Capitulo 4-Optimizacion PDF

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función, generalmente sin la ayuda de gráficos. 

4.1 Conceptos claves  A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para

comprender apropiadamente el tema de optimización.  4.1.1 Funciones crecientes y decrecientes

Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en  x=a, si en la vecindad inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda a derecha. Puesto que la primera primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente “a”; una primera derivada negativa indica que es decreciente.

Gráfico 4-1 Función creciente en x = a

Función decreciente en x = a

Pendiente >0)

Pendiente 0: función creciente en x = a f´(a) < 0: función decreciente en x= a

4.1.2 Concavidad y convexidad Una función f  (x)   (x) es cóncava en x = a, si en alguna peque ña región cercana al punto  

[a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente. Una función es convexa  en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

81

 

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denota que la función es convexa en   x = a. Análogamente, una segunda derivada

negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”. 

Gráfico 4-2 Convexo en x=a

f ′(a) > 0

f ′′′′(a) > 0

f ′(a) < 0

f ′′′′(a) > 0

y

y

x

x

a

f ′(a) > 0

a

f ′′′′(a) < 0

Cóncavo en x=a 

f ′(a) < 0

f ′′′′(a) < 0

y

y

x

a

x

a f ′′′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a f ′′′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a

4.1.3 Extremo relativo

Un extremo r elativo elativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo. Para ello, la función debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni

decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un punto en el dominio de un a función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es llamado punto o valor critico.

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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Gráfico 4-3 Mínimo relativo en x=a  f ′(a) = 0

Máximo relativo en x=a 

f ′′′′(a) > 0

f ′(a) = 0

y

f ′′′′(a) < 0

y

x

x

a

a

4.1.4 Puntos de inflexión  Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pue den

ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f ′′′′(a)=0. Gráfico 4-4

f ′′′′(a)=0 f ′(a) = 0 

f ′(a) = 0 

y

f ′(a) < 0 

y

a

x

f ′(a) > 0 

y

a

y

x

x

x

a

a

f ′′′′(a) = Nd f ′(a) > 0

f ′(a) < 0 y

y

x CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

f ′(a) = 0 y

x

x 83

 

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Gráfico 4-4 y

Máximo ABSOLUTO ABSOLUTO (  ( f' (x) = 0 )

Máximo RELATIVO RELATIVO (  ( f' (x) = 0 )

f'' (x) < 0 (-)

f'' (x) < 0 Intersección eje

Punto de Inflexión

(-)

f'' (x) = 0 Punto de Inflexión f'' (x) < 0

f'' (x) > 0

f'' (x) = 0

(-)

Punto de Inflexión f'' (x) > 0

(+)

f'' (x) = 0

(+) f'' (x) > 0

-x

 

x

(+)

RELATIVO (  ( f' (x) = 0 ) Mínimo RELATIVO Intersección con eje

-y

 

Mínimo ABSOLUTO ABSOLUTO (  ( f' (x) = 0 )

4.2 Optimización sin restricción  4.2.1 Funciones objetivo de una variable Sea la función:  y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán: 

dy  0  dx 2.  Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta 1.  Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,

condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:    

f ′′′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo 

 

f ′′′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo 

 

f ′′′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas







sucesivas”: 

- 

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer,

quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.  

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

84

 

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- 

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Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando es evaluado en un punto crítico  es una derivada de grado par, entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso contrario, la función es   convexa y presenta un mínimo relativo en “a”. 

Ejercicio 76: Obtener el extremo relativo de la siguiente función: 

f(x) = -7x2 + 126x - 23

Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:

f ′(x)=-14x + 126 = 0

x = 9 (valor critico)

Tomando la segunda derivada y evaluando el valor critico: f ′′′′(x) = -14, entonces f ′′′′(9) = -14

< 0 es cóncavo, máximo relativo. 

Ejercicio 77: Obtener el extremo relativo de l a siguiente función: 

f (x) = 2x4 –   –  16x  16x3 + 32x2 + 5 Solución.

Calculando la primera derivada e igualándola a 0:  f ′(x) = 8x3 –   –  48x  48x2 + 64x = 0  f ′(x) = 8x( x –  2  2 ) ( x –  4) = 0

x=0, x=2, x=4 (puntos críticos) 

Tomando la segunda derivada y evaluando los puntos críticos:  

f ′′′′(x) =24x2 - 96x +64 f ′′′′(0) =24(0)2 –  96(0) +64 = 64

>0 convexo, mínimo relativo 

f ′′′′(2) =24(2)2 –  96(2) +64 = -32

0 convexo, mínimo relativo 

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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Ejerció 78: Obtener el extremo relativo de la siguiente función:  f(x) = - ( x - 8 ) 4  Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:  

f ′(x) = -4( x - 8 ) 3 = 0

x=8 (punto critico)

Tomando la segunda derivada y evaluando el punto crítico:  

f ′′′′(x) = -12( x - 8 )2 

Se requiere el test de derivadas

f ′′′′(8) = -12( 8 - 8 )2 = 0

sucesivas.

f ′′′′′′ (x) = -24( x - 8 ) f ′′′′′′ (8) = -24( 8 - 8 ) = 0

test inconcluso

′′′ (x) = -24 f ′′′′′ f ′′′′′ ′′′ (8) = -24

0 (convexo) K > 30 → PT′′ < 0 (cóncavo) 

Puesto que K = 30, PT′′ = 0, hay un punto de inflexión en K=30

b)

c)

PT  = 90K –  K  K2  K Pme′k = 90 –  2K = 0

K=45 (valor critico)

Pme′′k = -2

0 y (f xx xx)(f yy yy) > (f x xy y)  

Segundo orden*

Nota: las derivadas parciales de segundo orden son evaluadas en el punto critico (a,b) o los puntos críticos que hubieren. 

2 Si (f xx xx)(f y yy y) < (f x xy y) , cuando f x xx x y f y yy y tienen el mismo signo, la función esta en un punto

de inflexión. Caso  contrario, la función estará sobre un punto de silla. Si (f xxxx)(f yy yy)=

(f xxyy)2 entonces se requeriría mayor información. 

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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Gráfico 4-6 Mínimo 

Máximo  z

z

x y

y x

Punto de Silla

z

y

x

Ejercicio 80:  En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f(x, y) = 3x3 –   –  5y  5y2 –  225x  225x + 70y + 23 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0:  

f x = 9x2 –   –  225 = 0 Resulta: x =

 5,

f y = -10y + 70 = 0

y  7 . Entonces los puntos críticos serán: (5,7) y (-5,7)

Las segundas derivadas (sin evaluarlas o testearlas)

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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f xx xx = 18 x

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f yy yy = -10

f xxyy = f yx yx = 0

Evaluando el punto crítico (5,7): 

f  ( 5, 7 ) = 18 (5) = 90

f  ( 5, 7 ) = -10

xx

yy

¿Cumple  f xxxx ( 5, 7 ). f yyyy ( 5, 7 ) > [ f xxyy(5,7) ]2 ?

90. (-10) [ f xy xy(-5,7) ] ?

-90. (-10) > 0 (Si cumple!)

Dado que se cumple f xxxx ( -5, 7 ). f yyyy ( -5, 7 ) > [ f xxyy(-5,7) ]2 y además, f xx, xx, f yy yy < 0 entonces el punto en análisis es un máximo. Ejercicio 81: En la siguiente función encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla:

f (x,y) = 3x3 +1.5y2 –   –  18xy  18xy +17 Solución. Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden):  

f x= 9x2 –   –  18y  18y = 0

y= ½ x2 

f y= 3y –  18x  18x = 0 

y = 6x 

Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72 . Así, los puntos críticos son:  (0,0) y (12,72) Calculando las segundas derivadas: f xx xx = 18x

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

f yyyy = 3

f xxyy = f yx yx = -18

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Evaluando el punto crítico (0,0) 

f xxxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0

f yyyy = ( 0, 0 ) = 3

2 ¿Cumple que f xx xx ( 0, 0 ). f y yy y ( 0, 0 ) > [ f xy xy(0,0) ]  ?

(0) (3) < ( -18 )2 (No cumple)

Entonces este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que f xxxx 

y f yyyy 

(evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de  inflexión.

Evaluando el punto crítico (12,72)  

f xx xx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216

f yyyy = ( 12, 72 ) = 3

2 ¿Cumple que f xxxx( 12, 72 ).f yyyy( 12, 72 ) > [ f xy xy(12,72) ] ?

216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)

Dado que se cumple f xx ( 12, 72 ). f yy ( 12, 72 ) > [ f xy (12,72) ]2 y además, f xx , f yy > 0 entonces el punto en análisis es un mínimo relativo.

4.2.3 Funciones objetivo con más de dos variables vari ables  Considerando una función de tres variables z = f ( x 1, x2, x3 ) cuyas derivadas parciales

primeras son f 11,, f 2 y f 3 y las derivadas parciales segundas fij ( ≡  ∂2z / ∂xi∂x j ) ; con i,  j=1, 2, 3. Conforme al teorema de Young se sabe que f iijj  = f  ji  .Como en los casos anteriores, para tener un máximo o un mínimo de z es necesario que dz = 0 para

valores arbitrarios de dx1, dx2  y dx3, no todos nulos. Ya que el valor de dz es ahora dz = f 1dx1  + f 2dx2  + f 3dx3. Ya que dx1, dx2  y dx3 son no nulos, la única forma de garantizar que dz = 0 es f 1 = f 2 = f 3 = 0. En otras palabras, lo mismo que en el caso de dos variables. Generalizando para 3 o más variables, el test de determinante para un extremo relativo en este caso será:  

Condición necesaria 

Máximo  

Mínimo  

Primer orden

f 1 = f 2 = f 3 = .. = f n = 0

f 1 = f 2 = .. = f n = 0

Segundo orden*

∣H1∣ < 0; ∣H2∣ > 0; ∣H3∣ < 0;..;(-1)n ∣Hn∣ > 0

∣H1∣, ∣H2∣,..,∣Hn∣>0

Donde Hn  es el determinan determinante te de la matriz Hessiana (simétrica).

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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Hessiano simétrico)  Es simplemente una matriz conformada por derivadas de segundo grado. Esta matriz es utilizada para testear máximos o mínimos en funciones con n variables. En general, el hessiano será:  ∣H1∣ = f 1111 

H

f11

f12

...

f21

f22

... f2n 

.

.

fn1

fn2

...

f1n  .

Donde los  

H2  f11 f21

f 12   f 22

Menores

f11

f12

f 13

serán 

H3  f21

f22

f23    

f31

f32

f 33

... fnn 

Y así sucesivamente. sucesivamente. 

Para el caso de una matriz hessiana del orden 3 x 3, los menores pueden denotarse como:

f11 H  f21

f12 f22

f 13 f23   

f31

f32

f 33

∣H1∣ = f 1111 

H2 

f11

f 12

f21

f 22

 

∣H3∣ = ∣H∣  Ejercicio 82: Hallar los valores extremos de

z = - x13 + 3x1 x3 + 2x2 - x22 - 3x32  Solución. 

Las derivadas parciales son: f 1 = - 3x12 + 3x3 

f 2 = 2 - 2x2 

f 3 = 3x1 - 6x3 

 Ahora, haciendo f 1 = f 2 = f 3 = 0, los puntos críticos serán:   (0, 1, 0) y (0.5, 1, 0.25). Reemplazando tales puntos en la función original  “z”, se tiene que z  1, y z  17 16 , respectivamente.

Las derivadas parciales de segundo orden dispuesta ordenadamente en el hessiano:

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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6 x1

0

3

0

2

0  

3

0

6

H 

1.  Usando (0, 1, 0), el hessiano es:

0

0

H  0 2 3

0

3

∣H1∣ = 0

0  

∣H2∣ = 0

6

∣H3∣ = 18

No concuerda con ninguna de las dos test. Entonces es necesaria mayor información.

2.  Usando (1/2, 1, 1/4) el hessiano es:

3 H 0 3

0

3

2

0   6

0

∣H1∣ = -3 ∣H2∣ = 6 ∣H3∣ = -18

Cumple el test, entonces, el punto z  17 16  es máximo.  Ejercicio 83: Utilizar el criterio del Hessiano con el ejercicio 81. Solución. En el ejemplo 81 se obtuvieron los puntos críticos (0, 0) y (12, 72), ahora analizaremos

la segunda derivada con el criterio del Hessiano. Las segundas derivadas:

El hessiano será: 

f xxxx = 18x

H

fxx

f xy

fyx

f yy

f yyyy = 3

f xy xy = f y yx x = -18

H

 

18 x

18

18

3

 

1.  Evaluando el hessiano para el punto (0,0):

H

18(0) 18

18

3

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

 

∣H1∣ = 18(0) = 0  ∣H2∣ = 18(0) x 3 –  (-18)  (-18) (-18)= -324

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Puesto que ∣H1∣ = 0  y ∣H2∣ < 0 entonces el punto no es máximo ni mínimo. Es un punto de silla o de inflexión (revisar los criterios).  criterios). 

2.  Evaluando el hessiano en el punto (12,72):

18(12) 18 H  18

3  

∣H1∣ = 18(12) = 216 ∣H2∣ = 18(12) x 3 –  (-18)  (-18) (-18)= 324

Dado que ∣H1∣ > 0 y ∣H2∣ > 0, el punto es un mínimo.  Cuando se utiliza el criterio del hessiano para funciones de dos variables es necesario resaltar lo siguiente: La matriz hessiana será de orden 2: 

H

fxx

f xy

fyx

f yy

 

Para el caso de un máximo , el hessiano requiere inicialmente que: ∣H1∣ < 0, o lo que es igual

f xx xx < 0

(i)

 Además, se requiere requiere que H2  0 , o lo que es igual:

f xxxx f yyyy  - f yx yx f x xy y > 0

(ii)

Recordando que f xxyy = f yx yx, tal expresión puede quedar como:   2 f xxxx f yyyy  > (f xy xy)  

(iii)

Dado que f xx xx < 0, para que la expresión (iii) sea válida, es necesario que: f yy yy < 0

(iv)

Entonces, para que el punto critico sea un máximo se requiere que se cumpla (i), (iii) y (iv), condiciones de suficiencia conforme a la sección 4.2.2. Note que la multiplicación

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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de las segundas derivadas parciales debe ser positiva (f xx xx  f yy yy  >

0) ya que cada

segunda derivada debe ser negativa.

Para el caso de un mínimo, el lector puede fácilmente demostrar que las condiciones señaladas en el punto 4.2.2 igualmente coinciden co n el criterio del hessiano (simétrico). ¿Por qué?. En realidad, el hessiano (simétrico) es el caso general para optimización funciones de cual quier orden. 4.3 Optimización con restricción  4.3.1 Funciones con igualdades igualdades

Se plantea un nuevo problema, el de optimizar una función sujeta a una restricción de igualdad: Maximizar

f (x1, x2)

Sujeto a g(x1, x2) = k

(una constante),

Para encontrar la solución a este nuevo tipo de problema, se debe formar una nueva función F que debe ser formada por (1) estableciendo la restricción igual a cero, (2) multiplicándolo por    (el multiplicador de Lagrange) y (3) sumando el producto a la función original: 

F(x1, x2,

)

= f(x1, x2) +

[

k - g(x1, x2)]

 Aquí, F(x1,  x2,  ) es llamada la función Lagrangiana, f(x1,  x2) es la función objetivo  u

original, y g(x1, x2) es la restricción. Puesto que la restricción es siempre igual a cero, el producto

[

k - g(x1, x2)] también es igual a cero y la suma de tal término no ca mbia el

valor de la función objetivo. Los valores críticos x0, y 0 y  0   (para los cuales la función

es optimizada) son obtenidos tomando las derivadas parciales de F (con respecto a cada una de las

tres variables independientes) e igualándolas a cero. Es decir,

simultáneamente:  

F1(x1, x2,

)

=0

F2(x1, x2,

)

=0

F  (x1, x2,  )

=0

Donde F1 expresa una derivada parcial ∂ F/ ∂ x1  Ejemplo: Considere el siguiente problema con tres variables de decisión (x, y, z), donde la ecuación G(.) = c (es una constante) y determina un conjunto de

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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restricciones para (x, y, z), en el espacio, el cuál es

una superficie y lo

denotaremos por SG. El problema es determinar el valor más grande de la ) para puntos (x, y, z) sobre la superficie SG.  función V (x1, y, z ) 

Maximizar Sujeto

a

V ( x, y, z ) G ( x, y, z ) = c

(1)

Solución:

Paso 1: formar el lagrangiano. L = V (x, y, z ) –     [G (x, y, z ) –  c]

(2)

Paso 2: Por las condiciones de primer orden tomar las derivadas parciales.

Lx  = Ly  = Lz = 0

(3)

Paso 3: La solución a este problema es mostrado en la gráfico (4-7) por el punto P* = ( x*, y*, z* ) sobre la superficie SG  donde la función objetivo V (x1, y, z ) consigue ser máximo. Considere también que el volumen V (.) pasa por P* y es tangente a la superficie de restricción SG.

Gráfico 4-7) V  V( x, y, z )

x 

P  

z 

SG

y

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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Ejercicio 84: Considerar el siguiente ejemplo:

Maximizar 2x –  3y  3y + z Sujeto a

x2 + y2 + z2  = 9

Solución.

Paso 1: formamos formamos el lagrangiano para este problema L = 2x –  3y  3y + z -

  (x2 +

y2 + z2  - 9)

Paso 2: Por las condiciones necesarias de primer orden L x L y

= 2 - 2   x = 0 = -3 - 2   y = 0

L z L 

(2) (3)

 

=1-2

(1)

z=0

= - x2 - y2 - z2  + 9

(4)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones:

De la ecuación (1) y (2)

2 - 2   x = 0 →    = 1/x

Igualando

  se

obtiene:

-3 - 2   y = 0 →    = -3/2y  -3/2y 

y = - 3x/2

(en función de x) …( a)

De la ecuación (1) y (3) 

2 - 2   x = 0 →    = 1/x  1/x  Igualando

  se

obtiene:

1 - 2   z = 0 →    = 1/2z  1/2z  z = x/2

(en función de x) …(b) 

Luego reemplazamos reemplazamos (a) y (b) en la restricción

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

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2

2

  3x   x  x      0   2  2

x  3 2 7  

2

Resulta en dos soluciones:

x1 = 3

= 1.6

y1 = -9 /

 2 7 x2 = 3   2 7 = -1.6

= -2.41

z1 = 3 /

  14 y2 = 9 /   14 = 2.41

= -0.8

  14 z2 = -3 /   14 = -0.8

Notamos sin embargo que:

V (x1, y1, z1)= 42/   14  = 11.22 V (x2, y2, z2)= -42/   14  = -11.22 Por lo tanto, el punto punto máximo máximo es ( x1,  y1, z1 ) y el punto mínimo es ( x2,  y2, z2 ). El problema y la solución son retratados en la siguiente gráfico (4-8).

Gráfico 4-8)

z 11

V*  11.22  2x  3y  z  

x 2  y 2  z2  9  

3

3

3

y

4

(x1,y 1,z1 )  (1.6 1.6, 2.4 2.4,0. ,0.8) 8)  

6

x

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

98

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Ejercicio 85: Considere una economía de recurso basada en que cada obreros (L)

puede optar por cosechar árboles madereros (T) o pescar (F). Suponga que la economía exporta tanta madera como peces   y se

enfrentan a precios precios mundiales

constantes significados PT y PF  respectivamente. La siguiente curva de transformación son combinaciones técnicamente eficientes de madera, peces y trabajo G( T, F, L ) = T2 + F2 / 4 –  L  L = 0 Suponga que PT = $ 500 / TM, PF = $ 1000 / TM y L = 1700  1700 es el número de las horas disponibles asignadas entre cosechar árboles o pescar .  Resolver el problema de optimización estático que trata de maximizar el valor de la cosecha sujeto a la función de transformación transformación.

Solución.

Paso1: Formamos el problema de maximización.  

Maximizar

V = 500T + 1000F

Sujeto a

T2 + F2 / 4 = 1700

Paso 2: Formamos el lagrangiano.

L = 500T +1000F -

  (

T2 + F2 / 4 - 1700 )

Paso 3: Por las condiciones de primer orden L T L F L 

= 500 –  2  2   T = 0 = 1000 –  0.5  0.5   F = 0 = -T2 + F2 / 4 - 1700

(1) (2) (3)

Paso 4: Resolvemos el sistema de ecuaciones -De la ecuación (1)

500 –  2  2   T = 0 → 

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

   =

250/T

(a)

99

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

-De la ecuación (2) 1000 –  2  2   F = 0 → 

   =

2000/F  2000/F 

(b)

- Igualamos (a) y (b) y obtenemos F en función de T.  



(c)

250 2000  → F = 8T  T F

Luego reemplazamos (c) en la restricción (3).  

   8T 

T  2

2

4

 1700  

Las soluciones son: T = 10

F = 80

   =

25

Por lo tanto, la economía debe asignar la fuerza de trabajo disponible para producir 10 toneladas métricas de madera y 80 toneladas métricas de peces . El valor marginal

(precio sombra) de una unidad adicional de trabajo es $25/horas. Hessiano Orlado  Ahora, para determinar si los valores críticos corresponden a un máximo o mínimo, es

necesario utilizar el criterio del Hessiano Orlado. Este tipo de hessiano se aplica para el caso de optimización de funciones con restricciones. En general, cuando la función

objetivo toma la forma de F = F ( x 1, x2,…. Xn) sujeta a g( x 1, x2,…. Xn) = k, el Hessiano Orlado será de la forma siguiente:

0

g1

g2

F11

F12  

0

g1

g2

...

gn

H2  g1

g1

F11

F12

... F1n

g2

H  g2

F21 F22

... F2n  

...

...

...

...

gn

Fn1 n1

Fn2

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

...

... Fnn

H3 

F21 F22

0

g1

g2

g3

g1

F11 F12

F13

g2

F21 F22

F23

g3

F31 F32

F33

 

100

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Condición

Máximo 

necesaria F  =

Primer orden Segundo orden

Mínimo  

F1 = F2 = .. = Fn = 0

H2  0 ; H3  0 ; H4  0 ;..; (  1)n Hn  0  

F  =

F1 = .. = Fn = 0

H2 , H3 ,..., Hn  0  

Ejercicio 86: Optimizar la función sujeto a una restricción. 

Maximizar z = 4x2 + 3xy + 6y2  Sujeto a

x + y = 56

Solución.

Paso 1: Formar el lagrangiano, pero primero establecemos la restricción igual a cero, sustrayendo las variables de la constante: 56 –  x  x –  y  y Multiplicar esta diferencia por

  y

sumar el producto de ambos a la función objetivo a

fin de formar la función Lagrangiana Lagrangiana Z.  

Z = 4x2 + 3xy + 6y2 +

  (

56 –   x x –  y  y )

Paso 2: Calcular las derivadas parciales de primer orden, igualarlas a cero y resolverlas simultáneamente simultáneamente.

Zx = 8x + 3y -

  =

Zy = 3x + 12y Zλ

0

  =

0

= 56 –  x  x –  y  y

Paso 3: Resolviendo las derivadas parciales se obtiene x = 36

y = 20

  =

348

Luego substituyendo tales valores críticos en la función objetivo  Z = 4 (36)2 + 3 (36)(20) + 6(20)2 + (348)( 56 - 36 - 20 ) Z = 9744

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

101

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Paso 4: Ahora es necesario necesario corroborar si el punto punto critico obtenid obtenido o es máximo o mínimo local. Para ello, se formulará el Hessiano Orlado y luego se procederá a analizar los

test respectivos. El Hessiano Orlado requiere derivadas de segundo orden:

Zxx = 8

Zyy = 12

Zxy = 3

Ordenando estos valores apropiadamente en el Hessiano Orlado:

0 1 H 1 8

1 3  

y calculando su determinante

1 3 12

H  H2  0 0((1)2

8

3

3 12

 1(1)3

1

3

1 12

 1(1)4

1 8 1 3

 14  

 Así el punto (36, (36, 20) es un mínimo mínimo relativo. 

4.3.2 Funciones con desigualdades  Algunos problemas económicos requieren condiciones de desigualdades, desigualdades, por ejemplo

cuando se desea maximizar la utilidad sujeta a gastar no más  que x soles o minimizar costos sujeto a producir no menos  que x unidades de producción. En estos casos se utiliza la programación “cóncava” (llamada así porque tanto la función objetivo como la restricción son funciones asumidas cóncavas) es una forma de programación no li neal diseñada para optimizar funciones sujetas a restricciones de desigualdad.

Las funciones convexas no son excluidas ya que el negativo de una función convexa es una función cóncava. Normalmente, el problema de optimización se establece en el

formato de problema de maximización, no obstante, la programación cóncava puede además minimizar una función mediante la maximización del negativo de la función

convexa.

Dado un problema de maximización sujeto a una restricción de desigualdad con la

siguiente función objetivo cóncava diferenciable,

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

102

 

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Carlos Orihuela Romero, MSc

Maximizar f ( x1, x2 ) Sujeto a g ( x1, x2 )

siendo x1, x2 ≥ 0

 Así, la función Lagrangiana Lagrangiana correspondiente correspondiente será: 

 

F( x1, x2,

 

) = f( x1, x2) +

 g( x1, x2)

Las condiciones suficientes y necesarias de primer orden para la maximización, llamadas condiciones de Kuhn-Tucker son:

F xi , x 2 )  gi ((x x1, x 2 )  0    fi ((x xi

F  g( x1, x2 )  0   

xi  0   F xi i  0   x

  0  F   0  

i

Donde las condiciones en (c) son llamadas condiciones complementarias, significando que tanto x   como f'(x)   no pueden ser -simultáneamente - cero. Puesto que una función lineal es cóncava y convexa, aunque no estrictamente cóncava o estrictamente

convexa. En las condiciones de Kuhn- Tucker la restricción es siempre expresada como más   grande o igual que cero. Esto significa que a diferencia de las restricciones de igualdad que son establecidas igual a cero, el orden de la sustracción es importante en programación cóncava.  Para el máximo en F, una solución interior (Figura a) 

f ′(x) = 0

y

x>0

Para el máximo en G, una solución de frontera (Figura b) 

f ′(x) = 0

y

x=0

Para el máximo en H o J, ambas soluciones de frontera (Figura c)

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

103

 

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f ′(x) < 0

y

x=0

Todas las posibilidades para un máximo en el primer cuadrante pueden s er resumidas

como:

f ′(x) ≤ 0

x ≥ 0

y

x f ′(x) = 0

Los cuales son reconocibles como parte de las condiciones de Kuhn-Tucker. Notar que tales condiciones automáticamente excluyen un punto como K en (a) el cual no es un máximo, porque f ′(K) > 0. Cabe menci onar que la expresión x f ′(x) = 0 significa que

al menos una de las dos cantidades debe tomar el valor cero.

Gráfico 4-9 Condición (a) 

Condición (b) 

F

Condición (c) 

H

G

K

f(x) J

f(x) f(x) f(x) x

x

x

El problema entonces se reduce a probar las 8 diferentes posibilidades:

 0 

x > 0 

y > 0 

  0   x > 0 

y > 0 

 0 

x=0

y > 0 

  0   x = 0 

y > 0 

 0 

x > 0 

y = 0 

  0   x > 0 

y = 0 

 0 

x = 0 

y = 0 

  0   x = 0 

y = 0 

Normalmente, las posibilidades encerradas en el recuadro son las más comunes. Por ello, es sugerible que sean las primeras en ser probadas.

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

104

 

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Carlos Orihuela Romero, MSc

Ejercicio 87: Maximizar la f unción unción de beneficio sujeto a una restricción de producción. 

Maximizar :

  =

64x –  2x  2x2 + 96y - 4y2 - 13 

Sujeto a : x + y ≤ 36 

Solución.

Paso 1: Formamos la función Lagrangiana   =

64x –  2x  2x2 + 96y - 4y2 - 13 +

x –  y)  y)  (36 –   x

Paso 2: Por las condiciones de Kuhn-Tucker x =

64 –  4x  4x -

  ≤ 0

x ≥ 0

y =

96 –  8y  8y -

  ≤ 0

y ≥ 0

x ( 64 -4x -

  )

=0

 =

36 –   x x –   y y ≥ 0

 ≥ 0

y ( 96 –  8y  8y -

  )

=0

(

36 –   x x –  y  y ) = 0

Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker,

(a)  Si

,

x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a: 64 -4x -

  =

0

96 –  8y  8y -

  =

0

36 –  x  x –  y  y = 0

 4 0 1  x   64   0 8  1  y    96          1 1 0    36 

En forma de matriz,

Usando la Regla de Cramer donde:

  A ∣A∣ = 12 se obtiene que:

 A  ∣Ax∣ = 256

  A ∣Ay∣ = 176

∣ A  ∣ = -256

x= 21.33

y = 14.67

  =

-21.33



Lo cual no puede ser óptimo ya que Tucker.

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

< 0 y contradice las condiciones de Kuhn-

105

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

(b)  Si

=

Carlos Orihuela Romero, MSc

0 y x, y > 0 entonces

64 –  4x = 0

x = 16

96 –  8y = 0

y = 12

Esto da la solución correcta: x = 16, y = 12 y  = 0 , lo cual es óptimo ya que no viola ninguna condición de Kuhn-Tucker.

Ejercicio 88: Minimizar la función de costo, sujeto a una restricción de igualdad.

Maximizar : K = 5x2 –   –  80x  80x + y2 –  32y  32y Sujeto a

: x + y ≥ 30

Solución.

Paso 1: Multiplicando la función objetivo por – 1 y estableciendo el Lagrangiano, C = -5x2 + 80x - y2 + 32y +

  (x

+ y –  30)  30)

Paso 2: Donde las condiciones de Kuhn-Tucker son,

Cx = -10x + 80 +

  ≤ 0

x ≥ 0

Cy = -2y + 32 +

  ≤ 0

y ≥ 0

x( -10x + 80 +

)

=0

C = x + y –  30  30 ≥ 0  ≥ 0

y(-2y + 32 +

)

= 0

(

x + y –  30)  30) = 0

Paso 3: Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker, (a) Si

=

0 x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:

Si

=

0 entonces de x ( -10x + 80 +

)

= 0 se tiene que:

x =8, y = 16 Sin embargo, estos resultados violan C  = x + y –  30  30 ≥ 0 ya que: 8 + 6 –  30  30 ≤ 0. (b) Si

  >

0, x, y > 0 todas las primeras derivadas parciales son estrictas igualdades:

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

106

 

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Carlos Orihuela Romero, MSc

 10 0 1  x   80   0 2 1  y    32          1 1 0      30  Donde:

  A ∣A∣= 12

 A  ∣A1∣= 109

  A ∣A2∣= 252

x=9

y = 21

se obtiene que:

  A ∣A3∣= 440 =

10

Lo cual dan la solución ó ptima, ya que ninguna condición de Kuhn-Tucker es violada. 4.4 Ejercicios resueltos 

Ejercicio 89: Maximizar la función de ingreso total

IT = 32q –  q  q2  Solución.

Paso 1: CPO: (condiciones de primer orden) IT′ = 32 –  2q  2q = 0 

q = 16 (valor critico)

Paso 2: Evaluar la segunda derivada IT′′ = -2 < 0

(cóncavo, máximo relativo) 

 (16)2 = 256  Así, el ingreso total total máximo será: será: IT(16) = 32(16) –  (16) Ejercicio 90: Maximizar la función de beneficio:   =

- q3 / 3 - 5q2 + 200q - 326

Solución.

Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)  ′ =

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

- q2 - 10q + 2000 = 0  

107

 

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Carlos Orihuela Romero, MSc

(q + 50) (q –  40)  40) = 0 De donde los valores críti cos son: q = -50 y q = 40

Paso 2: Evaluar la segunda derivada  ′′ = - 2q - 10  ′′(40) = - 2 ( 40  ′′(50)

) –  10  10 = -90 < 0

(cóncavo , mínimo relativo)  

= - 2 ( 50 ) –  10  10 = 90 > 0

(convexo , máximo relativo) 

Puesto que q = -50 es negativo no tiene significado económico, el valor crítico  negativo es descartado. Entonces el beneficio máximo será cuando q = 40:

 (40)

=-

1 3

(40)3  –  –  5  5 (40)2 + 2000 (40) –  326  326 = 50340.37

Ejercicio 91:  Encontrar el nivel de producción de cada bien a fin de maximizar el beneficio, si una firma produce dos bienes x e y; si la firma tiene la siguiente función

de beneficio:   =

64x –  2x  2x2 + 4xy –  4y  4y2 +32y –  14  14

Solución.

Paso 1: CPO (condiciones de primer orden)  x  =

64 –  4x  4x + 4y = 0

 y  =

4x –  8y  8y + 32 = 0

Paso 2: Resolver el sistema

y  24  

x=40  

Paso 3: Calcular las segundas derivadas y asegurarse que ambas son negativas, como se requiere para un máximo relativo. 

 xx

= -4

 yy =

-8

(si cumple!)

Paso 4: Tomar las derivadas cruzadas para asegurarse que   Sabiendo que xy  yx    4,

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

xx yy

 ( )2 . xy

108

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

xx yy  (xy )2   (-4)(-8) > (4)2  36 >16

 Así, los beneficios son maximizados maximizados cuando x  40   e y  24 . En ese punto el

beneficio es   1650 .

Ejercicio 92: Sea la función de demanda: 

P = 12.50e-0.005Q

a) Encuentre el precio y la cantidad que maximiza el ingreso total. b) Compruebe que realmente dicha cantidad y el precio maximizan P.

Solución.

a) Primero formamos el ingreso total:

I = PQ I = (12.50e-0.005Q )Q Luego por condición de primer orden  

dI = (12.50e-0.005Q)(1) + Q (-0.005)( 12.50e-0.005Q) dQ

Ya que:

dI = (12.50e-0.005Q)(1-0.005Q) dQ dI = 0 ⇒ Q = 200 P = 12.50e-0.005(200) =4.60 dQ

b) Comprobando (segunda derivada) I′′ = (12.50e-0.005Q)(-0.05) + ( 1 - 0.005Q )( -0.005 )(12.50e -0.005Q) I′′ = (-0.005) (12.50e-1)(1) = - 0.0625(0.36788) 0 zyy = 0 + 2e  – 6688 > 0 zxy = 0 - 2e  – 6688 < 0 Se cumple que: zxx , zyy > 0

zxx , zyy > ( zxy )2 

Es decir, 8e-76 > 4e-136. Por lo tanto el punto (8, 10) es mínimo. Ejercicio 94: Se tiene las siguientes funciones de demanda de una empresa y también su función de costos: 

Q1 = 520 –  10P  10P1  Q2 = 820 –  20P  20P2 

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

110

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

C = 0.1 Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325 Obtenga la combinación óptima de Q1, Q2  a fin de maximizar maximizar beneficios. Solución.

Paso 1: Despejamos las funciones de demanda en función de las cantidades.   P1 = 520 - 0.1Q1  P2 = 140 - 0.01Q2  Paso 2: Formamos la función de beneficios 

  P1Q1  P2 Q2  C   =

( 520 –  0.1Q  0.1Q1) Q1 + (410 –  0.05  0.05 Q2) Q2 - ( 0.1Q12 + 0.1 Q1 Q2 + 0.2 Q22 + 325 )

=

–  0.25  0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325 520Q1  –  –  0.2  0.2 Q12 + 410 Q2  – 

Paso 3: Para obtener el máximo

  es

necesario que: 1  2   0  

1   520 - 0.4Q1 - 0.1Q2 = 0

2   410 - 0.5Q2 - 0.1Q1 = 0 De ambas ecuaciones:

Q1 = 1152.63

Q2 = 589.47

Reemplazando ambos resultados en las funciones de precios respectivas:

P1 = 520 - 0.1( 1152.63) = 404.74

P2 = 410 - 0.05( 589.47) = 380.53

Sea la función de beneficio:

=

520Q1 –   –  0.2  0.2 Q12 + 410 Q2  –  –  0.25  0.25 Q22 - 0.1Q1 Q2 - 325

 (1152.63,

589.47) = 420201.32

Ejercicio 95: Dado el siguiente problema de optimización

Maximizar

c = 3x +4y

Sujeto a 2xy 2 xy = 337.5

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

111

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

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a) Encuentre el(los) valor(es) crítico(s) de la siguiente función de costo. b) Demuestre matemáticamente matemáticamente si la respuesta de a) es un máximo o mínimo.  Solución.

a) Para encontrar los valores críticos de la fusión de costos, se procederá a resolver en tres pasos: Paso 1: Formar el Lagrangiano C = 3x +4y +

(

337.5 –  2xy)  2xy)

Paso 2: Por condición de primer orden  

Cx = 3 - 2  y = 0

(1)

Cy = 4 - 2  x = 0

(2)

C = 337.5 –  2xy

(3)

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones, primero despejamos

   de

(1) y (2) y lo

igualamos para obtener y en función de x 

1.5 ...(1) y 2 ...(2)  x 1.5 2   y  0.75x   y x



3 - 2y = 0 4 - 2x = 0 (1) = (2)

Sustituyendo esto en la restricción: x=15,y=11.25 y   0.13  

b) El hessiano Orlado será:

Cxx  H  C yx  gx  Definiendo:

Cxx  = 0

C xy

gx 

C yy

gy   

gy



0 

Cyy  = 0

Cxy  = Cyx  = -2   

De la restricción g (x, y) = 2xy, entonces gx= 2y y gy= 2x

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

112

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

2y y  0 2 2 H   2 0 2x       2y 2x 0  De donde H  H2  16xy . Dado que las 3 variables son positivas, entonces

H2  0 : C es minimizado!. Ejercicio 96: Si se gastan “x” miles de dólares en mano de obra, “y” miles de dólares en equipo, la producción de cierta fábrica   será Q ( x, y ) = 60x1/3y2/3 unidades. Si hay

US$ 120 000 disponibles, a) ¿Cómo debe distribuirse el dinero entre mano de obra y equipo para generar l a mayor producción posible?. 

b) Demuestre si el resultado maximiza o minimiza la función .  Solución. a) Se procederá a resolver en 4 pasos: 

Paso 1: Formar el problema de optimización con restricción de igualdad. 

Maximizar

60x1/3y2/3

Sujeto a x+y = 120000

Paso 2: La nueva función Lagrangiana  L = 60x1/3y2/3 +

  (

120000 –   x x –  y  y )

Paso 3: Por condiciones de primer orden. Lx = 20x-2/3y1/3 -

=

0

(1)

Ly = 40x1/3y-2/3 -

=

0

(2)

 x –  y  y = 0  L  = 120 –  x

(3)

Paso 4: Resolver el sistema. De (1) despejamos De (2) despejamos

   

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

20x-2/3y1/3   = 40x1/3y-2/3

  =

(a) (b)

113

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Igualando (a) y (b) se obtiene y en función de x  

  =

20x-2/3y1/3 = 40x1/3y-2/3

y = 2x ⇒ x = 40000, y = 80000

b) Formamos nuestro Hessiano Orlado, primero hallamos las segundas derivadas Lxx = -40x-5/3y1/3  Lyy = -40x1/3y-5/3  Lxy = Lyx = 20x-2/3y-2/3  Luego reemplazamos en nuestro hessiano orlado y hallamos su determinante.

0

1

1

40

20 x 5 3 y1 3

H 1  3 20 2 3 2 3 1 x y 3

H  H2 

3 x 40



3

2 3 y 2 3

 

x1 3 y 5 3

40 2 3 2 3 40 5 3 1 3  x y  x1 3 y 5 3     x y  3 3 

Fácilmente puede inferirse que toda la suma será positiva, dado que x, y son positivos.

Entonces H2  0 , por tanto estos valores maximizan la función.  óptimos del siguiente problema de optimización   Ejercicio 97: Encuentre los valores óptimos 

Minimizar

C = 5x2 –   –  80x  80x + y2 - 32y

Sujeto a

x + y ≥ 26

Solución.  Cambiando de signos en la restricción para que el problema sea de maximización:  

Maximizar

Cx = -10x + 80 +

  ≤ 0

x ≥ 0

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

C = -5x2 + 80x - y2 + 32y +

Cy = -2y + 32 + y ≥ 0

  ≤ 0

  (

x + y –  26  26 )

C  = x + y -26 ≥ 0

  0 

114

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

x (-10x + 80 +

)

=0

Carlos Orihuela Romero, MSc

y (-2y + 32 +

)

=0

  (

x +y  –  26  26 ) = 0

Testeando   0 , x > 0 , y y > 0: -10x + 80 +  = 0 -2y + 32 +  = 0 Expresado en forma matricial:

 10 0 1  x   80   0 2 1  y    32          1 1 0      26  Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:

 A = 12

De donde:

A1 = 100

A2 = 212

A3 = 40

x   A1  8.3    A

y   A 2  17.6    A

   A 3  3.3    A

Estos resultados satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto son los valores óptimos. 

Ejercicio 98: Determine los valores óptimos para la maximización del beneficio .

Maximizar

  =

64x –  2x  2x2 + 96y -4y2 -13

Sujeto a

x + y ≤ 27

Solución.  La función será B = = 64x –  2x  2x2 + 96y -4y2 -13 +   ( 27 –   x x –  y  y )

Bx = 64 –  4x  4x -

  ≤ 0

x ≥ 0 x(64 –  4x  4x -

By = 96 –  8y  8y -

  ≤ 0

  0 

y ≥ 0   )

=0

B = 27 –   xx –   yy ≥ 0

y (96 –  8y  8y -

)

=0

x –  y)  y)  (27 –   x

=0

Probando con: ,x,y    (implica que debe solucionarse las siguientes ecuaciones): 64 –  4x  4x -

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

 

=0

115

 

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Carlos Orihuela Romero, MSc

96 –  8y  8y -

  =

0

27 –  x  x –  y  y = 0 Usando Cramer:

 4 0 1  x   64       0 8 1 y 96    1 1 0       27 

Sea el determinante principal A y aplicando Cramer:  A = 12 De donde:

A1 = 184

x

A2 = 140

A3 = 32

 A   32  A1   184  A   140   15.3   y  2   11.6     3   2.6    A 12  A 12  A 12

Lo cual es la solución optima porque cumple las condiciones de Kuhn -Tucker.

Ejercicio 99: El departamento de investigación de mercado determino que hay una relación entre el precio y la cantidad: P = 12  –   2lnx ( 0 < x < 90 ) para un producto

dado. Si cada unidad del producto cuesta S/. 3, determine la cantidad de tal producto que optimiza el beneficio de tal dpto. Compruebe si dicha cantidad maximiza o minimiza el beneficio. Solución. Sea   nuestra función de beneficio:    =

IT - CT

  =

( 12 -2 lnx)x - 3x

  =

9x –  2xlnx  2xlnx

d    1  9  2x    2 ln x   dx x d = 7 –  2lnx  2lnx dx

Por condiciones de primer orden:

Resolviendo:

d dx

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

 0 

3.5

7 –  2lnx  2lnx = 0

x=e

 

116

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Tomando la segunda derivada de la función de beneficio.  

 ′′(x)

= -2/x ⇒   ′′(e3.5)

(es máximo)

Ejercicio 100: Compruebe formalmente y determine la cantidad que maximiza el

beneficio. Si nos dan información sobre la forma funcional del ingreso total y costo total. IT = 15Q1 + 18Q2  CT = 2Q12 + 2Q1Q2 + 3Q22  Solución.

Sea

  nuestra

función de beneficio: 

  =

15Q1 + 18Q2 - 2Q12 - 2Q1Q2 - 3Q22 

Por las condiciones de primer orden.  Q1  Q 2

= 15 - 4Q1 - 2Q2 = 0 = 18 –   2Q1 - 6Q2 = 0    2Q

De ambas expresiones se tiene que: Q1  2.7  y Q2  2.1  Dado que

 ′′(Q1)

= -4 ,

 ′′(Q2)

= -6 y Q1Q2 = -2 , se tiene que el punto que maximiza

el beneficio.

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

117

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Ejercicio 101: Sea:

Función de Ingreso:

aQ1 + bQ2 

Función de Costo:

cQ12 + dQ1Q2 +eQ22 

Determine: a) Función de beneficios  b) La cantidad que maximiza el beneficio c) La condición para que la función de beneficio tenga un máximo   d) La condición para que la función de beneficio tenga un mínimo   e) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de silla?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)? 

f) ¿Es posible establecer una(s) condición(es) para que la función de beneficio tenga un punto de inflexión?. De ser cierto, ¿cuál(es) seria(n)? 

Solución.

a) La función de beneficios se construirá a partir de la diferencia de la función   de ingresos menos la función de costo:    =

aQ1 + bQ2 - cQ12 - dQ1Q2 - eQ22 

b) Para hallar la cantidad que maximiza el beneficio se procederá a diferenciar la función de beneficios en función de cada una de las variables, en este caso será en función de Q1 y Q2:

Q1

= a –  2cQ  2cQ1 - dQ2 

Q 2

La condición de primer orden será:

Q

=

1

Q1 

2ae  bd 4e  c  d2

Q

= b –  dQ  dQ1 –  2eQ  2eQ2 

= 0. Entonces; 2

Q2 

 

2bc  ad 4e  c  d2

 

c) Se sabe que: -2c  Q Q = -2c  1 1

 Q2 Q2

= -2e  -2e 

Q Q   Q Q = -d  -d  1 2

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

2

1

118

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Para que tenga un máximo debe cumplirse que:  

Q Q , Q Q  0   1 1

2

Q Q  Q Q  (Q Q )2  

2

1 1

2

2

1 2

Entonces: c, e > 0 y 4ce > d2  d) Debe cumplirse que:

Q Q , Q Q  0   1 1

2

Q Q  Q Q  (Q Q )2  

2

1 1

2

2

1 2

Entonces: c, e < 0 y 4ce > d2

e) Debe cumplirse que:

(Q1Q1  0;Q2Q2  0)  (Q1Q1  0;Q2Q2  0)  

Q Q  Q Q  (Q Q )2   1 1

2

2

1 2

(que ambas derivadas difieran de signo). Entonces: bastara que c y e difieran de signo. f)

(Q1Q1 , Q2Q2  0)  (Q1Q1 , Q2Q2  0)  

Q Q  Q Q  (Q Q )2   1 1

2

2

1 2

(que ambas derivadas tengan el mismo signo). Entonces: c y e deben tener el mismo 2

signo y además 4ce  d .

Ejercicio 102: Si la función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy, siendo x e y

las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes.

Solución. Formar nuestra restricción a partir de los datos del enunciado:

Maximizar

U ( x, y )  2x –  3y  3y ≤ 90 

Sujeto a

Formamos el lagrangiano U = xy +

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

(

90 - 2x - 3y)

119

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Por condiciones de Kuhn-Tucker

(1a)

Ux= y - 2   ≤ 0 

(2a)

Uy= x - 2   ≤ 0 

(3a)

(1b)

x ≥ 0

(2b)

y ≥ 0

(3b)

(1c)

x (y - 2x  ) = 0

(2c)

x (y - 2x  ) = 0

(3c)

1.  Probando si

 = 0

U  =

90 - 2x - 3y ≥ 0  ≥ 0

 (90

- 2x - 3y) = 0

y x > 0, y > 0

Usando (1.a) y (2.a): x, y ≤ 0, lo cual no concuerda con (1.b) y (2.b) 2.  Probando

 > 0

y x > 0, y > 0

 Aplicando esto en (1c), (2c) y (3c):

y - 2x   = 0

y - 2x   = 0

( 90 - 2x - 3y ) = 0

Resolviendo este sistema 3x3: x = 22.5, y = 15,

=

7.5 Lo cual satisface las condiciones de Kuhn-Tucker.

Ejercicio 103: Encontrar los valores de x, y que optimizan el siguiente problema.

Maximizar

6x2  - 60x + y2  - 24y

Sujeto a

x + y ≥ 16

Solución.  Por el tipo de restricción, es necesario transformar la función original en función cóncava multiplicando por -1 tanto dicha función como la restricción. Haciendo ello y

formando el lagrangiano. C = -6x2  + 60x - y2  + 24y +  ( x + y - 16 )

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

120

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Por condiciones de Kuhn-Tucker.

(1a)

Cx= -12x + 60 +   ≤ 0

(2a)

Cy= -2y + 24 +   ≤ 0 

(3a)

(1b)

x≥0

(2b)

y≥0

(3b)

(1c)

x (-12x + 60 +

(2c)

x (-2y + 24 +

1.  Probando



) = 0

) = 0

(3c)

C 

= x + y - 16 ≥ 0





≥ 0 

(x + y - 16) = 0

,x , y > 0

Si esta condición se cumple entonces de (1.c), (2c) y (3c): 

-12x + 60 +



 = 0

-2y + 24 +



 = 0

x + y - 16 = 0 De este sistema se obtiene que:

x

34 114 108 y      5 5 5

2.  Probando



=0

Lo cual viola el supuesto (1b).

x,y>0

Usando (1c) y (2c): -12x + 60 = 0

x = 5 

-2y + 24 = 0

y = 12

Lo cual satisface todas las condiciones. Por lo tanto este es el punto (5, 12) que maximiza el problema de optimización.  

Ejercicio 104: Una firma enfrenta una función   F ( x, y ) = 3x 2  +5xy +6y2  y tiene una función de restricción g ( x, y ) = 5x + 7y = 732. Determine FORMALMENTE que tipo de función es F (¿beneficio o costo?)

Solución.

Paso 1: La función lagrangiana será:

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

121

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

E = 3x2 +5xy +6y2

(

732 - 5x - 7y) 

Paso 2: Las condiciones de optimización: optimización:  Ex = 6x + 5y –  5  5  = 0

Ey = 5x + 12y - 7  = 0

Resolviendo el sistema: x = 75

y = 51

=

 E 

= 732 - 5x - 7y = 0

141

Paso 3: El hessiano orlado será: 

Exx Exy  H  Eyx E yy  gx gy 

gx 



gy    0 

Reemplazando los datos:

6

5

5

H  5 12 7   5 7 0 el

 H 2

= 5 (35 -60) - 7 (42 - 25) = -244. Entonces E es minimizado. Se trata de una

función de costo.  Ejercicio 105: Resuelva el si guiente problema de optimización  optimización  

y demuestre

formalmente que la solución encontrada corresponde a un máximo.  

Maximizar

U = xy + x

Sujeto a

6x + 2y = 110

Solución.

Ux = y + 1 –  6  6  = 0

U  =

Uy = x - 2  = 0

110 - 6x -2y = 0

Resolviendo el sistema:

1 6   x   1  0       1 0 2   y    0     6 2 0     110 

x9

1 2  y  27    4   3 3

0

1

6 

Donde H2  24 . Como H2  0 ,

1

0

2  0

U es maximizado.

 H

Del cual se tiene que:

6 2

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

122

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

Ejercicio 106: Optimice la siguiente función:

y = 3x12 –  5x  5x1 - x1x2 + 6x22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3

(1)

a) Determine la coordenada del punto crítico b) Calcule el valor de la función en dicho punto c) ¿Correspond ¿Correspondería ería a una típica t ípica función de costos o ingresos? d) Si la función fuera,  y = 3x12 - 5x1 - x1x2 + ax22 - 4x2 - 2x2x3 + 4x32 + 2x3 - 3x1x3, ¿Cuál debería ser el valor de “a” para que no exista solución única (un único punto critico)?

Solución.

a) Por condición de primer orden, obtenemos las derivadas parciales de la función (1).

y1 = 6x1 - 5 - x2 - 3x3

Por condición de 1er Orden:  

y2 = -x1 + 12x2 - 4 - 2x3

y1 = y2 = y3 = 0

y3 = 2x2 + 8x3 - 2 - 3x1 

(se forman 3 ecuaciones lineales)

Lo cual se puede resolver por matrices y determinantes:

 6 1 3   x1   5        1 12 2   x 2    4     3 2 8   x 3   2   A = 424

A1 = 440

A2 = 196

A3 = 108

De donde:

x1 = 1.04

x2 = 0.46

x3 = 0.26

b) Reemplazar los valores obtenidos de a) en la función (1) para obtener el valor de y.   y = 3(1.04)2 - 5(1.04) - (1.04)(0.46) (1.04)(0.46) + 6(0.46)2 - 4(0.46) - 2(0.46)(0.26) 2(0.46)(0.26) + 4(0.26)2 + 2(0.26) - 3(1.04)(0.26)  y = - 3.26 

c) Será necesario el hessiano simétrico para averiguar si el punto obtenido corresponde a un máximo o mínimo, de lo cual se concluye que la función podría ser una típica función de beneficios o costos, respectivamente. Para  ello, se obtienen las

segundas derivadas: 1 3

y11 = 6

y12 = -1

y13 = -3

6

y21 = -1

y22 = 12

y23 = -2

H  1 12

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN





2  

123

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

y31 = -3

Carlos Orihuela Romero, MSc

y32 = -2

y33 = 8

1 3 d) Para que no exista un solo punto crítico entonces el determinante determinante 1 2a 2  debe 3 2 8 6

ser cero. Entonces, det ( A ) = 2 (39a - 22) = 0   a = 22 / 39 Ejercicio 107: Sea el ingreso total, 15q1 + 18q2 el cual esta sujeto a un costo:

2q12 + 2 q1q2 + 3q22  a) Determine el nivel de producción que maximiza/minimiza e l beneficio b) Demuestre que ese nivel maximiza o minimiza el beneficio. c) Si el costo es 2q12  + 2 q1q2  + aq22, ¿que requisito debe cumplir “a” para que exista un beneficio máximo? 

d) Sea la función de costo, bq12  + 2 q1q2  + aq22, que requisito debe cumplir a, b, para que esta función sea una función de beneficio?  

Solución.

a) La función de beneficio será: B = Ingreso –  Costo  Costo = 15q1+18q2 - 2q12 - 2q1 q2 - 3q22  Bq1 = 15 - 4q1 - 2q2

Bq1q1 = -4

Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2 

Bq2q2 = -6

Bq1q2 = Bq2q1 = -2

El punto crítico saldrá de la condición de primer orden: 

Bq1 = Bq2 = 0

de donde

q1= 2.7 y q2= 2.1.

b) Debe probarse las condiciones para un máximo o minino en el hessiano simétrico:

 4 2      2 6  

H   

Se cumple que: Bq1q1 < 0

Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0

Bq2q2< 0

Entonces el punto es un máximo .

c) Sea la nueva función de beneficio: B = 15 q1 + 18 q2  –  –  2q  2q12 - 2q1q2 –  aq  aq22 

Bq1 = 15 –  4q  4q1 - 2q2

CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN

Bq1q1 = -4

Bq1q2 = Bq2q1 = -2

124

 

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Bq2 = 18 - 2q1 - 6q2 

Carlos Orihuela Romero, MSc

Bq2q2 = -2a

Es necesario hacer que B q1  = Bq2  = 0 para obtener el punto crítico. Usando el criterio del determinante, se llega a que: a ≠ 1/2. Aplicando el criterio de hessiano simétrico:  

 4 2  H     2 2a    

Para que el punto sea un máximo:  

Bq1q1 < 0

Bq1Bq2 - (Bq1q2)2 > 0   8a > 4 → a > 1/2

Bq2q2< 0

De ambas condiciones se concluye que: a

  ] ½,∞[ 

d) Solo  se pide analizar esta función y convertirla en una función de beneficios. No construir una función de beneficios a partir de la función de ingreso. Análogamente, usando el criterio de determinante (condición para obtener un punto crítico) se llega a

que ab ≠ 1. Usando el hessiano simétrico: b