capitulo 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN  ANTONIO ABAD ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

 ASTRONOMÍA Y GEODESIA  DOCENTE:

: ING. RICARDO RICARDO VALLENAS VALLENAS CASAVERDE CASAVERDE TEMA DEL INFORME: COORDENADAS CELESTES  NOMBRE:

SEMESTRE: 2017-II CUSCO

2017 

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 ASTRONOMIA  ASTRO NOMIA Y GEODESIA

CAPITULO 3: COORDENADAS CELESTES _________________________ ____________ ________________________ ___________ 3

INTRODUCCIÓN _______________________________ ____________________________________________________________ _____________________________ 3

1.- COORDENADAS HORIZONTALES, ECUATORIALES HORARIAS Y ECUATORIALES ABSOLUTAS NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA __ 3 COORDENADAS HORIZONTALES   _______________________________________________ 3 ECUATORIALES HORARIAS   _____________________________________________________ 4 ECUATORIALES ABSOLUTAS   ___________________________________________________ 5 _____________________________________ ______ 8 2.- CÍRCULOS MÁXIMOS Y MENORES _______________________________ Círculo determinado sobre la superficie terrestre por un plano que corte a la Tierra y pase por su centro.  ___________________________________________________________________ 8 CIRCULO MAXIMO   ______________________________________________________________ 9 CIRCULOS MENORES (MERIDIANOS).   __________________________________________ 10

3.- TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS __ 10 LA ESFERA.   ___________________________________________________________________ 11 ________________________________________ ___________________________________________ _________________________ ___ 11 Círculo máximo ___________________ __________________________________________ _____________________________ _______ 11 Volumen y superficie de la esfera ____________________ ____________________________________________ _________________________ ___ 12 Dominio sobre la superficie esférica ______________________ Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.  _________________________________ 12 FÓRMULAS FUNDAMENTALES   _________________________________________________ 12

4.- TRANSFORMACIÓN ENTRE COORDENADAS __________________________ 15 5.- TIEMPO SIDERAL LOCAL _____________________________________________ 15 definición  ______________________________________________________________________ 15 _________________________________________ ___________________________________________ _________________________ ___ 16  Ángulo horario____________________  Ángulo horario, ascensión recta y declinación ______________________________________ 16

6.- MOVIMIENTO APARENTE DEL SOL, DE LA LUNA Y LOS PLANETAS _____ 17 Los planetas interiores y los planetas exteriores:   ___________________________________ 17 El movimiento aparente de los planetas p lanetas interiores. Oscilando bajo la luz del Sol: _______ 18 El movimiento aparente de los planetas exteriores. Un bucle en el contexto estelar:  ____ 20

7.- LA ECLÍPTICA Y COORDENADAS ECLÍPTICAS _________________________ 23 8.- ECUADOR GALÁCTICO, COORDENADAS GALÁCTICAS. ________________ 25 El ecuador galáctico.   ____________________________________________________________ 25 coordenadas galácticas  _________________________________________________________ 26 ____________________________________ _____ 27 9.- MANEJO DE LA CARTA CELESTE. _______________________________

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INTRODUCCIÓN

Cuando usted se encuentra en un lugar despejado, durante una noche de verano y tal vez con algún instrumento óptico útil para observar el cielo, tiene la sensación de estar bajo una gran cantidad de puntos brillantes que envían su luz desde todas las direcciones sobre el horizonte, como si estuvieran colocados sobre un manto oscuro muy lejano. La imposibilidad de establecer a simple vista las características estructurales de estos puntos y de determinar si se encuentran todos a la misma distancia de nosotros o no, probablemente condujo a nuestros antepasados a suponer una forma esférica para ese manto oscuro, hipotético y etéreo, responsable de sostener el cielo sobre nosotros. El conocimiento actual de la estructura del Universo, sustentado en el impulso de la mecánica clásica y en la visión cosmológica de la física del siglo XX, exige un desprendimiento de la idea de que el hombre ocupa una posición privilegiada en el centro de alguna esfera hipotética. Términos como galaxia, cúmulo estelar, super-gigante roja o enana blanca hacen ya parte del léxico común en prácticamente todas las culturas, y eso mismo constituye una nueva visión acerca de las formas, distancias y tamaños en el Universo. No obstante lo anterior, si se desea observar el cielo y describir con precisión las posiciones y los movimientos aparentes de los puntos brillantes distribuidos sobre el firmamento, es sorprendente descubrir cuán útil es la vieja hipótesis de una esfera, en cuyo centro nos encontramos en todo momento. Esa esfera, la Esfera Celeste, constituye la idea central de la Astronomía de Posición, y su estudio provee no sólo la información necesaria para caracterizar los movimientos aparentes de los astros y sus regularidades en el tiempo, sino también una fuente inagotable de situaciones de interés matemático, enmarcadas en el campo de la trigonometría esférica.

1.- COORDENADAS HORIZONTALES, ECUATORIALES HORARIAS Y ECUATORIALES ABSOLUTAS NOCIONES DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA COORDENADAS HORIZONTALES Las coordenadas horizontales son un sistema de coordenadas celestes referidas al horizonte del observador y a su vertical. Para determinar la posición de una  estrella en coordenadas horizontales, un observador deberá medir su altura que es la distancia angular desde el  horizonte hasta la estrella. En segundo lugar, tendrá que determinar el ángulo que forma la estrella con una dirección que se toma como origen, generalmente el sur (en astronomía) o el norte (navegación) medida sobre el horizonte y en sentido horario. Dicho ángulo se llama  acimut. Estas coordenadas dependen del observador. Es decir que en un mismo momento, un astro se observa bajo coordenadas horizontales diferentes por observadores diferentes situados en puntos diferentes de la Tierra. Esto significa que dichas coordenadas son locales CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Sea C el centro común de las esferas terrestre y celeste (figura 1). Se señala un punto O sobre la superficie terrestre, tal que OCes la vertical de plomada en O. En O se encuentra el observador .

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La prolongación de OC corta a la esfera celeste en los puntos Z y Z' , cenit y nadir  de O, respectivamente. La línea ZZ' es la vertical del observador , o simplemente la vertical. Por C imaginamos un plano perpendicular a ZZ' que corta a la esfera celeste en el círculo máximo SWNE, el horizonte astronómico de O. En lo sucesivo, cuando se hable de horizonte se entenderá siempre horizonte astronómico, salvo precisión contraria. La prolongación del eje terrestre nos da los puntos P y P' , los polos de la esfera celeste. PP' es el eje del movimiento diurno. La rotación de la Tierra hace que la esfera celeste se mueva aparentemente en torno a dicho eje. Las proyecciones de P y P' en el horizonte son los puntos N (Norte) y S (Sur), y la perpendicular a la línea NS por C, en el plano del horizonte, nos da el Este E y Oeste W. En realidad el observador  está en el plano del horizonte. Las coordenadas horizontales son topocéntricas. Esto supone que las medidas que obtenga serán aparentes, por la paralaje diurna y la refracción atmosférica. Según los casos se requerirán las correcciones oportunas, para transformar estas medidas en  coordenadas geocéntricas. La vertical del observador  ZZ', su horizonte SWNE y el punto Sur  S, son el sistema de referencia de las coordenadas horizontales.

ECUATORIALES HORARIAS En astronomía, las "Coordenadas Ecuatoriales Horarias", también llamadas "Coordenadas horarias", es un sistema de coordenadas para localización de elementos en la  esfera celeste. Su plano fundamental es el plano del ecuador. Se trata de un sistema semilocal (una coordenada es local y otra universal) Las coordenadas de este sistema son estas dos: 

Declinación (delta): Es el ángulo que forma la visual del astro con el plano ecuatorial. Es una coordenada universal, válida en cualquier punto del  planeta.

Comienza en el eje del ecuador con 0º y llega hasta 90º en el Norte y -90º en el sur. El ángulo complementario a la declinación es la distancia polar. 

 Ángulo horario (H): es el ángulo diedro que forma el  meridiano superior del lugar, meridiano del observador, con el círculo horario que pasa por el astro. Se cuenta en sentido del movimiento diurno (horario). Se mide en horas, minutos, y segundos (no en grados). Recordar que 360º equivale a 24 horas.

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Es una coordenada local (varía de un lugar a otro) Un meridiano celeste es el círculo máximo que pasa por los polos. Sí además pasa por el observador es el meridiano del observador, también llamado meridiano del lugar, y es el origen del ángulo horario. Círculo horario es el meridiano celeste que pasa por el astro. La declinación de un astro no depende de la posición del observador, pero el ángulo horario sí que depende de la posición del observador. Es decir un mismo astro en un mismo momento son vistos bajo diferentes ángulos horarios por diferentes observadores situados en puntos diferentes de la Tierra. Esto significa que las coordenadas horarias son locales. Cuando hablamos de Coordenadas ecuatoriales nos referimos a las "Coordenadas ecuatoriales absolutas", pero cuando hablamos de Coordenadas horarias nos referimos a "Coordenadas ecuatoriales horarias". En ambos sistemas el  plano fundamental es el que forma el ecuador con la esfera celeste. Las "coordenadas ecuatoriales absolutas" se basan en la  Ascensión Recta (AR) y en la Declinación (δ)(Dec), mientras que las "coordenadas ecuatoriales horarias" se basan en

el Ángulo horario (H) y en la Declinación.

ECUATORIALES ABSOLUTAS Las Coordenadas Ecuatoriales Absolutas son un sistema de coordenadas celestes basado en el ecuador, como plano fundamental y en el punto Aries, como punto de inicio. El sentido de crecimiento es el directo, es decir, de Oeste a Este. El punto Aries (o punto vernal) se representa por y el punto Libra está representado por . Ambos son los puntos de cruce de la Eclíptica, y por tanto del Sol, con e l Ecuador. Estos puntos corresponden a los día 21 de Marzo y 23 de Septiembre, respectivamente. Son los Equinoccios (del latín "noches iguales") de Primavera y Otoño. Estos dos planos (ecuador y eclíptica) se encuentran inclinados uno respecto del otro en un ángulo de alrededor de 23º 27'. Este plano se conoce como oblicuidad de la eclíptica. En esos puntos la latitud del Sol es cero, por eso corta el ecuador.

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 Ambos puntos de referencia, ecuador celeste y punto Aries, permanecen fijos en el cielo y no dependen de la posición del observador, ni de la hora de observación. Por eso se llaman "absolutas". El punto Aries, no obstante, tiene un lento movimiento de retrogradación, debido a la Precesión de los Equinoccios. Esta es debido a la rotación de la tierra sobre sí misma. Como hemos dicho, los Equinoccios son los puntos y . La línea que los une se conoce como "linea de los equinoccios" y esta linea tiene un lento movimiento retrógrado (hacia el oeste) de unos 52'' al año. Esto hace que la proyección de esos puntos sobre la bóveda celeste, se mueva lentamente por la eclíptica. Hace unos 2.000 años el punto ♈ se encontraba al comienzo de la constelación de Piscis y ahora está a finales de la misma.

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Para medir la posición de una estrella mediante este tipo de coordenadas, se toman dos medidas angulares: la Ascensión Recta (α) y laDeclinación (δ) . La primera coordenada (α) es la distancia angular desde el punto Aries hasta la posición de la estrella en el ecuador, mientras que la segunda (δ) es la

distancia angular desde la estrella hasta el ecuador. En el siguiente gráfico se puede ver esto:

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Cuando la estrella (u otro objeto) se encuentre por debajo del ecuador, la declinación será negativa. La Declinación puede variar   entre -90º y 0º (hemisferio Sur celeste ) y 0º y +90º (hemisferio Norte celeste). Si la declinación es 90º, la estrella se encontrará en el Polo Norte. Si la declinación es 0º, el objeto estará en el ecuador. La Ascensión Recta puede variar   entre 0º y 360º. También es muy común dar la AR en horas, minutos y segundos. Cada hora de Ascensión recta equivale a 15º. Las Coordenadas Ecuatoriales Absolutas se establecieron para independizar las mediciones del movimiento de rotación de la Tierra. Para comprender esto, consulte el resto de sistemas de coordenadas.

2.- CÍRCULOS MÁXIMOS Y MENORES Círculo determinado sobre la superficie terrestre por un plano que corte a la Tierra y pase por su centro. La distancia más corta entre dos puntos de la superficie terrestre siempre es el tramo del círculo máximo que los une. En geografía y cartografía, los círculos máximos que pasan por los polos determinan las líneas de longitud. En la latitud, en cambio, existe sólo un círculo máximo: el ecuador. Las demás latitudes están determinadas por círculos menores paralelos al ecuador.

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CIRCULO MAXIMO En toda esfera hay círculos máximos y círculos menores. Los círculos máximos son aquellos que dividen una esfera en partes iguales. En el caso de la esfera terrestre el Ecuador es el único circulo máximo perfecto y divide al hemisferio N/S. Los círculos que pasan por los polos no tienen la misma longitud del ecuador. El circulo del ecuador tiene una longitud aproximada de 21.600 millas náuticas, 40.000 km. Pero los que pasan por los polos tiene menos, aproximadamente 50 km menos, por lo tanto no son perfectos como el circulo del ecuador. Pero para fines de navegacion todos los círculos que pasan por los polos son círculos máximos como el ecuador. Como circulo se dividen en grados sexagecimales o sea 360º, 1º es igual a 60' de arco, 1' e igual a 60" de arco. De manera que si los 360º corresponde a 21.600 milas náuticas, cada grado corresponde a 60 millas y cada minuto de circulo máximo a 1 milla náutica. De ahí la definición de la milla náutica que corresponde a un minuto de arco de circulo máximo. Los círculos máximos en la navegacion aérea son las distancias mas cortas entre dos puntos sobre la tierra, o sea que si quiero ir de Asuncion a Europa directo y por la ruta mas corta tendria que seguir un circulo máximo. Limbert fue el único que efectuó una navegacion siguiendo aproximadamente el circulo máximo que une New York y Paris. Esta navegacion se hace difícil cuando hay que cortar meridianos, porque al trazar la linea recta que une , por ejemplo New York Paris, cortara todos los meridiano con ángulo diferentes, por eso se hace difícil volar sobre un circulo máximo. Ahora si vuelo sobre el Ecuador , sobre los meridianos con rumbos N o S entonces no hay problema, porque mantengo rumbo N o S , y estoy volando sobre un circulo máximo. Los meridianos son círculos máximos para la navegacion aérea. Los vuelos que se realizan desde Buenos Aires a Australia, por ejemplo , son vuelos transpolares para navegar por la distancia mas corta. En la navegacion aérea esta linea se llama

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ORTODROMICA, o sea las rutas y distancias sobre círculos máximos son distancias ortodromicas o rutas ortodromicas. Pero como hacemos nosotros para volar, pues con la linea de rumbo, que es el rumbo magnético, esta linea se llama en la navegacion linea LOXODROMICA. Cuando las distancias son menos de 1.000 km no hay diferencia entre ortodromica y loxodromica, o sea no hay dificultades para la navegacion. Las distancias que nos dan los GPS son distancias ortodromicas. En una navegacion podemos usar como escala los grados de meridianos, porque cada grado corresponde a 60 millas y cada minutos de arco es igual a 1 milla. Espero que sea de utilidad para la comunidad aeronautica y les aliento a que me den sugerencias

CIRCULOS MENORES (MERIDIANOS). Los meridianos son las semicircunferencias máximas imaginarias del globo terrestre que pasan por los Polos Norte y Sur. Por extensión, son también las semicircunferencias máximas que pasan por los polos de cualquier  esfera o esferoide de referencia. Son líneas imaginarias cuya utilidad principal es poder determinar la posición (Longitud) de cualquier lugar de la Tierra respecto a un meridiano de referencia o meridiano 0, añadiendo la Latitud, determinada por el Paralelo que pasa por ese punto. También sirven para calcular el  huso horario. Todos los observadores situados sobre el mismo meridiano ven al mismo tiempo, en la mitad iluminada de la Tierra, al pasar el Sol por lo más alto de su curso: el momento en que el Sol está en lo más alto de su curso indica el mediodía (es decir, la mitad del día).1 En la cartografía, el meridiano 0 de referencia es el que pasa por el observatorio de Greenwich. En astronomía, el meridiano de referencia para las coordenadas ecuatoriales es el que pasa por el punto de Aries, mientras que el de referencia para las coordenadas horarias es el que pasa por el cenit y el nadir del lugar.

3.- TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en  astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en alta mar mediante la observación de los astros.

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LA ESFERA. Una esfera E , de centro en el punto ( a,b,c ) y radio k , es el dominio de ℝ³ definido por todos aquellos puntos en el espacio tridimensional que cumplen con la siguiente definición:

Círculo máximo

Distancia ortodrómica entre dos puntos a lo largo de un círculo máximo sobre la superficie de una esfera.  Artículo principal:

Círculo máximo

La intersección de una esfera con un plano que contenga al centro de dicha esfera genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera. Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales. La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica. Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Ti erra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.

Volumen y superficie de la esfera El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un  semicírculo que gira alrededor del diámetro. Según esta definición, si su radio es r , su volumen será:

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La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución y vendrá dada por:

Dominio sobre la superficie esférica Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado por curvas contenidas en dicha superficie.

TRIANGULO ESFERICO Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < α + β + Ƴ < 540°

FÓRMULAS FUNDAMENTALES Notación α: ángulo formado entre los arcos  AC  y AB β: ángulo formado entre los arcos  AB y BC  Ƴ: ángulo formado entre los arcos  AC  y BC 

Fórmula del coseno

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Fórmula del seno

Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Fórmula de la cotangente La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:

Cosenos de los elementos medios, es igual a: menos seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo, más seno del lado medio por la cotangente del otro lado.

Fórmulas de Bessel Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno" o también denominadas Fórmulas de Bessel, o tercera fómula de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el matemático alemán Friedrich Wilhelm Bessel.

El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto es, la esfera trigonométrica, de la forma:

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Presentación matricial de las fórmulas del triángulo esférico

El conjunto de las fórmulas del seno, del coseno ( llamadas por algunos segunda y  primera fórmula de Bessel ), y la (tercera) fórmula de Bessel, pueden expresarse de forma matricial:

siendo a, b y c  los lados; y  A, B y C  los ángulos del triángulo esférico.

Triángulo esférico rectángulo  Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula:

Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.

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4.- TRANSFORMACIÓN ENTRE COORDENADAS Las coordenadas geograficas estan formadas por dos ejes perpendiculares entre si. Estos ejes dividen el plano en los cuatro punto cardenales: norte su este y oeste. Las coordenadas geograficas muestran el tamaño del modulo, el rumbo y el angulo mensionando de cual punto a cual punto empiza el angulo. Ejemplo: (10m, S40N) S: sur, N: norte. Para transformar a coordenadas geograficas se debe obtener el angulo y la longitud del modulo, para que sea facil sacar esto puedes verlo como un truiangulo y asi podemos sacar con teorema de pitagoras el modulo o con seno, coseno o tangente el angulo. Asi podemos cambiar desde polares o rectangulares a geograficas.

GRFICO: El eje horizontal representa el Este (E) a la derecha del origen, y el oeste (O) a la izquierda del origen. El eje vertical representa el Norte (N) hacia arriba del origen, y el sur (S) hacia abajo del origen.

 A=(47km;255) o=255-180 o=75  A=(47km;S15O) para transformar de coordenadas polares a coordenadas geograficas se obtiene el ángulo pórque ya te dan medida y para obtener el ángulo se resta 180 grados al ángulo, y se pone las coordenadas segun su posición.

EJEMPLO:transformscion de geograficas a polares J:(17m;238o) &=238o-180o=58o J:(17m;O58oS) en este ejemplo se restan 180 grados despues de ubicar enque cuadrante esta para sacar los grados del vector. (este ejemplo esta en el 3er cuadrante)

transformacion de polares a geograficas R= (-5;8) M=(RAIZcuadrada) 5 al cuadrado + 8 al cuadrado m=9,433 tang=y/x tang=8/5 tg=-16tg-1=58 (9,433 ; o 58 n) esta en el 4 cuadrantre

5.- TIEMPO SIDERAL LOCAL definición

El tiempo sideral es, literalmente, el el tiempo de las estrellas  y no el del Sol. Si el paso del Sol define, entre 2 mediodías sucesivos, el día INGENIERIA CIVIL - UNSAAC

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medio de 24 h, el de las estrellas define otro "día" de sólo 23 horas y 56 minutos en tiempo solar, pero 24h en tiempo sideral. El tiempo sideral, más una  posición amgular que un tiempo, se denota, como una ascensión recta en h, min y s. 23h56min04s

Las estrellas vuelven a la misma posición en 23h56min04s. Los 236 segundos que faltan por día, se acumulan en un año, representando 24 horas, o sea, equivaliendo a una rotación, la que la Tierra realiza con respecto a las estrellas pero con respecto al Sol. El día, las horas, los minutos y los segundos siderales no tienen el mismo valor que sus equivalentes solares. La relación es de 366.25/365.25

Tiempo sideral/tiempo solar  Tiempo sideral

Tiempo solar

24h00

23h56min

24h04

24h00min

1.002738 s siderales 1 s solar 1 s sideral

0.997269 s solar

Ángulo horario

El ángulo horario de un astro localiza su posición con respecto al meridiano. Una estrella de declinación zero se eleva con un ángulo horario de -6 h, y se pone a +6 h. Con un ángulo horario zero, pasa por el meridiano y culmina. Ángulo horario, ascensión recta y declinación

En la práctica, el tiempo sideral, expresado en horas y minutos, corresponde a la ascensión recta de un objeto en el plano meridiano de Greenwich. La relación entre la ascensión recta de una estrella y su ángulo horario y el tiempo sideral se expresa: INGENIERIA CIVIL - UNSAAC

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El ángulo horario es zero en el meridiano, y entonces un astro culmina en el meridiano cuando su ascensión recta verifica: 6.- MOVIMIENTO APARENTE DEL SOL, DE LA LUNA Y LOS PLANETAS El movimiento aparente de los planetas de nuestro sistema solar es muy diferente del movimiento que podamos observar desde la Tierra en los demás objetos. De hecho, la palabra “planeta” tiene el significado de “errante”, de objeto sin dirección fija, de objeto que cambia de

dirección frecuentemente. Sin embargo, los movimientos aparentes de los planetas, tanto interiores como exteriores a la orbita de la Tierra, tienen una explicación simple considerando sus órbitas keplerianas.

Los planetas interiores y los planetas exteriores: Los planetas de nuestro sistema solar se mueven alrededor de la estrella siguiendo las órbitas keplerianas, esto es cumpliendo las leyes del movimiento: 1) Todos los planetas se mueven en orbitas elípticas, en uno de cuyos focos, el mismo para todos los planetas, se encuentra el Sol. 2) El radio vector del planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales. 3) Los cuadrados de los periodos sidéreos de revolución de los planetas alrededor del Sol son  proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.

La Tierra se desplaza, por tanto, en una órbita elíptica alrededor del Sol, contenida en un plano, el plano de la eclíptica, que forma un ángulo de algo más de 23º con la dirección del eje de rotación del planeta. Los restantes planetas del sistema solar se desplazan también siguiendo órbitas elípticas en planos cuya oblicuidad respecto del plano de la eclíptica es muy pequeña, salvo en el caso de Plutón:

Planeta

Oblicuidad de su Órbita con respecto a la Eclíptica

Mercurio

07.00º

Venus

03.40º

Marte

01.80º

Júpiter 

01.30º

Saturno

02.50º

Urano

00.80º

Neptuno

01.80º

Plutón

17.20º

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Los planetas, en lo que respecta a la observación de sus movimientos desde la Tierra, hemos de considerarlos, por la diferencia existente entre sus movimientos aparentes, divididos en dos grupos. A saber, los que están más próximos al Sol que nosotros (planetas interiores o inferiores) y los que están más alejados (planetas exteriores o superiores). El movimiento aparente de los planetas interiores, Mercurio y Venus, tiene unas características propias que se visualizan desde la Tierra como si estos planetas oscilaran de uno a otro lado del Sol, como la pelota de un péndulo. El movimiento aparente de los planetas exteriores, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón, es, sin embargo, diferente. Todos ellos, al cumplir las leyes de Kepler, tienen un movimiento más lento que el desplazamiento de nuestro planeta, por lo que, en determinadas posiciones, el movimiento de la Tierra sobrepasa la posición del planeta, dando la apariencia de que éste se desplaza en movimiento retrógrado durante un cierto tiempo, hasta que las velocidades se equilibran, y el planeta parece pararse reiniciando ahora el movimiento en sentido directo, por lo que, en definitiva, la trayectoria aparente a lo largo del año forma una especie de bucle sobre la bóveda estelar.

El movimiento aparente de los planetas interiores. Oscilando bajo la luz del Sol: Cuando al amanecer se observa aparecer el Sol antes de que aparezca el planeta, Mercurio o Venus, esto nos indica que está más al este, y, ese mismo día, a la puesta del Sol, se observará que el planeta se oculta después de ocultarse el Sol. Se dice, en este caso, que el planeta tiene elongación oriental. Cuando al amanecer, por el contrario, se observa aparecer el planeta antes de que salga el Sol, esto nos indica que el planeta se encuentra más al oeste, y al atardecer de ese día se ocultará antes de que se oculte el Sol. Se dice que el planeta tiene elongación occidental. La elongación máxima a alcanzar por cada uno de los dos planetas interiores es diferente, debido a que están físicamente a distancias diferentes del Sol. Para un observador desde la Tierra, las elongaciones máximas que se observan son: Elongación máxima de Mercurio 18º a 28º Elongación máxima de Venus

45º a 48º

La pregunta clave es ¿porqué razón el planeta está unas veces al este del Sol y otras veces al Oeste? ¿Cómo explicar esto desde las características orbitales del planeta?. Cuando observamos un planeta interior, P, sabemos que está ocupando un lugar en su desplazamiento orbital alrededor del Sol, y en toda la órbita existen, para un observador terrestre, cuatro puntos básicos: punto en el que el planeta alcanza la elongación máxima oriental (EMOR), punto en el que el planeta alcanza la conjunción inferior (CINF), punto en el que el planeta alcanza la elongación máxima occidental (EMOC), y, finalmente, el punto en el que el planeta alcanza la conjunción superior (CSUP).

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Si observamos el planeta en la elongación máxima occidental (aparece al amanecer antes que el Sol a una distancia angular de 18º-28º si es Mercurio, o de 45º-48º si es Venus), a partir de ese punto va desplazándose en días sucesivos disminuyendo la elongación occidental hasta desaparecer tras el Sol, hacia el punto de la conjunción superior, en donde tanto el planeta como el sol tendrían la misma longitud eclíptica. En ese punto deja de ser observado por estar detrás del Sol. Mas tarde vuelve a aparecer el planeta en elongación oriental hasta obtener la máxima elongación oriental (aparece al amanecer en ese punto después de la salida del Sol, a 18º-28º si se trata de Mercurio, o de 45º-48º si fuera Venus), disminuyendo en los días siguientes esa elongación al dirigirse el planeta hacia el punto de conjunción inferior, pasando entre la Tierra y el Sol, zona en la que desaparece a la observación, pues los rayos solares impiden una adecuada visión del astro. También en ese punto el Sol y el planeta tienen la misma longitud eclíptica. Aparece más tarde en elongación occidental, amaneciendo cada día antes que el Sol, hasta alcanzar la máxima elongación occidental, repitiéndose de nuevo el proceso. La visión de perfil, de canto, del fenómeno, a lo largo del año, desde nuestro planeta, es la de un objeto que parece oscilar a un lado y a otro del Sol, como si se tratara de la masa colgante de un péndulo.

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El movimiento aparente de los planetas exteriores. Un bucle en el contexto estelar: El sentido del movimiento en su órbita de todos los planetas, interiores y exteriores, es siempre el mismo, sin embargo, por cumplirse la segunda ley de Kepler, es mucho más lento el movimiento relativo de los planetas más alejados. Así, se tiene para los periodos orbitales de los nueve planetas, los valores siguientes, en días y años terrestres:

Planeta Periodo Orbital (días) Periodo Orbital (años) Mercurio

00087.95

000.24

Venus

00226.30

000.62

Tierra

00365.00

001.00

Marte

00686.20

001.88

Júpiter 

04328.90

011.86

Saturno

10752.90

029.46

Urano

30696.50

084.10

Neptuno

60148.35

164.79

Plutón

90410.50

247.70

Esto quiere decir que cuando nuestro planeta, la Tierra, y el planeta observado, se encuentran en conjunción las velocidades son de contrario sentido y, por tanto, la velocidad relativa es la suma de las dos, por lo que el planeta presenta un movimiento aparente directo a nuestra observación.

En la mitad del arco del movimiento directo, tanto el Sol como el planeta observado se encuentran en la misma constelación para un observador desde la Tierra. Es decir, el Sol y el planeta tienen iguales sus longitudes eclípticas. En cambio, cuando ambos planetas se encuentran en oposición, ambas velocidades se restan, pues al tener el mismo sentido la velocidad relativa observada desde uno de ellos es la diferencia de ambas, y, además, siendo más rápido el movimiento de la Tierra, por ser de órbita menor, el planeta observado presenta un movimiento aparente de sentido contrario, INGENIERIA CIVIL - UNSAAC

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retrógrado (Al modo en que, por ejemplo, un automóvil de marcha rápida deja atras a otro más lento en una autopista, aparentando que el coche más lento va "hacia atrás").

En la mitad del arco del movimiento retrógrado el planeta se encuentra, para un observador terrestre, en la constelación opuesta a aquella en la que en ese momento se encuentra el Sol. Las longitudes eclípticas del planeta y el Sol se diferencian en 180º. El punto donde parece pararse el planeta es aquel en el que la velocidad relativa observada sería cero por tener ambos astros igual componente de velocidad en la misma dirección y sentido de la observación. Esto ocurre en los puntos llamados de cuadratura de la órbita de nuestro planeta. Es claro que los bucles observados en cada uno de los planetas exteriores será menor cuanto más lejos se encuentre el planeta. Se han medido los arcos recorridos en los movimientos retrógrados, con los siguientes resultados medios:

Planeta Exterior 

Arco del recorrido retrógrado

Marte

15º 02’

Júpiter 

10º 12’

Saturno

07º 01’

Urano

03º 57’

Neptuno

03º 00’

Plutón

02º 03’

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Imagen del libro de Joachim Herrmann [2], que muestra de forma muy instructiva el proceso del movimiento aparente de los planetas exteriores.

3. La antigua explicación geocéntrica: En la antigüedad, desde la época de Aristóteles, se conocía la existencia de los planetas Mercurio y Venus, siempre próximos al Sol, con un aparente movimiento oscilatorio a su alrededor, como la masa de un péndulo, y también se conocía la existencia de tres planetas exteriores, Marte, Júpiter y Saturno, junto con sus peculiares movimientos aparentes de bucle. Estos cinco planetas, junto con el Sol y la Luna, eran todos los astros conocidos, aparte de las estrellas fijas. La cuestión es que un astrónomo nacido en el año 85 d. de C., Claudio Ptolomeo, desarrolló una explicación de los movimientos aparentes, basando toda la argumentación en una concepción errónea el mundo y de la situación de los cuerpos celestes, y que perduró en la civilización occidental hasta el siglo XVI. El sistema geocéntrico de Ptolomeo fue prácticamente el único aceptado durante 1400 años, hasta el descubrimiento de Nicolás Copérn ico y los trabajos de Kepler. Ptolomeo consideró que la Tierra, nuestro planeta, se encontraba en el centro del Universo, inmóvil y rodeada por siete esferas concéntricas que contenían, cada una de ellas, un astro que desplazándose por la correspondiente superficie esférica giraba a su alrededor. Así, habría una esfera con centro en nuestro planeta, sobre la cual se desplazaba la Luna alrededor de la Tierra, en una órbita circular que denominaba círculo deferente. Habría otra esfera concéntrica que contendría al Sol, y, además, cada uno de los planetas se desplazaría también alrededor de la Tierra en su correspondiente círculo deferente. Una octava esfera, la más exterior, contendría a las estrellas fijas. El Sistema Geocéntrico de Ptolomeo se basaba en tres consideraciones básicas: 1. La Tierra es el centro inmóvil del Universo. 2. Todos los objetos se desplazan alrededor de la Tierra. 3. El movimiento de los cuerpos celestes, Sol, Luna, planetas y estrellas fijas, se realizan de manera circular uniforme.

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Para poder explicar los movimientos retrógrados de los planetas exteriores, lo mismo que el movimiento oscilatorio próximo al Sol de los planetas interiores, el sistema ptolemaico estableció la existencia de círculos menores alrededor de ciertos puntos del circulo deferente del planeta, que se denominaron epiciclos. Todos los planetas se desplazarían por su correspondiente círculo deferente con su correspondiente epicíclo. El Sol y la Luna se desplazarían sobre el círculo deferente, sin epiciclos. La explicación de los movimientos aparentes se realiza mediante la concepción ptolemaica si se postula lo siguiente: 1. Los centros de los epiciclos de los planetas inferiores, Mercurio y Venus, se encuentran siempre en la dirección de la Tierra al Sol. 2. Los radios de los epiciclos, trazados en el punto de posición del planeta son paralelos a esta dirección para todos los planetas exteriores.

7.- LA ECLÍPTICA Y COORDENADAS ECLÍPTICAS Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos F1 y F2 están generalmente fijos en las posiciones respectivamente, sobre el eje OX de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas. Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

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RELACIÓN CON COORDENADAS CARTESIANAS Para un espacio lR2 La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:1 Φ: lR 2  → lR 2  (r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)

donde a y b son constantes. Entonces:  x = a r cosφ y = b r sinφ

Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje  x  y por un factor b según el eje y . Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π) El jacobiano de la transformación es: J Φ (r,φ) = abr  dA = J Φ (r,φ) = abr dr dφ

En un espacio lR3 Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación :2  x = a r sinφ cosθ  y = b r sinφ sinθ  z = c r cosφ

El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del  jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y

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el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que: J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r 2  cos2 φsinφ + abc r 2  sin3φ = abc r 2  sinφ(cos2 φ + sin2 φ) = abc r 2  sinφ

Por lo tanto: dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r 2  sinφ dr dφ dθ 

8.- ECUADOR GALÁCTICO, COORDENADAS GALÁCTICAS. El ecuador galáctico. es el segmento que divide la Vía Láctea en dos mitades. Similar al tiempo del equinoccio cuando el Sol parece cruzar el Ecuador Terrestre y con ello entra en un nuevo hemisferio. De la misma manera en 1998 el Solsticio Solar de Invierno comenzó a cruzar por encima del Ecuador Galáctico. Considerando que el Sol es tan ancho y su movimiento tan lento, nuestro Sol no va a haber cruzado completamente el Ecuador y entrado totalmente dentro del hemisferio Galáctico hasta el año 2018. Curiosamente el 21 de diciembre de 2012 se dio una alineación exacta entre la Tierra, el Sol y el Ecuador Galáctico. La órbita de la Tierra -y así también el plano general de órbitas del Sistema solar- está inclinada unos 60 grados respecto al plano del ecuador de la galaxia de modo que hay dos puntos en los que intersecta con él. La Tierra pasa por esos puntos el 21 de junio y el 22 de diciembre. Por eso, esos días, viendo desde la Tierra, ahí donde vemos al Sol parece estar también ante el ecuador galáctico y cruzándolo, y así se produce el equinoccio de la INGENIERIA CIVIL - UNSAAC

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Tierra en relación al plano ecuatorial galáctico. Curiosamente, según la dinámica de la precesión de los solsticios (y equinoccios), los solsticios coinciden actualmente con el cruce de la Tierra por el plano ecuatorial de la galaxia. Por eso actualmente en la Tierra se produce la coincidencia de los solsticios durante un equinoccio, el galáctico. El ecuador galáctico alberga el punto hacia el que se haya el  centro de la Galaxia. En la esfera celeste de la Tierra tal punto se encuentra a 29 grados del ecuador (celeste), en el hemisferio sur. 29 grados son 5,5 más que los 23,5 de declinación máxima que alcanza el Sol en el solsticio, de modo que el día del solsticio, cuando la Tierra está cruzando el ecuador galáctico, el Sol está a unos 5,5 grados de ese punto, aunque es el 19 de diciembre cuando está en su mismo meridiano celeste.

coordenadas galácticas El sistema de coordenadas galácticas es un sistema de coordenadas celestes centrado en el sol y alineado con el centro aparente de la  Vía Láctea. El "ecuador" está alineado con el plano de la galaxia. El sistema de referencia gira con el Sol alrededor de la galaxia. Las coordenadas son la longitud galáctica (l) y la latitud galáctica (b). La longitud galáctica se mide sobre el plano de la misma, en sentido antihorario a partir de la línea que une al Sol con el centro de la galaxia (0º

360º).

La latitud galáctica es el ángulo que forma el objeto con el plano de la galaxia. Se mide en grados positivos al norte y negativos al sur (-90º

90º).

El origen de coordenadas de este sistema se halla en las  coordenadas ecuatoriales: ascensión recta = 17h 45m 37,224s, declinación = −28° 56′ 10,23″ (en la constelación de Sagitario, aunque el auténtico centro de la Vía Láctea —correspondiente a Sagittarius A*— se halla algo desplazado de este punto, en ascensión recta = 17h 45m 40.04s, declinación = −29° 00′ 28,1″ (coordenadas galácticas: l = 359° 56′ 39.5″, b = −0° 2′ 46,3″). El Polo Norte Galáctico se halla en l as coordenadas: ascensión recta = 12h 51m 26,282s, declinación = +27° 07′ 42.01″ (en la constelación de Coma Berenices), y el Polo

Sur Galáctico en las coordenadas: ascensión recta = 0h 51m 26,00s, declinación = -27° 7' 42,0" (en la constelación de Sculptor). Todas estas coordenadas se dan para J2000.

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Si una noche cualquiera, se mira hacia la constelación de Sagitario, se estará mirando hacia el centro de la Vía Láctea. La banda blanquecina que cruza el cielo de un extremo a otro es la luz de miles de millones de estrellas del plano de la galaxia. Obviamente esta banda pasa por la constelación de Sagitario. Viendo Sagitario y esta banda podemos imaginar nuestra posición (la de nuestro cuerpo) respecto a la galaxia. Podemos estimar así las coordenadas galácticas de cualquier objeto celeste que veamos. Por ejemplo, si algo está en dirección opuesta a Sagitario, su longitud galáctica será 180 grados. Si algún objeto celeste está cerca de la mancha blanquecina tendrá unos pocos grados de latitud galáctica. Con un poco de práctica se puede estimar con un error de unos 5 ó 10 grados la longitud y latitud galáctica de cualquier objeto celeste.  A efectos observacionales, la latitud galáctica tiene una importancia fundamental. Cuanto más baja sea la de un objeto, más cerca estará del plano galáctico, por lo que estará más oscurecido por la materia interestelar y su estudio resultará más difícil. En los peores casos, de hecho, puede llegar a ser invisible o casi invisible en luz visible, y para su estudio hay que recurrir a otras longitudes de onda que no resulten tan afectadas por la materia interestelar. Esto explica la existencia de la zona vacía.  Además, en lo referido a galaxias exteriores a la nuestra, cuanto más alta sea la latitud galáctica de una galaxia, con un ángulo más abierto se verá la nuestra desde ella. Por ejemplo: desde las galaxias del  Grupo Maffei —que se hallan muy próximas al ecuador galáctico—, la Vía Láctea se ve casi de canto, posiblemente no muy distinta a NGC 891. Desde el Cúmulo de Virgo o NGC 253 —muy cerca de los polos galácticos norte y sur, respectivamente—, nuestra galaxia se ve prácticamente de frente, con el aspecto que aparece en numerosas representaciones artísticas.

9.- MANEJO DE LA CARTA CELESTE. Cómo utilizar las cartas celestes Para localizar los cuerpos celestes en el cielo es indispensable disponer de buenas cartas celestes. Las posiciones señaladas para cúmulos estelares y globulares, nebulosas y galaxias en relación a las estrellas de las constelaciones son fáciles de localizar, una vez que nos resulten familiares. Pero localizar astros del Sistema Solar (planetas, asteroides, cometas, etc.) es un problema diferente, ya que dichos objetos están más cercanos a nosotros y se desplazan continuamente con respecto al fondo estelar. Un elemento muy importante en el equipo astronómico es un buen atlas estelar. Un astrónomo aficionado no s verticales del mapa representan la ascensión recta (a), es decir, la distancia en horas, minutos y segundos de tiempo, constadas hacia el este a partir del Punto Aries o Vernal (g). Las líneas horizontales representan a la declinación (d), es la distancia en grados por encima o por debajo del ecuador celeste. En las cartas estelares se suele indicar su escala en grados ó minutos por milímetros. Actualmente las coordenadas de los catálogo, atlas, mapas y cartas de estrellas están indicadas para el equinoccio 2000.0.

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Cuando se sale a observar al campo ó en sesiones hay que proveerse de cartas y mapas haciendo uso de una linterna roja para poder consultar las mismas. Una vez que el aficionado conoce las constelaciones, las estrellas más importante, sabe localizar los planetas y ciertos objetos celestes puede adquirir programas informáticos que nos muestran el firmamento visible para una determinada fecha, hora incluida. En el mercado hay software bastante buenos, indicaré algunos de ellos: 1.- The Earth Centered Universe (ECU) V3.0A 2.- The Sky 3.- Deep Space 4.- Dance of the Planets versión 2.71 5.- SkyMap Pro versión 6 6.- Guide Project Pluto 7 De todos ellos, Dance of the Planets y SkyMap Pro son muy buenos para mi gusto personal. Si el astrónomo aficionado, después de muchos años de aprendizaje, llega a estudiar fotometría o astrometría, entonces necesitará disponer de cartas estelares más precisas que le sirvan de referencia, están disponibles en CDs tales como USNO, ATC, AC 2000, Tycho-2, etc...son catálogos de referencias con una ingente cantidad de estrellas, por ejemplo "The Tycho-2 Catalogue" contiene 2'5 millones de estrellas, "The AC 2000" contiene las posiciones de 4.621.836 estrellas, etc...

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