. Algunas veces a ésta se le llama tasa de descuento. El análisis del valor presente nos indica que un pago de $11 424 por recibir el año siguiente tiene un valor presente de $10 200. En otras palabras, a una tasa de interés de 12%, a Vaughn le daría lo mismo recibir $10 200 hoy u $11 424 el año siguiente. Si hoy recibiera $10 200, podría ponerlos en el banco y recibir $11 424 el año siguiente. Ya que la segunda oferta tiene un valor presente de $10 200, mientras la primera oferta sólo es de $10 000, el análisis del valor presente también indica que Vaughn debería aceptar la segunda. En otras palabras, tanto el análisis del valor futuro como el análisis del valor presente conducen a la misma decisión. De acuerdo con esto, los análisis del valor presente y el valor futuro siempre deben conducir a la misma decisión. No obstante la sencillez de este ejemplo, contiene los principios básicos con que trabajaremos en los siguientes capítulos. Ahora usaremos otro ejemplo para exponer el concepto del valor presente neto.

EJEMPLO

Lida Jennings, analista financiero de Kaufman & Broad, empresa líder en bienes raíces, considera reco­ mendar a su empresa que invierta en un terreno cuyo precio es de $85 000. Está segura de que el año siguiente el terreno valdrá $91 000, lo cual representa una ganancia segura de $6 000. Ya que la tasa de interés garantizada por el banco es de 10%, ¡debería Kaufman & Broad hacer la inversión? La elección de Jennings se describe en la ilustración 4.2 con un diagrama del flujo de efectivo en el tiempo. Sólo se necesitaría un momento para convencerla de que no es una propuesta atractiva. Con la inversión de $85 000 en el terreno, tendrá $91 000 disponibles el año siguiente. En su lugar, suponga que Kaufman & Broad coloca los mismos $85 000 en el banco. Con una tasa de interés de 10%, los $85 000 aumentarían a (I +0.10) x $85 000 = $93 500 el año siguiente.

Parte II

62 ILUSTRACIÓN 4.2

Valor y presupuesto de capital

Flujo de entrada de efectivo

$91 000 i

Flujo de efectivo para la inversión en el terreno Tiempo

Flujo de salida de efectivo

0

-$85 000

Sería absurdo comprar el terreno si al invertir los mismos $85 000 en el mercado financiero se produjeran $2 500 adicionales (es decir, $93 500 del banco menos $91 000 de la inversión en el terreno). Éste es un cálculo del valor futuro. » Paralelamente, ella podría calcular el valor presente del precio de venta al año siguiente como sigue:

Valor presente =

$91000

= $82 727.27

Ya que el valor presente del precio de venta al año siguiente es menor al precio actual de $85 000, el análisis del valor presente también señala que ella no debería recomendar la compra de la propiedad.

Con frecuencia, los hombres de negocios desean determinar el costo o el beneficio exactos de una decisión. La decisión de comprar este año y de vender el año siguiente se puede evaluar como sigue: Valor presente neto de la inversión: -$2 273

=

-$85 000

+

Costo del terreno hoy

$91000 1.10 Valor presente del precio de venta al año siguiente

(4.2)

La fórmula del valor presente neto se puede escribir: VPN

=

-Costo

+

VP

La ecuación (4.2) nos indica que el valor de la inversión es de -$2 273, después de expresar todos los beneficios y costos en la fecha 0. Afirmamos que -$2 273 es el valor presente neto (VPN) de la inver­ sión. Es decir, VPN es el valor presente de los flujos futuros de efectivo menos el valor presente del costo de la inversión. Ya que el valor presente neto es negativo, Lida Jennings no debería recomendar la compra del terreno. Tanto el ejemplo de Vaughn como el de Jennings suponen condiciones de perfecta certidumbre. Es decir, Vaughn sabe con perfecta certidumbre que podría vender este terreno en $11 424 el año siguiente. Asimismo, Jennings sabe con perfecta certidumbre que Kaufman & Broad podría recibir $91 000 por vender su terreno. Desafortunadamente, los hombres de negocios no suelen conocer los flujos futuros de efectivo. Esta incertidumbre se expone en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO

Professional Artworks, Inc, es una empresa que especula con pinturas modernas. El gerente piensa adquirir un Picasso original en $400 000 con la intención de venderlo después de un año. El gerente espera que la pintura valga $480 000 al cabo de ese tiempo. Los principales flujos de efectivo se muestran en la ilustración 4.3. Desde luego, ésta es tan sólo una expectativa de que la pintura podría valer más o menos $480 000. Suponga que la tasa de interés garantizada por los bancos es de 10%. ¿Debería la empresa comprar la pieza de arte?

Capítulo 4

ILUSTRACIÓN 4.3

63

Valor presente neto

i 000

Flujo esperado de efectivo

Flujo de efectivo para la inversión en pintura Tiempo

0 t

Flujo de salida de efectivo

-$400 000

Nuestro primer pensamiento sería descontar a ia tasa de interés, como sigue: $480 000

$436 364

LIO Puesto que $436 364 es mayor a $400 000, a primera vista parecería que la compra debería realizarse. Sin embargo, 10% es el rendimiento que se puede obtener sobre una inversión sin riesgo. Ya que la pintura és bastante riesgosa, se requiere una taso de descuento más alta. El gerente elige la tasa de 25% para reflejar dicho riesgo. En otras palabras, dice que un rendimiento esperado de 25% es una compensación justa por una inversión tan riesgosa como esta pintura. El valor presente de la pintura es: $480 000

; $384 000

1.25 Por tanto, el gerente considera que la pintura está sobrevaluada en $400 000 y no la compra.

El análisis anterior es un ejemplo típico en la toma de decisiones de las corporaciones modernas, aunque los ejemplos reales son, desde luego, mucho más complejos. Desafortunadamente, cualquier ejemplo que incluya un riesgo representa un problema que no incluye un ejemplo libre de riesgo. En un ejemplo con flujos de efectivo sin riesgo, la tasa de interés apropiada puede determinarse con una verifi­ cación en algunos bancos.1 La elección de la tasa de descuento para una inversión riesgosa es una tarea difícil. En este punto no sabemos si la tasa de descuento sobre la pintura debería ser de 11,25, 52 o algún otro porcentaje. Ya que es difícil la elección de una tasa de descuento, en este momento sólo pretendemos ilustrar el problema. El resto del capítulo se referirá a ejemplos bajo condiciones de perfecta certidumbre. Será necesario esperar a cubrir el material sobre riesgo y rendimiento en los capítulos posteriores antes de presentar un análisis ajustado por el riesgo.

Preguntas conceptuales

1. Defina los conceptos de valor futuro y presente. 2. ¿Cómo se utiliza el valor presente neto en la toma de decisiones de inversión?

4.2 Caso de múltiples periodos La sección anterior presentó el cálculo del valor futuro y del valor presente para un solo periodo. Ahora presentaremos los cálculos para el caso de periodos múltiples.

Valor futuro y composición Suponga que un individuo fuera a prestar $1. Al final del primer año, el prestatario adeudaría la cantidad principal de $ 1 más los intereses sobre el préstamo a la tasa de interés r. En el caso específico de que la tasa sea, por ejemplo, de 9%, el prestatario adeudaría al prestamista: En el capítulo 9 exponemos la estimación de la tasa libre de riesgo con mayor detalle.

64

Parte II

Valor y presupuesto de capital

$ l x ( l + r) = $1x1.09 = $1.09 Sin embargo, al final del año, el prestamista tiene dos opciones: puede retirar los $1.09 o, de manera más general, (1 + r) del mercado de capitales; o bien puede dejarlos ahí y prestarlos durante un segundo año. El proceso consistente en dejar el dinero en el mercado de capitales y prestarlo durante otro año se conoce como composición. Suponga que el prestamista decide componer su préstamo durante otro año. Para ello, toma los fondos del préstamo del primer año, $1.09, y presta esta cantidad durante el siguiente año. Al final del año siguiente, el prestatario le deberá: $1 x ( l + r ) x ( l + r ) = $l

x(l+rf=\+2r+r2

$1 x (1.09) x (1.09) = $1 x (1.09)2 = $1 + $0.18 + $0.0081 = $1.1881 Éste es el total que recibirá después de dos años a partir de ahora si decide componer el préstamo. Dicho de otra manera, al proporcionar una oportunidad directa de préstamo, el mercado de capitales le permite al inversionista transformar $1 el día de hoy en $1.1881 al final de dos años. Al final de tres años el efectivo será de $1 x (1.09)3 = $1.2950. El aspecto más importante que se debe notar es que la cantidad total que recibe el prestamista no es sólo $1 que había prestado más los intereses de dos años sobre $1: 2 x r = 2 x $ 0 . 0 9 = $0.18

El prestamista también vuelve a obtener la cantidad de r2, que crea representa los intereses del segundo año sobre los intereses obtenidos el primer año. El término 2 x r representa el interés simple sobre los dos años. El término r1 se conoce como intereses sobre intereses. En nuestro ejemplo, esta última canti­ dad es exactamente r2 = ($0.09) 2 = $0.0081

Cuando el efectivo se invierte a un interés compuesto, se reinvierte cada pago.de intereses. Con un interés simple, los intereses no se reinvierten. La declaración de Benjamín Franklin: "El dinero hace dinero y el dinero que hace dinero hace más dinero", es una manera muy ilustrativa de explicar el interés compuesto. La diferencia entre el interés compuesto y el interés simple se muestra en la ilustración 4.4. En este ejemplo la diferencia no es mucha porque el préstamo es de $1. Si el préstamo fuera de un millón '

■

ILUSTRACIÓN 4.4 Interés simple y

$1.270

-

compuesto

$1.188 : $1.180

$1.09

$1

1 año

2 años

3 años

El área sombreada señala la diferencia entre el interés simple y el compuesto. La diferencia es sustancial en un periodo de muchos años o décadas. •■ : ■

,

Capítulo 4

65

Valor presente neto

de dólares, el prestamista recibiría $1 118 100 al cabo de dos años. De esta cantidad, $8 100 son intereses sobre intereses. La lección es que esos números pequeños después del punto decimal pueden llegar a representar cantidades significativas cuando las transacciones se hacen con montos elevados. Además, mientras más larga es la duración de un préstamo, más importantes se vuelven los intereses sobre intere­ ses. La fórmula general para una inversión durante muchos periodos se escribe: Valor futuro de una inversión: V F = C 0 x ( l + r)T donde C0 es el efectivo a invertir en la fecha 0, r es la tasa de interés y T es la cantidad de periodos durante los cuales se invierte el efectivo.

EJEMPLO

Suh-Pyng Ku colocó $500 en una cuenta de ahorros en el First National Bank of Kent. Dicha cuenta gana un rendimiento de 7%, compuesto anualmente. ¿Cuánto dinero tendrá la señora K u después de tres años? $500 x 1.07 x 1.07 x | .07 = $500 * (1,07) 3 = $612.52 La ilustración 4.5 indica el crecimiento de la cuenta de la señora K u .

I U J O I Rrtt„IUI.> t . 3

Cuenta de ahorros de Suh-Pyng Ku

Dolares $612.52

I $500

$612.52 i

0

1

l

3

«

lo

t,

Tiempo

1

2

3

-$500

EJEMPLO

Jay Ritter invirtió $ I 000 en acciones de S D H Company. La compañía paga actualmente un dividendo de $2, que se espera crezca 20% anual durante los dos años siguientes. ¿Cuál será el dividendo de S D H Company después de dos años? $ 2 * ( l . 2 0 ) 2 = $2.88 La Ilustración 4.6 muestra el aumento de valor de los dividendos de S D H .

ILUSTRACIÓN 4.6 Crecimiento de los

Dólares

Flujos de entrada de efectivo

$2.88

$2.88

dividendos de S D H

$2.40 $2.40

$2.00

$2.00

Tiempo

Tiempo

Los dos ejemplos anteriores pueden calcularse de tres maneras. Los cálculos podrían hacerse ma­ nualmente, por medio de una calculadora o con la ayuda de una tabla. La tabla para tal propósito es la

66

Parte II

Valor y presupuesto de capital

A-3, que aparece al final del texto. Dicha tabla presenta los valores futuros de $1 al final de ¡periodos. Para utilizarla se localiza la tasa de interés apropiada sobre la línea horizontal y el número de periodos en la línea vertical. Por ejemplo, Suh-Pyng Ku observaría las siguientes áreas de la tabla A-3.

wmmmmammummmm

Tasa de interés

Periodo 1 2 3 4

6% 1.0600 1.1236 1.1910 i 1.2625

7%

8%

1.0700 1.1449 11.2250| 1.3108

1.0800 1.1664 1.2597 1.3605 '

Ella podría calcular el valor futuro de sus $500 como sigue: $500 Inversión inicial

X

1.2250 Valor futuro de $1

= $612.50

En este ejemplo, nosotros le proporcionamos la inversión inicial y la tasa de interés, y posteriormente le pedimos que calculara el valor futuro. Asimismo, la tasa de interés podría desconocerse, tal como se muestra en el siguiente ejemplo: EJEMPLO

Cari Voigt ganó recientemente $ 10 000 en la lotería y desea comprar un automóvil dentro de cinco años. Cari estima que el automóvil costará $16 105 entonces. Sus flujos de efectivo se muestran en la Ilustra­ ción 4.7 ' ;/■-■■■ ¡Qué tasa de interés deberá obtener para pagar el automóvil?

ILUSTRACIÓN 4.7

Flujo de entrada de efectivo

$10 000

Flujos de efectivo por la compra del auto de Cari Voigt Tiempo

Flujo de salida de efectivo

-$16 105

La razón del precio de compra inicial en efectivo es

1 1 ^ = 1.6105 $10 000 Por tanto, debe obtener una tasa de interés que convierta $1 en $1.6105 dentro de cinco años. La, tabla A.3 nos dice que una tasa de interés de 10% le permitirá adquirir el automóvil. El problema se puede expresar algebraicamente como sigue $10 000 x (| + r)s = $ 16 105 donde r es la tasa de interés necesaria para comprar el automóvil. Ya que $16 105/$ 10 000 = 1.6105, tenemos que (I + r ) 5 = 1.6105 Ya sea la tabla o cualquier calculadora avanzada podría encontrar2 el valor de r. 2

Conceptualmente, obtenemos las raíces quintas en ambos lados de la ecuación; es decir,

6

Capítulo 4 Valor presente neto

67

El poder de la composición: una digresión La mayoría de las personas que han tenido experiencia en la composición, se han impresionado con su poder durante periodos prolongados. Tomemos como ejemplo el mercado de valores. Ibbotson y Sinquefield calcularon lo que el mercado de valores redituó en total de 1926 a 2001 ? Encontraron que un dólar colocado en esas acciones a principios de 1926, valdría $2 279.13 al final de 2001. Lo anterior a 10.71% compuesto anualmente durante 76 años; es decir, (1.1071)76 = $2 279.13. (Nota: Hemos redondeado 10.7086% a 10.71%.) El ejemplo muestra la gran diferencia entre el interés simple y el compuesto. A 10.71%, el interés simple sobre $1 es de 10.71 centavos anuales. El interés simple durante 76 años es de $8.14 (76 x $0.1071). Es decir, un individuo que retira 10.71 centavos cada año, habría retirado $8.14 (76 x $0.1071) después de 76 años. Esto es bastante inferior a los $2 279.13 que se obtuvieron al reinvertir todo el principal y el interés. Los resultados son más impresionantes en periodos aún más prolongados. Una persona sin expe­ riencia en la composición pensaría que el valor de $1 después de 152 años sería el doble del valor de $1 al final de 76 años, si la tasa anual de rendimiento fuera la misma. En realidad, el valor de $1 después de 152 años sería el cuadrado del valor de $1 después de 76 años. Es decir, si la tasa anual de rendimiento fuera la misma, una inversión de $1 en acciones comunes debería valer $5 194 443.36 [$1 x (2 279.13 x 2 279.13)]. Hace algunos años, un arqueólogo recuperó una reliquia en la que se afirmaba que Julio César había prestado a alguien el equivalente romano de un penique. Ya que no había registro alguno de que el penique se hubiera pagado, el arqueólogo se preguntó cuál sería el interés y el principal si un descendien­ te de César intentara cobrar a un descendiente del prestatario en el siglo xx. El arqueólogo consideró que una tasa de 6% sería adecuada. Para su sorpresa, el principal y el interés debido después de más de 2 000 años era mucho mayor que toda la riqueza en el mundo. El poder de la composición puede explicar por qué los padres de las familias de clase media heredan riquezas a sus nietos y no a sus hijos. Es decir, se saltan una generación. Los padres prefieren hacer muy ricos a sus nietos, que hacer moderadamente ricos a sus hijos. Se ha descubierto que en dichas familias los nietos tienen una perspectiva más positiva sobre el poder de la composición, que los hijos.

Algunas personas han dicho que éste fue el mejor trato de bienes raíces en la historia. Supuestamente, Peter Minuit, director general de New Netherlands, la filial de Dutch West India Company en Estados Unidos, compró la isla de Manhattan por 60 florines holandeses en baratijas a los nativos. En 1667, los holandeses se vieron obligados a intercambiarla por Surinam con los ingleses (quizás el peor trato de bienes raíces en la historia). Suena económico, pero ¿los holandeses obtuvieron realmente la mejor opción en el trato! Se sabe que 60 florines holandeses valían 24 dólares al tipo de cambio en ese momen­ to. Si los nativos hubieran vendido las baratijas a un precio justo de mercado y hubieran invertido los 24 dólares a 5% (libre de impuestos), 377 años después valdrían más de $2 mil millones. Hoy en día, Man­ hattan vale sin duda más de $2 mil millones; por lo tanto, a una tasa de rendimiento de 5%, los nativos se llevaron la peor parte del trato. Sin embargo, invertidos a 10%, la cantidad de dinero que recibirían valdría aproximadamente $24(1 + r)T = l.l 377 = $97 mil millones de millones Esto es mucho dinero. De hecho, $97 mil millones de millones es más de lo que valen todos los bienes raíces en el mundo hoy en día. Nadie en la historia ha podido encontrar una inversión que reditúe 10% anual durante 377 años.

J

Stocks, Bonds, Bills and Inflation [SBBI], 2002 Yearbook, Ibbotson Associates, Chicago. 2000.

68

Parte II

Valor y presupuesto de capital

Valor presente y descuento Ahora sabemos que una tasa anual de interés de 9% permite al inversionista transformar $1 del día de hoy en $1.1881 después de dos años contados a partir de ahora. Además, nos gustaría saber lo siguiente: ¿Qué cantidad de dinero necesitaría prestar un inversionista el día de hoy a efectos de que pudiera recibir $1 después de dos años a partir de hoy? Algebraicamente, podemos escribir esto como: VPx(1.09) 2 = $l En la ecuación anterior, VP representa el valor presente, la cantidad de dinero que deberemos prestar el día de hoy a objeto de recibir $1 en un plazo de 2 años. Si despejamos VP en esta ecuación, tenemos 51 = $0.84 1.1881 Este proceso, consistente en calcular el valor presente de un flujo de efectivo futuro, se conoce como descuento, y es lo opuesto a la composición. La diferencia entre la composición y el descuento se muestra en la ilustración 4.8. Para estar seguros de que $0.84 son realmente el valor presente de $ 1 que se vaya a recibir dentro de 2 años, debemos verificar si después de prestar $0.84 y renovar dicho préstamo durante dos años, obten­ dremos o no exactamente $1. Si éste fuera el caso, los mercados de capitales afirmarían que $1 recibido en un plazo de dos años es equivalente a tener $0.84 el día de hoy. Si verificamos las cifras exactas, tenemos: VP =

$0.84168 x 1.09 x 1.09 = $1 En otras palabras, cuando tenemos mercados de capitales con una tasa de interés de 9%, somos indiferentes entre recibir $0.84 el día de hoy o $1 dentro de dos años. No tenemos razones para tratar estas dos alternativas de una manera distinta, porque si tuviéramos $0.84 el día de hoy y los prestáramos durante dos años, obtendríamos un rendimiento de $1 al final de ese plazo. El valor de 0.84 [1/(1.09)2] se conoce como factor del valor presente. Es el factor que se usa para calcular el valor presente de un flujo futuro de efectivo. ILUSTRACIÓN 4.8 Composición y descuento

Dólares

Interés compuesto $2 367.36 Interés simple $1 900

, $1 000

$1 000

$422.41

L. Años futuros

La línea superior muestra el crecimiento de $1 000 bajo un proceso de interés compuesto invirtiendo los fondos a una tasa de 9%: $1 000 * (1.09)10 = $2 367.36. El interés simple se muestra en la siguiente línea. Éste es de $1 000 + [10 x ($1 000 x 0.09)1 = $1 900. La línea del fondo muestra el valor descontado de $1 000 cuando la tasa de interés es de 9%. .: ../■■.

'»...■.'.

'■.;

'

. . .

.;:.

......

■

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.

Capitulo 4

69

Valor presente neto

En el caso de periodos múltiples, la fórmula del valor presente puede escribirse: Valor presente de la inversión (4.3)

VP = (1 + ' ) donde CT es el flujo de efectivo en la fecha T y r es la tasa de interés apropiada.

EJEMPLO

Bernard Dumas recibirá $ 10 000 dentro de tres años a partir de hoy. Puede ganar 8% sobre sus inversio­ nes; por lo tanto, la tasa de descuento apropiada es de 8%. ¿Cuál será el valor presente de su flujo de efectivo futuro? VP = $ l 0 0 0 0 x i U-08 = $10 000x0.7938 = $7 938 La ilustración 4.9 muestra la aplicación del factor del valor presente a la inversión de Bernard.

1 ILUSTRACIÓN 4.9 Oportunidad de descuento de Bernard Dumas

Dólares $10 000

-

,

$10 000

Flujos de entrada de efectivo $7 938

t

i

i

i

0

1

2

Tiempo

Tiempo

0

1

2

3

3

Cuando sus inversiones crezcan a una tasa de interés de 8%, Bernard Dumas se sentirá igualmente inclinado a recibir $7 938 el día de hoy o a recibir $10 000 dentro de tres años, pues podría convertir los $7 938 que reciba el día de hoy en $ 10 000 dentro de tres años prestándolos a una tasa de interés de 8%. Bernard Dumas podría haber realizado sus cálculos del valor presente en una de tres formas. El cálculo podría haberse realizado manualmente, con calculadora o con la ayuda de la tabla A-1, que aparece en la parte final del texto. Esta tabla presenta e) valor presente de $ I que se recibe después de t periodos, y se aplica localizando la tasa de interés apropiada sobre la línea horizontal y el número apropiado de periodos sobre la columna vertical. Por ejemplo, Bernard Dumas buscaría el área siguiente de la tabla A-1:

Tasa de interés Periodo

7%

8%

9%

1 2 3 4

0.9346 0.8734 0.8163 0.7629

0.9259 0.8573 |0.7938| 0.7350

0.9174 0.8417 0.7722 0.7084

El factor del valor presente es de 0.7938.

En el ejemplo anterior, proporcionamos la tasa de interés y el flujo de efectivo futuro. Asimismo, la tasa de interés podría desconocerse.

70

Parte II

EJEMPLO

Valor y presupuesto de capital

Un cliente de Chaffkin Corp., desea comprar un bote de remolque el día de hoy. En lugar de pagar al contado,'pagará $50 000 dentro de tres años. A Chaffkin Corp., le costará $38 610 construir el bote inmediatamente. Los principales flujos de efectivo de Chaffkin Corp., se muestran en la ilustración 4.10. ¿Con cuál tasa de interés Chaffkin Corp., no ganaría ni perdería sobre la venta?

ILUSTRACIÓN 4.10

» Flujos de entrada de efectivo

$50 000

Flujos de efectivo del bote de remolque

i

Tiempo

0

3

f -$38 610

Flujos de salida de efectivo

La razón costo de construcción-precio de venta es: $38 610 $50 000

0.7722

Debemos determinar la tasa de interés que perrriitirá recibir $ I dentro de tres años y que tenga un valor presente de $0.7722. La tabla A-1 nos indica que esta tasa de interés es de 9%.4

Con frecuencia, un inversionista o una empresa recibirán más de un flujo de efectivo. El 'valor presente del conjunto de flujos de efectivo es simplemente la suma de los valores presentes de los flujos de efectivo individuales, lo cual se ilustra en el siguiente ejemplo.

Dennis Draper ganó la lotería del estado de Kentucky y recibirá el siguiente conjunto de flujos de efectivo durante los siguientes dos años: Año

Flujo de efectivo

1 2

$2 000 $5 000

Draper puede ganar actualmente 6% sobre su cuenta de ahorros; por lo tanto, la tasa de descuento apropiada es de 6%. El valor presente de los flujos de efectivo es el siguiente: Arlo

Flujo de efectivo * Factor del valor presente Ó Valor presente

1

$2 000 x — 1.06

= 0.943

$1 887

2

$5000x(—¡

=0.890

$4 450

0.06 J

Total

$6 337

En otras palabras, Draper se siente igualmente inclinado a recibir $6 337 el día de hoy o a recibir $2 000 y $5 000 durante los dos años siguientes.

4

Algebraicamente, estamos despejando el valor de r en la ecuación $50 000

= $38 610

(1 + r) o, de forma equivalente,

$1 (l + r]

1.7722

Capítulo 4 Valor presente neto

711

Finance.com tiene la oportunidad de invertir en una computadora de alta velocidad que cuesta $50 000, y que generará flujos de efectivo (del costo de los ahorros) por $25 000 dentro de un año, de $20 000 dentro de dos años y de $15 000 dentro de tres años a partir de hoy. La computadora no valdrá nada después de tres años y no se presentarán flujos de efectivo adicionales. Finance.com determinó que la tasa de descuento apropiada es de 7% para esta inversión. ¿Debería invertir en esta computadora de alta velocidad? ¿Cuál es el valor presente de la inversión? Los flujos de efectivo y los factores del valor presente se presentan a continuación:

Flujos de efectivo

faetón del valor presente

Año 0

-$50 000

1

= 1

1

$25 000

— 1.07

2

$20 000

|—í—1 = 0.8734

3

$15 000

.y«0. 8l6 3

= 0.9346

U.07J

•

]

,,:

Los valores presentes de los flujos de efectivo son:

Flujos de efectivo * Factor del valor presente = Valor presente Año 0 1 2 3

-$50 $25 $20 $15

000 000 000 000

x x x x

1 3 _$50 000 0.9346 = $23 365 0.8734= $17 468 0.8163= $ 12 244.5

Total: $ 3 077.5 Finance.com debe invertir en una computadora de alta velocidad ya que el valor presente de los flujos de efectivo futuros que representa es mayor a su costo. El VPN es $3 077.5.

Fórmula algebraica Para derivar una fórmula algebraica para el valor presente neto de un flujo de efectivo, recuerde que el VP de recibir unflujode efectivo después de un año contado a partir de hoy es: VP = C/(l + r) y el valor presente de recibir un flujo de efectivo después de dos años contados a partir de hoy es VP = C,/(l+r) 2 Podemos escribir el VPN de un proyecto de T periodos como sigue:

vPN = - c

0

^

l +r

+

- ^ (1 + r)

+

... + ^ _

7 =

{\ + r)T

_Co +

y^_ frf (l + r)'

Se supone que el flujo inicial -C es negativo porque representa una inversión. £ es el símbolo que designa a la sumatoria de la serie. 1. ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple y el interés compuesto? 2. ¿Cuál es la fórmula para determinar el valor presente neto de un proyecto?

*

Parte II Valor y presupuesto de capital

72

4.3 Periodos de composición Hasta este momento hemos supuesto que los procesos de composición y descuento ocurren anualmente. Algunas veces los procesos compuestos (o periodos de capitalización) pueden ocurrir con mayor fre­ cuencia que sólo una vez al año. Por ejemplo, imagínese que un banco paga una tasa de interés de 10% "compuesta semestralmente". Esto significa que un depósito de $1 000 en el banco valdría $1 000 x 1.05 = $1 050 después de seis meses, y $1 050 x 1.05 = $1 102.50 al final del año. La riqueza que se tendría al final del año puede escribirse como sigue5 $1 OOOÍ1 + —

j = $1 000 x (1.05)2 = $1102.50

Desde luego, un depósito de $1 000 valdría $1 100 ($1 000 x 1.10) bajo una composición (o capitaliza­ ción) anual. Observe que el valor futuro al final de un año es mayor bajo una capitalización semestral que bajo una capitalización o composición anual. Mediante una capitalización anual, los $1 000 originales siguen siendo la base de la inversión para la totalidad del año. Bajo una capitalización semestral, los $1 000 son la base de la inversión tan sólo para los seis primeros meses. La base de la inversión durante los segundos seis meses es de $1 050; entonces, se obtienen intereses sobre intereses en la composición semestral. Ya que $1 000 x 1.1025 = $1 102.50, 10% compuesto semestralmente es lo mismo que 10.25% compuesto anualmente. En otras palabras, a un inversionista racional le daría lo mismo que le ofrecieran una tasa de 10% compuesta semestralmente, o una tasa de 10.25% compuesta anualmente. Al final de un año, una composición trimestral a 10% reditúa una cantidad de $1000[l + —

) =$1103.81

Dicho de una manera más general, componer una inversión m veces al año proporciona al final de un año una riqueza de: \m

CJ1 + - 1 m)

donde C0 es la inversión inicial y r es la tasa de interés anual establecida, que es la tasa de interés anual sin considerar los procesos de composición. Es posible que los bancos y otras instituciones financieras usen otros nombres para la tasa de interés anual establecida. El término tasa porcentual anual es, probablemente, el sinónimo más común. EJEMPLO

¡Cuál será la riqueza al final del año si Jane Christine recibe una tasa de interés anual establecida de 24% compuesta mensualmente sobre una inversión de $ I ? Si aplicamos (4.4), su riqueza será de:

$/| + ^ l l ,

=$lx(l.02) 1 2 =$1.2682

La tasa anual de rendimiento es de 26.82%, y recibe el nombre de tasa de interés anual efectiva o rendimiento anual efectivo. Debido a la composición, la tasa de interés anual efectiva es mayor a la tasa de interés anual establecida de 24%. Algebraicamente, podemos reescribir la tasa de interés anual efectiva como sigue: Tasa anual de interés efectiva:

5

Además de una calculadora, se puede utilizar la tabla A.3 cuando el periodo de composición es menor a un año. En este caso, se establece la tasa de interés en 5% y la cantidad de periodos será dos.

73

Capítulo 4 Valor presente neto

Los estudiantes suelen confundirse con la resta del I en (4.5). Observe que la riqueza acumulada al final del año se compone tanto por los intereses ganados durante el año como por el principal original. Se elimina el principal original al restar uno en (4.5). Si la tasa de interés anual establecida en 8% se compone trimestralmente, ¿cuál es la tasa de interés anual efectiva? : Aplicando (4.5), tenemos: (| + — 1 - 1 = i I + —

] - 1 = 0.0324 = 8.24%,

Si volvemos al ejemplo original donde C0 = $ I 000 y r = 10%, podemos generar la siguiente tabla: Tasa de interés ■ . ■• anual.efectiva,' B . C„ 1000 1000 1000 1000

Frecuencia de composición (m) Anualmente (m = I) Semestralmente (m = 2) Trimestralmente (m = 4) Diariamente (m = 365)

C,

l+— V m)

$1 100.00 I 102.50 I 103.81 1105.16

-I

0.10 0.1025 0.10381 0.10516

Distinción entre tasa de interés anual establecida o estipulada y tasa de interés anual efectiva La diferencia entre la tasa de interés anual establecida (TIAE) y la tasa de interés anual efectiva (TIAEF) suele ser problemática para los estudiantes. Se puede disminuir la confusión si se observa que la TIAE adquiere sentido sólo si se proporciona el intervalo de composición. Por ejemplo, en el caso de una TIAE de 10%, el valor futuro después de un año bajo una composición semestral será [1 + (.10/2)]2 = 1.1025. El valor futuro bajo una composición trimestral será [1 + (.10/4)]4 = 1.1038. Si la TIAE es de 10%, pero no se proporciona ningún intervalo de composición, no se puede calcular el valor futuro. En otras pala­ bras, no se sabe si deberá componer en forma semestral, trimestral o con algún otro intervalo. En cambio, la TIAEF sí tiene sentido sin un intervalo de composición. Por ejemplo, una TIAEF de 10.25% significa que una inversión de $1 valdrá $1.1025 dentro de un año. Se podría pensar que ésta es una TIAE de 10% sujeta a una composición semestral o una TIAE de 10.25% sujeta a una composición anual, o cualquier otra posibilidad.

Composición a más de un año La fórmula 4.4 sirve para una inversión durante un año. Para una inversión durante uno o más años (7), la fórmula se transforma en Valor futuro con composición: VF = C„|1 + Harry DeAngelo invirtió $5 000 a una tasa de interés anual establecida de 12%, compuesta trimestral­ mente, durante cinco años. ¡Cuál será su riqueza después de este tiempo? Usando la fórmula 4.6, su riqueza será:

$5 000 x f| + — I

= $5 000 x (I.03)20 = $5 000 k 1.8061 = $9 030.50

...,:.. ..

. ., .-

Parte II Valor y presupuesto de capital i

Composición continua (nivel avanzado) El planteamiento anterior muestra que la composición puede realizarse más de una vez al año. Se podría componer por periodos semestrales, trimestrales, mensuales, diarios, por hora, por minuto, o aun más frecuentes. El límite sería realizar la composición cada instante infinitesimal; esto se conoce como com­ posición continua. Los bancos y otras instituciones financieras suelen cotizar tasas continuas de compo­ sición, por esto las estudiamos. Aunque la idea de componer a esa frecuencia puede causar confusión, sólo se necesita aplicar una fórmula sencilla. Bajo una composición continua, el valor después de Taños se expresa como sigue: C0x«*

(4-7)

donde C0 es la inversión inicial, r es la tasa de interés anual establecida y T es la cantidad de años durante los que se invierte. El número e es una constante aproximadamente igual a 2.718. Su valor no es desco­ nocido, como el de CQ, r y T.

Linda DeFond invirtió $ I 000 a una tasa compuesta continuamente de 10% durante un año. ¿Cuál será el valor de su riqueza después de un año? A partir de la fórmula 4.7 tenemos: $1 000 x e010 = $1 000 * 1.1052 = $1 105.20 Esta cifra se puede leer fácilmente en la tabla A.5. Sólo se necesita establecer r, el valor sobre la línea horizontal, en 10% y T, el valor sobre la línea vertical, en I. Para este problema, la porción relevante de la tabla es: Periodo

r> i 2 3

"Tasa compuesta continuamente (r) 9% 1.0942 1.1972 1.3100

10%

11%

1.1052 ¡I.22I4| 1.3499

1.1163 1.2461 1.3910

Observe que una tasa de 10% compuesta continuamente equivale a una tasa compuesta anualmente de 10.52%. En otras palabras, a Linda DeFond le sería indiferente que su banco le fijara una tasa de 10% compuesta continuamente o una tasa de 10.52% compuesta anualmente.

El hermano de Linda DeFond, Mark, invirtió $ I 000 a una tasa compuesta continuamente de 10% durante dos años, En este caso, la fórmula apropiada es: $1 000 x e 010 " 2 = $1 000 x e°2° = $1 221.40 Mediante el área de la tabla de tasas compuestas continuamente que se reprodujo anteriormente, encon­ tramos que el valor es 1.2214. .

'

.

'

.

■

.

.

■

La ilustración 4.11 muestra la relación que existe entre las composiciones anuales, semestrales y continuas. Una composición semestral da lugar a una curva más suave y a un valor final más alto que una composición anual. Una composición continua tiene la curva más suave y el valor final más alto de todos.

Capítulo 4

1H

Valor presente neto .*

ILUSTRACIÓN 4.11

......

- * „ . • '•,. . .

.•

,

• .

-v.

•

. ¿

.:. . .

Dólares

Dólares

Dólares

Composición anual, semestral y continua

* ;

Interés ganado

j

_L 0

1

2

3

4

5

Años

1 2

3

4

5

0

1 2

3

i

4

5

Años

Años

Composición anual

EJEMPLO

0

Composición continua

Composición semestral

La lotería del estado de Michigan le pagará a usted $ I 000 después de cuatro años. Si la tasa anual de interés compuesta continuamente es de 8%, ¿cuál será el valor presente de este pago! $l000x

Preguntas conceptuales

=$1000x

I 1.3771

= $726.16

1. ¿Qué es una tasa de interés anual establecida? 2. ¿Qué es una tasa de interés anual efectiva? 3. ¿Cuál es la relación que existe entre la tasa de interés anual establecida y la tasa de interés anual efectiva? 4. Defina qué es la composición continua.

4.4 Simplificaciones En la primera parte de este capítulo se han examinado los conceptos del valor futuro y presente. Aunque estos conceptos permiten responder diversos problemas relacionados con el valor del dinero en el tiem­ po, el esfuerzo humano que implican suele ser excesivo. Por ejemplo, suponga el caso de un banco que calcula el valor presente de una hipoteca mensual durante 20 años. Ya que esta hipoteca consta de 240(20 x 12) pagos, se requiere una gran cantidad de tiempo para realizar una tarea conceptualmente sencilla. Puesto que muchos problemas financieros básicos consumen potencialmente una gran cantidad de tiempo, en esta sección se buscarán simplificaciones. Se proporcionarán fórmulas simplificadas para cuatro clases de flujos de efectivo: • • • •

Perpetuidades Perpetuidades crecientes Anualidades Anualidades crecientes

Perpetuidad Una perpetuidad es una corriente constante e infinita de flujos de efectivo. Si usted considera que las perpetuidades no tienen relevancia en la realidad, se sorprenderá al saber que existe un caso muy cono-

Parte II Valor y presupuesto de capital

cido de unflujode efectivo infinito, a saber, los bonos británicos denominados consols. Un inversionista que compra un consol tiene derecho a recibir un interés anual del gobierno británico para siempre. ¿Cómo se puede determinar el precio de un consol? Píense en un consol que paga un cupón de C dólares anuales y que lo seguirá haciendo para siempre. Si se aplica la fórmula del VP, tenemos:

c

c

c

VP = -1x+-r + (1 + rf

(1 + r) 3

donde los puntos que aparecen al final de la serie representan la corriente infinita de términos que siguen en la fórmula. Este tipo de serie recibe el nombre de serie geométrica. Se sabe que aun cuando tengan un número infinito de términos, la totalidad de la serie tiene una suma finita, porque cada término es tan sólo una fracción del anterior. Sin embargo, antes de recurrir a los libros de cálculo, será útil regresar a los principios originales para ver si un poco de intuición financiera ayuda a encontrar el VP. El valor presente de un consol es el valor presente de todos sus cupones futuros. En otras palabras, es una cantidad de dinero que, si un inversionista la tuviera el día de hoy, le permitiría lograr el mismo patrón de gastos que el consol y sus cupones. Suponga que un inversionista quiere gastar exactamente C dólares al año. Si tuviera un consol, podría hacerlo. ¿Qué cantidad de dinero debería tener hoy para gastar la misma cantidad? Es claro que necesitaría una cantidad exactamente suficiente para que el interés sobre el dinero fuera C dólares al año. Si tuviera algo más, podría gastar más de C dólares al año. Si tuviera menos, a la larga se quedaría sin dinero gastando C dólares al año. La cantidad de dinero que le proporcionará al inversionista C dólares anuales y, por lo tanto, el valor presente del consol, es VP = (4.8) r Para confirmar que esta respuesta es correcta, observe que si prestamos la cantidad C/r, el interés que ganará cada año será r « C ínteres = — x r = C r 6

que es exactamente el pago del consol. Para resumir, hemos demostrado esto en el caso de un consol. Fórmula del valor presente de una perpetuidad:

c

c

c

VP = — + — i — + — x — +... 1 + r (l + rf (1 + r)3 _C r Es realmente reconfortante saber con qué facilidad podemos usar un poco de intuición financiera para resolver este problema matemático. 6 Se puede probar esto si se observa la ecuación del VP

VP = C7(l +r) + C/(l +r)2+ ... Sean Cl{\ + r) = a y 1/(1 + r) = x, tenemos que VP = a{\ + x + .v2 + ...)

(1)

,vVP = ax +■ a.x2 + ...

(2)

A continuación podemos multiplicar por x: Si restamos (2) a (1), tenemos VP(1 -x) = a Ahora sustituimos por a y x, y reorganizamos los términos: VP = Clr

TI

Capítulo 4 Valor presente neto

Piense en una perpetuidad que paga $100 al año. Si la tasa de interés pertinente es de 8%, ¡cuál es el valor del consol? Al usar la fórmula 4.8, tenemos: VP = ü^ 0.08

= $t250

Ahora suponga que las tasas de interés caen a 6%. Usando 4.8, el valor de la perpetuidad es: Vp

= Í M = $1666.67 0.06

Observe que el valor de la perpetuidad aumenta cuando disminuye la tasa de interés. Por el contrario, el valor de.la perpetuidad disminuye cuando aumenta la tasa de interés.

Perpetuidad creciente Imagine el caso de un edificio de departamentos donde losflujosde efectivo para el propietario, después de deducir los gastos, serán de $100 000 el año siguiente, y se espera que aumenten 5% anual. Si uno supone que este aumento continuará de manera indefinida, la corriente del flujo de efectivo recibe el nombre de perpetuidad creciente. La tasa de interés pertinente es de 11%. Por tanto, la tasa de descuen­ to apropiada será de 11% y el valor presente de losflujosde efectivo podrá representarse como sigue: _ $100 000

$100 000(1.05)2

$100 000(1.05) 2

.11

$100 000(1.05)""'

3

(l.ll)

(1.11)

(1.11)"

Algebraicamente, podemos escribir la fórmula: ,m VP =

C

Cx

+

(1

+

C

g)

*(1+£)2

— +

■

C x ( l + g) A '-'

~— + ■■■ +

h ••■

(4.9)

1+r (1 + r) 2 (l + , f (l + r)h donde C es el flujo de efectivo que se recibirá después de un periodo a partir de ahora, g es la tasa de crecimiento por periodo, expresada como un porcentaje, y r es la tasa de descuento apropiada. Afortunadamente, la fórmula 4.9 se reduce a la siguiente simplificación:7 Fórmula del valor presente de una perpetuidad creciente: VP =

C

(4.10)

r-g Partiendo de la fórmula 4.10, el valor presente delflujode efectivo proveniente del edificio de departa­ mentos es: $10000 ° : $1666 667 0.11-0.05

7

VP es la suma de una serie geométrica infinita: VP = o(l +A- + . r + ...)

donde a = C/(l + r) y x = (1 + g)/(l + r). Anteriormente, mostramos que la suma de una serie geométrica infinita es al{ 1 - .v). Si usamos este resultado y sustituimos a y x, tenemos VP = C7( r-g) Observe que esta serie geométrica tiende hacia una suma finita sólo cuando x es menor a 1. Esto implica que la tasa de crecimiento, g, debe ser menor a la tasa de interés, r.

Parte II

Valor y presupuesto de capital

Existen tres aspectos importantes relacionados con la fórmula de la perpetuidad creciente: 1. El numerador. El numerador en 4.10 es el flujo de efectivo de un periodo posterior contado a partir de ahora, y no en la fecha cero. Considere el siguiente ejemplo:

Rothstein Corporation está a punto de pagar un dividendo de $3.00 por acción. Los inversionistas antici­ pan que el dividendo anual aumentará 6% anual para siempre. La tasa de interés aplicable es de 11 %. ¿Cuál será el precio de las acciones el día de hoy? El numerador de la fórmula 4.10 es el flujo de efectivo que se recibirá en el siguiente periodo. Ya que la tasa de crecimiento es de 6%, el dividendo del año siguiente será de $3.18 ($3.00 * 1.06). El precio de la acción al día de hoy será de: $3.18 Dividendo inminente

Valor presente de todos los dividendos a partir de un año después de ahora

El precio de $66.60 incluye el dividendo a recibir inmediatamente y el valor presente de todos los dividen­ dos empezando dentro de un año. La fórmula 4.10 tan sólo permite calcular el valor presente de los dividendos empezando dentro de un año a partir de hoy. Asegúrese de que entiende este ejemplo: las preguntas de prueba sobre este tema siempre parecen rebasar a algunos estudiantes.

2. La tasa de interés y la tasa de crecimiento. La tasa de interés r debe ser mayor que la tasa de crecimiento g para que funcione la fórmula de la perpetuidad creciente. Considere el caso en el cual la tasa de crecimiento se aproxima a la tasa de interés en magnitud. Después, el denominador de la fórmula de la perpetuidad creciente se vuelve infinitesimalmente pequeño y el valor presente crece hasta alcanzar un valor infinitamente grande. De hecho, el valor presente es indefinido cuando r es menor a g. 3. El supuesto de la periodicidad. Por lo general, el efectivo fluye hacía adentro y hacia afuera de las empresas del mundo tanto de una manera aleatoria como casi continua. Sin embargo, la fórmula 4.10 supone que los flujos de efectivo se reciben y se desembolsan según puntos regulares y discretos en el tiempo. En el ejemplo del departamento, supusimos que los flujos netos de efectivo de $100 000 tan sólo ocurrían una vez al año. En la realidad, los cheques por arrendamientos comúnmente se reciben de manera mensual. Los pagos del mantenimiento y de otros gastos pueden ocurrir en cualquier momento dentro del año. La fórmula de la perpetuidad creciente de 4.10 puede aplicarse tan sólo suponiendo un patrón regu­ lar y discreto del flujo de efectivo. Aunque este supuesto es razonable, porque la fórmula ahorra una gran cantidad de tiempo, el usuario nunca debe olvidar que éste es tan sólo un supuesto. Este aspecto se mencionará nuevamente en los capítulos posteriores. Se deben acotar algunas cosas más sobre la terminología. Los autores de los libros de texto financie­ ros generalmente usan uno de dos convencionalismos para referirse al tiempo. Una minoría de los escri­ tores financieros tratan los flujos de efectivo como aquellos que se reciben en fechas exactas; por ejem­ plo, la fecha 0, la fecha 1 y así sucesivamente. Bajo esta convención, la fecha 0 representa el momento actual. Sin embargo, toda vez que un año es un intervalo y no un momento específico en el tiempo, la mayoría de los autores se refieren a los flujos de efectivo que ocurren al final de un año (o alternativa­ mente, al final de un periodo). Bajo esta convención de fin de año, el fin del año 0 es el presente y el final del año 1 ocurre un periodo después de esa fecha, y así sucesivamente. (El inicio del año 0 ya ha trans­ currido y generalmente no se hace referencia al mismo.)8

8

Algunas veces los teóricos en finanzas hablan simplemente del flujo de efectivo en el año x. Aunque dicha terminología es ambigua, generalmente se refieren al final de año x.

Capítulo 4

Valor presente neto

79

La equivalencia entre las dos convenciones se puede apreciar en el siguiente diagrama:

Fecha 0 = Ahora Fin del año 0 = Ahora

Fecha 2

Fecha 3

Fin del año 2

Fin del año 3

Fecha I Fin del año

Estamos seguros de que la convención de las fechas reduce la ambigüedad. Sin embargo, debemos usar ambas convenciones porque es probable que usted encuentre la convención de fin de año en cursos posteriores. De hecho, por cuestiones de práctica, ambas convenciones pueden aparecer en el mismo ejemplo.

Anualidad Una anualidad es una corriente uniforme de pagos regulares que dura un número fijo de periodos. De una manera no sorprendente, las anualidades se encuentran entre los tipos más comunes de instrumentos financieros. Las pensiones que reciben las personas al jubilarse suelen tener la forma de una anualidad. Sucede lo mismo con los arrendamientos e hipotecas. Para calcular el valor presente de una anualidad se requiere evaluar la siguiente ecuación: C

l+r

C

C 2

(1 + ,-)

C

(1 + rf

1+ r

El valor presente de recibir los cupones sólo durante T periodos debe ser menor al valor presente de un consol, pero, ¿cuánto? Para responder esto, debemos analizar los consols de una manera más detallada. Considere el siguiente diagrama de tiempo: Ahora

Fecha (o fin de año) Consol 1 Consol 2 Anualidad

0

i

,

,

|

1 C

2 C

3 C...

7 C

C

C

C...

c

1 1 1 1 (T+l)(T+2)

c c

c... c...

El consol 1 es un bono normal cuyo primer pago ocurre en la fecha 1. El primer pago del consol 2 ocurre en la fecha T + 1. El valor presente de tener un flujo de efectivo C en cada una de las fechas Tes igual al valor presente del consol 1 menos el valor presente del consol 2. El valor presente del consol 1 está dado por VP = (4.H) r El consol 2 es tan sólo un bono cuyo primer pago ocurre en la fecha T + 1, A partir de la fórmula de las perpetuidades, este bono tendrá un valor de C/r en la fecha T.9 Sin embargo, no queremos el valor en la fecha T, sino ahora. En otras palabras, el valor presente en la fecha 0. Debemos descontar el valor de C/r durante T periodos. Así, el valor presente del consol 2 será de: r VP=-

1

(4.12)

+ r 9 Los estudiantes suelen pensar que C/r es el valor presente en la fecha T + 1, porque el primer pago del consol se hace en la fecha T + 1. Sin embargo, la fórmula valúa la anualidad con fecha de un periodo anterior al primer pago.

Parte II

Valor y presupuesto de capital

El valor presente de tener flujos de efectivo durante T años es el valor presente de un consol cuyo primer pago ocurre en la fecha 1 menos el valor presente de un consol cuyo primer pago ocurre en la fecha T + 1. De tal modo, el valor presente de una anualidad es la fórmula 4.11 menos la fórmula 4.12; esto puede escribirse como sigue: 1

c_c r

r

(i+ry

Lo cual se simplifica en la Fórmula del valor presente de una anualidad:10 " VP = C

1

1

(4.13)

r(l + r) Mark Young acaba de ganar la lotería estatal, que le pagará $50 000 al año durante 20 años. Recibirá su primer pago después de un año a partir de hoy. El Estado la anuncia como la Lotería del Millón de Dólares porque $ I 000 000 = $50 000 « 20. Si la tasa de interés es de 8%, ¡cuál será el valor real de este premio de lotería? La fórmula 4.13 nos daría: Valor presente de la Lotería del Millón de Dólares = $50 000 x

I 0.08

Pago periódico = $50 000 = $490 905

0.08(l.08)2' Factor de la anualidad 9.8181

En lugar de estar muy contento por haber ganado tal premio, Young demanda legalmente al Estado por mala representación y fraude. Su defensa declara que a él se le prometió $1 millón, pero tan sólo recibirá $490 905.12

El término que usamos para calcular el valor de la corriente de pagos iguales, C, durante Taños se conoce como factor de la anualidad. En este ejemplo el factor de la anualidad es de 9.8181. Puesto que el factor de anualidad se suele usar en los cálculos de VP, lo hemos incluido en la tabla A.2 que aparece al final del libro. Esta tabla proporciona los valores de estos factores para diversas tasas de interés, r, y de fechas de vencimiento, T. El factor de anualidad, tal como se expresa en los corchetes de la fórmula (4.3), constituye una fórmula compleja. Por cuestiones de simplificación, ocasionalmente nos podemos referir al factor de anualidad como: 10

Esto también puede escribirse C[\ - 1/(1 + r)T]lr

" También podemos establecer una fórmula para el valor futuro de una anualidad VF = C 12 Para resolver este problema usando una calculadora financiera HP19B II, se debe hacer lo siguiente: a. Presione "FIN" y "TVM". b. Teclee el pago de 50 000 y presione "PMT". c. Teclee la tasa de interés de 8 y presione "I % YR". d. Teclee la cantidad de periodos (20) y presione "N". e. Finalmente, presione "PV" para obtener la solución. Observe que su respuesta es $490 907.370372. La calculadora usa 11 dígitos para el factor de anualidad y para la respuesta, mientras que el ejemplo usa sólo cuatro dígitos en el factor de anualidad y redondea la respuesta final al dólar más cercano. Debido a esto, la respuesta del ejemplo del texto difiere de la que se obtiene mediante el uso de la calculadora. En la práctica, la respuesta de la calculadora es mejor ya que es más precisa.

Capítulo 4 Valor presente neto icr '+ de

ATr

(4.14)

Es decir, la expresión (4.14) representa el valor presente de $ 1 al año durante T años a una tasa de interés de r. Nuestra experiencia indica que las fórmulas de anualidades no son difíciles, sino un tanto complica­ das para el estudiante que empieza a tratar con ellas. A continuación presentaremos cuatro trucos: T r u c o n ú m . I: U n a anualidad atrasada Uno de los artificios que pueden usarse al trabajar con anualidades o perpetuidades consiste en calcular la periodicidad de los plazos de una manera exacta. Esto es particularmente cierto cuando una anualidad o una perpetuidad empieza en una fecha que incluye muchos periodos hacia el futuro. Hemos encontrado que aun el estudiante más brillante que inicia sus estudios puede cometer errores aquí. Consideré el ejemplo que se presenta a continuación.

3)

su es lio

EJEMPLO

Danielle Caraveilo recibirá una anualidad a cuatro años de $500 por año, empezando en la fecha 6. Si la tasa de interés es de 10%, ¡cuál será el valor presente de su anualidad? Esta situación puede graficarse como sigue: '

3

6 $500

7 $500

8 $500

9 $500

El análisis implica dos pasos I. Calcule el valor presente de la anualidad usando 4. Ic3, lo cual da: Valor p r e s e n t e de la anualidad e n la fecha 5:

or irá

$500 0-10

0.10(1.10)4

= $500xA.\ = $500x3.1699

se ue ice de

= $1 584.95 Observe que $ I 584.95 representa el valor presente en la fecha .5. Los estudiantes suelen pensar que $ I 584.95 es el valor presente en la fecha 6, dado que la anualidad empieza en la fecha 6. Sin embargo, nuestra fórmula valora la anualidad con fecha de un periodo anterior al primer pago. Esto puede verse en el caso más típico en el que el primer pago ocurre en la fecha I. En este caso, la fórmula valora la anualidad en la fecha 0.

na de

2. Descuente el valor presente de la anualidad a la fecha 0. Es decir, Valor p r e s e n t e en la fecha 0: $1584.95 (1.1 o) 5

< $984.13

Nuevamente, es importante mencionar que, ya que la fórmula de la anualidad lleva nuevamente la anua­ lidad de Danielle a la fecha 5, el segundo cálculo debe hacer el descuento sobre los cinco periodos restantes. El procedimiento de dos pasos se gráfica en la ilustración 4.12.

ILUSTRACIÓN 4.12 Descuento de la anualidad de Danielle Caraveilo ara I al :la

Fecha 0 1 Flujo de efectivo

$984.13 Paso uno: Descuente los cuatro pagos a la fecha 5 con la fórmula de la anualidad. Paso dos: Descuente el valor presente en la fecha 5 ($1 584.95) al valor presente en la fecha 0.

Parce II

Valor y presupuesto de capital

Truco núm. 2: Anualidad anticipada o inmediata La fórmula de anualidad de 4.13 supone que el pago de la primera anualidad empieza después de un periodo a partir de hoy. Este tipo de anualidad recibe a menudo el nombre de anualidad regular. ¿Qué sucederá si la anualidad empieza el día de hoy, en otras palabras, en la fecha 0?

En un ejemplo anterior, Mark Young recibiría de la lotería del Estado $50 000 al año durante 20 años. En el ejemplo, recibiría el primer pago después de un año contado a partir de la fecha en la que ganó el premio. Supongamos ahora que el primer pago ocurre inmediatamente. El número total de pagos segui­ rá siendo 20. Bajo este nuevo supuesto, tenemos una anualidad de 19 fechas en la que el primer pago ocurre en la fecha I, más un pago adicional en la fecha 0. El valor presente es: $50 000 Pago en la fecha 0

+ = $50 000 + = $530 180

$50 000 x < 0 8 Anualidad de 19 años ($50 000 x 9.6036)

$530 180, el valor presente en este ejemplo, es mayor que $490 905, el valor presente en el ejemplo anterior de la lotería. Esto era de esperarse porque la anualidad del ejemplo actual empieza en una fecha anterior. Una anualidad con un pago Inicial inmediato recibe el nombre de anualidad anticipada o inmedia­ ta. Recuerde siempre que la fórmula 4.13, así como la tabla A.2, que aparecen en este libro, se refieren a una anualidad regular.

Truco núm. 3: La anualidad irregular El ejemplo que se expone a continuación trata de una anualidad cuyos pagos ocurren con una frecuencia inferior a la de una vez al año.

Ann Chen recibe una anualidad de $450, pagadera una vez cada dos años. La anualidad se extiende a lo largo de veinte años. El primer pago ocurre en la fecha 2, es decir, dentro de dos años a partir de hoy. La tasa anual de interés e;s de 6%. El truco consiste en determinar la tasa de interés a lo largo de un periodo de dos años; ésta es:

(1.06 x 1.06)- I = 12.36% Es decir, $ 100 invertidos a lo largo de dos años redituarán una cantidad igual a $ I 12.36. Lo que nos interesa obtener es el valor presente de una anualidad de $450 a lo largo de 10 periodos, con una tasa de interés de 12.36% por periodo. Es decir,

$450

0.1236

0.1236 x (1.1236)

= $2 505.57

Truco núm. 4: Igualación del valor presente de dos anualidades El ejemplo que se presenta a continuación iguala el valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos.

Harold y Helen Nash están ahorrando para solventar la educación universitaria de su hija recién nacida, Susan. La familia Nash estima que los gastos universitarios serán de $30 000 por año cuando su hija cumpla 18 años e Ingrese a la universidad. La tasa anual de interés a lo largo de las siguientes décadas será de 14%. ¿Qué cantidad de dinero deberán depositar en el banco cada año a efecto de que su hija quede completamente protegida a lo largo de los cuatro años de su educación universitaria? Para simplificar los cálculos, suponemos que Susan nace el día de hoy. Sus padres harán el primero de sus cuatro pagos anuales de colegiatura el día de su 18o. aniversario. Harán depósitos bancarios ¡guales cada uno de sus primeros 17 aniversarios, pero no harán depósitos en la fecha cero. Esto se ¡lustra como sigue:

Capítulo 4

Valor presente neto

17

18

17o. y último depósito desús padres

Pago de colegia­ tura 1

Fecha

Nacímiento de Susan

1er. depósito de sus padres

2o. depósito de sus padres

20

Pago de colegia­ tura 2

Pago de colegia­ turas

Pago de colegia­ tura 4

Los Nash harán depósitos bancarios a lo largo de los 17 años siguientes, y retirarán $30 000 p o r año en los cuatro años posteriores. Podemos estar seguros de que podrán r e t i r a r la cantidad t o t a l de $30 000 p o r año si el valor presente de los depósitos es igual al valor presente de los cuatro retiros de $30 000. Este cálculo requiere de tres pasos. Los dos primeros determinan el valor presente de los retiros. El paso final determina los depósitos anuales que tendrán un valor presente igual al de los retiros. I.

Calcule el valor presente de los cuatro años de educación universitaria usando la fórmula de anuali­ dades; $30 000 x

0.14

= $30 000 x Ao,H

0.14 x (1.14)4

= $30 000x2.9137 =$87411 Suponga que Susan ingresa a la universidad el día de su 18o. aniversario. Dada la explicación del truco I, la cifra de $87 411 representa el valor presente en la fecha 17. 2. Calcule el valor presente de la educación universitaria en la fecha cero como sigue: $87 41 (I.I4)'7

= $9 422.91

Suponiendo que Helen y Harold Nash hacen depósitos al final de cada uno de los 17 años, calcula­ mos el depósito anual que redituará un valor presente de todos los depósitos de $9 422.91. Éste se calcula como sigue: C x A j ¿ 4 = $9 422.91

Ya que A¡J„ = 6.3729, $9 422.91

= $1478.59

6.3729

De tal modo, los depósitos de $1 478.59, realizados al final de los primeros 17 años e invertidos a una tasa de 14%, proporcionarán una cantidad suficiente de dinero para pagar la colegiatura de $30 000 a lo largo de los cuatro años siguientes.

Un método alternativo sería 1) calcular el valor presente de los pagos de colegiatura en la fecha correspondiente al 18o. aniversario de Susan y 2) calcular los depósitos anuales de tal modo que el valor futuro de los depósitos calculado en su 18o. aniversario sea igual al valor presente de los pagos de colegiatura en esa fecha. Aunque esta técnica también puede proporcionar la respuesta correcta, hemos comprobado que es más probable que conduzca a errores. Por lo tanto, tan sólo igualamos los valores presentes en nuestra presentación.

Anualidad creciente Es muy probable que los flujos de efectivo de los negocios crezcan a lo largo del tiempo, ya sea que ello se deba a un crecimiento real o a la inflación. Una perpetuidad creciente, la cual supone un número infinito de flujos de efectivo, proporciona una fórmula que permite manejar este crecimiento. A conti-

Parte II

Vator y presupuesto de capital

nuación consideraremos el caso de una anualidad creciente, la cual incluye una cantidad finita de flujos de efectivo crecientes. Toda vez que las perpetuidades son raras cualquiera que sea su tipo, disponer de una fórmula para calcular una anualidad creciente será verdaderamente útil. Esta fórmula es la si­ guiente: Fórmula para obtener el valor presente de una anualidad creciente:

(4.15)

VP = C \ + r

donde, como antes, C es el pago que deberá ocurrir al final del primer periodo, r es la tasa de interés, g es la tasa de crecimiento por periodo, expresada como un porcentaje, y f e s el número de periodos de la anualidad.

Stuart Gabriel, un estudiante de segundo año de la maestría en administración de empresas, acaba de recibir una oferta de trabajo de $80 000 al año. Supone que su salario aumentará 9% anual hasta su fecha de retiro dentro de 40 años. Dada una tasa de interés de 20%, ¿cuál será el valor presente del salario de toda su vida? Podemos simplificar los hechos suponiendo que se le pagará un salario de $80 000 exactamente después de un año contado a partir de hoy, y que su salario se le seguirá pagando en forma anual. La tasa de descuento apropiada es de 20%. A partir de la fórmula 4.5, el cálculo es el siguiente: Valor presente del salario de toda la = $80 000 x 0.20-0.09 vida de Stuart

I

.09

0.20-0.09 U20

= $711731

Aunque la anualidad creciente es muy útil, es más difícil que las demás fórmulas simplificadas. Aunque la mayoría de las calculadoras avanzadas tienen programas especiales para las perpetuidades, perpetuidades crecientes y anualidades, no existe un programa especial para las anualidades crecientes. Por lo tanto, es necesario calcular todos los términos de la fórmula 4.15 de manera directa.

En un ejemplo anterior, Harold y Helen Nash planearon hacer 17 pagos idénticos a efecto de financiar la educación universitaria de su hija, Susan. De manera alternativa, supongamos ahora que planearan incre­ mentar sus pagos a una tasa de 4% anual. ¡Cuál sería su primer pago? Los dos primeros pasos del ejemplo anterior de la familia Nash demostraron que el valor presente de los costos universitarios fue de $9 422.91. Estos dos pasos serán los mismos aquí, sin embargo, el

13 Esto puede demostrarse como sigue. Una anualidad creciente puede percibirse como la diferencia entre dos perpetuidades crecientes. Considere el caso de una perpetuidad creciente A, donde el primer pago de C ocurre en la fecha 1. A continuación, considere el caso de una perpetuidad creciente B, donde el primer pago de C(l + g)T se hace en la fecha T + 1. Ambas perpetuidades crecen a la tasa g. La anualidad creciente a lo largo de T periodos es la diferencia entre la anualidad A y la i?. Esto puede representarse así:

Fecha 0 1 2 Perpetuidad A C C x (l + g) Perpetuidad B Anualidad C C x (1 + g) El valor de la perpetuidad A es

3 Cx(l+g)2 C x (1 + gf

T +1 T +2 C x ( l +g)r-! C x ( l + g ) r cx(i+gy+ C x (1 + g)T cx(i+gy* Cx(l+£•)'-' C

El valor de la perpetuidad B es Cx{l+g)T

1

r-g

(1 + r)'

La diferencia entre las dos perpetuidades está dada por 4.15.

T +3 c x ( i +gy^ c x d + s r

■

Capítulo 4

■■;■

85

Valor presente neto

tercer paso debe ser modificado. Ahora debemos hacer la siguiente pregunta: ¡de qué cantidad debería ser su primer pago para que, si los pagos aumentan 4% anual, el valor presente de todos sea de $9 422.91 ? Establecemos la fórmula de la anualidad creciente como igual a $9 422.91 y despejamos el valor de O.

+g l+r

=C

I 0.14-0.04

0.14-0.04

L04 1.14

= $9 422.91 Aquí, C = $1 192.78. De tal modo, el depósito que deberá hacerse en la fecha del primer aniversario de su hija será de $1 192.78, el depósito que deberá hacerse el segundo aniversario es de $1 240.49 (1.04 * $1 192.78), y así sucesivamente. [P^; *r;r-T":

Preguntas conceptuales

¿Cuáles son las fórmulas de las perpetuidades, de las perpetuidades crecientes, de las anualidades y de las anualidades crecientes? ¿Cuáles son tres importantes aspectos relacionados con la fórmula de las perpetui­ dades crecientes? ¿Cuáles son los cuatro trucos relacionados con las anualidades?

La decisión de convertir el valor de un premio de lotería: el caso de Singer Asset Finance Company

,

En 1987, Rosalind Setchfield ganó más de $1 300 000 en la lotería del estado de Arizona. Los premios se pagarían en 20 abonos anuales de $65 276.79. Seis años más tarde, en 1995, la señora Setchfield recibió una llamada telefónica de un vendedor de Singer Asset Finance Company, de West Palm Beach, Florida. La compañía Singer le ofreció pagarle $140 000 inmediatamente por la mitad de los nueve siguientes cheques de la lotería (v. gr„ $140 000 ahora por $32 638.39 x 9 = $293 745.51 durante nueve años). Singer es un corredor de premios que cuenta con un gran número de empleados cuyo principal trabajo es rastrear a los ganadores de millones de dólares en premios de loterías, como la señora Setchfield, pues sabe que muchas personas están dispuestas a negociar la totalidad o una parte de sus ganancias prometi­ das a cambio de una suma acumulada y descontada pagadera de inmediato. Singer es parte de un negocio creciente de corredores de precios cuyo valor es de $700 millones. Singer y Woodbridge Sterling Capital actualmente controlan casi 80% del mercado de las conversiones de los premios de loterías. Los corredo­ res de premios como Singer revenden sus derechos de recepción de intereses futuros (los cuales se denominan intereses estructurados) a inversionistas institucionales como SunAmerica, Inc, o John Hancock Mutual Life Insurance Co. En el caso de la señora Setchfield, el inversionista fue la empresa Enhance Financial Service Group, un reasegurador de bonos municipales de la ciudad de Nueva York. Singer había convenido vender a Enhance su participación en el premio de lotería de la señora Setchfield en una cantidad de $196 000 y de tal modo obtendría una rápida utilidad de $56 000 si ella aceptaba la oferta, como sucedió finalmente. ¡Cómo pudo Singer estructurar una negociación que dio como resultado una utilidad de $56 000? La respuesta es que los individuos y las instituciones tienen diferentes preferencias de consumo intertempo­ ral. La familia de la señora Setchfield había experimentado algunas dificultades financieras y necesitaba efectivo de inmediato. No quería esperar nueve años para obtener el premio de la lotería. Por otra parte, Enhance Group tenía algunos excesos de efectivo y ciertamente estaba dispuesto a hacer una inversión de $196 000 con el objeto de recibir los derechos a la mitad del premio de la señora Setchfleid, es decir, $32 638.39 anuales durante nueve años. La tasa de descuento que aplicaba Enhance Group a los intereses futuros era de aproximadamente 8.96% (esto es, la tasa de descuento que iguala el valor presente de $ 196 000 con el derecho de Singer de recibir sus pagos iguales de $32 638.39). La tasa de descuento que usó la señora Setchfield fue de 18. 1%, lo cual reflejó su aversión a los flujos de efectivo diferidos. Fuente: Vanessa Williams, "How Major Players Turn Lottery Jackpots into Guaranteed Bet", en The Wall Street journal, 23 de septiembre de 1997.

5

86

4.5

Parte II

Valor y presupuesto de capitat

¿Cuánto vale una empresa? Suponga que su negocio consiste en tratar de determinar el valor de empresas pequeñas. (Usted es un perito valuador de negocios.) ¿Cómo podría determinar cuál es el valor de una empresa? Una manera de afrontar esta pregunta es calcular el valor presente de losflujosfuturos de efectivo de la empresa. Consideremos el ejemplo de una empresa que se espera que genereflujosde efectivos netos (ingre­ so de efectivo menos egreso de efectivo) de $5 000 en el primer año y de $2 000 durante cada uno de los cinco años siguientes. La empresa se puede vender en $10 000 en siete años contados a partir de hoy. A sus propietarios les gustaría ganar 10% sobre su inversión en ésta. El valor de la empresa se calcula multiplicando losflujosde efectivo netos por el factor apropiado de valor presente. El" valor de la empresa es simplemente la suma de los valores presentes de losflujosde efectivo neto individuales. El valor presente de los flujos de efectivo netos se proporciona más abajo:

Valor presente de la empresa Final del afio' 1 2 3 4 5 6 7

Flujo de efectivo neto de la empresa

Factor del valor presente (10%)

Valor presente de los flujos de efectivo netos

.90909 .82645 .75131 .68301 .62092 .56447 .51315

$4 545.45 1 652.90 1 502.62 1 366.02 1 241.84 1 128.94 5 131.58

$5 000 2 000 2 000 2 000 ' 2 000 2 000 10 000

Valor presente de la err presa

$16 569.35

.

'

También podemos usar la fórmula simplificada de una anualidad, lo cual nos daría: S5000

1.1

+

(2 000x^ 0 )

1.1

+

ioooo

(l.l)7

Suponga que usted tiene la oportunidad de adquirir la empresa en $12 000. ¿Debería adquirirla? La respuesta es sí, ya que el valor presente neto es positivo. VPN = VP- Costo $4 569.35 = $16 569.35 - $12 000 El valor incremental (VPN) de adquirir la empresa es de $4 569.35.

EJEMPLO

Trojan Pizza Company contempla la posibilidad de Invertir $1 millón en cuatro nuevas tiendas distribui­ doras,en Los Ángeles. Andrew Lo, director financiero de la empresa (CFO), ha estimado que las inversio­ nes generarán flujos de efectivo de $200 000 por año durante nueve años y ninguna otra cantidad des­ pués de esa fecha. (Los flujos de efectivo ocurrirán al final de cada año y no habrá ningún flujo de efectivo después del 9o. año.) Lo ha determinado que la tasa de descuento relevante para esta inversión es de 15%, que es la tasa de rendimiento que la empresa podrá ganar en proyectos comparables. ¿Debería Trojan Pizza Company hacer las inversiones en las nuevas tiendas distribuidoras!

87

Capítulo 4 Valor presente netp Esta decisión puede evaluarse como sigue: VPN = - $ ! 0 0 0 000-

$200 000

1.15

+

$200 000 : +■

1.15

$200 000 (1.15)'

= -$1000 000 + $200 000 x A¡[S : -$1000 000

$954 316.78

■■- 45 683.22 El valor presente de las cuatro nuevas distribuidoras es de $954 3 16.78; valen menos de lo que cuestan. Trojan Pizza Company no debería hacer la inversión porque el VPN es de -$45 683.22. Si requiere de una tasa de rendimiento de 15%, las nuevas tiendas distribuidoras no serán una buena inversión.

4.6 RESUMEN Y CONCLUSIONES En la parte inicial de este capítulo se introdujeron dos conceptos básicos: el valor futuro y el valor presente. Bajo una tasa de interés de 10%, un inversionista que tenga $ I hoy puede generar un valor futuro de $ 1. 10 dentro de un año, $ 1.21 [$ I * ( I . I O)2] dentro de dos años, y así sucesivamente. En contraste, el análisis del valor presente asigna un valor actual sobre un flujo de efectivo poste­ rior. Con la misma tasa de interés de 10%, un dólar que se vaya a recibir dentro de un año tiene un valor presente de $0.909 ($1/1.10) en el año 0. Un dólar que se vaya a recibir dentro de dos años tiene un valor presente de $0.826[$l/($l. 10)2]. La tasa de interés se expresa comúnmente como, por ejemplo, 12% anual. Sin embargo, es posible hablar de una tasa de interés de 3% por trimestre. Aunque la tasa de interés anual estipulada permanece en 12% (3% * 4), la tasa de interés anual efectiva es de 12.55% [(I.03) 4 - I], En otras palabras, el proceso de composición incrementa el valor futuro de una inversión. El caso límite está dado por un proceso de composición continuo, en el cual se supone que los fondos se reinvierten cada instante infinitesimal. Una técnica cuantitativa básica para la toma de decisiones financieras es el análisis del valor presen­ te neto. La fórmula del valor presente neto de una inversión que genera flujos de efectivo (0.) en periodos futuros es: VPN = - C„ + -r- L -r + -

'° ( M

■ H

0 + r):

\r-

(i + 0

I-

" fí(i + ,

La fórmula supone que el flujo de efectivo en la fecha 0 es la inversión inicial (un flujo de salida de efectivo). Con frecuencia, el cálculo real del valor presente es muy prolongado y tedioso. El cálculo del valor presente de una hipoteca a largo plazo con pagos mensuales es un buen ejemplo de ello. Presenta­ mos cuatro fórmulas simplificadas. Perpetuidad: VP = Perpetuidad creciente: VP ■■ r-g Anualidad: VP = C r x (1 + i Anualidad creciente: VP = C

l+_g l+r

Se hace énfasis en algunos aspectos prácticos para la aplicación de estas fórmulas: a. El numerador de cada una de las fórmulas, C, es el flujo de efectivo que se recibirá después de un periodo completo.

88

Parte

Valor y presupuesto de capital

Por lo general, en la práctica los flujos de efectivo son irregulares. Para evitar problemas difíciles de manejar, tanto en este libro como en la realidad se hacen supuestos que permitan crear flujos de efectivo más regulares. Un cierto número de problemas de valor presente implican anualidades (o perpetuidades) que empiezan unos cuantos periodos después. Los estudiantes deberán practicar la combinación de la fórmula de la anualidad (o de la perpetuidad) con la fórmula del descuento para resolver estos problemas. Las anualidades o las perpetuidades pueden tener periodos de dos o n años, en lugar de ser sólo anuales. Las fórmulas de las anualidades y las perpetuidades pueden manejar fácilmente tales circunstancias. Comúnmente se encuentran problemas en los que el valor presente de una anualidad debe ser igualado con el valor presente de otra anualidad.

TÉRMINOS CLAVE

Anualidad, 79 Anualidad creciente, 84 Composición continua, 74 Composición o proceso de capitalización, 64 Descuento, 68 Factor de la anualidad, 80 Factor del valor presente, 68 Interés compuesto, 64 Interés simple, 64 Perpetuidad, 75

Perpetuidad creciente, 77 Rendimiento anual efectivo, 72 Tasa de descuento apropiada, 69 Tasa de interés anual efectiva, 72 Tasa de interés anual establecida, 72 Tasa porcentual anual, 72 Valor compuesto, 60 Valor futuro, 60 Valor presente, 6/ Valor presente neto, 62

LECTURAS SUGERIDAS

Para aprender cómo se pueden aplicar las matemáticas del valor presente, le recomendamos que consulte los manuales que vienen con la calculadora Hewlett-Packard HP I9BII. También recomendamos: White, M., Financia! Analysis with a Calculator, 5a. ed., Burr Ridge, lll.:McGraw-Hill/lrwin, 2004.

PREGUNTAS Y PROBLEMAS 4

4.1

COMPOSICIONES ANUALES

Calcule el valor futuro de $1 000 anualmente capitalizabas en: a. 10 años a 5% b. 10 años a 7% c. 20 años a 5% d. ¿Por qué la tasa de Interés ganada en el inciso c no es igual al doble del monto que se gana en el inciso a?

4.2 Calcule el valor presente de los siguientes flujos de efectivo descontados a una tasa de 10%: a. $1 000 que se reciban después de siete años contados a partir de hoy. b. $2 000 que se reciban después de un año contado a partir de hoy. c. $500 que se reciban después de ocho años contados a partir de hoy. 4.3

¿Preferiría usted recibir $1 000 el día de hoy o $2 000 dentro de 10 años si la tasa de descuento fuera de 8%?

4.4

El gobierno ha emitido un bono que pagará $1 000 dentro de 25 años. Dicho bono no hará pagos por cupones de intereses. ¿Cuál será el valor presente del bono si la tasa de descuento es de 10%?

4.5

Una empresa tiene una pensión en el pasivo de su balance general por $1.5 millones, que será pagadera después de 27 años contados a partir de hoy. Si la empresa puede invertir en un instru-

14 En este capítulo se usan las siguientes convenciones en las preguntas y los problemas. Si se indica una frecuencia de exposición mayor a un año el problema establecerá: 1) una tasa de interés anual establecida y un periodo de composición, o 2) una tasa de interés anual efectiva. Si se indica una composición anual, el problema dará una tasa de interés anual. Como la tasa de interés anual establecida y la tasa de interés anual efectiva son lo mismo aquí, usaremos una tasa de interés anual simple.

Capítulo 4

55 V

Valor presente neto

mentó libre de riesgo que tenga una tasa de interés de 8%, ¡qué cantidad de dinero deberá invertir la empresa hoy para estar en condiciones de hacer el pago de $1.5 millones? 4.6

Suponga que usted ha ganado la lotería del estado de Florida. Los funcionarios de la lotería le ofrecen la posibilidad de elegir uno de los siguientes pagos alternativos: Alternativa I: $10 000 después de un año contado a partir de hoy. Alternativa 2: $20 000 después de cinco años contados a partir de hoy. ¡ Q u é alternativa debería elegir si la tasa de descuento es de:

a. 0%? b. 10%! c. 20%! d . ¡Qué tasa de descuento hace que las dos alternativas sean igualmente atractivas para usted! 4.7

Suponga que está vendiendo su casa. Los Smíth le han ofrecido $ I 15 000, pero le pagarían Inmedia­ tamente. Los Jones le han ofrecido $150 000, pero no podrán pagarle sino hasta después de tres años contados a partir del día de hoy. La tasa de interés es de 10%. ¡ Q u é oferta debería elegir!

4.8

Suponga que c o m p r ó un bono que pagará $1 000 d e n t r o de 20 años. N o se harán pagos de cupones. Si la tasa de descuento apropiada del bono es de 8%: a. ¡Cuál es el precio actual del b o n o ! b. ¡Cuál será el precio del bono después de 10 años contados a partir de hoy! c. ¡Cuál será el precio del bono después de 15 años contados a partir de hoy?

4.9

Ann W o o d h o u s e está considerando la compra de un t e r r e n o . Espera poseerlo durante 10 años y posteriormente venderlo en $5 millones. N o existen o t r o s flujos de efectivo. ¡Cuál es la máxima cantidad que debería estar dispuesta a pagar por la propiedad si la tasa de descuento apropiada es de 12%?

4.10

Usted tiene la oportunidad de hacer una inversión de $900 000. Si realiza esta inversión ahora, recibirá $ 120 000 después de un año contado a partir de hoy, $250 000 y $800 000 después de dos y tres años contados a partir de hoy, respectivamente. La tasa de descuento apropiada para esta inversión es de 12%. a. ¡Debería hacer la inversión? b. ¡Cuál será el valor presente neto (VPN) de esta oportunidad? c. Si la tasa de descuento es de 11%, ¡debería hacer la inversión? Calcule el valor presente neto que dará apoyo a su respuesta.

4.1 I

Usted tiene la oportunidad de invertir en una máquina que tendrá un costo de $340 000. La máquina generará ingresos de $ 100 000 al final de cada año y requerirá de costos de mantenimien­ t o por $10 000 al inicio de cada año. Aunque la máquina genera costos de mantenimiento desde ahora por los gastos de instalación. Si la vida económica de la máquina es de cinco años y la tasa de descuento relevante es de 10%, ¡debería usted comprarla? ¡Qué sucedería si la tasa de descuento relevante fuera de 9%?

4.12

Suponga que hoy una empresa firmó un contrato para vender un activo de capital en $90 000. La empresa recibirá el pago después de cinco años contados a partir de hoy. La producción del activo tiene un costo de $60 000, pagables de Inmediato. a. Si la tasa de descuento apropiada es de 10%, ¡cuál es el V P N del contrato? b. ¡A qué tasa de descuento logrará la empresa su p u n t o de equilibrio sobre la venta del activo?

4.13

Suponga que su tía posee un lote de automóviles. Ella le ha p r o m e t i d o a usted darle $3 000 como valor de intercambio p o r su automóvil cuando usted se gradúe d e n t r o de un año a partir de hoy, mientras que su compañero de habitación le ha ofrecido $3 500 por el automóvil el día de hoy. La tasa de interés prevaleciente es de 12%. Si se espera que el valor f u t u r o resultante del beneficio de poseer el automóvil durante un año más sea de $1 000, ¡debería usted aceptar la oferta de su tía! N o ha planeado comprar o t r o automóvil y no lo necesitará después de graduarse.

4.14

Usted desea comprarse un automóvil convertible d e n t r o de 12 años a partir de hoy. Entonces el automóvil costará $80 000. Actualmente cuenta con $10 000 para invertir. ¡Qué Usa de interés debe tener su inversión para que pueda comprar el convertible!

¡

o