Capitulo 4 Soria

CARRERA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Capítulo 4 - SORIA

-SANTIAGO GUAMAN

Procesamiento digital de señales DISCUTA LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA 1 H z   A3  z  13  2 53 1 z  13 z 3 z  12 A3  z   1  36

Am1  z  

Am  z   K m Bm  z  1  K 2m

m3 K 3   3 3  13

53  2 13 1 z  z 3 z  36 B3  z   13  12

m2

A3  z   K 3 B3  z  1  K 23 53  2 13 1 13  2 53 1 z  z 3 z  36 z  13 z 3  13 13  12 z  12 1  36 A2  z   2 1   13 

A2  z  



A2  z   A2  z  



1 53  2 13  2 53 1 z  13 z 3  108 z  13 z 3  19  13 z  12 1  36 36 z 1  19 8 9

2  109 z 1  16 27 z 8 9

A2  z   1  54 z 1  23 z 2

K 2   2 2  

2 3

B2  z   23  54 z 1  z 2

m 1

A2  z   K 2 B2  z  1  K 22 1  54 z 1  23 z 2  23 23  54 z 1  z 2 A1  z   2 1   23 

A1  z  





1  54 z 1  23 z 2  94  56 z 1  23 z 2 A1  z   1  94 A1  z  

5 9

 125 z 1 5 9

A1  z   1  34 z 1

K1  1 1 

3 4

Coeficientes de celosía Como se cumple que

K1  43 , K 2  23 , K3  31

Km  1

con m  1,2,3 , en consecuencia, el sistema es estable

Procesamiento digital de señales 4.44. Considere el sistema de la figura 4.51 a) Determine la estructura equivalente en celosía escalonada. b) Analice la estabilidad del sistema

C m 1  z   Cmz   VmBm z 

 4 / 15  4 / 6 z 1 1 3 1  z 1  z  2 2 4 C z  H Z   2 A3  z 

H Z  

H ´Z  

1

A2  z 

C , m   Vm

1



4  15 4 Co    15 Co  0,39 Co  

1 1 3  2 Z  Z 2 4 Am  z   KmBm z  Am 1  z   1  K 2m 1

C1 1 

4 3



4 1 3 z  1.748 z 0  0,5 3 4 4 1 z  1.32 z 1  0,66 3

+

+ -112

3/4

3 1   Z 1  z  2 4 2 3 K 2   2 2   4

B2 z  

112

3/4 +



Z-1

+

Z-1

4/3

0,39

+

m=2 1 1 3  2 3  3 1 1  z  z    z  z 2  2 4 44 2  A2 z   1/ 4 1 1 3  2 9 3 1 3  2 1 z  z   z  z 2 4 16 8 4 A2 z   1/ 4 7 1 1  z A2 z   16 8 1 4 A2 z   1.748  0,5 z 1 1

y(n)

Procesamiento digital de señales

 1 1    K 1 1 2

K2 

3 4

K1  

1 2

Km  1 Si es estable

Km  1

Como si se cumple que estable

con m  1,2,3 , en consecuencia, el sistema si es

4.45. Determine la realización en cascada del sistema 97 2 H z   1  36 z  z 4 K

H z    H k z  k 1

H k z   bk 0  bk 1 z 1  bk 2 z 2 ,





H z   1  49 z 2 1  94 z 2



k  1,2 ,..., K

4.46. Obtenga la realización en cascada del sistema

yn  xn  xn  1  0.9 yn  1  0.8 yn  2  0.729 yn  3

1  z 1 H z   1  0.9 z 1  0.8 z 2  0.729 z 3

yz   xz   z 1 xz   0.9 z 1 yz   0.8z 2 yz   0.79 z 3 yz  yz   0.9 z 1 yz   0.8 z 2 yz   0.79 z 3 yz   xz   z 1 xz 







y z  1  0.9 z 1  0.8 z  2  0.79 z 3  xz  1  z 1 yz  1  z 1  xz   0,79 z 3  0.8 z  2  0.9 z 1  1

-0.79 -0.8 1

-0.9

1

+0,79 -0.01 -0.91 1

-0,79 -0.01 -0.91 0



Procesamiento digital de señales

 0,79 z

2



 0.01z 1  0.91

 0.01  1 * 10  4  2.87  1.58 0.01  2.86i  1.69i  1.58  6.32 * 10 3  1.06i

z 1  z 1 z 1

z 1  6.32 * 10 3  1.06i

1  z 1 A B H z   1  1  1 3 1 3 3 z  6.32 x10  1.06i z  6.32 x10  1.06i z  6.32 x10  1.06i z  6.32 x10 3  1.06i



A A

z 1





1  z 1 z 1  6.32 * 10 3  1.03i  6.32 x10 3  1.06i

1  6.32 x10 3  1.06i 1  1.06i i i  1.06  *   0,47i  0.5 3 3 2.12  6.32 x10  1.06i  6.32 x10  1.06i  2.12i 1

4.47. Obtenga la realización en paralelo para el siguiente sistema 2 3 1  32 z 1  34  18 25 z 25 z H z   1  z 1  43 z 2  41 z 3  81 z 4  3 1 34  2 18 3  z  z  1  z  2 25 25   H z   3  2 1 3 1  4   1 1  z  z  z  z 8 4 4 8   Z  4  2Z 3  6Z  2  8  8;1,2,4,8

1

-2

6

-8

8

6

2

0

12

-8 2

1

0

6

-4

0

Z Z Z

1

1 1

 



 2 Z 1 Z 1  0,765 Z 1  5.24

  2Z

 2 Z 3  6Z 2  4Z 1 2

 6Z 1  4







Procesamiento digital de señales

 6  36  16 2  6  4.47  2  0.765

Z 1  Z 1 Z 1

Z 1  5.24 



18 25



34 25

0,36

3 2

1

0,5

-1 -0,5



18 -1 25

Z H Z   

2 1

0





 6.5 Z 1  0.69  1.6i Z 1  0.69  1.6i Z 1 Z 1  2 Z 1  0,765 Z 1  5.24















18 3 34  2 3 1  18  2  Z  Z  Z  Z 1  0,5   Z  Z 1  2  25 25 2  25  1 1 1  Z  0,5 Z  0,69  1.61i Z  0.69  1,61i









324  5.76 625   1.44 1  5.24i   1.44  0,69  1.6i 1

Z 1 Z 1 Z 1

Z 1  0.69  1.6i

4.48. Un sistema discreto tiene el siguiente conjunto de ceros y polos: j  j   j 7 j  p4  0 ,8e p3  0 ,8e p1  0 ,95e , p2  0 ,95e 15 , , 3 15

7 15

j

z1  e 4 ,

z2  e

 j 4

,

z3 

3 15

3 2

 j 21

,

z4 

3 2

 j 21

Dibuje una representación del sistema como etapas de segundo orden en cascada y en paralelo y, determine la ganancia del sistema para una señal de continua. 4.49. Determine las realizaciones de espacio de estado tipo I y II del sistema descrito por

yn  21 yn  1  31 yn  2  xn  23 xn  1

Procesamiento digital de señales Dado que se trata de un sistema de segundo orden, la realización de tipo I vendrá dada por:  v1 n  1  0 v n  1   a  2   2

1   v1 n  0   xn   a1  v2 n  1

y n   b2  b0 a2 

b1  b0 a1  

 v1 n    b0 xn  v2 n 

b0  1,b1   23 ,b2  0 , a1   21 , a2 

1 3

 0 1 0  vn  1   1 1  vn     xn   1  3 2  y n    31  61 vn   xn 

La realización de espacio de estados de tipo II viene dada por:  v1 n  1 0  a2   v1 n  b2  b0 a2  v n  1  1  a  v n    b  b a  xn  1  2  2     1 0 1  v n  y n   0 1  1   b0 xn  v2 n  b0  1,b1   23 ,b2  0 , a1   21 , a2  31   31  0  31    vn  1   v n   1  xn  1  1 2   6 y n   0 1vn   xn 

4.50. Obtenga la realización de espacio de estados transpuesta a la realización propuesta en el Ejercicio 4.35.  65 F   31  31

4 3

 1 3

   5  6  4 3

5 6

4 3

1 q  1 1

v' n  1  F T v' n   gxn  y' n   q T v' n   dxn 

 65  31 31  0   4 5 1 v' n  1   3  6 3  v' n    21  xn   43  43 65   21  1 y' n   1 v' n   xn  1

0  g   21   21 

d 1

Procesamiento digital de señales 4.51. Repita el Ejercicio 4.40 para al siguiente realización de espacio de estados.  0 1 1 vn  1   1 vn     xn   1  4 0  1 y n   8 2vn   2 xn 

a) Dibuje el diagrama de bloques correspondiente a dicha realización de espacio de estados. b) Determine la realización equivalente en forma normal.    1   2 1  det   1      4       F   I 4     det

1  j 21

y 2   j 21

0    u1 1 ,

 1   u2 0 

0 1   U 1 0 

P  U 1

1 0     0 1

ˆ  PFP 1 F

1 0   0 1 0 1 1 0    1   1  U 1FU  0 1  4 0  1 0  0  4 

1 0  1 1 qˆ  Pq  U 1q        0 1 1 1 gˆ T  g T P 1  g T U  81

0 1 2    2 1 0 

1 8



dˆ  d  2

v

1 0  1  n     xn  1 0  4  v 1

n  1  

yn  2

1 8

 v n  xn

c) Determine la función de transferencia y la respuesta impulsional del sistema mediante técnicas de espacio de estados. hn   gˆ T Fˆ n1qˆ un  1  d n

Procesamiento digital de señales

0  1 n1  1un  1  2 n 4   1 n  1 hn   2  81  41   u n  1  2 n 

hn   2

1

1 8

0

La respuesta impulsional del sistema mediante técnicas de espacio de estados.

zI  F 

1

 z    41

1 z 

1



1 2 z  41

 z  1  4

1 z 

T H z   g zI  F  q  d 1

H z  

4

H z  

1 z 

1 4

H z  

1 z 

1 4

H z  

17 8

H z  

17 8

H z   H z  

2

2

 z 2  1  4

1 1 8

1 z  2

81 z  21

1 8

1 1 1 z  1 1  2 z    1 1

81 z  21  81  2 z   1

z  83 1 z 2  41 z  83  z 2  41 z 2  41

1 z 2  17 8 z 8 z 2  41 1 1  17  81 z 2 8 z 1  41 z 2

d) Calcule la respuesta ante entrada cero si v0   0 1 T

yzi  gT F nv 0   gˆ T Fˆ nvˆ 0  vˆ 0   P v y zi  81

0   

1 0  0  0       0 1 1 1

 0 2  1 n  4 

1 0   0  1

1 8

4.52. Repita el Ejercicio 4.40 para el sistema descrito por las ecuaciones de espacio de estado:  1 0 1 vn  1   62 1 vn    2  xn   1  12 3  y n   1 1vn   xn 

Procesamiento digital de señales a) Dibuje el diagrama de bloques correspondiente a dicha realización de espacio de estados. b) Determine la realización equivalente en forma normal. 1   0  1 2 1 1 1  det   6 2    6    3       2   12 1    3    12 det F  I 

1  61

y 2  31 0    u2 1

0    u1 1 ,

0 0    U  1 1

P  U 1

1 0     1 0 

ˆ  PFP 1 F

1 0   61   2  U 1FU  1 0   12

0  0 0   61 0    0 1  1  3  1 1 3 

1 0   21   21  qˆ  Pq  U 1q       1  1 0   1  2 

0 0  gˆ T  g T P 1  g T U  1 1    1 1 1 1

dˆ  d  1

v

 1 0  21    n    1  xn  1 0 3  v 2

n  1   6

yn  1 1 v n  xn

c) Determine la función de transferencia del sistema mediante técnicas de espacio de estados. hn   gˆ T Fˆ n1qˆ un  1  d n  1 n1 hn   1 1 6  0 hn  



1 1 n 1 2 6



0   21   u n  1   n  31 n1   21 



1 1 n1 2 3

un  1   n

La respuesta impulsional del sistema mediante técnicas de espacio de estados.

Procesamiento digital de señales

zI  F 

1

 z  61    122

0   z  31 

1

 z  31 1 1  2 z 2  21 z  18  3



0   z  31 

T H z   g zI  F  q  d 1

H z  

 z  31 1   1 1  2 z 2  21 z  181  3

H z  

1 z  31 2 1 z  2 z  181

H z  

1 3 z  61   1 z  z  181 2

H z  

z  61 1 z 2  21 z  181

H z   H z  

2

0   21  1 z  31  1

1 z  31   2   1  1

1 2

3 2

3 2

z  61  z 2  21 z  181 z 2  21 z  181

z 2  z  65 z 2  21 z  181

1  z 1  65 z  2 H z   1  21 z 1  181 z  2 d) Calcule la respuesta ante entrada cero si T v0   0 1

y zi  gT F nv 0   gˆ T Fˆ nvˆ 0  vˆ 0   P v

0   

61 n yzi  1 1   0

1 1 0  1      0 1 1 1 0  1  31 n  1

 

1 n 6

31 n    61 n  31 n 1

1